6. Probleme de Programare Liniara

8/18/2019 6. Probleme de Programare Liniara

1/23

Note de curs la Teoria deciziei şi statistica generală

6FUNDAMENTAREA DECIZIILORUNICRITERIALE ÎN BAZA PROGRAMĂRIILINIARE

6.1. Formele şi sol!iile "ro#lemelor$e "ro%r&m&re li'i&r(

6.1.1. E)em"le $e "ro#leme *&re *o'$* l&"ro%r&me li'i&re

Problemele de programare liniară (PPL) în

domeniul economic, de regulă, sunt utilizatepentru optimizarea şi planifcarea planurilorde producţie ale întreprinderilor.

Problemele de programare liniară pot fprobleme de maxim sau probleme de minim.

Problemele de maxim se utilizează, deregulă, în cazul în care se determinăcantitatea de produse optimă astel încâtproftul întreprinderii să fe maim, iar

Problemele de minim se utilizează în cazul încare se determină cantitatea de produseoptimă astel încât c!eltuielile întreprinderiisă fe minime.

"ltel spus, problemele de programare liniarăconstau în maimizarea sau minimizarea uneiuncţii liniare, numită funcţie-obiectiv - Z =

f(x1, …, xn ), care eprimă obiecti#ul generalce trebuie determinat pentru undamentareadeciziei sau criteriul de perormanţă stabilit

1


2/23


şi, totodată, este dependentă de un şir de #ariabile x j.

$ariabilele uncţiei%obiecti# x j , numite şivariabile de decizie, sunt necunoscuteleproblemei de programare liniară care trebuiedeterminate pentru a optimiza uncţia%obiecti#. $ariabilele de decizie ale PPLtrebuie să satisacă &

') un item retricţii date sub orma unorecuaţii şisau inecuaţii liniare nestricte, careeprimă limitele sau cadrul general în caredecidentul poate lua o decizie caracterizatăde uncţia%obiecti#.

) cerinţa de a lua numai valori numerice

nene!ative (*+), numită şi condiţie denenegati#itate.

Problemele de programare liniară sunt oartedi#erse. ele mai pe larg întâlnite eemplede probleme de programare liniară sunturmătoarele patru &

• problema olosirii optime a resurselor-• problema dietei sau problema amestecului-• alocarea optimă a ondurilor fnanciare-• problema de transport.

". Problema foloirii optime a reurelor

onsiderăm un sistem de producţie, deeemplu o frmă, care &

2


3/23


• produce n bunuri # j (mese, scaune,dulapuri, otolii etc.),

j = 1, …, n-• utilizând pentru aceasta m categorii de

resurse $i, (materii prime, orţă de muncă,capacităţi de producţie, combustibili şienergie, etc.), i = 1, …, m.

esursele $i în cadrul frmei nu sunt

nelimitate şi ele, e#ident, sunt disponibileîntr%o anumită cantitate bi .

Pentru a produce o unitate din bunul # j se #autiliza o cantitate aij din resursa $i .

Preţul (sau proftul) unitar al bunului # j estec j .

/copul problemei olosirii optime aresurselor constă în determinarea unuiprogram de abricaţie care să maimizezeproftul frmei (problema de maim) sau săminimizeze c!eltuielile întreprinderii(problema de minim), altel spus se cere să sedetermine acele cantităţi x j care trebuieabricate din fecare tip de produs (bun),astel încât să se obţină optimul uncţiei%obiecti#, în condiţiile nedepăşiriidisponibilului din fecare resursă.

"". Problema dietei

3


4/23


Problema dietei sau problema amesteculuipresupune obţinerea unui amestec (reţetă

ura0eră) dintr%un număr de m substanţe(ingrediente), care să asigure necesarul bi,i = 1, …, m, a#ând la dispoziţie un număr den alimente, cunoscându%se cantităţile aij, j =1, …, n, din fecare substanţă pe care lepoate conţine o unitate de măsură din fecarealiment şi costul c j unei unităţi de măsură dinfecare aliment.

/copul acestei probleme este % să sedetermine cea mai economică dietă caresatisace minimul nutriţional cerut, altelspus să se determine cantitatea x j din fecarealiment care #a intra în meniu, astel încât săse satisacă minimul nutriţional cerut.

"locarea optimă a ondurilor fnanciare

"#ând la dispoziţie o sumă totală % carepoate f in#estită în di#erse acti#ităţi j, j = 1,…, n, fecare acti#itate producând un anumit

proft unitar a j, se pune problemadeterminării sumei x j, in#estită pentruacti#itatea j, astel încât să se obţină unproft maim.

Problema de transport

1enumirea problemei de transport pro#ine

din aptul că este #orba fe de un transport alunui produs, fe de o distribuire a unor

4


5/23


bunuri şi ser#icii de la anumite surse oridepozite la anumiţi destinatari sau centre de

consum.1e regulă, copul problemei de tranportpoate f ormulat astel & un produs care sea2ă în unele depozite (centre de depozitare,centre de apro#izionare) i, i = 1, …, m, încantitatea ai trebuie transportat la nişte

consumatori (destinatari, centre de desacere& uzine, magazine) j, j = 1, …, n, cerut încantitatea b j, astel încât costul total altransportului să fe minim.

antitatea ce #a f transportată de ladepozitul i la centrul de consum j se notează

prin xij, aceasta find şi necunoscutaproblemei.

3n problema de transport mai este cunoscutşi costul de transport pentru o unitate deprodus, de la fecare depozit i la fecarecentru de consum j, notat prin cij (u.m.).

3n cadrul acestei discipline noi #om lucra cudoar două probleme de programare liniară &problema foloirii optime a reurelor şiproblema de tranport.

6.1.+. Form& %e'er&l( & "ro#lemelor $e

"ro%r&m&re li'i&r(

5


6/23


Pentru rezol#area oricărei probleme deprogramare liniară trebuie creat un model

matematic.3n continuare este prezentată modalitatea decreare a modelului matematic al problemeide programare liniară pentru cele patrueemple prezentate mai sus.

4odelul matematic al problemei de olosire

optimă a resurselor4ai sus am menţionat, că scopul problemeiolosirii optime a resurselor constă îndeterminarea unui program de abricaţiecare să maimizeze proftul frmei (problemade maim) sau să minimizeze c!eltuielile

întreprinderii.Programul de abricaţie se compune din nbunuri # j,

j = 1, …, n, pentru care se utilizează mcategorii de resurse $i, i = 1, …, m.

antitatea din resursa $i utilizată pentruproducerea unei unităţi din bunul # j este aij ,cantitatea disponibilă din resursa $i este bi,iar preţul (sau proftul) unitar al bunului # jeste c j .

5ecunoscuta problemei este x j , carereprezintă cantitatea care urmează a f

produsă din bunul # j .

6


7/23


Pentru a simplifca modelul, se presupune că&

• preţul unui bun nu depinde de cantitateaprodusă din acesta sau din celelalte,

• consumul din fecare materie primă estedirect proporţional cu cantitatea produsăşi

• pentru fecare bun, consumurile dintr%o

resursă sau alta nu se condiţioneazăreciproc.

6inând cont de cele menţionate mai sus,problema de olosire optimă a resurselorpoate f ormulată astel &

• să se găsească #alorile numerice x1, x &,

…, xn • care optimizează ormula7

Z = c1x1 ' c &x & ' … ' cnxn opt

Z max - în cazul problemelor de maim, Z min % în cazul problemelor de minim.

• cu satisacerea restricţiilor711 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b

............................................

a x a x ... a x b

+ + + ≤ + + + = + + + ≥ ,

în care ecare linie se reeră la o reur*,iar ecare coloan* & la un produ (bun).

7


8/23


8otodată, fecare restricţie presupune căcantitatea consumată dintr%o resursă nu

poate depăşi #olumul disponibil.• şi a condiţiilor de nenegati#itate7

x j + , j = 1, …, n ,

care asigură obţinerea unei soluţiirealizabile din punct de #edere al logiciieconomice.

"locarea optimă a ondurilor fnanciare

Problema de alocare optimă a ondurilorfnanciare constă în următoarele % a#ând ladispoziţie o sumă totală % care poate fin#estită în di#erse acti#ităţi j, j = 1, …, n,fecare acti#itate producând un anumit proftunitar a j, se cere să se determine suma x j,in#estită pentru acti#itatea j, astel încât săse obţină un proft maim.

odelul matematic al problemei7

a) uncţia%obiecti# % N

j j

j=1

Z = a x×∑ 9 ma-

b) restricţiile % N

j

j=1

x = S ∑ -

c) condiţia de nenegati#itate & x j + , j = 1, …,n.

""". Problema dietei

8


9/23


Problema dietei presupune obţinerea unuiamestec (reţetă ura0eră) dintr%un număr de m

substanţe (ingrediente), care să asigurenecesarul b j, i = 1, …, m, a#ând la dispoziţieun număr de n alimente, cunoscându%secantităţile aij, j = 1, …, n, din fecaresubstanţă pe care le poate conţine o unitatede măsură din fecare aliment şi costul c j uneiunităţi de măsură din fecare aliment.

/copul acestei probleme este % să sedetermine cea mai economică dietă caresatisace minimul nutriţional cerut, altelspus să se determine cantitatea x j din fecarealiment care #a intra în meniu, astel încât săse satisacă minimul nutriţional cerut.

"şadar, modelul matematic al problemeidietei este &

a) uncţia%obiecti# %n

j j

j=1

Z = c x×∑ 9 min-

b) restricţiile %

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b............................................

a x a x ... a x b

+ + + ≤

+ + + = + + + ≥

-

c) condiţia de nenegati#itate & x j + , j = 1, …,n.

9


10/23


Problema de transport%copul problemei de tranport poate formulat astel & un produs care se a2ă înunele depozite (centre de depozitare, centrede apro#izionare) i, i = 1, …, m, în cantitateaai trebuie transportat la nişte consumatori

(destinatari, centre de desacere & uzine,magazine) j, j = 1, …, n, cerut în cantitateab j, astel încât costul total al transportului săfe minim.

antitatea ce #a f transportată de ladepozitul i la centrul de consum j se noteazăprin xij, aceasta find şi necunoscutaproblemei.

3n problema de transport mai este cunoscutşi costul de transport pentru o unitate deprodus, de la fecare depozit i la fecarecentru de consum j, notat prin cij (u.m.).

3n acest caz, modelul matematic al problemeide transport se poate scrie în elul următor &

1. uncţia-obiectiv care re2ectă obiecti#ulproblemei % costul total minim al transportului7

m n

ij ij

i=1 j=1

Z = c x×∑∑ min ,

&. $etricţiile problemei

10


11/23


"cestea sunt m ' n la număr.

Primele m restricţii arată că se transportă toată

cantitatea de produs a2ată în depozite &11 12 1n 1

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

x + x +...+ x = a

x + x +...+ x = a

...

x + x +...+ x = a

:rmătoarele n restricţii arată că fecare centru

primeşte cantitatea necesară de la cele mdepozite &

11 21 m1 1

12 22 m2 2

1n 2n nm n

x + x +...+ x = b

x + x +...+ x = b

...

x + x +...+ x = b

/. 0ondiţia de nene!ativitate & i,0 * +, i ;', ..., m, 0 ; ', ...,n.

3n continuare #om aborda doar problemaolosirii optime a resurselor


12/23


6.1.,. Form& *&'o'i*( & "ro#lemelor $e"ro%r&m&re li'i&r(

= problemă de programare liniară este în form* canonic*, dacă toate restricţiile ei suntine!alit*ţi concordante.

= restricţie a unei probleme de programareliniară se numeşte concordantă dacă este oinegalitate de tipul &- >?@, atunci când funcţia-obiectiv e

maximizeaz* şi- >*@ atunci când funcţia-obiectiv e

minimizeaz*.

3n aşa mod,

a) o problem* n form* canonic* demaximizare arată astel7

Auncţia%obiecti# %n

j j

j 1

Z c x max=

= × ⇒∑ ,

estricţiile %,

ij j i

i j

a x b

× ≤∑ ,

ondiţia denenegati#itate %0≥

j x .

unde i = 1, …, m, j = 1, …, n.

b) o problem* n form* canonic* deminimizare se #a scrie7

Auncţia%obiecti# % 1 min

n

j j j

Z c x== × ⇒∑ ,

12


13/23


estricţiile %,

ij j i

i j

a x b

× ≥∑ ,

ondiţia denenegati#itate %

0≥ j

x .

6.1.-. Form& s&'$&r$ & "ro#lemelor $e"ro%r&m&re li'i&r(

= problemă de programare liniară este în

ormă standard dacă sunt satisăcuteurmătoarele trei condiţii &

') 3n membrul drept al restricţiilor eistă numaitermeni liberi şi aceştia sunt nenegati#i bi +, i = 1 … m2

) 8oate restricţiile sunt eprimate prin

egalităţi-B) 8oate #ariabilele din modelul matematic suntnenegati#e,x j + , j = 1 … n.

=rice model matematic poate f adus la ormastandard.

Pentru a îndeplini cele B condiţii seprocedează astel7

'a)1acă iniţial într%o restricţie a#em #ariabileîn membrul drept, acestea se trec înmembrul stâng.1e eemplu, x1 ' x & ' 3 4 x/ 9

x1 ' x & - x/' 3 4 +-'b 1acă iniţial a#em un termen liber în

13


14/23


) membrul stâng, acesta #a trece în membruldrept.

1e eemplu, x1 ' x & 5 / 4 9 x1 ' x & 4 /2

'c)1acă termenul liber din membrul drept estenegati#, atunci restricţia respecti#ă se #aînmulţi cu (%').1e eemplu, x1 ' x & - x/ 4 % 3 9 %x1 - x & ' x/ 6 32

a)= inecuaţie poate f înlocuită cu o ecuaţieprin introducerea unei #ariabile noi, numităvariabil* ecart sau variabil* de compenare(ubtituţie). $ariabila ecart se adună la membrul stâng alrestricţiei, dacă inecuaţia este de tipul ?, şi

se scade din membrul stâng al restricţiei,dacă inecuaţia este de tipul *. "ceste #ariabile de compensare suntnenegati#e şi sunt dierite pentru fecareinecuaţie.1e eemplu, în cazul inecuaţiilor &

1 2 3

1 2 3

2 3 100

3 2 50

x x x

x x x

+ − ≤ + + ≥ , unde x

j + , j = 1,…,/,

se introduc #ariabilele de compensare x 3 cusemnul >C@ în prima inecuaţie, deoarecemembrul stâng este mai mic decât membruldrept, şi x7 cu semnul >%@ în a doua inecuaţie,deoarece membrul stâng este mai mare

decât membrul drept7

14


15/23


=−++

=+−+

5023

10032

5321

4321

x x x x

x x x x

, unde x j + , i = 1,…,7.

b)estricţiile egalităţi nu se modifcă-

B) 1acă iniţial în modelul matematic eistă şi #ariabile care nu satisac de la început

condiţiile de nenegati#itate, atunci acestea #or putea f îndeplinite cu a0utorul unorsubstituţii, eectuate în restricţii şi în uncţia%obiecti#.Distă două situaţii7

• #ariabila x j este negati#ă sau nepoziti#ă

x j 8 , în acest caz substituţia este % x j =-x j, x j + -• #ariabila x j are un semn oarecare, adică

poate a#ea #alori poziti#e, #alori negati#eori poate f zero %x j = oarecare. 3n acest caz substituţiaeste %

j j j x x x+ −= − , 0 j x+ ≥ - 0 j x− ≥ .

3n caz general, orma standard dez#oltată aunei probleme de programare liniară sepoate prezenta în următoarea ormă7

a) funcţia-obiectiv9

1 1 2 2 n n Z c x c x ... c x= + + + 9 optim (ma sau min),

15


16/23


b) retricţiile9

=+++

=+++ =+++

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xab xa xa xa

...

............................................

......

2211

22222121

11212111

,

c) condiţia de nene!ativitate9

x j + , j = 1, …, n.

:xemplu7

Problema deprogramare liniară în

ormă generală

Aorma standard aproblemei

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Z 7x 9x 8x max5x 2x x 4

3x x x 5

x 2x 3x 9

x 0, x 0, x 0

= + + → + − ≥ + + = + + ≤ ≥ ≥ ≥

⇔

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 5

j

Z 7x 9x 8x max5x 2x x x 4

3x x x 5

x 2x 3x x 9

x 0, j 1...5

= + + → + − − = + + = + + + = ≥ =

ezol#area eecti#ă a unui program liniar în

ormă standard se ace cu a0utorulalgoritmului /imple.

= problemă de programare liniară poate fprezentată şi sub form* matricial*.

Pentru a obţine orma matricială a modeluluimatematic se introduc următoarele matrici &

') 4atricea #ariabilelor cu o linie şi n coloane %

16


17/23


1n X M ∈ 7

1 2 1( , , ..., )n n X x x x M = ∈ .

) 4atricea coefcienţilor din uncţia%obiecti#cu o linie şin coloane % 1nC M ∈ 7

1 2 1( , , ..., )

n nC c c c M = ∈ .

B) 4atricea coefcienţilor din restricţii cu mlinii şi n coloane % mn A M ∈ 7

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .

. . . . .

. .

n

n

mn

m m mn

a a a

a a a A M

a a a

÷ ÷= ∈ ÷ ÷ ÷

.

E) 4atricea termenilor liberi din restricţii cu m

linii şi o coloană % 1m B M ∈ 71

2

1 2 1( , , ..., )

...

T

n m

m

b

b B b b b M

b

÷ ÷= = ∈ ÷ ÷ ÷

.

6inând cont de matricile introduse se obţineurmătorul model matematic în ormămatricială a problemei de programare liniară&

a) Auncţia%obiecti# % Z C X !" = × ⇒ , (max saumin)

b) estricţiile % ; < (8, =, +) >

c) ondiţia de 0 X ≥ .

17


18/23


nenegati#itate %

4atricile cu o linie şi n coloane sau cele cu nlinii şi o coloană pot f considerate elementeale unui spaţiu #ectorial sau liniar $n, decipot f numite #ectori.

"stel matricile , 0 şi > sunt #ectori &, n X C #∈ , m B #∈ .

6inând cont de aceasta rezultă, că oproblemă de programare liniară poate fprezentată şi în form* vectorial*.Pe lângă #ectorii menţionaţi mai sus & , şi

>, dacă se mai introduc încă n #ectori dinspaţiul $m, a#ând drept componente

coloanele matricei ;, adică &11

21

1

1

...

m

a

a $

a

÷ ÷= ÷ ÷ ÷

-

12

22

2

2

...

m

a

a $

a

÷ ÷= ÷ ÷ ÷

- ...-

1

2

...

n

n

n

mn

a

a $

a

÷ ÷= ÷ ÷ ÷

-

1

2

0...

m

b

b B $

b

÷ ÷= = ÷ ÷ ÷

,

atunci se obţine următoarea ormă #ectorială

a problemei de programare liniară &a)Auncţia%obiecti# % Z C X !" = × ⇒ , (max sau

min)

b)estricţiile % x1 P 1 ' x & P & ' ... ' xn P n (4,-, 6)P

c)ondiţia denenegati#itate %0 X ≥

.

18


19/23


6.1./. 0ol!iile "ro#lemelor $e "ro%r&m&reli'i&r(

Pentru a a2a soluţia optimă a unei problemede programare liniară, trebuie să fesatisăcute, în primul rând retricţiile şicondiţiile de nene!ativitate.

1in cele descrise mai sus, se obser#ă cărestricţiile problemei de programare liniară

ormează un sistem liniar de m ecuaţii, cu nnecunoscute.

La rezol#area PPL se consideră îndeplinireaurmătoarelor două ipoteze7

') numărul m al restricțiilor este strict mai micdecât numărul n al necunoscutelor (m F n)-

) rangul matricei ; este m (m este numărulde restricţii).

Prima ipoteză ne arată că sistemul de ecuaţiice reprezintă restricţiile este compatibilnedeterminat, caz în care căutareasoluţiei optime a problemei are sens.

Gpoteza a doua arată că cele m restricţii suntliniar independente. 3n caz contrar serenunţă la ecuaţiile care sunt combinaţiiliniare ale celorlalte.

estricţiile ormând un sistem liniar de m

ecuaţii şi n necunoscute, la rezol#area PPLapar trei situaţii7

19


20/23


• sistemul este incompatibil, deci problema nuare soluţie-

• sistemul este compatibil unic determinat (m; n), iar componentele soluţiei unice suntnenegati#e. 3n acest caz aceasta este şisoluţia optimă-

• sistemul satisace ipotezele ' şi (m F n şirang " ; m), deci compatibil nedeterminat.3n această infnitate de soluţii trebuie aleasă

soluţia optimă, dacă eistă.La rezol#area problemelor de programareliniară se întâlnesc trei tipuri de soluţii &

• soluţie admisibilă-• soluţie admisibilă de bază-• soluţie optimă.

%oluţie a unei probleme de programareliniară se numeşte ansamblul de n #alorinumerice, #ectorul = (x1, x &, ..., xn ) caresatisac restricţiile acestei probleme.

%oluţia admiibil* a problemei de

programare liniară se numeşte ansamblul den #alori numerice, #ectorul = (x1, x &, ..., xn ) care satisac atât restricţiilecât şi condiţiile de nenegati#itate ale acesteiprobleme.

4ulţimea soluţiilor admisibile ale problemeide programare liniară este, în general,infnită, deoarece restricţiile acestei

20


21/23


probleme ormează un sistem liniar de mecuaţii cu n necunoscute.

Dste imposibil să se calculeze #aloareauncţiei%obiecti# în toate aceste soluţiiadmisibile pentru a o alege pe cea careconeră uncţiei%obiecti# #aloarea optimăcerută, deci soluţia optimă se #a căuta într%osubmulţime a soluţiilor admisibile care să

aibă un număr fnit de elemente. Pornind dela aceasta se introduce noţiunea de soluţieadmisibilă de bază.

%oluţia admiibil* de baz* este soluţia caresatisace următoarele trei condiţii7

a) este o soluţie admisibilă-

b) are cel mult m componente strict poziti#e,iar celelalte n-m sunt egale cu zero.

c) #ectorii P i, care au drept componentecoloanele matricei ;, care corespund celor mcomponente nenegati#e (de la condiţia b)sunt liniar independenţi.

= soluţie admisibilă care maimizează sauminimizează uncţia%obiecti# se numeşteoluţie optim* a problemei de programareliniară.

21


22/23


23/23


') prima situaţie apare atunci când în matricea ; a coefcienţilor din restricţii se găseşte

matricea unitate (matricea a cărei diagonalăprincipală este unitatea, restul elementelorsunt nule). 3n acest caz, problema se rezol#ăconorm etapelor generale ale algoritmului/imple.

) a doua situaţie apare atunci când în matricea ; lipsesc una sau mai multe componente alematricei unitate. 3n acest caz, problema deprogramare liniară se rezol#ă prin metodabazei artifciale, numită în literatura despecialitate şi metoda penaliz*rilor .

6. Probleme de Programare Liniara

Documents

Transcript of 6. Probleme de Programare Liniara