7 TRANSFERENCIA DE CALOR NÉSTOR GOODING.pdf

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TRANSFERENCIA

DE

CALOR

CONTIENE :

FUNDAMENTOS TEORICOS

94 PROBLEMAS RESUELTOS

264 PROBLEMAS PROPUESTOS

NESTOR GOODING GARAVITO

INGENIERO QUIMICO

PROFESOR ASOCIADO

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEGUNDA EDICION

2008



TABLA DE CONTENIDO

CAPITULO 1 - INTRODUCCION 1

Conducción – Convección – Radiación – Problemas resueltos – ProblemasPropuestos.

CAPITULO 2 - CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL 11

Ecuación básica de energía – Placa plana – Sistemas radiales – Conduccióncon conductividad térmica variable – Condiciones de contorno con convección –Coeficiente global de transferencia de calor – Espesor crítico de aislamiento –Sistemas con generación de calor – Transferencia de calor desde aletas –Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 3 - CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL 39

Solución analítica – Solución gráfica – Análisis numérico – Analogía eléctricapara la conducción bidimensional – Problemas resueltos – Problemaspropuestos.

CAPITULO 4 - CONDUCCION NO ESTACIONARIA 65

Sistemas de capacidad térmica global – Números de Biot y Fourier – Flujo decalor transitorio en un sólido semi-infinito – Condiciones de contornoconvectivas – Soluciones gráficas (Diagramas de Heisler) – Sistemasmultidimensionales – Análisis numérico – Problemas resueltos – Problemaspropuestos.

CAPITULO 5 - CONVECCION FORZADA 109

Capa límite hidrodinámica – Capa límite hidrodinámica y laminar en unasuperficie plana isotérmica – Capa límite térmica – Número de Nusselt ycoeficiente de transferencia de calor – Analogía entre la transferencia de calor yla fricción – Transferencia de calor en una placa con convección forzada enrégimen turbulento – Procedimiento de cálculo en convección forzada para flujosobre placas planas – Flujo por el interior de tubos – Flujo a través deconductos no circulares – Flujo transversal a cilindros – Flujo a través de haces



de tubos – Relaciones empíricas para convección forzada – Problemasresueltos - Problemas propuestos.

CAPITULO 6 - CONVECCION NATURAL 151

Ecuaciones para la convección natural en una placa plana vertical – Parámetrosadimensionales – Coeficiente local de transferencia de calor – Coeficientemedio de transferencia de calor – Relaciones empíricas para convección natural – Ecuaciones simplificadas para el aire – Problemas resueltos – Problemaspropuestos.

CAPITULO 7 - CONDENSACION Y EBULLICION 173

Condensación – Tubos verticales – Tubos horizontales – Condensación enpelícula turbulenta - Ebullición – Ebullición en recipientes – Relacionessimplificadas para el agua – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 8 - INTERCAMBIADORES DE CALOR 191

Tipos de intercambiadores de calor – Coeficiente global de transferencia decalor – Temperatura media logarítmica – Método del NTU–Rendimiento -Factor de suciedad – Problemas resueltos – Problemas propuestos.

CAPITULO 9 - RADIACION 229

Propiedades y definiciones – Radiación del cuerpo negro – Superficies reales y

cuerpo gris – Intercambio de calor entre cuerpos negros (factor de forma) –Intercambio de calor entre cuerpos grises – Pantallas de radiación – Problemasresueltos – Problemas propuestos.

TABLAS 271

BIBLIOGRAFIA



CAPITULO 1

INTRODUCCION

El área de la ingeniería conocida como ciencia térmica incluye la termodinámica y la transferencia de calor . El papel de la transferencia de calor es

complementar la termodinámica, la cual considera sólo sistemas en equilibrio,con leyes adicionales que contemplan la rapidez con que se transfiere dichaenergía.

Estas leyes están basadas en las tres formas fundamentales de transferenciade calor, comunmente llamadas conducción, convección y radiación.

1.1 CONDUCCION

Un gradiente de temperaturas dentro de una sustancia homogénea, da comoresultado una transferencia de energía, que según la termodinámica, debeefectuarse desde la región de alta temperatura hasta la región de bajatemperatura. Se dice que la energía se ha transferido por conducción y que elflujo de calor es proporcional al gradiente normal de temperatura. Dicho flujo decalor puede ser calculado por la expresión:

∂Tq = - k A ⎯⎯

∂x

donde q es el flujo de calor, (∂T/∂x) es el gradiente de temperaturas en ladirección normal al área A. La constante positiva k se llama conductividadtérmica del material y se coloca el signo menos para satisfacer el segundoprincipio de la termodinámica, es decir, que el calor debe fluir en el sentido de

las temperaturas decrecientes. La ecuación anterior se denomina ley de Fourier y las unidades de k son vatio por metro y por grado Celsius en un sistema deunidades en el que el flujo de calor se expresa en vatios.

Si el perfil de temperaturas dentro del medio es lineal (ver figura), es posiblereemplazar el gradiente (derivada parcial) por:



TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2

ΔT T2 – T1 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯

Δx x2 – x1

La linealidad anterior siempre existe en un medio homogéneo de conductividad

térmica constante y con transferencia de calor en estado estacionario.

La transferencia de calor en estado estacionario ocurre cuando la temperaturade cada punto dentro del cuerpo, incluyendo las superficies, es independientedel tiempo. Si la temperatura cambia con el tiempo (τ), la energía se estáalmacenando o removiendo desde el cuerpo. Este flujo de energía es:

∂Tqalmacenada = m cP ⎯⎯⎯

∂τ

donde la masa m es el producto del volumen V y la densidad ρ.

1.2 CONVECCION

Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido y si lastemperaturas del fluido y del sólido son diferentes, habrá transferencia de calorentre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido yla superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se le denominaconvección. Se dice que existe convección forzada si el movimiento es inducido

T

T1

T2

xx1 x2



CAPITULO 1 : INTRODUCCION

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3

artificialmente, bomba o ventilador que impulse el fluido sobre la superficie. Sedice que existe convección libre (o natural) si el movimiento del fluido esocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas

por diferencias de temperatura en el fluido.

Si la temperatura del fluido es T∞ y la temperatura de la superficie del sólido esTs el calor transferido por unidad de tiempo está dado por:

q = h A (Ts - T∞)

La ecuación anterior es conocida como la ley de Newton del enfriamiento,donde A es el área de la superficie y h se denomina coeficiente de transferenciade calor por convección. Las unidades de h son vatio por m2 y por gradoCelsius, cuando el flujo de calor se expresa en vatios. La determinación de estecoeficiente se hace analíticamente, pero en situaciones complejas debe hacerseexperimentalmente.

Es importante notar que el intercambio fundamental de energía en el límitesólido-fluido es por conducción y que dicha energía es llevada por convección através del fluido. Por comparación de las ecuaciones para conducción y

convección puede obtenerse:

h A (Ts - T∞) = - k A (∂T/∂y) y=0

donde el sub-índice en el gradiente de temperaturas indica su evaluación paray=0.

1.3 RADIACION

La transferencia de calor por conducción y por convección requieren de unmedio material para la propagación de la energía. Sin embargo, el calor puedepropagarse en el vacío absoluto mediante el mecanismo de radiación. A unatemperatura dada, todos los cuerpos emiten radiación en forma de energía

electromagnética en diferentes longitudes de onda, siendo la radiacióndependiente de la temperatura absoluta del cuerpo y de sus característicassuperficiales. Evidencias experimentales indican que la transferencia de calorpor radiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta.La ley de Stefan-Boltzmann es:

q = σ A T4




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4

donde T es la temperatura absoluta. La constante σ es independiente de lasuperficie, medio y temperatura, se denomina constante de Stefan-Boltzmann y

su valor es 5,669 x 10-8

W/m2

K4

.

El emisor ideal o cuerpo negro, es aquel cuya energía radiante está dada por laecuación anterior. Todas las demás superficies emiten algo menos de éstacantidad de energía y la emisión térmica de muchas superficies (cuerpos grises)puede representarse por:

q = ε σ A T4

donde ε es la emisividad de la superficie, que relaciona la radiación de lasuperficie “gris” con la de la superficie ideal negra, su valor esta en un intervalode 0 a 1.

La radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura absoluta T1 haciauna envolvente a temperatura T2 que lo rodea completamente y la cual secomporta también como cuerpo negro, puede evaluarse mediante la expresión:

q = σ A1 (T14 – T24)

Por otra parte, la radiación emitida por un cuerpo gris a una temperatura T1 hacia la misma envolvente a temperatura T2, puede calcularse ahora mediantela expresión:

q = ε1 σ A1 (T14 – T2

4)

Si se considera la radiación entre dos cuerpos grises a temperaturas absolutasT1 y T2 respectivamente, el flujo neto de energía radiante entre ellos puedecalcularse mediante la expresión:

q = σ F A1 (T14 – T2

4)

donde F es una función que depende de las emisividades de ambos cuerpos yde la fracción de energía radiante emitida por el cuerpo 1 que es interceptada

por el cuerpo 2.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1 Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área a través de un

bloque homogéneo de 4 cm de espesor con sus dos caras mantenidas atemperaturas uniformes de 40ºC y 20ºC. La conductividad térmica delmaterial es 0.1903 W/m oC.

q T2 – T1 W (20 – 40) oC W ⎯ = - k ⎯⎯⎯⎯ = - 0.1903 ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 95.15 ⎯⎯⎯ A x2 – x1 m oC 0.04 m2

1.2 Una cara de una placa de cobre ( k = 370 W/m oC ) de 3 cm de espesor semantiene a 450ºC y la otra cara se mantiene a 80ºC. ¿Qué cantidad decalor se transfiere a través de la placa?

q ΔT (80 – 450) MW ⎯ = -k ⎯⎯ = - 370 ⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.56 ⎯⎯⎯ A Δx 0.03 m2

1.3 El coeficiente de transferencia de calor por convección forzada para unfluido caliente que circula sobre una superficie fría es 226.8 W/m2 oC. Latemperatura del fluido es 120ºC y la superficie está a 10ºC. Determinar elflujo de calor transferido por unidad de área desde el fluido hasta lasuperficie.

q W W ⎯ = h (T∞ - Ts) = 226.8 ⎯⎯⎯ x (120 – 10) oC = 24948 ⎯⎯ A m2 oC m2

1.4 Sobre una placa caliente de 60 x 90 cm que se mantiene a 280ºC pasa airea 18ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 25 W/m2 oC. Calcular el flujo de calor transferido.

q = h A (Ts - T∞) = 25 W/m2 oC x (0.6 x 0.9) m2 x (280 – 18) oC = 3.537 kW

1.5 Una corriente eléctrica pasa por un hilo de 1 mm de diámetro y 15 cm delargo. El hilo se encuentra sumergido en agua líquida a la presiónatmosférica y se incrementa la corriente interior hasta que el agua hierve.Si h = 5000 W/m2 oC y la temperatura del agua es 100ºC. ¿Cuánta potenciaeléctrica se debe suministrar al hilo para mantener su superficie a 118 ºC?




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6

El área superficial del hilo será:

A = π D L = π (0.001) (0.15) = 4.71 x 10-4

m2

q = h A (Ts - T∞) = 5000 W/m2 oC x 4.71 x 10-4 m2 x (118 – 100) oC = 42.39 W

1.6 Luego de una puesta del sol, la energía radiante puede ser percibida poruna persona parada cerca de una pared de ladrillo. Tales paredes confrecuencia tienen una temperatura en su superficie de 44ºC y el valor de laemisividad del ladrillo es del orden de 0.92. ¿Cuál podría ser el flujo deradiación térmica por m2 desde la pared de ladrillo?

q W W ⎯ = ε σ T4 = 0.92 x 5,669 x 10-8 ⎯⎯⎯ x (44+273)4 k4 = 526.6 ⎯⎯ A m2 k4 m2

1.7 Dos placas infinitas a 800oC y 300oC intercambian calor por radiación.Calcular el calor transferido por unidad de área.

q W kW ⎯ = σ (T1

4 – T24) = 5,669 x 10-8 ⎯⎯⎯ x (10734 – 5734) k4 = 69.03 ⎯⎯

A m2 K4 m2

1.8 Un termopar de 0.8 mm de diámetro se emplea para medir la temperaturadel aire en un horno eléctrico. La lectura del termopar es de 150ºC. Sesabe, sin embargo, que el flujo de calor por radiación que recibe eltermopar de la pared del horno es igual a 0.001 W/cm de longitud. Elcoeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m2 oC.Estimar la temperatura correcta del aire en el horno.

q W W ⎯ = h π D (Ts - T∞) = 0.001 ⎯⎯ = 0.1 ⎯⎯ L cm m




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q / L 0.1 W/mT∞ = Taire = Ts - ⎯⎯⎯ = 150ºC - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

π D h π (0.8/1000) m x 5 W/m2

T∞ = 150 – 7.95 = 142oC

1.9 En el problema 1.4, si la placa tiene 3 cm de espesor y una conductividadtérmica de 40 W/m oC y suponiendo que se pierden por radiación desde laplaca 300 W, calcular la temperatura interior de la placa.

qconducción = qconvección + qradiación

ΔT- k A ⎯⎯ = 3.537 + 0.3 = 3.837 kW

Δx

3.837 ΔX 3.837 X 0.03ΔT = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - 5.33 oC- k A - 40 x (0.6 x 0.9)

La temperatura en el interior de la placa será: 280 + 5.33 = 285.33 oC

1.10 Una tubería horizontal de acero que tiene un diámetro de 5 cm semantiene a una temperatura de 60ºC en un salón grande donde el aire ylas paredes están a 20ºC. La emisividad de la superficie de la tubería deacero puede tomarse como 0.8. El coeficiente de transferencia de calor,en convección natural puede tomarse como h = 6.5 W/m2 oC. Calcular lapérdida de calor de la tubería por unidad de longitud.

Por metro de longitud de tubería:

A = π D L = π x 0.05 x 1 = 0.157 m2

qconv = h A (Ts - T∞) = 6.5 W/m2 oC x 0.157 m2 x (60 – 20) oC = 40.82 W

El calor transferido por radiación será:

qrad = ε1 A1 σ (T14 – T2

4) = 0.8 x 0.157 m2 x 5,669 x 10-8 W/m2 k4 x (3334 – 2934)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 8

qrad = 35.07 W

La pérdida total de calor por metro de longitud será:qtotal = qconv + qrad = 40.82 + 35.07 = 75.89 W

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.11 Una pared plana de 15 cm de espesor, hecha de material homogéneo conk = 0.4325 W/m oC tiene temperaturas estables y uniformes de 71ºC y21ºC. Determinar el flujo de calor transferido por m2 de área superficial.

1.12 Si por conducción se transfieren 3 kW a través de un material aislante de1 m2 de sección recta, 2.5 cm de espesor y cuya conductividad térmicapuede tomarse igual a 0.2 W/m oC, calcular la diferencia de temperaturasentre las caras del material.

1.13 En una capa de fibra de vidrio de 13 cm de espesor se impone unadiferencia de temperaturas de 85ºC. La conductividad térmica de la fibrade vidrio es 0.035 W/m oC. Calcular el calor transferido a través delmaterial por hora y por unidad de área.

1.14 Un cilindro de 30 cm de alto está hecho de aluminio. El diámetro es 7.5

cm. La superficie inferior se mantiene a 90ºC y la superior a 540ºC. Lasuperficie lateral está aislada. ¿Cuál es el flujo de calor en vatios? Laconductividad térmica del aluminio puede suponerse 215 W/m oC.

1.15 Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15 cm de espesorson 370ºC y 93ºC. La pared está construida de vidrio con unaconductividad térmica de 0.78 W/m oC. ¿Cuál es el flujo de calor a travésde la pared?

1.16 Un material superaislante cuya conductividad térmica es 2 x 10-4 W/m oCse utiliza para aislar un depósito de nitrógeno líquido que se mantiene a

– 196ºC; para evaporar 1 kg de nitrógeno a esa temperatura se necesitan199 kJ. Suponiendo que el depósito es una esfera que tiene un diámetrointerior de 0.61 m, estimar la cantidad de nitrógeno evaporado por día




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para un espesor de aislante de 2.5 cm y una temperatura ambiente de21ºC. Suponer que la temperatura exterior del aislante es 21ºC.

1.17

Una capa de 5 cm de asbesto, poco compacta, está colocada entre dosplacas a 100ºC y 200ºC. Calcular el calor transferido a través de la capa.La conductividad térmica del asbesto es 0.149 W/m oC.

1.18 Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/m oC. ¿Qué espesorserá necesario para que haya una caída de temperatura de 500 ºC paraun flujo de calor de 400 W/m2?

1.19 Considere el cárter de un automóvil. Este tiene aproximadamente 75 cmde longitud, 30 cm de ancho y 10 cm de profundidad. Suponiendo que latemperatura de la superficie del cárter es de 80ºC cuando el vehículo sedesplaza a 100 km/h y que el coeficiente de transferencia de calor esigual a 82 W/m2 oC, determine el calor disipado. Desprecie la radiación yuse para las superficies del frente y de atrás el mismo coeficiente detransferencia de calor que para el fondo y los lados. La temperatura delaire ambiente es 30ºC.

1.20 Un oleoducto de 50 cm de diámetro transporta, en el Ártico, petróleo a30ºC y está expuesto a una temperatura ambiente de – 20ºC. Un aislanteespecial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad térmica 7mW/m oC cubre la superficie del oleoducto. El coeficiente de convecciónen el exterior del oleoducto es 12 W/m2 oC. Calcular la pérdida de energíadel oleoducto por unidad de longitud.

1.21 Aire es forzado a fluir a través de un intercambiador de calor convectivo.

El coeficiente de transferencia de calor es 1134 W/m2

o

C. La temperaturade la superficie del intercambiador puede considerarse constante a 65oCy la del aire es 18oC. Determinar el área superficial del intercambiadorpara un flujo de calor de 8.78 kW.

1.22 Una tubería desnuda que transporta vapor húmedo a una presión absolutade 1 MPa se localiza en una habitación cuya temperatura ambiente es20ºC. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y elambiente es de 10 W/m2 oC, calcular las pérdidas de calor por metro delongitud. El diámetro es igual a 10 cm.

1.23 Una placa cuadrada vertical de 30 x 30 cm que está fría se expone alvapor de agua a una presión de 1 atm de modo que se condensan 3.78kg/h. Calcular la temperatura de la placa. Se pueden consultar las tablasde vapor de agua para las propiedades que se requieran.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 10

1.24 Una de las caras de una pared plana se mantiene a 100ºC mientras que laotra se expone al ambiente que está a 10ºC, siendo h = 10 W/m2 oC elcoeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica k=

1.6 W/m

o

C y un espesor de 40 cm. Calcular el flujo de calor a través dela pared.

1.25 Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera quetoda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a800ºC, es interceptada por la otra. La temperatura de esta ultimasuperficie se mantiene a 250ºC. Calcular la transferencia de calor entrelas superficies, por hora y por unidad de área de la superficie que semantiene a 800ºC.

1.26 Dos planos paralelos y muy grandes, cuyas condiciones superficiales seaproximan a las de un cuerpo negro, se mantienen a 1100oC y 425ºC,respectivamente. Calcular el calor transferido entre los planos por unidadde tiempo y por unidad de área.

1.27 Un pequeño calentador radiante tiene tiras de metal de 6 mm de anchocon una longitud total de 3 m. La emisividad de la superficie de las tiras

es 0.85.¿A qué temperatura habrá que calentar las tiras si tienen quedisipar 1600 W de calor a una habitación a 25ºC?

1.28 Calcular la energía emitida por un cuerpo negro a 1000ºC.

1.29 Si el flujo radiante del sol es 350 W/m2, ¿cuál sería su temperaturaequivalente de cuerpo negro?

1.30 Una esfera de 4 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de150ºC y se coloca en una habitación muy grande que se encuentra a20ºC. Calcular la pérdida de calor por radiación si la emisividad de lasuperficie de la esfera es 0.65.



CAPITULO 2

CONDUCCION ESTACIONARIA

UNIDIMENSIONAL

2.1 ECUACION BASICA DE ENERGIA

La ecuación básica para un sistema tridimensional con generación interna deenergía y variación de la temperatura con el tiempo es:

∂2T ∂2T ∂2T q* 1 ∂T ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯ = ⎯ ⎯⎯

∂x

2

∂y

2

∂z

2

k α ∂τ donde:

α = difusividad térmica = k / ρ c

q* = energía generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo

τ = tiempo

ρ = densidad

c = calor específico del material

Para flujo unidimensional, estacionario y sin generación interna de calor se

tiene:(∂2T/∂y2) = 0 ; (∂2T/∂z2) = 0 : (∂T/∂τ) = 0 ; (q*/k) = 0

luego: (d2T/dx2) = 0 que es la misma ecuación de Fourier cuando q esconstante.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 12

2.2 PLACA PLANA

El problema más simple de transferencia de calor es la conducción

unidimensional en estado estacionario a través de una placa plana de materialhomogéneo, cuya conductividad térmica es constante y cuyas temperaturas enambas caras son uniformes. Ver figura.

A partir de la ley de Fourier:

T2 – T1 k Aq = - k A ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ (T1 – T2)

x2 – x

1 Δ x

T1

T2

q /A

Δxx1 x2

o también:

T1 – T2 diferencia de potencial térmicoq = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Δx / kA resistencia térmica

Nótese que la resistencia al flujo de calor es directamente proporcional alespesor del material, inversamente proporcional a la conductividad térmica delmaterial e inversamente proporcional al área normal a la dirección de latransferencia de calor.



CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 13

Estos conceptos pueden extenderse al caso de una pared plana compuestacomo se aprecia en la siguiente figura:

q a b

1 23

En estado estacionario el flujo de calor transferido que entra por la caraizquierda es el mismo que sale por la cara derecha, por tanto:

T1 – T2 T2 – T3 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ y q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Δxa/kaA Δxb/kbA

T1 – T3 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(Δxa/kaA) + (Δxb/kbA)

Las ecuaciones anteriores ilustran la analogía entre la transferencia de calor porconducción y el flujo de corriente eléctrica o de manera similar entre la ley deFourier y la ley de Ohm. Puede ser conveniente expresar la ley de Fourier asÍ:

diferencia global de temperaturasflujo de calor por conducción = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ suma de las resistencias térmicas

La extensión de las ecuaciones anteriores para tres o más paredes es obvia.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 14

2.3 SISTEMAS RADIALES

La siguiente figura muestra un cilindro hueco de una sola capa compuesta deun material homogéneo de conductividad térmica constante y temperaturasuniformes interna y externa. Para un radio dado (r) el área normal para un flujode calor radial por conducción es 2πrL, donde L es la longitud del cilindro.Sustituyendo lo anterior en la ecuación de Fourier e integrando para qconstante:

T1

T2

r 1

r 2

T1

T2

T3a

b

r 1r 2

r 3

q r 2

T2 – T1 = - ⎯⎯⎯ ln ⎯⎯ 2πk L r 1

o también,

2πkL (T1 – T2)q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ln (r 2/r 1)

A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa cilíndricasimple es [ln(r 2/r 1)] /2πkL. Para un cilindro con dos capas (ver figura) el flujo decalor transferido está dado por:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 15

2πL (T1 – T3)q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1 r 2 1 r 3

⎯ ln ⎯ + ⎯ ln ⎯ ka r 1 kb r 2

La ecuación anterior puede extenderse a tres o más capas.

Para transferencia de calor por conducción radial en una pared esférica el áreapara un radio (r) está dada por 4πr 2. Sustituyendo en la ley de Fourier e

integrando con q constante:

4πk (T1 – T2)q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1 1 ⎯ - ⎯ r 1 r 2

A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa esféricasimple es [(1/r 1) – (1/r 2)] / 4πk. Para un sistema multicapas esféricas laresistencia total es la suma de las resistencias individuales de cada capa.

2.4 CONDUCCION CON CONDUCTIVIDAD TERMICA

VARIABLE

La conductividad térmica de un metal puede representarse generalmente en unamplio intervalo de temperaturas por:

k = ko (1 + bθ + cθ2)

donde θ = T – Tref y ko es la conductividad a la temperatura de referencia Tref .

Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería el intervalo de temperaturases relativamente pequeño y la conductividad puede tomarse como:

k = ko ( 1 + bθ)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 16

Se demuestra que las ecuaciones de transferencia de calor para placas planasy sistemas radiales son:

T1 – T2

q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / km A

2πkm L (T1 – T2)q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ln (r 2/r 1)

donde km es la conductividad térmica evaluada a la temperatura media de lapared.

2.5 CONDICIONES DE CONTORNO CON CONVECCION

Para la transferencia de calor por convección:

(Ts - T∞)qconv = h A (Ts - T∞) = ⎯⎯⎯⎯⎯ 1/ h A

donde el término 1/hA es la resistencia a la transferencia de calor porconvección.

2.6 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Para la pared plana de la figura en contacto con un fluido caliente A por unacara y con un fluido más frío B por la otra cara. La transferencia de calor seexpresa por:

kAq = h1A(TA – T1) = ⎯⎯ (T1 – T2) = h2A(T2 – TB)

Δx




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 17

TA

q

Fluido A

T1

T2

TBh1

h2

Fluido B

La transferencia de calor global se calcula como el cociente entre la diferenciatotal de temperaturas y la suma de las resistencias térmicas.

TA – TB q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(1/h1A) + (Δx/kA) + (1/h2A)

La transferencia de calor global que combina la conducción y la convección seexpresa con frecuencia en función de un coeficiente global U, definido por la

relación:

q = U A ΔTglobal

luego el coeficiente global será:

1

U = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h1) + (Δx/k) + (1/h2)

Para el esquema de un cilindro hueco con contorno convectivo:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 18

Fluido B

Fluido A

1 2

TA – TB q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1 ln(r e/r i) 1 ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ hiAi 2πk L heAe

Los términos Ai y Ae representan las áreas de las caras interna y externa deltubo interior.

2.7 ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO

Considerando una capa de aislamiento instalada alrededor de una tuberíacircular:

T∞

r i

r e

h

Ti




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 19

La temperatura interna del aislante es Ti y la temperatura externa está expuestaa un entorno T∞ . La transferencia de calor será:

2πL (Ti - T∞)q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ln(r e/r i) 1 ⎯⎯⎯ + ⎯⎯

k r eh

Para determinar el radio exterior de aislamiento r e que hace máxima la

transferencia de calor se debe cumplir que (dq/dr e) = 0 , lo que conduce a larelación: r e = k/h.Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta relación, la transferenciade calor aumentará al añadir más aislante.

2.8 SISTEMAS CON GENERACION DE CALOR

Tienen aplicación en conductores eléctricos para calentamiento, generación decalor en reactores nucleares y en sistemas químicamente reactivos.

PAREDES PLANAS

Se considera la pared plana con generación interna de calor mostrada en lafigura:

Suponiendo conductividad térmica constante y dimensiones muy grandes en lasdirecciones y, x, el gradiente de temperatura es sólo significativo en la direcciónx, y el flujo puede considerarse unidimensional. La ecuación del balance deenergía es:

d2T q* ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0dx2 k




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 20

(a) (b)

Para la figura (a) se fijan las siguientes condiciones de contorno:

T = T1 para x = 0 y T = T2 para x = 2L

Integrando doblemente la ecuación anterior respecto a x se tiene:

q*T = - ⎯⎯ x2 + C1 x + C2

2k

Utilizando las condiciones de contorno dadas:

T2 – T1 q* LC2 = T1 C1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯

2L k

Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación integrada:

( ) 112 TxxL2

k2

*q

L2

TTT +⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡−+

−=

el flujo de calor dependerá de la localización de x. Para el caso más sencillocomo el de la figura (b),

x = L y T1 = T2 = Ts




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 21

Se tiene:

s

2

o Tk2

L*qT +=

Ts = temperatura en la superficie ; To = temperatura en el centro de la pared

Diferenciando la ecuación anterior respecto a x,

dT q* L ⎯⎯ = ⎯⎯⎯

dx k

Introduciendo la expresión anterior en la ley de Fourier

q = - q* A L

El signo menos indica que el calor se transfiere en sentido contrario a lacoordenada x, para x = 2L sería el mismo valor pero positivo. El producto AL esla mitad del volumen de la placa.

CILINDRO

La ecuación del balance de energía será ahora:

d2T q* ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0

dr

2

kConsiderando como condiciones de contorno:

T = Ts para r = R y dT/dx = 0 para r = 0

Se demuestra que

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=−

22

s Rr 1

k4*qRTT

k4

R*qTT

2

so +=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 22

To = temperatura para r = 0 (centro del cilindro)

2.9 TRANSFERENCIA DE CALOR DESDE ALETAS

Las superficies extendidas o aletas son utilizadas para incrementar laefectividad del área superficial en la transferencia de calor por conducción-convección en intercambiadores de calor, máquinas de combustión interna,equipo electrónico, etc.

ALETAS RECTANGULARES

Haciendo referencia a la figura, se realiza un balance de energía en unelemento de espesor dx de aleta, así:

= + Energía perdidapor convección

Energía que entra porla cara izquierda

Energía que salepor la cara derecha

El anterior balance de energía conduce a la siguiente ecuación:

d2θ ⎯⎯ - m2 θ = 0dx2

A

Z

L

q’1 → → q’2

x

Δx

qconv

t




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 23

Donde: h = coeficiente de convección, θ = T - T∞ , m = kA/hP

La solución general de la ecuación diferencial anterior es:

θ(x) = C1 e mx + C2 e

-mx

Una condición de contorno es:

x = 0 , θ(x) = θ0 = T0 - T∞ = C1 + C2

Una segunda condición de contorno:

x = ∞ , θ(∞) = C1 (∞) + (C2/∞) → C1 = 0 → C2 = θ0

Reemplazando en la ecuación general:

[ θ(x) / θ0 ] = e - mx

Esta ecuación indica la distribución de temperaturas en la aleta.La transferencia de calor a través de la aleta puede ahora calcularse tomando elflujo de calor por conducción que llega a la base de la aleta:

q = - kA (dT/dx)x=0 = - kA (dθ/dx)x=0

Para el caso presente de una aleta rectangular de longitud infinita se tiene:

q = k A m θ0

Dos casos que pueden presentarse son también los siguientes:

Aleta de longitud finita con extremo aislado.

cosh [m (L – x) ] Distribución de temperaturas: θ/θ0 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

cosh mL

Calor transferido: q = k A m θ0 [tanh (mL)]




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 24

Aleta de longitud finita con pérdida de calor por convección en el extremo.

Distribución de temperaturas:

cosh [m (L – x) + (h/mk) senh [m (L – x)] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

cosh mL + (h/mk) senh mL

Calor transferido:

senh mL + (h/mk) cosh mL

q = k A m θ0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL + (h/mk) senh mL

EFICIENCIA DE ALETAS

El propósito fundamental de las aletas es incrementar la efectividad del áreasuperficial de transferencia de calor que está expuesta a un fluido en un

intercambiador. El comportamiento de las aletas se expresa en términos de sueficiencia ηa que no es otra cosa que la razón entre la transferencia de calor dealeta a la transferencia de calor que existiría sin la aleta o:

calor real transferidoηa = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

calor transferido si toda la aleta está a la temperatura base

Como ejemplo para una aleta de sección transversal uniforme y extremo aisladola eficiencia sería:

hPkA θ0 tanh mL tanh mLηa = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯

hPLθ0 mL




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 25

PROBLEMAS RESUELTOS

2.1 Un horno industrial está construido de un ladrillo refractario de 20 cm de

espesor con k = 1.038 W/m oC. El horno está recubierto de una superficieexterna de 3 cm de espesor de material aislante con k = 0.07 W/m oC. Lasuperficie interior está a 980ºC y la superficie exterior está a 38ºC. Calcularel calor transferido por m2 de superficie.

Considerando las dos capas como a y b:

q T1 -T3 980 – 38 W

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1516 ⎯⎯ A Δxa Δxb 0.20 0.03 m2 ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯

ka kb 1.038 0.07

2.2 Con frecuencia en ingeniería el problema es la determinación del espesorde un aislamiento que se necesita para un flujo especificado de calor. Si en

el problema 2.1 el máximo flujo de calor se establece en 1000 W/m

2

, lapared de ladrillo se mantiene y se utiliza el mismo material aislante, ¿cuáldebe ser el espesor de este material?

q T1 – T3 980 – 38 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1000A Δxa Δxb 0.20 Δxb

⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ka kb 1.038 0.07

Resolviendo: Δxb = 0.052 m = 5.2 cm

2.3 Una pared está formada por tres capas así: 0.5 cm de placa de aluminio,0.25 cm de una capa de asbesto y 2 cm de un material aislante. El asbestoes la capa central. La superficie externa de aluminio está a 500ºC y elmaterial interno aislante está a 50ºC. Determinar el flujo de calor por unidadde área. Las conductividades térmicas son: kAl = 268.08 W/m oC, kasb =0.166 W/m oC, kaisl = 0.0548 W/m oC.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 26

q 500 – 50 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1184 W/m2 A 0.005 0.025 0.02

⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 268.08 0.166 0.0548

2.4 Una pared exterior de una casa se puede aproximar a una capa de 10.16cm de ladrillo corriente (k = 0.7 W/m oC) seguida de una capa de 3.81 cmde yeso (k = 0.48 W/m oC). ¿Qué espesor aislante de lana de roca (k =0.065 W/moC) debería añadirse para reducir en un 80% la pérdida de calora través de la pared?

Sin aislamiento:

q ΔT ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A ΔxL Δxy

⎯⎯ + ⎯⎯ kL ky

Con aislamiento:

q ΔT ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A ΔxL Δxy Δxaisl

⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ kL ky kaisl

(q/A)sin a. – (q/A)con a. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.8

(q/A)sin a.

(q/A)con a. 1 - ⎯⎯⎯⎯ = 0.8

(q/A)sin a.

(q/A)con a. ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2

(q/A)sin a.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 27

(0.1016/0.7) + (0.0381/0.48)0.2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(0.1016/0.7) + (0.0381/0.45) + (Δxaisl/0.065)

Δxaisl = 0.058 = 5.8 cm

2.5 Un tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 2 cmde diámetro interior (Di) y 4 cm de diámetro exterior (DE), se cubre con unacapa de 3 cm de aislante de asbesto (k = 0.2 W/m oC). Si la temperatura dela pared interna del conducto se mantiene a 600 oC, calcular la pérdida decalor por metro de longitud. La temperatura exterior es 100ºC. Calcular

también la temperatura de la interfaz tubo-aislante.

q 2π (T1 – T3) 2π (600 – 100) ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 680 W/mL ln(r 2/r 1) ln(r 3/r 2) ln(2) ln(5/2)

⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯ + ⎯⎯⎯ kaisl ka 19 0.2

Utilizando este flujo de calor, se calcula la temperatura de la interfaz entre lapared del tubo y el aislante.

q 2π (T2 – T3) ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 680 W/mL ln(r 3/r 2)/k

T2 = 595.8 oC

2.6 Una pared de cobre (k = 375 W/m oC) de 1 cm de espesor, la cual estáexpuesta por una de sus superficies a vapor de agua condensándose (h =10000 W/m2 oC) a una temperatura de 200ºC. La otra superficie está encontacto con aire ambiente (h = 5 W/m2 oC) a una temperatura de 25ºC.Calcular el calor transferido por unidad de área a través de la placa, y lastemperaturas de ambas superficies.

q T1 – T2 200 – 25 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 874.45 W/m2 A 1 Δx 1 1 0.01 1

⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ h1 k h2 10000 375 5




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 28

Puesto que el calor transferido por convección del vapor a la placa es igual alcalor por conducción a través de ésta y a su vez al calor por convección de laplaca al aire.

(q/A) = h1(T∞ - T1) ⇒ T1 = T∞ - (q/A)/h1

T1 = 200 - (874.45/10000) = 199.91oC

(q/A) = h2(T2 - T∞) ⇒ T2 = T∞ + (q/A)/h2

T2 = 25 + (874.45/5) = 199.89oC

2.7 Una pared de ladrillo de 30 cm de espesor se utiliza en un edificio. En un díade invierno las siguientes temperaturas fueron medidas: temperaturainterior del aire, Ti = 21ºC; temperatura exterior del aire, To = - 10ºC;temperatura de la superficie interna, T1 = 13ºC; temperatura de la superficieexterna, T2 = - 7ºC. Utilizando k = 1.31 W/m oC, determinar los valorespromedio de los coeficientes de transferencia de calor h i y ho.

Para la pared de ladrillo:

(q/A) = - k(ΔT/Δx) = - 1.31 (- 7 – 13)/0.3 = 87.23 W/m2

(q/A) = 87.33 = h1(21 – 13) ⇒ hi = 10.91 W/m2 oC

(q/A) = 87.33 = ho[ - 7 – (- 10)] ⇒ ho = 29.11 W/m2 oC

2.8 Por el interior de un tubo de 2.5 cm de diámetro interior circula agua a 50ºCde modo que hi = 3500 W/m2 oC. El tubo tiene una pared de 0.8 mm deespesor, con una conductividad térmica de 16 W/m oC. El exterior del tubopierde calor por convección natural con h = 7.6 W/m2 oC. Calcular elcoeficiente global de transferencia de calor y la pérdida de calor por unidadde longitud hacia el aire circundante, que está a 20ºC.

Se calculan las correspondientes resistencias térmicas.

1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00364 oC/W

hi Ai (3500) (π) (0.025) (1)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 29

ln(Do/Di) ln (0.0266/0.025) ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00062 oC/W

2πkL 2π(16)(1)

1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.575 oC/W

ho Ao (7.6) (π) (0.0266) (1)

La resistencia exterior a la transferencia de calor por convección es la mayor yen consecuencia controla la transferencia total de calor. El coeficiente global detransferencia de calor se basará en el área exterior del tubo y por lo tanto:

q = (ΔT/ΣR) = U Ao ΔT

1 1Uo = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Ao (ΣR) [(π) (0.0266) (1)] [(0.003364) + (0.00062) + (1.575)]

Uo = 7.577 W/m

2 o

CObservar que el valor es muy próximo al valor de ho = 7.6

q = U Ao ΔT = (7.577) (π) (0.0266) (1) (50 – 20) = 19 W (por m de longitud)

2.9 Calcular el espesor crítico de aislamiento para el asbesto (k = 0.17 W/moC)que rodea a una tubería y se halla expuesto al aire de una habitación a20ºC con h = 3 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor desde una tubería a200ºC, de 5 cm de diámetro, cuando se cubre de aislante con el radiocrítico y sin aislamiento.

r e = (k/h) = 0.17/3 = 0.0567 m = 5.67 cm

El radio interior del aislamiento es 5/2 = 2.5 cm

2πL (Ti - T∞) 2π (200 – 20)q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 105.77 W/m

ln(r o/r i) 1 ln(5.67/2.5) 1 ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

k r eh 0.17 (0.0567) (3)

Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 30

(q/L) = (h) (2π) r (Ti – To) = (3) (2π)(Ti – To) = (3) (2π) (0.025) (200 – 20)

(q/L) = 84.8 W/m

Luego la adición de 3.17 cm de aislamiento, lo que está haciendo es aumentarla transferencia de calor en 105.73 – 84.8 = 20.93 W/m

2.10 Para una placa plana con generación uniforme de calor se tiene lossiguientes datos: k = 200 W/m oC, q* = 40 MW/m3, T1 = 160ºC (x=0) , T2 = 100ºC (x=2L), espesor de la placa 2 cm. Determinar: (a) T como unafunción de x. (b) q/A en la cara izquierda. (c) q/A en la cara derecha. (d)q/A en el centro de la placa.

a)

( ) 112 TxxL2

k2

*q

L2

TTT +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−=

2537

x10x10160160x)200(2

)x02.0()10x4(

02.0

160100T −−=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

−=

T en oC y x en m

b) Se calcula dT/dx en x = 0 y se reemplaza en la ecuación de Fourier.

(dT/dx) = - 103 – (2) (105) x

(dT/dx) x=0 = - 103

(q/A) = - k (dT/dx) = - (200) (-103) = + 200 kW/m2

El signo + significa que el calor fluye hacia el interior de la cara izquierda.

c) Se calcula dT/dx en x = 2L y se reemplaza en la ecuación de Fourier

(dT/dx)2L = - 103 – 2 (105) (0.02) = - 5 (103)

(q/A)2L = - k (dT/dx) = - (200) (- 5 x 103) = 1 MW

El balance de energía en la placa es




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 31

(q/A)x=2L = (q/A)x=0 + (q* x volumen /A)

el cual puede ser utilizado para chequear los resultados.d)

(dT/dx)x=L = - 103 – 2 (105) (0.01) = - 3 x 103

(q/A)x=L = - (200 (- 3 x 103) = + 600 kW/m2

2.11 Una corriente de 200 amperios pasa a través de un hilo de aceroinoxidable (k = 19 W/m oC) de 3 mm de diámetro. La resistividad delacero puede tomarse como 70 μΩ.cm y la longitud del hilo es 1 m. Sesumerge el hilo en un líquido a 110ºC siendo el coeficiente detransferencia de calor por convección de 4 kW/m2 oC. Calcular latemperatura en el centro del hilo y el calor generado por unidad devolumen.

La potencia generada en el interior del hilo se disipa por convección hacia ellíquido.

P = I2R = q = hA(Ts - T∞)

La resistencia del hilo es:

R = ρ (L/A) = 70 x 10-6 [100/(π) (0.15)2] = 0.099 Ω

donde ρ es la resistividad del hilo.

El área superficial del hilo es πDL, luego:

(200)2(0.099) = (4000) (π) (0.003) (1) (TP – 110) = 3960 W

TP = 215oC

El calor generado por unidad de volumen será:

P 3960q* = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 560.2 MW/m3

πr 2L (π) (0.015)2(1)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 34

espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 80ºC, y el flujo totalde calor a través del bloque compuesto es 300 kW. ¿Cuál es el área delbloque?

2.20 Un material determinado tiene un espesor de 30 cm y una conductividadtérmica de 0.04 W/m oC. En un instante dado la distribución detemperaturas en función de x, distancia desde la cara izquierda, es T =150 x2 – 30 x, donde x está en metros. Calcular el flujo de calor porunidad de área en x=0 y x=30 cm. ¿Se está enfriando o calentando elsólido?

2.21 Una pared está construida con 2 cm de cobre, 3 mm de lámina de asbesto(k = 0.166 W/m oC) y 6 cm de fibra de vidrio. Calcular el flujo de calor porunidad de área para una diferencia de temperaturas total de 500ºC.

2.22 Una pared está construida con una chapa de 4 mm de espesor de aceroinoxidable (k = 16 W/m oC) con capas plásticas idénticas a ambos ladosdel acero. El coeficiente de transferencia de calor global, considerandoconvección a ambos lados del plástico es 120 W/m2 oC. Si la diferenciatotal de temperaturas a través del conjunto es 60ºC, calcular la diferencia

de temperaturas a través del acero inoxidable.

2.23 Un depósito esférico, de 1 m de diámetro, se mantiene a una temperaturade 120ºC y está expuesto a un ambiente convectivo con h=25 W/m2 oC yT∞ = 15ºC, ¿qué espesor de espuma de Styrofoam habría que añadir paraasegurarse que la temperatura externa del aislante no sobrepase los40ºC? ¿Qué tanto por ciento de reducción de pérdida de calor se obtieneal instalar este aislante?

2.24 Una pared de concreto de 15 cm de espesor, tiene una conductividadtérmica k = 0.865 W/m oC y está expuesta al aire a 20ºC por una cara y aaire a –7ºC por la cara opuesta. Los coeficientes de transferencia de calorson hI = 11.34 w/m2 oC sobre la cara de 20ºC y ho = 56.7 W/m2 oC sobre lacara de –7ºC. Determinar el flujo de calor transferido y la temperaturasuperficial de las dos caras.

2.25

La pared de un horno de una estufa está constituida por dos placas deacero delgadas, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m oC) en elinterior de ellas. La temperatura máxima de operación del horno puedesuponerse 250ºC, mientras la temperatura ambiente de la cocina es 35ºC.Calcular el espesor de aislante que deben tener las paredes para evitarque la temperatura en la superficie exterior no exceda de 60ºC. Elcoeficiente de transferencia de calor para convección en ambassuperficies puede suponerse 10 W/m2 oC.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 36

coeficiente de transferencia de calor es 4000 W/m2 oC. Calcular latemperatura superficial de la varilla.

2.33

Una placa de 3 cm de espesor genera uniformemente un calor de 5 x 10

5

W/m3. Una cara de la placa se mantiene a 200ºC y la otra cara a 50ºC.Calcular la temperatura en el centro de la placa para k = 20 W/m oC.

2.34 En una placa de acero inoxidable cuyo k = 20 W/m oC, se genera calor demanera uniforme. El espesor de la placa es 1 cm y la generación de calores 500 MW/m3. Si las dos caras de la placa se mantienen a 100ºC y200ºC, respectivamente, calcular la temperatura en el centro de la placa.

2.35 Una placa con un espesor de 4 mm tiene una generación interna de calorde 200 MW/m3 y una conductividad térmica de 25 W/m oC. Una cara de laplaca está aislada y la otra cara se mantiene a 100 ºC. Calcular latemperatura máxima de la placa.

2.36 El alambre de un calentador de resistencia eléctrica tiene un diámetro de2.03 mm. La resistividad eléctrica es 80 x 10-6 Ω.cm y la conductividadtérmica es 19.03 W/m oC. Para una corriente eléctrica de 150 amperios

que pasa por el alambre, determinar la elevación de temperatura desde lasuperficie del alambre hasta su centro.

2.37 Un cable de 30 cm de largo de acero inoxidable y 3.2 mm de diámetro, sesomete a un voltaje de 10 voltios. La temperatura de la cara externa delcable se mantiene a 93ºC. Calcular la temperatura del centro del cable.Tomar la resistividad del cable como 70 μΩ.cm y la conductividad térmicacomo 22.5 W/m oC.

2.38 Un cable eléctrico de una aleación de aluminio tiene k = 190 W/m oC, undiámetro de 30 mm, y transporta una corriente eléctrica de 230 amperios.La resistividad del cable es 2.9 μΩ.cm, y la temperatura de la superficieexterior del cable es 180ºC. Calcular la temperatura máxima dentro delcable si el aire ambiente está a 15ºC.

2.39 El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de diámetro está expuesto a un

entorno convectivo con h = 5000 W/m2

o

C y T∞ = 100º

C. ¿Qué corrientedebe pasar a través del hilo para que la temperatura en el centro sea de150ºC? La resistividad del cobre es 1.67 μΩ.cm.

2.40 Un tubo hueco que tiene 2.5 cm de diámetro interior y una pared de 0.4mm de espesor está expuesto a un entorno con h = 100 W/m2 oC y T∞ =40ºC. ¿Qué generación de calor por unidad de volumen dentro del tubo




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 37

originará una temperatura máxima del tubo de 250ºC para k = 24 W/moC?

2.41

Por el interior de una tubería de aluminio de 2.5 cm de diámetro interior(DI) circula agua. El espesor de la pared es 2 mm, y el coeficiente deconvección en el interior es 500 W/m2 oC. El coeficiente de convección enel exterior es 12 W/m2oC. Calcular el coeficiente global de transferenciade calor.

2.42 Una esfera de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) que tiene un diámetro de4 cm está expuesta a un ambiente convectivo a 20ºC, h = 15 W/m2 oC.Dentro de la esfera se genera un calor uniforme de 1.0 MW/m3. Calcularla temperatura en el centro de la esfera.

2.43 Una aleta recta rectangular de 2 cm de espesor y 14 cm de longitud estáfabricada en acero y colocada en el exterior de una pared mantenida a200ºC. La temperatura del ambiente es de 15ºC, y el coeficiente detransferencia de calor por convección es 20 W/m2 oC. Calcular el calorperdido por la aleta por unidad de anchura.

2.44 Una aleta recta rectangular tiene una longitud de 2 cm y un espesor de 1.5mm. La conductividad térmica es 55 W/m oC, y está expuesta a unambiente convectivo a 20ºC y h = 500 W/m2 oC. Calcular la pérdida decalor máxima posible para una temperatura de la base de 150ºC. ¿Cuáles la pérdida real de calor para esta temperatura de la base?

2.45 Una aleta anular de perfil rectangular rodea un tubo de 2.5 cm dediámetro. La longitud de la aleta es 6.4 mm, y el espesor es de 3.2 mm.

La aleta está fabricada con acero templado. Si se sopla aire sobre la aletade modo que se alcance un coeficiente de transferencia de calor de 28W/m2 oC, y las temperaturas de la base y el aire son 260 y 93oº,respectivamente, calcular la transferencia de calor desde la aleta.

2.46 Una aleta de aluminio de 1.6 mm de espesor rodea un tubo de 2.5 cm dediámetro. La longitud de la aleta es 12.5 mm. La temperatura de la pareddel tubo es 200ºC y la temperatura ambiente es 20ºC. El coeficiente detransferencia de calor es 60 W/m2 oC¿Cuál es el calor perdido por laaleta?

2.47 Una aleta recta de perfil rectangular está fabricada en duraluminio (94%Al, 3% Cu) con un espesor de 2.4 mm. La aleta tiene 19 mm de longitud,y está sometida a un entorno convectivo con h = 85 W/m2 oC. Si latemperatura de la base es 90ºC y el ambiente está a 25ºC, calcular latransferencia de calor por unidad de longitud de la aleta.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 38

2.48 Un tubo de 2.5 cm de diámetro tiene aletas anulares de perfil rectangular,

longitudinalmente espaciadas en incrementos de 9.5 mm. Las aletas son

de aluminio, de 0.8 mm de espesor y 12.5 mm de longitud. Latemperatura de la pared del tubo se mantiene a 200ºC, y la temperaturaambiente es 93ºC. El coeficiente de transferencia de calor es 110 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor del tubo por metro de longitud.

2.49 Una aleta recta rectangular de acero (1% de C) tiene 2.6 cm de espesor y17 cm de largo. Está colocada en el exterior de una pared mantenida a230ºC. La temperatura del aire circundante es 25ºC, y el coeficiente detransferencia de calor por convección es 23 W/m2 oC. Calcular la pérdidade calor de la aleta por unidad de anchura y el rendimiento de la aleta.



CAPITULO 3

CONDUCCION ESTACIONARIAMULTIDIMENSIONAL

La ecuación de Laplace aplicable a un sistema de coordenadas cartesianastridimensional y suponiendo conductividad térmica constante sin generación decalor es:

∂2T ∂

2T ∂

2T

⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0

∂x2 ∂y

2 ∂z

2

El objetivo fundamental es con frecuencia determinar el flujo de calor o latemperatura resultante de un flujo de calor.

Teniendo en cuenta que la principal aplicación de la ecuación anterior se harásólo en las dimensiones x, y (flujo bidimensional) la ecuación será:

∂2T ∂

2T

⎯⎯ + ⎯⎯ = 0∂x

2 ∂y

2

La solución de la ecuación anterior proporciona la temperatura en un cuerpobidimensional como función de x e y. El flujo de calor puede calcularse despuésa partir de las ecuaciones de Fourier:

qx = - kA (∂T/∂x) y qy = - kA (∂T/∂y)

Estos flujos de calor se dirigen en la dirección x o y. El flujo total de calor encualquier punto del material es el resultado de qx y qy en este punto. El vectorflujo total de calor es entonces perpendicular a las líneas de temperaturaconstante en el material (ver figura).




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 40

qy q = qx + qy

qx

Existen diferentes métodos para resolver la ecuación de Laplace, entre loscuales están: técnicas analíticas, gráficas, numéricas y análogas.

3.1 SOLUCION ANALITICA

Considerando la placa rectangular del diagrama, como caso particular y mássencillo y resolviendo la ecuación de Laplace por el método de separación devariables y con una distribución sinusoidal de temperaturas se tiene:

Y

X

H

W

T1 T1

T1

T = f(x)

Para las siguientes condiciones de contorno:

T = T1 en y = 0 ; T = T1 en X = 0 ; T = T1 en x = W ; T = T2 en y = H



CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 41

T – T1 2 ( - 1)n+1

+ 1 nπx senh (nπy/W)

⎯⎯⎯ = ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

T2 – T1 π n W senh (nπH/W)∑∞

=1n

3.2 SOLUCION GRAFICA

La figura representa una tubería con una capa de material aislante. Lasuperficie interior está a T1 mientras que la superficie exterior se encuentra a T2 y existe un flujo de calor en la dirección T1> T2.

Como se ve en la figura, las isotermas y las líneas de flujo de calor formangrupos de figuras (elementos) curvilíneas.

El flujo de calor por unidad de profundidad para cada elemento será:

(q/L) = - k Δx (ΔT / Δy)

Cada sección perpendicular a la línea isotérmica puede llamarse un “ducto” deflujo de calor y el número de éstos correspondiente a un área determinada será

M. Si en cada elemento Δx ≅ Δy se tiene:

(q/L) = k ΔT ΔT debe tomarse positivo

isotermas típicas

T1 > T2

T2

Δx

Δy




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 43

Esfera isoterma deradio r inmersa en unmedio infinito 4π r

Esfera isoterma deradio r inmersa en unmedio semi-infinitocuya superficie esisoterma

ΔT = Tsup – Tcampo lejano

Isoterma

4 π r

⎯⎯⎯⎯ 1 – r/2D

Conducción entre doscilindros isotermos delongitud L inmersos enun medio infinito.

2 π L

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ D

2 – r 1

2 – r 2

2

cosh-1

( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) 2r 1r 2

L>>rL>>D

Cubo inmerso en unmedio infinito, lado L

8.24 L

Cilindro isotermo deradio r situado en unmedio semi-infinitocomo se muestra.

2 π L

⎯⎯⎯⎯ ln (2L/r)

L>>2r

Paralelepípedorectangular isotermoinmerso en un mediosemi-infinito cuyasuperficie es isoterma.

b

1.685 L [log (1 + ⎯ )-0.59

a

b

x ( ⎯ )-0.078

c




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 44

Pared plana

A/L

Flujo de calorunidimensio-nal

Cilindro hueco, longitudL.

2 π L

⎯⎯⎯⎯ ln(r e/r i)

L>>r

Esfera hueca 4 π r er i

⎯⎯⎯⎯ r e - r i

Disco delgadohorizontal inmerso enun medio semi-infinitocuya superficie esisoterma

Isoterma 4r8r

4π r

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(π/2) – tan-1(r/2D)

D = 0D >>2

(D/2r)>1

tan-1(r/2D) enradianes

Semiesfera inmersa enun medio semi-infinito

ΔT = Tesfera – Tcampo lejano 2π r

Esfera isotermainmersa en un mediosemi-infinito cuya

superficie está aislada.

4π r

⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + (r/2D)

Dos esferas isotermasinmersas en un medioinfinito

4π r 2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r 2 (r 1/D)

4 2r 2

⎯ [1- ⎯⎯⎯⎯ ] - ⎯⎯ r 1 1 – (r 2/D)

2 D

D>5r máx

Placa rectangulardelgada de longitud L,inmersa en un mediosemi-infinito cuyasuperficie es isoterma.

π W

⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L)

2π W

⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L)

D = 0W>L

D>>WW>L




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 45

2π W

⎯⎯⎯⎯⎯

ln(2πD/L)

W>>LD>W

Discos paralelos

inmersos en un medioinfinito.

4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

π

[ ⎯ - tan-1

(r/D)]2

D>5r

tan-1(r/D) en

radianes

Cilindros excéntricosde longitud L 2 π L

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r 1

2 + r 2

2 - D

2

cosh

-1

( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) 2r 1r 2

L>>r 2

Cilindro centrado en unprisma cuadrado delongitud L 2π L

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln(0.54W/r)

L>>W

Cilindro horizontal delongitud L centrado enuna placa infinita.

2π L

⎯⎯⎯⎯ ln(4D/r)

Disco delgadohorizontal inmerso en

un medio semi infinitocuya superficie esadiabática.

4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(π/2) + tan-1

(r/2D)

(D/2r) >1

tan-1 (r/D) en

radianes

Para facilitar los cálculos: cosh

-1

x = ln (x± 1x

2−

)

Un caso particular como la pared tridimensional de un horno, se utilizan porseparado factores de forma para calcular el flujo de calor a través de lassecciones de las aristas y de las esquinas.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 46

Si todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de lapared:

Spared = (A/L) ; Sarista = 0.54 D ; Sesquina = 0.15 L

A = área de la paredL = espesor de la paredD = longitud de la arista

3.3 ANALISIS NUMERICO

Consideramos el cuerpo bidimensional de la figura. El cuerpo tiene un espesoruniforme L en la dirección z y no hay gradiente de temperaturas en esta

dirección. Considerando incrementos Δx y Δy apropiados, el cuerpo se divide enun gran número de rectángulos, donde cada uno tiene un punto nodal o nodoen su centro.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 47

Un balance de energía al interior de un punto nodal, en estado estacionario es:

q 1⇒ n + q 2 ⇒ n + q 3 ⇒ n + q 4 ⇒ n = 0

Utilizando la ecuación de Fourier:

(T1 – Tn) (T2 – Tn) (T3 – Tn) (T4 – Tn)

kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ = 0

Δx Δy Δx Δy

Si Δx = Δy

T1 + T2 + T3 + T4 – 4 Tn = 0

Para aplicar el método numérico debe escribirse la ecuación anterior para cadanodo dentro del material y resolver el sistema de ecuaciones resultante para lastemperaturas de los nodos.

La solución del sistema de ecuaciones puede hacerse empleando matrices,regla de Cramer, método de eliminación de variables de Gauss, método derelajación o utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel.

Para ilustrar la aplicación del método anterior consideramos el ejemplomostrado en la figura:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 48

Las cuatro ecuaciones para los nodos 1,2,3 y 4 son:

100 + 500 + T2 + T3 – 4 T1 = 0

T1 + 500 + 100 + T4 – 4 T2 = 0

100 + T1 + T4 + 100 – 4 T3 = 0

T3 + T2 + 100 + 100 – 4 T4 = 0

La solución a este sistema es:

T1 = T2 = 250ºC y T3 = T4 = 150

oC

Por la simetría del material se puede deducir que T1 = T2 y T3 = T4.

El calor puede calcularse ahora a partir de:

q = ∑ k Δx (ΔT / Δy)

donde ΔT se toma en los contornos.

El flujo de calor sobre la cara de 500ºC o sobre las tres caras de 100

ºC será:

Sobre la cara de 500ºC y considerando que Δx = Δy:

q = - k [ (250 – 500) + (250 – 500)] = 500 k

Sobre las tres caras de 100ºC:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 50

Tabla 3.2

Ecuaciones nodales para cálculos de diferencias finitas

Configuración física Ecuación nodal para incrementos iguales de x e y

Esquina exterior con contorno convectivo

1 hΔx hΔx

⎯ ( T1 + T2) + ⎯⎯⎯ (T∞) – ( ⎯⎯⎯ + 1 ) Tn = 02 k k

Esquina interior con contorno convectivo

1 hΔx hΔx

T1 + T4 + ⎯ (T2 + T3) + ⎯⎯⎯ (T∞) – ( ⎯⎯⎯ + 3 ) Tn = 02 k k

Contorno aislado

1

⎯ (T1 + T2) + T3 – 2Tn = 02

Nodo interior cercano a un contorno curvo

T1 T2 T3 T4 1 1

⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ( ⎯ + ⎯ ) Tn = 0

a(a+1) b+1 a+1 b(b+1) a b

h, T

h, T




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 51

3.4 ANALOGIA ELECTRICA PARA LA CONDUCCIONBIDIMENSIONAL

La conducción eléctrica en régimen estacionario en un material homogéneo deresistividad constante es análoga a la conducción de calor en régimenestacionario para un cuerpo de forma geométrica similar. Para la conduccióneléctrica bidimensional es aplicable la ecuación de Laplace:

∂2E ∂

2E

⎯⎯ + ⎯⎯ = 0

∂x2

∂y2

donde E es el potencial eléctrico. Una forma muy sencilla de resolver unproblema de conducción de calor bidimensional es establecer una analogíaeléctrica y determinar experimentalmente los factores de forma geométricos

para utilizarlos en la ecuación: q = k S ΔTglobal.

PROBLEMAS RESUELTOS

3.1 Para el plato mostrado en la figura, determine la temperatura en el centrodel plato. W = H = 2 m., T1 = 280

K, T = f(x) = 320 K.

Y

X

H

W

T1 T1

T1

T = f(x)

La temperatura en el centro del plato corresponde a x=1 , y=1

Se construye la siguiente tabla:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 52

n (-1)n+1

+1

⎯⎯⎯⎯⎯

n

nπx

sen ⎯⎯

W

nπy

senh ⎯⎯

W

nπH

senh ⎯⎯

W1 2 1 2.3013 11.5487

3 0.666 -1 55.6544 6195.82

5 0.4 1 1287.98 3.31 x 106

Reemplazando en la ecuación:

T – T1 2 ( - 1)n+1

+ 1 nπx senh (nπy/W)

⎯⎯⎯ = ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

∑ T2 – T1 π n W senh (nπH/W)n

∞

=1

T – T1 2 π senh (π/2) 3π senh (3π/2)

⎯⎯⎯ = ⎯⎯ [ (2) ( sen ⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ ) + (0.666) ( sen ⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ )

T2 – T1 π 2 senh π 2 senh 3π

5π senh (5π/2)+ (0.4) ( sen ⎯⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ )

2 senh 5π

T – T1

⎯⎯⎯ = (2/π) (0.398538 – 0.005988 + 0.000155 ....) = 0.25T2 – T1

T = (T2 – T1) + T1 = (320 – 280) (0.25) + 280 = 290 K

3.2 Una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 4 m de longitud estáenterrada a una profundidad de 20 cm. La temperatura de la pared de latubería es de 75

ºC y la temperatura de la superficie de la tierra es de 5

ºC.

Suponiendo que la conductividad térmica de la tierra es 0.8 W/moC,

calcular el calor perdido por la tubería.

El factor de forma tomado de la tabla 3-1, y teniendo en cuenta que L >>r

2πL 2π (4)

S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 15.35 mcosh

-1 (D/r) cosh

-1 (20/7.5)

El flujo de calor será:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 53

q = kS ΔT = (0.8) (15.35) (75 – 5) = 859.6 W

3.3 Un pequeño horno cúbico de dimensiones interiores 50 x 50 x 50 cm y 10cm de espesor está construído de ladrillo refractario (k=1.04 W/m

oC). El

interior del horno se mantiene a 500ºC y el exterior se mantiene a 50

ºC.

Calcular el calor perdido a través de las paredes.

El factor de forma se calcula sumando los factores de forma de las paredesaristas y esquinas.:

Paredes: S = (A/L) = (0.5) (0.5) / 0.1 = 2.5 m

Aristas : S = 0.54 D = (0.54) (0.5) = 0.27 m

Esquinas: S = 0.15 L = (0.15) (0.1) = 0.015 m

Hay seis secciones de pared, doce aristas y ocho esquinas, de modo que elfactor de forma total es

S = (6) (2.5) + (12) (0.27) + (8) (0.015) = 18.36 m

y el flujo de calor será:

q = kS ΔT = (1.04) (18.36) (500 – 50) = 8.592 kW

3.4 Un disco de 30 cm de diámetro que se mantiene a una temperatura de 95º

Cestá enterrado a una profundidad de 1 m en un medio semi-infinito cuyasuperficie, que es isoterma, está a 20

ºC y cuya conductividad térmica es

2.1 W/moC. Calcular el calor perdido por el disco.

A partir de la tabla 3-1, el factor de forma seleccionado es aquel para el cual(D/2r) = (1/0.3) =3.33 > 1

4πrS = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(π/2) – tan-1

(r/2D)

4π (0.15) 4π (0.15)

S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.26 m

(π/2) – tan-1

(0.15/2) [ (π/2) – 0.07486]




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 54

Para objetos enterrados, el factor de forma está basado en que ΔT = Tobjeto –Tcampo lejano . La temperatura del campo lejano se toma como la temperatura de la

superficie isoterma, y el calor perdido por el disco es:

q= kS ΔT = (2.1) (1.26) (95 – 20) = 198.45 W

3.5 Dos discos paralelos de 50 cm de diámetro están separados 1.5 m en unmedio infinito de k = 2.4 W/m

oC. Un disco se mantiene a 80

ºC y el otro a

20ºC. Calcular el calor transferido entre los discos.

De la tabla 3-1 como D>5r el factor de forma será:

4πr 4π (0.25)

S = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.235 m

(π/2) – tan-1

(r/D) (π/2) – tan-1

(0.25/1.5)

q = kS ΔT = (2.3) (2.235) ( 80 – 20) = 308.4 W

3.6 El diagrama muestra la sección de una chimenea. Suponiendo que elmaterial tiene una conductividad térmica uniforme, la temperatura internaes 150

ºC y la temperatura exterior es 40

ºC, Calcular las temperaturas

correspondientes a los nodos a, b, c, d, y e.

a b c

d

e40

oC

150oC

f




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 56

La conductividad térmica del material es k = 10 W/moC y el coeficiente h = 10

W/m2 oC.

Para los nodos 1, 2, 4 y 5 las ecuaciones son:

Nodo 1: 100 + 500 + T2 + T4 – 4T1 = 0

Nodo 2: 500 + T3 + T1 + T5 – 4T2 = 0

Nodo 4: 100 + T7 + T1 + T5 – 4T4 = 0

Nodo 5: T6 + T8 + T2 + T4 – 4T5 = 0

Para los nodos 3, 6, 7 y 8, se aplica la ecuación de un nodo exterior concontorno convectivo (ver teoría), las ecuaciones son:

Nodo 3: 2T2 + T6 + 567 – 4.67 T3 = 0

Nodo 6: 2T5 + T3 + T9 + 67 – 4.67 T6 = 0

Nodo 7: 2T4 + T8 + 167 – 4.67T7 = 0

Nodo 8: 2T5 + T7 + T9 + 67 – 4.67T8 = 0

Para el nodo 9, es una esquina exterior con contorno convectivo, se aplica laecuación de la tabla 3-2:

Nodo 9: T6 + T8 + 67 – 2.67T9 = 0

Las nueve ecuaciones con nueve temperaturas se resuelven por un métodonumérico y los resultados finales son:

Nodo T (oC)

1 280.67

2 330.3

3 309.38

4 192.385 231.15

6 217.19

7 157.70

8 184.71

9 175.62




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 57

Los flujos de calor en los contornos se calculan de dos modos: como flujosconductivos para las caras a 100

ºC y 500

ºC y como flujos convectivos en las

otras dos caras.

Para la cara de 500ºC el flujo que entra es:

q= ∑ kΔx (ΔT/Δy) = (10) [500 – 280.67 + 500 – 330.3 + (500 – 309.38)(1/2))]

q = 44843.4 W/m

El flujo que sale de la cara de 100ºC es:

q = (10) [280.67 – 100 + 192.38 – 100 + (157.7 – 100) (1/2)] = 3019 W/m

El flujo que sale de la cara derecha viene dado por la relación de convección:

q = ∑ hΔy(T - T∞)

q = (10) (1/3) [309.38 – 100 + 217.19 – 100 + (175.62 – 100) (1/2)]

q = 1214.6 W/m

Finalmente, el flujo que sale de la cara inferior es:

q = ∑ hΔy(T - T∞)

q = (10)(1/3)[(100–100)(1/2)+157.7–100+184.71–100 + (175.62–100)(1/2)]

q = 600.7 W/m

El flujo total de calor que sale es:

qsale = 3019 + 1214.6 + 600.7 = 4834.3 W/m

Resultado que es igual al calor que entra por la cara superior.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 58


3.8 En la barra de sección transversal cuadrada que se muestra en la figura,determinar la temperatura en el punto x = 0.2 m , y = 0.2 m.

100oC

0oC

0.3 m

0oC

0oC

3.9 Determine la temperatura en el centro de la figura.

Y

X

100oC

50oC

50o

C

200oC

3.10 Encontrar la temperatura en el centro del plato rectangular de la figura.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 59

Y

X

80oC

0oC

0oC

0oC

2

1

3.11 Una tubería de 6 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a 210ºC

pasa por el centro de una losa de hormigón de 45 cm de espesor. Lastemperaturas exteriores de la losa se mantienen a 15

ºC. Utilizando la

tabla 3.1, calcular las pérdidas de calor por unidad de longitud en la

tubería.

3.12 Un cubo de 35 cm de lado exterior está construido de ladrillo refractario. Elespesor de la pared es 5 cm. La temperatura de la superficie interior es500

ºC y la temperatura de la superficie exterior es 80

ºC. Calcular el flujo

de calor en vatios.

3.13 Dos cilindros largos de 8 y 3 cm de diámetro están completamente

rodeados por un medio de k = 1.4 W/mo

C. La distancia entre los centroses 10 cm y los cilindros se mantienen a 200

oC y 35

oC. Calcular el calor

transferido por unidad de longitud.

3.14 Una esfera de 1 m de diámetro que se mantiene a 30ºC está enterrada en

un lugar donde k = 1.7 W/moC. La profundidad del centro es 2.4 m y la

temperatura de la superficie de la tierra es 0oC. Calcular el calor perdido

por la esfera.

3.15 Un gran tanque esférico de almacenaje de 2 m de diámetro, estáenterrado en la tierra en un lugar donde la conductividad térmica es 1.5W/m

oC. El tanque se utiliza para almacenar agua y hielo a 0

oC, y la

temperatura del ambiente de la tierra es 20ºC. Calcular la pérdida de calor

del tanque.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 60

3.16 Dos largos cilindros excéntricos de 15 y 4 cm de diámetrorespectivamente se mantienen a 100

ºC y 20

ºC separados por un material

de k = 3 W/moC. La distancia entre centros es 4.5 cm. Calcular el calor

transferido por unidad de longitud entre los cilindros.

3.17 Dos tuberías enterradas se mantienen a las temperaturas de 300ºC y

125ºC. Sus diámetros son 8 y 16 cm y la distancia entre centros es 40

cm. Calcular el flujo de calor por unidad de longitud si la conductividadtérmica de la tierra en ese lugar es k = 0.7 W/m

oC.

3.18 Una esfera caliente de 1.5 m de diámetro se mantiene a 300ºC inmersa en

un material de k = 1.2 W/moC cuya superficie exterior está a 30

ºC. La

profundidad del centro de la esfera es 3.75 m. Calcular la pérdida decalor.

3.19 Dos tuberías están inmersas en un material aislante de k = 0.8 W/moC.

Una de las tuberías tiene 10 cm de diámetro y lleva un fluido caliente a300

ºC, mientras que la otra tiene 2.8 cm de diámetro y lleva un fluido frío

a 15ºC. Las tuberías son paralelas y sus centros están separados 12 cm.

Calcular el flujo de calor por metro de longitud entre las tuberías.

3.20 En cierto lugar la conductividad térmica de la tierra es k = 1.5 W/moC. En

este lugar, una esfera isoterma que tiene una temperatura de 5ºC y cuyo

diámetro es 2 m se encuentra enterrada, estando su centro a unaprofundidad de 5 m. La temperatura de la tierra es 25

ºC. Calcular el calor

ganado por la esfera.

3.21 Dos tuberías de 5 cm y 10 cm de diámetro están totalmente rodeadas de

asbesto poco compacto. La distancia entre los centros de las tuberías es20 cm. Una de las tuberías lleva vapor a 110

ºC, mientras que la otra lleva

agua fría a 3ºC. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por la

tubería caliente.

3.22 Un cilindro largo cuya superficie se mantiene a 135ºC está inmerso en un

material cuya conductividad térmica es k = 15.5 W/moC. El diámetro del

cilindro es 3 cm y la profundidad de su eje es 5 cm. La temperatura de lasuperficie del material es 46

ºC. Calcular el calor por metro de longitud

perdido por el cilindro.

3.23 Una esfera de 3 m de diámetro contiene hielo y agua a 0oC y está inmersa

en un medio semi-infinito que tiene una conductividad térmica k = 0.2W/m

oC. La superficie superior del medio es isoterma a 30

ºC y el centro

de la esfera está a una profundidad de 8.5 m. Calcular el calor perdidopor la esfera.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 61

3.24 Un calentador eléctrico con forma de placa de 50 por 100 cm, está situado

en la parte superior de una medio semi-infinito que tiene una

conductividad térmica de k = 0.74 W/m

o

C. Toda la superficie delcalentador se mantiene a 120ºC y la temperatura del material aislante a

gran distancia del calentador es 15ºC. Calcular el calor transmitido por

conducción al material aislante.

3.25 Las dimensiones interiores de un pequeño horno son 60 x 70 x 80 cm y suespesor 5 cm. Calcular el factor de forma de esta configuracióngeométrica.

3.26 Una tubería de 15 cm de diámetro, que lleva vapor a 150ºC, estáenterrada cerca de una tubería de 5 cm que lleva agua fría a 5

ºC. La

distancia entre los centros es 15 cm y la conductividad térmica de la tierraen este lugar puede tomarse como k = 0.7 W/m

oC. Calcular el calor por

unidad de longitud perdido por la tubería de vapor.

3.27 Si en el problema 3.6 la temperatura interna es 100ºC y la temperatura

externa es 0oC en los cuatro lados, determine las temperaturas en los

nodos a, b, c, d, e y f.

3.28 Calcular las temperaturas de los puntos 1, 2, 3 y 4. utilizando un métodonumérico.

4 1

2 3

100oC

700oC

500oC

400oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 62

3.29 Calcular las temperaturas de los nodos 1 a 6 de la figura.

2 oC

3.30 Las superficies interior y exterior de una chimenea cuya seccióntransversal se muestra en el esquema se encuentran a 100

ºC y 0

oC.

Determine las temperaturas en los nodos 1, 2, 3, y 4.

3.31 El diagrama muestra la sección transversal de una barra. El material tieneuna conductividad térmica de 3 W/m

oC y el coeficiente de transferencia

50o

C

3 4

5 6

50oC

T∞ = 15oC

50oC

1 2

h=12 W/m

Δx = Δ y = 25 cm

k = 1.5 W/moC

100oC 0

oC

431 2



CAPITULO 4

CONDUCCION NO ESTACIONARIA

Hasta el momento se han considerado problemas de transferencia de calor en

los cuales la temperatura es independiente del tiempo. En muchas aplicaciones,sin embargo, la temperatura está variando con el tiempo. El análisis de talesproblemas llamados no estacionarios pueden entenderse bajo la ecuacióngeneral de la conducción tomada inicialmente en una dimensión:

∂2T 1 ∂T

⎯⎯ = ⎯ ⎯⎯ ∂x

2 α ∂τ

Para la solución de la ecuación anterior se necesitan condiciones de contornoen la dirección x y una condición de tiempo como se verá más adelante.

4.1 METODO DE CAPACIDAD TERMICA GLOBAL O RESISTENCIAINTERNA DESPRECIABLE

Algunos autores lo denominan también análisis por bloques. Para que puedaaplicarse este método debe considerarse que la temperatura de un sistemadurante un calentamiento o un enfriamiento depende casi exclusivamente deltiempo y no de la distancia. Puede suponerse que en estas circunstancias laconductividad térmica del material que constituye el sistema es suficientementealta para que la caída de temperatura en su interior sea insignificante. En igualforma si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas, las diferencias detemperatura en su interior son también insignificantes.

Si suponemos el cuerpo mostrado en la figura, el cual está inicialmente a unatemperatura To, y éste se sumerge repentinamente en un fluido a menor

temperatura T∞ cuyo valor es constante, la resistencia interna a la conducciónes insignificante respecto a la resistencia externa a la convección. Latemperatura del cuerpo dependerá únicamente del tiempo.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 66

q = hA(T - T∞) = - CρV (dT/dτ)

La pérdida de calor por convección desde el cuerpo equivale a la disminuciónde la energía interna del cuerpo.

q = hA(T - T∞) = - CρV (dT/dτ)

donde:

h = coeficiente de transferencia de calor. A = área del cuerpo para transferencia de calor por convección.

ρ = densidad del material que constituye el sistema.V = volumen del cuerpo.C = calor específico del material que constituye el sistema.

La solución a la ecuación anterior para T = To en τ = 0 es:

T – T∞ - (hA/ρCV) τ

⎯⎯⎯ = e To - T∞

T∞ = temperatura del ambiente convectivo.

La cantidad CρV/hA se denomina constante de tiempo del sistema ya que tienelas dimensiones de tiempo.

4.2 NUMEROS DE BIOT Y FOURIER

Si se considera la relación V/A = s como una longitud característica del sólido ,el grupo hs/k es adimensional y se llama número de Biot.

Bi = Número de Biot = (hs/k)



CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 67

El número de Fourier Fo es adimensional y se define como:

Fo = Número de Fourier = (ατ/s2) = (kτ/ρCs

2)

El número de Biot compara los valores relativos de la resistencia a latransferencia de calor por convección en la superficie y la resistencia interna ala conducción. Puede aplicarse el método de capacidad térmica global con unerror de no más del 5% si Bi<0.1.El número de Fourier compara una longitud característica del cuerpo con unvalor aproximado de la longitud hasta la que penetra la onda de temperatura en

un tiempo dado “τ”. Un valor muy bajo del número de Biot significa que laresistencia a la conducción es despreciable en comparación con la resistenciaconvectiva de la superficie. Esto a su vez implica que la temperatura seráprácticamente uniforme a lo largo del sólido, y su comportamiento puedeaproximarse por el método de análisis de la capacidad global.

El exponente (hA/ρCV) τ toma la siguiente forma:

hA hτ hs kτ

⎯⎯ τ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯ x ⎯⎯⎯ = Bi Fo

ρCV ρCs k ρCs2

Luego la ecuación que relaciona las temperaturas en el sistema de capacidadtérmica global es:

T - T∞ - Bi Fo

e ⎯⎯⎯ =To - T∞

4.3 FLUJO DE CALOR TRANSITORIO EN UN SOLIDO SEMI-INFINITO

Se considera el sólido semi-infinito mostrado en la figura. Se supone que todo elsólido se encuentra inicialmente a una temperatura constante T i yrepentinamente su superficie plana experimenta un cambio de temperatura, detal manera que ésta adquiere un valor constante To.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 70

Gráfica 4-1 – Distribución de temperaturas para un sólido semi-infinito

TABLA 4-1 - FUNCION DE ERROR

ατ2

x

ατ2

xerf

ατ2

x

ατ2

xerf

ατ2

x

ατ2

xerf

0.00 0.00000 0.76 0.71754 1.52 0.96841

0.02 0.02256 0.78 0.73001 1.54 0.97059

0.04 0.04511 0.80 0.74210 1.56 0.97263

0.06 0.06762 0.82 0.75381 1.58 0.97455

0.08 0.09008 0.84 0.76514 1.60 0.97636

0.10 0.11246 0.86 0.77610 1.62 0.97804

0.12 0.13476 0.88 0.78669 1.64 0.97962

0.14 0.15695 0.90 0.79691 1.66 0.98110

0.16 0.17901 0.92 0.80677 1.68 0.98249

0.18 0.20094 0.94 0.81627 1.70 0.983790.20 0.22270 0.96 0.82542 1.72 0.98500

0.22 0.24430 0.98 0.83423 1.74 0.98613

0.24 0.26570 1.00 0.84270 1.76 0.98719

0.26 0.28690 1.02 0.85084 1.78 0.98817

0.28 0.30788 1.04 0.85865 1.80 0.98909

0.30 0.32863 1.06 0.86614 1.82 0.98994

0.32 0.34913 1.08 0.87333 1.84 0.99074

0.34 0.36936 1.10 0.88020 1.86 0.99147

0.36 0.38933 1.12 0.88079 1.88 0.99216

0.38 0.40911 1.14 0.89308 1.90 0.99279

0.40 0.42839 1.16 0.89910 1.92 0.99338

0.42 0.44749 1.18 0.90484 1.94 0.99392

0.44 0.46622 1.20 0.91031 1.96 0.99443

0.46 0.48466 1.22 0.91553 1.98 0.99489

0.48 0.50275 1.24 0.92050 2.00 0.995322

0.50 0.52050 1.26 0.92524 2.10 0.997020

0.52 0.53790 1.28 0.92973 2.20 0.998137




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 71

ατ2

x

ατ2

xerf

ατ2

x

ατ2

xerf

ατ2

x

ατ2

xerf

0.54 0.55494 1.30 0.93401 2.30 0.998857

0.56 0.57162 1.32 0.93806 2.40 0.9993110.58 0.58792 1.34 0.94191 2.50 0.999593

0.60 0.60386 1.36 0.94556 2.60 0.999764

0.62 0.61941 1.38 0.94902 2.70 0.999866

0.64 0.63459 1.40 0.95228 2.80 0.999925

0.66 0.64938 1.42 0.95538 2.90 0.999959

0.68 0.66278 1.44 0.95830 3.00 0.999978

0.70 0.67780 1.46 0.96105 3.20 0.999994

0.72 0.69143 1.48 0.96635 3.40 0.999998

0.74 0.70468 1.50 0.96610 3.60 1.000000

4.4 CONDICIONES DE CONTORNO CONVECTIVAS

En la mayoría de las situaciones prácticas, el problema de la conducción decalor en régimen transitorio está unida a condiciones de contorno convectivasen la superficie del sólido.

Para el caso del sólido semi-infinito la ecuación diferencial debe tener en cuentala transferencia de calor por convección en la superficie.

El balance de energía queda:

Calor conducido haciadentro de la superficie

Calor por convecciónhacia la superficie =

hA(T∞ - T)x=0 = - kA (∂T/∂x)x=0

La solución al problema anterior es muy compleja y el resultado final es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ τα

+−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ τα

+−−=−

−

∞ )k

h

u(erf 1)k

h

k

xh

(exp)u(erf 1TT

TT

2

2

i

i




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 72

x

donde : u = ⎯⎯⎯⎯ ατ4

Ti = Temperatura inicial del sólido T∞ = Temperatura ambiente.

La solución anterior se presenta en la gráfica 4-2.

Gráfica 4-2 Distribución de temperatura en un sólido semi-infinito concondiciones de contorno convectiva




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 73

4-5 SOLUCIONES GRAFICAS : CONDICIONES DE CONTORNODE CONVECCION (DIAGRAMAS DE HEISLER)

En general corresponden a las siguientes geometrías:

a) Placa de espesor finito.b) Cilindro largo sólido.c) Esfera sólida.

Placa de espesor finito.

En la gráfica 4-3 se muestra el diagrama de Heisler en el cual se representa latemperatura en la línea central de la placa en función de Fo y Bi. Para un tiempodeterminado (Fo) la temperatura en cualquier lugar x del cuerpo puededeterminarse con ayuda de la gráfica 4-5 junto con la temperatura de la líneacentral en ese tiempo Fo. La gráfica 4-6 representa el diagrama de Grober en elcual se representa el calor adimensional adicionado o retirado

Gráfica 4-3 Temperatura del plano medio de una placa inf inita de espesor2L (escala completa)

( α τ / L2 ) = Fo

θ0 / θi




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 74

Gráfica 4-4 Temperatura del plano medio de una placa inf ini ta de espesor2L (escala expandida para 0<Fo<4)

Gráfica 4-5 La temperatura en función de la temperatura del centro de unaplaca de espesor 2L

θ / θ0

k/hL0 = 1/Bi




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 75

Gráfica 4-6 Flujo de calor adimensional Q/Qo de una placa infinita deespesor 2L, en función del tiempo.

Q/Q0

h2

Cilindro largo sólido.

La ecuación diferencial de la temperatura para la transferencia de calorúnicamente radial en un cilindro de radio Ro es

∂2θ 1 ∂θ 1 ∂θ

+ =

∂r 2 r ∂r α ∂r

donde θ = T(r,τ) - T∞

La solución de la ecuación anterior para las siguientes condiciones de contorno

∂θ/∂r = 0 para r = 0

∂θ/∂r = - hθ/k para r = R

θ = θi para τ = 0

se presenta en las gráficas 4-7, 4-8, 4-9 y 4-10.

τ/k2 = Fo Bi

2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 76

Gráfica 4-7 Temperatura en el eje de un cilindro infinito de radio Ro (escalacompleta)

θ0 / θi

Gráfica 4-8 Temperatura en el eje de un cilindro infinito de radio Ro (escalaexpandida 0<Fo<4)

(α τ / r 02

) = Fo




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 77

Gráfica 4-9 La temperatura en función de la temperatura en el eje para uncilindro infinito de radio Ro

θ / θ0

Gráfica 4-10 Pérdida de calor adimensional Q/Qo de un cilindro infinito deradio Ro en función del tiempo.

k / h r 0 = 1/Bi

Q/Q0

h2

τ/k

2 = Fo Bi

2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 78

Esfera sólida.

En el caso de una esfera sólida se utilizan las gráficas 4-11, 4-12, 4-13 y 4-14.

La gráfica 4-15 se utiliza para pequeños valores de h.

Gráfica 4-11 Temperatura del centro de una esfera de radio Ro (escalacompleta)

θ0 / θi

Gráfica 4-12 Temperatura del centro de una esfera de radio Ro (escalaexpandida para 0<Fo<3

(α τ / r 02) = Fo




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 79

Gráfica 4-13 La temperatura en función de la temperatura del centro parauna esfera de radio Ro

θ / θ0

Gráfica 4-14 Pérdida de calor adimensional Q/Qo de una esfera de radio Ro en función del tiempo

k / h r 0 = 1/Bi

Q/Q0

h2

τ/k

2 = Fo Bi

2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 80

Gráfica 4-15 Temperatura del centro de placas, cil indros y esferas paravalores pequeños de h. (s = L en placas, s = r o en cilindrosy esferas)

Placa : m = 1Cilindro: m = 2Esfera: m = 3

m τ h

⎯⎯⎯ = m Fo Bi s k

Intervalo para el gráfico anterior: ατ/s2 > 0.2 y hs/k < 0.01

Para las gráficas anteriores:

θ = T(x,τ) - T∞ o θ = T(r,τ) - T∞ ; θi = (Ti - T∞) ; θo = (To - T∞)

Ti = Temperatura inicial uniforme del sólido

T∞ = Temperatura del contorno convectivo

T o = Temperatura en el centro (x=0 , r=0)

Qo = Energía interna inicial del cuerpo respecto a la temperatura ambiente

Qo = ρCV θi

Q = Pérdida de calor real del cuerpo en el tiempo τ.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 81

Los cálculos para los diagramas de Heisler se han realizado truncando lasseries infinitas de las soluciones de los problemas y reduciéndolas a unos pocos

términos. Esto restringe el campo de aplicación de las gráficas a valores denúmero de Fourier mayores que 0.2.

4.5 SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES

Los diagramas de Heisler anteriores, pueden utilizarse para obtener ladistribución de temperatura en la placa infinita de espesor 2L, en el cilindro largoo en la esfera. Cuando se encuentra una pared cuya altura y anchura tienendimensiones que no son grandes comparadas con el espesor, o un cilindro cuyalongitud no es grande comparada con su diámetro, se necesitan coordenadasespaciales adicionales para especificar la temperatura. Los diagramasanteriores no pueden utilizarse y es necesario buscar otro método de solución. Afortunadamente, es posible combinar las soluciones de problemasunidimensionales de forma muy sencilla, para obtener las soluciones deproblemas multidimensionales.

La barra rectangular infinita de la figura, puede formarse a partir de dos placasinfinitas de espesor 2L1 y dos placas de infinitas de espesor 2L2. La ecuacióndiferencial para este caso es:

∂2T ∂2

T 1 ∂T

⎯⎯ + ⎯⎯ = ⎯ ⎯⎯ ∂x

2 ∂z

2 α ∂τ




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 84

TRANSFERENCIA DE CALOR EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES

Es posible suponer las soluciones de pérdida de calor de cuerpos

unidimensionales, como se indica en las gráficas 4-6, 4-10 y 4-14 para obtenerel calor para un cuerpo multidimensional. Los resultados de este análisis para laintersección de dos cuerpos es:

(Q/Qo)total = (Q/Qo)1 + (Q/Qo)2 [1 – (Q/Qo)1]

donde los subíndices hacen referencia a los dos cuerpos que se intersectan.

Para un cuerpo multidimensional formado por la intersección de tres sistemasunidimensionales, la pérdida de calor viene dada por:

(Q/Qo)total = (Q/Qo)1 + (Q/Qo)2 [1 – (Q/Qo)1] + (Q/Qo)3 [1 – (Q/Qo)1] [1 – (Q/Qo)2]

Si se desea obtener la pérdida de calor al cabo de un tiempo dado, el cálculo esinmediato. Por otra parte, si lo que se desea conocer es el tiempo paraconseguir una cierta pérdida de calor, se debe emplear un procedimiento deprueba y error.

4.6 ANALISIS NUMERICO

Los diagramas anteriores son útiles para sólidos de formas regulares.Desafortunadamente las formas geométricas de interés práctico nocorresponden a las anteriores y con frecuencia los problemas tienencondiciones de contorno transitorias y su geometría no hace posible una

solución analítica. Para estos casos los problemas se tratan por técnicasnuméricas con computador.

ECUACION DE CONDUCCION PARA DIFERENCIAS FINITAS

Para un sistema bidimensional y a partir de la ecuación diferencial que gobiernael flujo de calor en el interior del cuerpo sólido, se demuestra (ver figura) que:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 86

donde: es la temperatura en el tiempo τ y es la temperatura en el

tiempo τ + Δτ.

pnT 1p

nT +

Los valores de M para lograr la convergencia de la solución numérica de laecuación deben ser:

M ≥ 2 para problemas unidimensionales

M ≥ 4 para problemas bidimensionales.

M ≥ 6 para problemas tridimensionales.

Las ecuaciones anteriores son apropiadas para nodos interiores de un cuerpo.Para puntos nodales exteriores sujetos a condiciones de contorno convectivasen un sistema unidimensional, la ecuación del balance de energía conduce a:

Δx/2Δx

Δy

pn

p1

1pn T1

k

xh

M

21T

k

xhT

M

2T ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

Δ−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ+= ∞

+

Para un punto nodal exterior sujeto a condiciones de contorno covectivas en unsistema bidimensional:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 87

Δx/2 Δx

Δy

h

pn

p3

p2

p1

1pn T2

k

xh

M

21T

k

xh2TT2T

M

1T ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

Δ−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ+++= ∞

+

Los requerimientos para convergencia de las soluciones numéricas deben ser:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

Δ≥ 1

k

xh2M sistema unidimensional

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

Δ≥ 2

k

xh2M sistema bidimensional

Ecuaciones nodales adicionales para casos que tienen en cuenta esquinasinteriores o exteriores y/o superficies bajo condiciones de radiación se pueden

consultar en la bibliografía. Los requerimientos de estabilidad consideransiempre que no sea negativo.p

nT

PROBLEMAS RESUELTOS

4.1 Determinar el número de Biot para una esfera de acero dulce a 100ºC, condiámetro de 2.5 cm sometida a un ambiente convectivo de aire circulantecon h=56.7 W/m

2 oC. Para la esfera k = 45 W/m

oC.

4πr 3/3 r

s = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ 4πr

2 3




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 88

h (r/3) (56.7) (1.25 x 10

-2 / 3)

Bi = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 5.25 x 10-3

k 45

4.2 Un trozo de hierro (k = 64 W/moC) mide 20x16x80 cm y está sometido a

una transferencia de calor por convección libre con h = 11.34 W/m2

oC.

Determinar el número de Biot y la posibilidad de un análisis por capacidadtérmica global para un enfriamiento, si este trozo está inicialmente máscaliente que el medio que lo rodea.

A = (2)(20x16) + (2)(16x80) + (2)(20x80) = 6400 cm2

V = 20x16x80 = 25600 cm3

S = (V/A) = (25600/6400) = 4 cm

hs (11.34)(4x10-2

)

Bi = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.0071k 64

Un análisis por capacidad térmica global podría utilizarse.

4.3 Determine la constante de tiempo para un termopar de cobre-constantan auna temperatura promedio de 0

oC expuesta a un ambiente convectivo

donde h=45.36 W/m2 oC, si su diámetro es 0.0128 cm.

Las propiedades de los materiales son:

kCu = 387.52 W/moC kcon = 21.45 W/m

oC

CCu = 0.38 J/goC Ccon = 0.418 J/g

oC

ρCu = 8.93 g/cm3 ρcon = 8.92 g/cm

3

Suponiendo que un promedio aritmético es válido:

k = (387.52 + 21.45) / 2 = 204.48 W/moC

C = (0.38 + 0.418) / 2 = 0.4 J/goC

ρ = 8.925 g/cm3 = 8925 kg/m

3

Para un objeto esférico de radio r, s = (V/A) = r/3




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 89

La constante de tiempo será:

CρV (400) (8925) (6.4 x 10-5

)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.68 shA (45.36) (3)

4.4 Una esfera de aluminio de 3 cm de diámetro se encuentra inicialmente auna temperatura de 200

ºC y se pone al aire a una temperatura de 100

ºC. Si

el coeficiente promedio de transferencia de calor es h = 20 W/m2

oC,

calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de150

ºC.

Para el aluminio:k = 210 W/m

oC

C = 0.895 J/goC

ρ = 2.7 g/cm3

hs (20) (1.5 x 10-2

)

Bi = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.71 x 10-4

k (210) (3)

Puesto que el número de Biot es mucho menor que 0.1, se puede aplicar laecuación:

τρ−

∞

∞ =−

− )CV/hA(

o

eTT

TT

ρ = 2.72 g/cm

3

= 2720 Kg/m

3

C = 0.895 J/goC = 895 J/Kg

oC

hA h(4πr 2) 3h (3) (20)

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 16.43 x 10-4

s-1

ρCV ρC(4πr 3/3) ρCr (2720) (895) (1.5 x 10

-2)

T - T∞ 150 - 100

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.5 ⇒ τ = 421.8 s ≅ 7 mi

To - T∞ 200 – 100




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 90

4.5 ¿Cuál es la máxima longitud de las aristas de un cubo de aluminio sólido a100

ºC dentro de un medio convectivo con h = 25 W/m

2 oC para que pueda

ser analizado mediante el método de capacidad térmica global?

Para el aluminio: k = 205.82 W/moC

hs (0.1) (205.82)

Bi = 0.1 = ⎯⎯⎯ ⇒ s = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.823 mk 25

s =(V/A) = (L3/ 6L

2) = L / 6 ⇒ L = 6 x 0.823 = 4.94 m

4.6 Una esfera de acero ( C = 0.46 kJ/kgoC , k = 35 W/m

oC ) de 5 cm de

diámetro e inicialmente a una temperatura uniforme de 450ºC, se coloca

repentinamente en un ambiente controlado en el que la temperatura semantiene a 100

ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección

es 10 W/m2 oC. Calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance la

temperatura de 150ºC.

hs hr (10) (2.5 x 10-2

)

Bi = ⎯⎯ = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.0023 < 0.1k 3k (3) (35)

Se aplica por tanto el método de capacidad térmica global.

T = 150oC

T∞ = 100oC

To = 450oC

ρ = 7800 kg/m3

h = 10 W/m2 oC

C = 460 J/kgoC

hA (10) (4π) ( 0.025)2

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 3.44 x 10-4

s-1

ρCV (7800) (4π/3) (0.025)3

(460)

τρ−

∞

∞ =−

− )CV/hA(

o

eTT

TT




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 92

x 0.025

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.61

ατ4 )30)(10x4.1)(4( 5−

De la tabla 4-1: erf 0.61 = 0.61164

Tx,τ = To + (Ti – To)erf (x/ ατ4 ) = 250 + (35 – 250) (0.61164) = 118.5oC

4.9 Una placa de acero de 5 cm de espesor, muy ancha y muy larga, estáinicialmente a 50ºC. Una superficie es expuesta a un fluido el cualrepentinamente incrementa la temperatura de la superficie hasta 100

ºC.

Determinar la temperatura en el centro de la placa (x = 2.5 cm), un minuto

después de ocurrido el cambio de temperatura, (α = 1.26 x 10-5

m2/s).

Se aplica la ecuación:

T(x,τ) – To x

⎯⎯⎯⎯ = erf ⎯⎯⎯⎯ Ti – To ατ4

x 2.5x10-2

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.45

ατ4 )60)(10x26.1)(4( 5−

Tx,τ = 100 + (50 – 100) erf 0.45 = 100 – 50(0.48) = 76oC

4.10 La temperatura de la superficie de una plancha grande de aluminio a200

ºC se baja repentinamente a 70

ºC. ¿Cuál es el calor total por unidad

de área extraído de la plancha cuando la temperatura, a una profundidadde 4 cm, ha descendido a 120

ºC?

Se calcula el tiempo necesario para alcanzar los 120º

C.

Para el aluminio: α = 8.4 x 10-5

m2/s ; k = 215 W/m

oC

Ti = 200ºC ; To = 70

ºC ; Tx,τ = 120

oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 93

120 – 70 x

⎯⎯⎯⎯ = erf ⎯⎯⎯ = 0.3847

200 – 70 ατ4

De la tabla 4-1: (x/ ατ4 ) = 0.3553

(0.04)2

τ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 37.72 s(0.3553)

2 (4) (8.4 x 10

-5)

El calor se calcula de la siguiente manera:

∫ ∫τ τ

πατ

−=τπατ

−=τ=

0 0io

iooo )TT(k2d)TT(k

d A

q

A

Q

62

1

5

o 10x32.21)10x4.8(

72.37)20070()215()2(

A

Q−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

π−=

− J/m

2

4.11 Una tubería de agua es enterrada 33 cm (como en el problema 4.7) bajo

tierra húmeda (α = 7.74 x 10-7

m2/s y k = 2.59 W/m

oC). La tierra está

inicialmente a temperatura uniforme de 4ºC. Se aplica repentinamente

una condición de superficie convectiva bajo la cual h = 56.7 W/m2 oC y T∞

= -20oC. Decir si la tubería estará expuesta a la congelación del agua en

un periodo de 10 horas.

Este problema se basa en la ecuación:

T – Ti hx h2ατ h ατ

⎯⎯⎯ = 1 – erf u – [ exp ( ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ] [ 1 – erf (u + ⎯⎯⎯⎯ )]T∞ - Ti k k

2 k

x

donde : u = ⎯⎯⎯⎯ ατ4




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 94

h ατ4 56.7 )3600)(10)(10x74.7( 7−

⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 3.65k 2.59

x 0.33

u = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.99 ≈ 1.0

ατ4 )3600)(10)(10x74.7)(4( 7−

Para mayor facilidad se utiliza la gráfica 4-2:

T - Ti

⎯⎯⎯ ≈ 0.12

T∞ - Ti

T = (0.12)(T∞ - Ti) + Ti = (0.12)(-20 - 4) + 4 = 1.12oC

Luego la congelación no alcanza a ocurrir.

4.12 La superficie de la plancha del problema 4.10 se expone, de forma rápida,a la convección del ambiente, que está a 70

ºC y cuyo coeficiente de

transferencia de calor por convección vale 525 W/m2 oC. Calcular el tiempo

necesario para que la temperatura alcance el valor de 120ºC a una

profundidad de 4 cm.

Para resolver más fácilmente este problema se utiliza la gráfica 4-2.

Es necesario un procedimiento iterativo, ya que el tiempo aparece en las dosvariables.

T – Ti 120 - 200

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.615

T∞ - Ti 70 – 200

Se busca en la gráfica un valor tal que se obtenga el resultado anterior.

Las iteraciones se ilustran en la siguiente tabla, los valores de α y k se tomandel problema 4.10.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 95

τ h

k

ατ

ατ4

x

i

i

TT

TT

−

−

∞

(gráfica 4-2)

1000 0.708 0.069 0.41

3000 1.226 0.040 0.61

4000 1.416 0.035 0.68

Luego el tiempo necesario es de aproximadamente 3000 segundos.

4.13 Una placa grande de aluminio de 5 cm de espesor, y que inicialmente estáa 200

ºC, se expone, de forma rápida al entorno convectivo del problema

4.12. Calcular la temperatura a una profundidad de 1.25 cm desde una delas caras 1 minuto después de que la placa haya sido expuesta alambiente. ¿Qué cantidad de energía por unidad de área debe serextraída de la placa en ese intervalo de tiempo?

Para calcular la temperatura central de la placa se utiliza la gráfica 4-3.

θi = Ti - T∞ = 200 – 70 = 130

α = 8.4 x 10-5

m2/s ; 2L= 5 cm ; L= 2.5 cm ; τ = 1 mi = 60 s

k = 215 W/moC ; h = 525 W/m

2 oC

x = 2.5 – 1.25 = 1.25 cm

Luego:

ατ (8.4 x 10-5

) (60) k 215

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.064 ; ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 16.38L

2 (0.025)

2 hL (525) (0.025)

(x/L) = 1.25/2.5) = 0.5

De la gráfica 4-3:

θo/θi = 0.61 ⇒ θo = To - T∞ = (0.61) (130) = 79.3

De la gráfica 4-5 en x/L = 0.5,

θ/θo = 0.98 ⇒ θ = T - T∞ = (0.98) (79.3) = 77.7




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 96

T = 77.7 + 70 = 147.7oC

La energía perdida por la placa se calcula a partir de la gráfica 4-6. Para este

cálculo se necesitan las siguientes propiedades del aluminio:

ρ = 2700 kg/m3 C = 0.9 kJ/kg

oC

Para la gráfica 4-6 se necesita:

h2α τ (525)

2 (8.4 x 10

-5) (60)

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.03k

2 (215)

2

hL (525) (0.025)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.061k 215

De la gráfica 4-6:

Q/Qo = 0.41

Por unidad de área

Qo ρCVθi

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ρC(2L)θi = (2700) (900 ) (0.05) (130) = 15.8 x 106 J/m

2

A A

El calor extraído por unidad de superficie,

(Q/A) = (15.8 x 106) (0.41) = 6.48 x 10

6 J/m

2

4.14 Un cilindro largo de aluminio de 5 cm de diámetro e inicialmente a 200ºC,

se somete, de forma rápida, a un entorno convectivo a 70ºC y h = 525

W/m2

o

C. Calcular la temperatura en un radio de 1.25 cm y la pérdida decalor por unidad de longitud, 1 minuto después de que el cilindro seexponga al ambiente.

Este problema es igual al 4.13, excepto que para la solución se emplean lasgráficas 4-9 y 4-11.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 97

θi = Ti - T∞ = 200 – 70 = 130

α = 8.4 x 10-5

m2/s ; r o = 2.5 cm ; τ = 1 mi = 60 s

k = 215 W/moC ; h = 525 W/m

2 oC

r = 1.25 cm

ρ = 2700 kg/m3 C = 0.9 kJ/kg/

oC

Se calcula

α τ (8.4 x 10-5

) (60)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.064r o

2 (0.025)

2

k 215

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 16.38hr o (525) (0.025)

(r/r o) = (1.25/2.5) = 0.5

De la gráfica 4-7

θo/θi = 0.38

De la gráfica 4-9 en r/r o = 0.5θ

θ/θo = 0.98

de manera que

(θ/θi) = (θo/θi) x (θ/θo) = (0.38) (0.98) = 0.372

θ = T - T∞ = (0.372) (130) = 48.4

T = 70 + 48.4 = 118.4 oC

Para calcular la pérdida de calor, se determina

h2ατ (525)

2 (8.4 x 10

-5) (60)

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.03k

2 (215)

2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 98

hr o (525) (0.025)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.061

k 215

De la gráfica 4-10

(Q/Qo) = 0.65

Por unidad de longitud

Qo ρCVθi

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ρCπr o2θi = (2700) (900) (π) (0.025)

2 (130) = 6.203 x 10

5 J/m

L L

y la pérdida real de calor por unidad de longitud es

(Q/L) = (6.203 x 105) ( 0.65) = 4.032 x 10

5 J/m

4.15 Un cilindro semi-infinito de aluminio de 5 cm de diámetro está inicialmentea una temperatura uniforme de 200

ºC. Este cilindro es sometido, de forma

rápida, a una condición de contorno convectiva a 70ºC con h = 525 W/m

2

oC. Calcular las temperaturas en el eje y en la superficie del cilindro a 10

cm de la base, 1 minuto después de la exposición al ambiente.

Este problema exige la combinación de las soluciones para un cilindro infinito yuna plancha semi-infinita. Para la plancha se tiene

x = 10 cm α = 8.4 x 10-5

m2/s k = 215 W/m

2 oC

de modo que los parámetros a usar en la gráfica 4-2 son

h ατ (525) )60)(10x4.8( 5−

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.173k 215

x 0.1

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.704

ατ4 )60)(10x4.8)(4( 5−

De la gráfica 4-2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 99

(θ/θi)plancha semi-infinita = 1 – 0.036 = 0.964 = S(X)

Se buscan los cocientes de temperaturas tanto en el eje como en la superficiedel cilindro infinito. Los parámetros a usar en la gráfica 4-7 son

r o = 2.5 cm (k/hr o) = 16.38 (ατ/r o2) = 8.064 (θo/θi) = 0.38

Este es el cociente de temperaturas en el eje. Para encontrar el cociente detemperaturas en la superficie, se entra en la gráfica 4-9 con

(r/r o) = 1.0 (θ/θo) = 0.97

De este modo

C(Θ) = (θ/θi)cilindro infinito = 0.38 en r = 0

C(Θ) = (θ/θi)cilindro infinito = (0.38) (0.97) = 0.369 en r = r 0

Combinando las soluciones para la plancha semi-infinita y para el cilindro infinitose tiene

(θ/θi)cilindro semi-infinito = C(Θ) S(X) = (0.38) (0.964) = 0.366 en r = 0

(θ/θi)cilindro semi-infinito = C(Θ) S(X) = (0.369) (0.964) = 0.356 en r = r o

Las temperaturas correspondientes son

T = 70 + (0.366) (200 – 70) = 117.6 en r = 0

T = 70 + (0.356) (200 – 70) = 116.3 en r = r o

4.16 Un cilindro de aluminio de 5 cm de diámetro y 10 cm de largo estáinicialmente a una temperatura uniforme de 200

ºC. Este cilindro se

expone, de forma rápida, a un ambiente convectivo a 70ºC y h = 525

W/m2

o

C. Calcular la temperatura en una posición radial de 1.25 cm y auna distancia de 0.625 cm desde una de las bases del cilindro, 1 minutodespués de haber sido expuesto al ambiente.

Para resolver este problema se combinan las soluciones para un cilindro infinitoy una placa infinita.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100

Para el problema de placa infinita

L = 5 cm

La posición x se mide desde el centro de la placa de modo que

x = 5 – 0.625 = 4.375 ⇒ (x/L) = 4.375/5 = 0.875

Para el aluminio

α = 8.4 x 10-5

m2/s k = 215 W/m

oC

luego

k 215 ατ (8.4 x 10-5

) (60)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.19 ; ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.016hL (525) (0.05) L

2 (0.05)

2

De las gráficas 4-3 y 4-5 respectivamente

(θo/θi) = 0.75 ; (θ/θo) = 0.95

de modo que

(θ/θi)placa = (0.75) (0.95) = 0.7125

Para el cilindro, r o = 2.5 cm

(r/r o) = 1.25/2.5 = 0.5 (k/hr o) = 215/(525) (0.025) = 16.38

ατ (8.4 x 10-5

) (60)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.064r o

2 (0.025)

2

y de las gráficas 4-7 y 4-9, respectivamente

(θo/θi) = 0.38 (θ/θo) = 0.98

de modo que

(θ/θi)cil = (0.38) (0.98) = 0.3724

La combinación de las soluciones para la placa y el cilindro proporciona




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 101

(θ/θi)cilindro corto = (0.7125) (0.33724) = 0.265

Así

T = T∞ + (0.265) (Ti - T∞) = 70 + (0.265) (200 – 70) = 104.5oC

4.17 Calcular la pérdida de calor en el cilindro corto del problema 4.16.

En primer lugar se calcula el cociente de pérdida de calor adimensional de laplaca infinita y del cilindro infinito que forma el cuerpo multidimensional. Para laplaca se tiene L = 5 cm = 0.05 m.

Utilizando las propiedades del aluminio del problema 4.16 se calcula

hL (525) (0.05)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.122k 215

h2ατ (525)2 (8.4 x 10-5) (60)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.03k

2 (215)

2

Para la placa, en la gráfica 4-6

(Q/Qo)placa = 0.22

Para el cilindro, r o = 2.5 cm = 0.025 m

hr o (525) (0.025)

⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.061k 215

y en la gráfica 4-10 se puede leer

(Q/Qo)cillindro = 0.55

Los dos cocientes del calor se introducen en la ecuación

(Q/Qo)total = (Q/Qo)1 + (Q/Qo)2 [1 – (Q/Qo)1]

(Q/Qo)total = 0.22 + (0.55) (1 – 0.22) = 0.649




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 103

Para este incremento, M = 2 y la ecuación correspondiente que simplificada a

( )p

3

p

1

1pn TT

2

1T +=+

donde los subíndices 1 y 3 son para los dos nodos adyacentes al nodo n. luegopara el presente problema las ecuaciones nodales son:

( )pc

pa

1pb TT

2

1T +=+

( )pd

pb

1pc TT

2

1T +=+

( )pe

pc

1pd TT

2

1T +=+

( )pd

pd

1pe TT

2

1T +=+

No se requiere ecuación para el nodo a puesto que está a temperaturaconstante. Como Ta está inicialmente a 20

ºC y es cambiado repentinamente a

100ºC un valor aproximado para Ta durante el primer incremento de tiempo es

un promedio entre estos dos extremos. La solución es mostrada en la siguiente

tabla. En esta solución se escogió el Δτ máximo para mayor simplicidad. En lapráctica, especialmente si se utiliza computadora, es preferible utilizar pequeños

intervalos de tiempo.

Tiempo(horas)

a b c d e

0.0 60 20 20 20 20

0.02 100 40 20 20 20

0.04 100 60 30 20 20

0.06 100 65 40 25 20

0.08 100 70 45 30 25

0.10 100 72.5 50 35 30

0.12 100 75 53.8 40 350.14 100 76.9 57.5 44.4 40

0.16 100 78.8 60.6 48.8 44.4

0.18 100 80.3 63.8 52.5 48.8

0.20 100 81.9 66.4 56.3 52.5

0.22 100 83.2 69.1 59.4 56.3

0.24 100 84.6 71.3 62.7 59.4

0.26 100 85.6 73.9 65.4 62.7




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 104

Las temperaturas de los nodos están enoC.


4.19 La temperatura de la superficie de una plancha de cobre de 30 por 30 cm,de 5 cm de espesor y a una temperatura uniforme de 260

ºC, desciende,

de forma rápida, hasta 35ºC. Haciendo uso del concepto de capacidad

térmica global, obtener el tiempo para que la temperatura del centro

alcance un valor de 90ºC. Las propiedades son: ρ = 8900 kg/m

3 , C = 0.38

kJ/kgo

C, y k = 370 W/mo

C.

4.20 Un trozo de aluminio de 5.5 kg de peso e inicialmente a una temperaturade 290

ºC, se sumerge, de forma rápida, en un fluido a 15

ºC. El coeficiente

de transferencia de calor por convección es 58 W/m2

oC. Tomando el

trozo de aluminio como una esfera del mismo peso que el dado, estimarel tiempo necesario para enfriar el aluminio a 90

ºC, haciendo uso del

método de análisis de la capacidad global.

4.21 Una barra de acero inoxidable (18% Cr, 8% Ni) de 6.4 mm de diámetroestá inicialmente a una temperatura uniforme de 50

ºC y, de forma rápida,

se sumerge en un líquido a 200ºC con h = 120 W/m

2

oC. Utilizando el

método de análisis de la capacidad global, calcular el tiempo necesariopara que la barra alcance la temperatura de 120

ºC.

4.22 Una esfera de cobre de 5 cm de diámetro está inicialmente a unatemperatura uniforme de 250

ºC. Esta esfera se expone de forma rápida a

un ambiente de 30ºC y que tiene un coeficiente de transferencia de calorh = 28 W/m

2 oC. Utilizando el método de análisis de la capacidad global,

calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperaturade 90

ºC.

4.23 Una esfera de cobre que tiene un diámetro de 3 cm se encuentrainicialmente a una temperatura uniforme de 50

ºC. De forma rápida se le

coloca en una corriente de aire a 10ºC con h = 15 W/m

2

oC. ¿Cuánto

tiempo tardará la esfera en bajar su temperatura hasta 25º

C?

4.24 Una lata de aluminio de 350 cm3 de volumen contiene cerveza a 1

ºC.

Utilizando el análisis de la capacidad global, estimar el tiempo necesariopara calentar el contenido hasta 15

ºC, cuando la lata se coloca en una

habitación a 22ºC con un coeficiente de convección de 15 W/m

2

oC.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 105

Suponer que las propiedades de la cerveza son las mismas que las delagua.

4.25 Una esfera de aluminio de 12 mm de diámetro se calienta hasta alcanzaruna temperatura uniforme de 400ºC, y a continuación se la somete, de

forma rápida, al aire en una habitación a 20ºC con un coeficiente de

transferencia de calor de 10 W/m2

oC. Calcular el tiempo para que el

centro de la esfera alcance la temperatura de 200ºC.

4.26 Una esfera de cobre de 4 cm de diámetro se encuentra inicialmente a200

ºC. De forma rápida, se la somete a un ambiente convectivo a 30

ºC

con h = 20 W/m2 oC. Calcular el tiempo necesario para que el centro de la

esfera alcance una temperatura de 80ºC.

4.27 Una pared gruesa de hormigón, que tiene una temperatura uniforme de54

ºC, es sometida, de forma rápida, a una corriente de aire a 10

ºC. El

coeficiente de transferencia de calor es 2.6 W/m2

oC. Calcular la

temperatura de la plancha de hormigón a una distancia de 7 cm, al cabode 30 mi.

4.28 Una plancha muy grande, de cobre, está inicialmente a la temperatura de300

ºC. La temperatura de la superficie se baja, de forma rápida, hasta

35ºC. ¿Cuál es la temperatura a una distancia de 7.5 cm, 4 mi después

de haber cambiado la temperatura de la superficie?

4.29 Una carretera de hormigón puede alcanzar una temperatura de 50ºC en

un día caluroso. Suponiendo que se dirige una corriente de agua sobre lacarretera, de modo que la temperatura de la superficie baje, de forma

rápida, hasta 10º

C. ¿Cuánto tiempo tardará el hormigón en enfriarsehasta 25

ºC a una profundidad de 5 cm desde la superficie?

4.30 Una plancha semi-infinita de cobre se expone a un flujo constante decalor por unidad de superficie de 0.32 MW/m

2. Suponer que la plancha

está en el vacío, de modo que en la superficie no hay convección. ¿Cuáles la temperatura de la superficie después de 5 mi si la temperaturainicial de la plancha es de 30

ºC? ¿Cuál es la temperatura a una distancia

de 15 cm desde la superficie después de 5 min?

4.31 Una plancha grande de cobre está inicialmente a una temperaturauniforme de 90

ºC. La temperatura de su superficie se disminuye, de

forma rápida, hasta 30ºC. Calcular el flujo de calor a través de un plano a

7.5 cm de la superficie, 5 segundos después de haber disminuido latemperatura de la superficie.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 106

4.32 Una plancha grande de aluminio a una temperatura uniforme de 30ºC se

somete de forma rápida a un flujo constante de calor por unidad desuperficie de 15 kW/m

2. ¿Cuál es la temperatura a una profundidad de

2.5 cm después de 2 mi?

4.33 Para la plancha del problema 4.32, ¿Cuánto tiempo tardará la temperaturaen alcanzar los 150

ºC a una profundidad de 2.5 cm?

4.34 Un trozo de material cerámico (k = 0.8 W/moC, ρ = 2700 kg/m

3, c = 0.8

kJ/kgoC), es bastante grueso e inicialmente se encuentra a una

temperatura uniforme de 30ºC. La superficie del material se expone, de

forma rápida, a un flujo de calor constante de 650 W/m2. Representar

gráficamente la temperatura en función del tiempo a una profundidad de 1cm.

4.35 Una plancha grande de hormigón (mezcla de grava 1-2-4) se somete enforma rápida, a un flujo de calor radiante constante de 900 W/m

2. La

plancha está inicialmente a la temperatura uniforme de 20ºC. Calcular la

temperatura de la plancha a una profundidad de 10 cm, al cabo de untiempo de 9 h.

4.36 La temperatura de la superficie de una placa muy gruesa de aceroinoxidable (18% Cr, 8% de Ni), a una temperatura uniforme de 300

ºC, se

disminuye, de forma rápida, hasta 100ºC. Calcular el tiempo necesario

para que la temperatura alcance el valor de 200ºC a una profundidad de 3

cm.

4.37 Una plancha grande tiene las propiedades de un ladrillo corriente para la

construcción y se ha calentado hasta una temperatura uniforme de 40º

C.Su superficie se somete, de forma rápida, a un ambiente convectivo a 2

ºC

y h = 25 W/m2 oC. Calcular el tiempo para que la temperatura alcance un

valor de 20ºC a una profundidad de 8 cm.

4.38 Un bloque grande, que tiene las propiedades del ladrillo al cromo a 200ºC,

se encuentra a una temperatura uniforme de 30ºC, cuando se expone, de

forma rápida, a un flujo de calor por unidad de superficie de 3 x 104 W/m

2.

Calcular la temperatura a una profundidad de 3 cm cuando han pasado10 min. ¿Cuál es la temperatura de la superficie al cabo de ese tiempo?

4.39 Una plancha de cobre de 3 cm de espesor se encuentra inicialmente a300

ºC. La superficie superior se somete, de forma rápida, a un ambiente

convectivo a 80ºC mientras que la otra superficie se mantiene aislada. En

6 minutos la temperatura de la superficie baja hasta 140ºC. Calcular el

valor del coeficiente de transferencia de calor por convección.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 108

por convección con un fluido a 37ºC y h = 425 W/m

2 oC. La temperatura

inicial uniforme del cubo es de 150ºC.

4-48 Una esfera de cuarzo fundido tiene una difusividad térmica de 9.5 x 10

-7

m2/s, un diámetro de 2.5 cm y una conductividad térmica de 1.52 W/m

oC.

La esfera se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 25ºC

y, de forma rápida, se la somete a un ambiente convectivo a 200ºC. El

coeficiente de transferencia de calor por convección es 110 W/m2

oC.

Calcular las temperaturas en el centro y en un radio de 6.4 mm, al cabode 4 minutos.

4-49 Se pueden fabricar perdigones de plomo echando pequeñas gotas deplomo fundido en agua. Suponiendo que las gotas tiene las propiedadesdel plomo sólido a 300

ºC, calcular el tiempo necesario para que la

temperatura del centro alcance el valor de 120ºC, estando en agua a

100ºC con h= 5000 W/m

2 oC y d = 1.5 mm.

4-50 Un niño decide colocar sus canicas de vidrio en un horno a 200ºC. El

diámetro de las canicas es 15 mm. Al cabo de un rato las saca del hornoy las coloca al aire de la habitación a 20

ºC para que se enfríen. El

coeficiente de transferencia de calor por convección vale 14 W/m2 oC.Calcular el tiempo que el niño debe esperar hasta que la temperatura delcentro de las canicas sea de 35

oC

4-51 Un sólido rectangular de 15 x 10 x 20 cm tiene las propiedades de unladrillo refractario. Inicialmente se encuentra a una temperatura uniformede 300

ºC y entonces se somete, de forma rápida, a un ambiente

convectivo a 80ºC y h= 110 W/m

2

oC. Calcular el tiempo para que el

centro geométrico alcance la temperatura de 200º

C. Determinar tambiénla pérdida de calor.

4.52 Una placa de acero al cromo (1% Cr) se calienta en un horno hasta unatemperatura uniforme de 200

ºC. Posteriormente se la somete a un

ambiente convectivo que tiene T∞ = 20ºC y h = 300 W/m

2 oC por ambas

caras. El espesor de la placa es 10 cm. Tomando Δx = 1 cm, calcular latemperatura del centro al cabo de 5 mi utilizando un método numérico.

Resolver el problema también utilizando los diagramas de Heisler.



CAPITULO 5

CONVECCION FORZADA

Hasta ahora se ha supuesto como conocido el coeficiente de transferencia de

calor h en todos los análisis realizados. Sin embargo, la determinación de ésteconstituye con frecuencia un problema complejo. Es por esto que en estecapítulo se examinarán algunos métodos para predecir en una situación dada elvalor del coeficiente de transferencia de calor en convección forzada. En primerlugar se dará énfasis a la relación física que existe entre el proceso detransferencia de energía y el movimiento del fluido. Como resultado de esteanálisis de tipo fundamental será posible desarrollar diferentes correlacionesanalíticas para la determinación del coeficiente h. Sin embargo, dada lacomplejidad involucrada en los procesos, no siempre es posible obtener

soluciones analíticas para muchos problemas de interés práctico. Porconsiguiente, en estos casos es necesario recurrir a diferentes correlacionesexperimentales con el objeto de obtener la información necesaria. Estascorrelaciones empíricas generalmente se expresan en forma de gráficas o através de expresiones matemáticas.

5.1 CAPA LIMITE HIDRODINAMICA

Se considera una corriente sobre una placa plana como se muestra en la figura.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 110

Comenzando en el borde de ataque de la placa, se desarrolla una región dondese hace notar la influencia de las fuerzas de viscosidad. Estas fuerzas deviscosidad se describen en términos de un esfuerzo cortante (τ) entre las capas

del fluido. Si se supone que este esfuerzo es proporcional al gradiente normalde la velocidad, se tiene la ecuación que define la viscosidad

τ = μ (du/dy)

μ = viscosidad dinámica (N s/m2)

A la zona de la corriente que se desarrolla desde el borde de ataque de laplaca, en la que se observan efectos de la viscosidad, se le llama capa límite.Para designar la posición y en la que termina la capa límite, se utiliza un puntoarbitrario; este punto se elige normalmente como la coordenada y donde el valorde la velocidad se hace el 99% del de la corriente libre.

Al principio, el desarrollo de la capa límite es laminar, pero a una distanciacrítica del borde de ataque, dependiendo del campo del flujo y de laspropiedades del fluido, comienzan a amplificarse pequeñas perturbaciones

dentro de la corriente, y tiene lugar un proceso de transición hasta que lacorriente se hace turbulenta. La región de flujo turbulento se puede imaginarcomo una zona de agitación al azar con partes de fluido moviéndose endiferentes direcciones. La transición de flujo laminar a turbulento tiene lugaraproximadamente cuando

u∞ x ρ u∞ x ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ > 5 x 105

ν μ

donde: u∞ = velocidad de la corriente libre

x = distancia desde el borde de ataque

ν = μ / ρ = viscosidad cinemática (m2/s)

Al grupo de términos anterior se le llama número de Reynolds (Rex) yutilizando las unidades coherentes es adimensional.

u∞ x u∞ x ρ ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = Rex

ν μ



CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 111

5.2 CAPA LIMITE HIDRODINAMICA Y LAMINAR EN UNASUPERFICIE PLANA ISOTERMICA

Dada la relación física tan estrecha que existe entre el movimiento del fluido y latransferencia de energía que tiene lugar, la determinación analítica delcoeficiente de transferencia de calor en régimen laminar implica unconocimiento completo de la distribución de velocidad y de temperatura en elfluido que rodea al sistema.

5.2.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA CAPA LIMITE

Si se aplica un balance de masa (ecuación de continuidad), un balance demomentum y un balance de energía a un volumen de control formado por unelemento finito tridimensional (Δ x, Δ y, Δ z) y suponiendo que

♦ La viscosidad, la conductividad térmica y la capacidad calorífica del fluidoson constantes.

♦ Las fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos en la dirección y sondespreciables. ♦ El flujo es estable y el fluido es incompresible ♦ El gradiente vertical de presión es despreciable ♦ La conducción del calor es despreciable en la dirección de la corriente

(dirección x)

se pueden obtener las siguientes ecuaciones:

Ecuación de Continuidad

∂u ∂v ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0∂x ∂y

Ecuación de Cantidad de Movimiento

∂u ∂u μ ∂2uu ⎯⎯ + v ⎯⎯ = ⎯ ⎯⎯

∂x ∂y ρ ∂y2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 112

Ecuación de la Energía.

∂T ∂T ∂2T

u ⎯⎯ + v ⎯⎯ = α ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y2

5.2.2 ESPESOR DE LA CAPA LIMITE HIDRODINAMICA

La ecuación anterior de la cantidad de movimiento en la capa límite laminar, sepuede resolver exactamente para muchas condiciones de contorno mediante

métodos complejos dados en la literatura. Para el presente caso, se considerasuficiente un análisis aproximado que proporcione una solución sencilla sinperder el significado físico del proceso. El método aproximado se debe a vonKármán y el resultado final para el espesor de la capa límite es:

4.64 xδ = ⎯⎯⎯⎯

xRe

donde: δ = espesor de la capa límitex = distancia desde el borde de ataque de la placa.

5.3 CAPA LIMITE TERMICA

Igual que se definió la capa límite hidrodinámica como aquella región de la

corriente donde se manifiestan las fuerzas de viscosidad, se puede definir unacapa límite térmica como la región de la corriente donde se presentangradientes de temperatura. Estos gradientes de temperatura podrían estaroriginados por un proceso de intercambio de calor entre el fluido y la pared.

Considerando el sistema mostrado en la figura, la temperatura de la pared esTs, la temperatura del fluido fuera de la capa límite es T∞ y el espesor de la capalímite térmica es δt. En la pared la velocidad es cero, y la transferencia de calorhacia el fluido tiene lugar por conducción. De este modo, el flujo de calor localpor unidad de área (q/A) es

(q/A) = - k [∂T/∂y]pared




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 113

y

x

Ts

Perfil de temperaturas en la capa límite térmica

De la ley del enfriamiento de Newton,

(q/A) = h ( TP - T∞)

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección. Combinandolas ecuaciones anteriores se tiene,

∞−

∂∂−=

TT

)y/T(kh

P

pared

de tal manera que para evaluar el coeficiente de transferencia de calor, sólo esnecesario determinar el gradiente de temperatura en la pared. Esto significa quedebe obtenerse una expresión para la distribución de temperaturas. Elprocedimiento para obtener este gradiente utiliza la solución de la ecuacióndiferencial del balance de energía y el resultado final es:

[ ] t0y 2

3

y/T δ

θ

=∂∂ ∞=

donde: y δt = espesor de la capa límite térmicasTT −=θ ∞∞




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 115

Lo anterior se comprueba mediante un análisis de la ecuación de la energía quepermite llegar a la siguiente ecuación:

31

43o3

1t

x

x1Pr

026.1

1⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

δ

δ −

5.4 NUMERO DE NUSSELT Y COEFICIENTE DETRANSFERENCIA DE CALOR

Se tenía anteriormente que:

∞−

∂∂−=

TT

)y/T(kh

P

pared

reemplazando el valor del gradiente de temperatura en la pared se tiene:

ts

t

2

k3

TT

2

3k

hδ

=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

δ

θ

=∞

∞

y utilizando el valor de δt dado por la ecuación:

31

43

o31

t

x

x1Pr

026.1

1⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

δ

δ −

dondexRe

x64,4=δ

se tiene:

31

43

o21

x3

1

x x

x1RePr 332.0Nu

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 116

hx x

Nux = ⎯⎯⎯ = número de Nusseltk

Cuando la placa se calienta en toda su longitud, xo = 0

31

t Pr 026.1

1 −=

δ

δ

21

x3

1

x RePr 332.0Nu =

Mediante las ecuaciones anteriores se puede obtener el coeficiente detransferencia de calor, en función de la distancia desde el borde de ataque de laplaca y de las propiedades del fluido.

Para el caso en que xo = 0 el coeficiente de transferencia de calor medio y elnúmero de Nusselt pueden obtenerse integrando sobre la longitud de la placa

∫ ∫ ∫ ====

−

A

L

0

x

L

0

2

1

xx h2dx)x(f

L

1dxWh

WL

1dAh

A

1h

LNu =k

Lh = 0.664 3

12

1

L Pr Re

donde ReL = (ρu∞ L /μ)

El análisis anterior se basa en la hipótesis de que las propiedades del fluido sonconstantes en todo el flujo. Cuando existe una variación apreciable entre lascondiciones de la pared y de la corriente libre, se recomienda evaluar laspropiedades a la llamada temperatura de película Tf definida como




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 117

Ts + T∞

Tf = ⎯⎯⎯⎯

2

5.4.1 FLUJO DE CALOR CONSTANTE

El análisis anterior ha estudiado la transferencia de calor laminar desde unasuperficie isoterma. En muchos problemas prácticos, el flujo de calor de lasuperficie es prácticamente constante, y el objetivo es encontrar la distribuciónde temperaturas de la superficie de la placa en unas condiciones de la corrientedadas.

En el caso de flujo de calor constante, se puede demostrar que el número deNusselt local viene dado por

31

21

xx Pr Re453.0

k

xhNu ==

El flujo de calor por unidad de área en este caso será:

)TT(h2

3q sLxP ∞= −=

5.5 ANALOGIA ENTRE LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y LAFRICCION

El análisis anterior demuestra la relación física tan estrecha que existe entre elproceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido, por lo cual esposible intuir que la transferencia de calor está también relacionada con lafricción de éste. Con el propósito de determinar esta posible relación física esconveniente definir el coeficiente local de fricción f x como

2

uf

2o

x∞ρ

τ=

donde τo es el esfuerzo viscoso de corte sobre la superficie de la placa.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 118

Se demuestra que la relación entre el esfuerzo viscoso y el espesor de la capalímite está dada por

τo = (3/2) μ (u∞ /δ)

y teniendo en cuenta que el espesor de la capa límite esta dado por

21

xRe

x64.4=δ

se concluye que

2

1

xx Re323.02

f −=

Se define ahora el número adimensional Stx como

Pr Re

Nu

Cu

h

St x

xx

x =ρ= ∞ = Número de Stanton

En la sección anterior se tenía la ecuación

21

x3

1

x RePr 332.0Nu =

que puede ahora expresarse como

21

x3

2

x Re332.0Pr St −

=

Comparando el lado derecho de dos de las ecuaciones anteriores se observa lasimilitud existente. Despreciando la pequeña diferencia en las constantes sellega a la siguiente expresión

2

f Pr St x3

2

x =

Esta relación entre la transferencia de calor y la fricción del fluido se conocecomo la Analogía de Reynolds. Examinando la ecuación anterior se observaque el coeficiente de película en una placa puede también determinarse




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 119

experimentalmente sin existir transferencia de calor mediante una medición dela fuerza de arrastre. Vale la pena anotar que la analogía de Reynolds tambiénes valida para el régimen turbulento en una placa.

5.7 TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA PLACA CONCONVECCION FORZADA EN REGIMEN TURBULENTO

Como se comentó anteriormente el flujo dentro de la capa límite permanecelaminar por una cierta distancia que depende de las propiedades y de lavelocidad del fluido. Sin embargo, el cociente de fuerzas viscosas a fuerzas

inerciales disminuye a medida que el espesor de la capa límite aumenta y elcampo de flujo se hace turbulento. Aún en estas condiciones persiste unmovimiento cuasi laminar en la vecindad inmediata de la superficie. A estaporción de la capa límite turbulenta se le conoce como subcapa laminar . Porotra parte, profundizando más en el campo de flujo se observa entre la subcapalaminar y la región turbulenta una capa de transición en donde se experimentacierta turbulencia, pero la transferencia de calor y cantidad de movimiento anivel molecular aún son importantes.Aunque numerosas investigaciones han contribuido considerablemente a unentendimiento fundamental del flujo turbulento, éstas no han tenido éxito en lapredicción analítica de los coeficientes de transferencia de calor y de fricción sinrecurrir a la experimentación. Esta falta de éxito estriba en la enormecomplejidad del flujo turbulento, pues las fluctuaciones irregulares de velocidadsobrepuestas al movimiento principal del fluido no pueden describirse de unamanera analítica; éstas son precisamente las responsables principales de latransferencia de calor y de cantidad de movimiento en este régimen.

El coeficiente local de fricción superficial está dado por

51

xx Re0592.0f −

= para Reynolds entre 5 x 105 y 107.

Para números de Reynolds más altos, desde 107 hasta 109, se recomienda lafórmula de Schultz-Grunow

f x = 0.370 (log Rex)-2.584

El coeficiente medio de fricción de una placa plana, con una capa límite laminarhasta Recrítico y turbulencia a partir de ahí, se puede calcular con




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 120

L584.2

L Re

A

)Re(log

455.0f −= Re L < 109

donde la constante A depende de Recrítico de acuerdo a la siguiente tabla

Recrítico 3 x 105 5 x 105 106 3 x 106 A 1055 1742 3340 8940

Se puede obtener una fórmula algo más simple para números de Reynolds másbajos

L51

LRe

A

Re

074.0f −=

Aplicando la analogía de Reynolds se pueden obtener las siguientesecuaciones

)871Re037.0(Pr k

Lh

Nu8.0

L3

1

L −== Re < 10

7

Para Reynolds más altos

[ ] 31

584.2LL Pr 871)Re228.0(

k

LhNu −= − 107 < Re < 109

Se puede obtener una expresión para el espesor de la capa límite si esta escompletamente turbulenta desde el borde de ataque de la placa:

Rex < 107, δ = 0 en x = 0

1x

51

x Re10256Re381.0x

−−−=

δ 5 x 105 < Rex < 107 ; Recrítico = 5 x 105

5.8 PROCEDIMIENTO DE CALCULO EN CONVECCIONFORZADA PARA FLUJO SOBRE PLACAS PLANAS

Para mayor facilidad en los cálculos, la tabla 5-1 presenta las ecuaciones juntocon las restricciones. El procedimiento general es como sigue:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 121

♦ Evaluar las propiedades del fluido; esto será generalmente a la temperaturade película.

♦ Establecer las condiciones de contorno, esto es, temperatura constante o

flujo de calor constante.♦ Establecer el régimen de flujo según lo determina el número de Reynolds.♦ Seleccionar la ecuación apropiada, teniendo en cuenta el régimen de flujo y

cualquier restricción en la propiedades del fluido que pudiera darse.♦ Calcular el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección y

la transferencia de calor.

TABLA 5 - 1ECUACIONES PARA FLUJO SOBRE PLACAS PLANAS

(Propiedades evaluadas a Tf = (TP + T∞) /2 )

Régimen deFlujo

Restricciones Ecuación

Laminar, local TP = const.Rex < 5 x 105 0.6 < Pr < 50

3121xx Pr Re332.0Nu =

Laminar, local TP = const.Rex < 5 x 105 Rex Pr > 100 4

1

32

31

21

xx

Pr

0468.01

Pr Re3387.0Nu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

Laminar, local qP = const.Rex < 5 x 105

0.6 < Pr < 50

31

21

xx Pr Re453.0Nu =

Laminar, local qP = const.Rex < 5 x 105

41

32

31

21

xx

Pr

0207.01

Pr Re4637.0Nu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

Laminar, medio TP = const.ReL < 5 x 105

31

21

LLxL Pr Re664.0Nu2Nu == =

Laminar, local TP = const.

Rex < 5 x 10

5

Pr << 1 (metales líquidos)

31

xx Pr)(Re564.0Nu =

Laminar, local TP = const. comenzando x = xo Rex < 5 x 105 0.6 < Pr < 50

31

43

o31

21

xx x

x1Pr Re332.0Nu

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

Turbulento, local TP = const.5 x 105 < Rex < 107

2.0x

32

x Re0296.0Pr St −=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 123

d um ρ Para Red = ⎯⎯⎯⎯ > 2300 el flujo es turbulentoμ

El intervalo generalmente aceptado para la transición es

2000 < Red < 4000

Para flujo unidimensional en un tubo la ecuación de continuidad es:

οm = ρ um A

donde:

οm = flujo másico

um = velocidad media

A = área de la sección transversal

Se define el flujo másico por unidad de área = G = /A = ρ um ο

m de modo que el número de Reynolds se expresa también como




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 124

Red = Gd/μ

d = diámetro del tubo

5.8.1 TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR EN UN TUBO

La mayoría de problemas de transferencia de calor en ingeniería tiene que ver

con flujo de fluidos a través de tuberías, particularmente en intercambiadores decalor. La capa límite térmica se desarrolla en forma similar a la capa límitehidrodinámica. Aunque la transferencia de calor en flujo laminar dentro de tubosno es tan común, algunas veces es deseable tener bajas potencias de bombeoque requieren una situación laminar.

La siguiente expresión para el coeficiente de transferencia de calor puede serdesarrollada a partir de un balance de cantidad de movimiento y energía sobre

un volumen de control tomado en el fluido y se aplica para flujo uniforme decalor o diferencia constante de temperaturas:

364.4k

dhNud ==

Para temperatura constante de pared:

656.3kdhNud ==

El flujo de calor se puede calcular como:

(q/A) = h (TP – Tm)

donde: TP = temperatura de la pared interior del tubo

Tm = temperatura media del fluido o temperatura media volumétrica.

2

TT

2

TTT salidaentrada2b1b

m+

=+

=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 128

Tabla 5-3

Redf C n

0.4 - 4 0.989 0.3304 - 40 0.911 0.38540 - 4000 0.683 0.466

4000 - 40000 0.193 0.61840000 - 400000 0.0266 0.805

5.11 FLUJO A TRAVÉS DE HACES DE TUBOS

En los intercambiadores de calor se utilizan frecuentemente haces de tuboscilíndricos poco espaciados. En esta situación las estelas de los tuboslocalizados aguas arriba ejercen influencia sobre la rapidez de la transferenciade calor y las características de flujo sobre los tubos situados aguas abajo. Paralos primeros tubos se presentan variaciones de tubo a tubo y después no haycambios perceptibles. El tipo de arreglo es otro factor de influencia; en lasiguiente figura se muestran los dos arreglos más comunes.

d du∞

Disposición en línea Disposición escalonada

Los resultados de varios investigadores fueron evaluados por E.D. Grimson,quien encontró que el coeficiente promedio de transferencia de calor para hacesde por lo menos 10 tubos de profundidad en la dirección del flujo está dado por




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 130

TABLA 5-4

a/d

1.25 1.5 2 3b/d

C1 n C1 n C1 n C1 nTubos en línea

1.25 0.348 0.592 0.275 0.608 0.100 0.704 0.0633 0.7521.5 0.367 0.586 0.250 0.620 0.101 0.702 0.0678 0.7442 0.418 0.570 0.299 0.602 0.229 0.632 0.198 0.6483 0.290 0.601 0.357 0.584 0.374 0.581 0.286 0.608

Tubos escalonados0.6 0.213 0.636

0.9 0.446 0.571 0.401 0.5811 0.497 0.5581.125 0.476 0.565 0.518 0.5601.25 0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522 0.5621.5 0.451 0.568 0.460 0.562 0.452 0.568 0.488 0.5682 0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449 0.5703 0.310 0.592 0.356 0.580 0.440 0.562 0.421 0.574

TABLA 5-5 – Relación h / 10h

Número de tubos1 2 3 4 5 6 7 8 9

Escalonados 0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99En línea 0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99

5.12 RELACIONES EMPIRICAS PARA CONVECCION FORZADA

Los datos en los que se basan las relaciones experimentales, con frecuencia seobtienen bajo condiciones de laboratorio donde puede ejercerse un controlriguroso de las variables de la corriente. Es posible que la aplicación de estasrelaciones difiera de los resultados obtenidos en la práctica, pero su sencillez

compensa lo anterior.

Puede utilizarse el siguiente procedimiento de cálculo para la mayoría de losproblemas:

♦ Establecer la geometría de la configuración.♦ Determinar las propiedades del fluido.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 132

Corriente en untubo

Flujo laminar completamentedesarrolladoRed Pr (d/L) > 10Propiedades a Tm

14.0

p

31

31

dd L

dPr)(Re86.1Nu ⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μ

μ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

Tubos rugosos Flujo turbulento completamentedesarrollado 8f Pr St 32

f b =

Corrientetransversal acilindros

0.4 < Red f < 400 000C y n de la tabla 5-3Propiedades a Tf

31

ndf f Pr ReCNu =


102 < Ref < 107 Pe > 0.2

Propiedades a Tf

54

85

41

32

31

21

f df 000.282

Re1

Pr

4.01

Pr Re62.03.0Nu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+=


10-1 < Ref < 105 Propiedades a Tf

3.0f

52.0f f Pr )Re56.035.0(Nu +=


1 < Re < 103 Gases: Propiedades a Tf Líquidos: Propiedades a T∞

25.0

p

f 38.05.0

Pr

Pr Pr )Re50.043.0(Nu

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=


103 < Re < 2 x 105 Gases: Propiedades a Tf Líquidos: Propiedades a T∞

25.0

p

f 38.06.0

Pr

Pr Pr Re2.0Nu ⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

Corrientealrededor deesferas

Pr ≅0.7 (gases)17 < Re < 70 000Propiedades a Tf

8.0df df Re037.0Nu =


Agua y aceites1 < Re < 200 000propiedades a T∞

54.0d

25.0p

3.0 Re53.02.1)/(Pr Nu ==μμ−


0.7 < Pr < 3803.5 < Re < 80 000propiedades a T∞

41

p4.03

2

d2

1

d )/(Pr )Re06.0Re4.0(2Nu μμ++= ∞

PROBLEMAS RESUELTOS

5.1 Sobre una placa plana circula aire a 27ºC y 1 atm., a una velocidad de 2m/s. Calcular el espesor de la capa límite a una distancia de 20 cm. Laviscosidad del aire a 27ºC es 1.85 x 10-5 kg/m.s. Suponer la unidad delongitud en la dirección z.

La densidad del aire se calcula a partir de




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 133

PM 101.325 x 28.84

ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.17 kg/m3

RT (8.319) (300)

El número de Reynolds se calcula

(1,17) (2.0) (0.2)Re = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 25297

1.85 x 10-5

El espesor de la capa límite será

(4.64) (0.2)δ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00583 m = 0.583 cm

(25297) 0.5

5.2 Considerar que la placa plana de la corriente del problema 5.1, se calientaen toda su longitud hasta una temperatura de 60ºC. Calcular el calortransferido.

Se desea obtener la transferencia de calor total sobre la longitud de la placa; asíque se necesita calcular el coeficiente de transferencia de calor medio. Con estefin evaluamos las propiedades a la temperatura de película.

27 + 60Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 43.5ºC = 316.5 K

2

Las propiedades evaluadas a la temperatura anterior son

ν = 17.36 x 10-6 m2/s

k = 0.02749 W/m oC

CP = 1.006 kJ/kgo

C

CP μ CP ρν (1006) (17.36 x 10-6) (1.17)Pr = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.7

k k 0.02749




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 134

u∞ x (2) (0.2)Rex = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 23041

ν 17.36 x 10-6

k

xhNu x

x = = 0.332 31

21

x Pr Re

Nux = (0.332) (23041)0.5 (0.7)0.333 = 44.74

hx = Nux (k/x) = 44.74 (0.02749 /0.2) = 6.15 W/m2 oC

El valor medio del coeficiente de transferencia de calor es dos veces este valor,

_

h = (2) (6.15) = 12.3 W/m2 oC

El flujo de calor es

q = A (Ts - T∞) = (12.3) (0.2) (1) (60 – 27) = 81.18 W _

h

Se supuso la unidad de longitud en la dirección z.

5.3 Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, se obliga a moverse aceitemotor a 20ºC, a una velocidad de 1.2 m/s. La placa se calienta hasta unatemperatura uniforme de 60ºC. Calcular el calor perdido por la placa.

Se evalúa la temperatura de película

20 + 60T = ⎯⎯⎯⎯ = 40oC

2

Las propiedades del aceite motor son

ρ = 876 kg/m

3

; ν = 0.00024 m

2

/s ; k = 0.144 W/m

o

CCP = 1.965 kJ/kg oC

(0.00024) (876) (1965)Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2870

0.144




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 135

El número de Reynolds es

u∞ L (1.2) (0.2)Re = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1000ν 0.00024

Como el número de Prandtl es tan grande se utiliza la siguiente ecuación:

4

1

32

31

21

xx

Pr

0468.01

Pr Re3387.0Nu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

2.152

28700468.01

)2870()1000()3387.0(Nu

41

32

31

21

x =

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +

=

(152.2) (0.144)hx = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 109.6 W/m2 oC

0.2

El valor medio del coeficiente de convección es

_

h = (2) (109.6) = 219.2 W/m2 oC

La transferencia de calor total es

q = A (Ts - T∞) = (219.2) (0.2)2 (60 – 20) = 350.6 W

_

h

5.4 Para la corriente del problema 5.2, calcular la fuerza de resistencia ejercidasobre los 20 cm de la placa, utilizando la analogía entre la fricción en elfluido y la transferencia de calor.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 136

Para calcular el coeficiente de fricción se emplea la ecuación

2

f Pr St x3

2

x =

La densidad a 316.5 K es

P 1.0132 x 105 ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.115 kg/m3

RT (287) (316.5)

3P

_ _

10x48.5)2()1006()115.1(

3.12

uC

hSt −

∞==ρ=

(f/2) = (5.48 x 10-3) (0.7)0.666 = 4.32 x 10-3

τP = (4.32 x 10-3) (1.115) (2)2 = 0.0192 N/m2

La fuerza de resistencia es el producto de este esfuerzo cortante por el área

Fuerza = (0.0192) (0.2) = 0.00384 N

5.5 Sobre una placa plana sopla aire a 20ºC, 1 atm y 35 m/s de velocidad. Laplaca tiene 75 cm de largo y se mantiene a 60ºC. Suponiendo la unidad delongitud en la dirección z, calcular la transferencia de calor desde la placa.

Se evalúan las propiedades a la temperatura de película.

20 + 60Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 40ºC = 313 K

2

P 1.0132 x 105 ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.128 kg/m3

RT (287) (313)

μ = 1.906 x 10-5 kg/m.s ; k = 0.02723 W/m oC ; CP = 1.007 kJ/kg oC

Con los datos anteriores

Pr = 0.7




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 138

ρ um d (1.493) (10) (0.0254)Red = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14756

μ 2.57 x 10-5

de modo que el flujo es turbulento. Se utilizará la siguiente ecuación paracalcular el coeficiente de transferencia de calor

n8.0dd Pr Re023.0Nu =

Nud = (0.023) (14756)0.8 (0.681)0.4 = 42.67

h = (k/d) Nud = (0.0386) (42.67) / (0.0254) = 64.85 W/m2 oC

El flujo de calor por unidad de longitud es

(q/L) = h πd (Ts – Tb) = (64.85) (π) (0.0254) (20) = 103.5 W/m

Ahora se establece el balance energético para calcular el aumento de latemperatura promedio en una longitud de tubo de 3 m:

q = CP ΔTb = L (q/L)ο

m

οm = ρ um (πd2/4) = (1.493) (10) (π) [(0.0254)2 /4] = 7.565 x 10-3 kg/s

(7.565 x 10-3) (1025) (ΔTb) = (3.0) (103.5)

ΔTb = 40.04 oC

5.7 En un tubo de 2.54 cm de diámetro entra agua a 60ºC a una velocidadmedia de 2 cm/s. Calcular la temperatura de salida del agua si el tubo tiene3.0 m de longitud y la temperatura de la pared permanece constante a80ºC.

En primer lugar se evalúa el número de Reynolds a la temperatura media a la

entrada para determinar el régimen de flujo. Las propiedades del agua a 60º

Cson

ρ = 985 kg/m3 ; CP = 4.18 kJ/kg oC ; μ = 4.71 x 10-4 kg/m.s

k = 0.651 W/m oC ; Pr = 3.02




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 140

)60T()4180()10x982.9(2

60T80)0.3()0254.0()()1.149(

2

2b

3b−=⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +−π −

Esta ecuación puede resolverse para dar

Tb2 = 71.98oC

Entonces habría que volver atrás y evaluar las propiedades a

71.98 + 60Tb, media = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 66oC

2

Se obtiene

ρ = 982 kg/m3 ; CP = 4185 J/kg oC ; μ = 4.36 x 10-4 kg/m.s

k = 0.656 W/m oC ; Pr = 2.78

(1062) (4.71)Red = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1147

4.36

(1147) (2.78) (0.0254)

Re Pr (d/L) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 27.003

Nud = (1.86) (27.00)0.333 (4.36/3.55)0.14 = 5.743

(0.656) (5.743)h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 148.3 W/m2 oC

0.0254

Se introduce de nuevo este valor de h en la ecuación (a) para obtener

Tb2 = 71.88oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 141

La iteración de este problema da como resultado una diferencia muy pequeña.Si se hubiese encontrado una diferencia de temperaturas media grande, elcambio en las propiedades podría haber tenido un mayor efecto.

5.8 Un tubo de 2 cm de diámetro, cuya rugosidad relativa es 0.001, semantiene a la temperatura constante de 90ºC. En el tubo entra agua a40ºC y sale a 60ºC. Si la velocidad a la entrada es 3 m/s, calcular lalongitud de tubo necesaria para conseguir el calentamiento.

En primer lugar se calcula el calor transferido a partir de

TCmq P Δ=ο

q = (989) (3.0) (π) (0.01)2 (4174) (60 – 40) = 77.812 W

Dada la condición de tubo rugoso, puede emplearse la ecuación

n

P

b

32

21dd

)1(Pr )8/f (7.1207.1Pr Re)8/f (Nu ⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ μμ−+

=

La temperatura de película media es

90 + 50Tf = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 70oC

2

y las propiedades del fluido son

ρ = 978 kg/m3 ; μ = 4.0 x 10-4 kg/m.s ; k = 0.664 W/m oC

Pr = 2.54

También,

μb = 5.55 x 10-4 kg/m.s ; μP = 2.81 x 10-4 kg/m.s

El número de Reynolds es entonces




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 142

(978) (3) (0.02)Red = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 146700

4 x 10-4

Consultando la gráfica 5-1, se encuentra el factor de fricción como

f = 0.0218 ; f/8 = 0.002725

Puesto que TP > Tb se toma n = 0.11 y se obtiene

8.66681.2

55.5

)154.2()002725.0()7.12(07.1

)54.2()146700()002725.0(Nu

11.0

3221d

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−+=

h = (666.8) (0.664) / (0.02) = 22138 W/m2 oC

La longitud del tubo se obtiene a partir del balance de energía

W77812)TT(Ldhq b

_

P

_

=−π=

L = 1.4 m

5.9 Transversalmente a un cilindro de 5 cm de diámetro circula aire a 1 atm y35ºC a la velocidad de 50 m/s. La superficie del cilindro se mantiene a unatemperatura de 150ºC. Calcular el calor perdido por unidad de longitud delcilindro.

En primer lugar se determina el número de Reynolds, las propiedades del airese evalúan a la temperatura de película

TP + T∞ 150 + 35Tf = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 92.5oC

2 2

P 1.0132 x 105

ρf = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.966 kg/m3 RT (287) (365.5)

μf = 2.14 x 10-5 kg/m.s

kf = 0.0312 W/m oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 143

Pr f = 0.695

ρu∞d (0.966) (50) (0.05)

Redf = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.129 x 105

μ 2.14 x 10-5

Se utilizará la ecuación

31

ndf f Pr ReCNu =

C = 0.0266 n = 0.805

( ) 1.275695.0)10x12.1()0266.0(k

hd3

1805.05

f

==

h = (275.1) (0.0312) / (0.05) = 171.7 W/m2 oC

Por lo tanto el calor transferido por unidad de longitud es

(q/L) = hπd (TP - T∞ ) = (171.7) (π) (0.05) (150 – 35) = 3100 W/m

5.10 Alrededor de una esfera de 12 mm de diámetro circula una corriente deaire a 1 atm y 27ºC con una velocidad de la corriente libre de 4 m/s. Unpequeño calentador situado dentro de la esfera mantiene la temperaturade la superficie a 77ºC. Calcular el calor perdido por la esfera.

Se utilizará la ecuación

41

P4.03

2

d2

1

d )/(Pr )Re06.0Re4.0(2Nu μμ++= ∞

Las propiedades se evalúan a T∞ = 27ºC = 300 K

ν = 15.69 x 10-6 m2/s ; k = 0.02624 W/m oC ; Pr = 0.708

μ∞ = 1.8462 x 10-5 kg/m.s

Para TP = 77ºC = 350 K

μP = 2.075 x 10-5




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 144


(4) (0.012)

Red = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 305915.69 x 10-6

4.31075.2

8462.1)708.0()3059()06.0()3059()4.0(2Nu

41

4.032

21 _

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

Cm/W66.68

012.0

)02624.0()4.31(

d

kNuh o2 _ _

==⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

El calor transferido es

q = A (TP - T∞) = (68.66) (4π) (0.006)2 (77 – 27) = 1.55 W _

h

5.11 A través de un haz de tubos en línea formado por 15 filas transversales y

5 filas en la dirección de la corriente, fluye aire a 1 atm y 10

º

C a lavelocidad de 7 m/s medida en un punto de la corriente antes de que elaire entre al haz de tubos. Las superficies de los tubos se mantienen a65ºC. El diámetro de los tubos es 2.54 cm; están dispuestos en línea, demodo que la separación en ambas direcciones normal y longitudinal es3.81 cm. Calcular el calor total transferido por unidad de longitud del hazde tubos y la temperatura de salida del aire.

Se utilizará la ecuación:

31

n

f

f máx

f

Pr du

Ck

dh⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μ

ρ=

Las constantes pueden obtenerse de la tabla 5-4, empleando

b 3.81 a 3.81

⎯ = ⎯⎯ = 1.5 ⎯ = ⎯⎯ = 1.5d 2.54 d 2.54

de modo queC = 0.278 n = 0.620




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 145

Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película, que a laentrada del haz de tubos es

Tp + T∞ 65 + 10Tf1 = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 37.5 oC = 310.5 oK2 2

P M (101.3) (28.84)ρ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.131 kg/m3

RT (8.319) (310.5)

μf = 1.894 x 10

-5

kg/m.skf = 0.027 W/m.oC

CP = 1007 J/kg oC

Pr = 0.706

Para calcular la velocidad máxima, debe determinarse el área de paso mínima.

a (7) (3.81)umáx = u∞ ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 21 m/s

a – d 3.81 – 2.54

donde u∞ es la velocidad incidente a la entrada del haz de tubos. El número deReynolds se calcula utilizando la velocidad máxima.

ρ umáx d (1.131) (21) (0.0254)Re = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 31 851

μ 1.894 x 10 –5

El coeficiente de transferencia de calor será:

h d

⎯⎯ = (0.278) (31851)0.62 (0.706)0.333 = 153.3kf

(153.3) (0.027)h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 162.9

0.0254




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 146

Éste es el coeficiente de transferencia de calor que se obtendría si hubiese 10filas de tubos en la dirección de la corriente. Puesto que hay sólo 5 filas, estevalor debe multiplicarse por el factor 0.92, como se deduce de la tabla 5-5.

El área de la superficie para transferencia de calor, por unidad de longitud delos tubos, es

A = N π d (1) = (15) (5) π (0.0254) = 5.985 m2/m

donde N es el número total de tubos.

Antes de calcular el calor transferido, debe observarse que la temperatura delaire aumenta cuando el aire atraviesa el haz de tubos. Por tanto, hay que teneresto en cuenta cuando se utilice

q = h A (TP - T∞)

Como buena aproximación, puede utilizarse el valor de la media aritmética deT∞, escribiéndose el balance energético

)TT(Cm2

TTTAhq 1,2,p2,1,p ∞∞

•

∞∞ −=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

donde los subíndices 1 y 2 designan ahora la entrada y la salida del haz detubos. El flujo másico a la entrada de los 15 tubos es

a)15(um ∞∞

•ρ=

PM (101.3) (28.84)ρ∞ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.24 kg/m3

RT∞ (8.319) (283)

96.4)0381.0()15()7()24.1(m ==•

Reemplazando en la ecuación del balance energético se tiene:

)10T()1007()96.4(2

T1065)985.5()9.162()92.0( 2,

2, −=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− ∞

∞

Resolviendo: T∞, 2 = 19.06oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 147


q = (4.96) (1007) ( 19.06 – 10) = 45252.16 W = 45.25 kWEste resultado podría mejorarse algo volviendo a calcular las propiedades delaire a un valor medio de T∞, pero la diferencia sería muy pequeña.


5.12 Calcular el flujo másico del agua que circula sobre una placa plana a 15ºCy 3 m/s, a través de la capa límite a una distancia de 5 cm del borde deataque de la placa.

5.13 Sobre una placa plana circula aire a 90ºC, 1 atm y una velocidad de 30m/s. ¿Cuál es el espesor de la capa límite a una distancia de 2.5 cm delborde de ataque de la placa?

5.14 Sobre una placa plana circula aire en condiciones estándar de 1 atm y30oC a 20 m/s. La placa es cuadrada, tiene 60 cm de lado y se mantienea 90ºC. Calcular la transferencia de calor desde la placa.

5.15 Sobre una placa plana cuadrada de 30 cm de lado, circula aire a 7 kPa y35ºC, a 7.5 m/s. La placa se mantiene a 65ºC. Estimar la pérdida de calorde la placa.

5.16 Sobre una placa horizontal circula aire a 90ºC y presión atmosférica, a 60m/s. La placa es un cuadrado de 60 cm de lado y se mantiene a unatemperatura uniforme de 10ºC. ¿Cuál es la transferencia total de calor?

5.17 Calcular la transferencia de calor desde una placa cuadrada de 30 cm delado, sobre la que circula aire a 35ºC y 14 kPa. La temperatura de laplaca es 250ºC y la velocidad de la corriente libre es 6 m/s.

5.18 Alrededor de una gran superficie de hormigón de 15 cm de ancho,mantenida a 55ºC, sopla aire a 1 atm y 27ºC. La velocidad de la corrientees 4.5 m/s. Calcular la pérdida de calor por convección de la superficie.

5.19 Sobre una placa cuadrada de 1 m de lado, circula aire a 300 K, 75 kPa y45 m/s. La placa se mantiene a una temperatura constante de 400 K.Calcular el calor perdido por la placa.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 148

5.20 Una placa plana horizontal se mantiene a 50ºC y tiene unas dimensiones

de 50 x 50 cm. Se sopla aire sobre la placa, a 50 kPa, 10 ºC y 20 m/s.

Calcular el calor perdido por la placa.5.21 Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, circula aire con una

velocidad de 5 m/s. Las condiciones de la corriente libre son 10ºC y 0.2atm. Un calentador en la superficie de la placa proporciona un flujo decalor constante en la pared, de modo que la temperatura media de lapared es 100ºC. Calcular el flujo de calor de la superficie y el valor de h en una posición de x = 10 cm.

5.22 Sobre una placa cuadrada de 2 m de lado, circula aire a 50 kPa y 250 K, auna velocidad de 20 m/s. La placa se mantiene a una temperaturaconstante de 350 K. Calcular el calor perdido por la placa.

5.23 Sobre una placa plana circula aire a 1 atm y 350 K con una velocidad de30 m/s. Calcular el flujo másico a través de la capa límite para valores dex para los que Rex = 106 y 107.

5.24 Sobre una placa plana isoterma mantenida a una temperatura constantede 65ºC circula aire. La velocidad del aire es 600 m/s con las propiedadesestáticas de 15ºC y 7 kPa. Calcular el coeficiente de transferencia decalor medio para una placa de 1 m de largo.

5.25 En un tubo de 5.0 mm de diámetro entra aceite de motor a 120ºC. Lapared del tubo se mantiene a 50ºC y el número de Reynolds a la entradaes 1000. Calcular el calor transferido, el coeficiente de transferencia de

calor medio y la temperatura de salida del aceite para longitudes del tubode 10, 20 y 50 cm.

5.26 Se calientan 3 kg/s de agua desde 5 hasta 15ºC pasando a través de untubo de cobre de 5 cm de diámetro interior. La temperatura de la pareddel tubo se mantiene a 90ºC. ¿Cuál es la longitud del tubo?

5.27 Se calientan 0.8 kg/s de agua desde 35 hasta 40oC en un tubo de 2.5 cmde diámetro cuya superficie está a 90ºC. ¿Qué longitud debe tener el tubopara conseguir este calentamiento?

5.28 En un tubo de 1.25 cm de diámetro y 3 m de longitud entra aceite demotor a una temperatura de 38ºC. La temperatura de la pared del tubo semantiene a 65ºC y la velocidad de la corriente es de 30 m/s. Estimar elcalor total transferido al aceite y su temperatura de salida.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 149

5.29 Por un tubo liso de 2.5 cm de diámetro interior y 15 m de longitud sefuerza la circulación de 0.5 kg/s de agua. La temperatura de entrada delagua es 10ºC y la temperatura de la pared del tubo es 15ºC mayor que la

temperatura del agua a lo largo de todo el tubo. ¿Cuál es la temperaturade salida del agua?

5.30 Por un tubo de 3 cm de diámetro y rugosidad relativa 0.002 cuya pared semantiene a una temperatura constante de 80ºC circula agua. Si el aguaentra a 20ºC estimar el coeficiente de convección para un número deReynolds de 105.

5.31 En un tubo de 6 mm de diámetro entran 8 x 10-5 kg/s de aire a 110 kPa y40ºC. La temperatura de la pared del tubo se mantiene constante a140ºC. Calcular la temperatura de salida del aire para una longitud detubo de 14 cm.

5.32 En un tubo de 1 cm de diámetro entra aceite de motor siendo el flujomásico tal que el número de Reynolds a la entrada es 50. Calcular latemperatura de salida del aceite para una longitud de tubo de 8 cm y unatemperatura en la pared constante de 80ºC. La temperatura de entrada es

20ºC.

5.33 Por un tubo de 2 cm de diámetro circula agua, siendo la velocidad mediade la corriente 8 m/s. Si el agua entra a 20ºC y sale a 30ºC y la longituddel tubo es de 10 m, estimar la temperatura media necesaria en la paredpara que se transfiera el calor requerido.

5.34 En un tubo de 2.0 mm de diámetro entra aceite de motor a 20ºC a una

velocidad de 1.2 m/s. La temperatura de la pared del tubo es constante eigual a 60ºC y el tubo tiene 1 m de longitud. Calcular la temperatura desalida del aceite.

5.35 En un tubo de 3 mm de diámetro entra agua a 21ºC y sale a 32ºC. El flujomásico es tal que el número de Reynolds es 600. La longitud del tubo esde 10 cm y se mantiene a una temperatura constante de 60ºC. Calcular elflujo másico de agua.

5.36 Por un tubo de 5 mm de diámetro circula un flujo másico de glicerina talque el número de Reynolds es 10. La glicerina entra a 10ºC y sale a 30ºC.La pared del tubo se mantiene constante a 40ºC. Calcular la longitud deltubo.

5.37 Un cilindro de 5 cm de diámetro se mantiene a 100ºC y está situado enuna corriente de nitrógeno a 2 atm y 10ºC. El nitrógeno circula




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 150

transversalmente al cilindro con una velocidad de 5 m/s. Calcular el calorpor unidad de longitud perdido por el cilindro.

5.38 Se sopla aire a 1 atm y 0

o

C transversalmente a un cilindro de 4 cm dediámetro cuya superficie se mantiene a una temperatura de 54ºC. Lavelocidad del aire es 25 m/s. Calcular el calor perdido por el cilindro porunidad de longitud.

5.39 Se sopla aire a 200 kPa transversalmente a un cilindro de 20 cm dediámetro a una velocidad de 25 m/s y una temperatura de 10ºC. Elcilindro se mantiene a una temperatura constante de 80ºC. Calcular elcalor transferido.

5.40 Alrededor de una esfera de 3 mm de diámetro circula agua a 6 m/s. Latemperatura de la corriente libre es 38ºC, y la esfera se mantiene a 93ºC.Calcular el flujo de calor.

5.41 Una esfera caliente de 3 cm de diámetro se mantiene a la temperaturaconstante de 90ºC y está situada en una corriente de agua a 20 ºC. Lavelocidad de la corriente de agua es 3.5 m/s. Calcular el calor perdido por

la esfera.

5.42 En un haz de tubos en línea que consta de cinco filas de diez tubos cadauna entra aire a 300 K y 1 atm. El diámetro de los tubos es 2.5 cm y a = b= 5.0 cm. La velocidad en la entrada es 10 m/s y la temperatura de lasparedes de los tubos es 350 K. Calcular la temperatura de salida del aire.

5.43 Un haz de tubos utiliza una disposición en línea con a = b = 1.9 cm y 6.33

mm de diámetro de tubos. Se emplean 6 filas de tubos que constan deuna pila de 50 tubos de altura. La temperatura de la superficie de lostubos se mantiene constante a 90ºC y transversalmente a ellos circulaaire atmosférico a 20ºC siendo 4.5 m/s la velocidad antes de que lacorriente entre al haz de tubos. Calcular el calor total por unidad delongitud transferido en el haz de tubos.

5.44 Una corriente de aire a 3.5 MPa y 38ºC fluye transversalmente a un hazde tubos que consta de 400 tubos de 1.25 cm de diámetro exterior,dispuestos escalonadamente con 20 filas de altura; b = 3.75 cm y a = 2.5cm. La velocidad a la entrada de la corriente es 9 m/s y la temperatura delas paredes de los tubos se mantiene constante a 20ºC mediante vaporque condensa en el interior de los tubos. La longitud de los tubos es 1.5m. Estimar la velocidad de salida del aire cuando sale del haz de tubos.



CAPITULO 6

CONVECCION NATURAL

En el capítulo anterior se describió el fenómeno de convección forzada, endonde el fluido se hace pasar a través de la superficie de transferencia de calor

mediante la acción de algún agente externo al sistema. Sin embargo adiferencia de la convección forzada, el movimiento del fluido en la convecciónnatural resulta como consecuencia de las fuerzas de empuje que se ejercensobre éste cuando disminuye su densidad, al encontrarse en la vecindad de lasuperficie de transferencia de calor y en presencia de un campo gravitacional ocentrífugo en una máquina rotatoria.

No obstante que el coeficiente de transferencia de calor en convección naturales relativamente bajo en comparación con el de convección forzada, muchosdispositivos dependen enteramente de este modo de transferencia de calor parasu correcto funcionamiento. Tal es el caso de algunos transformadoreseléctricos, radiadores para calefacción en edificios de tipo residencial,transistores en equipos electrónicos, etc.

Aun cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección naturalpuede obtenerse analíticamente mediante la solución simultánea de lasecuaciones de continuidad, movimiento y energía, en geometrías relativamente

sencillas, la tarea es enormemente compleja. Esta dificultad estriba en que lasdistribuciones de velocidad y de temperatura están íntimamente relacionadasentre sí y dependen la una de la otra.

6.1 ECUACIONES PARA LA CONVECCION NATURAL EN UNAPLACA PLANA VERTICAL

Se considera la placa vertical de la figura a temperatura Ts que está expuesta aun fluido de menor temperatura cuyo valor es T∞. A diferencia de la convecciónforzada, la velocidad del fluido es igual a cero en la interfase, aumenta hasta uncierto valor máximo y luego disminuye a cero en el extremo de la capa límite.Por otra parte el desarrollo de la capa límite es inicialmente laminar, pero amedida que el fluido progresa a lo largo de la placa se empiezan a experimentarperturbaciones y el flujo sufre una transición a régimen turbulento.



CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 153

∂u ∂u ∂2u

ρ ( u ⎯⎯ + v ⎯⎯ ) = g ρ β (T - T∞) + μ ⎯⎯

∂x ∂y ∂y2

El primer término del lado derecho de la ecuación es la fuerza de flotación, y el

flujo se origina debido a que la densidad ρ es variable; se hace evidente comola fuerza de flotación se relaciona con la diferencia de temperaturas.

1

β = ⎯ (∂V/∂T)P = coeficiente de expansión térmica

V

u = componente de la velocidad en la dirección del flujo.

v = componente de la velocidad perpendicular a la placa.

El conjunto de ecuaciones que gobierna la convección natural es por lo tanto:

∂u ∂v

⎯⎯ + ⎯⎯ = 0

∂x ∂y

∂u ∂u ∂2u

ρ ( u ⎯⎯ + v ⎯⎯ ) = g ρ β (T - T∞) + μ ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y2

∂T ∂T ∂2T

u ⎯⎯ + v ⎯⎯ = α ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y

2

6.2 PARÁMETROS ADIMENSIONALES

El primer número adimensional es el llamado número de Grashof local querepresenta la razón de las fuerzas de empuje a las fuerzas viscosas que actúansobre el fluido. Está dado por la siguiente expresión:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 154

2

3s

2

x

x)TT(gGr

μ

−ρβ= ∞

El segundo número adimensional es el llamado número de Rayleigh que sirvecomo criterio para la transición de régimen laminar a régimen turbulento y quedepende de la magnitud relativa de las fuerzas de empuje y viscosa en el fluido.Está dado por la siguiente expresión y no es otra cosa que el producto delnúmero de Grashof por el número de Prandtl.

αμ

−ρβ== ∞

3

sxx

x)TT(gPr Gr Ra

El valor de Rax crítico donde ocurre la transición es 109.

En las ecuaciones anteriores:

β = coeficiente de expansión volumétrica

x = longitud desde el borde de la capa límite.μ = viscosidad dinámicaTs = temperatura de la pared

T∞ = temperatura del fluido

α = difusividad térmica

Las propiedades se evalúan a la temperatura de película Tf .

6.3 COEFICIENTE LOCAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

El coeficiente de transferencia de calor puede evaluarse a partir de

)TT( Ahdy

dT Akq P

P

P ∞−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

Haciendo uso de las ecuaciones de la capa límite para encontrar la distribuciónde temperatura pueden obtenerse las siguientes ecuaciones

41

x4

12

1

Gr Pr)952.0(Pr 93.3x

−−+=

δ




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 155

δ=

k2h

donde δ es el espesor de la capa límite.

Utilizando las relaciones anteriores se puede llegar a la siguiente ecuaciónadimensional que permite calcular el coeficiente local hx de transferencia decalor.

41

x

41

21

xGr Pr)952.0(Pr 508.0Nu

−+=

6.4 COEFICIENTE MEDIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

La ecuación para Nux da la variación del coeficiente de transferencia de calorlocal a lo largo de la placa vertical. El valor medio del coeficiente de

transferencia de calor puede calcularse realizando la siguiente integración:

∫ ===L

0Lxx h

3

4dxh

L

1h

4

1

L4

1

2

1

Gr Pr)952.0(Pr 677.0k

LhNu

−

+==

2

3s

2

L

L)TT(gGr

μ

−ρβ= ∞

6.5 RELACIONES EMPIRICAS PARA CONVECCION NATURAL

En la mayor parte de los casos, la ecuación fundamental para calcular elcoeficiente de transferencia de calor por convección está dado por la siguienterelación:

N uf = C (Gr f Pr f )m




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 156

El subíndice f indica que las propiedades en los grupos adimensionales seevalúan a la temperatura de película

2TTT s

f += ∞

En la tabla 6-1 se proporciona un resumen de las correlaciones, para variasgeometrías, con los valores de las constantes C y m.

Tabla 6-1 Constantes para la ecuación Nuf = C (Gr f Pr f )m para superficies

isotermas

GEOMETRIA Gr f Pr f C mPlanos y cilindros verticales 10

-1 - 10

4Gráfica 6-1 Gráfica 6-1

104 – 10

9 0.59 1/4

109 – 10

13 0.021 2/5

109 – 10

13 0.10 1/3

Cilindros horizontales 0 – 10-5

0.4 0

10-5

- 104 Gráfica 6-2 Gráfica 6-2

104 – 10

9 0.53 1/4

109 – 10

12 0.13 1/3

10-10 – 10-2 0.675 0.05810

-2 – 10

2 1.02 0.148

102 - 10

4 0.850 0.188

104 – 10

7 0.480 1/4

107 – 10

12 0.125 1/3

Superficie superior de placas calienteso superficie inferior de placas frías

2 x 104 – 8 x 10

6 0.54 1/4

Superficie superior de placas calienteso superficie inferior de placas frías

8 x 106 – 10

11 0.15 1/3

Superficie inferior de placas calientes

o superficie superior de placas frías

105 – 10

11 0.27 1/4

Cilindro vertical (altura = diámetro).Longitud característica = diámetro

104 – 10

6 0.775 0.21

Sólidos irregulares, longitudcaracterística = distancia que unapartícula fluida recorre en la capalímite

104 - 10

9 0.52 1/4

La dimensión característica que se utiliza en los números de Nusselt y Grashofdepende de la geometría del problema. Para una placa vertical es la altura de laplaca L; para un cilindro horizontal es el diámetro d, etc.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 157

Gráfica 6-1 Correlación de la transferencia de calor por convecciónnatural en placas verticales calientes

6.5.1 CONVECCION NATURAL EN PLANOS Y CILINDROS VERTICALESCON SUPERFICIES ISOTERMAS

Los números de Nusselt y Grashof en paredes verticales, se forman con laaltura de la superficie L como longitud característica. La transferencia de caloren cilindros verticales puede calcularse con las mismas relaciones de las placasverticales si el espesor de la capa límite no es grande comparado con eldiámetro del cilindro. El criterio general es que un cilindro vertical puede tratarsecomo una placa plana vertical cuando

41

LGr

35

L

D>

donde D es el diámetro del cilindro.

Las relaciones de la tabla 6-1 pueden ser aplicadas, pero las siguientesrelaciones dadas por Churchill y Chu son aplicables en un intervalo más ampliodel número de Rayleigh:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 158

9L

94

169

41

10Rapara

Pr

492.01

Ra670.068.0uN <

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+=

131

278

169

61

21

10Ra10para

Pr

492.01

Ra387.0825.0uN <<

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+= −

6.5.2 CONVECCION NATURAL EN PLANOS Y CILINDROS VERTICALESCON FLUJO DE CALOR CONSTANTE

Las correlaciones para este caso se presentan en función de un número de

Grashof modificado, Gr

*

.

2

4p

xx*x

k

xqgNuGr Gr

ν

β==

donde qp es el flujo de calor, por metro cuadrado, en la pared. Los coeficientesde transferencia de calor locales están correlacionados en el intervalo laminarpor la siguiente relación:

constanteq;10Gr 10)Pr Gr (60.0k

xhNu p

11*x

55

1

f *x

f xf =<<==

El criterio para flujo laminar, expresado en función de , no es el mismo que

el expresado en función de Gr x. La transición de la capa límite comienza entre

*xGr

*

xGr = 3 x 10

12

y 4 x 10

13

y termina entre 2 x 10

13

y 10

14

.

Los coeficientes para transferencia de calor locales para la región turbulenta sepueden calcular a partir de:

constanteq;10Pr Gr 10x2Pr)Gr (17.0Nu p16*

x134

1

*xx =<<=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 159

En las ecuaciones anteriores las propiedades se evalúan a la temperatura localde película.

El coeficiente medio de película se puede evaluar por:

h = ∫ == =

L

0pLxx constanteqh

4

5dxh

L

1

6.5.3 CONVECCION NATURAL DESDE PLACAS HORIZONTALESISOTERMAS

El coeficiente de calor medio se calcula por la ecuación:

N uf = C ( Gr f Pr f )m

Las constantes se toman de la tabla 6-1. La dimensión característica se tomacomo la longitud de un lado en un cuadrado, la media de las dos dimensionesen una superficie rectangular y 0.9 D en un disco circular.

También es posible utilizar como dimensión característica:

L = A / P

donde A es el área de la superficie y P su perímetro. Esta relación es aplicablea formas planas no simétricas.

6.5.4 CONVECCION NATURAL DESDE PLACAS HORIZONTALES CONFLUJO DE CALOR CONSTANTE

Se utilizan las siguientes correlaciones:

Para la superficie caliente mirando hacia arriba.

Nu L = 3

1

L Pr)Gr (13.0 para Gr LPr < 2 x 108

Nu L = 3

1

L Pr)Gr (16.0 para 2 x 108 < Gr L Pr < 10

11

Para la superficie caliente mirando hacia abajo.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 160

LNu = 5

1

L Pr)Gr (58.0 para 106 < Gr LPr < 10

11

En estas ecuaciones todas las propiedades excepto β se evalúan a latemperatura Te definida por:

Te = TP – 0.25(TP -T∞)

TP = temperatura media de la pared, relacionada, con el flujo de calor mediantela ecuación:

h =∞−TT

q

P

p

El número de Nusselt es en este caso:

LNu = h

k)TT(

Lq

k

L

P

p

∞−

=

6.5.5 CONVECCION NATURAL DESDE CILINDROS HORIZONTALES

Se pueden utilizar las constantes de la tabla 6-1, pero las siguientes relacionespueden ser aplicadas en un intervalo más amplio:

61

916

169

21

Pr

559.01

Pr Gr 387.060.0uN

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+= para 10-5

< Gr Pr < 1012

94

169

41

D

Pr

559.01

Pr)Gr (518.036.0Nu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+= para 10-6

< Gr Pr < 109




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 161

Gráfica 6-2 Correlación de la transferencia de calor por convecciónnatural de cilindros horizontales calientes

6.5.6 CONVECCION NATURAL EN ESFERAS

Se recomiendan las siguientes ecuaciones empíricas para la transferencia decalor desde esferas al aire:

41

f f

f Gr 392.02k

hDNu +== para 1< Gr f < 105

La ecuación anterior puede modificarse con la introducción del número dePrandtl, asï,

41

f f f )Pr Gr (43.02Nu +=

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para la convección natural engases y en ausencia de mayor información pueden utilizarse también paralíquidos.

Para agua e intervalos mayores del número de Rayleigh, puede utilizarse lasiguiente correlación,




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 164

El coeficiente de transferencia de calor es

(716) (0.02685)

h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.8 W/m

2

o

C4.0

El flujo de calor transferido

q = h A (Ts - T∞) = (4.8) (4) (10) (60 – 10) = 9606 W

También se podría haber utilizado la relación

9.639)10x62.2()10.0(Pr)Gr (10.0Nu 31

1131

===

Este último valor es un 10% más bajo que el obtenido con la primera ecuación.

6.2 Un calentador de 2 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a unatemperatura de 38

ºC se encuentra sumergido, en posición horizontal, en

agua a 27ºC. Calcular, por unidad de longitud del calentador, el calorperdido por convección natural.

La temperatura de película es

38 + 27

Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 32.5oC

2

Las propiedades del agua, del apéndice

k = 0.630 W/m2 oC

Calculamos el término,

g β ρ2 CP

⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.48 x 10

10

μ k

el término anterior, multiplicado por D3 ΔT da como resultado Gr Pr.

Gr Pr = (2.48 x 1010

) (38 – 27) (0.02)3 = 2.18 x 10

6




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 165

Utilizando la tabla 6-1 se tiene: C = 0.53 y m = ¼

36.20)10x18.2()53.0(Nu 41

6 ==

(20.36) (0.63)

h = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 642 W/m2 oC

0.02

La transferencia de calor será

(q/L) = h π D (TP - T∞) = (642) (π) (0.02) (38 – 27) = 443 W/m

6.3 Un alambre delgado, que tiene un diámetro de 0.02 mm, se mantiene a unatemperatura constante de 54

ºC por medio de una corriente eléctrica. El

alambre se expone al aire a 1 atm y a 0oC. Calcular la potencia eléctrica

necesaria para mantener la temperatura del alambre si la longitud de éstees 50 cm.

La temperatura de película es

54 + 0

Tf = ⎯⎯⎯⎯ = 27ºC = 300 K

2

Las propiedades del aire son

β = 1/300 = 0.00333 K-1

k = 0.02624 W/moC

ν = 15.69 x 10-6

m2/s

Pr = 0.708

El producto Gr Pr será

(9.8) (0.00333) (54 – 0) (0.02 x 10-3

)3

Gr Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x (0.708) = 4.05 x 10-5

(15.69 x 10

-6)2

En la tabla 6-1: C = 0.675 y m = 0.058




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 166

Nu = (0.675) (4.05 x 10-5

)0.058

= 0.375

k (0.375) (0.02624)

h = Nu ( ⎯ ) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 492.6 W/m

2

o

CD 0.02 x 10-3

El flujo de calor transferido o la potencia necesaria es

q = h A (TP - T∞) = (492.6) (π) (0.02 x 10-3

) (0.5) (54 – 0) = 0.836 W

6.4 Una tubería horizontal de 0.3048 m de diámetro se mantiene a unatemperatura de 250ºC en una habitación en la que el aire ambiente seencuentra a 15

ºC. Calcular, por unidad de longitud, el calor perdido por

convección natural.

250 + 15

Tf = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 132.5oC = 405.5 K

2

k = 0.03406 W/moC

β = 1/T = 1/405.5 = 2.47 x 10-3

K-1

ν = 26.54 x 10-6

m2/s

Pr = 0.687

gβ (TP - T∞) D3

Gr D Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Pr

ν2

(9.8) (2.47 x 10-3

) (250 – 15) (0.3048)3 (0.687)

Gr DPr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.571 x 108 (26.54 x 10

-6)2

De la tabla 6-1: C = 0.53 y m =1/4

NuD = 0.53 (Gr Pr)1/4

= (0.53) (1.571 x 108)1/4

= 59.4




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 168

β = 3.25 x 10-3

K-1

k = 0.02685 W/moC

ν = 17.47 x 10-6

m2/s

Pr = 0.7

La longitud característica es la distancia que recorre una partícula en la capalímite, que en este caso es L/2 a lo largo de la cara inferior, más L a lo largo dela cara lateral, más L/2 a lo largo de la cara superior, esto es, 2L = 40 cm.

(9.8) (3.25 x 10-3) (60 – 10) (0.4)3

Gr Pr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x (0.7) = 3.34 x 108

(17.47 x 10-6

)2

De la tabla 6-1: C = 0.52 y m = 1/4

Nu = (0.52) (3.34 x 108)1/4

= 135.2

k (135.2) (0.02685)h = Nu ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 9.07 W/m

2 oC

L (0.4)

El área del cubo será: A = 6 (0.2)2 = 0.24 m

2


q = h A (TP - T∞) = (9.07) (0.24) (60 – 10) = 108.8 W


6.6 Una placa cuadrada vertical, de 1 m de lado, se calienta hasta 400ºC y se

expone al aire ambiente a 25ºC. Calcular la pérdida de calor por una de las

caras de la placa.

6.7 Un cilindro vertical de 1.8 m de alto y 7.5 cm de diámetro, se mantiene auna temperatura de 93

ºC en un ambiente a 30

ºC. Calcular la pérdida de

calor por convección natural de este cilindro. Para el cálculo, el cilindropuede tratarse como una placa plana vertical.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 169

6.8 Una placa vertical cuadrada de 30 cm de lado se calienta eléctricamente,de modo que se mantiene un flujo de calor constante, siendo 30 W el calordisipado. El aire ambiente se encuentra a 1 atm y 20

ºC. Calcular el valor

del coeficiente de transferencia de calor a 15 y 30 cm de altura. Calculartambién el coeficiente de transferencia de calor medio de la placa.

6.9 Una placa vertical cuadrada de 0.3 metros de lado se mantiene a 49ºC y

está expuesta al aire ambiente a 1 atm y 19ºC. Calcular la pérdida de calor

por ambas caras de la placa.

6.10 Calcular la pérdida de calor por convección natural de una placa verticalcuadrada de 0.61 m de lado, que se mantiene a 100

ºC y está en presencia

de helio a 20ºC y 2 atm.

6.11 Una placa grande vertical de 6.1 m de altura y 1.22 m de ancha, semantiene a una temperatura constante de 57

ºC y está en presencia de aire

atmosférico a 4ºC. Calcular la pérdida de calor de la placa.

6.12 Una placa cuadrada vertical, de 1 m de lado, se mantiene a 49ºC en aire

ambiente a 21ºC. Calcular la pérdida de calor de la placa.

6.13 ¿Qué distancia vertical se necesita para que, en aire en condiciones

estándar y ΔT = 10ºC, el número de Rayleigh valga 10?

6.14 Una placa vertical de 25 x 25 cm está equipada con un calentadoreléctrico que proporciona un flujo de calor constante de 1000 W/m

2. La

placa se sumerge en agua a 15ºC. Calcular el coeficiente de transferencia

de calor y la temperatura media de la placa. ¿Qué cantidad de calor

perdería una superficie isoterma a esta temperatura media?

6.15 Una placa vertical de 25 x 25 cm está equipada con un calentadoreléctrico que proporciona un flujo de calor constante de 1000 W/m

2. La

placa se sumerge en agua a 15ºC. Calcular el coeficiente de transferencia

de calor y la temperatura media de la placa. ¿Qué cantidad de calorperdería una superficie isoterma a esta temperatura media?

6.16 Un calentador eléctrico horizontal con D = 2 cm está colocado en unrecipiente que contiene etilenglicol a 80oC. La temperatura de la

superficie del calentador se mantiene a 200ºC. Calcular la transferencia

de calor si el calentador mide 40 cm de largo.

6.17 Una varilla caliente horizontal de 3 cm de diámetro y 1 m de longitud estácolocada en un recipiente con amoniaco líquido saturado a 20

ºC. La




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 170

superficie del calentador se mantiene a una temperatura constante de70

ºC. Calcular el flujo de calor.

6.18 La condensación de vapor de agua a 120

º

C en el interior de una tuberíahorizontal de 7.5 cm de diámetro se utiliza para suministrar calor a unacierta área de trabajo en el que la temperatura del aire ambiente es 17

ºC.

El calor total necesario es 29.3 kW. ¿Qué longitud de tubería se precisapara llevar a cabo este calentamiento?

6.19 Un alambre de platino de 10 cm de longitud y 0.4 mm de diámetro secoloca horizontalmente en un recipiente con agua a 38

ºC y se calienta por

medio de energía eléctrica, de manera que la temperatura de la superficiese mantiene a 93oC. Calcular el calor perdido por el alambre.

6.20 Por una tubería de acero de 2.5 cm de diámetro interior (DI) y 3 cm dediámetro exterior (DE) circula agua, con un flujo másico de 0.8 kg/s, a 90

ºC.

La temperatura de la superficie exterior de la tubería es 85ºC, y la

temperatura del aire ambiente es 20ºC. La presión atmosférica es 1 atm. y

la longitud de la tubería es 15 m. ¿Cuánto calor se pierde por convecciónnatural al ambiente?

6.21 Una tubería horizontal de 8 cm de diámetro está colocada en un recinto enel que el aire ambiente está a 20

ºC. La temperatura de la superficie de la

tubería es de 140ºC. Calcular la pérdida de calor por convección natural por

metro de tubo.

6.22 Un tubo horizontal de 1.25 cm de diámetro exterior se calienta hasta quela temperatura de su superficie alcanza los 250

ºC y se expone al aire a una

temperatura ambiente de 20º

C y 1 atm. ¿Cuál es la transferencia de calorpor convección natural por unidad de longitud de tubo?

6.23 Un calentador eléctrico horizontal de 2.5 cm de diámetro se encuentrasumergido en un baño de aceite ligero a 93

ºC. La temperatura de la

superficie del calentador se mantiene a 150ºC. Calcular el calor perdido por

unidad de longitud del calentador.

6.24 Un alambre delgado de 0.0254 mm de diámetro, se calienta por medio deuna corriente eléctrica y se coloca horizontalmente en una cámara quecontiene helio a 3 atm y 10

ºC. Si la temperatura de la superficie del

alambre no excede de los 240ºC, calcular la potencia eléctrica que hay que

suministrar por unidad de longitud.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 171

6.25 Un conducto circular grande, de 3 m de diámetro, lleva gases calientes a250

ºC. El exterior del conducto está expuesto al aire ambiente a 1 atm y

20ºC. Estimar la pérdida de calor por unidad de longitud del conducto.

6.26 Un calentador cilíndrico de 2 cm de diámetro se coloca en un depósito deglicerina a 20

ºC. La temperatura de la superficie del calentador es 60

ºC y

su longitud 60 cm. Calcular la transferencia de calor.

6.27 Un cilindro de 3.5 cm de diámetro contiene un calentador eléctrico quemantiene en la superficie un flujo de calor constante de 1500 W/m

2. Si el

cilindro está inclinado en ángulo de 35º con la horizontal y se halla

expuesto al aire ambiente a 20ºC, estimar la temperatura media de la

superficie.

6.28 Una tubería horizontal de 30 cm de diámetro se mantiene a unatemperatura constante de 25

ºC y está colocada en el aire ambiente a 20

ºC.

Calcular la pérdida de calor por convección natural de la tubería por unidadde longitud.

6.29 Un cilindro horizontal de 5 cm de diámetro y una longitud de 3 m se

mantiene a 82.2ºC y se sumerge en agua que está a 15.6ºC. Calcular elcalor perdido por el cilindro.

6.30 Un cilindro horizontal de 2 m de diámetro se mantiene a una temperaturaconstante de 77

ºC y está colocado al aire, en un gran almacén a 27

ºC. La

longitud del cilindro es 20 m. Calcular el calor perdido por el cilindro.

6.31 Calcular el flujo de calor cedido por convección natural desde una esfera

de 30 cm de diámetro que se mantiene a 90º

C y se halla expuesta al aireambiente a 20

ºC.

6.32 Una esfera de 2.5 cm de diámetro a 32ºC se sumerge en agua a 10

ºC.

Calcular el flujo de calor cedido por la esfera por convección natural.

6.33 Una esfera de 2.5 cm de diámetro se mantiene a 38ºC sumergida en agua

a 15ºC. Calcular el flujo de calor en estas condiciones.

6.34 La superficie superior de una placa horizontal de 10 x 10 m se mantiene a25

ºC en un ambiente a 28

ºC. Calcular la transferencia de calor.

6.35 Una placa circular caliente de 15 cm de diámetro, se mantiene a 150ºC en

aire atmosférico que está a 20ºC. Calcular la pérdida de calor por

convección natural cuando la placa está en posición horizontal.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 172

6.36 Un calentador horizontal de 4 x 4 m está colocado en el aire ambiente deuna habitación a 15

ºC. Tanto la superficie superior como la inferior de la

placa están a 50ºC. Calcular la pérdida total de calor por convección

natural.

6.37 Una placa horizontal, a temperatura uniforme de 400 K, tiene la forma deun triángulo equilátero de 45 cm de lado y está expuesta al aire ambiente a300 K. Calcular el calor perdido por la placa.

6.38 Un pequeño bloque de cobre que tiene la base cuadrada de 2.5 x 2.5 cm yuna altura vertical de 5 cm se enfría en el aire ambiente a 1 atm y 20

ºC. El

bloque es isotermo y se encuentra a 93ºC. Calcular el flujo de calor.

6.39 Un pequeño calentador horizontal tiene la forma de un disco circular de 3cm de diámetro. El disco se mantiene a 50

ºC en presencia del aire

ambiente a 30ºC. Calcular la pérdida de calor.



CAPITULO 7

CONDENSACION Y EBULLICION

En muchos procesos de transferencia de calor en los que interviene un vapor

saturado se experimenta un cambio de fase al estado líquido mediante elmecanismo de condensación. Este fenómeno ocurre cuando el vapor se poneen contacto con una superficie a menor temperatura. Por otra parte, en otrosprocesos se experimenta un cambio de fase inverso del estado líquido al devapor mediante el mecanismo de ebullición.

Los problemas de transferencia de calor en estas condiciones de condensacióny ebullición son considerablemente más complejos que los de convección sincambio de fase, por lo que en el presente capítulo se dará prelación a lacomprensión física del mecanismo, limitándose el estudio a sustancias puras.

7.1 CONDENSACION

Se considera la placa vertical de la figura, la cual se mantiene a unatemperatura TP inferior a la de saturación del vapor que la rodea. Como

consecuencia de la condensación generalmente se forma una película delíquido sobre la superficie, la cual fluye hacia abajo debido a la atraccióngravitacional e incrementa su espesor a medida que una mayor cantidad devapor se condensa en la interfase.

A menos que la velocidad del vapor sea muy alta o el espesor de la película seagrande, el flujo de condensado es laminar y el calor se transfiere hacia lasuperficie solamente por conducción. A este fenómeno de transferencia de calorse le conoce como condensación en forma de película.

En otras circunstancias menos comunes, cuando la superficie de transferenciade calor está contaminada con alguna sustancia que evita que el líquido seadhiera a la superficie, el vapor se condensa en gotas en vez de formar unapelícula continua. A este fenómeno se le conoce como condensación en formade gotas.



CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 175

En forma más general, el coeficiente promedio de transferencia de calor para

una placa inclinada un ángulo φ respecto a la horizontal es

41

PsatL

3LfgVLL

sen)TT(L

khg)(943.0h

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡φ

−μ

ρ−ρρ=

Los resultados experimentales han demostrado que esta ecuación esconservativa, ya que los valores obtenidos con ella son aproximadamente un20% más bajos que los valores medidos. En consecuencia, la relaciónrecomendada para placas inclinadas (incluidas verticales) es

41

PsatL

3LfgVLL

sen)TT(L

khg)(13.1h

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡φ

−μ

ρ−ρρ=

Tubos verticales. La ecuación anterior, con senφ = 1, también es válida

para las superficies interiores y exteriores de tubos verticales, cuando su

diámetro D es grande comparado con el espesor de la película δ. No obstante,no es válida para tubos inclinados, ya que en este caso el flujo de la películapuede no ser paralelo al eje del tubo.

Tubos horizontales. Mediante un análisis de Nusselt para condensación

externa se obtiene

41

PsatL

3

LfgVLL)TT(D

khg)(725.0h

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−μ

ρ−ρρ=

Cuando la condensación tiene lugar en una batería de n tubos horizontalesdispuestos en una fila vertical, el condensado de un tubo superior que caesobre los tubos inferiores afecta la velocidad de transferencia de calor en estosúltimos. En este caso se debe calcular aproximadamente la transferencia decalor, reemplazando D por nD, ya que no se han desarrollado relaciones

empíricas que tengan en cuenta las salpicaduras y otros efectos.

Condensación en película turbulenta. Cuando una película de líquido

es suficientemente fuerte, el calor se transfiere no solo por conducción sinotambién mediante la difusión de remolino, la cual es una característica de laturbulencia. Este fenómeno puede ocurrir en superficies verticales altas o enbaterías de tubos horizontales. El criterio para determinar si el flujo es laminar o




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 176

turbulento es el número de Reynolds y para el sistema de condensación éstese define como

L

L

L

Lhf

PV A4VDRe

μρ=

μρ=

donde Dh = diámetro hidráulico ≅ 4 A/P A = área de flujoP = perímetro mojadoV = velocidad media de la corriente

Pero

V Am ρ=ο

Lf

P

m4Re

μ=

ο

donde es el flujo de masa a través de la sección particular de la película decondensado. Para una placa vertical de anchura unidad, P=1; para un tubo

vertical P = π D. El número de Reynolds crítico es aproximadamente 1800, y sedeben usar las correlaciones de turbulencia para la transferencia de calor anúmeros de Reynolds mayores que ese valor. Algunas veces el número deReynolds se expresa en función del flujo de masa por unidad de anchura de la

placa Γ. de modo que

οm

Ref = 4 Γ /μL

En el cálculo de los números de Reynolds, el flujo de masa puede relacionarsecon la transferencia total de calor y con el coeficiente de transferencia de calormediante

q = h A (Tsat –TP) = hfg ο

m

donde A es el área total de la superficie de transferencia de calor.

fg

Psat

fg h

)TT( Ah

h

qm

−==

ο




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 177

Lfg

Psatf

Ph

)TT( Ah4Re

μ

−=

Pero: A = LW y P = W

donde L y W son la altura y el ancho de la placa, respectivamente, de modo que

Lfg

Psatf

h

)TT(Lh4Re

μ

−=

Para superficies inclinadas de anchura W, A/P = LW/W = L; para tubos

verticales, A/P = πDL/πD = L; y para tubos horizontales, A/P = πDL/L = πD. Eneste punto debe observarse que el número de Reynolds de transición para untubo horizontal es 3600 en lugar de 1800, ya que la película fluye hacia abajopor ambos lados del tubo. Sin embargo, esto resulta académico, pues sobre untubo horizontal difícilmente se presenta flujo turbulento, debido a su pequeñadimensión vertical.

El mecanismo de la condensación es algo diferente si el vapor que condensaestá recalentado en lugar de saturado. Los resultados experimentales handemostrado que en la mayoría de casos se puede despreciar el efecto delrecalentamiento y pueden utilizarse las ecuaciones para vapores saturados, sinque el error introducido sea apreciable. Debe hacerse énfasis, sin embargo, enque (Tsat – TP) sigue siendo la diferencia de temperatura que rige y latemperatura real del vapor recalentado no interviene en los cálculos. En todaslas relaciones de condensación, las propiedades del condensado se evalúan ala temperatura media de la película Tf = (Tsat + TP)/2; las propiedades del vaporse evalúan a la temperatura de saturación y hfg se toma a la temperatura desaturación del vapor.

7.2 EBULLICION

Cuando un fluido confinado en un recipiente se calienta desde abajo, porejemplo, con un alambre sumergido, y la adición de calor es lenta, se observa laformación de vapor en la superficie libre. A medida que aumenta el flujo de calorse forman burbujas en la superficie del elemento de calefacción, las cualescambian de tamaño mientras suben por el fluido, además de la evaporación enla superficie libre. Esta formación de burbujas, con la agitación que le es propia,se denomina ebullición.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 178

El comportamiento de un fluido durante la ebullición depende en gran medida

del exceso de temperatura, ΔTx = TP – Tsat , medido a partir de la temperaturade ebullición del fluido. La figura indica seis regímenes diferentes para la

ebullición en recipiente típica; la curva de flujo de calor se denominacomúnmente curva de ebullición.

Régimen I. El calor se transfiere por convección libre, como se describe en elcapítulo anterior.

Régimen II. Empiezan a aparecer burbujas en la superficie de calefacción ysuben, en forma individual, hasta la superficie libre.

Régimen III. La acción de la ebullición se hace tan fuerte que las burbujasindividuales se combinan unas con otras, rápidamente para formar una columnade burbujas de vapor que llega hasta la superficie libre.

Exceso de temperatura ΔTx = TP - Tsat , oF

Gráfica 7-1 Alambre de calefacción horizontal de cromel de 0,04 pulgadas de diámetro en agua a 1atm

(BTU/hr.pie2) = 3.15 W/m

2 (BTU/hr.pie

2 oF) = 5.67 W/m

2 oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 179

Régimen IV. Las burbujas se forman tan rápidamente que cubren la superficiede calefacción, evitando que nuevas partículas de fluido se pongan en contactocon ella. La resistencia de la película se incrementa, reduciendo el flujo de calor

y la rapidez de transferencia de calor disminuye, aumentando la diferencia detemperatura. Debido a que la película se desvanece y reapareceintermitentemente, este régimen es muy inestable.

Régimen V. La película sobre la superficie de calefacción se hace estable.

Cuando ΔT alcanza aproximadamente los 540ºC, la transferencia de calor por

radiación empieza a tener importancia, en realidad se hace predominante, y el

flujo de calor vuelve a aumentar cuando aumenta ΔT.

El flujo de calor pico, punto B se llama punto de quemado. Esta es la condiciónque se presenta cuando el incremento del flujo de calor debido al aumento de

ΔT se compensa con el incremento de la resistencia de la película de vapor quecubre la superficie de calefacción. Los dos efectos se equilibran, produciendo loque a veces se denomina ebullición crítica o desviación de la ebullición ennúcleos. Para muchos fluidos comunes, la temperatura en D es superior alpunto de fusión de la mayoría de los materiales de calefacción y el calentadorfalla antes de alcanzarla. Si el calentador no se funde, la curva de ebullición

continúa ascendiendo más allá del punto D.

Como la ebullición es un fenómeno predominantemente local, el coeficiente detransferencia de calor h generalmente se expresa sin la barra superior. Sinembargo, la mayoría de aplicaciones requieren el cálculo de un flujo promediode calor. Como el quemado de los elementos de calefacción es un problemacorriente de ebullición y el flujo de calor más alto es una cantidad local para unrégimen determinado, el valor local es el que se debe utilizar en diseño, lo cual

constituye un criterio conservativo.

Ebull ición en recipientes.

Convección Libre (Régimen I).

Utilizando la ecuación general de la convección natural,

mL Pr)Gr (C

k

Lh =

la rapidez de transferencia de calor en este régimen está dada por

q = h A (TP – Tb) ⇒ q/A = h (TP – Tb)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 180

)TT(Pr)Gr (L

kC

A

qbP

aL −=

donde Tb es la temperatura media volumétrica y las constantes m y C se tomande la tabla correspondiente del capítulo anterior. Como Gr L = g β (TP – Tb) L

3 /ν2

y el exponente a es generalmente ¼ para flujo laminar y 1/3 para flujo

turbulento, la rapidez de transferencia de calor en éste régimen varía con ΔT ala potencia 5/4 para flujo laminar y 5/3 para flujo turbulento.

Ebullición en núcleos (Regímenes II y III).

La correlación general más aceptada para la transferencia de calor en losregímenes de ebullición en núcleos es la debida a W.M. Rohsenow.

3

fssLfg

satPLVLfgL

CPr h

)TT(C

*

)(gh

A

q

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

σ

ρ−ρμ=

donde:

La constante para la combinación superficie-fluido, es función de la rugosidadsuperficial y del ángulo de contacto entre la burbuja y la superficie de

calefacción. En la siguiente tabla se dan algunos valores.

Combinación superficie-fluido Csf

Agua-latón 0.006

Agua-cobre 0.013

Agua-níquel 0.006

CL = calor específico del líquido saturado, J/kgoC

Csf = constante para la combinación superficie –fluido (ver tabla)g = aceleración de la gravedad, m/s

2

hfg = entalpía de evaporación, J/kgPr L = número de Prandtl del líquido saturadoq/A = flujo de calor por unidad de área

TP – Tsat = ΔTx = exceso de temperatura,oC

μL = viscosidad del líquido, kg/m.s

σ* = tensión superficial, N/m

ρL = densidad del líquido saturado, kg/m3

ρV = densidad del vapor saturado, kg/m3

s = 1.0 para el agua y 1.7 para otros líquidos




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 181

Agua-platino 0.013

CCl4 - cobre 0.013

Benceno-cromo 0.010

n-Pentano-cromo 0.015 Alcohol etílico-cromo 0.0027

Alcohol isopropílico-cobre 0.0025

n-Alcohol butílico 0.0030

Para la tensión superficial del agua se puede utilizar la siguiente ecuación:

σ* = (0.07708) (0.9584 – 0.00234 T)

T (oC) y σ (N/m)

Flujo de calor pico.

En el punto donde la transferencia de calor es máxima (punto B de la gráfica),se recomienda la correlación

21

VL

L4

1

2V

VLfgV

máx

g)(*h)18.0(

A

q⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ρ+ρρ

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡ρ

ρ−ρσρ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Obsérvese que el flujo de calor pico es independiente del elemento decalefacción.

Ebullición en forma de película (Regímenes IV, V y VI)

Tubo horizontal. Con base en un estudio de la conducción a través de lapelícula sobre un tubo caliente y la radiación del tubo, L. A. Bromley propuso lassiguientes ecuaciones para determinar el coeficiente de transferencia de calorpor ebullición, en estos regímenes:

r

31

cc h

h

hhh +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

41

xv

xvfgvLvvc

TD

)TC4.0h(g)(k)62.0(h ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Δμ

Δ+ρ−ρρ=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 182

satP

4sat

4P

r TT

)TT(h

−

−εσ=

En las ecuaciones anteriores σ es la constante de Stefan-Boltzmann y ε es laemisividad de la superficie. En la ecuación para hc, D es el diámetro exterior deltubo y las propiedades del vapor se toman a la temperatura media de película,Tf = (TP + Tsat) / 2.

Tubo vertical. Para tubos verticales, Y. Y. Hsu y J. W. Westwater propusieronla correlación

31

2v

3vvLv6.0 k)(g

Re)002.0(h⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

μ

ρ−ρρ=

donde

vD

m4

Re μπ=

ο

οm = flujo de vapor en el extremo superior del tubo. Para condiciones análogas,el flujo de calor es mayor para tubos verticales que para horizontales.

Flujo mínimo de calor . Utilizando la inestabilidad hidrodinámica del límitelíquido-vapor, N. Zuber y M. Tribus encontraron la siguiente ecuación para

expresar el flujo mínimo de calor en la ebullición por película (punto C de lagráfica).

31

vLo

f 2

1

vL

32

vL

vLfgv

min )(g)(g

)(gh)09.0(

A

q⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ−ρ

μ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ−ρσ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ+ρ

ρ−ρρ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Las propiedades se evalúan a la temperatura media de película y go es la

aceleración normal de la gravedad, 9.81 m/s2

.

Relaciones simplificadas para el agua.

Se han desarrollado muchas relaciones para estimar los coeficientes detransferencia de calor por ebullición del agua. Jakob y Hawkins presentanalgunas de las relaciones más sencillas para la ebullición del agua sobre el




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 183

exterior de superficies sumergidas a presión atmosférica. Esos coeficientes detransferencia de calor pueden modificarse para tener en cuenta la influencia dela presión haciendo uso de la relación empírica

4.0

11p

p

phh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

dondehp = coeficiente de transferencia de calor a presión p.h1 = coeficiente de transferencia de calor a presión atmosférica

determinado en la siguiente tabla.

p = presión del sistemap1 = presión atmosférica normal

Superficie q/A, kW/m2 h, W/m

2 oC ΔTx,

oC Intervalo de h

Horizontal q/A < 16 1.042(ΔTx)0.33 0 – 7.76 0 – 2060

16 < (q/A) < 240 5.56 (ΔTx)3 7.32 – 14.4 2180 – 16600

Vertical q/A < 3 537 (ΔTx)0.143 0 – 4.51 0 – 670

3 < (q/A) < 63 7.96 (ΔTx)3 4.41 – 9.43 680 - 6680

Para ebullición local en convección forzada en el interior de tubos verticales, serecomienda la siguiente relación

551.1p

3x e)T(54.2h Δ=

donde ΔTx es la diferencia de temperaturas entre la de la superficie y la del

líquido saturado en oC, y p es la presión en MPa. La ecuación es válida en elintervalo de presiones de 5 a 170 atm.

PROBLEMAS RESUELTOS

7.1 Una placa vertical cuadrada, de 30 x 30 cm, se coloca en presencia devapor de agua a presión atmosférica. La temperatura de la placa es 98

ºC.

Calcular la transferencia de calor y la masa de vapor de agua condensadopor hora.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 184

Debe comprobarse el número de Reynolds para determinar si la película decondensado es laminar o turbulenta. Las propiedades se evalúan a latemperatura de película

100 + 98

Tf = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 99oC

2

ρL = 960 kg/m3 ; μL = 2.82 x 10

-4 kg/m.s ; kL = 0.68 W/m

oC

En este problema, la densidad del vapor es muy pequeña en comparación conla del líquido, y está justificado hacer la sustitución:

ρL (ρL - ρv) ≈ ρL2

Al tratar de calcular el número de Reynolds, se encuentra que éste depende delflujo másico de condensado. Pero este último depende del coeficiente detransferencia de calor, el cual depende a su vez del número de Reynolds. Pararesolver el problema se supone o flujo laminar o turbulento, se calcula elcoeficiente de transferencia de calor y después se comprueba el número de

Reynolds para ver si la hipótesis inicial del flujo era correcta o no.

Suponiendo condensación en película laminar. A presión atmosférica se tiene

Tsat = 100ºC hfg = 2255 kJ/kg

41

PsatL

3Lfg

2L

)TT(L

khg943.0h

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−μ

ρ=

Cm/W13150)98100()10x82.2()3.0(

)68.0()10x2255()8.9()960(943.0h o2

41

4

332

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

−

Al comprobar el número de Reynolds se tiene

Lfg

Psatf

h

)TT(Lh4Re

μ

−=

6.49)10x82.2()10x255.2(

)3.0)(98100()13150()4(Re

46f =−

=−




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 185

de manera que la hipótesis de laminar es correcta. La transferencia de calor secalcula ahora por

q = h A (Tsat – TP) = (13150) (0.3)2 (100 – 98) = 2367 W

El flujo de masa de condensado es

s/kg10x05.110x255.2

2367

h

qm 3

6fg

−===ο

7.2 Cien tubos de 1.27 cm de diámetro están dispuestos formando un cuadradoy en presencia de vapor de agua a presión atmosférica. Calcular la masade vapor de agua condensado, por unidad de longitud de tubos, para unatemperatura de la pared del tubo de 98

ºC.

Las propiedades del condensado se toman del problema anterior. Para lasolución se sustituye D por nD con n=10.

41

PsatL

3Lfg

2L

)TT(nD

khg725.0h

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−μ

ρ=

Cm/W12540)98100()0127.0()10()10x82.2(

)68.0()10x255.2()8.9()960(725.0h o2

41

4

362

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

−

El área de la superficie total es

(A/L) = n π D = (100) (π) (0.0127) = 3.99 m2/m

La transferencia de calor es

(q/L) = h (A/L) (Tv – TP) = (12540) (3.99) (100 – 98) = 100.07 kW/m

El flujo de masa total de condensado por metro de longitud es

s/kg0444.010x255.2

10x0007.1

h

qm

6

5

fg

===ο




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 187

21

2

6

máx6.042.958

42.958

)6.0(

)8.9)(6.042.958)(0584.0()10x25.2)(6.0)(18.0(

A

q⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡+

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

26

máx

m/W10x517.1 A

q=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

7.5 Una placa de níquel calentada a 105.5ºC se sumerge horizontalmente en

agua a presión atmosférica. Calcular el flujo de calor por unidad de área.

Para un exceso de temperatura

ΔTx = 105.5 – 100 = 5.5ºC x (1.8

ºF/

oC) = 10

oF

La gráfica 7-1 indica que la ebullición se realiza muy probablemente en núcleosy la ecuación de Rohsenow es válida

3

fssLfg

satPLVLfgL

CPr h

)TT(C)(gh

A

q

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

σ

ρ−ρμ=

Las propiedades son

hfg = 2.25 x 106 J/kg ; ρL = 961.5 kg/m

3 ; ρV = 0.6 kg/m

3

μL = 2.82 x 10-4 kg/m.s ; σ = 0.05831 N/m ; CL = 4214.3 J/kg oC

Pr = 1.74 ; Cfs = 0.006

3

6

64

)006.0)(74.1)(10x25.2(

)5.5)(3.4214(x

05831.0

)6.05.961)(8.9()10x25.2()10x82.2(

A

q⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −

25 m/W10x45.2 A

q=

7.6 Por el interior de un tubo de 2.54 cm de diámetro circula agua a 5 atm encondiciones de ebullición local, estando la pared del tubo a una




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 190

7.19 Se ha diseñado un condensador para condensar 10000 kg/h derefrigerante 12 (CCL2F2) a 37.8

ºC. Se utiliza un haz de tubos cuadrado de

25 x 25 tubos con un diámetro de 12 mm cada uno. Por el interior de los

tubos circula agua que mantiene la temperatura de sus paredes a 32.2

º

C.Calcular la longitud de cada tubo. hfg = 129.96 kJ/kg a 37.8ºC.

7.20 Una placa vertical caliente a una temperatura de 107ºC está sumergida en

el agua de un recipiente a presión atmosférica. La temperatura del agua esde 100

ºC, y la ebullición tiene lugar en la superficie de la placa. El área de

ésta es 0.3 m2. ¿Cuál es el flujo de calor cedido por la placa en vatios?

7.21 Una placa de cobre cuadrada, de 30 x 30 cm, sirve de fondo de una ollacon agua a presión de 1 atm. La temperatura de la placa se mantiene a117

ºC. Determine el calor transferido por la placa en una hora.

7.22 Por el interior de un tubo de 2 cm de diámetro, circula agua a 4 atm encondiciones de ebullición local. La temperatura de la pared del tubo es12

ºC por encima de la de saturación. Calcular la transferencia de calor para

una longitud del tubo de 60 cm.

7.23 Un hilo de níquel de 15.24 cm de longitud y 1.016 mm de diámetro estásumergido horizontalmente en agua a una presión manométrica de 689kPa y requiere 131.8 A a 2.18 V para mantenerse a 176.7

ºC. ¿Cuál es el

coeficiente de transferencia de calor?

7.24 Una varilla calefactora de cobre, de 5 mm de diámetro, está sumergida enagua a 1 atm. El exceso de temperatura es 11

ºC. Calcular la pérdida de

calor por unidad de longitud de la varilla.

7.25 Un tubo horizontal, de 3 mm de diámetro y 7.5 cm de largo, estásumergido en agua a 1.6 atm. Calcular la temperatura de la superficienecesaria para generar un flujo de calor de 0.2 MW/m

2.

7.26 Un tubo horizontal que tiene un diámetro exterior de 1.25 cm, estásumergido en agua a 1 atm. y 100

ºC. Calcular el flujo de calor para las

siguientes temperaturas de superficie: (a) 540ºC (b) 650

ºC (c) 800

ºC.

Suponer una emisividad, ε = 0.8.



CAPITULO 8

INTERCAMBIADORES DE CALOR

Un intercambiador de calor es cualquier dispositivo en el cual se efectúa latransferencia de energía térmica desde un fluido hasta otro. En losintercambiadores más sencillos el fluido caliente y el fluido frío se mezclandirectamente; sin embargo, los intercambiadores más comunes son aquellos enlos cuales los fluidos están separados por una pared. Estos últimos pueden

variar desde una simple placa plana que separa dos fluidos hastaconfiguraciones complejas que incluyen pasos múltiples., aletas y deflectores.En este caso se requieren los principios de transferencia de calor porconducción y convección y en ocasiones por radiación, para describir el procesode intercambio de energía.En el diseño de los intercambiadores de calor intervienen muchos factores,entre los cuales se incluyen el análisis térmico, tamaño, peso, resistenciaestructural, caída de presión y costo. En este capítulo se tratará principalmenteel análisis térmico. Con excepción de la resistencia estructural y el costo, losfactores mencionados se pueden evaluar adecuadamente, utilizando losprincipios de los capítulos anteriores.

8.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR

En la figura se muestra un intercambiador de calor de doble tubo y con flujos enparalelo. En caso de que los fluidos circulen en direcciones opuestas, elintercambiador de calor viene a ser de flujos opuestos o en contracorriente. Encualquiera de estos dos casos uno de los fluidos, el caliente o el frío, ocupa elespacio anular y el otro circula por dentro del tubo interior.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 192

La siguiente figura ilustra un intercambiador de calor del tipo coraza y tubos condos pasos en los tubos (intercambiador 1-2). En este caso uno de los fluidoscircula por el interior de los tubos, mientras que el otro circula por el espacio quedejan éstos y la coraza del intercambiador. Dependiendo del arreglo geométricoque se tenga en los cabezales del intercambiador se pueden tener uno o máspasos de tubos, con el fin de incrementar el área de la superficie efectiva detransferencia de calor por unidad de volumen. El fluido que circula por el exteriorcon frecuencia es conducido mediante el uso de deflectores o “baffles”.

Otro tipo de intercambiador de calor es el de corrientes cruzadas que se emplea

generalmente para calentar aire o gases y en aplicaciones de refrigeración. Enla siguiente figura se muestra un ejemplo de un intercambiador de este tipo, enel que se puede hacer circular un gas a través de un haz de tubos, mientras queen el interior de los tubos se utiliza otro fluido, con fines de calentamiento o



CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 193

refrigeración. En este intercambiador se dice que el gas que circulatransversalmente a los tubos es una corriente mezclada, mientras que la delfluido del interior de los tubos se dice que es sin mezclar . El gas es mezcladoporque puede moverse libremente por el intercambiador mientras intercambiacalor. El otro fluido está confinado dentro de conductos tubulares separadosmientras se encuentra dentro del intercambiador, de modo que no puedemezclarse consigo mismo durante el proceso de transferencia de calor.

La siguiente figura muestra un tipo diferente de intercambiador de corrientescruzadas. En este caso, el gas circula a través de haces de tubos con aletas,por lo que es no mezclado puesto que está confinado en canales separados porlas aletas, según pasa a través del intercambiador. Este intercambiador estípico entre los utilizados en aplicaciones de acondicionamiento de aire.

Existen otros intercambiadores dentro de los cuales pueden estar las calderas ogeneradores de vapor, condensadores, torres de enfriamiento, intercambiadorescompactos, radiadores y regeneradores.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 194

8.2 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

En la sección 2.6, se ha tratado ya el coeficiente global de transferencia de

calor, al estudiar la transferencia de calor a través de la pared plana, ver figura,y expresada por

Ah

1

Ak

x

Ah

1

TTq

21

B A

+Δ

+

−=

donde T A y TB son las temperaturas del fluido a cada lado de la pared.

h2

h1

T2

T1

T A

Fluido A

Fluido Bq

TB

El coeficiente global de transferencia de calor se define mediante la relación

q = U A ΔTglobal

Desde el punto de vista del diseño del intercambiador de calor, la pared planaresulta de aplicación poco frecuente; un caso más importante para tener encuenta sería el de un intercambiador de calor con dos tubos concéntricos comose muestra en la siguiente figura. En esta aplicación, un fluido circula por elinterior del tubo más pequeño, mientras que el otro fluido circula por el espacioanular que hay entre los dos tubos. Los coeficientes de convección se calculanpor los métodos descritos en los capítulos anteriores, y el coeficiente global detransferencia de calor se obtiene del circuito térmico de la figura como




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 195

ee

ie

ii

B A

Ah

1

kL2

)r /r ln(

Ah

1

TTq

+π

+

−=

donde los subíndices i y e corresponden al interior y al exterior del tubo interiormás pequeño.

El coeficiente global de transferencia de calor puede estar basado tanto en elárea interior del tubo como en la exterior, a discreción del diseñador. Por tanto

ee

iiei

i

i

h

1

A

A

kL2

)r /r ln( A

h

1

1U

+π

+=

e

iee

ii

e

e

h

1

kL2

)r /r ln( A

h

1

A

A

1U

+

π

+

=

La siguiente tabla muestra algunos valores típicos del coeficiente U global paradiferentes combinaciones de fluidos.

Combinación de fluidos U W/m2 oC

Aceite a aceite 170-312

Sustancia orgánica a sustancia orgánica 57-340

Vapor de agua a soluciones acuosas 567-3400

Vapor de agua a aceite combustible pesado 57-170

Vapor de agua a aceite combustible liviano 170-340

Vapor de agua a gases 28-284

Agua a alcohol 284-850

Agua a salmuera 567-1135

Agua a aire comprimido 57-170

Agua a alcohol condensado 255-680

Agua a amoniaco condensado 850-1420

Fluido B

Fluido A

1 2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 196

Agua a freón 12 condensado 454-850

Agua a aceite condensado 227-567

Agua a gasolina 340-510

Agua a aceite lubricante 113-340

Agua a solventes orgánicos 284-850 Agua a agua 850-1700

8.3 TEMPERATURA MEDIA LOGARITMICA

Tomando como referencia el intercambiador de doble tubo, los fluidos puedencircular tanto en paralelo como en contracorriente y los perfiles del temperatura

se muestran en los siguientes diagramas:

T

Tc1

Th1

Th2

Flujo en paralelo

Tc2

1 2

1 2

T

Th1

Tc1 Flujo encontracorriente

Th2

Tc2

En los diagramas anteriores h representa el fluido caliente y c el fluido frío.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 197

La transferencia de calor en este intercambiador de doble tubo puede calcularsea partir de

q = U A ΔTm

donde:U = coeficiente global de transferencia de calor A = superficie de transferencia de calor consistente con la

definición de U

ΔTm = diferencia media de temperaturas apropiada a través delintercambiador de calor

Teniendo en cuenta que la diferencia de temperaturas entre el fluido caliente yel fluido frío varía entre la entrada y la salida del intercambiador es posible

determinar un valor apropiado de ΔTm, el cual se demuestra que es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

−−−=Δ

)TT(

)TT(ln

)TT()TT(T

1c1h

2c2h

1c1h2c2hm

Esta diferencia de temperaturas recibe el nombre de diferencia medialogarítmica de temperaturas (LMTD). Dicho en palabras, es la diferencia detemperaturas en un extremo del intercambiador, menos la diferencia detemperaturas en el otro extremo del intercambiador, dividido entre el logaritmonatural del cociente de estas dos diferencias de temperaturas.

La ecuación anterior puede utilizarse para flujo en contracorriente. Ademáspuede utilizarse en evaporadores y condensadores de un solo paso, donde unode los fluidos permanece a temperatura constante.

Si se emplea un intercambiador de calor distinto al de doble tubo, se utiliza unfactor de corrección (F) que se aplica a la LMTD para un dispositivo de dobletubo en contracorriente con las mismas temperaturas fría y caliente parael fluido. La ecuación de la transferencia de calor adopta la forma:

q = U A F ΔTm

Los valores del factor de corrección F se obtienen de las siguientes cuatrográficas (Gráficas 8-1 a 8-4) para diversos tipos de intercambiadores de calor.Cuando interviene un cambio de fase, como en el caso de la condensación o laebullición (evaporación), el fluido permanece a temperatura constante y las




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 198

relaciones se simplifican. Con esta condición P o R se hacen cero y se obtieneque F=1.0.

Gráfica 8-1 Factor de corrección para un intercambiador de calor de coraza y tubo con 2,4, etc pasosde tubos

Gráfica 8-2 Factor de corrección para un intercambiador de calor con dos pasos de coraza y 4,8,etc, pasos de tubos




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 199

Gráfica 8-3 Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales y ambosfluidos sin mezclar

Gráfica 8-4 Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales con unfluido mezclado y otro sin mezclar.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 200

8.4 METODO DEL NTU-RENDIMIENTO

a aproximación de la LMTD para el análisis de intercambiadores de calor, es

e define el rendimiento del intercambiador de calor como

Transferencia de calor real

⎯⎯⎯⎯

a transferencia de calor real se puede obtener calculando tanto la energía

ara el intercambiador en paralelo se tiene:

q = ch (Th1 – Th2) = cc (Tc2 – Tc1)

ara el intercambiador en contracorriente se tiene:

q = ch (Th1 – Th2) = cc (T – Tc2)

c = C = flujo de capacidad térmica

ara determinar la máxima transferencia de calor posible para el

Lútil cuando las temperaturas de entrada y salida son conocidas o se puedendeterminar con facilidad. En estos casos, la LMTD se calcula fácilmente, y elflujo de calor, el área de la superficie, o el coeficiente global de transferencia decalor pueden determinarse. Cuando hay que evaluar las temperaturas deentrada o de salida de un intercambiador determinado, el análisis supone confrecuencia un procedimiento iterativo, debido a la función logarítmica que

aparece en la LMTD. En estos casos, el análisis se efectúa con mayor facilidadutilizando un método basado en el rendimiento del intercambiador de calordurante la transferencia de una cantidad de calor determinada. El método delrendimiento también ofrece muchas ventajas para el análisis de problemas enlos que hay que comparar varios tipos de intercambiadores de calor, con el finde seleccionar el tipo más adecuado para cubrir un objetivo de transferencia decalor en particular.

S

Rendimiento = ε = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Transferencia de calor máxima posible

Lperdida por el fluido caliente, como la ganada por el fluido frío.

P

οm h

οm c

P

οm h

οm c c1

Se define ahoraο

m Pintercambiador, se admite en primer lugar que este valor máximo se alcanzaríasi uno de los fluidos experimentase una variación de temperatura igual a la




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 201

diferencia máxima de temperaturas que se da en el intercambiador, que es ladiferencia entre las temperaturas de entrada de los fluidos caliente y frío. Elfluido que podría experimentar esta diferencia máxima de temperaturas sería

aquel que tuviese el valor de C mínimo, puesto que el balance de energía exigeque la energía recibida por uno de los fluidos sea igual a la cedida por el otro; sifuese el fluido con mayor C el que alcanzara la máxima diferencia detemperaturas, esto exigiría que el otro fluido experimentase una diferencia detemperaturas mayor que la máxima, y esto es imposible. Así, la transferencia decalor máxima posible se expresa como

qmáx = Cmín (Th entrada – Tc entrada)

i se define ahora el número de unidades de transferencia (NTU) como

NTU = N = U A / Cmín

C = Cmín / Cmáx

e demuestra que para un intercambiador de doble tubo en paralelo

S

s

C1

e1 )C1(N

+−=ε

+−

uando se trata de procesos de ebullición o condensación la temperatura del

or otra parte, en el caso de que ambos fluidos tengan la misma capacidad

Cfluido permanece prácticamente constante, o lo que es lo mismo, el fluido actúa

como si tuviera calor específico infinito. En estos casos Cmín/Cmáx → 0 y todaslas relaciones de rendimiento de intercambiadores de calor tienden a una única

y sencilla ecuación

Ne1 −−=ε

Pcalorífica, es decir C = 1, la ecuación se reduce a

2

e1 N2−−

=ε

La siguiente tabla proporciona las fórmulas de rendimiento para diferentes tiposde intercambiadores y se indican además las gráficas correspondientes.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 204

Gráfica 8-9 Rendimiento de un intercambiador1-2 ( 1 paso de carcasa, 2 pasos de tubos )

Gráfica 8-10 Rendimiento de un intercambiadormultipaso 2-4 en contracorriente

.5 FACTORES DE SUCIEDAD

ras un periodo de funcionamiento, las superficies de transferencia de calor de

tores de suciedad se tienen que obtener experimentalmente, mediante la

8 Tun intercambiador pueden llegar a recubrirse con varios depósitos presentes en

las corrientes, o las superficies pueden corroerse como resultado de lainteracción entre los fluidos y el material empleado en la fabricación delintercambiador de calor. En cualquiera de los casos, esta capa supone unaresistencia adicional al flujo de calor y, por tanto, una disminución en sufuncionamiento. El efecto global se representa generalmente mediante un factorde suciedad, o resistencia de suciedad, Rf , que debe incluirse junto con lasotras resistencias térmicas para obtener el coeficiente global de transferencia decalor.

Los facdeterminación de los valores de U del intercambiador, tanto en condiciones delimpieza Ulimpio = UC o de suciedad Usucio = UD El factor de suciedad se defineentonces como

limpiosuciof

U

1

U

1R −=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 205

En la siguiente tabla se ofrece una lista abreviada de valores recomendados delfactor de suciedad de varios fluidos.

(m C/W)Tipo de fluidoR

f

2 o

Agua de mar, por debajo de 51.7 C 0.00009o

Por encima de 51.7oC 0.002

Agua para caldera tratada, po 0.r encima de 51.7oC 0002

Fuel Oil 0.0009

Aceite de templar 0.0007

Vapores de alcohol 0.00009

Vapor de agua, libre de aceite 0.00009

Líquido refrigerante 0.0002

Aire industrial 0.0004

8.6 CALCULO DEL COEFICIENTE GLOBAL DETRANSFERENCIA DE CALOR EN INTERCAMBIADORES

oeficiente de película por el tubo interior.

2

o interior.

= flujo de masa

:

(Cμ / k)-1/3

Se calcula ahora:

DE DOBLE TUBO

C

Area de flujo = ap = π D /4

D = diámetro interno del tub Velocidad másica = Gp = m/ap m

D Gp

(Re)p = ⎯⎯⎯⎯ μ

μ = viscosidad a la temperatura media

A partir de la gráfica 8-11 se determina

jH = (hi D / k)

(Cμ/k)1/3




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 206

C, μ, k : se determinan a la temperatura media

e despeja h y se corrige para obtener h mediante la fórmula:

h = h (DI/DE)

io = coeficiente de película referido al diámetro exterior.

I = diámetro interno

oeficiente de película para el ánulo.

rea de flujo = a

S i io

io i

h

DDE = diámetro externo.

C

A a = π (D2 - D

2) / 4

2 = diámetro interno del tubo exterior.

1 = diámetro externo del tubo interior.

elocidad másica = Ga = m / aa

= flujo de masa

De Ga

(Re)a = ⎯⎯⎯⎯ μ

μ = viscosidad a la temperatura

e = diámetro equivalente

(D22 - D1

2)

De = ⎯⎯⎯⎯⎯ D

μ = viscosidad a la temperatura

partir 8-12 se calcula jH.

l coeficiente de película para el agua será:

2 1

D D V m

media

D

1

media.

A E




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 207

h = j (k / D ) (Cμ / k)1/3

(μ / μw)0.14

oeficiente global limpio U .

h io . h o

UC = ⎯⎯⎯⎯⎯ h io + h

Coeficiente de diseño U .

UD = ⎯⎯⎯⎯

A . Δt

q = Flujo de calor transferido en el intercambiador.

E = diámetro externo del tubo interno.L = longitud total del intercambiad

eratura.

actor de suciedad (R ) combinado.

UC - UD

Rf = ⎯⎯⎯⎯ UC . U

o H e

C C

o

D

q

A = área total de transferencia de calor.

A = π (DE) L

Dor.

Δt = diferencia media logaritmica de temp F d

D




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 208

Grafico 8-11

CALENTAMIENTO YENFRIAMIENTO

Diagrama para el cálculo de JH por elinterior de tubos ( Tomado del libro deProcesos de transferencia de Calor deD.Q. Kern )

Gráfico 8-12

CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO

Diagrama para el cálculo de JH por el ánulo en intercambiadores dedoble tubo o por la coraza en intercambiadores de tubo y coraza (Tomado del libro de Procesos de transferencia de Calor de D.Q.Kern )




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 209

PROBLEMAS RESUELTOS

8.1 Por una tubería horizontal de acero de 2 pulgadas, con número de listado40 (k = 54 W/m

oC), circula agua caliente a 98

ºC, y la tubería se encuentra

rodeada por aire ambiente a 20ºC. La velocidad del agua es de 25 cm/s.

Calcular el coeficiente global de transferencia de calor, basado en el áreaexterna de la tubería.

Las dimensiones de una tubería de 2 pulgadas de número de listado 40,tomadas de la tabla A-7, son:

DI = 2.067 pulg = 0.0525 mDE = 2.375 pulg = 0.06033 m

El coeficiente de transferencia de calor para el flujo de agua por el interior de latubería se determina a partir de las condiciones de la corriente, habiéndolasevaluado a la temperatura promedio. El coeficiente de transferencia de calor por

convección natural, en el exterior de la tubería, depende de la diferencia detemperaturas entre la superficie y el aire ambiente. Esta diferencia detemperaturas depende del balance de energía global. Primero se evalúa hi y acontinuación se elabora un procedimiento iterativo para determinar he.

Las propiedades del agua a 98ºC son

ρ = 960 kg/m3 ; μ = 2.82 x 10

-4 kg/m.s ; k = 0.68 W/m

oC ; Pr = 1.76


ρ u D (960) (0.25) (0.0525)

Re = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 44680 (a)

μ 2.82 x 10-4

y puesto que el flujo es turbulento, se utiliza la ecuación

Nu = 0.023 Re0.8

Pr 0.4

= (0.023) (44680)0.8

(1.76)0.4

= 151.4

k (151.4) (0.68)

hi = Nu ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1961 W/m2 oC (b)

D 0.0525




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 210

La resistencia térmica del acero, por unidad de longitud de tubería, es

ln (r e/r i) ln (0.06033/0.0525)Ra = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.097 x 10-4

(c)

2πk 2 π 54

De nuevo, la resistencia térmica en el interior, por unidad de longitud, es

1 1 1

Ri = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 3.092 x 10-3

(d)

h

i Ai hi 2π r i (1961) (π) (0,0525)

La resistencia térmica para la superficie exterior es todavía desconocida, perose escribe, por unidad de longitud

1 1

Re = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ (e)

he Ae he 2πr e

La relación simplificada para he para flujo laminar, tomada del capítulo 6, es

41

e4

1

eD

TT32.1

D

T32.1h ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ= ∞ (f)

donde Te es la temperatura desconocida de la superficie exterior de la tubería.La temperatura de la superficie interior de la tubería se designa por Ti y la

temperatura del agua por Tw, así, el balance de energía requiere

e

e

a

ei

i

iw

R

TT

R

TT

R

TT ∞−=

−=

− (g)

La combinación de las ecuaciones (e) y (f) da

45

e4

1ee

e )TT(

D

32.1r 2

R

TT∞

∞ −π=−

(h)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 211

Esta relación se puede introducir en la ecuación (g) para dar lugar a dosecuaciones con las dos incógnitas Ti y Te.

98 - Ti Ti - Te ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.092 x 10

-3 4.097 x 10

-4

41

45

e

4

ei

)06033.0(

)20T()32.1()06033.0()(

10x097.4

TT −π=

−−

Es un sistema no lineal que se puede resolver por iteración, para dar

Te = 97.6ºC Ti = 97.65

oC

Como consecuencia, el coeficiente de transferencia de calor y la resistenciatérmica exteriores son

Cm/W91.7)06033.0(

)206.97()32.1(h

o2

41

41

e =−

=

1

Re = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.667

(0.06033) (7.91) (π)

El cálculo ilustra de una manera clara el hecho de que la convección natural

controla el coeficiente global de transferencia de calor, porque Re es muchomayor que Ri y que Ra. El coeficiente global de transferencia de calor basado enel área exterior, en función de estas resistencias, queda

( )eaiee

RRR A

1U

++=

Introduciendo valores numéricos

1

Ue = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7.87 W/m2 oC

π (0.06033) (3.093 x 10-3

+ 4.097 x 10-4

+ 0.667)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 212

Así, se ve que el coeficiente global de transferencia de calor está controlado,casi por completo, por el valor de he. Se podría esperar este resultadobasándose estrictamente en la experiencia que se tiene sobre la magnitud

relativa de los coeficientes de convección; los valores para convección naturaldel aire son muy bajos comparados con los de convección forzada en líquidos.

8.2 Se calienta un flujo de masa de agua de 68 kg/mi, desde 35ºC hasta 75

ºC,

con un aceite de calor específico igual a 1.9 kJ/kgoC. Los fluidos se utilizan

en un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente, y el aceiteentra al intercambiador a 110

ºC y sale del mismo a 75

ºC. El coeficiente

global de transferencia de calor es 320 W/m2

oC. Calcular el área de

intercambio térmico.

El calor transferido se determina a partir de la energía absorbida por el agua

q = w cw ΔTw = (68) (4180) (75 – 35) = 11.37 MJ/min = 189.5 kWοm

Como todas las temperaturas de los fluidos son conocidas, el LMTD puede

calcularse mediante el esquema correspondiente a un intercambiador encontracorriente

(110 – 75) – (75 – 35)

ΔTm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 37.44oC

ln [(110 - 75) / (75 – 35)]

q = U A ΔTm

1.895 x 105

A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 15.82 m2

(320) (37.44)

8.3 Suponer que para el problema 8.2 se utiliza un intercambiador de tubo ycoraza del tipo 1-2. Calcular el área necesaria para este intercambiador,suponiendo que el coeficiente global de transferencia de calor se mantieneen 320 W/m

2 oC.

Para resolver este problema, de la gráfica 8-1 se determina un factor decorrección que se usará con el LMTD sobre la base de un intercambiador encontracorriente. Los parámetros son

T1 = 35ºC T2 = 75

ºC t1 = 110

ºC t2 = 75

oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 213

t2 – t1 75 – 110

P = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.467T1 – T2 35 – 110

T1 – T2 35 – 75

R = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.143t2 – t1 75 – 110

F = 0.81

q = U A F ΔTm

1.895 x 105

A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 19.53 m2

(320) (0.81) (37.44)

8.4 En un intercambiador de calor de coraza y tubos se calientan 3.783 kg/s deagua, desde 37.78

oC hasta 54.44

ºC. Se utiliza agua como fluido caliente,

con un flujo de masa de 1.892 kg/s, con un paso en la parte de la coraza yentra al intercambiador a 93.33

ºC. El coeficiente global de transferencia de

calor es 1419 W/m2

oC, y la velocidad media del agua en los tubos de

0.366 m/s. El diámetro de los tubos es1.905 cm. Debido a limitaciones deespacio, la longitud del tubo no debe superar los 2.438 m. Calcular elnúmero de pasos en los tubos, el número de tubos por paso, y la longitudde los tubos compatible con esta restricción.

Primero se supone un paso de tubos y se comprueba si satisface lascondiciones del problema. La temperatura de salida del agua caliente se calculaa partir de

q = cccΔTc = hchΔTh

οm

οm

(3.783) (4180) (54.44 – 37.38)

ΔTh = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 33.31o

C(1.892) (4180)

de modo queTh, salida = 93.33 – 33.31 = 60

oC





⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 214

q = (3.783) (4182) (54.44 – 37.78) = 263.6 kW

Para un intercambiador en contracorriente, teniendo la temperatura requerida

(93.33 - 54.44) – (60 – 37.78)

LMTD = ΔTm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 29.78oC

ln [(93.33 – 54.44) / (60- 37.78)

q = U A ΔTm

2.636 x 105

A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.238 m2

(1419) (29.78)

Utilizando la velocidad media del agua en los tubos y flujo de masa, se calculael área total de la corriente con

u Amc ρ=

3.783 A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.01034 m2

(1000) (0.366)

Esta área es el producto del número de tubos por el área de cada tubo

π D2

0.01034 = n ⎯⎯⎯

4

(0.01034) (4)

n = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 36.3

π (0.01905)2

es decir, n = 36 tubos. El área de la superficie de cada tubo, por metro delongitud es

πD = π (0.01905) = 0.0598 m

2

/m nπdL = 6.238

La longitud será6.238

L = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.898 m(36) (0.0598)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 216

De la gráfica 8-4, t1 y t2 representarán el fluido sin mezclar (el aceite), y T1 y T2 representarán el fluido mezclado (el vapor de agua), de modo que

T1 = 130 T2 110 t1 = 15 t2 = 85

130 – 110 85 – 15

R = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.286 P = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.60985 – 15 130 – 15

F = 0.97

q 193000

A = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 10.82 m2

UFΔTm (275) (0.97) (66.9)

8.6 Investigar el comportamiento del intercambiador de calor del problemaanterior, si el flujo de masa de aceite se reduce a la mitad mientras que eldel vapor de agua se mantiene igual. Suponer que U mantiene el valor de275 W/m

2 oC.

El flujo de masa de aceite es

q = accacΔTac οm

οm ac = 193 / [(1.9) (85 – 15)] = 1.45 kg/s

El nuevo flujo de masa será la mitad de este valor, es decir, 0.725 kg/s. Sesupone que las temperaturas de entrada siguen siendo las mismas, 130ºC parael vapor de agua y 15

ºC para el aceite. La nueva relación para la transferencia

de calor es

q = accac (Ts, ac – 15) = vcv (130 – Ts, v) (a)οm

οm

pero las temperaturas Ts, ac y Ts, v son desconocidas. Además, ΔTm es

desconocida sin estas temperaturas, como lo son los valores de R y P en lagráfica 8-4. Esto significa que hay que emplear un método iterativo pararesolver en las temperaturas de salida, utilizando la ecuación (a) y

q = U A F ΔTm




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 217

El procedimiento general consiste en ir suponiendo valores de las temperaturasde salida, hasta que los calores q de (a) y (b) coincidan entre sí.

El objetivo de este ejemplo es demostrar que, cuando no se conocen lastemperaturas de entrada y salida, o no se pueden calcular fácilmente, senecesita un procedimiento iterativo. No es necesario insistir en esta iteración,porque se puede evitar utilizando la técnica del método NTU-Rendimiento.

8.7 Resolver el problema anterior empleando el método NTU-Rendimiento.

Para el vapor de agua

Cv = (5.2) (1.86) = 9.67 kW/oC

Para el aceite

Ca = (0.725) (1.9) = 1.38 kW/oC

de modo que es el aceite el flujo de capacidad térmica mínima.

C = Cmín/Cmáx = 1.38/9.67 = 0.143

NTU = UA/Cmín = (275) (10.82)/1380 = 2.156

Se utilizará la tabla de fórmulas y como Cmín (aceite) es la corriente sin mezclarse aplica la fórmula

( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−−=ε Nexp1

C1exp1C

831.0)e1()143.0(exp1)143.0/1( 156.2 =−−−=ε −

Si se utiliza la gráfica 8-7, se tendría que haber evaluado

C = Cmezclado/Csin mezclar = 7.01 y se habría obtenido también ε ≈ 0.8.

Ahora utilizando el rendimiento se puede determinar la diferencia detemperaturas del fluido con flujo de capacidad térmica mínima (aceite)

ΔTa = ε (ΔTmáx) = (0.831) (130 – 15) = 95.5oC




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 218

q = acaΔTa = (1.38) (95.5) = 132 kWοm

y se encuentra que una reducción de un 50% en el flujo de masa de aceiteorigina una reducción del calor transferido de sólo un 32%.

8.8 El intercambiador de calor del problema 8-2 se emplea para calentar agua.Utilizando las mismas temperaturas de entrada de los fluidos, calcular latemperatura de salida del agua cuando sólo se calientan 40 kg/mi de agua,pero se emplea la misma cantidad de aceite. Calcular también el calor totaltransferido con estas nuevas condiciones.

El flujo de masa de aceite se calcula a partir del balance de energía delproblema original

οm hchΔTh = c

οm ccΔTc

(68) (4180) (75 – 35)οm = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 170.97 kg/mi

(1900) (110 – 75)

Se calculan ahora los flujos de capacidades térmicas con las nuevascondiciones

Ch = (170.97/60) (1900) = 5414 W/oC

Cc = (40/60) (4180) = 2787 W/oC

de modo que el agua (fluido frío) es el fluido con la capacidad térmica mínima

Cmín/Cmáx = (2787/5414) = 0.515

UA (320) (15.82)

NTUmáx = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.816Cmin 2787

donde el área de 15.82 m2 se toma del problema 8-2. A partir de la gráfica 8-6 o

de la tabla, el rendimiento es

ε = 0.744




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 220


q = c

οm ccΔTc = (2.872) (1006) (29.44 – 15.55) = 40.13 kW

Por el enunciado del problema no se sabe si el fluido con flujo de capacidadtérmica mínima es el aire o el agua. Si es el aire el fluido con flujo de capacidadtérmica mínima, se puede calcular de manera inmediata el NTU y utilizar lagráfica 8-9 para determinar el flujo de masa de agua, y por tanto, la temperaturade salida del agua. Si es el agua el fluido de flujo de capacidad térmica mínima,hay que emplear un método de ensayo y error con la gráfica 8-8 o con la tabla.Se supone que el aire es el fluido de flujo de capacidad térmica mínima ydespués se comprueba esta hipótesis.

Cc = (2.872) (1006) = 2889 W/oC

UA (227) (9.29)

NTUmáx = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.73Cmín 2889

y el rendimiento basado en el aire

ΔTaire 29.44 – 15.55

ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.208

ΔTmáx 82.22 – 15.55

En la gráfica 8-8, resulta imposible hacer corresponder estas cantidades con lascurvas. Esto exige que sea el fluido caliente el de flujo de capacidad térmicamínima. Hay que ir suponiendo, por tanto, valores para el flujo de masa de agua

hasta conseguir encajar el funcionamiento, según viene dado por la gráfica 8-2.

Primero se ve que Cmáx = 2889 W/oC

NTUmáx = UA/Cmín

ΔTh ΔTh

ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (a)ΔTmáx 82.33 – 15.55

4.034 x 104 4.034 x 10

4

ΔTh = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Cmín Ch




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 221

La iteraciones son:

C Cmín NTUmáx ΔTh Gráfica 8-8 Ecuación (a)0.5 1452 1452 27.78 0.65 0.417

0.25 726 2.905 55.56 0.89 0.833

0.22 639 3.301 63.13 0.92 0.947

Se estima así que el flujo de masa de agua es aproximadamente

Ch = 645 W/oC

οm h = (645/4180) = 0.154 kg/s

La temperatura de salida del agua es

Tw, salida = 82.22 – (4.034 x 104 / 645) = 19.68

oC

8.10 Se emplea aceite caliente a 100º

C para calentar aire en un intercambiadorde calor de coraza y tubos. El aceite recorre seis pasos en los tubos y elaire recorre un paso en la coraza; se tienen que calentar 2.0 kg/s de aire,desde 20

ºC hasta 80

ºC. El calor específico del aceite es 2100 J/kg

oC, y

su flujo de masa es 3.0 kg/s. Calcular el área del intercambiador para U =200 W/m

2 oC.

El balance de energía básico es

οm accacΔTac = acaΔTa

οm

(3.0) (2100) (100 – Tac) = (2.0) (1009) (80 – 20)

Tac = 80.78

Ch = (3.0) (2100) = 6300 W/oC

Cc = (2.0) (1009) = 2018 W/oC

el aire es el fluido de flujo de capacidad mínima.

C = Cmín/Cmáx = (2018/6300) = 0.3203




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 222

El rendimiento es

ΔTc 80 – 20ε = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.75

ΔTmáx 100 – 20

Se puede ahora utilizar la gráfica 8-9.

NTU = 1.99

A = NTU (Cmín/U) = (1.99) (2018) / (200) = 20.09 m

2

8.11 Un intercambiador de coraza y tubos se utiliza como condensador deamoniaco. El vapor de amoniaco entra en la coraza como vapor saturadoa 50

ºC. El agua entra a un solo paso de tubos a 20

ºC, y el calor

transferido es 200 kW. El coeficiente global de transferencia de calor es1000 W/m

2

oC. Determinar el área necesaria para conseguir un

rendimiento del intercambiador de 60%, con una temperatura de salida

del agua de 40ºC. ¿Qué porcentaje de reducción en la transferencia decalor se obtendría si el flujo de masa de agua se reduce a la mitad,manteniendo iguales el área del intercambiador y el valor de U?

El flujo de masa de agua será

οm w = (200) /[(4.18) (40 – 20)] = 22.39 kg/s

Debido a que es un condensador, el agua es el fluido de flujo de capacidadtérmica mínima, y

Cmín = (2.39) (4.18) = 10 kW/oC

NTU = -ln(1-ε) = -ln(1-0.6) = 0.916

Cmín N (10000) (0.916)

A = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 9.16 m2

U 1000

Cuando se reduce a la mitad el flujo de masa, el nuevo valor de N es




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 223

UA (1000) (9.16)

N = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.832Cmín (10000/2)

Y el rendimiento se calcula como

ε = 1 – e-N

= 0.84

La nueva diferencia de temperaturas del agua es

ΔTw = ε (ΔTmáx) = (0.84) (50 – 20) = 25,2oC

q = Cmín ΔTw = (10000/2) (25.2) = 126 kW

Reduciendo el flujo de masa a la mitad, se disminuye la transferencia de caloren un 37%.

8.12 Un intercambiador de calor transfiere 10% más de calor cuando estánuevo que después de haber sido utilizado durante seis meses.Suponiendo que opera entre las mismas diferencias de temperatura y quela incrustación producida no es suficiente para cambiar el área superficialefectiva, determinar el factor de suciedad efectivo en función delcoeficiente global limpio (nuevo) de transferencia de calor.

qlimpio = Ulimpio A ΔTm

qsucio = Usucio A ΔTm

(qlimpio/qsucio) = (Ulimpio/Usucio) = 1.10


8.13 En un intercambiador de calor de doble tubo un fluido entra a 49ºC y sale

a 260ºC. El otro fluido entra a 482

ºC y sale a 315

ºC. ¿Cuál es la diferencia

media logarítmica de temperaturas (LMTD) para (a) flujo paralelo y (b)flujo en contracorriente?

8.14 A un intercambiador de calor de flujo paralelo entran gases a 426ºC y

salen a 260ºC, calentando 90800 kg/h de agua desde 32

ºC hasta 82

ºC.

Para un área superficial de 371 m2, ¿cuál es el coeficiente global de

transferencia de calor?




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 224

8.15 En una planta procesadora de alimentos se calienta salmuera desde una

temperatura de –12ºC hasta – 6.

ºC en un intercambiador de calor de

doble tubo con agua que entra a 32

º

C y sale a 21

º

C, a razón de 9 kg/mi.Si el coeficiente global de transferencia de calor es 850 W/m2

oC, ¿qué

área de intercambio de calor se necesita (a) en flujo paralelo (b) encontracorriente.

8.16 Se utiliza aceite caliente para calentar una corriente de agua que tiene unflujo de masa de 0.1 kg/s, desde 40

ºC hasta 80

ºC, en un intercambiador

de calor de doble tubo en contracorriente. Encontrar el área detransferencia de calor si el coeficiente global de transferencia de calor es300 W/m2 oC y el aceite entra a 105ºC y sale a 70ºC.

8.17 En un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente se calientaagua a razón de 28 kg/mi desde 18

ºC hasta 35

ºC con un aceite que tiene

un calor específico de 1.5 kJ/kgoC. El aceite entra al intercambiador a

93ºC y sale a 60

ºC. Determinar el área de intercambio de calor para un

coeficiente global de transferencia de 284 W/m2 oC.

8.18 Aceite caliente ( c = 2.09 kJ/kg oC ) que fluye a través de unintercambiador de calor en contracorriente a razón de 0.63 kg/s, entra a193

ºC y sale a 65

ºC. Aceite frío ( c = 1.67 kJ/kg

oC ) abandona el

intercambiador a 149ºC a razón de 1.0 kg/s. ¿Qué área de transferencia

de calor se necesita si el coeficiente global de transferencia de calorbasado en el área interior es 0.7 kW/m

2 oC?

8.19 Para los mismos parámetros del problema 8-16, ¿qué área se requiere

cuando se utiliza un intercambiador de calor de coraza y tubos con elagua haciendo un paso por la coraza y el aceite dos pasos por los tubos?

8.20 Repetir el problema anterior para dos pasos por la coraza y cuatro pasospor los tubos.

8.21 ¿Qué área sería necesaria para las condiciones del problema 8-16 si sesustituyera el intercambiador de calor de doble tubo por unintercambiador de coraza y tubos? El agua hace un paso por la coraza yel aceite hace dos pasos por los tubos.

8.22 Un intercambiador de calor de flujo cruzado con ambos fluidos nomezclados se utiliza para calentar agua (c = 4.181 kJ/kg

oC) desde 4

ºC

hasta 27ºC, la cual fluye a razón de 1.0 kg/s. ¿Cuál es el coeficiente

global de transferencia de calor, si un flujo de aceite caliente (c = 1.9




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 225

kJ/kgoC), que fluye a razón de 2.6 kg/s, entra al intercambiador a 100

ºC?

El área de transferencia de calor es 20 m2.

8.23 Calcular el área superficial necesaria en un intercambiador de calor deflujo cruzado que opera con ambos fluidos no mezclados, para enfriar22700 kg/h de aire desde 49

ºC hasta 38

ºC con agua a 15

ºC, que fluye a

razón de 52210 kg/h. Suponer que el valor promedio del coeficienteglobal de transferencia de calor es 170 W/m

2 oC.

8.24 Un intercambiador de calor de doble tubo y flujo paralelo utiliza aceite(c=1.88 kJ/kg

oC) a una temperatura inicial de 204

ºC para calentar agua,

la cual fluye a razón de 227 kg/h, desde 15ºC hasta 43

ºC. El flujo de masa

de aceite es 272 kg/h. (a) ¿Qué área de intercambio de calor se requieresi el coeficiente global de transferencia de calor es 340 W/m

2

oC? (b)

Determinar el número de unidades de transferencia NTU. (c) Calcular elrendimiento del intercambiador.

8.25 A un intercambiador de calor de doble tubo, en contracorriente, entra aguaa 38

ºC y 45.4 kg/min, para ser calentada con aceite (c=1.88 kJ/kg

oC) que

fluye a razón de 91 kg/min y entra al intercambiador a una temperatura de

115ºC. Si el área es 13 m2 y el coeficiente global de transferencia de calores 340 W/m

2oC, determinar el calor total transferido.

8.26 A un intercambiador de calor de flujo cruzado (con los dos fluidos nomezclados) entra agua a 15

ºC a razón de 27240 kg/h, para enfriar 36320

kg/h de aire desde una temperatura de 121ºC. Para un coeficiente global

de transferencia de calor de 227 W/m2

oC y un área superficial del

intercambiador de 241 m2, ¿cuál es la temperatura de salida del aire?

8.27 Resolver el problema anterior para un intercambiador de coraza y tuboscon un paso por la coraza y 10 pasos por los tubos.

8.28 Agua a 82ºC entra a los tubos de un intercambiador de calor de coraza y

tubos (con dos pasos por la coraza y 8 pasos por los tubos), a razón de36 kg/min, para calentar una corriente de helio desde – 7

ºC. El coeficiente

global de transferencia de calor es 113.4 W/m2

oC, y el área del

intercambiador de calor es 10.2 m2. Si el agua sale a 49

ºC, determinar la

temperatura de salida del helio y su flujo de masa.

8.29 Un intercambiador de calor en contracorriente tiene un coeficiente globalde transferencia de calor de 227 W/m

2 oC y un área superficial de 84 m

2.

El fluido caliente (c=3.55 kJ/kgoC) entra a 93

ºC y fluye a razón de 9080

kg/h. El fluido frío (c=11.674 kJ/kgoC) entra a 15

ºC y fluye a razón de

8172 kg/h. ¿Cuál es el calor transferido?




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 226

8.30 Agua a razón de 15000 kg/h se calienta desde 38

ºC hasta 55

ºC en un

intercambiador de calor de coraza y tubos. El fluido caliente que circula

por la coraza es agua, la cual entra al intercambiador de calor a unatemperatura de 94ºC y a razón de 7500 kg/h. El coeficiente global de

transferencia de calor basado en el diámetro interior de los tubos es 1400W/m

2 oC, y la velocidad promedio del agua por el interior de los tubos es

0.37 m/s. El diámetro de los tubos es 1.91 cm. Debido a limitaciones deespacio el intercambiador de calor no debe tener una longitud mayor de2.5 m. Calcular el número de pasos de tubos, el número de tubos porpaso y la longitud de los tubos.

8.31 En un intercambiador de calor en contracorriente entra agua a 75ºC y salea 30

ºC. El agua se utiliza para calentar aceite desde 25

ºC hasta 48

ºC.

¿Cuál es el rendimiento del intercambiador de calor?

8.32 Por el interior de una tubería de acero de 1 pulg, de número de listado 80,circula aire a 2 atm y 200

ºC siendo h= 65 W/m

2

oC. Un gas caliente a

400ºC con h=180 W/m

2

oC, circula transversalmente a la tubería por el

exterior. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor.

8.33 En un intercambiador de tubo con aletas de flujo cruzado, se empleangases calientes de escape para calentar 2.5 kg/s de agua desde 35

ºC

hasta 85ºC. Los gases (c=1.09 kJ/kg

oC) entran a 200

ºC y salen a 93

ºC. El

coeficiente global de transferencia de calor es 180 W/m2

oC. Calcular el

área del intercambiador de calor utilizando (a) el LMTD (b) el métodoNTU-Rendimiento.

8.34 Un intercambiador pequeño de coraza y tubos con un paso en los tubos (A= 4.64 m

2 y U = 280 W/m

2 oC), se va a utilizar para calentar agua a alta

presión, inicialmente a 20ºC, con aire caliente a 260

ºC. Si la temperatura

de salida del agua no va a superar los 93ºC y el flujo de masa de aire es

0.45 kg/s, calcular el flujo de masa de agua.

8.35 Se va a utilizar un intercambiador de calor de doble tubo encontracorriente, para calentar 0.6 kg/s de agua desde 35

ºC hasta 90

ºC

con una corriente de aceite de 0.9 kg/s. El aceite tiene un calor específicode 2.1 kJ/kgoC y entra al intercambiador de calor a una temperatura de175

ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 425 W/m

2

oC.

Calcular el área del intercambiador de calor y el rendimiento.

8.36 Se diseña un pequeño condensador de vapor para condensar 0.76 kg/mide vapor a 83 kPa, con agua de refrigeración a 10

ºC. La temperatura de

salida del agua no debe pasar de 57ºC. El coeficiente global de




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 227

transferencia de calor es 3400 W/m2 oC. Calcular el área necesaria para

un intercambiador de calor de doble tubo.

8.37 Se va a utilizar un intercambiador de calor de doble tubo encontracorriente para calentar agua desde 20ºC hasta 40

ºC, enfriando un

aceite desde 90ºC hasta 55

ºC. Se diseña el intercambiador para una

transferencia de calor total de 29 kW, con un coeficiente global detransferencia de calor de 340 W/m

2

oC. Calcular el área superficial del

intercambiador.

8.38 Un calentador de agua de alimentación utiliza un intercambiador de corazay tubos con vapor de agua que condensa a 120

ºC en un paso de coraza.

El agua entra en los tubos a 30ºC y recorre cuatro pasos, de modo que elvalor de U global es 2000 W/m

2

oC. Calcular el área del intercambiador

para un flujo de masa de agua de 2.5 kg/s, con una temperatura de salidadel agua de 100

ºC.

8.39 En una instalación grande de acondicionamiento de aire, hay que calentar1500 m

3/mi de aire a 1 atm. y 10

ºC en un intercambiador de calor de tubo

con aletas, por medio de agua caliente que entra al intercambiador a

80ºC. El coeficiente global de transferencia de calor es 50 W/m2 oC.calcular el área del intercambiador de calor necesaria para unatemperatura de salida del aire de 35

ºC y una temperatura de salida del

agua de 50ºC.

8.40 En un intercambiador de calor de coraza y tubos que tiene un paso en lacoraza y dos pasos en los tubos, se utiliza un flujo de masa de 95 kg/minde aceite caliente a 120

ºC, para calentar 55 kg/min de agua que entra a

30º

C. El área del intercambiador es 14m2

. Calcular el calor transferido y latemperatura de salida de ambos fluidos, si el coeficiente global detransferencia de calor es 250 W/m

2 oC.

8.41 Un intercambiador de calor de coraza y tubos funciona con dos pasos decoraza y cuatro pasos de tubos. El fluido de la coraza es etilenglicol, queentra a 140

ºC y sale a 80

ºC, con un flujo de masa de 4500 kg/h. Por los

tubos circula agua, que entra a 35ºC y sale a 85

ºC. El coeficiente global

de transferencia de calor para este dispositivo es 850 W/m2 oC. Calcular

el flujo de masa de agua necesario y el área del intercambiador de calor.

8.42 Una unidad de recuperación de calor aire-aire utiliza un intercambiador decalor de flujo cruzado con ambos fluidos sin mezclar y un flujo de masade aire de 0.5 kg/s por ambos lados. El aire caliente entra a 400

ºC,

mientras el aire frío entra a 20ºC. Calcular las temperaturas de salida para

U = 40 W/m2 oC y un área total del intercambiador de 20 m

2.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 228

8.43 Un intercambiador de calor de tubo con aletas, de flujo cruzado, emplea

agua caliente para calentar aire desde 20ºC hasta 45

ºC. La temperatura

de entrada del agua es 75

º

C y su temperatura de salida es 45

º

C. El flujode calor total que se transfiere es 29307 W. Si el coeficiente global detransferencia de calor es 50 W/m

2 oC, calcular el área del intercambiador

de calor.

8.44 Un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente se empleapara calentar amoniaco líquido desde 10

ºC hasta 30

ºC, con agua caliente

que entra al intercambiador a 60ºC. El flujo de masa de agua es 5 kg/s y

el coeficiente global de transferencia de calor es 800 W/m2 oC. El área del

intercambiador es 30 m2. Calcular el flujo de masa de amoniaco.

8.45 Un intercambiador de calor de coraza y tubos, con un paso de coraza,tiene vapor de agua que condensa a 100

ºC, en el lado de la coraza. Se

utilizan dos pasos en los tubos a los que entra aire a 10ºC. El área total

de la superficie del intercambiador es 30 m2 y puede tomarse el

coeficiente global de transferencia de calor igual a 150 W/m2

oC. Si el

rendimiento del intercambiador es del 85%, ¿cuál es el flujo de calor

transferido?

8.46 Un intercambiador de coraza y tubos del tipo 1-2, se utiliza como sistemade transferencia de calor agua-agua, estando el fluido caliente en la partede la coraza. El agua caliente se enfría desde 80

ºC hasta 60

ºC, y el fluido

frío se calienta desde 5oC hasta 60

ºC. Calcular el área superficial

necesaria para una transferencia de calor de 60 kW y un coeficiente detransferencia de calor 1100 W/m

2 oC.

8.47 Se ha diseñado un intercambiador de calor de coraza y tubos del tipo 1-4,para calentar 4000 kg/h de aceite motor desde 40

ºC hasta 80

ºC, con el

aceite por los tubos. En la coraza se tiene vapor de agua que condensa a1 atm de presión y el corficiente global de transferencia de calor es 1200W/m

2

oC. Calcular de masa de vapor de agua condensado si el flujo de

masa de aceite se reduce a la mitad, mientras que se mantienen losmismos valores de la temperatura de entrada y de U.

8.48 Se desea calentar 4.500 kg/h de etilenglicol desde 25ºC hasta 50ºCutilizando agua caliente que entra a 75

ºC y sale a 35

ºC. Se utiliza para

ello un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente. Puedeasignarse un factor de suciedad para el intercambiador de 0.002. Sedeben utilizar pinzas de 6 metros de longitud, en tubería de acero,número de cédula 40 con diámetros nominales de 2 y 1 pulgada.¿Cuántas pinzas se requieren?



CAPITULO 9

RADIACION

A diferencia con los mecanismos de transferencia de calor por conducción yconvección en donde el transporte de energía requiere de un medio para

llevarse a cabo, el calor puede propagarse por radiación aún en el vacío. Laradiación térmica es la radiación electromagnética emitida por un cuerpo comoresultado de su temperatura.

En la figura se ilustra la mayor parte del espectro electromagnético. La radiacióntérmica está comprendida entre longitudes de onda de 1 x 10

-7 m y 1 x 10

-4 m.

También es de interés el estrecho espectro visible, el cual abarca desde 3.9 x10

-7 m y 7.8 x 10

-7 m.

Una unidad conveniente para expresar las longitudes de onda es el micrómetro:

1 μm = 10-6

m. En estas unidades, la radiación térmica cubre el intervalo de 0.1

a 100 μm y la porción visible del espectro va desde 0.39 hasta 0.78 μm. Otraunidad de longitud de onda utilizada comúnmente es el angstrom: 1 A =10

-10 m.

La velocidad de propagación en el vacío para todos los tipos de radiaciónelectromagnética es

c = λ ν = 3 x 108 m/s




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 230

donde λ es la longitud de onda, ν es la frecuencia de la radiación y c es lavelocidad de la luz.

9.1 PROPIEDADES Y DEFINICIONES

La palabra espectral se utiliza para designar la dependencia de la longitud deonda de una cantidad de radiación. El valor de la cantidad a una longitud deonda determinada se llama valor monocromático.

9.1.1 Absort ividad, reflectividad y transmisividad.

Cuando la energía radiante incide sobre una superficie, se puede absorber unaparte, reflejar una parte y transmitir otra parte a través del cuerpo receptor. Sidefinimos

α = fracción absorbida de la radiación incidente = absortividad

ρ = fracción reflejada de la radiación incidente = reflectividad

τ = fracción transmitida de la radiación incidente = transmisividad

α + ρ + τ = 1

Para la mayoría de los sólidos, con excepción de aquellos que son visiblementetransparentes o translúcidos, no transmiten radiación y por lo tanto

α + ρ = 1

La ecuación anterior se aplica con frecuencia a los líquidos, aunque latransmisividad de los líquidos depende en gran parte de su espesor.



CAPITULO 9 : RADIACION

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 231

Los gases reflejan generalmente muy poca energía radiante y la ecuación sesimplifica para dar

α + τ = 1

9.1.2 Potencia emisiva y radiosidad.

La potencia emisiva total, designada por E, es la energía térmica radiante total

(en todas las longitudes de onda y en todas las direcciones) emitida por unasuperficie, por unidad de tiempo y por unidad de área de la superficie emisora.La potencia emisiva total de una superficie depende del material o sustancia, delas condiciones superficiales y de la temperatura.

La radiosidad, J, designa la energía térmica radiante que abandona unasuperficie por unidad de tiempo y por unidad de área de la superficie. Así, laradiosidad es la suma de los flujos de energía radiante, emitida y reflejada, queparten de una superficie. Como en el caso de la potencia emisiva total, la

radiosidad total representa una integración sobre la distribución espectral ydireccional.

9.1.3 Superficies especulares y difusas.

La reflexión de energía térmica radiante en una superficie se puede describircon la ayuda de dos modelos ideales. El reflector especular perfecto se muestra

en la figura (a); en este caso el ángulo de incidencia, φi, es igual al ánguloformado por el rayo reflejado, φr . En la figura (b) se muestra un reflector difuso;

en este caso la magnitud de la energía reflejada en una dirección específica φr

es proporcional al coseno de φr , y φr se mide a partir de la normal N.

Si la dimensión (altura) de la rugosidad de una superficie real esconsiderablemente menor que la longitud de onda de la irradiación incidente, lasuperficie se comporta en forma especular, si la dimensión de la rugosidad es

grande respecto a la longitud de onda, la superficie refleja difusamente.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 232

Fuente Fuente

Superficiedifusa o rugosa

Superficieespecular

(a) (b)

9.1.4 Intensidad de la radiación.

Definimos la intensidad de la radiación, I, como la energía radiante por unidadde tiempo, por unidad de ángulo sólido y por unidad de área del emisor,proyectada normalmente a la línea de visión desde el elemento radiante hastael receptor. Para la geometría representada en la figura, la energía radiadadesde el elemento dA1 que es interceptada por el elemento dA2 es

dq1→2 = I (cosφ dA1)dω

dω = (dA2/r 2) = senφ dθ dφ

es el ángulo sólido subtendido por dA2, y cosφ dA1 es el área de la superficieemisora proyectada normalmente a la línea de visión dirigida a la superficiereceptora. Por sustitución de la ecuaciones anteriores

∫∫ ππ

→ θφφ= 2

0

2

0

1

21 dsencosIdA

qdφ

la cual es la relación general entre la potencia emisiva total de un cuerpo (eneste caso el elemento dA1) y la intensidad de radiación.

Si la superficie emisora es difusa, I = constante se integra para dar




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 233

IEdA

q

1

21 π==→

9.2 RADIACION DEL CUERPO NEGRO

En el estudio de transferencia de calor por radiación, la superficie ideal es el

cuerpo negro, el cual se define como aquel que cumple la condición αb = 1. Deeste modo, el cuerpo negro absorbe toda la radiación térmica incidente, sinimportar sus características espectrales o direccionales. Ver figura

Radiación incidente




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 234

9.2.1 Potencia emisiva del cuerpo negro.

La potencia emisiva total (hemisférica) de un cuerpo negro se expresa mediante

la ecuación de Stefan-Boltzmann:

Eb = σ T4

donde σ, es la constante de Stefan-Boltzmann, igual a 5.6697 x 10-8

W/m2 K

4.

9.2.2 Distribución espectral del cuerpo negro.

En general, una superficie emite diferentes cantidades de energía a diferenteslongitudes de onda. La potencia emisiva total se puede expresar en la forma

∫∞

λ λ=0

dEE

donde Eλ es el poder emisivo monocromático a la longitud de onda λ. Para un

cuerpo negro,

∫∞

λ σ=λ=0

4b TdEE

La primera expresión exacta para Ebλ fué determinada por Max Planck; estaexpresión es

1)T/C(exp

CE

2

51

b −λ

λ=

−

λ

C1 = 3.742 x 108 W-μm

4/m

2

C2 = 1.4387 x 104 μm-K

En la siguiente figura se muestra la gráfica de Ebλ contra λ para variastemperaturas diferentes. El desplazamiento del valor máximo del poder emisivomonocromático hacia longitudes de onda más cortas cuando aumenta latemperatura es evidente. Este desplazamiento de las longitudes de onda sedescribe mediante la ley del desplazamiento de Wiem,

λmáx T = 2897.6 μm-K




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 235

la cual se traza como una curva punteada que pasa por los valores pico de lapotencia emisiva.

Con frecuencia es necesario determinar la cantidad de energía radiada por uncuerpo negro dentro y una porción específica de la banda de ondas de

radiación térmica. La energía emitida en el intervalo entre 0 y λ a una

temperatura específica T se puede expresar en la siguiente forma,

∫λ

λλ− λ=T

0b)T0(b )T(dE

T

1E

La fracción de energía total que está dentro de este intervalo es

∫λ

λλ−λ−

λσ=σ=T

0 5b

4

)T0(b

b

)T0(b

)T(dT

E

T

E

E

E

En la tabla 9-1 se presentan los valores del integrando y de la integral de laecuación anterior.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 236

Tabla 9-1 Funciones de Radiación para un cuerpo negro

λT

μm.oR

5

5b

T

10xE

σ

λ

(μm.oR)

-1

4

)T0(b

T

E

σ

λ−

λT

μm.oR 5

5b

T

10xE

σ

λ

(μm.oR)

-1

4

)T0(b

T

E

σ

λ−

1 000 0.000039 0.0000 10 400 5.142725 0.7183

1 200 0.001191 0.0000 10 600 4.921745 0.7284

1 400 0.012008 0.0000 10 800 4.710716 0.7380

1 600 0.062118 0.0000 11 000 4.509291 0.7472

1 800 0.208018 0.0003 11 200 4..317109 0.7561

2 000 0.517405 0.0010 11 400 4.133804 0.7645

2 200 1.041926 0.0025 11 600 3.959010 0.7726

2 400 1.797651 0.0053 11 800 3.792363 0.78032 600 2.761875 0.0098 12 000 3.633505 0.7878

2 800 3.882650 0.0164 12 200 3.482084 0.7949

3 000 5.093279 0.0254 12 400 3.337758 0.8017

3 200 6.325614 0.0368 12 600 3.200195 0.8082

3 400 7.519353 0.0507 12 800 3.069073 0.8145

3 600 8.626936 0.0668 13 000 2.944084 0.8205

3 800 9.614973 0.0851 13 200 2.824930 0.8263

4 000 10.463377 0.1052 13 400 2.711325 0.8318

4 200 11.163315 0.1269 13 600 2.602997 0.8371

4 400 11.714711 0.1498 13 800 2.499685 0.84224 600 12.123821 0.1736 14 000 2.401139 0.8471

4 800 12.401105 0.1982 14 200 2.307123 0.8518

5 000 12.559492 0.2332 14 400 2.217411 0.8564

5 200 12.613057 0.2483 14 600 2.131788 0.8607

5 400 12.576066 0.2735 14 800 2.050049 0.8649

5 600 12.462308 0.2986 15 000 1.972000 0.8689

5 800 12.284687 0.3234 16 000 1.630989 0.8869

6 000 12.054971 0.3477 17 000 1.358304 0.9018

6 200 11.783688 0.3715 18 000 1.138794 0.9142

6 400 11.480102 0.3948 19 000 0.960883 0.92476 600 11.152254 0.4174 20 000 0.815714 0.9335

6 800 10.807041 0.4394 21 000 0.696480 0.9411

7 000 10.450309 0.4607 22 000 0.597925 0.9475

7 200 10.086964 0.4812 23 000 0.515964 0.9531

7 400 9.721078 0.5010 24 000 0.447405 0.9579

7 600 9.355994 0.5201 25 000 0.389739 0.9621

7 800 8.994419 0.5384 26 000 0.340978 0.9657

8 000 8.638524 0.5561 27 000 0.299540 0.9689

8 200 8.290014 0.5730 28 000 0.264157 0.9717

8 400 7.950202 0.5892 29 000 0.233807 0.97428 600 7.620072 0.6048 30 000 0.207663 0.9764

8 800 7.300336 0.6197 40 000 0.074178 0.9891

9 000 6.991475 0.6340 50 000 0.032617 0.9941

9 200 6.693786 0.6477 60 000 0.016479 0.9965

9 400 6.407408 0.6608 70 000 0.009192 0.9977

9 600 6.132361 0.6733 80 000 0.005521 0.9984

9 800 5.868560 0.6853 90 000 0.003512 0.9989




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 237

9.3 SUPERFICIES REALES Y CUERPO GRIS

Una superficie real tiene una potencia emisiva total E, menor que la de un

cuerpo negro. La relación entre la potencia emisiva total de un cuerpo y lapotencia emisiva total de un cuerpo negro a la misma temperatura, se denomina

la emisividad total (emisividad hemisférica total), y se representa por ε.

ε = E/Eb

En la tabla A-8 del Apéndice, se presentan algunos valores numéricos deemisividades totales.

La emisividad monocromática (hemisférica), ελ, es útil en el tratamiento desuperficies reales que presentan valores de emitancia espectralmente selectiva.Se expresa en la siguiente forma

ελ = Eλ / Ebλ

donde Eλ es la potencia emisiva de la superficie real a la longitud de onda λ y

Ebλ es la potencia emisiva de un cuerpo negro a la misma longitud de onda y ala misma temperatura.

9.3.1 Ley de Kirchhoff.

Suponiendo que se dispone de una cavidad perfectamente negra, esto es, queabsorbe toda la radiación incidente que le llega, como se muestra en la figura.

Esta cavidad también emitirá radiación de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann. Sea qi W/m

2 el flujo radiante que llega a un área determinada de la

cavidad. Suponiendo ahora que se coloca un cuerpo dentro de la cavidad y quese le permite alcanzar el equilibrio térmico con ésta. En el equilibrio, la energía




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 239

9.3.3 Dependencia direccional de las propiedades.

Además de depender de las variables discutidas previamente, las cualesejercen influencia sobre las propiedades de la superficie, la emisividad de una

superficie lisa depende en gran medida del ángulo polar φ medio entre ladirección de la radiación incidente y la normal a la superficie. En general, losmateriales no conductores emiten con mayor intensidad en la dirección normal(o a ángulos polares pequeños) a la superficie, mientras los conductores emitencon mayor intensidad a ángulos polares amplios.

9.4 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS NEGROS(FACTOR DE FORMA)

Una vez establecidos los principales parámetros de radiación conviene ahoraanalizar el intercambio de energía radiante entre dos o más cuerpos a distintastemperaturas. El problema básico consiste en determinar la cantidad deradiación que sale de uno de ellos y es interceptada por el otro.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 240

Consideremos la configuración física más simple: dos planos infinitos paralelos,negros, que se mantienen a temperaturas diferentes (pero constantes) T1 y T2,como se indica en la siguiente figura

T1 T2

Eb1

Eb2

1 2

Si q1-2 = Flujo de energía que abandona la superficie 1 y llega a la superficie 2.

q2-1 = Flujo de energía que abandona la superficie 2 y llega a la superficie 1

. El intercambio neto de energía entre las superficies 1 y 2 es:

q 1↔2 = Eb1 A1 – Eb2 A2

Por unidad de área,

q1↔2 /A = Eb1 – Eb2 = σ ( )42

41 TT −

Se consideran ahora, dos superficies negras de áreas A1 y A2 como se muestraen la siguiente figura y las cuales se encuentran a diferente temperatura:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 241

Para resolver el problema de intercambio de calor por radiación se definen lossiguientes factores de forma como:

F1-2 = Fracción de energía radiante que sale de la superficie 1 y es interceptada

por la 2.

F2-1 = Fracción de energía radiante que sale de la superficie 2 y es interceptadapor la 1.

En la literatura se utilizan diferentes denominaciones del factor de forma, talescomo, factor de configuración, factor de visión, y factor de ángulo.

Según estas definiciones, la energía que sale de la superficie 1 y es

interceptada por la 2 es,

q1-2 = A1 Eb1 F1-2

Igualmente, la energía que sale de la superficie 2 y llega a la 1 es,

q2-1 = A2 Eb2 F2-1

Puesto que ambas superficies 1 y 2 son negras y toda la radiación que lesincide es absorbida, el intercambio neto de calor por radiación es,

q1↔2 = A1 Eb1 F1-2 – A2 Eb2 F2-1

En caso de que ambos cuerpos negros se encuentren a la misma temperatura(T1=T2), el intercambio neto de calor es igual a cero y puesto que Eb1 = Eb2,




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 242

A1 F1-2 = A2 F2-1

Esta relación se conoce como el teorema de reciprocidad. Haciendo uso de estaexpresión puede ahora calcularse el flujo neto de calor como,

q1↔2 = A1 F1-2 (Eb1 – Eb2) = A2 F2-1 (Eb1 – Eb2)

o en forma alterna,

q1↔2 = A1 F1-2 σ ( ) = A2 F2-1 σ ( )42

41 TT − 4

241 TT −

Para simplificar el problema anterior se incluyen las gráficas 9-1 a 9-4 parageometrías sencillas.

Diagrama 9-1 Variación del factor de forma entre un elemento de área dA1 y un rectángulode área A




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 243

Diagrama 9-2 Variación del factor de forma entre dos rectángulos paralelos

Gráfica 9-3 Variación del factor de forma entre dos discos paralelos




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 244

Gráfica 9-4 Variación del factor de forma entre dos rectángulos perpendiculares

9.4.1 Analogía eléctrica.

Analizando la siguiente ecuación:

q1↔2 = A1F1-2(Eb1 – Eb2) = A2F2-1(Eb1 – Eb2)

se observa que ésta tiene también una analogía con la ley de Ohm de circuitos

eléctricos. Eb1 y Eb2 se interpretan como los potenciales eléctricos y el flujo netode calor q1↔2 como una corriente, el término 1/A1F1-2 = 1/A2F2-1 representafísicamente una “resistencia espacial”. Es decir la ecuación anterior puedeescribirse como

122

2b1b

211

2b1b21

F A

1

EE

F A

1

EEq

−−

↔−

=−

=

El intercambio de calor por radiación entre más de dos cuerpos puedeobtenerse fácilmente haciendo uso de este concepto de resistencia térmica.Considerando como ilustración el intercambio de radiación en una envolventeconstituida por tres superficies negras a distintas temperaturas, la redequivalente para radiación se muestra en la siguiente figura:




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 246

∑=

↔ −=n

1 j

ijbjbiienvolventei )FEE( Aq

9.5 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS GRISES

En la sección anterior se describió el intercambio de calor por radiación entrecuerpos negros y el análisis resultó sencillo puesto que toda la radiaciónincidente sobre un cuerpo negro es absorbida. Sin embargo, hay numerososproblemas en ingeniería en que la emisividad de las superficies involucradas

dista mucho de ser igual a la unidad y no se comportan como cuerpos negros.En estas circunstancias el análisis de transferencia de calor es enormementecomplejo, a menos que a las superficies se les suponga un comportamiento decuerpo gris. Ante esta complejidad, el desarrollo que se presenta se limitaráentonces a superficies grises que son difusas y con temperatura uniforme, y quelas propiedades reflectoras y emisoras son constantes en todas las superficies.Se define:

G = irradiación= radiación total incidente sobre una superficie por unidad de tiempo y porunidad de área.

Teniendo en cuenta que la radiosidad J se había definido anteriormente como laradiación total que abandona una superficie por unidad de tiempo y por unidadde área, y sobre la hipótesis de que la radiosidad y la irradiación son uniformespara cada superficie, un balance de energía en la superficie de un material talcomo se muestra en la figura, conduce a

J = ε Eb + ρG




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 247

donde ε es la emisividad y Eb es la potencia emisiva del cuerpo negro. Puestoque se supone la transmitancia igual a cero, la reflectancia puede expresarsecomo

ρ = 1 - α = 1 - ε

de modo que

J = ε Eb + (1 - ε) G

La energía neta que abandona la superficie es la diferencia entre la radiosidad y

la irradiación

q/A = J – G = ε Eb + (1 -ε) G – G

o también

A

)1(

JEq b

ε

ε−−

=

9.5.1 Analogía eléctrica.

La expresión anterior también tiene una analogía eléctrica. Si el numerador seinterpreta como una diferencia de potenciales y el flujo de calor como unacorriente, el denominador del lado derecho de la ecuación corresponde a una

“resistencia superficial” de la forma (1-ε)/ε A.

Se considera ahora el intercambio de energía radiante entre dos superficies A1 y A2, mostrado en la figura

De toda la radiación que abandona la superficie 1, la cantidad que llega a lasuperficie 2 es

J1 A1F1-2

y de toda la energía que sale de la superficie 2, la cantidad que alcanza lasuperficie 1 es

J2 A2F2-1




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 249

Eb1 – Eb2

q1↔2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1-ε1) / ε1 A1 + 1/A1F1-2 + (1-ε2) / ε2 A2

En la siguiente figura se muestra un problema de tres cuerpos. En este caso,cada uno de los cuerpos intercambia calor con los otros dos. El intercambio decalor entre los cuerpos 1 y 2 sería:

211

2121

F A/1

JJq

−−

−=

y entre los cuerpos 1 y 3

311

3131

F A/1

JJq

−

−−

=

Para determinar los flujos de calor en un problema de este tipo, hay que calcularlos valores de las radiosidades. Esto puede conseguirse con métodos deanálisis estándar utilizados en la teoría de circuitos de corriente continua. Elmétodo más apropiado es la aplicación de la ley de Kirchhoff al circuito, quedice que la suma de las corrientes que entran en un nudo es cero.

9.5.2 Superficies aisladas y superficies muy grandes

Según se ha visto (Eb – J) representa la diferencia de potencial en el flujo de

calor a través de una resistencia superficial (1 - ε)/ε A. Si una superficie estácompletamente aislada, o vuelve a radiar toda la energía que le llega, tiene unflujo de calor igual a cero y la diferencia de potencial a través de la resistencia




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 250

de la superficie es cero, dando como resultado que J = Eb. Pero, la superficieaislada no tiene una resistencia superficial igual a cero. En efecto, el nudo J delcircuito está flotando, esto es, no extrae ninguna corriente. Por otra parte, una

superficie con un área muy grande ( A→ ∞) tiene una resistencia superficialpróxima a cero, que hace que se comporte como un cuerpo negro con ε = 1.0.Esta también, tendrá J = Eb, debido a que la resistencia superficial es cero.Entonces, estos dos casos – superficie aislada y superficie con un área muygrande – tienen ambos J = Eb, pero por dos razones completamente distintas.

Un problema que puede resolverse fácilmente por el método del circuito deradiación es el de dos superficies planas que intercambian calor entre sí, peroconectadas a una tercera que no intercambia calor, esto es, que estáperfectamente aislada. Sin embargo, esta tercera superficie influye en elproceso de transferencia de calor porque absorbe y vuelve a radiar energía alas otras dos superficies que intercambian calor. En la siguiente figura semuestra el circuito para este sistema.

Obsérvese que el nudo J3 no está conectado a una resistencia superficial deradiación porque la superficie 3 no intercambia energía. Existe una resistencia

superficial (1 - ε)/ε A, pero como no hay flujo de calor no hay diferencia depotencial, y J3 = Eb3. Obsérvese también que los valores de las resistencias deforma se han escrito

F1-3 = 1 – F1-2

F2-3 = 1 – F2-1

puesto que la superficie 3 rodea completamente a las otras superficies. En elcaso especial en que las superficies 1 y 2 sean convexas, esto es, que no sevean a sí mismas y F1-1 = F2-2 = 0, la figura anterior es un simple circuito serie-paralelo que puede resolverse para dar el flujo de calor como




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 251

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

ε

+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

ε

+

−

−+

−σ=

−

− 11

A

A1

1

)F( A A

F A2 A A

)TT( Aq

22

1

1

2

2112

21121

42

411

neto

donde se ha utilizado la relación de reciprocidad

A1 F1-2 = A2 F2-1

para simplificar la expresión.

9.5.3 Planos paralelos infinitos.

Cuando se consideran dos planos paralelos infinitos, A1 y A2 son iguales; y elfactor de forma de radiación es la unidad, ya que toda la radiación que sale deun plano llega al otro. El circuito es el siguiente

El flujo de calor por unidad de área haciendo A1 = A2 y F1-2 = 1.0, es

1/1/1

)TT(

A

q

21

42

41

−ε+ε

−σ

=

9.5.4 Cilindros concéntricos largos.

Suponiendo que F1-2 = 1.0

)1/1() A/ A(/1

)TT( Aq

2211

42

411

−ε+ε

−σ=

cuando se trabaja con cuerpos cilíndricos, se puede sustituir la relación deáreas A1/A2, por la relación de diámetros d1/d2.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 252

9..5.5 Objeto convexo en un recinto cerrado grande.

La última ecuación es particularmente importante cuando se aplica al casolímite de un objeto convexo completamente contenido en una superficie

cóncava muy grande. En este caso A1/A2 → 0 y se obtiene la relación sencillasiguiente

)TT( Aq 42

4111 −εσ=

9.6 PANTALLAS DE RADIACION

Una manera de disminuir la transferencia de calor por radiación entre dossuperficies dadas es mediante la utilización de materiales que sean altamentereflectantes. Un método alternativo es emplear pantallas frente a la radiaciónentre las superficies que intercambian calor. Estas pantallas no aportan nirestan ningún calor al sistema en conjunto; sólo colocan otra resistencia en elcamino del flujo de calor, de modo que se disminuye la transferencia de calor

total. Si se consideran los dos planos paralelos mostrados en la figura (a), se hademostrado que el intercambio de calor entre estas superficies es:

1/1/1

)TT(

A

q

21

42

41

−ε+ε

−σ=




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 254

Examinando el circuito, se ve que la transferencia de calor por radiación estádificultada por la inserción de tres resistencias más que la que había con sólodos superficies, una enfrente de la otra; una resistencia espacial extra y dosresistencias superficiales extra debidas a la pantalla. Cuanto mayor sea la

reflectancia de la pantalla, esto es, cuanto más pequeña sea su emisividad,mayores serán las resistencias superficiales introducidas. Incluso con una

pantalla negra, con ε = 1 y resistencia superficial nula, existirá todavía unaresistencia espacial extra en el circuito.

Si las emisividades de todas las superficies son iguales, se puede deducir unarelación bastante simple para la transferencia de calor, cuando las superficiespueden considerarse planos paralelos infinitos. Sea n el número de pantallas.Considerando el circuito de radiación del sistema, todas las resistenciassuperficiales serán la misma. Habría dos de estas resistencias por cada pantallay una por cada superficie de transferencia de calor. Habrá resistenciasespaciales que serán todas iguales a la unidad, puesto que los factores deforma de radiación son la unidad para planos paralelos infinitos. La resistenciatotal del circuito será

1 - ε R(n pantallas) = (2n + 2) ⎯⎯⎯ + (n + 1) (1) = (n + 1) [(2/ε) - 1]

ε

La resistencia cuando no hay pantalla es

R(sin pantalla) = (1/ε) + (1/ε) – 1 = (2/ε) – 1

Se ve que la resistencia, cuando están colocadas las pantallas, es n+1 vecesmayor que cuando faltan las pantallas. Así

1

(q/A)con pantallas = ⎯⎯⎯ (q/A)sin pantallas n+1




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 255

si en ambos casos las temperaturas de las superficies con transferencia decalor son las mismas. El método del circuito de radiación se puede aplicartambién a problemas con pantallas de radiación en los que estén implicados

sistemas cilíndricos. En estos casos, al formular las resistencias han deemplearse las relaciones de área apropiadas.

PROBLEMAS RESUELTOS

9.1 La energía radiante total que incide sobre un cuerpo, el cual refleja,absorbe y transmite parcialmente, es 2200 W/m

2. De esta cantidad, 450

W/m2 se reflejan y 900 W/m

2 son absorbidos por el cuerpo. Encontrar la

transmisividad τ.

τ = 1 - ρ -α = 1 – (450/2200) – (900/2200) = 0.386

9.2 Determinar la potencia emisiva total de un cuerpo negro a 1000ºC.

Eb = (5,6697 x 10-8

) (1273)4 = 148.89 kW/m

2

9.3 Para un cuerpo negro mantenido a 115ºC, determinar: (a) La potencia

emisiva total. (b) La longitud de onda para la cual la potencia emisiva total

es máxima. (c) La potencia emisiva monocromática máxima.

(a) Eb = σ T4 = (5.6697 x 10

-8) (115+273)

4 = 1284.95 W/m

2

(b) λmáx T = 2897.6 μm K

λmáx = (2897.6 μm K/388 K) = 7.46 μm

(c) Según la ley de Planck,

1)T/C(exp

CE

2

51

b −λ

λ=

−

λ

C1 = 3.742 x 108 W-μm

4/m

2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 256

C2 = 1.4387 x 104 μm-K

[ ]79.113

1)388x46.7/10x4387.1exp(46.710x742.3E

45

8b =

−=λ W/μm. m

2

9.4 Suponiendo que el Sol es un cuerpo negro cuya temperatura es 6000 K.

Determinar la longitud de onda en que la potencia emisiva total es máxima,y la fracción de energía emitida que se encuentra en el intervalo visible

(0.38 – 0.78 μm).

λmáx = 2897.6/6000 = 0.483 μm

T = 6000 K = 10800oR

Por otro lado según la tabla 9-1, para λT = (0.38)(10800) = 4104 μmoR se

obtiene que,

(Eb (0-λ) /Eb) = 11.61%

De manera análoga, para λT = (0.78)(10800) = 8424 se obtiene,

(Eb (0-λ) /Eb) = 59.09%

Por lo tanto, la fracción emitida en el intervalo visible es 59.09 – 11.61 = 47.48%

9.5 Una placa de vidrio cuadrada, de 30 cm de lado, se utiliza para ver laradiación de un horno. La transmitancia del vidrio es 0.5 desde 0.2 hasta

3.5 μm. Se puede suponer que la emisividad es 0.3 hasta 3.5 μm y 0.9 porencima de este valor. La transmitancia del vidrio es cero, excepto en el

intervalo comprendido entre 0.2 y 3.5 μm. Suponiendo que el horno es uncuerpo negro a 2000

oC, calcular la energía absorbida por el vidrio y la

energía transmitida.

T = 2000 + 273 = 2373 K = 4271.4oR

λ1T = (0.2)(4271.4) = 854.28 μmoR

λ2T = (3.5)(4271.4) = 14949.9 μmoR




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 257

A = (0.3)2 = 0.09 m

2

De la tabla 9-1

Eb (0-λ1) ⎯⎯⎯ = 0

σT4

Eb(0-λ2)

⎯⎯⎯ = 0.86789

σT4

σT4

= (5.669 x 10-8

) (2273)4

= 1513.3 kW/m2

La radiación total incidente entre λ, 0.3 μm y 3.5 μm es,

Eb (0.2-3.5) = 1513.3 (0.86789 – 0) (0.3)2 = 118.2 kW

Radiación total transmitida = (0.5)(118.2) = 59.1 kW

Radiación absorbida entre 0 y 3.5 μm,

(0.3)(118.2) = 35.46 kW

Radiación absorbida entre 3.5 y ∞ μm,

(0.9)(1-0.86789)(1513.3)(0.09) = 16.19 kW

Radiación total absorbida = 35.46 + 16.19 = 51.65 kW

9.6 Hallar la cantidad de energía radiante emitida por una esfera de 30 mm dediámetro a 1200 K que choca contra una pared de 1 m por 1.5 m, colocadaa 1 m de la esfera (ver figura). Suponer que todas las superficies soncuerpos negros.

La esfera es lo suficientemente pequeña para ser tratada como un disco

infinitesimal

dA1 = πR2

De la gráfica 9-1:

Z/X = 1/0.75 = 1.33 Y/X = 0.5/0.75 = 0.66




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 259

9.8 Dos planos negros, infinitos y paralelos, se mantienen a 200ºC y 300

ºC,

respectivamente. Determinar el flujo de calor por radiación por unidad deárea.

Designando el plano más caliente como el plano 1:

(q1-2/A) = σ (T14 – T2

4) = (5.6697x10

-8) (573

4 – 473

4) = 3273 W/m

2

9,9 Dos rectángulos negros de 0.6 m por 1.2 m, paralelos y directamenteopuestos, están separados 1.2 m. El rectángulo inferior está a T1 = 500 K yel rectángulo superior a T2 = 900 K. Determinar: (a) El flujo de calor porradiación entre las dos superficies. (b) El flujo de energía perdida por elrectángulo inferior si sus alrededores (diferentes del rectángulo superior) seconsideran negros a 0 K. (c) El flujo de energía perdida por el rectánguloinferior si sus alrededores (diferentes del rectángulo superior) seconsideran negros a 300 K.

(a) Utilizando la gráfica 9-2, X/D = 0.6/1.2 = 0.5 y Y/D = 1.2/1.2 = 1

El factor de forma F1-2 = F2-1 = 0.12

q1-2 = A1F1-2σ (T14 – T2

4) = (0.72)((0.12)(5.6697x10

-8)(500

4 – 900

4) = -2907.8 W

(b)

∑=

↔ −=n

1 j

ijbjbiienvolventei )FEE( Aq

q1↔envolvente = A1 (Eb1 – F1-2Eb2) = A1σ (T14 – F1-2 T2

4)

q1↔envolvente = (0.72)(5.6697x10-8

)[5004 – (0.12)(900)

4] = -662.62 W

es decir, una ganancia neta para la superficie 1.

(c)

F1-espacio = 1 – F1-1 – F1-2 = 1 – 0 –0.12 = 0.88

q1↔envolvente = A1 [Eb1 – F1-2 Eb2 – F1-espacio Eb espacio

q1↔envolvente = (0.72)(5.6697x10-8

) [5004 – (0.12)(900

4) – (0.88)(300

4)] = -953.6 W

es decir, una ganancia para la superficie 1 aún mayor que en la parte (b).




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 260

9.10 Dos placas paralelas de 0.5 por 1.0 m están separadas 0.5 m. Una de lasplacas se mantiene a 1000

ºC y la otra a 500

ºC. Las emisividades de las

placas son 0.2 y 0.5 respectivamente. Las placas se encuentran en una

habitación muy grande, cuyas paredes se mantienen a 27

º

C. Las placasintercambian calor entre sí y con la habitación, pero solo se van aconsiderar en el análisis las superficies que se ven mutuamente. Calcularla transferencia neta a cada placa y a la pared.

Este es un problema de tres cuerpos, las dos placas y la habitación, así que elcircuito de radiación es el que se muestra en la figura.

De los datos del problema

T1 = 1000ºC = 1273 K A1 = A2 = 0.5 m

2

T2 = 500ºC = 773 K T3 = 27

ºC = 300 K

ε1 = 0.2 ε2 = 0.5

Dado que el área de la habitación A3 es muy grande, la resistencia (1-ε3)/ε3 A3 puede tomarse igual a cero y se obtiene que Eb3 = J3.

Se calculan ahora los factores de forma,




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 261

Y/D = 0.5/0.5 = 1 X/D = 1/0.5 = 2

De la gráfica 9-2, F1-2 = 0.285 = F2-1

F1-3 = 1 – F1-2 = 0.715

F2-3 = 1 – F2-1 = 0.715

Se calculan ahora las resistencias en el circuito,

(1 - ε1)/ε1 A1 = (1-0.2) / (0.2 x 0.5) = 8

(1 - ε2)/ε2 A2 = (1-0.5) / (0.5 x 0.5) = 2

(1/A1F1-2) = 1/(0.5 x 0.285) = 7.02

(1/A1F1-3) = 1/(0.5 x 0.715) = 2.8

(1/A2F2-3) = 1/(0.5 x 0.715) = 2.8

Tomando la resistencia (1 - ε3)/ε3 A3 igual a cero, se tiene el circuito que semuestra. Para calcular los flujos de calor en cada superficie hay que determinarlas radiosidades J1 y J2. El circuito se resuelve haciendo la suma de los caloresque llegan a cada uno de los nudos, J1 y J2 igual a cero.

nudo J1:[(Eb1 – J1)/8] + [(J2 – J1)/7.02] + [(Eb3 – J1)/2.8] = 0

nudo J2:[(J1 – J2)/7.02] + [(Eb3 – J2)/2.8] + [(Eb2 – J2)/2.0] = 0

Eb1 = σT14 = 148.87 kW/m

2

Eb2 = σT24 = 20.241 kW/m

2

Eb3 = σT3

4

= 0.4592 kW/m2

Introduciendo los valores de Eb1, Eb2 y Eb3 en las ecuaciones anteriores, setienen dos ecuaciones con dos incógnitas, J1 y J2, que se pueden resolversimultáneamente para dar

J1 = 33.469 kW/m2 J2 = 15.054 kW/m

2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 262

El calor total perdido por la placa 1 es

Eb1 – J1 148.87 – 33.469q1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 14.425 kW

(1 - ε1)/ε1 A1 8

y el calor perdido por la placa 2 es

Eb2 – J2 20.241 – 15.054

q2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.594 kW

(1 - ε2)/ε2 A2 2.0

El calor total recibido por la habitación es

J1 – J3 J2 – J3

q3 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 1/A1F1-3 1/A2F2-3

33.469 – 0.4592 15.054 – 0.4592

q3 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 17.02 kW2.8 2.8

Desde el punto de vista del balance global se debe cumplir

q3 = q1 + q2

porque la energía neta perdida por ambas placas debe ser absorbida por lahabitación.

9.11 Dos rectángulos de 50 x 50 cm están colocados perpendicularmente con

una arista común. Una superficie tiene T1 = 1000 K, ε1 = 0.6, mientras la

otra está aislada y en equilibrio radiante con una gran habitación a 300 K.Determinar la temperatura de la superficie aislada y el calor perdido por lasuperficie a 1000 K.

En la figura se muestra el circuito de radiación, donde la superficie 3 es lahabitación y la superficie 2 es la superficie aislada. Obsérvese que J3=Eb3

porque la habitación es grande y (1 - ε3)/ε3 A3 se aproxima a cero. Como la




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 263

superficie 2 está aislada, no tiene flujo de calor y J2=Eb2. J2 flota en el circuito yse determina a partir del balance de radiación global. Los factores de forma son,de la figura 9-4

F1-2 = 0.2 = F2-1

Debido a que F1-1 = 0 y F1-3 = 1 – 0.2 = 0.8 = F2-3

A1 = A2 = (0.5)2 = 0.25 m

2

Las resistencias son

1 - ε 0.4

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2.667

ε1 A1 (0.6) (0.25)

1 1 1

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 5.0 A1F1-3 A2F2-3 (0.25) (0.8)




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 264

1 1

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = 20.0 A1F1-2 (0.25) (0.2)

También se tiene

Eb1 = (5.669 x 10-8

) (1000)4 = 5.669 x 10

4 W/m

2

J3 = Eb3 = (5.669 x 10-8

) (300)4 = 459.2 W/m

2

El circuito completo es un montaje serie paralelo y la transferencia de calor es

Eb1 – Eb3

q = ⎯⎯⎯⎯ Requivalente

Se tiene

1

Requivalente = 2.667 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.883

(1/5) + 1/(20+5)

56690 – 459.2

q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 8.229 kW6.883

Esta transferencia de calor también puede expresarse como

Eb1 – J1 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(1 - ε1)/ε1 A1

Introduciendo los valores se obtiene

J1 = 34745 W/m2

El valor de J2 se determina estableciendo la proporcionalidad de resistenciasentre J1 y J2, así que

J1 – J2 J1 – J3

⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ 20 20+5




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 265

y

J2 = 7316 = Eb2 = σ T24

Por último, se obtiene la temperatura de la superficie aislada como

T2 = (7316 / 5.669 x 10-8

)1/4

= 599.4 K

9.12 Una semiesfera de 30 cm de diámetro se mantiene a una temperaturaconstante de 500

ºC y está aislada por su cara posterior. La emisividad de

la superficie es 0.4. La parte abierta intercambia energía radiante con ungran recinto a 30ºC. Calcular el intercambio neto de radiación.

Tomando el interior de la semiesfera como la superficie 1 y el recinto como lasuperficie 2 y una superficie imaginaria 3 que cubre la apertura, se tiene enrealidad, un problema de dos superficies (1 y 2) y, por tanto,

Eb1 = σ T14 = σ (773)

4 = 20241 W/m

2

Eb2 = σ T24 = σ (303)

4 = 478 W/m

2

1 - ε1 0.6

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 10.61

ε1 A1 (0.4) (0.1414)

A2 → ∞

de modo que

1 - ε2

⎯⎯⎯ → 0

ε2 A2




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 266

Ahora, en este momento, se admite que toda la radiación neta que sale de lasuperficie 1, que al final llegará a la 2, también chocará con la superficieimaginaria 3; esto es, F1-2 = F1-3. También se tiene que

A1F1-3 = A3F3-1

Pero, F3.1 = 1.0, así que

F1-3 = F1-2 = A3/A1 = πr 2/2πr

2 = 0.5

Entonces, 1/A1F1-2 = 1 /(0.1414) (0.5) = 14.14 y la transferencia de calor puedecalcularse por

Eb1 – Eb2

q1↔2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1-ε1) / ε1 A1 + 1/A1F1-2 + (1-ε2) / ε2 A2

20241 – 478

q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 799 W10.61 + 14.14 + 0

9.13 Dos planos paralelos muy grandes con emisividades de 0.3 y 0.8intercambian calor. Encontrar el porcentaje de reducción en latransferencia de calor, cuando se coloca entre ellos una pantalla radiante

de aluminio pulido (ε=0.04).

La transferencia de calor sin la pantalla viene dada por

)TT(279.01/1/1

)TT(

A

q 42

41

21

42

41 −σ=

−ε+ε

−σ=

El circuito de radiación con la pantalla colocada se muestra en la siguientefigura




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 267

1 - ε1 1 – 0.3

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 2.333

ε1 0.3

1 - ε3 1 – 0.04

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 24.0

ε3 0.04

1 - ε2 1 – 0.8

⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = 0.25

ε2 0.8

La resistencia total es

2.333 + (2) (24.0) + (2) (1) + 0.25 = 52.583

y la transferencia de calor es

)TT(01902.0583.52

)TT( Aq 4

241

42

41 −σ=−σ=

de modo que la transferencia de calor se reduce en un 93.2%


9.14 Determinar la potencia emisiva monocromática a 2.3 μm de un cuerponegro a una temperatura de 1370

ºC.

9.15 Determinar λmáx y el valor máximo de la potencia emisiva monocromáticade un cuerpo negro a (a) 1671

ºC (b) 1393

ºC (c) 1116

ºC (d) 838

ºC.

9.16 Suponiendo que la radiación solar es como la de un cuerpo negro a 5795K, calcular la fracción de energía en las siguientes bandas de longitud de

onda: (a) 0 a 0.2 μm. (b) 0.2 a 0.4 μm. (c) 0.4 a 1.0 μm. (d) 1.0 a 2.0 μm.

(e) por encima de 2.0 μm.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 268

9.17 Una superficie negra está a 800ºC. Calcular la fracción de la energía total

emitida entre (a) 1 y 2 μm. (b) 2 y 3 μm. (c) 3 y 4 μm. (d) 5 y 6 μm.

9.18 Un foco de radiación negra está a 1100

º

C. Calcular la longitud de ondasuperior en micrómetros para emisiones de (a) 25% (b) 50% (c) 75% (d)98% de la radiación total.

9.19 Dos discos concéntricos paralelos de D1 = 10 cm y D2 = 5 cm distan 10cm. Determinar F1-2 y F2-1.

9.20 Una pared de una habitación de 3 x 3 x 3 m se mantiene a 260ºC; el suelo

se mantiene a 90ºC. Las otras cuatro superficies están perfectamente

aisladas. Se supone que todas las superficies son negras. Calcular elcalor neto transferido entre la pared caliente y el suelo frío.

9.21 Dos planos paralelos perfectamente negros de 1.2 por 1.2 m distan 1.2 m.Un plano se mantiene a 800

K y el otro a 500 K. Los planos están

situados en un recinto grande cuyas paredes están a 300 K. ¿Cuál es elcalor neto transferido entre los planos?

9.22 Dos discos paralelos de 60 cm de diámetro distan 15 cm y están dentro deuna habitación grande a 30

ºC. Las propiedades de las superficies son T1=

540ºC, ε1 = 0.7, T2 = 300

ºC, ε2 = 0.5. ¿Cuál es el calor neto transferido por

radiación en cada superficie? (No debe incluirse el intercambio por la caraposterior, sólo el de las dos superficies enfrentadas.

9.23 Dos discos paralelos de 50 cm de diámetro distan 12.5 cm y estánsituados en un recinto grande a 300 K. Uno de los discos está a 100 K y

el otro se mantiene a 500 K. Ambos tiene emisividades de 0.8. Calcular elflujo de calor en cada disco.

9.24 Dos discos paralelos perfectamente negros de 1 m de diámetro estánseparados una distancia de 0.25 m. Un disco se mantiene a 60

ºC y el otro

a 20ºC. Los discos se colocan en un cuarto grande cuyas paredes están a

40ºC. Suponer que las superficies exteriores de los discos (las superficies

que no están frente a frente) están muy bien aisladas. Determinar el

intercambio neto de radiación entre los discos. Determinar también elintercambio neto de radiación entre los discos y el cuarto.

9.25 Dos placas paralelas de 1 x 1 m, aisladas en sus lados posteriores yseparadas 1 m, se pueden aproximar como cuerpos negros a 500 y 750oK. Las placas se localizan en un cuarto cuyas paredes se mantienen a

300oK. Determinar la transferencia de calor neta desde cada placa y la

transferencia neta de calor relativa hacia las paredes del cuarto.




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 269

9.26 Dos planos paralelos de 90 x 60 cm distan 60 cm. Un plano se mantiene a

una temperatura de 800 K y tiene una emisividad de 0.6. El otro plano

está aislado. Los planos están situados en una habitación grande que semantiene a 290 K. Calcular la temperatura del plano aislado y la energíaperdida por el plano caliente.

9.27 Una tubería larga de 5 cm de diámetro pasa a través de una habitación yestá expuesta al aire a presión atmosférica y una temperatura de 20

ºC.

La temperatura de la superficie de la tubería es de 93ºC. Suponiendo que

la emisividad de la tubería sea 0.6, calcular el calor perdido por radiaciónpor unidad de longitud de tubería.

9.28 Una placa vertical de 60 cm de alto y 30 cm de ancho se mantiene a unatemperatura de 95

ºC en una habitación donde el aire está a 20

ºC y 1 atm.

Las paredes de la habitación están también a 20ºC. Se supone que en la

placa ε = 0.8. ¿Cuánto calor pierde la placa por radiación?

9.29 Una tubería horizontal de 6 m de largo y 12.5 cm de diámetro se mantienea una temperatura de 150

ºC en una habitación grande donde el aire está

a 20ºC y 1 atm. Las paredes de la habitación están a 38ºC. Suponiendoque en la tubería ε = 0.7. ¿Cuánto calor pierde la tubería por conveccióny radiación?

9.30 Dos cilindros concéntricos tiene longitudes de 30 cm. El cilindro interiortiene un diámetro de 8.0 cm. ¿Cuál debe ser el diámetro del cilindroexterior para que F1-2 = 0.8, considerando el cilindro interior comosuperficie 1?

9.31 Dos cilindros concéntricos de 10 y 20 cm de diámetro están situados enun recinto grande que se mantiene a 30

ºC. La longitud de los cilindros es

de 10 cm y el cilindro interior se mantiene a 700ºC, siendo su emisividad

de 0.6. El cilindro exterior está perfectamente aislado y tiene unaemisividad de 0.7. Calcular el calor perdido por el cilindro interior.

9.32 Un cuerpo gris tiene un área superficial de 0.3716 m2, tiene ε1 = 0.35 y

T1=404.4

º

C y está completamente encerrado por otro cuerpo gris quetiene un área de 3.34 m2, ε2 = 0.75 y T2 = 537.7

oC. Encontrar el flujo de

calor neto entre las dos superficies si F1-1 = 0.

9.33 Dos paredes metálicas paralelas de un horno de cocina tiene

temperaturas T1=232.3ºC y T3=26.6

ºC y emisividades ε1=ε3= 0.3, donde

los subíndices 1 y 3 designan la pared interior y la pared exterior,




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 270

respectivamente. El espacio entre las paredes está lleno con un aislantede lana mineral. Suponiendo que este material aislante es transparente ala radiación térmica, calcular el flujo de calor radiante por unidad de área

entre las dos paredes. (a) sin pantalla de radiación. (b) con una pantallade radiación de lámina de aluminio que tiene ε1 = 0.09.

9.34 Se tienen tres placas paralelas infinitas numeradas en su orden 1,2 y 3.

La placa 1 se mantiene a 1200oK y la placa 3 se mantiene a 300

oK; ε1 =

0.2, ε2 = 0.5 y ε3 = 0.8. La placa 2 no recibe calor de fuentes externas.¿Cuál es la temperatura de la placa 2?

9.35 Dos planos grandes paralelos cuyas emisividades son 0.3 y 0.5 semantienen a unas temperaturas de 800oK y 400

oK respectivamente.

Entre los dos planos se coloca una pantalla de radiación cuya emisividadpor ambas caras es 0.05. Calcular: (a) El flujo de calor por unidad de áreasin la pantallas de radiación. (b) El flujo de calor por unidad de área con lapantalla de radiación. (c) La temperatura de la pantalla.

9.36 Dos cilindros concéntricos largos tienen 4 y 8 cm de diámetrorespectivamente. El cilindro interior está a 80

ºC y el exterior está a 100

oC.

Las emisividades del interior y del exterior son 0.8 y 0.4 respectivamente.Calcular en que porcentaje se reduce el calor transferido si entre los doscilindros se coloca un apantallamiento radiante de 6 cm de diámetro yemisividad 0.3.



TABLA A-2 CONDUCTIVIDAD TERMINA EN FUNCION DE LA TE

Conductividad térmica k, W-100 0 100 200 300

Aluminio Puro 215 202 206 215 228

Al-Cu (duraluminio) 94-96% Al, 3.5% Cu, trazas Mg 126 159 182 194 Al-Si (siluminio, cobre-portador), 86.5% Al, 1% Cu 119 137 144 152 161

Al-Si (alusil ), 78-80% Al, 20-22% Si 144 157 168 175 178

Al-Mg-Si, 97% Al, 1% Mg, 1% Si, 1% Mn 175 189 204

Plomo Puro 36.9 35.1 33.4 31.5 29.8

Hierro Puro 87 73 67 62 55

Hierro forjado, 0.5% C 59 57 52 48

Acero al carbono 0.5% C 55 52 48 45



Acero al niquel 0% Ni

Acero al niquel 20% Ni Acero al niquel 40% Ni

Acero al niquel 80% Ni

Invar 36% Ni

Acero al cromo 0% Cr 87 73 67 62 55

Acero al cromo 1% Cr 62 55 52 47



Cr-Ni 10% Ni

18% Cr, 8% Ni (V2A) 16.3 17 17 19

20% Cr, 15% Ni25% Cr, 20% Ni

Acero al wolframio 0% W




Cobre Puro 407 386 379 374 369

Bronce de aluminio, 95% Cu, 5% Al

Bronce, 75% Cu, 25% Sn



TABLA A-2 CONDUCTIVIDAD TERMINA EN FUNCION DE LA TEMPERA

Conductividad térmica k, W-100 0 100 200 300

Latón rojo, 85% Cu, 9% Sn, 6% Zn 59 71Latón, 70% Cu, 30% Zn 88 128 144 147

Plata alemana, 62% Cu, 15% Ni, 22% Zn 19.2 31 40 45

Constantan, 60% Cu, 40% Ni 21 22.2 26

Magnesio Puro 178 171 168 163 157

Mg-Al (electrlítico), 6-8% Ala.2% Zn 52 62 74 83

Molibdeno Puro 138 125 118 114 111

Niquel Puro (99.9%) 104 93 83 73 64

Ni-Cr, 90% Ni, 10% Cr 17.1 18.9 20.9 22.8

Ni-Cr, 80% Ni, 20% Cr 12.3 13.8 15.6 17.1

Plata Purísima 419 417 415 412Pura (99.9%) 419 410 415 374 362

Estaño Puro 74 65.9 59 57Woframio Puro 166 151 142 133

Cinc puro 114 112 109 106 100



TABLA A-3 PROPIEDADES DE LOS NO METALES (Continu

Sustancia TempO C

kW/m

oC

1100 1.40

Ladrillo refractario cocido a 1450oC 500 1.28

800 1.37

1100 1.40

Ladrillo Missouri 200 1.00 600 1.47

1400 1.77

Magnesita 200 3.81

650 2.77

1200 1.90

Madera (transversal a la veta): Balsa, 42.97 kg/m2 (8.8 lb/pie

2) 30 0.055

ciprés 30 0.097

abeto 23 0.11

arce o roble 30 0.166

pino amarillo 23 0.147

pino blanco 30 0.112

Mortero: yeso 20 0.48

Varillas de metal 20 0.47

Listones de madera 20 0.28

Oxido de aluminio, zafiro 30 46

Oxido de aluminio, policristalino 30 36

Piedra: granito 1.73-3.98

Piedra caliza 100-300 1.26-1.33

Mármol 2.07-2.94

Piedra arenisca 40 1.83

Polietileno 30 0.33

Polipropileno 30 0.16

Polivinilo, cloruro de 30 0.09

Serrin, baja densidad 30 0.079

alta densidad 30 0.17

Silicio, carburo de 30 490

Teflón 30 0.35

Titanio, dióxido de 30 8.4

Vidrio, ventana 20 0.78(prom)

Borosilicato 30-75 1.09



TABLA A-4 PROPIEDADES DE L0S MATERIALES AISLA

Sustancia TempO C

kW/m

oC

Cartón corrugado 0.064

Celotex 32 0.048

Corcho, 160.18 kg/m3 (10 lb/pie3) 30 0.043

Cocho aglomerado 32 0.045

Rectificado 32 0.043

Diamante tipo IIa. aislante 30 2300

Fibra, chapa aislante 20 0.048

Fibra de vidrio, conducto lineal 30 0.038

Fibra de vidrio, poco soplado 30 0.043

Fieltro, pelo 30 0.036

Lana 30 0.052

Hielo 0 2.22

Insulex, seco 32 0.064

0.144Lana de bálsamo 35.24 kg/m

3 (2.2 lb/pie

3) 32 0.04

Lana de vidrio, 24.03 kg/m3 (1.5 lb/pie

3) 23 0.038

Lana mineral, 160.18 kg/m3 (10lb/pie

3) 32 0.040

poco compacta 150 0.067

260 0.087

Magnesioa, 85% 38 0.067

93 0.071

150 0.074

204 0.080

Miraguano 30 0.035

Serrín 23 0.059Sílice aerogel 32 0.024

Styrofoam 32 0.033

Tierra de diatomeas (Sil-o-cel) 0 0.061

Virutas de madera 23 0.059



Tabla A-5 PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO

T,oC ρ, kg/m

3 cp, kj/kg

oC ν, m

2/s k, W/m

oC α, m

2/s

Agua, H2O

0 1002.28 4.2128 1.788 x 10-6 0.552 1.308 x 10

-7

20 1000.52 4.1818 1.006 0.597 1.430 40 994.59 4.1784 0.658 0.628 1.512

60 985.46 4.1843 0.478 0.651 1.554

80 974.08 4.1964 0.364 0.668 1.636

100 960.63 4.2161 0.294 0.680 1.680

120 945.25 4.250 0.247 0.685 1.708

140 928.27 4.283 0.214 0.684 1.724

160 909.69 4.342 0.190 0.680 1.729

180 889.03 4.417 0.173 0.675 1.724

200 866.76 4.505 0.160 0.665 1.706

220 842.41 4.610 0.150 0.652 1.680 240 815.66 4.756 0.143 0.635 1.639

260 785.87 4.949 0.137 0.611 1.577

280.6 752.55 5.208 0.135 0.580 1.481

300 714.26 5.728 0.135 0.540 1.324

Amoniaco, NH3

- 50 703.69 4.443 0.435 x 10-6

0.547 1.742 x 10-7

- 40 691.68 4.467 0.406 0.547 1.775

- 30 679.34 4.476 0.387 0.549 1.801

- 20 666.69 4.509 0.381 0.547 1.819

- 10 653.55 4.564 0.378 0.543 1.825

0 640.10 4.635 0.373 0.540 1.819

10 626.16 4.714 0.368 0.531 1.801

20 611.75 4.798 0.359 0.521 1.775

30 596037 4.890 0.349 0.507 1.742

40 580.99 4.999 0.340 0.493 1.701

50 564.33 5.116 0.330 0.476 1.654



Tabla A-5 PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATUR

T,oC ρ, kg/m

3 cp, kj/kg

oC ν, m

2/s k, W/m

oC α, m

2/s

Dióxido de carbono, CO2

- 50 1156.34 1.84 0.119 x 10-6 0.0855 0.4021x 10

-7

- 40 1117.77 1.88 0.118 0.1011 0.4810

- 30 1076.76 1.97 0.117 0.1116 0.5272 - 20 1032.39 2.05 0.115 0.1151 0.5445

- 10 983.38 2.18 0.113 0.1099 0.5133

0 926.99 2.47 0.108 0.1045 0.4578

10 860.03 3.14 0.101 0.0971 0.3608

20 772.57 5.0 0.091 0.0872 0.2219

30 597.81 36.4 0.080 0.0703 0.0279

Dióxido de azufre, SO2

- 50 1560.84 1.3595 0.484 x 10-6

0.242 1.141x 10-7

- 40 1536.81 1.3607 0.424 0.235 1.130

- 30 1520.64 1.3616 0.371 0.230 1.117 - 20 1488.60 1.3624 0.324 0.225 1.107

- 10 1463.61 1.3628 0.288 0.218 1.097

0 1438.46 1.3636 0.257 0.211 1.081

10 1412.51 1.3645 0.232 0.204 1.066

20 1386.40 1.3653 0.210 0.199 1.050

30 1359.33 1.3662 0.190 0.192 1.035

40 1329.22 1.3674 0.173 0.185 1.019

50 1299.10 1.3683 0.162 0.177 0.999

Diclorodiflúormetano, CCl2F2

- 50 1546.75 0.8780 0.310 x 10-6 0.067 0.501x 10-7 - 40 1518.71 0.8847 0.279 0.069 0.514

- 30 1489.56 0.8956 0.253 0.069 0.526

- 20 1460.57 0.9073 0.235 0.071 0.539

- 10 1429.49 0.9203 0.221 0.073 0.550

0 1397.45 0.9345 0.214 x 10-6 0.073 0.557 x 10

-7

10 1364.30 0.9496 0.203 0.073 0.560

20 1330.18 0.9659 0.198 0.073 0.560

30 1295.10 0.9835 0.194 0.071 0.560




T,oC ρ, kg/m

3 cp, kj/kg

oC ν, m

2/s k, W/m

oC α, m

2/s

40 1257.13 1.0019 0.191 0.069 0.555

50 1215.96 1.0216 0.190 0.067 0.545

Glicerina, C3H5(OH)3

0 1276.03 2.261 0.00831 0.282 0.983 x 10

-7

10 1270.11 2.319 0.00300 0.284 0.965

20 1264.02 2.386 0.00118 0.286 0.947

30 1258.09 2.445 0.00050 0.286 0.929

40 1252.01 2.512 0.00022 0.286 0.914

50 1244.96 2.583 0.00015 0.287 0.893

Etilenglicol, C2H4(OH)2

0 1130.75 2.294 57.53 x 10-6 0.242 0.934 x 10

-7

20 1116.65 2.382 19.18 0.249 0.939

40 1101.43 2.474 8.69 0.256 0.939

60 1087.66 2.562 4.75 0.260 0.932 80 1077.56 2.650 2.98 0.261 0.921

100 1058.50 2.742 2.03 0.263 0.908

Aceite motor (sin usar)

0 899.12 1.796 0.00428 0.147 0.911x 10-7

20 888.23 1.880 0.00090 0.145 0.872

40 876.05 1.964 0.00024 0.144 0.834

60 864.04 2.047 0.839 x 10-4 0.140 0.800

80 852.02 2.131 0.375 0.138 0.769

100 840.01 2.219 0.203 0.137 0.738

120 828.96 2.307 0.124 0.135 0.710 140 816.94 2.395 0.080 0.133 0.686

160 805.89 2.483 0.056 0.132 0.663

Mercurio, Hg

0 13628.22 0.1403 0.124 x 10-6 8.2 42.99 x 10

-7

20 13579.04 0.1394 0.114 8.69 46.06

50 13505.84 0.1386 0.104 9.40 50.22

100 13.384.58 0.1373 0.0928 10.51 57.16

150 13264.28 01365 0.0853 11.49 63.54




T,oC ρ, kg/m

3 cp, kj/kg

oC ν, m

2/s k, W/m

oC α, m

2/s

200 13144.94 0.1570 0.0802 12.34 69.08

250 13025.60 0.1357 0.0765 13.07 74.06

315.5 12847 0.134 0.0673 14.02 81.5

Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOLos valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo ba

T, K ρ, kg/m3 cP, kJ/kg

oC μ x 10

5, kg/m.s ν x 10

6, m

2/s k, W/m

oC

Aire

100 3.6010 1.0266 0.6924 1.923 0.009246

150 2.375 1.0099 1.0283 4.343 0.013735

200 1.7684 1.0061 1.3289 7.490 0.01809

250 1.4128 1.0053 1.5990 11.31 0.02227

300 1.1774 1.0057 1.8462 15.69 0.02624

350 0.9980 1.0090 2.075 20.76 0.03003

400 0.8826 1.0140 2.286 25.90 0.03365

450 0.7833 1.0207 2.484 31.71 0.03707 500 0.7048 1.0295 2.671 37.90 0.04038

550 0.6423 1.0392 2.848 44.34 0.04360

600 0.5879 1.0551 3.018 51.34 0.04659

650 0.5430 1.0635 3.177 58.51 0.04953

700 0.5030 1.0752 3.332 66.25 0.05230

750 0.4709 1.0856 3.481 73.91 0.05509

800 0.4405 1.0978 3.625 82.29 0.05779

850 0.4149 1.1095 3.765 90.75 0.06028



Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICLos valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo ba


oC μ x 10

5, kg/m.s ν x 10

6, m

2/s k, W/m

oC

900 0.3925 1.1212 3.899 99.3 0.06279

950 0.3716 1.1321 4.023 108.2 0.06525

1000 0.3524 1.1417 4.152 117.8 0.06752 1100 0.3204 1.160 4.44 138.6 0.0732

1200 0.2947 1.179 4.69 159.1 0.0782

1300 0.2707 1.197 4.93 182.1 0.0837

1400 0.2515 1.214 5.17 205.5 0.0891

1500 0.2355 1.230 5.40 229.1 0.0946

1600 0.2211 1.248 5.63 254.5 0.100

1700 0.2082 1.267 5.85 280.5 0.105

1800 0.1970 1.287 6.07 308.1 0.111

1900 0.1858 1.309 6.29 338.5 0.117

2000 0.1762 1.338 6.50 369.0 0124 2100 0.1682 1.372 6.72 399.6 0.131

2200 0.1602 1.419 6.93 432.6 0.139

2300 0.1538 1.482 7.14 464.0 0.149

2400 0.1458 1.574 7.35 504.0 0.161

2500 0.1394 1.688 7.57 543.5 0.175

Helio

T, K ρ, kg/m

3

cP, kJ/kg

o

C μ, kg/m.s ν, m

2

/s k, W/m

o

C

144 0.3379 5.200 125.5 x 10-7 37.11 x 10

-6 0.0928

200 0.2435 5.200 156.6 64.38 0.1177

255 0.1906 5.200 181.7 95.50 0.1357

366 0.13280 5.200 230.5 173.6 0.1691

477 0.10204 5.200 275.0 269.3 0.197

589 0.08282 5.200 311.3 375.8 0.225

700 0.07032 5.200 347.5 494.2 0.251



Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICLos valores de μ, k, cP y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo ba


oC μ, kg/m.s ν, m

2/s k, W/m

oC

800 0.06023 5.200 381.7 634.1 0.275

Hidrógeno

150 0.16371 12.602 5.595 x 10-6 34.18 x 10

-6 0.0981

200 0.12270 13.540 6.813 55.53 0.1282

250 0.09819 14.059 7.919 80.64 0.1561

300 0.08185 14.314 8.963 109.5 0.182

350 0.07016 14.436 9.954 141.9 0.206

400 0.06135 14.491 10.864 177.1 0.228

450 0.05462 14.499 11.779 215.6 0.251

500 0.04918 14.507 12.636 257.0 0.272

550 0.04469 14.532 13.475 301.6 0.292

600 0.04085 14.537 14.285 349.7 0.315

700 0.03492 14.574 15.89 455.1 0.351 800 0.03060 14.675 17.40 569 0.384

900 0.02723 14.821 18.78 690 0.412

Oxígeno

150 2.6190 0.9178 11.490 x 10-6

4.387 x 10-6

0.01367

200 1.9559 0.9131 14.850 7.593 0.01824

250 1.5618 0.9157 17.87 11.45 0.02259

300 1.3007 0.9203 20.63 15.86 0.02676

350 1.1133 0.9291 23.16 20.80 0.03070

400 0.9755 0.9420 25.54 26.18 0.03461

450 0.8682 0.9567 27.77 31.99 0.03828 500 0.7801 0.9722 29.91 38.34 0.04173

550 0.7696 0.9881 31.97 45.05 0.04517

Nitrógeno

200 1.7108 1.0429 12.947 x 10-6

7.568 x 10-6

0.01824

300 1.1421 1.0408 17.84 15.63 0.02620

400 0.8538 1.0459 21.98 25.74 0.03335

500 0.6824 1.0555 25.70 37.66 0.03984

600 0.5687 1.0756 29.11 51.19 0.04580



TABLAS

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 285

Tabla A-7 DIMENSIONES DE TUBERIAS DE ACERO

Tamañonominal de

tubería, pulgDE,pulg

Número decédula

Espesor dela pared,

pulgDI,

pulg

Area de lasección del

metal,pulg

2

Area de lasección

transversalinterior, pie

2

1/8 0.405 40 0.068 0.269 0.072 0.00040

80 0.095 0.215 0.093 0.000251/4 0.540 40 0.088 0.364 0.125 0.00072

80 0.119 0.302 0.157 0.000503/8 0.675 40 0.091 0.493 0.167 0.00133

80 0.126 0.423 0.217 0.00098

1/2 0.840 40 0.109 0.622 0.250 0.0021180 0.147 0.546 0.320 0.00163

3/4 1.050 40 0.113 0.824 0.333 0.00371

80 0.154 0.742 0.433 0.00300

1 1.315 40 0.133 1.049 0.494 0.00600

80 0.179 0.957 0.639 0.00499

1 1/2 1.900 40 0.145 1.610 0.799 0.01414

80 0.200 1.500 1.068 0.01225

160 0.281 1.338 1.429 0.009762 2.375 40 0.154 2.067 1.075 0.02330

80 0.218 1.939 1.477 0.02050

3 3.500 40 0.216 3.068 2.228 0.05130

80 0.300 2.900 3.016 0.04587

4 4.500 40 0.237 4.026 3.173 0.08840

80 0.337 3.826 4.407 0.7986

5 5.563 40 0.258 5.047 4.304 0.1390

80 0.375 4.813 6.122 0.1263120 0.500 4.563 7.953 0.1136

160 0.625 4.313 9.696 0.1015

6 6.625 40 0.280 6.065 5.584 0.2006

80 0.432 5.761 8.405 0.1810

10 10.75 40 0.365 10.020 11.90 0.5475

80 0.500 9.750 16.10 0.5185




⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 286

Tabla A-8 EMISIVIDAD TOTAL DE VARIAS SUPERFICIES

Superficie T,oF

Metales y sus óxidos Aluminio:

Placa muy pulida, 98.3% pureza 440-1070 0.039-0.057

Lámina comercial 212 0.09

Muy oxidado 299-940 0.20-0.31

Cubiertas de aluminio 100 0.216

Latón:

73.2% Cu, 26.7% Zn 476-674 0.028-0.031

62.4% Cu, 36.8% Zn, 0.4% Pb, 0.3% Al 494-710 0.033-0.037

82.9% Cu, 17.0% Zn 530 0.030

Muy laminado, pulido, pero dirección de pulido visible 70 0.038Placa mate 120-660 0.22

Cromo pulido 100-2000 0.08-0.36

Cobre:

Pulido 242 0.023

212 0.052

Placa calentada mucho tiempo, con capa gruesa de óxido 77 0.78

Oro, puro, muy pulido 440-1160 0.018-0.035

Hierro y acero (sin incluir inoxidable):

Acero pulido 212 0.066

Hierro pulido 800-1880 0.14-0.38Fundición, recientemente torneado 72 0.44

torneado y calentado 1620-1810 0.60-0.70

Acero dulce 450-1950 0.20-0.32

Superficies oxidadas:

Placa de hierro bañada en ácido, luego con herrumbreroja 68 0.61

Hierro, superficie gris oscura 212 0.31

Lingote rugoso de hierro 1700-2040 0.87-0.95

Lámina de acero con fuerte y áspera capa de óxido 75 0.80

Plomo:Sin oxidar, 99.9% pureza 240-440 0.057-0.075

Oxidado gris 75 0.28

Oxidado a 149ºC (300

ºF) 390 0.63

Magnesio, óxido de magnesio 530-1520 0.55-0.20

Molibdeno:

Filamento 1340-4700 0.096-0.202

En bloque pulido 212 0.071

Monel metal, oxidado a 599ºC (1110

ºF) 390-1110 0.41-0.46

Níquel:

Pulido 212 0.072Oxido de níquel 1200-2290 0.59-0.86

Níquel, aleaciones:

Cobre níquel pulido 212 0.059

Nicrom, hilo, brillante 120-1830 0.65-0.79

Nicrom, hilo, oxidado 120-930 0.95-0.98

Platino, placa pulida, puro 440-1160 0.054-0.104



TABLAS

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 287

Superficie T,oF

Plata:

Pulida pura 440-1160 0.020-0.032

Pulida 100-200 0.022-0.031

Aceros inoxidables:Pulidos 212 0.074

Tipo 301:B 450-1725 0.54-0.63

Estaño, hierro estañado brillante 76 0.043-0.064

Woframio, filamento 6000 0.39

Cinc, lámina de hierro galvanizada, bastante brillante 82 0.23

Refractarios, materiales de construcción, pinturas y miscelánea Alúmina(85-99.5%, Al2O3, 0-12% SiO2, 0-1% Ge2O3): efecto tamaño medio grano (μm)

10 μm 0.30-0.18

50 μm 0.39-0.28100 μm 0.50-0.40

Asbesto, plancha 74 0.96

Ladrillo:

Rojo, basto pero sin grandes irregularidades 70 0.93

Refractario 1832 0.75

Carbono:

T-carbono (Gebrüder Siemens) 0.9% cenizas, comienzacon emisividad 0.72 a 127

ºC pero al calentar cambia a los

valores dados 260-1160 0.81-0.79

Filamento 1900-2560 0.526Placa rugosa 212-608 0.77

Negro de humo, depósito rugoso 212-932 0.84-0.78

Baldosas de hormigón 1832 0.63

Esmalte, fundido blanco, sobre hierro 66 0.90

Vidrio:

Liso 72 0.94

Pyrex, plomo y sodio 500-1000 0.95-0.85

Pinturas, lacas barnices:

Barniz esmalte blanco nieve sobre placa rugosa de hierro 73 0.906

Laca negra brillante, pulverizada sobre hierro 76 0.875Laca negra brillante sobre lámina de hierro estañado 70 0.821

Laca negra mate 170-295 0.91

Laca blanca o negra 100-200 0.80-0.95

Laca negra lisa 100-200 0.96-0.98

Pinturas y lacas de aluminio:

10% Al, 22% laca, sobre superficie lisa o rugosa 212 0.52

Otras pinturas Al, con distinta antigüedad y contenido de Al 212 0.27-0.67

Porcelana, vidriada 72 0.92

Cuarzo, rugoso, fundido 70 0.93Cartón para tejados 69 0.91

Caucho, duro, placa brillante 74 0.94

Agua 32-212 0.95-0.963

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