Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Seminar 1a

Fazni diagram trdih delcev

Anja Bregar Mentor:Prof. Primoz Ziherl

28. april 2014

Povzetek

V seminarju pregledno predstavimo znacilne ureditve delcev razlicnih pravilnih oblik zmedsebojno interakcijo trde sredice. Opisane so faze nekaterih oblih delcev: krogel, sfero-idov, sferocilindrov in prirezanih krogel. Od oglatih delcev so predstavljeni kocka, kvader,tetraeder in znacilnosti ostalih poliedrov. Najdemo razlicne kristalne, tekocekristalne inplasticnokristalne ureditve.

KAZALO 1 UVOD

Kazalo

1 Uvod 1

2 Obli delci 22.1 Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Sferoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Sferocilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Oglati delci 43.1 Kvader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Eksperiment 9

5 Zakljucek 10

Literatura 11

1 Uvod

Model trdih delcev je uporaben za opis vseh sistemov, v katerih lahko interakcijo med gradnikiaproksimiramo le z odbojnim delom [1]. Postavlja se vprasanje, zakaj bi taki delci sploh urediliv kakrsno koli urejeno strukturo. Fazni prehod v tem primeru zene entropija, ki se ob ureditvi(kontraintuitivno) poveca [2]. Klasicen primer je ureditev trdih palicic v tekoci kristal pridovolj velikem polnilnem razmerju: orientacijsko urejanje entropijo sicer zmanjsa, vendar imapalicica v nematski fazi vecjo translacijsko svobodo in zato sistem svojo skupno entropijo(stevilo moznih stanj) poveca.

Prehod v urejeno fazo lahko razlozimo tudi prek prostega volumna Vpr. Predstavljamo si,da se okrogel delec lahko giblje le znotraj kletke, sestavljene iz sosednjih delcev. V najnizjemredu lahko prosto energijo sistema v tekoci fazi zapisemo kot

F = F id + F ′ = F id − kBT lnZn(V, T )

V N≈ F id −NkBT ln

VprV, (1)

F = F id + F ′ = −NkBT lnV − kBT lnZn(V, T )

V N≈ −NkBT lnV −NkBT ln

VprV, (2)

kjer je F id = −NkBT lnV prosta energija idealnega plina, F ′ dodatek zaradi neidealnostisistema, N stevilo delcev, ZN pa konfiguracijski integral: ZN =

∫exp[−βVN (rN )]drN , ki smo

ga v prvem redu aproksimirali z V Npr . Za opis sistema je torej eden od pomembnih parametrov

prosti volumen Vpr: vecji kot je, nizja je prosta energija. Pri nekem tlaku postane za delceurejena struktura ugodnejsa od izotropne, saj nudi vecji prosti volumen.

V limiti neskoncnega tlaka je v prosti entalpiji G = pV − ST pomemben le clen pV . Povenam, da bo pri visokem tlaku stabilno najgostejse stanje, ki zavzema najmanjso prostornino[1].

Seminar je sestavljen iz treh delov. Najvecji del sestavljajo opisi faznih diagramov razlicnihoblih in oglatih delcev, dobljeni iz numericnih Monte Carlo (MC) simulacij. Nato predstavimo

1

2 OBLI DELCI

nekaj eksperimentov z urejanjem trdih delcev, v zakljucku pa se enkrat s sliko pokazemoznacilne faze nekaterih izbranih delcev.

Se opomba. Nekajkrat (prim. [2, 3, 4]) so clanki navajali razlicne rezultate za sistemerazlicnih velikosti; tu smo navedli le rezultate vecjih sistemov, ki jih privzamemo za boljpravilne.

2 Obli delci

2.1 Krogla

Zacnimo z okroglimi delci. Njihov fazni diagram je prikazan na sliki 1. Pri nizkem polnilnemrazmerju (Φ < 0.494) trde krogle tvorijo neurejeno redko tekocino. Pri Φ = 0.494 ima sistemfazni prehod 1. reda v trdnino, odpreta pa se dve moznosti: ce je stiskanje hitro, bo sistemostal neurejen z najvecjim moznim polnilnim razmerjem Φ ≈ 0.64 (angl. random close packing,RCP). To stanje je v Monte Carlo simulacijah metastabilno. Stabilni del faznega diagramapredstavlja veja, ki se odcepi od tekoce pri pocasnem stiskanju. Med 0.494 ≤ Φ ≤ 0.545 bostatekoca in trdna faza soobstajali (vodoravni del diagrama na sliki 1). Od Φ = 0.545 naprej vejaopisuje trdno in urejeno fazo in divergira proti Φ = π/

√18 ≈ 0.7405 – polnilnem razmerju

ploskovno centrirane kubicne mreze (angl. face centered cubic, FCC) [5].

Slika 1: Fazni diagram trdih krogel – odvisnost tlaka od polnilnega razmerja. Pri hitremstiskanju se tvori stanje brez orientacijskega ali pozicijskega reda, pri pocasnem pa ploskovnocentrirani kubicni kristal [5].

2.2 Sferoid

Sferoid oz. rotacijsko simetricni elipsoid opisemo z enacbo

z2

a2+x2 + y2

b2= 1. (3)

Oblika faznega diagrama je odvisna od razmerja sferoidovih polosi x = a/b. Pri x < 1 jesferoid sploscen, x = 1 velja za kroglo, x > 1 pa opise podolgovat sferoid. Veliko lahko o faznemdiagramu povemo ze z upostevanjem limitnih vrednosti. Ko gre x → ∞ (”pletilke”), lahkopri razredcenih tekocinah [ρa2b = O(1)] uporabimo rezultat Onsagerjevega modela za tankesferocilindre: tekocina trdih pletilk ima fazni prehod 1. reda v nematsko fazo [6]. Podoben

2

2.2 Sferoid 2 OBLI DELCI

fazni prehod lahko iz simulacij ugotovimo za x→ 0 (”krozniki”). Po drugi strani pa iz faznegadiagrama krogle vemo, da pri x ≈ 1 nematske faze ni, stabilna je le kristalna faza.

Tocneje nam fazni diagram v odvisnosti od x in reducirane gostote ρ∗ podaja slika 2.Opazimo, da je glede na x = 1 priblizno simetricen, pri istem tlaku se ρ∗(x) in ρ∗(1/x)razlikujeta za najvec 7% [7]. Pri nizkih reduciranih gostotah je stanje sistema neurejenatekocina. Pri visjih reduciranih gostotah in 0.8 ≤ x ≤ 1.25 se tekocina uredi v plasticni kristal,to je v orientacijsko neurejen kristal. Za x ≥ 2.75 in x ≤ 1/2.75 se poleg trdne in izotropnepojavi nematska faza.

Pri velikih reduciranih gostotah je sistem urejen tako pozicijsko kot orientacijsko (trdnafaza). Za x < 2 se uredi ploskovno centrirano kubicno strukturo, pri priblizno x = 2 pa tastruktura preide v konfiguracijo, imenovano SM2 in prikazano na sliki 2b [3]. Njena osnovnacelica je monoklinska, v njej pa sta dva elipsoida (slika 3). Medtem ko sta bila prava kotamonoklinske osnovne celice v simulaciji stabilna, se je njen nagib (kot β) gibal med 105◦ ≤β ≤ 150◦, kar kaze na majhen strizni modul v tej smeri.

(a) (b)

Slika 2: (a) Fazni diagram elipsoidov je priblizno simetricen glede na x = a/b = 1. Reduciranagostota ρ∗ je gostota N/V (N je stevilo delcev in V prostornina rezervoarja), podana v enotah(8ab2)−1. Ko je ρ∗ = 1, je sistem urejen v preprosto kubicno mrezo, vecji ρ∗ predstavljagostejse sklade. Oznake na sliki: S, trdnina; PS, plasticni kristal; N, nematska in I, izotropnafaza [6]. (b) Povecava faznega diagrama elipsoidov za razmerja 1 ≤ a/b ≤ 6. Kolicina ρ jereducirana gostota, definirana enako kot pri (a) [3].

Slika 3: K razlagi faze SM2 pri elipsoidih. Slika a) kaze polozaj elipsoidov znotraj monoklinskeosnovne celice, na delu b) pa je oznacen nagib β te celice [3].

3

2.3 Sferocilinder 3 OGLATI DELCI

2.3 Sferocilinder

Sferocilinder je valj visine L in premera D, zakljucen s polkroglama na vsaki od osnovnihploskev. Njegovo obliko dolocimo s kvocientom L/D. Sferocilinder z L/D = 0 je krogla.

Pri razmerjih L/D ≤ 0.35 so sferocilindri se precej okrogli; podobno kot pri elipsoidih zx ≈ 1 se tudi tu izotropna tekocina z vecanjem reducirane gostote uredi najprej v plasticnikristal, nato pa prek faznega prehoda 1. reda v ploskovno centrirano kubicno strukturo.Pri L/D = 3.1 se med izotropno in trdno fazo pojavi smekticno stanje, ki pri podolgovatihelipsoidih ni bilo opazeno. Od elipsoidov se razlikuje tudi obnasanje trdnine pri velikih L/D,kjer se za L/D ≥ 7 sferocilindri zlagajo v strukturo AAA (slika 4b). Nematska faza postanestabilna pri L/D = 3.7, fazni prehod med nematsko in izotropno fazo za velike L/D slediOnsagerjevi limiti [8].

(a)

(b)

Slika 4: (a) Fazni diagram sferocilindrov v odvisnosti od reducirane gostote ρ∗ in od razmerjaL/D. Reducirana gostota je v tem primeru ρ∗ = ρ/ρcp, kjer je ρcp = 2/(

√2+L/D

√3) polnilno

razmerje najgostejsega pravilnega sklada sferocilindrov. Oznake: I, izotropna faza; P, plasticnikristal; ABC, ploskovno centrirana kubicna faza; AAA, faza AAA; Sm, smektik in N, nematik[8]. (b) V fazi AAA (levo) so sferocilindri zlozeni v ravnine, postavljene tocno ena nad drugo,v ABC (desno) pa so nekoliko zamaknjene in tvorijo strukturo ploskovno centrirano kubicnomrezo [8].

3 Oglati delci

3.1 Kvader

Obravnavajmo fazna stanja kvadra s stranicami a, b = a in c. Uvedimo podolgovatost kvadrakot r = c/a.

Zacnimo z r = 1, kocko (slika 5a). Pri polnilnih razmerjih, nizjih od η = 0.45, tvorijoizotropno tekocino, pri visokih (η > 0.65) pa se uredijo v enostavno kubicno (ang. simplecubic) mrezo, ki pri η = 1 zapolni ves prostor [9]. Pri vmesnih polnilnih razmerjih tekocinain kristal koeksistirata. Tudi v koeksistencni fazi lahko prepoznamo neko urejenost, in sicerkubaticno [12].

Fazni diagram kvadrov je prikazan na sliki 5b. Pri nizkih polnilnih razmerjih Φ imamo kotvedno izotropno, pri visokih pa trdno fazo. Ploski kvadri (r ≈ 0.1) se obnasajo kvalitativno

4

3.2 Tetraeder 3 OGLATI DELCI

podobno kot prirezane krogle z malim L/D: iz izotropne faze preidejo v nematsko, nato vkolumnarno in koncno v trdno stanje. Za r okoli 0.5 je znacilna smekticna faza. Prehoda mednematskim in smekticnim tekocim kristalom ni za noben r. Pri vrednostih r med 0.6 < r < 3.2se v faznem diagramu pojavi faza po imenu ”parket”(angl. parquet), ki je sorodna kubaticni inza katero so znacilni skupki delcev, pravokotnih drug na drugega. Prikazana je na sliki 5c. Zar > 3.5 sta v faznem diagramu med trdno in izotropno fazo uklesceni smekticna+ (za polnilnarazmerja 0.55 < Φ < 0.65) in smekticna faza (za Φ okoli 0.5). V obeh so kvadri urejeni v plasti,vendar so v smekticni fazi bolj vrtljivi okoli svojih dolgih osi [10]. Fazi si lahko ogledamo nasliki 6.

(a) (b)(c)

Slika 5: (a) Fazna stanja kocke v odvisnosti od polnilnega razmerja η [9]. (b) Fazni diagramkvadra – odvisnost polnilnega razmerja Φ od razmerja dolzine proti sirini kvadra r [10]. (c)Slika parketne faze [10].

3.2 Tetraeder

Fazni diagram tetraedra ne vsebuje tekocekristalnih faz. Za tetraeder so znacilna zaple- tenatrdna stanja: dimerna faza, kvazikristal in kvazikristalni aproksimant [1]. Predstavljena sona sliki 7. Najgostejse do sedaj znano pakiranje tetraedrov s polnilnim razmerjem 85.63%sestavljajo dimeri. Dimerna faza je stabilna pri visokem tlaku in polnilnih razmerjih (η > 0.84),v simulacijah pa jo lahko opazujemo le, ce je podana kot zacetni pogoj za razsirjanje alistiskanje (ne tvori se sama iz tekoce ali katere koli druge faze). Iz izotropne faze se ob ustreznihpogojih pri stiskanju in polnilnih razmerjih okoli 0.5 tvori kvazikristal: urejena, a neperiodicnastruktura. Znacilno za kvazikristale je, da pri Braggovem sipanju njihovi sipalni vzorci nimajotri-, stiri-, ali seststevne simetrije. Kvazikristalno polnjenje tetraedrov ima 12-stevno simetrijo,ki ni zdruzljiva s periodicnostjo. Polnjenje s kvazikristalnim aproksimantom je lokalno podobnokvazikristalnemu, le da je periodicno. Od kvazikristalnega je stabilnejse in gostejse [2]. Teugotovitve so pojasnjene se s sliko 8.

3.3 Poliedri

Ker bi bila podrobnejsa obravnava faznega diagrama vseh poliedrov gotovo preobsezna, seosredotocimo na tiste znacilnosti njihove oblike, ki so relevantne za faze, ki jih tvorijo. Dve odnjih sta anizotropija in simetricnost poliedra. V ta namen definirajmo nekaj kolicin.

Primerno merilo za anizotropijo je asfericnost A. To je razmerje med radijema telesuocrtane in vcrtane krogle. Za kroglo je A = 1, za npr. kocko pa je A enak 1.732. Cim vecja

5

3.3 Poliedri 3 OGLATI DELCI

Slika 6: (a) Sliki smekticne faze (zgoraj: pogled od strani, spodaj: pogled od zgoraj). (b) Slikismekticne+ faze (zgoraj: pogled od strani, spodaj: pogled od zgoraj). Pri smekticni+ faziopazimo vecjo orientacijsko urejenost glede na dolgo os kvadra. Oboje povzeto po [10].

Slika 7: (a) (zgoraj) Osnovna celica najgostejsega pakiranja tetraedrov, ki vsebuje dva dimera(zelenega in modrega), vsakega pa sestavljata dva tetraedra. (b) Kvazikristalno polnjenje jesestavljeno iz stolpov, ki jih tvorijo obroci dvanajstih tetraedrov (na sliki rdecih) z vmesnimipetstranimi dipiramidami (zelene). (c) Kvazikristalna struktura, gledana vzdolz 12-stevnesimetrijske osi. Oglisca modrih veckotnikov predstavljajo tezisca tetraedrov, oglisca (neperi-odicne) rumene mreze pa povezujejo centre stolpov s skice na levi. V sliko je vlozen difrakcij-ski vzorec, na katerem je razvidna 12-stevna simetrija. (d) Stranski pogled na kvazikristalnostrukturo. (e) Struktura kvazikristalnega aproksimanta. Tvorijo ga isti stolpi kot kvazikristal,vmesno pakiranje pa sestavljajo (na skici modri) dodatni tetraedri [1, 2].

je asfericnost, tem bolj je telo anizotropno. Kot kriterij za simetricnost vzemimo kolicinoq = 1−

∑i<j(λ

2i −λ2j )2/(

∑i λ

2i )

2, kjer so λi lastne vrednosti tenzorja vztrajnostnega momenta.Ta je tako za kocko kot kroglo enak 1, v splosnem pa q ≤ 1, in cim manjsi kot je, tem manjsimetricno je telo. Za opis bomo potrebovali se koordinacijsko stevilo CNf , ki nam pove nekajo lokalni urejenosti poliedrov, in izoperimetricni kvocient IQ = 36πV 2/S3, kjer sta V in Sprostornina in povrsina poliedra.

Ker vemo, da so pri nizkih polnilnih razmerjih vsi poliedri v izotropnem stanju, pri visokihpa v trdnini, nas bo zanimalo predvsem, ali se uredijo v kaksne vmesne faze (mezofaze), in

6

3.3 Poliedri 3 OGLATI DELCI

Slika 8: Shematski fazni diagram tetraedra. Na levi so stanja z nizkim, proti desni z visokimpolnilnim razmerjem. V srednji vrsti so termodinamsko najbolj stabilna stanja, zgoraj stanja,ki se tvorijo pri razsiritvi in spodaj pri stiskanju. Najstabilnejsa stanja so izotropno pri niz-kih polnilnih razmerjih, priblizek kvazikristala pri polnilnih razmerjih, vecjih od η = 0.5, indimerno stanje pri zelo visokih polnilnih razmerjih (η > 0.84). Pri stiskanju iz tekocine do-bimo kvazikristalno urejeno stanje. Ce je tvorba kvazikristala zatrta (oz. stiskanje prehitro),dobimo neurejeno trdno fazo (steklo). Pri razsirjanju prehajamo cez razlicna stanja tristranihbipiramid (dimer III, II in I) nazaj v tekocino [1].

ce se, v katere (slika 9a). Mezofaze v grobem delimo na tekocekristalne in rotatorske (pla-sticnokristalne). V clanku [12] sta Agarwal in Escobedo preucevala sest pravilnih konveksnihpoliedrov, ki lahko dosezejo polnilno razmerje η = 1, namrec prirezane oktaedre, rombicnedodekaedre, sest- in tristrane prizme, kocke in girobifastigije. Zakljucila sta, da bodo rela-tivno izotropna in simetricna telesa oblikovala rotatorske mezofaze, medtem ko telesa z visokoanizotropijo in nizko simetricnostjo mezofaz ne bodo imela. Tekocekristalne faze bodo tvorilipoliedri, ki so anizotropni glede na le eno smer (npr. zelo visoke ali nizke prizme), ali pavisoko simetricni poliedri s srednjimi vrednostmi anizotropije. Ti bodo tvorili zapletenejsetekocekristalne faze, kot je npr. v tem seminarju ze veckrat omenjena kubaticna.

S sliko 9a so Damasceno, Engel in Glotzer pokazali [11], da lahko relativno dobro napovemo,kaksno mezofazo bo tvoril polieder, ce poznamo njegov izoperimetricni kvocient ter koordi-nacijsko stevilo. Za Monte Carlo simulacijo so odbrali skupine visoko simetricnih poliedrov:Platonska, Arhimedska, Catalanova in Johnsonova telesa ter nekaj pravilnih mnogostranihprizem. Opazovali so, v kaksno fazo se poliedri uredijo pri stiskanju iz tekocine pri polnil-nih razmerjih med 0.49 in 0.63. Od 145 preiskanih poliedrov se jih v tem obmocju polnilnihrazmerij ni uredilo le 44 (”stekla”), ostali pa so se strdili v tekocekristalno, kristalno ali pla-sticnokristalno fazo. Razmerje med razlicnimi fazami je prikazano na sliki 10. Ce obarvanapodrocja na sliki 9a strogo razmejimo, dobimo pravilno mezofazo za kar 94% preucevanihpoliedrov.

7

3.3 Poliedri 3 OGLATI DELCI

(a) (b)

Slika 9: (a) Diagram moznih mezofaznih stanj med trdno in anizotropno fazo [12]. (b) Od-visnost koordinacijskega stevila CNf v gosti tekocini od izoperimetricnega kvocienta IQ zazgoscena stanja 145 poliedrov. V grobem lahko stanja poliedrov razdelimo v tri skupine: tekocikristali, kristali in plasticni kristali [11].

Slika 10: Urejene faze 145 poliedrov, ki so jih preiskovali Damasceno, Engel in Glotzer. Razlicnirazredi urejenosti so nakazani z razlicnimi barvami: tekoci kristali – roznata, plasticni kristali– modra, kristali – zelena; poliedri, ki so ostali neurejeni, so prikazani v oranzni barvi. Pod-kategorije zgoraj nastetih razredov so prikazane z odtenki. Pri tekocekristalnih ureditvah sonasli kolumnarno, smekticno in nematicno fazo, pri plasticnih kristalih ploskovno in telesnocentrirano kubicno mrezo. Med kristalnimi fazami so nasli Bravaisove mreze brez baze (te-mno zelena) in z bazo (svetlo zelena). Tortni diagram v sredini prikazuje pogostost pojavljanjavsake podkategorije. V vsakem od razredov so poliedri nasteti po padajocem izoperimetricnemkvocientu. [11]

8

4 EKSPERIMENT

4 Eksperiment

Interakcija med realnimi delci ni seveda nikoli popolnoma stericna. Model trdih delcev zatolahko v praksi jemljemo le kot teoreticno izhodisce za raziskovanje lastnosti snovi. Vendarpa obstajajo tudi primeri, ko lahko potencial med gradniki aproksimiramo s trdodelcnim. Vclanku Henzieja in sodelavcev je potreben tlak za urejanje trdih srebrnih poliedrov koloidnevelikosti verjetno zagotovila gravitacijska sila [14]. Razredceno raztopino delcev so vlili vrezervoar, ki je bil nato nagnjen. Delci so potonili na dno, kjer se je nabral sediment, urejenv tesne sklade: kocke, prirezani oktaedri in oktaedri so se uredili v svoj najtesnejsi sklad,prirezane kocke in kuboktaedri pa v urejena sklada, katerih polnilno razmerje je bilo le malonizje od najtesnejsega. Rezultat eksperimenta je prikazan na sliki 11a.

Pri kovinskih delcih koloidne velikosti je zelo pomembna van der Waalsova sila. Zatoso srebrne nanokristale oblekli v polimer PVP, ki je koloidno raztopino stabiliziral: van derWaalsovo silo je priblizno uravnotezil entropicni odboj med polimernimi scetkami (slika 11b).Tako je bil kljucen faktor pri urejanju oblika delcev, ne njihove elektricne lastnosti – obnasaliso se priblizno kot trdi delci.

(a)

(b)

Slika 11: (a) Primerjava med eksperimentalno dobljeno (levo, slikano z vrsticnim elektron-skim mikroskopom) in najgostejso teoreticno (desno) strukturo za (po vrsti) kocko, prirezanokocko, kuboktaeder, prirezani oktaeder in oktaeder [14]. (b) Prispevki k prosti energiji dvehporavnanih oktaedrov kot funkcija razdalje med njima (X). Rg je polmer (angl. radius ofgyration) polimera, s katerim je oblozen koloidni delec in znasa 10 nm. Vidimo, da entropicniodboj zaradi polimera (rumena) uravnotezi van der Waalsovo silo (rdeca). Tako dobimo plitekenergijski minimum pri X = 3 nm (zelena crta). Ce je gostota koloidov dovolj velika, igrajodaljnosezne privlacne sile manjso vlogo in koloidi se uredijo v svoje najgostejse polnjenje. [14]

9

5 ZAKLJUCEK

5 Zakljucek

V seminarju smo raziskovali spontano urejanje trdih delcev pri visjih tlakih in vecjih polnilnihrazmerjih. Pri urejanju trdih delcev je pomembna le njihova oblika, pozicijsko in orientacijskourejene faze pa se pojavijo zato, ker so entropijsko ugodnejse. Cilj tega modela je cim boljerazloziti ali predvideti obnasanje delcev kot so koloidi, nanodelci, proteini in virusi. Slika 12se enkrat povzema celoten seminar.

Slika 12: Shematicni prikaz nekaterih delcev in njihovih pripadajocih znacilnih faz, pribliznourejenih po podolgovatosti. Od leve proti desni si sledijo: kvader z a/b = 0.125, prirezanakrogla z L/D = 0.1, tetraeder, krogla, kocka, oktaeder, elipsoid z L/D = 3, kvader z a/b =2.75, sferocilinder z L/D = 7. Zaradi jedrnatosti sta na sliki uporabljena zapisa FCC zaploskovno centrirano kubicno in SC za preprosto kubicno mrezo.

10

LITERATURA LITERATURA

Literatura

[1] Haji-Akbari, A., Engel, M. in Glotzer, S., J. Chem. Phys. 135, 194101 (2011).

[2] Haji-Akbari, A., Engel, M., Keys, A. S., Zheng, X., Petschek, R. G., Palffy-Mugoray, P. inGlotzer, G. C., Nature 462, 773 (2009).

[3] Radu, M., Pfleiderer, P. in Schilling, T., J. Chem. Phys. 131, 164513 (2009).

[4] Veerman, J. A. C. in Frenkel, D., Phys. Rev. A. 45, 5632 (1992).

[5] Rintoul, M. D. in Torquato, S., J. Chem. Phys. 105, 9258 (1996).

[6] Frenkel, D. in Mulder, B. M., Mol. Phys. 55, 1171 (1985).

[7] Frenkel, D., Mulder, B. M. in McTague, J. P., Phys. Rev. Lett. 52, 287 (1984).

[8] Bolhuis, P. in Frenkel, D., J. Chem. Phys. 106, 666 (1997).

[9] Smallenburg, F., Filion, L., Marechal, M. in Dijkstra, M., Soft Cond. Matt. (2012).

[10] John, B. S., Juhlin, C. in Escobedo, F. A., J. Chem. Phys. 128, 044909 (2008).

[11] Damasceno, P. F., Engel, M. in Glotzer, G. C., Science 337, 453 (2012).

[12] Agarwal, U. in Escobedo, F. A., Nat. Mater. 10, 230 (2011).

[13] Rossi, L., Sacanna, S., Irvine, W. T. M., Chaikin, P. M., Pine, D. J. in Philipse, A. P.,Soft Matter 7, 4139 (2011).

[14] Henzie, J., Grunwald, M., Widmer-Cooper, A., Geissler, P. L. in Yang, P., Nat. Mater.11, 131 (2012).

[15] Van der Kooij, F. M., Kassapidou, K. in Lekkerkerker, H. N. W., Nature 406, 868 (2000).

[16] Dogic, Z. in Fraden, S., Phys. Rev. Lett. 78, 2417 (1997).

11