8º Grado Matemática Geometría en 2D...

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8º Grado Matemática

Geometría en 2D Transformaciones

www.njctl.org

2013-04-12

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Vínculos para preguntas PARCC de muestra

Sin calculadora N° 8

Sin calculadora N° 12

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Tabla de Contenidos

· Reflexiones· Dilataciones

· Traslaciones

Click en un tema para ir a esta sección

· Rotaciones

· Transformaciones

· Congruencia y Semejanza

Common Core Standards: 8.G.1, 8.G.2, 8.G.3, 8.G.4, 8.G.5

· Pares especiales de ángulos

· Simetría

· Glosario· Ángulos exteriores remotos

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Algunas veces cuando se restas fracciones, encuentras que no puedes porque el el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar desde los números enteros.

¿Cuántos tercios es en un entero?

¿Cuántos quintos hay en un entero?

¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado a la página en la parte del glosario que contienen el vocabulario de la tabla.

(Haz click sobre el subrayado.)

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Volver al tema

FactorUn número entero

que se puede dividir con otro

número y no queda resto

15 3 5

3 es un factor de 15 3 x 5 = 15

3 y 5 son factores de 15

1635 .1R

3 no es un factor de 16

4

Un número entero que multiplica con otro número para hacer un tercer

número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario1

Su significado 2

Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la

página con el tema.

(Cómo se utiliza en

esta lección)

http://www.njctl.org




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Transformaciones

Volver a laTabla de Contenidos

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Cada vez que mueves, encoges o agrandas una figura haces una transformación. Si la figura que estás moviendo (preimagen) está marcada con las letras A, B, y C, puedes marcar los puntos de la figura transformada (imagen) con las mismas letras y una comilla.

AB

C

A'B'

C'

pre-imagen imagen

Not

as p

ara

el p

rofe

sor

Transformación

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La imagen también se puede marcar con letras nuevas, como se muestra a continuación.

El triángulo ABC es la pre-imagen de la imagen reflejada del triángulo XYZ

AB

C

XY

Z

pre-imagen imagen

Transformación

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Hay cuatro tipos de transformaciones en esta unidad

· Traslaciones· Rotaciones· Reflexiones· Dilataciones

Las primeras tres transformaciones preservan el tamaño y la forma de la figura.

En otras palabras:Si tu pre-imagen es un trapezoide, tu imagen es un trapezoide congruente .

Si tu pre-imagen es un ángulo, tu imagen es un ángulo con la misma medida.

Si tu pre-imagen contiene rectas paralelas , tu image contiene rectas paralelas.

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Traslaciones

Volver a la Tabla de Contenidos

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/ 227

Trasladar es mover una figura a otra posición (izquierda, derecha, arriba o abajo) sin cambiar su tamaño o forma y sin voltear o girar..

Puedes utilizar una flecha para mostrar la dirección y la distancia del movimiento

TraslaciónSlide 14 / 227

Esto muestra una traslación de la pre-imagen ABC a la imagen A'B'C'. Cada punto en la pre-imagen se movió a la derecha 7 y hacia arriba 4.

Traslación

Slide 15 / 227

Click para ir a la página web Traslación

Slide 16 / 227

¿Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura?Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

A B

CD

A' B'

C'D'

Para completar una traslación, mueve cada punto de la pre-imagen y marca los nuevos puntos.

Ejemplo: Mueve la figura 2 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba. ¿Cuáles son las coordenadas de la pre-imagen e imagen?

Slide 16 (Answer) / 227


A B

CD

A' B'

C'D'

Para completar una traslación, mueve cada punto de la pre-imagen y marca los nuevos puntos.

Ejemplo: Mueve la figura 2 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba. ¿Cuáles son las coordenadas de la pre-imagen e imagen?

[This object is a pull tab]

Res

pues

ta A (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)

Slide 17 / 227

Traslada la pre-imagen ABC 2 a al izquierda y 6 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y la pre-imagen?

A

B

C


http://www.mathwarehouse.com/transformations/translations-interactive-activity.php

(Answer) / 227

Traslada la pre-imagen ABC 2 a al izquierda y 6 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y la pre-imagen?

A

B

C



Res

pues

ta A (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)

Slide 18 / 227Traslada la pre-imagen ABCD 4 a la derecha y 1 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y de la pre-imagen?

A

B

C

D

Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, ¿tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura?Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Slide 18 (Answer) / 227Traslada la pre-imagen ABCD 4 a la derecha y 1 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y de la pre-imagen?

A

B

C

D



Res

pues

ta A (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)

Slide 19 / 227

AB

C

D

Traslada la pre-imagen ABCD 5a la izquierda y 3 hacia arriba. ¿Cuál es la regla y cuáles son las nuevas coordenadas de la imagen.



AB

C

D

Traslada la pre-imagen ABCD 5a la izquierda y 3 hacia arriba. ¿Cuál es la regla y cuáles son las nuevas coordenadas de la imagen.



Res

pues

ta A (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)

Slide 20 / 227

Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas. Mira las siguientes reglas y coordenadas para ver si puedes encontrar un patrón.

2 Izquierda y 5 ArribaA (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)

2 Izquierda y 6 AbajoA (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)

4 Derecha y 1 AbajoA (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)

5 Izquierda y 3 ArribaA (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)

Reglas de traslación

/ 227

Trasladando a la izquierda o derecha cambias la coordenada de x.

Trasladando hacia arriba o abajo cambias la coordenada de y.

2 Izq. y 5 ArribaA (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)

2 Izq. y 6 AbajoA (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)

4 Der. y 1 AbajoA (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)

5 Izq. y 3 AbajoA (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)


Slide 22 / 227


Trasladando izquierda/derecha cambias la coordenada de las x · izquierda restas a la coordenada x

· Derecha sumas a la coordenada x

Trasladando arriba/abajo cambias la coordenada y.· Abajo restas a la coordenada y

· Arriba sumas a la coordenada y

Slide 23 / 227

Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas .

2 unidades a la izquierda … coordenada x - 2 coordenada y queda igual regla = (x - 2, y)

5 unidades derechay tres unidades abajo… coordenada x + 5 coordenada y - 3 regla = (x + 5, y - 3)

click

click


Slide 24 / 227

Escribe una regla para cada traslación.

2 Izq. y 5 ArribaA (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)

2 Izq. y 6 AbajoA (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)

4 Der. y 1 AbajoA (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)

5 Izq. y 3 ArribaA (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)

(x, y) (x-2, y+5) (x, y) (x-2, y-6)

(x, y) (x-5, y+3) (x, y) (x+4, y-1)

click para revelar

click para revelar click para revelar

click para revelar


Slide 25 / 227

1 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?

A (x,y) (x - 4, y - 6)

B (x,y) (x - 6, y - 4)

C (x,y) (x + 6, y + 4)

D (x,y) (x + 4, y + 6)D

E

F

G

D'E'

F'

G'



A (x,y) (x - 4, y - 6)

B (x,y) (x - 6, y - 4)

C (x,y) (x + 6, y + 4)

D (x,y) (x + 4, y + 6)D

E

F

G

D'E'

F'

G'


Res

pues

ta

C

/ 227


A (x,y) (x, y - 9)B (x,y) (x, y - 3)C (x,y) (x - 9, y)D (x,y) (x - 3, y)

DE

F

G

D'E'

F'

G'



A (x,y) (x, y - 9)B (x,y) (x, y - 3)C (x,y) (x - 9, y)D (x,y) (x - 3, y)

DE

F

G

D'E'

F'

G'


Res

pues

ta

A

Slide 27 / 227


A (x,y) (x + 8, y - 5)

B (x,y) (x - 5, y - 1)

C (x,y) (x + 5, y - 8)

D (x,y) (x - 8, y + 5)

DE

F

G

D'E'

F'

G'



A (x,y) (x + 8, y - 5)

B (x,y) (x - 5, y - 1)

C (x,y) (x + 5, y - 8)

D (x,y) (x - 8, y + 5)

DE

F

G

D'E'

F'

G'


Res

pues

ta

D

Slide 28 / 227


A (x,y) (x - 3, y + 2)B (x,y) (x + 3, y - 2)C (x,y) (x + 2, y - 3)D (x,y) (x - 2, y + 3)

DE

F

G

D'E'

F'

G'




DE

F

G

D'E'

F'

G'[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

B

/ 227



DE

F

G

D'E'

F'

G'




DE

F

G

D'E'

F'

G'[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

D

Slide 30 / 227

Rotaciones


Slide 31 / 227

Slide 32 / 227

Una rotación (giro) es mover una figura alrededor de un punto. Este punto puede estar en la figura o puede ser algún otro punto exterior. Este punto se llamapunto de rotación.

P

Rotaciones

Slide 33 / 227

Rotación

El dedo de la persona es el punto de rotación para cada figura

page1svg

/ 227

Cuando giras una figura, puedes describir la rotación, dando la dirección (en sentido horario o en sentido antihorario) y el ángulo de la figura gira alrededor del punto de giro. Las rotaciones son en sentido antihorario , a menos que se le indique lo contrario.

Esta figura se rota 90 grados en sentido contrario

a las agujas del reloj alrededor del punto A.

Esta figura se rota180 grados en sentido de

las agujas del reloj alrededor del punto B.

AB

click para revelar


Cuando giras una figura, puedes describir la rotación, dando la dirección (en sentido horario o en sentido antihorario) y el ángulo de la figura gira alrededor del punto de giro. Las rotaciones son en sentido antihorario , a menos que se le indique lo contrario.

Esta figura se rota 90 grados en sentido contrario

a las agujas del reloj alrededor del punto A.

Esta figura se rota180 grados en sentido de

las agujas del reloj alrededor del punto B.

AB

click para revelar


Pist

a

El sentido horario es la dirección normal en la que las agujas de un

reloj se mueven y antihorario es la

dirección opuesta.

Slide 35 / 227

A B

CD

A'

B' C'

D'

¿Cómo se rotó esa figura en torno al origen?

En el plano de coordenadas cada cuadrante representa 90º.

Controla para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Para determinar el ángulo, dibuja dos semirrectas (una desde el punto de rotación hasta el punto de la pre-imagen y otra desde el punto de rotación hasta el punto de la imagen. Mide ese ángulo.


A B

CD

A'

B' C'

D'

¿Cómo se rotó esa figura en torno al origen?

En el plano de coordenadas cada cuadrante representa 90º.

Controla para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Para determinar el ángulo, dibuja dos semirrectas (una desde el punto de rotación hasta el punto de la pre-imagen y otra desde el punto de rotación hasta el punto de la imagen. Mide ese ángulo.


Res

pues

ta Esta figura se rotó 270º en sentido horario en torno al

origen ó 90° en sentido antihorario en torno al origen

Slide 36 / 227

Las siguientes descripciones describen la misma rotación.¿Qué notas?¿Puedes dar tu propio ejemplo?

Slide 37 / 227

La suma de las dos rotaciones (horaria y antihoraria) es 360 grados. Si tienes una rotación, puedes calcular la otra restandola de 360.

/ 227

6 ¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto A? (Elige más de una respuesta.)

A horario

B antihorario

C 90 grados

D 180 grados E 270 grados

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

A, A'C'

C

BB'

D'E'

D

E


6 ¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto A? (Elige más de una respuesta.)

A horario

B antihorario

C 90 grados

D 180 grados E 270 grados


A, A'C'

C

BB'

D'E'

D

E


Res

pues

ta

B y C

Slide 39 / 227

7 ¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto de origen? (Elige más de una respuesta).

A horario

B antihorario

C 90 grados

D 180 gradosE 270 grados


A B

CD

A'B'

C' D'


7 ¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto de origen? (Elige más de una respuesta).

A horario

B antihorario

C 90 grados

D 180 gradosE 270 grados


A B

CD

A'B'

C' D'


Res

pues

ta

A, D

Slide 40 / 227

Ahora echemos un vistazo a la misma figura y ver lo que sucede con las coordenadas cuando hacemos girar una figura.

Escribe las coordenadas de la pre-imagen e imagen.

¿Qué notas?

Rotaciones

A B

CD

A'

B' C'

D'


Ahora echemos un vistazo a la misma figura y ver lo que sucede con las coordenadas cuando hacemos girar una figura.

Escribe las coordenadas de la pre-imagen e imagen.

¿Qué notas?

Rotaciones

A B

CD

A'

B' C'

D'[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

Cuanto se rotó 90º en sentido antihorario, la coordenada x es la opuesta de la coordenada y de la pre-imagen y la coordenada y es la misma que la coordenada x de la pre-imagen. En otras palabras: (x, y) (-y, x)

A (-4, 6) A' (-6, -4)B (-1, 6) B' (-6, -1)C (-2, 2) C' (-2, -2)D (-5, 2) D' (-2, -5)

/ 227

¿Qué sucede con las coordenadas en un medio giro?

Escribe las coordenadas para la pre-imagen y la imagen.

¿Qué notas?

Rotaciones

A B

CD

A'B'

C' D'


¿Qué sucede con las coordenadas en un medio giro?

Escribe las coordenadas para la pre-imagen y la imagen.

¿Qué notas?

Rotaciones

A B

CD

A'B'

C' D'[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

A (-7, 5) A' (7, -5)B (-1, 5) B' (1, -5)C (-2, 1) C' (2, -1)D (-6, 1) D' (6, -1)

Cuando se rota un medio giro, la coordenada x es la opuesta de la coordenada x de la pre-imagen y la coordenada y es la opuesta de la coordenada y de la pre-imagen. En otras palabras:

(x, y) (-x, -y)

Slide 42 / 227

¿Podrías resumir que pasa con las coordenadas durante una rotación?

90° sentido antihorario:

Medio giro:

90° sentido horario:

Rotaciones


¿Podrías resumir que pasa con las coordenadas durante una rotación?

90° sentido antihorario:

Medio giro:

90° sentido horario:

Rotaciones

[This object is a pull tab]R

espu

esta

(x, y) (-y, x)

(x, y) (y, -x)

(x, y) (-x, -y)

Slide 43 / 227

8 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto A (5, -6) despues de una rotación horaria de ?

A (-6, -5)

B (-6, 5)

C (-5, 6)

D (5, -6)


8 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto A (5, -6) despues de una rotación horaria de ?

A (-6, -5)

B (-6, 5)

C (-5, 6)

D (5, -6) [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

A

/ 227

9 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto S (-8, -1) despues de una rotación anti horaria de ?

A (-1, -8)

B (1, -8)

C (-1, 8)

D (8, 1)


9 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto S (-8, -1) despues de una rotación anti horaria de ?

A (-1, -8)

B (1, -8)

C (-1, 8)

D (8, 1) [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

B

Slide 45 / 227

10 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto H (-5, 4) despues de una rotación anti horaria de ?

A (-5, -4)

B (5, -4)

C (4, -5)

D (-4, 5)


10 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto H (-5, 4) despues de una rotación anti horaria de ?

A (-5, -4)

B (5, -4)

C (4, -5)

D (-4, 5)


Res

pues

ta

B

Slide 46 / 227

11 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto R (-4, -2) después de una rotación horaria de ?

A (4, -2)

B (-2, 4)

C (2, 4)

D (-4, 2)


11 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto R (-4, -2) después de una rotación horaria de ?

A (4, -2)

B (-2, 4)

C (2, 4)

D (-4, 2) [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

A

/ 227

12 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto Y (9, -12) despues de una rotación de medio giro?

A (-12, 9)

B (-9,12)

C (-12, -9)

D (9,12)


12 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto Y (9, -12) despues de una rotación de medio giro?

A (-12, 9)

B (-9,12)

C (-12, -9)

D (9,12) [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

B

Slide 48 / 227

13 El paralelogramo A' B' C' D' (no el mostrado) es la imagen del paralelogramo ABCD después de una rotación de 180° en torno al origen. ¿Qué afirmaciones sobre el paralelogramo A'B'C'D son ciertas?. Selecciona cada afirmación correcta

A A'B' es paralelo a B'C'

B A'B' es paralelo a A'D'

C A'B' es paralelo a C'D'

D A'D' es paralelo a B'C'

E A'D' es paralelo a D'C'

From PARCC sample test

AB

CD

x

y


13 El paralelogramo A' B' C' D' (no el mostrado) es la imagen del paralelogramo ABCD después de una rotación de 180° en torno al origen. ¿Qué afirmaciones sobre el paralelogramo A'B'C'D son ciertas?. Selecciona cada afirmación correcta

A A'B' es paralelo a B'C'

B A'B' es paralelo a A'D'

C A'B' es paralelo a C'D'

D A'D' es paralelo a B'C'

E A'D' es paralelo a D'C'


AB

CD

x

y


Res

pues

ta

B y C

Slide 49 / 227

Reflexiones


Slide 50 / 227Ejemplos

http://practice.parcc.testnav.com/#


page1svg

/ 227

Una reflexión (vuelta) crea una imagen de espejo de una figura.

ReflexiónSlide 52 / 227

Un reflejo es una vuelta porque la figura se voltea sobre una línea. Cada punto de la imagen está a la misma distancia de la línea como del punto original..

A y A' están ambos a 6 unidades de la recta t.B y B' están ambos a 6 unidades de la recta t.C y C' están ambos a 3 unidades de la recta t.

Cada vértice en el ABC está a la misma distancia de la recta t como los vértices en el A'B'C'.


Reflexión

A

B C

A'

B'C'

t

Slide 53 / 227

Refleja la figura transversalmente al eje y.


Reflexión

x

y

A B

CD

Slide 54 / 227

¿Qué notas acerca de las coordenadas cuando reflejas transversalmente al eje y?


Reflexión

x

y

A B

CD

A'B'

C'D'


¿Qué notas acerca de las coordenadas cuando reflejas transversalmente al eje y?


Reflexión

x

y

A B

CD

A'B'

C'D'


Res

pues

ta

A (-6, 5) A' (6, 5)B (-4, 5) B' (4, 5)C (-4, 1) C' (4, 1)D (-6, 3) D' (6, 3)

Cuando se refleja transversalmenteal eje de las y, la coordenada x se convierte en la opuesta.

De manera que (x, y) (-x, y) cuando se refleja transversal al eje y.

Slide 55 / 227

¿Cuál es tu predicción sobre las coordenadas cuando se refleja sobre el eje x?

Reflexión

x

y

A B

CD

A' B'

C'D'

(Answer) / 227

¿Cuál es tu predicción sobre las coordenadas cuando se refleja sobre el eje x?

Reflexión

x

y

A B

CD

A' B'

C'D'


Res

pues

ta

A (-6, 5) A' (-6, -5)B (-4, 5) B' (-4, -5)C (-4, 1) C' (-4, -1)D (-6, 3) D' (-6, -3)

Cuando se refleja transversal al eje x, la coordenada y se convierte en opuesta.De manera que (x, y) (x, -y) cuando se refleja transversal al eje x

Slide 56 / 227

Refleja la figura transversal al eje de las y, y luego al eje x.Haz click para ver cada reflexión

x

y

AB

CD

Slide 57 / 227

Refleja la figura transversal al eje y.Haz click para ver la reflexión.

x

y

A B

C D

EF

Slide 58 / 227

Refleja la figura transversal a la recta x = -2.

Click para ver la reflexión

x

y

AB

C

D

E

Slide 59 / 227

Refleja la figura transversal al eje y = x.

x

y

A B

CD

Slide 60 / 227

14 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del:

A el eje x

B el eje y

C el eje x, luego el eje y

D el eje y, luego el eje x

x

y

A

B C

A'

B' C'

(Answer) / 227


A el eje x

B el eje y



x

y

A

B C

A'

B' C'[This object is a pull tab]

Res

pues

taA

Slide 61 / 227


A el eje x

B el eje y



x

y

D

B C

A

A'

C' B'

D'



A el eje x

B el eje y



x

y

D

B C

A

A'

C' B'

D'


Res

pues

ta

C

Slide 62 / 227

16 ¿Cuál de las siguientes representa una reflexión simple de la Figura 1?

A

B

C

D

Figure 1Figura 1


16 ¿Cuál de las siguientes representa una reflexión simple de la Figura 1?

A

B

C

D

Figure 1Figura 1


Res

pues

ta

B

Slide 63 / 227

17 ¿Cuál de las siguientes describe el movimiento de la figura inferior?

A reflexión

B rotación, 90 horario

C deslizamientoD rotación, 180 horario

Figura 1

Figura

2

(Answer) / 227

17 ¿Cuál de las siguientes describe el movimiento de la figura inferior?

A reflexión

B rotación, 90 horario

C deslizamientoD rotación, 180 horario

Figura 1

Figura

2[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

B

Slide 64 / 22718 Describe la reflexión mostrada debajo:A transversalmente

a la recta y = xB transversalmente

al eje y

C transversalmente a la recta y = -3

D transversalmenteal eje x


x

y

A

B C

DE

A'

C'

B'

D'

E'

Slide 64 (Answer) / 22718 Describe la reflexión mostrada debajo:A transversalmente

a la recta y = xB transversalmente

al eje y

C transversalmente a la recta y = -3

D transversalmenteal eje x


x

y

A

B C

DE

A'

C'

B'

D'

E'


Res

pues

ta

A

Slide 65 / 22719 Describe la reflexión mostrada debajo:

A transversalmentea la recta y = x

B transversalmente al eje x

C transversalmentea la recta y = -3

D transversalmentea la recta x = 4


x

y

A

B

C

A'

C'

B'

Slide 65 (Answer) / 22719 Describe la reflexión mostrada debajo:

A transversalmentea la recta y = x

B transversalmente al eje x

C transversalmentea la recta y = -3

D transversalmentea la recta x = 4


x

y

A

B

C

A'

C'

B'


Res

pues

ta

D

Slide 66 / 227

En el plano de coordenadas se muestran tres figuras congruentes. Usa esas figuras para responder a las siguientes dos preguntas.


1

23

y

x


/ 227

20 Parte A

Selecciona una transformación para cada grupo de opciones para hacer esta afirmación cierta.

La figura 1 puede ser transformada en la figura 2 mediante

A una reflexión transversal al eje de las x

B una rotación de 180° en sentido horario en torno al origen

C una traslación de 2 unidades hacia la izquierda

D una reflexión transversal al eje de las yE una rotación de 90° en sentido horario y en torno al origen

F una traslación de 3 unidades a la derecha

seguida por


20 Parte A

Selecciona una transformación para cada grupo de opciones para hacer esta afirmación cierta.

La figura 1 puede ser transformada en la figura 2 mediante

A una reflexión transversal al eje de las x

B una rotación de 180° en sentido horario en torno al origen

C una traslación de 2 unidades hacia la izquierda

D una reflexión transversal al eje de las yE una rotación de 90° en sentido horario y en torno al origen

F una traslación de 3 unidades a la derecha

seguida por


Res

pues

ta

A y F

Slide 68 / 227

21 Parte B

La figura 3 puede ser formada transformando la figura 1 con una secuencia de dos pasos. Selecciona una transformación de cada conjunto de opciones para hacer esta afirmación cierta.

La figura 1 puede ser transformada en la figura 3 a partir de A una reflexión transversal al eje de las yB una rotación 90° en sentido horario en torno al origen

C una traslación 7 unidades a la derecha

D una reflexión transversal al eje xE una rotación 180° en sentido horario en torno al orgienF una traslación 3 unidades a la izquierda

seguida por


21 Parte B

La figura 3 puede ser formada transformando la figura 1 con una secuencia de dos pasos. Selecciona una transformación de cada conjunto de opciones para hacer esta afirmación cierta.

La figura 1 puede ser transformada en la figura 3 a partir de A una reflexión transversal al eje de las yB una rotación 90° en sentido horario en torno al origen

C una traslación 7 unidades a la derecha

D una reflexión transversal al eje xE una rotación 180° en sentido horario en torno al orgienF una traslación 3 unidades a la izquierda

seguida por

[This object is a pull tab]R

espu

esta

B y D

Slide 69 / 227

Dilataciones


Slide 70 / 227

page1svg

/ 227

Una dilatación es una transformación en la que una figura se amplía o se reduce en torno a un punto central, utilizando un factor de escala = 0.El punto central no se altera..

Dilatación

Slide 72 / 227

El factor de escala es la razón de los lados:

Cuando el factor de escala de una dilatación es mayor que 1, la dilatación es una ampliación.

Cuando el factor de escala de una dilatación es menor que 1, la dilatación es una reducción.

Cuando el factor de escala es | 1 |, la dilatación es una identidad.

Dilatación

Slide 73 / 227

Ejemplo.

Si la pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea entera, ¿qué tipo de dilatación es esta? ¿Cuál es el factor de la escala de la dilatación?

DilataciónR

espu

esta

x

y

Slide 74 / 227

¿Qué pasó con las coordenadas con un factor de escala de 2?

A (0, 1) A' (0, 2)B (3, 2) B' (6, 4)C (4, 0) C' (8, 0)D (1, 0) D' (2, 0)

El centro para esta dilatación fue el origen (0,0) .

x

y

AA' B

B'

C C'DD'


¿Qué pasó con las coordenadas con un factor de escala de 2?

A (0, 1) A' (0, 2)B (3, 2) B' (6, 4)C (4, 0) C' (8, 0)D (1, 0) D' (2, 0)

El centro para esta dilatación fue el origen (0,0) .

x

y

AA' B

B'

C C'DD'


Res

pues

ta

Todas las coordenadas se multiplicaron por 2.

Slide 75 / 227

22 ¿Cuál es el factor de escala de la imagen se muestra a continuación? La pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea llena.

A 2B 3C -3D 4

x

y

(Answer) / 227

22 ¿Cuál es el factor de escala de la imagen se muestra a continuación? La pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea llena.

A 2B 3C -3D 4

x

y


Res

pues

taB

Slide 76 / 227

23 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto S (3, -2) despues de una dilatación con un factor de escala de 4 alrededor del origen?

A (12, -8)B (-12, -8)

C (-12, 8)D (-3/4, 1/2)


23 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto S (3, -2) despues de una dilatación con un factor de escala de 4 alrededor del origen?

A (12, -8)B (-12, -8)

C (-12, 8)D (-3/4, 1/2)


Res

pues

ta

A

Slide 77 / 227

24 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto Y (-2, 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 2.5?

A (-0.8, 2)B (-5, 12.5)C (0.8, -2)

D (5, -12.5)


24 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto Y (-2, 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 2.5?

A (-0.8, 2)B (-5, 12.5)C (0.8, -2)

D (5, -12.5)


Res

pues

ta

B

Slide 78 / 227

25 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto X (4,- 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 0.5?

A (-8, 16)B (8, -16)

C (-2, 4)D (2, -4)

(Answer) / 227

25 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto X (4,- 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 0.5?

A (-8, 16)B (8, -16)

C (-2, 4)D (2, -4)


Res

pues

ta

D

Slide 79 / 227

26 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación: (-6, 3) (-2, 1)

¿Cuál es el factor de escala?

A 3B -3

C 1/3D -1/3


26 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación: (-6, 3) (-2, 1)


A 3B -3

C 1/3D -1/3


Res

pues

ta

C

Slide 80 / 227

27 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación

(4, -9) (16, -36)


A 4B -4

C 1/4D -1/4


27 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación

(4, -9) (16, -36)


A 4B -4

C 1/4D -1/4


Res

pues

ta

A

Slide 81 / 227

28 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación:

(5, -2) (17.5, -7)


A 3B -3.75

C -3.5D 3.5

(Answer) / 227

28 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación:

(5, -2) (17.5, -7)


A 3B -3.75

C -3.5D 3.5


Res

pues

taD

Slide 82 / 22729 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una rotación?

(y no se podría haber logrado sólo mediante una reflexión)A Figura A B Figura B

C Figura C D Figura D

Slide 82 (Answer) / 22729 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una rotación?

(y no se podría haber logrado sólo mediante una reflexión)A Figura A B Figura B



Res

pues

ta

B

Slide 83 / 227

30 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión?A Figura A B Figura B



30 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión?A Figura A B Figura B



Res

pues

ta

A

Slide 84 / 227

31 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una dilatación?A Figura A B Figura B


(Answer) / 227

31 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una dilatación?A Figura A B Figura B



Res

pues

taD

Slide 85 / 22732 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una traslación?

A Figura A B Figura B


Slide 85 (Answer) / 22732 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una traslación?

A Figura A B Figura B



Res

pues

ta

C

Slide 86 / 227

Simetría


Slide 87 / 227 Slide 88 / 227

SimetríaUn eje de simetría divide una figura en dos partes que coinciden exactamente entre sí cuando se pliegue a lo largo una línea de puntos. Dibuja los ejes de simetría de cada figura a continuación, si existen.

page1svg

/ 227

¿Cuáles de estas figuras tienen simetría?Dibuja los ejes de simetría.

Simetría

Slide 90 / 227

¿Tienen simetría estas imágenes ? ¿Dónde?

Simetría

Slide 91 / 227

Will Smith con una cara simétrica.

Pensamos que nuestras caras son simétricas, pero la mayoría de las caras son asimétricas (no simétricas). Aquí hay algunas fotos de gente donde sus caras son simétricas.

Marilyn Monroe con una cara

simétrica

Simetría

Slide 92 / 227

Click sobre la imagen de abajo para aprender como hacer tu cara simétrica.

Tina Fey

Slide 93 / 227

Ocurre Simetría Rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos que un giro de 360°.

Rota la figura de abajo para ver la cantidad de veces que la figura rota sobre sí misma.

Simetría


Ocurre Simetría Rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos que un giro de 360°.

Rota la figura de abajo para ver la cantidad de veces que la figura rota sobre sí misma.

Simetría


Res

pues

ta

6 veces

/ 227

SimetríaPara determinar los grados de cada simetría rotacional: 1. Divide 360° pro el número de veces que la figura rotó sobre su misma.

2. Sigue sumando ese número hasta que alcances un número que sea mayor o igual que 360°. Nota: el número mayor que o igual a 360° no se toma en cuentaGrados de simetría = 60°, 120°, 180°, 240°, 300°

360 6

= 60°

Slide 95 / 227

Ocurre simetría rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos de 360º. Rota estas figuras. ¿Que grado de simetría rotacional tienen cada una?

Simetría

Slide 96 / 227

33 ¿Cuántos ejes de simetría tiene esta figura?

A 3B 6C 5D 4


33 ¿Cuántos ejes de simetría tiene esta figura?

A 3B 6C 5D 4


Res

pues

ta

B

Slide 97 / 227

34 ¿Cuál figura muestra una línea de simetría?

A B C D

Pull


34 ¿Cuál figura muestra una línea de simetría?

A B C D

Pull


Res

pues

ta

C

/ 227

35 ¿Cuál de los objetos no tiene simetría rotacional?

A

B

C

D

Se produce Simetría rotacional cuando una figura puede ser rotada alrededor de un punto sobre sí misma a

menos de 360º. Click para pista


35 ¿Cuál de los objetos no tiene simetría rotacional?

A

B

C

D

Se produce Simetría rotacional cuando una figura puede ser rotada alrededor de un punto sobre sí misma a

menos de 360º. Click para pista


Res

pues

ta

D

Slide 99 / 227

36 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo

A 90°

B 120°

C 180°

D 270°

Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente.

Click para pista


36 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo

A 90°

B 120°

C 180°

D 270°

Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente.

Click para pista


Res

pues

ta

C

Slide 100 / 227

37 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo. Escoge las opciones que apliquen.

A 60°

B 90°

C 120°

D 180°

E 240°

F 300°

Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente. Click para pista


37 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo. Escoge las opciones que apliquen.

A 60°

B 90°

C 120°

D 180°

E 240°

F 300°

Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente. Click para pista


Res

pues

ta

C y E

/ 227

Congruencia ySemejanza


Slide 102 / 227

Congruencia y SemejanzaLas figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño.

2 figuras son congruentes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones y / o rotaciones.

Recuerda - traslaciones, reflexiones y rotaciones conservan el tamaño y la forma de la imagen .

Slide 103 / 227

Las figuras semejantes tienen la misma forma, ángulos congruentes y lados proporcionales .

2 figuras son semejantes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones, rotaciones y / o dilataciones.

Not

as d

el p

rofe

sor

Congruencia y Semejanza

Slide 104 / 227

Click para ir a la página web

Slide 105 / 227

j

Semejanza¿Cuál sería la medida del ángulo j tiene para que las siguientes figuras sean semejantes?

180 - 112 - 33 = 35

j = 35

Slide 106 / 227

page1svg

http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=26770

http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=26770

(Answer) / 227 Slide 107 / 227

38 ¿Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes?

A

B

C

D



A

B

C

D[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

D

Slide 108 / 227


A

B

C

D



A

B

C

D


Res

pues

ta

B

Slide 109 / 227

40 ¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras?

A congruentesB semejantesC ni congruentes ni semejantes

(Answer) / 227




Res

pues

taB

Slide 110 / 227







Res

pues

ta

A

Slide 111 / 227







Res

pues

ta

C

Slide 112 / 227

Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes.

Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena.

(Answer) / 227




Res

pues

ta

CongruenteTraslada 9 a la derechaRota 90º sentido horario en torno a (1, 2)

ó Rota 90° sentido horario sobre el origen Traslada 1 a la izquierda 1 y 6 abajo(x, y) (y, -x) (x2 - 1, y2 - 6)

Slide 113 / 227







Res

pues

ta CongruenteRefleja transversal al eje xTraslada 2 a la izquierda

(x, y) (x, -y) (x2 - 2, y2)

Slide 114 / 227



Click en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario.






Res

pues

ta

SimilarDilatación Factor de escala 0.5 alrededor del origenRefleja transversal al eje y

(x, y) (0.5x, 0.5y) (-x2, y2)

Slide 115 / 227




(Answer) / 227





SimilarDilatación Factor de escala 2 sobre el origen.Traslada 7 arriba, 5 izquierda

(x, y) (2x, 2y) (x2-5, y2+7)

Slide 116 / 227

Pares Especiales de Ángulos


Slide 117 / 227Recuerda:

· Ángulos Complementarios son dos ángulos cuya suma da 90 grados

Estos dos ángulos son complementarios porque su suma es 90.

Observa que forman un ángulo recto cuando se colocan juntos.

· Ángulos Suplementarios son dos ángulos cuya suma da 180 grados.

Estos dos ángulos son suplementarios porque su suma es 180.

Observa que forman un ángulo llano cuando se colocan juntos.

Slide 118 / 227

Los ángulos verticales o ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos que están opuestos entre sí cuando se cruzan dos rectas

En este ejemplo, los ángulos opuestos por el vértice son:

Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Entonces:

12

34

∠1 y ∠3∠2 y ∠4

m∠1 = m∠3m∠2 = m∠4

Slide 119 / 227

Los ángulos opuestos por el vértice pueden explicarse además usando la transformación de la reflección.

Transformaciones

La recta x corta a los ángulos 1 y 3 a la mitad

Cuando el ángulo 2 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 4.

Cuando el ángulo 4 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 2.

x2

41 3

∠2 ≅ ∠4 ∠4 ≅ ∠2

Slide 120 / 227

y

12

43

La recta y corta a los ángulos 2 y 4 a la mitad.

Cuando el ángulo 1 se refleja sobre la recta y, se forma el ángulo 3.

Cuando se refleja el ángulo 3 sobre la recta y, se forma el ángulo 1.

Transformaciones

∠1 ≅ ∠3 ∠3 ≅ ∠1

page1svg

/ 227

Uando lo que sabes acerca de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice, encuentra la medida de los ángulos que faltan.

Por medio de los opuestos por el vértice:

Por medio de los ángulos Suplementarios:

ClickClick

23

1

Slide 122 / 227

43 ¿Los ángulos 2 y 4 están opuestos por el vértice?

12

34

Si

No



12

34

Si

No


Res

pues

ta

Sí

Slide 123 / 227


12

34

Si

No



12

34

Si

No


Res

pues

ta

No

Slide 124 / 227

45 Si el ángulo 1 es de 60 grados , ¿cuál es la medida del ángulo 3? Debes ser capaz de explicar por qué

21 3

4

A 30 o

B 60 o

C 120 o

D 15 o

(Answer) / 227


21 3

4

A 30 o

B 60 o

C 120 o

D 15 o


Res

pues

ta

B- Opuestos por el vértice son congruentes

Slide 125 / 227


21

34

A 30 o

B 60 o

C 120 o

D 15 o



21

34

A 30 o

B 60 o

C 120 o

D 15 o


Res

pues

ta

CSon ángulos suplementarios.

Los ángulos suplementarios

suman 180°

Slide 126 / 227

Los ángulos adyacentes son dos ángulos que están uno junto al otro y tienen una semirrecta común entre ellos. Esto significa que están en el mismo plano y que no comparten los puntos internos

A

B

C

D

es adyacente a

¿Cómo te das cuenta?· Tienen un lado común (semirrecta )· Tienen un vértice común (punto B)

Slide 127 / 227

¿Adyacente o No Adyacente? ¡Tu Decides!

ab a

b

a

b

Adyacente No Adyacente No Adyacenteclick para revelarclick para revelarclick para revelar

Slide 128 / 227

47 ¿Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro?

A 1 y 4

B 2 y 4

1

23

456

(Answer) / 227


A 1 y 4

B 2 y 4

1

23

456


Res

pues

ta

A

Slide 129 / 227


A 3 y 6

B 5 y 4

12

34 5

6



A 3 y 6

B 5 y 4

12

34 5

6 [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

A

Slide 130 / 227

Actividad Interactiva -Click Aquí

A

PQ

RB

A

E

F

Una transversal es una recta que corta transversalmente dos o más (por lo general ) rectas paralelas.

Slide 131 / 227

Recuerda desde el 3º gradoFormas y Perímetros

Rectas Paralelas son un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan (tocan).

Slide 132 / 227

Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a cada intersección.

En este diagrama los ángulos correspondientes son:

1 28 3

7 4

6 5

Tran

sver

sal

http://www.mathopenref.com/transversal.html

(Answer) / 227

Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a cada intersección.

En este diagrama los ángulos correspondientes son:

1 28 3

7 4

6 5

Tran

sver

sal


Res

pues

ta ∠1 y ∠7∠2 y ∠4∠3 y ∠5∠8 y ∠6

Slide 133 / 227

49 ¿Cuáles son los pares de ángulos correspondientes?

A 2 y 6

B 3 y 7C 1 y 8

1 2

3 4

5 6

7 8


49 ¿Cuáles son los pares de ángulos correspondientes?

A 2 y 6

B 3 y 7C 1 y 8

1 2

3 4

5 6

7 8


Res

pues

ta

A y B

Slide 134 / 227

50 ¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?

A 2 y 6

B 3 y 1C 1 y 8

1

23

4

56

78



A 2 y 6

B 3 y 1C 1 y 8

1

23

4

56

78


Res

pues

ta

B

Slide 135 / 227


A 1 y 5

B 2 y 8C 4 y 8

1 2

3 4

56

7 8

(Answer) / 227


A 1 y 5

B 2 y 8C 4 y 8

1 2

3 4

56

7 8


Res

pues

ta

A, C

Slide 136 / 227


1

2

3

45

6

7

8

A 2 y 4

B 6 y 5

C 7 y 8

D 1 y 3



1

2

3

45

6

7

8

A 2 y 4

B 6 y 5

C 7 y 8

D 1 y 3 [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

A, B, C, D

Slide 137 / 227

Los ángulos alternos externos están en lados opuestos de la transversal y en el exterior de las rectas dadas.

En este diagrama los ángulos alternos externos son:

¿Qué recta es la transversal?

12

8 3

7 4

6 5

k

m

n


Los ángulos alternos externos están en lados opuestos de la transversal y en el exterior de las rectas dadas.

En este diagrama los ángulos alternos externos son:

¿Qué recta es la transversal?

12

8 3

7 4

6 5

k

m

n


Res

pues

ta

k es la transversal.

∠1 y ∠5∠2 y ∠6

Slide 138 / 227

Los ángulos interiores alternos están en lados opuestos de la transversal y en el interior de las rectas dadas.

En este diagrama los ángulos alternos internos son:

12

8 3

7 4

6 5

k

m

n

(Answer) / 227

Los ángulos interiores alternos están en lados opuestos de la transversal y en el interior de las rectas dadas.

En este diagrama los ángulos alternos internos son:

12

8 3

7 4

6 5

k

m

n


Res

pues

ta

∠4 y ∠8∠3 y ∠7

Slide 139 / 227

Los ángulos interiores del mismo lado están en el mismo lado de la transversal y en el interior de las rectas dadas

En este diagrama los ángulos interiores del mismo lado son:

12

8 3

7 4

6 5

k

m

n


Los ángulos interiores del mismo lado están en el mismo lado de la transversal y en el interior de las rectas dadas

En este diagrama los ángulos interiores del mismo lado son:

12

8 3

7 4

6 5

k

m

n


Res

pues

ta

∠3 y ∠4∠7 y ∠8

Slide 140 / 227

53 ¿Los ángulos 2 y 7 son alternos externos?

1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No



1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No


Res

pues

ta

No

Slide 141 / 227


1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No

(Answer) / 227


1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No


Res

pues

ta

Sí

Slide 142 / 227


1 3

5 7

2 46 8

m

n

l

No

Si



1 3

5 7

2 46 8

m

n

l

No

Si


Res

pues

ta

No

Slide 143 / 227

56 ¿Qué ángulo es correspondiente al ángulo 5?

A

B

C

D1 3

5 7

2 46 8

m

n

l


56 ¿Qué ángulo es correspondiente al ángulo 5?

A

B

C

D1 3

5 7

2 46 8

m

n

l


Res

pues

ta

D

Slide 144 / 227

57 ¿Qué par de ángulos tienen el mismo lado interior?

A

B

C

D1 3

5 7

2 46 8

m

n

l

(Answer) / 227

57 ¿Qué par de ángulos tienen el mismo lado interior?

A

B

C

D1 3

5 7

2 46 8

m

n

l


Res

pues

taB

Slide 145 / 227

58 ¿Qué tipo de ángulos son y ?

A Ángulos alternos internos B Ángulos alternos externos

C Ángulos correspondientes

D Opuestos por el vértice

1 3

5 7

2 46 8

m

n

l

E Mismo lado interior





D Opuestos por el vértice

1 3

5 7

2 46 8

m

n

l



Res

pues

ta

B

Slide 146 / 227




D Ángulos opuestospor el vértice

1 3

5 7

2 46 8

m

n

l






D Ángulos opuestospor el vértice

1 3

5 7

2 46 8

m

n

l



Res

pues

ta

E

Slide 147 / 227




D Ángulos opuestos por el vértice

1 3

5 7

2 46 8

m

n

l


(Answer) / 227




D Ángulos opuestos por el vértice

1 3

5 7

2 46 8

m

n

l

E Mismo lado interior[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

C

Slide 148 / 227

61 ¿Los ángulos 5 y 2 son alternos internos?

1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No



1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No


Res

pues

ta

No

Slide 149 / 227


1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No



1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No


Res

pues

ta

No

Slide 150 / 227


Pull

1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No

(Answer) / 227


Pull

1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No


Res

pues

ta

Sí

Slide 151 / 227


1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No



1 3

5 7

2 46 8

m

n

lSi

No


Res

pues

ta

Sí

Slide 152 / 227

1 35 7

2 46 8

l

m

n

Estos casos especiales aún se pueden explicar mediante las transformaciones de reflexión y traslación

Casos Especiales Si rectas paralelas son cortadas por una transversal entonces:· Los Ángulos Correspondientes son congruentes· Los Ángulos Alternos Internos son congruentes· Los Ángulos Alternos Externos son congruentes· Los Ángulos del Mismo lado Interior son suplementarios

Por lo tanto:

son suplementarios

son suplementarios

Slide 153 / 227 Slide 154 / 227

1 35 7

2 46 8

l

m

n

d

c

Reflexiones. Continuación

La recta d corta los ángulos 2 y 8 a la mitad.Cuando el ángulo 4 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 6.Cuando el ángulo 6 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 4.

La recta c corta los ángulos 1 y 7 a la mitad. Cuando el ángulo 3 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 5.Cuando el ángulo 5 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 3.

/ 227

Traslaciones1 3

5 7

m

2 46 8

l

n

La recta m es paralela a la recta l.

Si la recta m se traslada y unidades hacia abajo, se solapará con la recta l.2 4

6 8

l

n

1 35 7

m

Slide 156 / 227

Traslaciones ContinuaciónSi la recta m se traslada entonces x unidades a la izquierda, todos los ángulos formados por las rectas m y n se superponen con los ángulos formados por las rectas l y n.2 4

6 8

l

n

1 35 7

m

Las traslaciones también funcionan si la recta l se traslada y unidades hacia arriba y x unidades a la derecha

1 35 7

m2 46 8

l

n

Slide 157 / 227

65 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Qué ángulos son congruentes con el ángulo dado?

4 56

2 71 8

l

m

n

A <4, <5, <6B <5, <7, <1

C <2D <5, <1


65 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Qué ángulos son congruentes con el ángulo dado?

4 56

2 71 8

l

m

n

A <4, <5, <6B <5, <7, <1

C <2D <5, <1


Res

pues

ta

B

Slide 158 / 227

66 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Cuáles son las medidas de los ángulos 4, 6, 2 y 8?

4 56

2 71 8

l

m

n

A 50 o

B 40 o C 130 o


66 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Cuáles son las medidas de los ángulos 4, 6, 2 y 8?

4 56

2 71 8

l

m

n

A 50 o

B 40 o C 130 o


Res

pues

ta

C

/ 227

67 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Que ángulos son congruentes con el ángulo dado?

1 3

5 7

2 48

m

n

lA <4B <4, <5, <3 C <2D <8


67 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Que ángulos son congruentes con el ángulo dado?

1 3

5 7

2 48

m

n

lA <4B <4, <5, <3 C <2D <8


Res

pues

ta

A

Slide 160 / 227

68 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 4 y 8 respectivamente?

1 3

5 7

2 48

m

n

l

A 55 o, 35 o, 55 0

B 35 o, 35 o, 35 o

C 145 o, 35 o, 145 o


68 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 4 y 8 respectivamente?

1 3

5 7

2 48

m

n

l

A 55 o, 35 o, 55 0

B 35 o, 35 o, 35 o

C 145 o, 35 o, 145 o


Res

pues

ta

C

Slide 161 / 227

69 Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación justifica por qué ?

A Sólo Reflexión B Sólo Traslación C Reflexión y TraslaciónD Los ángulos NO son Congruentes

13

57

24

68

b

a

t




13

57

24

68

b

a

t


Res

pues

ta

A

/ 22770 Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación

justifica por qué ?

A Sólo Reflexión B SóloTraslación C Reflexión y TraslaciónD Los ángulos NO son Congruentes

13

57

24

68

b

a

t

Slide 162 (Answer) / 22770 Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación

justifica por qué ?

A Sólo Reflexión B SóloTraslación C Reflexión y TraslaciónD Los ángulos NO son Congruentes

13

57

24

68

b

a

t


Res

pues

ta

C

Slide 163 / 227



13

57

24

68

b

a

t




13

57

24

68

b

a

t


Res

pues

ta

D

Slide 164 / 227

Aplicando lo que hemos aprendido para probar algunos hechos interesantes de

matemática

Slide 165 / 227

Podemos usar lo que hemos aprendido para establecer alguna información interesante sobre triángulos.

Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo = 180.

¡Vamos a ver por qué!

Dado

B

A C

/ 227

A través de B vamos a dibujar una recta paralela a AC.Luego entonces tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal.Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 180°.

l

m

n p

B

A C2

1

Slide 167 / 227

l

mn

p

B

A C2

1

1. ∠C ≅ ∠1 si 2 dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes.

Slide 168 / 227

l

mn

p

B

A C2

1

2. ∠2 = ∠B + ∠1 porque si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores alternos son congruentes.

Slide 169 / 227

l

mn

p

B

A C2

1

3. ∠A es suplementario con ∠2 porque si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.

Slide 170 / 227

4. De manera que, ∠A + ∠2 = ∠A + ∠B + ∠1 = ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

l

mn

p

B

A C2

1

Slide 171 / 227

Vamos a mirarlo de esta otra manera...

1. ∠A ≅ ∠2 porque si 2 rectas parelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

l

m

n

p

B

A C

12

/ 227

l

p

B

A C

12

m

n

2. ∠C ≅ ∠1 porque si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

Slide 173 / 227

l

m

n

p

B

A C

12

3. ∠2 + ∠B + ∠1 = 180°, ya que los tres ángulos forman una línea recta.

Slide 174 / 227

l

m

n

p

B

A C

12

4. De manera que, ∠2 + ∠B + ∠1 = ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Slide 175 / 227

Ángulos exteriores remotos


Slide 176 / 227

Teorema del ángulo exterior - la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores remotos.

B

A C1

Ángulo exterior

Ángulos interiores remotos

Dados

Slide 177 / 227

Usaremos lo que hemos aprendido sobre ángulos especiales para ver "por qué" y "cómo" el Teorema del Ángulo Exterior Remoto funciona y luego vamos a practicar aplicando este Teorema.

page1svg

/ 227

Vamos a dibujar una recta que pase por B y que sea paralela a AC.Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal.Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la medida de ∠1 = suma de las medidas de ∠B y ∠C.

l

m

n p

B

A C

2

1

Slide 179 / 227

l

m

n p

B

A C

2

1

1. ∠C ≅ ∠2 porque si 2 rectas paralelas están cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

Slide 180 / 227

l

m

n p

B

A C

2

1

2. ∠1 = ∠B + ∠2 porque si tdos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores alternos son congruentes.

Slide 181 / 227

3. A sí que, ∠1 = ∠B + ∠2 = ∠B + ∠C.

l

m

n p

B

A C

2

1

Slide 182 / 227 Slide 183 / 227

Ejemplo¿Cuál es la medida del ángulo v en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala.

2

163° = m∠2 + 27°m∠2 = 136°

/ 227

¿Cuál es la medida del ángulo q en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala.

3

125° = m∠3 + 95°m∠3 = 30°

Slide 185 / 227

Calcula el valor de x. El diagrama NO está a escala.

Slide 186 / 227 Slide 186 (Answer) / 227

Slide 187 / 227

73 ¿Cuál es la medida del ángulo 5 en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

5



5


Res

pues

ta

/ 227


6



6


Res

pues

ta

Slide 189 / 227

75 Calcula el valor de x en el diagrama de abajo. El diagrama NO está hecho a escala.

Los alumnos escriben sus respuestas aquí

(x + 5)°

(10x - 34)°(x - 7)°


Slide 190 / 227

76 ¿Cuál es el valor de x en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

(2x - 3)°

(3x)°

172°


/ 227

Ejemplo

p

r

g h

1 2 3456

7 8910

11 121314

Nombra los pares de ángulos cuya suma sea igual a m∠9.


Ejemplo

p

r

g h

1 2 3456

7 8910

11 121314

Nombra los pares de ángulos cuya suma sea igual a m∠9.


Res

pues

ta

m∠5 + m∠4 y m∠1 + m∠2

Slide 192 / 227

77 Elige la expresión que hace que esta afirmación sea cierta:

p

r

g h

1 2 3456

7 8910

11 121314

A

B

C

D

m∠12 =

m∠1 + m∠6

m∠4 + m∠5

m∠5 + m∠6

m∠3 + m∠4


77 Elige la expresión que hace que esta afirmación sea cierta:

p

r

g h

1 2 3456

7 8910

11 121314

A

B

C

D

m∠12 =

m∠1 + m∠6

m∠4 + m∠5

m∠5 + m∠6

m∠3 + m∠4


Res

pues

ta

C

Slide 193 / 227 Slide 193 (Answer) / 227

/ 227

Ejemplo

p

r

g h

1 2 3456

7 8910

11 121314

¿Qué ángulos son congruentes al ángulo 9?


Ejemplo

p

r

g h

1 2 3456

7 8910

11 121314

¿Qué ángulos son congruentes al ángulo 9?


Res

pues

ta

Slide 195 / 227

Glosario


Slide 196 / 227

Volver

al tema

Ángulos adyacentes

Dos ángulos que están al lado uno de otro y tienen un segmento común.

ab a

ba b

Slide 197 / 227

Ángulos exteriores alternos

Cuando dos rectas se cruzan con otra recta, los pares de ángulos en los lados opuestos de la recta

transversal pero del lado de afuera de las dos rectas.

a b

c d a b c d

a

b c

d

Volver

al tema

Slide 198 / 227

Cuando dos rectas se cruzan por otra recta, son los pares de ángulos ubicados en los lados opuestos de

la transversal pero dentro de las dos rectas

a b

c d

a b c d

a b c

d

Volver

al tema

Ángulos interiores alternos

page1svg

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/ 227

Asimétrico

Algo que no es simétrico.

Volver

al tema

Slide 200 / 227

Ángulos complementarios

Dos ángulos con una suma de 90 grados.

Volver

al tema

=

90o

+45o

45o

+ 60o

30o CForma derecordar:

Dibujando una línea extra w, a la"C",

formas un 9 para 90°

Slide 201 / 227

CongruenteAlgo que tiene igual

forma y tamaño. Dos cosas que

son equivalentes.

ángulos

formas

30o

30o

Volver

al tema

segmentos

Slide 202 / 227

Ángulos correspondientes

a

a

b

b c

c d

d a a b b c c d d

a

a b

b c

c d

d

Volver

al tema

Ángulos que están sobre el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a

cada intersección.

Slide 203 / 227

dilatación(aumento)

DilataciónUna transformación por la cual una figura se aumenta o reduce de tamaño alrededor de un punto central. Se

utiliza una escala de un factor distinto de cero.

Cada coordenada se multiplica por 2!

A:(0,1)

C:(3,0)B:(3,2)

A':(0,2)

C':(6,0)B':(6,4)

la forma queda igual!

Volver

al tema

Slide 204 / 227

Ampliación

Es una dilatación donde el factor de escala es más grande que uno.

> 1 la imagen es más grande que la

pre-imagen

{ {36

S. F. = 2 > 1

3= 2( 6 )

Volver

al tema

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page128svg

page24svg

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/ 227

IdentidadUna dilatación donde el factor de escala es uno.

= 1 la imagen es igual a la

pre-imagen

S. F. = 1 = 1

{6

6= 1( 6 )

Volver

al tema

Slide 206 / 227

después de

trasladardespués de

aumentar

después de

rotar

ImagenUna figura que se arma después de una

transformación de una pre-imagen.

Volver

al tema

Slide 207 / 227

Eje de simetría

La línea imaginaria donde se podría plegar la imagen y obtener dos mitades que coinciden

exactamente.

puede ser

más que uno!

Volver

al tema

Slide 208 / 227

Rectas paralelas

Un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan, (no se tocan).

Volver

al tema

Slide 209 / 227

Punto de rotación

Un punto sobre una figura o sobre otro punto que hace rotar a una figura a su

alrededor.

punto afuera de la figura punto en el medio de la figura

punto en el lado de la figura

Volver

al tema

Slide 210 / 227

Pre-ImagenLa figura original antes de la transformación.

antes de la

traslaciónantes de la dilatación

antes de la

rotaciónVolver

al tema

page141svg

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page41svg

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page8svg

page6svg

/ 227

ReducciónUna dilatación donde el factor de escala es

menor que uno.

< 1la imagen es más pequeña que la

pre- imagen

S. F. = 1/2 < 1

{ {36

6= ( 3 )2

1

Volver

al tema

Slide 212 / 227

ReflexiónUna vuelta sobre una línea que forma una imagen

espejo de la figura, donde cada punto en el imagen tiene la misma distancia desde la recta

que el punto original.

reflexión(movimiento)

{ 6 { 6igual distancia a t

{3 3{

6 6

{ {

Observa la línea de reflexión!

arriba recta ttt

Volver

al tema

Slide 213 / 227

rotación

(movimiento)

RotaciónUn giro que mueve a una figura alrededor

de un punto.

A

La figura se rota 90° en

sentido antihorario

alrededor de un punto A.

etiquetado por:

y punto de rotación

direcciónA

Volver

al tema

Slide 214 / 227

Simetría rotacional

Una transformación donde una figura puede ser rotada menos de 360° alrededor de un punto o de

sí misma.

90o

Volver

al tema

Slide 215 / 227

Ángulos interiores del mismo lado

Cuando dos rectas son cruzadas por otra recta, los pares de ángulos sobre el mismo lado de la

transversal pero adentro de las dos rectas.

a b

c d

a b c d

a b c

d

Volver

al tema

Slide 216 / 227

Factor de escala

La razón de los lados de una imagen y los lados de una pre- imagen.

= 0

{ {36

Factor de escala = 2

36 = 2)(

Volver

al tema

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page24svg

page42svg

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/ 227

SemejantesDos cosas que tienen la misma forma, ángulos

congruentes y lados proporcionales.

congruente

no semejante!

Volver

al tema

Slide 218 / 227

Ángulos suplementarios

Son ángulos que suman 180 grados.

Volver

al tema

+

+180o

180o

=

=90o 90o

80o

100o

SForma

de recordar

Dibujando la línea extraw/ a la "S", formas

un 8, para 180°

Slide 219 / 227

TransformaciónMovimiento, aumento o disminución de una

forma mientras mantiene igual medida de sus ángulos y proporcionales las longitudes de

sus segmentos.

traslación

(movimiento)

rotación

(movimiento)

dilatación(aumento)

Volver

al tema

Slide 220 / 227

traslación

(movimiento)

TraslaciónUna figura movida a una posición diferente

(izquierda, derecha, arriba, abajo) sin cambio en su tamaño o forma y sin girarla o darla vuelta.

mueve a la derecha 6 unidades

mueve arriba 4 unidades

establece la regla:

( x + 6, y + 4 ) ( x + a, y + b )

Volver

al tema

Slide 221 / 227

Transversal Una recta que corta cruzando dos o más

rectas (usualmente paralelas).

Volver

al tema

Slide 222 / 227

VérticePunto donde dos o más

líneas rectas/caras/aristas se encuentran.

Una esquina.

A

CBvértice

vérticevértice

Un triángulo

tiene 3 vértices.

Volver

al tema

También se

encuentra en

los ángulos!

page36svg

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page6svg

page24svg

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page119svg

/ 227

Ángulos opuestos por el vértice (ángulo vertical)

Dos ángulos opuestos uno al otro cuando dos rectas se intersecan.

Volver

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70o

70o

110o110o

120o

120o

60oX

x = 60o

Forma de recordar

Los ángulos verticales forman 2 "V" yendo en direcciones opuestas

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