Advanced Robotic Lab, Chulalongkorn University

Design and Analysis of Controllers with Root-Locus

Dr. Viboon Sangveraphunsiri

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityRoot-Locus Design and Analysis

)2s)(1s(

)21s(2

2s3s1s2)s(G 2

Example

)2s)(1s(2s3s)s(a

)21s(21s2)s(b

2

( )( )

b sG(s)a s

=

2s3

1s1)s(G

0t00t 3ee-)t(g

t 2-t

zeros

poles

Pole and Zero of the Transfer Function

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityS-Plane

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

itySecond Order System

2nn

2

2n

s2s)s(G

j1s

j1s2

nn2

2nn1

dn 21

n

n

cos

))tsin(1

)t(cos(e1K1 =)t(x d2d

t n

0)(t 1tantsin1e1

K1)t(x

21

d2

t n

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityClose-loop and Open-loop Transfer Function

( )( )( ) 1 ( )H(s)

A P

A P

K K G sY sR s K K G s

=+

1 ( ) ( ) 0A PK K G s H s+ =

( )( ) ( )

( )o A P A P

N sG K K G s H s K K

D s= =

Close-loop Transfer Function

Close-loop Characteristic Equation

Open-loop Transfer Function

11 1

( ) m mm m

N s s b s b s b--= + + + +

1 2( )( ) ( )

ms z s z s z= - - -

1

( )m

ii

s z=

= -

1 21 2 1

1 2

1

( )

= (s-p )( ) ( )

= ( )

n n nn n

nn

ii

D s s a s a s a s a

s p s p

s p

- --

=

= + + + + +- -

-

1 ( ) ( ) 0KG s H s + =

1( ) ( )G s H s

K=-

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample of Root-Locus Concept

1( )

( 1)G s

s s=

+1

1( 1)

Ks s

++

2

1

( ) 1

( ) = s

= 0,-1

A

i

K

N s

D s s

p

==

+

2 0s s K+ + =

1,2

1 1 42 2

Ks

-=-

Close-loop Characteristic Equation

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample: Locus of roots

3 2

1( )

( 9 28 40)

sG s

s s s s

+=

+ + +G(s)K

R(s) Y(s)+

-

พลานต์ หรือ systemตัวควบคุม

H(s)=1

Open-loop transfer function

3 2

( 1)( )

( 9 28 40) ( 1)cl

K sG s

s s s s K s

+=

+ + + + +

4 3 2

( 1)( )

9 28 (40 )cl

K sG s

s s s K s K

+=

+ + + + +

Closed-loop characteristic equation

Closed-loop transfer function =

4 3 29 28 (40 ) 0s s s K s K+ + + + + =

If we vary gain K, the poles of the closed-loop system will be changed

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ity

Closed-loop characteristic equation 4 3 29 28 (40 ) 0s s s K s K+ + + + + =

If we vary gain K, the poles of the closed-loop system will be changed

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

itySketching A Root-Locus

1 ( ) 0KG s+ =

( ) 1 KG s =-

Close-loop Characteristic Equation

Magnitude Criteria ( ) = 1KG s

Angular Criteria G(s) = 180 * 360 ; 0,1, 2, 3,...L L =

G(s) = - 180 * 360 ; 0,1, 2, 3,...L L =

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample: Angular Criteria

( ) ( )2

( 1)( )

2 4 5

sG s

s s s

+=

æ ö÷ç + + +÷ç ÷è ø

1 1 2 3 4( )

90 116.6 0 76 26.6

129.2

G s f y y y y = - - - -= - - - -= -

6 point 1 2At s i=- +

61s +

6( 2 2 )s i- - +

6( 2 2 )s i- - -

6( 5)s - - 6

(0)s -( ) ( )

66 2

6 6 6

( 1)( )

2 4 5

sG s

s s s

+= æ ö÷ç + + +÷ç ÷è ø

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityGuideline For Sketching A Root-Locus

( )21

( ) 4 16

G ss s

=æ ö÷ç + + ÷ç ÷è ø

Example

ขัน้ตอนที่ 1 กาํหนดตําแหน่งโพล ( poles) และซโีร (Zeros) ของสมการฟงักช์นัถ่ายโอนของระบบเปิด ลงบนระนาบ s โดยทัว่ไปแลว้จะใชเ้ครือ่งหมาย o แทนตําแหน่งของซโีรและ x แทนตําแหน่งของโพล ตําแหน่งโพลและซโีรนี้จะเรยีกวา่โพลระบบเปิด ( open-loop poles) และซโีรระบบเปิด (open-loop zero)ตามลาํดบั จาํนวนของเสน้รตูโลกสัจะเทา่กบัจาํนวนของโพลของสมการฟงักช์นัถ่ายโอนของระบบเปิด (open-loop transfer function) เสน้โลกสัจะวิง่ออกจากโพลไปหาซโีรเสมอ และคา่อตัราขยาย K ตรงตําแหน่งโพลระบบเปิดจะมคีา่เป็นศนูย ์

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityGuideline For Sketching A Root-Locus

ขัน้ตอนที่ 2 เสน้รตูโลกสัของราก (root) ทีอ่ยูบ่นแกนจรงิของระนาบ s จะมเีฉพาะดา้นซา้ยมอืของลาํดบัที่ของโพลและลาํดบัทีข่องซโีรซึง่รวมกนัเป็นเลขคี ่ จากตวัอยา่งทีก่าํหนดนัน้ จะเหน็วา่สมการฟงักช์นัถ่ายโอนของระบบเปิดจะมคีา่โพลทีอ่ยูบ่นแกนจรงิเพยีงตวัเดยีวคอืที ่s=0 ดงันัน้เสน้รตูโลกสัจะอยูบ่นแกนจรงิ ทางดา้นซา้ยมอืของโพลตวัทีเ่ป็นเลขคีห่รอืตวัทีห่นึ่ง ซึง่กค็อืที ่s=0

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityGuideline For Sketching A Root-Locus

ขัน้ตอนที่ 3 หาเสน้กํากบั (asymptotes) ของรูตโลกสั เสน้กํากบัก็คือแนวเสน้ที่เมื่อค่าอตัราขยาย K มคี่ามากขึ้นแลว้ เสน้รูตโลกสันัน้จะวิ่งเข้าหาเสน้กํากบันี้ การคํานวณหาคุณสมบตัิของเสน้กํากบันี้ สามารถคํานวณหาได้จากสมการลกัษณะเฉพาะดงันี้คือ

1 ( ) 0KG s+ = ( ) 1 0

( )N s

KD s

+ =

1 ( ) ( ) 0KG s KG s+ @ = ( )( ) 0

( )N s

G sD s

= = ( ) 0N s =1

1 0( )n m

Ks a -

+ =+

( ) 180 * 360 ; l=0,1,2, ,n-m-1l

n m lj- =

180 * 360l

ln m

j

=-

l

j = มุมที่เส้นกํากับทํากับแกนจริงของระนาบ s

i ji j

p z

n ma

-=

-

å å = จุดตัดของเส้นกํากับ กับแกนจริงของระนาบ s i

p = ค่าของโพล j

z = ค่าของซีโร

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample Asymptote

(180 * 360 )60, 180, 300

3l

lf

= =

8 02.67

3a

- -= =-

( )21

( ) 4 16

G ss s

=æ ö÷ç + + ÷ç ÷è ø

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample: Angle of Departure

ขัน้ตอนที่ 4 Angle of Departure

1 2 3

180 360lf f f+ + = ´

2

2

90 135 180 360

45

ff

- - - = -=-

1f มมุระหว่าง so กบัโพล s 4 4j=- - มคี่าเท่ากบั -90 องศา 2f มมุระหว่าง so กบัโพล s 4 4j=- + มคี่าเท่ากบั 2f- องศา 3f มมุระหว่าง so กบัโพล s 0= มคี่าเท่ากบั -135 องศา

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityAngle of Arrival

Angle of Arrival เป็นมุมที่วดัที่ตรงตาํแหน่งของ zero โดยที่มุมangle of arrival นี้แป็นมุมที่เส้นรูตโลกสัจะวิง่เขา้หา zero

2

2

6 18( )

2 2

s sG s

s s

+ +=

+ +

ขั้นตอนการหามุม angle of arrival ทาํไดเ้ช่นเดียวกบั angle of departureกล่าวคือ กาํหนดจุดใกลก้บั zero ที่เรากาํลงัสนใจ แลว้ใช ้angular criteria ใน

การหามุมดงักล่าว

( )( )( )( )

3 3 3 3( )

1 1

s j s jG s

s j s j

+ + + -=

+ + + -

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample: locus intersect the Imaginary axis

ขัน้ตอนที่ห้า หาจดุตดัของเส้นรตูโลกสักบัแกนจินตภาพ

3 28 32 0s s s K+ + + =

3

2

1

0

1 32

8

8 * 320

8

sKs

Ks

s K

-

> 0K

8 * 32 > 0

8K-

< 256K

( )21

1 02 16

Ks s

+ =æ ö÷ç + + ÷ç ÷è ø

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample: Breakaway point

ขัน้ตอนที่ 6 หาจดุแตกออก หรอื Breakaway point

= 0dKds

1( )

= 0

dG s

ds

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø 3 2

1( ) =

s 8 32G s

s s+ +

1( )

= 0

dG s

ds

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø 23 16 32 0s s+ + = 02.67 1.89 , 2.67 1.89s j j=- + - -

จะเหน็วา่คา่ s ทีห่าไดจ้ากการแกส้มการขา้งตน้นัน้เป็นคา่ Complex ซึง่เป็นไปไมไ่ด ้เนือ่งจากคา่ s ทีห่าไดน้ัน้จะตอ้งอยูบ่นแกนจรงิ (Real Axis) ดงันัน้ตวัอยา่งนี้จงึไมม่จีดุ Breakaway point (สามารถดไูดจ้ากรปูรตูโลกสัขา้งตน้)

Breakaway point คือจุดที่เส้นรูตโลกสัแยกสองเส้นที่มาจา Pole 2 ตวัที่อยูบ่นแกนจริง (Real Axis) มาชนกนัและแยกออก

จากแกนจริง จะเห็นวา่ค่าเกน K ที่ตรงตาํแหน่งนี้จะมีค่ามากที่สุดเมื่อเทียบกบัค่าเกนของ pole อื่น ๆ ที่อยูบ่นแกนจริงของเส้นโลกสั

นี้ ดงันั้นจุด Breakaway point นี้สามารถหาไดโ้ดยหาค่า s ที่ทาํใหค้่าเกน K มีค่ามากที่สุดดงันี้

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample

1.5 1 0

( 1)( 2)s

Ks s s

++ =

+ +

( 1)( 2)1.5

0

s s sd

s

ds

æ ö+ + ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç +è ø=

2 3 2(3 6 2)( 1.5) ( 3 2 ) 0s s s s s s+ + + - + + =

Solve s which satisfies this equation

( ) 1.5 G s

( 1)( 2)s

s s s+

=+ +

Closed-loop Characteristic Equation

Find the breakaway point

-1.6027 + 0.4309i, -1.6027 - 0.4309i, -0.5446

So, breakaway point = -0.5446

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ity s -0.3 -0.4 -0.5 -0.542 -0.6 -0.7 K 0.298 0.349 0.375 0.378 0.373 0.341

( 1)( 2)1.5

s s sK

s+ +

=-+

Find the Breakaway point by numerical table

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityBreak-In Point

Break-In point คือจุดที่เส้นโลกสั 2 เส้นวิง่มาบรรจบหรือพบกนับนเส้นแกนจริงและจะวิง่แยกออกจากกนัออกไปตามบน

เส้นแกนจริง ซึ่งค่าเกนที่ตรงตาํแหน่ง Break-In point นี้จะเป็นมีค่านอ้ยที่สุดเมื่อเทียบกบัค่าเกนของรูตอื่น ๆ ที่อยูบ่นแกน

จริงนั้น

( ) ( 3)( 1)s

G ss s

+=

+ตวัอย่าง

Closed-loop Characteristic Equation ( ) ( 3)1 1 0

( 1)s

KG s Ks s

++ = + =

+

= 0dKds

1( )

= 0

dG s

ds

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

( )( )

2

22

( 1)6 3( 3)

= 0 01

s sd s ss

ds s s

æ ö+ ÷ç ÷-ç ÷ç - + +÷ç +è ø =

+

0.5505, 5.4495s =- -

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityBreak-In Point

0.5505, 5.4495s =- -

s 0.5505 = breakaway point=-

s 5.4495 = Break-In point=-

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityBreakaway and break-in points

1 1

1 1m n

i iz ps s

=+ +å å

( ) 1.5 G s

( 1)( 2)s

s s s+

=+ +

2

3 2

3 2

4 3 2

1 1 1 11.5 1 2

1 2 6 21.5 3 2

2 7.5 9 30

4.5 6.5 3

s s s ss s

s s s ss s s

s s s s

= + ++ + +

+ +=

+ + ++ + +

=+ + +

3 22 7.5 9 3 0

0.5446, 1.6027 0.4309i

s s ss

+ + + == - -

0.5446s =-

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityBreakaway and break-in points

1 1

1 1m n

i iz ps s

=+ +å å

( ) ( 3)( 1)s

G ss s

+=

+

2

2

3 2

1 1 13 1

1 2 13

6 30

4 3

s s ss

s s ss s

s s s

= ++ +

+=

+ ++ +

=+ +

3 6 3 0

5.4495, 0.5505

s ss

+ + ==- -

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityGraphical Method for Gain Evaluation from Root-Locus

1 ( ) 0KG s+ =

1( )

KG s

=-1

( )

KG s

=-

( )21

( ) 4 16

G ss s

=æ ö÷ç + + ÷ç ÷è ø

00 1 0 2 0 3

1( )

( )( )( )G s

s s s s s s=

- - -

0 0 2 0 3

0

1

( )K s s s s s

G s= = - -

Close-Loop CHE

Example

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExercise 5.2

( 3)( )

( 2)K s

G ss s

+=

+

ใหห้าคา่อตัราขยาย K ทีท่าํใหร้ะบบควบคมุแบบปิดทีใ่ชต้วัควบคุมเชงิสดัสว่น (proportional control) นี้มคีา่อตัราสว่นการหน่วง (damping ratio) เทา่กบั 0.9 และมคีา่คงตวัทางเวลา (time constant) มากทีส่ดุ (น้อยทีส่ดุ)

Closed-loop Characteristic Equation

2( 3)1 0 (2 ) 3 0

( 2)K s

s K s Ks s

++ = + + + =

+

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Desired Location

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExercise 5.2 cont’

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Desired Location

|s+3| |s+0||s+2|

K = 0.8018, pole = -1.4009 + 0.6655i, -1.4009 - 0.6655i2

3

s sK

s

+=

+

( )( )

( ) 22

3( ) ( ) ( 3) 0.8( 3)( ) 1 ( ) 2.8 2.4( 2) 3 2 3

K sC s G s K s sR s G s s ss s K s s K s K

++ += = = =

+ + ++ + + + + +

roots of s2 + 2.8s + 2.4 = -1.4009 + 0.6655i, -1.4009 - 0.6655i

2 2

( ) 0.8 2.4( ) 2.8 2.4 2.8 2.4

C s sR s s s s s

= ++ + + +

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample

( )( 2)( 4)( 6)

KG s

s s s=

+ + +

a) Sketch the root locusb) Using a second-order approximation, design the value of K to

yield 10% overshoot for a unit-step inputc) Estimate the setting time, peak time, rise time, and steady-state

error for the value of K designed in (b)d) Determine the validity of your second-order approximation

1.8r

n

tw

=p

d

tpw

= 2-

1- pM e

xp

x=

4 44 for 2%

sn

t ts xw

= = =

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample

0.5912x =

2.76, 3.43d n

w w= =

1.80.5248

rn

tw

= =

1.1383p

d

tpw

= =

41.9726

sn

txw

= =

45.1K =

0 0

1 1 1lim ( ) lim

1 ( ) 1 (0)1

0.51561 45.1 / (2 4 6)

ss s se sE s s

KG s s KG = = =

+ +

= =+ ´ ´

Adv

ance

d R

obot

ic L

ab, C

hula

long

korn

Uni

vers

ityExample