SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER DI () DAN ()

FOURIER TRANSFORMS AND THEIR PROPERTIES

IN () AND ()

Rusdin, Mawardi Bahri, Loeky Haryanto

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Alamat Korespondensi: Rusdin, S.Si Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, HP: 081355588940 Email: S.sirusdin@yahoo.com

ABSTRAK

Uraian utama tesis ini adalah definisi transformasi Fourier dan sifat-sifat transformasi Fourier di (). Sifat-sifat yang dibahas seperti sifat utama yang sangat penting dalam pembahasan

transformasi Fourier yaitu sifat penjumlahan, sifat linear, pergeseran, modulasi, skala, konjugat, kontinuitas, dan sifat terbatas. Selanjutnya dibahas konvolusi untuk transformasi Fourier, invers transformasi Fourier dan turunan pada transformasi Fourier. Selanjutnya transformasi Fourier diperluas di (). sifat-sifat transformasi Fourier di () dibahas lebih lanjut seperti linearitas, modulasi dan konvolusi.

Kata kunci : Transformasi Fourier, Konvolusi, invers , modulasi, turunan.

ABSTRACT

The main description of this thesis is the definition of the Fourier transform and their properties in (). The basic properties such as addition, linearity, translation, modulation,

scaling,conjugation, continuously and boundary properties are presented. Next, the fundamental properties for Fourier transform such as convolution, inverse for Fourier transform and it derivative are also established. Finally, the Fourier transform in () are extended to (). Properties of the Fourier transform are generalized in () such as linearity, modulation and convolution.

Keywords: Fourier transform, convolution, inverse, modulation, derivative.

PENDAHULUAN

Trasformasi matematis digunakan terhadap suatu sinyal untuk mengetahui

informasi lain yang terkandung dalam sinyal tersebut yang tidak dapat terbaca

pada sinyal aslinya. Ada banyak metode yang digunakan untuk melakukan

transformasi. Salah satu transformasi yang paling banyak digunakan adalah

transformasi Fourier, yaitu pemetaan fungsi-fungsi yang bernilai riil atau

kompleks ke fungsi-fungsi yang bernilai kompleks. Transformasi ini telah umum

digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi.

Transformasi Fourier (TF) dikenal sebagai alat yang handal untuk

menganalisis sinyal termasuk untuk pengolahan gambar. Performasi frekuensi

suatu sinyal fungsi dapat dipelajari karena TF melakukan transformasi dari

domain atau kawasan waktu ke domain frekuensi. TF memerankan suatu bagian

yang sangat penting dalam teori beberapa cabang ilmu sains dan teknologi.

Transformasi berarti mengubah sesuatu, transformasi Fourier merupakan alat

matematik yang sangat penting untuk pengolahan sinyal, meliputi analisis sinyal,

pengolahan sinyal, serta menguraikan sinyal (domain waktu) menjadi komponen-

komponenen sinusoida (domain frekuensi). Penelitian sebelumnya dilakukan oleh

Brandwood (2003) dan Debnath (2005) yang menguraikan beberapa sifat-sifat

transformasi Fourier.

Secara sederhananya transformasi Fourier dipergunakan untuk mengubah

dari kawasan waktu menjadi kawasan frekuensi. Pengubahan itu dimaksudkan

untuk mempermudah analisis yang dilakukan. Dalam bidang pengolahan sinyal

maka pengubahan tersebut dapat dilakukan terhadap sinyal maupun terhadap

sistemnya. Transformasi Fourier sinyal akan menghasilkan spektrum sinyal.

Sedangkan transformasi Fourier terhadap sistem akan menghasilkan tanggapan

frekuensi sistem.

Dalam tulisan ini diperkenalkan Transformasi Fourier (TF) secara detail.

Akan diselidiki dan dibuktikan sifat-sifat fundamentalnya di (). Selanjutnya

akan diselidiki sifat-sifat transformasi Fourier di (). Penelitian ini bertujuan

merumuskan definisi transformasi fourier di () dan sifat-sifatnya

membuktikan sifat-sifat transformasi Fourier di (), memperluas definisi

transformasi Fourier di () ke () beserta sifat-sifatnya.

Penelitian ini dilakukan dengan metode kajian pustaka yang akan

menghasilkan pembuktian sifat-sifat transformasi Fourier secara detail.

BAHAN DAN METODE

Penelitian yang dilakukan adalah penelitian kepustakaan dengan

mengumpulkan dan mempelajari beberapa referensi berupa jurnal, makalah

ilmiah, buku elektronik dan halaman web di internet tentang Transformasi

Fourier, buku yang berkaitan dan hal-hal yang terkait dengannya. Penelitian

dilakukan di kampus Universitas Hasanuddin.

HASIL

Tabel 1 memuat sifat-sifat transformasi Fourier di (). Sifat-sifat ini

kemudian diselidiki dan dibuktikan. Mulai dari sifat penjumlahan, linearitas,

translasi, modulasi, turunan, konvolusi, skala dan invers. Kemudian akan

disajikan sifat-sifat transformasi Fourier di ().

PEMBAHASAN

Penelitian ini membahas sifat-sifat transformasi Fourier () dan

kemudian membuktikan sifat-sifat tersebut dengan detail. Selanjutnya diperluas ke

sifat-sifat transformasi Fourier di () .

Transformasi Fourier di ()

Sebuah fungsi : , ()jika | | < , yaitu jika terintegral

lebesgue. Jadi () = | | < . Misalkan adalah sebuah fungsi yang

terintegral secaraLebesgue pada . Karena kontinu dan terbatas, perkalian

( ) terintegral secara lokal untuk setiap . Jelas bahwa = 1

untuk setiap dan pada . Dengan memberikan integral

( ) , . (1)

Ini memberikan

( ) | ( )| = < . (2)

Ini berarti bahwa (1) ada (eksis) untuk setiap . Definisi berikut

berdasarkan Brandwood (2003) dan Debnath (2005)

Definisi 1. (Transformasi Fourier dalam ())

Misalkan (). Transformasi Fourier ( ) dilambangkan dengan ( )

dan didefinisikan oleh

( ) = { ( )}( ) = ( ) . (3)

Secara fisis, persamaan (3) menunjukkan pergerakan osilasi pada frekuensi

, dan ( ) disebut spektrum frekuensi sinyal atau waveform ( ).

Berdasarkan hal tersebut ( ) dianggap sebagai sinyal dalam domain waktu

dan ( ) sebagai sinyal dalam domain frekuensi. Bentuk transformasi yang

umum digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain

frekuensi adalah dengan transformasi Fourier. Transformasi Fourier suatu

sinyal atau fungsi ( ) didefinisikan oleh (3). Sinyal ( ) dapat direkonstruksi

dengan rumus balikan Fourier

( ) = ( ) . (4)

Sifat-sifat dasar Transformasi Fourier

Beberapa sifat transformasi Fourier dikumpulkan dalam teorema berikut

yang selanjutnya disajikan dalam tabel.

Teorema 1. (Sifat Penjumlahan). Jika ( ) dan ( ) (), maka berlaku

{ ( )( ) + ( )}( ) = { ( )}( ) + { ( )}( ). (5)

Bukti. Dari persamaan (3) diperoleh

{ ( ) + ( )}( ) = [ ( ) + ( )] .

= ( ) + ( )

= ( ) + ( )

= { ( )}( ) + { ( )}( ).

Teorema 2. (Sifat linear). Jika ( ) dan ( ) () dan , adalah dua

konstanta kompleks, maka

{ ( )( ) + ( )}( ) = { ( )}( ) + { ( )}( ). (6)

Bukti : Dari definisi transformasi Fourier diperoleh

{ ( )( ) + ( )}( ) = ( ( ) + ( ))

= ( ) + ( )

= ( ) + ( )

= ( ) + ( )

= { ( )} + { ( )}.

Teorema 3. (Sifat pergeseran atau translasi)

Misalkan ( ) adalah fungsi yang digeser oleh , yaitu

( ) = ( ),

maka diperoleh

( ) = ( ) . (7)

teorema 4. (Sifat modulasi)

Diberikan fungsi () dan , misal ( ) = ( ) maka

{}( ) = { }( ). (8)

Bukti: Diketahui ( ) = ( ),maka berdasarkan definisi Transformasi

Fourier diperoleh

{}( ) = ( )

= ( )

= ( )

= ( ) ( ) .

Berdasarkan definisi Transformasi Fourier, diperoleh

= { }( ).

Teorema 5. (Sifat scaling)

Diberikan fungsi f, a , a 0, danmisal( ) = ( ) maka

{}( ) =| |{ } . (9)

Teorema 6 (konjugasi)

Misalkan ( ) dan untuk setiap maka

( ) = { }( ) (11)

f () = {f}(. )

Invers Transformasi Fourier

Jika transformasi Fourier dimaksudkan untuk mengubah fungsi berdomain

waktu menjadi fungsi berdomain frekuensi, maka sebaliknya invers dari

Transformasi Fourier akan mengubah fungsi berdomain frekuensi menjadi fungsi

berdomain waktu. Berikut ini akan didefinisikan bentuk dari invers Transformasi

Fourier disertai dengan bunyi sebuah teorema yang berkaitan dengannya. Namun

khusus teorema ini tidak akan dibuktikan melainkan hanya dituliskan saja bunyi

teorema tersebut.

Definisi 2 Invers

Untuk suatu fungsi dimana | ( )| < , maka invers Transformasi

Fourier dari untuk setiap didefinisikan oleh

1{ }( ) = 12 ( )

. (12)

Teorema 6

Jika 1( ) dan | ( )| < maka

1{ }( ) = ( ). (13)

Definisi 3 (Invers Transformasi Fourier ) Misalkan fungsi g (), maka

invers dari TF g didefinisikan untuk setiap bilangan real x , sebagai

[{ }]( ) = 12 ( )

.

Konvolusi

Salah satu operasi matematis penting yang perlu dipahami dalam

mempelajari pengolahan citra digital adalah operasi konvolusi. Ini dikarenakan

konvolusi merupakan operasi yang mendasar dalam pengolahan citra. Tanda

menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variabel) adalah peubah bantu

(dummy variabel) (lebih jelasnya lihat pada definisi konvolusi).

Definisi 4

Diberikan dua fungsi dan (terdefinisi dan terintegralkan pada ), maka

konvolusi dari dan dinyatakan oleh f g dan didefinisikan sebagai

( )( ) = ( ) ( ) , (14)

Sifat-Sifat Konvolusi

Setelah didefinisikan, operasi konvolusi ternyata memiliki beberapa sifat-

sifat. Diantaranya adalah bersifat komutatif, linearity, shifting dan konvolusi

dengan dirac . Pembahasan selanjutnya akan dijelaskan mengenai pembuktian

dari sifat-sifat tersebut.

Teorema 7 Komutatif

Untuk fungsi dan berlaku

( )( ) = ( )( ). (15)

Bukti :

Untuk setiap dan dari definisi konvolusi pada Persamaan (10) diketahui

( )( ) = ( ) ( ) .

Misal = maka = dan = .

Karena nilai fixed, sehingga saat = maka = dan saat = maka

= sehingga diperoleh

( )( ) = ( ) ( )( )

= ( ) ( )

dan menurut definisi konvolusi diperoleh

= ( )( ).

Teorema 8 Linearitas

(a) Untuk fungsi f, g1 dan g2, serta untuk skalar , R berlaku

f (g + g ) = (f g ) + (f g ); (16)

(b) Untuk fungsi f, g1 dan g2, serta untuk skalar , R berlaku

(g + g ) f = (g f) + (g f). (17)

Teorema 9 Shifting

Untuk suatu fungsi , dan R, serta misal f adalah fungsi yang ditranslasikan

yang didefinisikan oleh

f (x) = f(x a)

maka untuk fungsi yang sesuai berlaku

(a)( )( ) = ( ) ( ) (18)

(b) ( )( ) = ( ) ( ). (19)

Transformasi Fourier di ()

Pada bagian ini akan diperkenalkan perluasan Transformasi Fourier di

2L beserta sifat-sifatnya. Sebagaimana telah dijelaskan di awal bahwa

Suatu fungsi dikatakan dapat diintegralkan pada jika

| ( )| < . Fungsi yang seperti itu dinamakan sebagai () atau

dapat ditulis () = | | < , maka dengan cara yang sama, suatu

fungsi dikatakan dapat diintegralkan kuadrat pada jika

| ( )| < . Fungsi yang seperti itu dinamakan sebagai (),

dengan adalah fungsi yang terintegral Lebesgue pada , maka () =

| ( )| < , yang selanjutnya akan disebut fungsi yang terintegral

kuadrat (square integrable functions). Terdapat banyak fungsi dalam fisika dan

engineering, termasuk amplitudo gelombang dalam mekanika klasik dan

quantum adalah terintegral kuadrat.

Ruang (), yang dilengkapi hasil kali dalam , = ( ) ( )

merupakan ruang Hilbert. Karena () bukan himpunan bagian dari (),

maka definisi transformasi Fourier tidak otomatis berlaku di (). Namun

demikian, dengan menggunakan fakta bahwa () () padat di (),

transformasi Fourier dari fungsi () dapat didefinisikan sebagai limit

dari suatu barisan (dalam norm di ()), dengan () () dan

( ) dalam norm di ().

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh rumusan dan definisi serta

sifat-sifat transformasi Fourier di () dan ()seperti ditunjukkan di tabel 1.

DAFTAR PUSTAKA

Asmar, Nakhle. 2000. Partial differential equations with Fourier series. second ed. . Pearson Prentice Hall: New Jersey. Brandwood, David. 2003. Fourier Transform in Radar and Signal Processing. .Arthec House. Boston.

B. Mawardi, E.Hitzer. 2010. Windowed Fourier Transform of two Dimensional .Quaternionic Signals. Journal of Applied Mathematics and Computation, ..Vol.216, pp.2366-2379. Debnath, Lokenath. 2002. Wavelet Transforms and their Applications. ..Birkhauser. Boston. Debnath, Lokenath dan Mikusisnski, Piotr. 2005. Hilbert Spaces with .Applications. Elsevier. USA. Folland, Gerald B. 1999. Real Analysis: Modern Techniques and Their .Applications. John Willey & Sons. New York. Folland, Gerald B. dan Sitaram, Alladi. 1997. The Uncertainty Principle : A .Mathematical Survey. The Journal of Fourier Analysis and Applications, .Volume 3, pp. 207-238. Folland, Gerald B. 1992. Fourier Analysis and Its Applications. The Wadsworth .& Brooks. USA.

Sonka, M., Hlavac. 2008. Image Processing, Analysis, and Machine Vision. Thomson Learning. United State of America.

Lampiran

Tabel 1. Sifat-sifat transformasi Fourier

Sifat ( ) ( ) Penjumlahan ( ) + ( ) ( ) + ( ) Sifat linier ( ) + ( ) ( ) + ( ) Dualitas ( ) ( ) Konvolusi ( )( ) ( ) ( ) Perkalian ( ) ( ) ( )( ) translasi ( ) ( ) modulasi ( ) ( ) Turunan ( )

( )

Skala ( ) 1

| |

konjugasi ( ) ( )