6. Hebron Pardede

Kultura Volume: 12 No.1 Juni 2011

APLIKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN UNTUK MENENTUKAN PANAS SPESIFIK ZAT PADAT Hebron Pardede1 Abstract The direct bearing between macroscopic and microscopic matter can be described of statistic physic named statistic distribution functions. One of the functions is Bose-Einstein statistic that describe boson categories as photon, alpha particle and helium gas. The specific heat is internal energy of matter occurred when the atoms vibrate. The atoms vibration are called as oscillator that its frequency is f. Theoriticcally, Einstein applied quantum theory to calculate specific heat of solid state and the result is 3R for high temperature and temperature. 1. Pendahuluan Informasi perilaku materi secara makroskopik berhubungan erat dengan sifat mikroskopik, yang dapat diungkapkan melalui fisika statistik atau yang biasa disebut hukum distribusi statistik. Penggambaran secara kwantitaf perilaku materi tersebut dapat ditinjau melalui tiga Hukum Distribusi Statistik yaitu, 1. Hukum distribusi statistik Maxwell-Boltzmann (M-B) 2. Hukum distribusi statistik Bose-Einstein (B-S) 3. Hukum distribusi statistik Fermi-Dirac (F-D) Distribusi statistik Maxwell-Boltzmann disebut sebagai statistika klasik karena hukumhukum fisika klasik (hukum Newton) masih berlaku. Distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac disebut sebagai statistika kuantum karena hukum-hukum kuantum berlaku pada statistika tersebut. Ketiga hukum distribusi statistik tersebut memberikan penggambaran yang berbeda untuk berbagai materi, yang dalam hal ini disebut partikel. Distribusi statistik Maxwell-Boltzmann menggambarkan jenis partikel identik tidak dapat dibedakan, kategori partikel adalah partikel klasik contohnya molekul gas, ion dan atom; distribusi statistik Bose-Einstein menggambarkan jenis partikel tak terbedakan, identik dan tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli yang artinya tidak ada larangan jumlah partikel menempati suatu keadaan energi. Partikel yang memenuhi statistik Bose-Einstein disebut partikel-partikel boson yang fungsi gelombangnya simetrik terhadap pertukaran sebarang dua partikel, contohnya adalah semua partikel dengan spin bulat seperti foton, partikel alpha dan atom helium. Statistika Fermi-Dirac menjelaskan jenis partikel identik dan tak terbedakan dan memenuhi asas larangan Pauli. Partikel yang termasuk ke dalam statistik Fermi-Dirac disebut partikel fermion for low

1

Dosen Kopertis Wilayah-I NAD-SUMUTdpk Univ. Sisingamangaraja XII

1


yaitu partikel-partikel yang fungsi gelombangnya antisimetrik terhadap pertukaran sebarang dua partikel dan memiliki spin 1/2n, n=1,2,3,.. misalnya proton, neutron dan elektron. Ruang lingkup fisika statistik meliputi dua bagian besar yaitu teori kinetik dan mekanika statistik. Berdasarkan pada teori peluang dan hukum mekanika, teori kinetik mampu menggambarkan sistem dalam keadaan tidak setimbang, seperti proses difusi, viskositas, konduktivitas termal dan efusi. Dalam ranah ini, molekul suatu gas ideal tidak dianggab bebas sempurna tetapi ada interaksi ketika bertumbukan dengan molekul lain atau dengan dinding. Mekanika statistik tidak membahas perincian mekanis gerak molekular, tetapi berkaitan dengan energi molekul. Mekanika statistik sangat mengandalkan teori peluang untuk menentukan keadaan setimbang sistem. Aplikasi fisika statistik banyak ditemukan dalam persoalan-persoalan fisika seperti pada fisika zat padat, termodinamika, fisika kuantum dan lain-lain. Perhitungan kapasitas termal zat padat dapat ditinjau dari hukum statistika Bose-Einstein, yang akan dibahas dalam artikel ini. 2. 2.1 Tinjauan Pustaka Probabilitas Termodinamika Postulat mendasar dari statistik termodinamik adalah bahwa semua kemungkinan mikrostate sebuah assembly terisolasi adalah kemungkinannya sama. Jumlah kemungkinan mikrostate yang sama yang berkaitan dengan k makrostate tertentu disebut probabilitas termodinamika Wk. Probabilitas termodinamik assembly sama dengan jumlah semua makrostate probabilitas termodinamik masing-masing makrostate, (1) Teori statistik bertujuan untuk menentukan jumlah partikel rata-rata okupasi level j dalam makrostate k. Nilai rata-rata grup angka okupasi level j, mengalikan Njk dengan jumlah replica dalam makrostate k, jumlahan semua pada masingdiperoleh dengan makrostate

masing level energi j assembli, yang disebut jumlah okupasi level j. Misalkan Njk adalah angka

dan dibagi dengan jumlah total replika N. Jumlah total replika sebuah assembli yang berada dalam makrostate k sama dengan produk dari jumlah replika N yang berada di suatu mikrostate dan jumlah mikrostate Wk yang terdapat dalam makrostate tersebut. Sehingga (2) dan (3) dan karena N sama untuk semua makrostate, rata-rata grup adalah (4) sedangkan rata-rata waktu jumlah okupasi level j, 2 ditentukan dengan


(5) 2.2 Statistik Bose-Einstein Statistik Bose-Einstein adalah instrument yang menggambarkan dan menjelaskan perilaku jenis partikel dimana partikel tersebut tak terbedakan, identik dan tidak ada larangan jumlah partikel untuk menempati keadaan energi tertentu. Peluang untuk menempati energi Ei adalah gi yaitu derajat degenerasinya. Jika ada ni buah partikel maka rumus umum untuk ni dan gi: (6) Total jumlah cara yang tak terbedakan dari pembentukan partisi n1, n2, n3, masing-masing pada tingkat energi E1, E2, E3, adalah (7) Distribusi yang paling mungkin terjadi dapat diperoleh dengan mencari nilai maksimum dari P pada persamaan (7) yaitu (8) ln ni! dapat didekati dengan formula Stirling yaitu ln ni! ni ln ni - ni sehingga persamaan (8) menjadi (9) supaya maksimum, , jika (10) (11) Dengan memakai metode pengali tak tentu Lagrange yaitu dengan memasukkan parameter dan sedemikian rupa sehingga (12) maka (13) Persamaan (13) disebut hukum distribusi Bose-Einstein. 2.3 Kapasitas Thermal Zat Padat Terdapat dua jenis energi termal yang tersimpan dalam zat padat yaitu energi vibrasi atomatom di sekitar posisi kesetimbangannya dan energi kinetik yang dikandung elektron-elektron bebas. Salah satu sifat termal zat padat adalah panas spesifik yaitu kapasitas panas per satuan massa per derajat Kelvin. 2.3.1 Panas Spesifik Menurut Dulong-Petit

3


Menurut Dulong-Petit panas spesifik padatan adalah hampir sama untuk semua unsur yaitu sebesar 6 cal/mole oK. Angka yang diperoleh Dulong-Petit kemudian diteliti oleh Boltzmann, yang menyatakan bahwa hasil tersebut terjadi karena energi dalam padatan tersimpan dalam atom-atomnya yang bervibrasi. Energi atom-atom tersebut diturunkan dari teori kinetik gas. Molekul-molekul gas memiliki tiga derajat kebebasan dengan energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan dalam tiga dimensi adalah , N adalah bilangan Avogadro. Dalam padatan atom-atom saling terikat sehingga selain memiliki energi kinetik atom-atom juga memiliki energi potensial, sehingga energi rata-rata per derajat kebesan menjadi kBT dan energi per mole padatan menjadi Ek/mole padat = 3RT cal/mol Panas spesifik untuk volume konstan (14) dan energi per mole adalah

3. 3.1

Pembahasan Panas Spesifik Berdasarkan Statistik Bose-Einstein Penentuan panas spesifik (cv) zat padat oleh Einstein ditinjau secara kuantum yang

didasarkan pada vibrasi atom zat padat tersebut. Einstein menganggab padatan terdiri dari N atom yang masing-masing bervibrasi (berosilasi) secara bebas pada arah tiga dimensi, dengan frikuensi fE. Energi tiap osilator adalah En = nhfE dan E0 adalah jumlah osilator pada status 0, maka sesuai dengan fungsi Boltzmann (16) Energi rata-rata osilator adalah (17) Dengan N atom yang berosilasi tiga dimensi, diperoleh total energi internal (18) sehingga panas spesifik menjadi (19) Persamaan (19) adalah panas spesifik berdasarkan teori Einstein. Berdasarkan persamaan (19), maka panas spesifik adalah a. Pada temperatur tinggi, cv = 3R b. Pada temperatur rendah, 4 (15) dimana n adalah bilangan kuantum, n = 0,1,2,3, Jika jumlah osilator tiap kasus energi adalah En


Apabila T nol, maka cv akan mendekati nol secara eksponensial. Frekuensi fE disebut frekuensi Einstein yang ditentukan dengan mencocokkan kurva dengan data-data eksperimental. Besarnya frekuensi ini mulai nol sam tak hingga. Hasil yang diperoleh adalah pada temperatur rendah kurva Einstein menuju nol jauh lebih cepat dari data eksperimen. Hasil yang diperoleh teori Einstein menyimpang pada temperatur yang rendah disebabkan oleh asumsi yang diambil Einstein yaitu atom-atom bervibrasi secara bebas dengan frekuensi sama, fE. Debye melakukan perbaikan terhadap teori Einstein dengan menganggab vibrasi atom sebagai frekuensi dengan spektrum kontinu dan menganggab frekuensi setiap atom berbeda dan mempunyai harga maksimum. Dalam teori ini vibrasi satu atom akan berpengaruh terhadap atom tetangga dan akan berlangsung secara keseluruhan/kolektif. Vibrasi kolektif ini akan membentuk gelombang berdiri dalam zat padat dengan spektrum frekuensi yang diskrit tapi sangat kecil spasinya sehingga dianggab kontinu. Vibrasi tersebut berkaitan dengan sifat elastik bahan, maka gelombangnya dianggab menjalar dengan kecepatan bunyi, yang menjalar secara transversal dan longitudinal. Jika kecepatan transversal vt dan kecepatan longitudinal vl, dan dimisalkan juga g(f)df sebagai jumlah frekuensi yang diizinkan yang terletak antara f dan f + df (f adalah frekuensi Debye). Untuk gelombang transversal berlaku (20) (21) Jumlah keseluruhan frekuensi dalam daerah frekuensi antara f dan f + df: g buah posisi koordinat atom. Maka jumlah frekuensi vibrasi adalah 3N, sehingga (22) Jika N adalah jumlah atom dalam zat padat, maka frekuensi vibrasi harus digambarkan dalam 3N

(23) dimana f0 disebut frekuensi cut-off. Jadi jumlah keseluruhan frekuensi dalam daerah frekwensi f dan f + df adalah (24) Debye memandang padatan sebagai kumpulan phonon karena perambatan suara dalam zat padat merupakan gejala gelombang elastis. Energi sebuah fonon adalah hf dimana f (frekuensi Debye) adalah frekuensi vibrasi elastik. Karena semua fonon identik dan karena jumlahnya dengan energi sama yaitu tidak terbatas, maka dalam keadaan setimbang suhu fonon memenuhi statistik Bose-Einstein.

5


Jika =0, jumlah fonon berenergi hf dalam daerah frekuensi antara f dan f + df dalam kesetimbangan suhu pada T adalah

Total energi vibrasi dalam daerah frekuensi tersebut adalah (25) Panas spesifik zat padat pada volume tetap adalah (26) N, menyatakan jumlah mol dan NA adalah bilangan Avogadro. Jika didefenisikan D = hf0/kB adalah suhu Debye, kBNA = R, dan x = hf/kBT maka maka (27) atau cv = 3R D(D/T) D(D/T) adalah fungsi Debye yang didefenisikan sebagai (28) Jika Dengan nilai-nilai limit ini, pada temperatur tinggi cv mendekati nilai yang diperoleh oleh Einstein cv = 3R dan pada temperaturu rendah (30) Kurva cv sebagai fungsi T/D diplot pada gambar berikut (29)

Gambar 1. Kurva cv terhadap perubahan temperatur menurut Debye Beberapa eksperimen telah dilakukan untuk menguji teori Einstein seperti yang dilakukan oleh Nernst dan Lindemann. Pada suhu tinggi harga cv teori Einstein benar yaitu 3R, akan tetapi tidak sesuai ketika suhu rendah. Ketika suhu rendah, harga cv tidak mendekati nol secara eksponensial tetapi cv ~ T3. Berikut skematik grafik cv terhadap perubahan T berdasarkan eksperimen dan teori Einstein

6


Gambar 2. Skematik grafik cv terhadap perubahan T 4. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan akan statistik Bose-Einstein dan aplikasinya, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1. 2. Pada ada temperatur tinggi, teori Einstein, panas spesifik zat padat adalah cv = Teori Einstein sesuai dengan eksperimen pada temperatur tinggi, akan tetapi 3R. Pada temperatur rendah, cv mendekati nol secara eksponensial. tidak sesuai dengan eksperimen pada temperatur rendah, dimana berdasarkan eksperimen cv ~ T3 pada temperatur mendekati nol. 3. Kesalahan teori Einstein disebabkan oleh karena Einstein mengambil asumsi bahwa setiap atom merupakan vibrator yang bergetar dengan frekuensi sama dan boleh memiliki harga dari nol sampai tak terhingga. 5. Daftar Pustaka Arthur Beiser, 1992. Konsep Fisika Modern, Edisi ke-2, terjemahan The How Liong, Erlangga-Jakarta. Francis W. Sears, 1982. Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics, Third edition, Addison-Weasly Publishing Company. Sparisoma Viridi dkk, 2010. Catatan Kuliah Fisika Statistik

7

6. Hebron Pardede

Documents

Transcript of 6. Hebron Pardede