២០១៣

វិញ្ញា សាៈ គណិតវិទ្យា (វិទ្យាសាស្ត្រ្ ង្គម) រយាៈពេល ៩០នាទ្យី េិន្ទុ៧៥

ពេចក្ដីណណនា ាៈ ១.បេក្ខជនត្រូវេរ់ត្ក្ដាសបនេះជាពីរ រចួគូសខ្វែងខ្នែក្ខាងប ើននទំព័រទី២ឲ្យេ ៉ុនត្េអេ់ខ្នែក្ខាងប ើ ននទំព័រទី១ខ្ែ និងត្រូវការ់បោ ។

ហាមសរបសរចបមលើយបៅប ើក្ខ្នលងគូសខ្វែងប េះ។ ២.បេក្ខជនត្រូវគូសេ ា រ់េញ្ឈរឲ្យចំពាក់្ក្ណ្ដា ទំព័រទី២និងទំព័រទី៣សត្ាេ់សរបសរចបមលើយេនត។

I.(១០ពិន្ទុ) ក្នុងប្រអរម់យួមាន្ខ្មៅ ដៃពណ៌ខ្ ៀវ5 ខ្ៃើម ន្ិងខ្មៅ ដៃពណ៌ប្ក្ហម4 ខ្ៃើម។ សិសសមាន ក្ប់ាន្ចារយ់ក្ខ្មៅ ដៃ3 ខ្ៃើម ប្ពមគ្នន ខ្េញពីប្រអរខ់្ោយដេៃន្យ។ ១.រក្ប្រូបារដៃលៈ សិសសយក្បាន្ខ្មៅ ដៃពណ៌ខ្ ៀវ2 ខ្ៃើម ន្ិងខ្មៅ ដៃពណ៌ប្ក្ហម1ខ្ៃើម។ ២.រក្ប្រូបារដៃលៈ សិសសយក្បាន្ខ្មៅ ដៃពណ៌ៃូេគ្នន ។ II.(១៥ពិន្ទុ) ១.ខ្ោោះប្ាយសមកីារឌីខ្េរង៉ដ់សយល 2013 'x xe y e ។

២.រក្េខ្មលើយមយួដន្មកីារ E ខ្ោយៃឹងថាប្ការេខ្មលើយកាតត់ាមគល់កូ្អរខ្ោខ្ន្O ដន្តប្មុយ។ III.(២០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយខ្អលីរ E មាន្សមកីារទូខ្ៅ 2 225 9 18 216 0x y y ។ ១.សរខ្សរសមកីារសតងោ់ដន្ខ្អលីរ E ។ ២.ក្ណំតកូ់្អរខ្ោខ្ន្េចិត I ក្ំពូល 1 2,V V ន្ិងក្ណំុំ 1 2,F F ដន្ខ្អលីរ E ។

IV.(៣០ពនិ្ទុ) អនុ្គមន្៍ f ក្ណំតេ់ំខ្ ោះ 2, 2x x ខ្ោយ 2

24

xy f x

x

ន្ិងមាន្ប្ការ C ។

១.គណនា 2 2

lim , limx x

f x f x

ន្ិង limx

f x

។ទាញរក្សមកីារោសីុមតូតឈរ ន្ងិោសីុមតូតខ្ៃក្ដន្ប្ការ C ។

២.សិក្ាសញ្ញា ដន្ខ្ៃរខី្វ 'f x ន្ិងសងត់ារាងអខ្េរភាពដន្ f ។ ៣.គណនា 3 , 3f f ខ្ហើយសងប់្ការដន្អនុ្គមន្៍ f ។

ក្រ្ងួ្អប់រយំវុជន និង្រីឡា លេខបនទប់់ៈ............................ ក្បឡង្្ញ្ញា បក្រមធ្យម្រិាទ្យុរិយភូមិ ចំល េះទ្យូលៅ និង្បំលេញវិជ្ជា លេខរុ់ៈ.................................. ល ម្ េះនិង្ហរថលេខាអនុររស់ៈ សម័យប្រឡងៈ០៥សីហា ២០១៣ ម ឌ េក្បឡង្់ៈ.....................

១............................................. នាមប្រកូល និងនាមខ្លួនៈ..................................... ២............................................. ថ្ងៃខខ្ឆ្ន ាំកាំណ ើ រៈ................................................. ហរថណលខៈ......................................................... ណរកខជនមិនប្រូវណ្វើសញ្ញា សម្គា ល់អ្វីមួយណៅណលើសនលឹកប្រឡងណឡើយ។សនលឹកប្រឡងដែខមលម្គនសញ្ញា សម្គា ល់នឹងប្រូវបានពិនទុសូនយ។

អក្សរសំងារ់


ពិនា៉ុសរ៉ុេ

វិញ្ញា សាៈ គណិតវិទ្យា(វិទ្យាសាស្ត្រ) រយាៈពេល ១៥០នាទ្យី េិន្ទ១ុ២៥

ពេចក្ដីណណនា ាៈ ១.បេក្ខជនត្រូវេរ់ត្ក្ដាសបនេះជាពីរ រចួគូសខ្វែងខ្នែក្ខាងប ើននទំព័រទី២ ឲ្យេ ៉ុនត្េអេ់ខ្នែក្ខាងប ើ ននទំព័រទី១ ខ្ែ និងត្រូវការ់បោ ។

ហាមសរបសរចបមលើយបៅប ើក្ខ្នលងគូសខ្វែងប េះ។ ២.បេក្ខជនត្រូវគូសេ ា រ់េញ្ឈរឲ្យចំពាក់្ក្ណ្ដា ទំព័រទី២និងទំព័រទី៣សត្ាេ់សរបសរចបមលើយេនត។

I.(១០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយេំន្នួ្កុ្េំលិេ 2 3 2a i ន្ិង 2 2b i ។ ១.សរខ្សរ 2 2 4 2Z a b ai b ជាទប្មងព់ីជគណិត។ ២.សរខ្សរ ,a bន្ិងabជាទប្មងប់្តីខ្កាណមាប្ត។

II.(១៥ពិន្ទុ) ក្នុងប្រអរម់យួមាន្ឃ្លីពណ៌ស2 ប្គ្នរ ់ដៃលមាន្េុោះខ្ល 1,2 ន្ិងឃ្លីពណ៌ខ្មៅ 3 ប្គ្នរដ់ៃលមាន្េុោះខ្ល 1, 2,3។ ខ្គចារយ់ក្ឃ្លី2 ប្គ្នរប់្ពមគ្នន ខ្ោយដេៃន្យពីក្នុងប្រអរខ់្នាោះ។ ១.រក្ប្រូបារដន្ប្ពតឹតិការណ៍ :A ខ្គចារប់ាន្ឃ្លីពណ៌ៃូេគ្នន ។ ២.រក្ប្រូបារដន្ប្ពតឹតិការណ៍ :B ខ្គចារប់ាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3។ ៣.រក្ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :C ខ្គចារប់ាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3 ខ្ោយបាន្ៃឹងថា វាមាន្ពណ៌ៃូេគ្នន ។

III.(១៥ពនិ្ទុ) ១.ក្ំណតេ់ំន្នួ្ពិត ,m nន្ិង p ខ្ៃើមបខី្ោយ

2

22

6 52

2 12 1

x x m nx px

x x xx x x

។

២.គណនាោងំខ្តប្កាល

21

20

6 5

2 1

x xI dx

x x x

។

IV.(២០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយសមកីារឌីខ្េរង៉ដ់សយល 2 2

1 : ' 6 6 2 4E y y y x x ។ ១.ខ្ោោះប្ាយសមកីារ 2 : " ' 6 0E y y y ។ ២.រក្ពហុធា 2p x ax bx c ដៃលជាេខ្មលើយមយួដន្សមកីារ 1E ។ ទាញរក្េខ្មលើយទូខ្ៅដន្ 1E ។

V.(៣០ពិន្ទុ) ក្នុងតប្មុយអតូណរម៉ាល់មាន្ទិសខ្ៅវជិជមាន្ , , ,O i j k ខ្គខ្ោយរីេំនុ្េ 1,0,1 , 0,2,2A B ន្ិង 2,1,0C ។

១.រង្ហា ញថាប្តីខ្កាណ ABCជាប្តីខ្កាណដក្ងប្តងក់្ំពូល A។ ២.គណនាn AB AC រេួរក្សមកីាររលង់ ABC ។ ៣.រក្សមកីារប៉ារ៉ាដមត៉ដន្រនាទ ត់d ដៃលកាតត់ាម 1, 1,3D ខ្ហើយដក្ងន្ិងរលង់ ABC ប្តង់M ។រក្កូ្អរខ្ោខ្ន្េំនុ្េM ។

ក្រ្ងួ្អប់រយំវុជន និង្រីឡា លេខបនទប់់ៈ............................ ក្បឡង្្ញ្ញា បក្រមធ្យម្រិាទ្យុរិយភូមិ ចំល េះទ្យូលៅ និង្បំលេញវិជ្ជា លេខរុ់ៈ.................................. ល ម្ េះនិង្ហរថលេខាអនុររស់ៈ សម័យប្រឡងៈ០៥សីហា ២០១៣ ម ឌ េក្បឡង្់ៈ.....................

១............................................. នាមប្រកូល និងនាមខ្លួនៈ..................................... ២............................................. ថ្ងៃខខ្ឆ្ន ាំកាំណ ើ រៈ................................................. ហរថណលខៈ......................................................... ណរកខជនមិនប្រូវណ្វើសញ្ញា សម្គា ល់អ្វីមួយណៅណលើសនលឹកប្រឡងណឡើយ។សនលឹកប្រឡងដែខមលម្គនសញ្ញា សម្គា ល់នឹងប្រូវបានពិនទុសូនយ។



ពិនា៉ុសរ៉ុេ

VI.(៣៥ពនិ្ទុ) អនុ្គមន្៍ f ក្ំណតេ់ំខ្ ោះ 0x ខ្ោយ 2

ln2

xy f x

x ខ្ហើយមាន្ប្ការC។

១.គណនា limx

f x

ន្ិង 0

limx

f x

។ រក្សមកីារោសីុមតូតឈរ ន្ិងោសីុមតូតខ្ៃក្ដន្ប្ការC។

២.គណនាខ្ៃរខី្វ 'f x ខ្ហើយសងត់ារាងអខ្េរភាពដន្អនុ្គមន្៍ f ។ ៣.រក្កូ្អរខ្ោខ្ន្េំណុេប្រសពវរវាងប្ការC ន្ិងោសីុមតូតខ្ៃក្។ សងប់្ការC ខ្ៅក្នុងតប្មុយកូ្អរខ្ោខ្ន្មយួ។ ខ្គខ្ោយ 0.52.72, 1.65e e ។ ៤.គណនាដេទប្ក្ឡាដេនក្រលងក់្ំណតខ់្ោយប្ការCោសីុមតូតខ្ៃក្ រនាទ តឈ់រ 1x ន្ិង 0.5x e ។

អក្ារំណ I.(១០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយេំន្នួ្កុ្េំលិេ 2 3 2a i ន្ិង 2 2b i ។

១.សរខ្សរ 2 2 4 2Z a b ai b ជាទប្មងព់ីជគណិត

2 22 2 4 2 2 3 2 1 4 2 3 2 2 2 2

4 2 2 3 4 8 3 8 2 2 14 2

Z a b ai b i i i i i

i i i i i

(០៣ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ 14 2Z i ។ (០១ពិន្ទុ) ២.សរខ្សរ ,a bន្ិងabជាទប្មងប់្តីខ្កាណមាប្ត

3 11 112 3 2 4 4 cos 2 sin 2 4 cos sin

2 2 6 6 6 6

ia i i i

(០២ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ 11 114 cos sin

6 6a i

។

2 2 3 32 2 2 2 cos sin 2 cos sin

2 2 4 4 4 4b i i i i



4 4b i

។

11 11 3 3 11 3 11 34 cos sin 2 cos sin 8 cos sin

6 6 4 4 6 4 6 4

22 9 22 9 7 78 cos sin 8 cos 2 sin cos 2

12 12 12 12 12 12

7 78 cos sin

12

ab i i i

i i

i

12



12 12ab i

។

II. ១.ប្រូបារដន្ប្ពតឹតិការណ៍ :A ខ្គចារប់ាន្ឃ្លីពណ៌ៃូេគ្នន

តាមររូមន្ត

n AP A

n S (០២ពិន្ទុ)

ខ្ោយេំន្ួន្ក្រណីោេ 5,2 10n S C ន្ិងេនំ្ួន្ក្រណីប្សរ 2,2 3,2 1 3 4n A C C (០២ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ Aគឺ 4

0.410

P A ។ (០៣ពិន្ទុ)

២.ប្រូបារដន្ប្ពតឹតិការណ៍ :B ខ្គចារប់ាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3 ប្ពឹតតិការណ៍ B ក្រណីចារប់ាន្ (ស1, 2 )ឬ ( 1,ស 2 )ឬ( 1, 2 )ឬ (ស1,ស 2 )នាខំ្ោយ 4n B (០២ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ B គឺ 4

0.410

P B ។ (០២ពិន្ទុ)

៣.ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :C ខ្គចារប់ាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3 ខ្ោយបាន្ៃឹងថា វាមាន្ពណ៌ៃូេគ្នន

ប្រូបារ

2

110/ 0.54 2

10

P A BP C P B A

P B


ៃូេខ្ន្ោះ ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍C គឺ 0.5P C ។ (០២ពិន្ទុ)

III. ១.ក្ណំតេ់ំន្ួន្ពិត ,m nន្ិង p ខ្ៃើមបខី្ោយ

2

22

6 52

2 12 1

x x m nx px

x x xx x x

ខ្គមាន្

22

22 2

2 26 5

2 12 1 2 1

m n x m p n x m px x m nx p

x x xx x x x x x


ខ្គបាន្

1 1 1 4

2 6 2

2 5 3

m n m n

m p n

m p


ជំន្ួសក្នុង 1 ន្ិង 2 ខ្គបាន្

3 5 21 2 6

1 2 5 2 4 3 3

n pn p n

n p n p

នាខំ្ោយ7 7 1p p 2 : 3 1 5 2n n ន្ិង 4 : 1 1 2 3m n ។ (០២ពិន្ទុ) ៃូេខ្ន្ោះ 3; 2; 1m n p ។ (០១ពិន្ទុ)

២.គណនាោងំខ្តប្កាល

21

20

6 5

2 1

x xI dx

x x x

21 1 1

2 220 0 0

21 1 11 2

2 0 00 0

6 5 3 2 1 3 2 1

2 1 2 12 1

123 3ln 2 ln 1

2 1

3ln1 ln 3 3ln 2 ln1 ln 3 3ln 2 ln 24

x x x xI dx dx dx

x x x x x xx x x

d x xd xx x x

x x x

(០៦ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ

21

20

6 5ln 24

2 1

x xI dx

x x x

។ (០២ពិន្ទុ)

IV.ខ្គខ្ោយសមកីារឌីខ្េរង៉ដ់សយល 2 2

1 : ' 6 6 2 4E y y y x x ។ ១.ខ្ោោះប្ាយសមកីារ 2 : " ' 6 0E y y y ។

សមកីារសំគ្នល់ 2 2

1 2

1 5 1 56 0 , 1 4 1 6 25 5 , 3; 2

2 2r r r r

(០៦ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ េខ្មលើយទូខ្ៅដន្សមកីារ 2E គឺ 3 2 ; ,x xy Ae Be A B IR ។ (០២ពិន្ទុ) ២.ពហុធា 2p x ax bx c ខ្ោយ 2 ' 2 " 2p x ax bx c p x ax b p x a ខ្ហើយវាជាេខ្មលើយដន្ 1E (០៤ពិន្ទុ)

2 2

1

2 2

2 2

: ' 6 6 2 4

2 2 6 6 2 4

6 6 2 6 2 6 2 4

E y y y x x

a ax b ax bx c x x

ax b a x c b a x x


6 6 1

6 2 2 0

6 2 4 1

a a

b a b

c b a c

(០៣ពិន្ទុ)

ៃូេខ្ន្ោះ 2 1P x x ។ ទាញរក្េខ្មលើយទូខ្ៅដន្ 1E េខ្មលើយដន្ 1E គឺ 3 2 2 1 , ,x xy f x P x Ae Be x A B IR (០៣ពិន្ទុ)

V. ១.រង្ហា ញថាប្តីខ្កាណ ABCជាប្តីខ្កាណដក្ងប្តងក់្ពូំល A ; ;B A B A B AAB x x y y z z នាខំ្ោយ 0 1;2 0;2 1 1,2,1 ; 1,1, 1AB AC (០២ពិន្ទុ) 1 1 2 1 1 1 0AB AC (០២ពិន្ទុ) ខ្ោយ 0AB AC AB AC ៃូេខ្ន្ោះ ប្តីខ្កាណ ABCជាប្តីខ្កាណដក្ងប្តង់ A។ (០២ពិន្ទុ)

២.គណនាn AB AC

1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 3

1 1 1

i j k

n AB AC i j k i k

(០៥ពិន្ទុ)

-សមកីារ ABC តាមររូមន្ត 0 0 0: 0ABC a x x b y y c z z (០២ពិន្ទុ) ខ្ោយរលង់ ABC កាតត់ាម 1,0,1A ខ្ហើយដក្ងន្ិងវុេិទរ័ 3,0, 3n

: 3 1 0 0 3 1 0 3 3 6 0ABC x y z x z (០២ពិន្ទុ) នាខំ្ោយ 2 0x z ៃូេខ្ន្ោះ : 2 0ABC x z ។ (០១ពិន្ទុ)

៣.សមកីារប៉ារ៉ាដមត៉ដន្រនាទ ត់d ដៃលកាតត់ាម 1, 1,3D ខ្ហើយដក្ងន្ិងរលង់ ABC ប្តង់M

ររូមន្ត 0

0

0

:

x x at

d y y bt t IR

z z ct


ខ្ោយ d កាតត់ាម 1, 1,3D ខ្ហើយដក្ងន្ងិរលង់ ABC ខ្នាោះ d nនាខំ្ោយ

1 3

: 1 0

3 3

x t

d y t t IR

z t


ៃូេខ្ន្ោះ សមកីាររនាទ ត់ d គឺ

1 3

: 1

3 3

x t

d y t IR

z t

។ (០២ពិន្ទុ)

-រក្កូ្អរខ្ោខ្ន្េំនុ្េM

ខ្គបាន្ប្រពន័្ធសមកីារ

2 0 1

1 3

1

3 3

M M

M

M

M

x z

x t

y

z t


តាម 1 នាខំ្ោយ 1

1 3 3 3 2 0 6 2 03

t t t t (០២ពិន្ទុ)

11 3 0

3

1

13 3 2

3

M

M

M

x

y

z


ៃូេខ្ន្ោះ កូ្អរខ្ោខ្ន្ដន្ 0, 1,2M ។ (០២ពិន្ទុ)

VI. f ក្ំណតេ់ំខ្ ោះ 0x ខ្ោយ 2

ln2

xy f x

x ខ្ហើយមាន្ប្ការC

១.គណនា limx

f x

ន្ិង 0

limx

f x

2

lnlim lim 2 2x x

xf x

x

ខ្ប្ ោះ

2

lnlim 0x

x

x (០២ពិន្ទុ)

20 0

lnlim lim 2x x

xf x

x

ខ្ប្ ោះ

20

lnlimx

x

x (០២ពិន្ទុ)

-សមកីារោសីុមតូតឈរ ន្ងិោសីុមតូតខ្ៃក្ដន្ប្ការC ខ្ោយ lim 2

xf x

នាខំ្ោយ 2y ជាោសីុមតូតខ្ៃក្។ (០១ពិន្ទុ)

ខ្ោយ 0

limx

f x

នាខំ្ោយ 0x ជាោសីុមតូតឈរ។ (០១ពិន្ទុ)

២.គណនាខ្ៃរខី្វ 'f x

2 4 3

ln 2 ln 1 2ln2 '

x x x x xf x f x

x x x


ៃូេខ្ន្ោះ 3

1 2ln' ; 0

xf x x

x

។ (០១ពិន្ទុ)

-សងត់ារាងអខ្េរភាពដន្អនុ្គមន្៍ f

3

1 2ln' ; 0

xf x x

x

ខ្ោយ 'f x យក្សញ្ញា តាម1 2ln x ខ្ប្ ោះ 0x

-ខ្រើ 0.5' 0 1 2ln 0f x x x e (០១ពិន្ទុ) -ខ្រើ 0.5' 0 1 2ln 0f x x x e (០១ពិន្ទុ)

-ខ្រើ 0.5' 0 1 2ln 0f x x x e (០១ពិន្ទុ)

េំខ្ ោះ 0.5 0.5 12 2.18

2x e f e

e (០២ពនិ្ទុ)

តារាងអខ្េរភាព (០៤ពិន្ទុ) ៣.កូ្អរខ្ោខ្ន្េណុំេប្រសពវរវាងប្ការC ន្ិងោសីុមតូតខ្ៃក្

សមកីារោរសីុ់ស2 2

ln ln2 2 0 ln 0 ln1 0

x xx x

x x ខ្ប្ ោះ 0x (០២ពិន្ទុ)

2

ln11 2 2

1y f

ៃូេខ្ន្ោះ កូ្អរខ្ោខ្ន្េំនុ្េ 1,2A ។ (០២ពិន្ទុ) -សងប់្ការC ខ្ៅក្នុងតប្មុយកូ្អរខ្ោខ្ន្មយួ (០៦ពិន្ទុ) ៤.គណនាដេទប្ក្ឡាដេនក្រលងក់្ំណតខ់្ោយប្ការCោសីុមតូតខ្ៃក្ រនាទ តឈ់រ 1x ន្ិង 0.5x e

ខ្គបាន្ 0.5 0.5 0.5

2 21 1 1

ln ln2 2

e e ex xS f x y dx dx

x x


តាមររូមន្ត udv uv vdu តាង2

1ln ;

dx dxu x du dv v

x x x (០៤ពិន្ទុ)

ខ្នាោះខ្គបាន្0.5 0.5

0.5 0.5

2 21 11 1

ln ln ln 10.08

e ee ex x dx x

S dxx x x x

ឯក្តាដេទ។ (០១ពិន្ទុ)

x

'f x

f x

0 0.5e

2.18

2

0

2

ln2

xf x

x 2y

ភ្នខំ្ពញ.ដេៃទ១ី២ ដ សីហា ឆ្ន ២ំ០១៣ ខ្លខាក្តប់្តា ដ ម ពុទឋ ី

២០១៣

Documents

Transcript of ២០១៣