___________________________

สุ�ดยอดเรื่�อง เซต(Sets) By T.Kallayanee Nupad

1.1 ความเป็�นมาของเซต

ในช่�วงป็ลายศตวรื่รื่ษที่� 19 หรื่�อในรื่าว 100 กว�าป็ ล�วงมาแล"ว น#กคณิ%ตศาสุตรื่&ช่าวเยอรื่ม#น ช่�อ เกออร์�ก แฟร์�ดินั�นัดิ� ลุ�ดิวิก ฟ�ลุพพ� คั�นัทอร์� เป็�นผู้("รื่ %เรื่%มใช่"ค)าว�า "เซต" ต�อจากน#+นน#กคณิ%ตศาสุตรื่&จ,งใช่"ค)าน�+ก#นอย�างแพรื่�หลาย ความรื่( "ในเรื่�องเซตสุามารื่ถน)ามาเช่�อมโยงเน�+อหาในคณิ%ตศาสุตรื่&หลายๆ เรื่�อง

เกออร์�ก แฟร์�ดินั�นัดิ� ลุ�ดิวิก ฟ�ลุพพ� คั�นัทอร์�ในช่�ว%ตป็รื่ะจ)าว#น เรื่าได"พบเห4นและค�"นเคยก#บการื่จ#ดสุรื่รื่สุ%งต�างๆ

ที่�ม�ล#กษณิะเหม�อนก#น เป็�นกล��มเป็�นพวกเด�ยวก#น หรื่�ออาจต�างก#นแต�ม�ล#กษณิะบางอย�างรื่�วมก#นมาบ"างแล"ว ซ,งเรื่าน%ยมใช่"ค)าต�างๆ ก#นในการื่กล�าวถ,งพวกหรื่�อกล��มของสุ%งของเหล�าน#+น เช่�น คณิะ (ครื่(

1 เซต (Sets)


รื่#ฐมนตรื่�,ล%เก) ฝู(ง(ล%ง นก ป็ลา) กล��ม(น#กการื่เม�อง, แม�บ"านที่หารื่)

เป็�นต"น

1.2 ความหมายของเซต

เซตเป็�นค)าอนัยาม (Undifined term) ไม�ต"องให"ค)าจ)าก#ดความ ในว%ช่าคณิ%ตศาสุตรื่&เรื่าใช่"ค)าว�า "เซต(Set)" เพ�ยงค)าเด�ยวเที่�าน#+น ในการื่กล�าวถ,งกล��มของสุ%งต�าง ๆ และจะใช่"ในกรื่ณิ�ที่�ที่รื่าบแน�นอนว�าสุ%งใดอย(�ในกล��มและสุ%งใดไม�อย(�ในกล��มที่�กล�าวถ,ง เรื่�ยกสุ%งที่�อย(�ในเซตว�า สมาชิก (member หรื่�อ element)

ตั�วิอย�างเซตั สมาชิกของเซตัปร์ะกอบดิ!วิยเซตของว#นในหน,งสุ#ป็ดาห& ว#นอาที่%ตย&, ว#นจ#นที่รื่&, ว#นอ#งคารื่,

ว#นพ�ธ, ว#นพฤห#สุบด�, ว#นศ�กรื่&, ว#นเสุารื่&

เซตของจ)านวนเต4มบวกที่�หารื่ด"วย 5 ลงต#ว

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...

เซตของค)าตอบของสุมการื่ X2 - 4 = 0 2, -2

ส�ญลุ�กษณ์�ท%&ใชิ!แทนัเซตั ชิ(&อแลุะสมาชิกของเซตั (Set Notations)

1. สุามารื่ถใช่"วงกลม, วงรื่� แที่นเซตต�าง ๆ ได"2. ช่�อเซตน%ยมใช่"ต#วใหญ่�ที่#+งหมด เช่�น A, B, C,...

3. สุ#ญ่ล#กษณิ& แที่นค)าว�า "เป็�นสุมาช่%กของเซต"

แที่นค)าว�า "ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต"

4. R เป็�นเซตของ จ)านวนจรื่%ง R+¿ ¿ เป็�นเซตของจ)านวนจรื่%งบวก


R−¿¿ เป็�นเซตของ จ)านวนจรื่%งลบ Q เป็�นเซตของจ)านวนตรื่รื่กยะ

Q เป็�นเซตของ จ)านวนอตรื่รื่กยะ I เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม

I +¿¿ เป็�นเซตของ จ)านวนเต4มบวก I−¿¿ เป็�นเซตของจ)านวนเต4มลบ

N เป็�นเซตของ จ)านวนน#บ P เป็�นเซตของจ)านวนเฉพาะ∪ ย(เน�ยน ∩ อ%นเตอรื่&เซกช่#นA−B ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซต A คอมพล�เมนต&∧ “และ” ∨ “หรื่�อ ” “ถ"าแล"ว” ก�อต�อ“

เม�อ ” ∼ น%เสุธ“ ”

1.3 การื่เข�ยนเซต

การื่เข�ยนเซตม� 2 ว%ธ� ค�อ การื่เข�ยนเซตแบบแจกแจงสุมาช่%กและการื่เข�ยนเซตแบบบอกเง�อนไข

1. การ์เข%ยนัเซตัแบบแจกแจงสมาชิก (Tubular form)

ค�อ การื่เข�ยนเซตโดยการื่เข�ยนสุมาช่%กที่#+งหมดของเซตแต�ละต#วลงในเครื่�องหมายวงเล4บป็ กกา () และใช่"เครื่�องหมายจ�ลภาค ( , ) ค#นรื่ะหว�างสุมาช่%กแต�ละต#ว สุมาช่%กที่�ซ)+าก#นให"เข�ยนเพ�ยงต#วเด�ยว ในกรื่ณิ�ที่�จ)านวนสุมาช่%กมาก ๆ ให"เข�ยนสุมาช่%กอย�างน"อย 3 ต#วแรื่ก แล"วใช่"จ�ด 3

จ�ด (Tripple dot) แล"วจ,งเข�ยนสุมาช่%กต#วสุ�ดที่"าย

เช่�น A เป็�นเซตของจ)านวนเต4มที่�มากกว�า 0 แต�น"อยกว�า 7A={1,2,3,4,5,6 }


B เป็�นเซตของจ)านวนเต4มB= {… ,−2 ,−1,0,1,2 ,…}

C เป็�นเซตของว#นในหน,งสุ#ป็ดาห&C={ว#นอาที่%ตย& ,ว#นจ#นที่รื่& ,ว#นอ#งคารื่ ,ว#นพ�ธ ,ว#นพฤห#สุบด� ,ว#นศ�กรื่& ,ว#นเสุารื่& }

2. การ์เข%ยนัเซตัแบบบอกเง(&อนัไข (Set builder form)

ค�อ การื่เข�ยนเซตโดยใช่"วงเล4บป็ กกา ()และใช่"ต#วแป็รื่แที่นสุมาช่%กของเซตที่#+งหมด และม�การื่ก)าหนดป็รื่ะเภที่ของต#วแป็รื่ตามด"วยเครื่�องหมาย ( อ�านว�า "โดยที่�") แล"วตามด"วยเง�อนไขของสุมาช่%กที่�อย(�ในรื่(ป็ต#วแป็รื่น#+น ด#งรื่(ป็แบบ {x | เง�อนไขของ x}

เช่�น A เป็�นเซตของจ)านวนเต4มที่�มากกว�า 0 แต�น"อยกว�า 7A={xx เป็�นเซตของจ)านวนเต4มที่�มากกว�า0แต�น"อยกว�า7 }

A={x I0<x<7 }

B เป็�นเซตของจ)านวนเต4มB= {xx เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม }

C เป็�นเซตของว#นในหน,งสุ#ป็ดาห&C={xx เป็�นเซตของว#นในหน,งสุ#ป็ดาห& }


1. เข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบแจกแจงสมาชิก1.1 A เป็�นเซตของจ)านวนเต4มซ,งมากกว�า 0 แต�น"อยกว�า

10 A =

1.2 B เป็�นเซตของจ)านวนน#บซ,งน"อยกว�า 5

B =

1.3 C เป็�นเซตของจ)านวนเต4มบวกซ,งมากกว�า 100 C =

1.4 D เป็�นเซตของจ)านวนเต4มค(�

D =

1.5 E เป็�นเซตของค)าตอบของสุมการื่ x2−4 x+3=0 E =

1.6 F เป็�นเซตของจ)านวนเต4มซ,งเป็�นค)าตอบของสุมการื่ 2 x2−x−3=0

F = 2. เข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+ แบบบอกเง(&อนัไขของสมาชิก

2.1 A เป็�นเซตของจ)านวนจรื่%งซ,งมากกว�า 0 แต�น"อยกว�า 7 A =

2.2 B เป็�นเซตของจ)านวนเต4มซ,งมากกว�า 0 แต�น"อยกว�า 7 B =

2.3 C เป็�นเซตของจ)านวนเต4มซ,งน"อยกว�า 100 C =

2.4 D เป็�นเซตของจ)านวนเต4มบวกซ,งมากกว�า 10

D =

แบบฝู=กห#ด 1.1


2.5 E เป็�นเซตของจ)านวนน#บซ,งมากกว�า 1 แต�น"อยกว�าหรื่�อเที่�าก#บ 52

E = 2.6 F เป็�นเซตของจ)านวนเต4มซ,งเป็�นค)าตอบของสุมการื่

x2−10x+25=0 F=

3. เข�ยนเซตต�อไป็น�+แบบแจกแจงสุมาช่%ก3.1 A={xx เป็�นเด�อนที่�ม�30ว#น }

A = 3.2 B= {xx เป็�นเด�อนที่�ม�31ว#น }

B = 3.3 C={x∈ I1< x<6 }

C =

3.4 D= {x∈Nx>12 } D =

3.5 E={x∈ Ix2=25 } E =

3.6 F={x∈Nx2=25 } F =

4. เข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบบอกเง(&อนัไขของสมาชิก4.1 A={1,2,3,4,5,6,7 }

A = 4.2 B= {0,1,2,3,4,5,6,7 }

B = 4.3 C={10,11,12,13 ,… }

C = 4.4 D= {1,2,3 ,…,98,99,100 }

D =


4.5 E={12 , 23,

34,45,…}

E = 4.6 F={5,10,15,20,25 ,…}

F =

1.4 ป็รื่ะเภที่ของเซต

เซตสุามารื่ถแบ�งเป็�น 2 ป็รื่ะเภที่ ตามจ)านวนสุมาช่%กของเซต ค�อ

1. เซตัจ,าก�ดิ (Finite sets) ค�อ เซตที่�สุามารื่ถบอกจ)านวนสุมาช่%กที่�แน�นอนของเซตน#+น เช่�น

A={ว#นอาที่%ตย& ,ว#นจ#นที่รื่& ,ว#นอ#งคารื่ ,ว#นพ�ธ ,ว#นพฤห#สุบด� ,ว#นศ�กรื่& ,ว#นเสุารื่& }เซต A ม�สุมาช่%ก 7 ต#ว

B= {1,2,3,4,5 } เซต B ม�สุมาช่%ก 5 ต#วC={1,2,3 ,…,100 } เซต C ม�สุมาช่%ก 100 ต#วD= {x∈ Ix2=100 } เซต D ม�สุมาช่%ก 2 ต#วE={x∈Rx=x+1 } เซต E ม�สุมาช่%ก 2 ต#วเซตัวิ�าง (Empty Set) ค�อ เซตที่�ไม�ม�สุมาช่%กหรื่�อม�จ)านวน

สุมาช่%กเที่�ก#บศ(นย& เข�ยนแที่นด"วย

{ } หรื่�อ ∅(phi)

เช่�น เซตของจ)านวนเต4มที่�อย(�รื่ะหว�าง 1 ก#บ 2

เซตของสุรื่ะในค)าว�า อรื่วรื่รื่ณิ “ ”

ข!อส�งเกตั!! - เซตว�างจ#ดเป็�นเซตจ)าก#ด- เซตว�างและเซตซ,งม�สุมาช่%กเป็�น 0 เป็�นคนละเซตก#น เช่�น


A={x∈ Ix+2=x } เซตA ไม�ม�สุมาช่%ก จ,งเป็�นเซตว�างB= {x∈ Ix2=0} เซตB ม�สุมาช่%กค�อ 0

2. เซตัอนั�นัตั� (Infinite sets) ค�อ เซตที่�ไม�สุามารื่ถบอกจ)านวนสุมาช่%กที่�แน�นอนของเซตน#+น เช่�น R={2,4,6 ,…} เป็�นเซตอน#นต&

S= {…,−2 ,−1,0,1,2 ,… } เป็�นเซตอน#นต& T={xx เป็�นจ)านวนน#บ} เป็�นเซตอน#นต&

V= {xx เป็�นจ)านวนที่�หารื่ด"วย3ลงต#ว } เป็�นเซตอน#นต&U={x∈Rx2≠0} เป็�นเซตอน#นต&

เตัมเคัร์(&องหมาย หนั!าเซตัจ,าก�ดิ หร์(อ เคัร์(&องหมาย หนั!าเซตัอนั�นัตั� 1. A={1,2,3,4,5 }

2. B= {0,1,2 ,… }

3. C={0 }

4. D={}

5. E={x∈ Ix>4 }

6. F={x∈N0<x<10 }

7. G= {x∈R0<x<10 }

8. H= {…,−3 ,−2 ,−1 ,…}

9. I={x∈ Ix2+8 x+16=0 }



10. J= {0,1,2 ,…,20 }

11. K= {x∈Nx2=−3}

12. L= {x∈Px<10 }

1.5 เซตที่�เที่�าก#น

เซตั A เท�าก�บเซตั B เม�อสุมาช่%กที่�กต#วของเซต A เป็�นสุมาช่%กของเซต B และ สุมาช่%กที่�กต#วของเซต B เป็�นสุมาช่%กของเซต A ด#งน#+นเซต Aเที่�าก#บเซต B ใชิ!ส�ญลุ�กษณ์� A=B

เซตั A ไม�เท�าก�บเซตั B เม�อสุมาช่%กบางต#วของเซต A ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต B หรื่�อ สุมาช่%กบางต#วของเซต B ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต A ด#งน#+นเซต Aไม�เที่�าก#บเซต B ใชิ!ส�ญลุ�กษณ์� A≠Bตั�วิอย�างท%& 1 เซต A เที่�าก#บเซต B หรื่�อไม�

เม�อ A={2,3,4,5 }

B= {x∈ I1<x<6 }

วิธี%ท,า จาก B= {x∈ I1<x<6 }

จะได" B= {2,3,4,5 }

ด#งน#+น A=B


ตั�วิอย�างท%& 2 เซต A เที่�าก#บเซต B หรื่�อไม�เม�อ A={x∈ I0< x<5 }

B= {x∈R0< x<5 }

วิธี%ท,า จาก A={x∈ I0< x<5 } จะได" A={1,2,3,4 }

จาก B= {x∈R0< x<5 } จะได" B= {0.1,0 .2,0 .3 ,…,4.8,4 .9 }

ด#งน#+น A≠Bตั�วิอย�างท%& 3 เซต A เที่�าก#บเซต B หรื่�อไม�

เม�อ A={−5,3,3 }

B= {x∈ Ix2+2x−15=0}

วิธี%ท,า จาก B= {x∈ Ix2+2x−15=0}

x2+2x−15=0 ( x−3 ) ( x+5 )=0

x−3=0 หรื่�อ x+5=0

x=3 หรื่�อ x=−5

จะได" B= {3 ,−5 }

เน�องจากสุมาช่%กของเซตที่�ซ)+าก#นถ�อเป็�นสุมาช่%กต#วเด�ยวก#น A={−5,3 }

ด#งน#+น A=B

เซตัท%&เท%ยบเท�าก�นั ค�อ เซตที่�ม�จ)านวนสุมาช่%กเที่�าก#นตั�วิอย�างท%& 4 เซต A เที่�ยบเที่�าก#บเซต B หรื่�อไม�

เม�อ A={xx เป็�นจ)านวนเฉพาะที่�น"อยกว�า10 }

B= {x∈ I10≤x ≤13 }

วิธี%ท,า A={xx เป็�นจ)านวนเฉพาะที่�น"อยกว�า10 } จะได" A={2,3,5,7 }

B= {x∈ I10≤x ≤13 } จะได" B= {10,11,12,13 }

ด#งน#+น เซต A เที่�ยบเที่�าก#บเซต B


ข!อส�งเกตั!! - ถ"าเซต A เที่�าก#บเซต B แล"วเซตA เที่�ยบเที่�าก#บเซต B เสุมอ เน�องจากถ"าเซต A เที่�าก#บเซต B จ)านวนสุมาช่%กของเซต A เที่�าก#บจ)านวนสุมาช่%กของเซต B

- ถ"าเซต A เที่�ยบเที่�าก#บเซต B แล"วเซตA ไม�จ)าเป็�นต"องเที่�าก#บเซต B เสุมอไป็ เพรื่าะเซต A และเซต B ม�จ)านวนสุมาช่%กเที่�าก#น แต�สุมาช่%กบางต#วของเซตA ไม�จ)าเป็�นต"องเป็�นสุมาช่%กของเซต B หรื่�อสุมาช่%กบางต#วของเซตB ไม�จ)าเป็�นต"องเป็�นสุมาช่%กของเซต A

1.จงพส0จนั�วิ�าเซตัตั�อไปนั%+เท�าก�นัหร์(อไม�

1.1 A={−4,8 }

1.1 A={−4,8 }

B= {x∈ Ix2−4 x−32=0 }



1.2 A={x∈ I6< x<10 }

B= {6,7,8,9 }

1.3 A={x∈Nx<6 }

B= {x∈ Ix<6 }

1.4 A={x∈Px<5 }

B= {x∈ Ix2−5 x+6=0 }

1.5 A={x∈ Ix2=144 }

B= {x∈ Ix2+24 x+144=0}

1.6 A={x∈ I+¿ ¿ x2=25}

B= {x∈ Ix2−10 x+25=0 }

1.7 A={x∈ Ix2=0}

B= {x∈ I√ x=−7 }

1.8 A={xx เป็�นจ)านวนเต4มลบที่�มากกว�า−3 }


B= {x∈ Ix2+3x+2=0}

2. จงพส0จนั�วิ�าเซตัตั�อไปนั%+เซตัใดิเท�าก�นั หร์(อเท%ยบเท�าก�นั

2.1 A={2,6 ,−1 }

B= {−1,6,2 }

C={2,6,0 }

2.2 A={1,6,2 }

B= {2,3,9 }

C={0,7 ,−1 }

2.3 A={x∈ Ix2−x−12=0}

B= {x∈ Ix2=25 }

C={x∈ I( x−5 ) ( x+5 )=0 }

2.4 A={x∈ Ix2+3 x−18=0}

B= {x∈ Ix2−6 x+9=0}

C={x∈ I0≤ x ≤1 }


2.5 A={x∈Px<10 }

B= {x∈ I( x−2 ) ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )=0}

C={x∈ Ix=2n2 โดยที่�nเป็�นจ)านวนน#บ}

2.6 A={xx เป็�นจ)านวนเต4มค(�รื่ะหว�าง2ถ,ง10 }

B= {xx เป็�นจ)านวนเต4มค ี�ี�รื่ะหว�าง 1ถ,ง9 }

C={x∈ I(x2−10 x+24 ) ( x−8 )=0}

จงเลุ(อกคั,าตัอบท%&ถู0กตั!องท%&ส�ดิ1. A เป็�นเซตของธนบ#ตรื่ที่�ใช่"ในป็รื่ะเที่ศไที่ย เข�ยนแบบแจกแจงสุมาช่%กได"อย�างไรื่

1. A={ย�สุ%บบาที่ ,หน,งรื่"อยบาที่ ,ห"ารื่"อยบาที่ ,หน,งพ#นบาที่}

2. A={ย�สุ%บบาที่ ,ห"าสุ%บบาที่ ,หน,งรื่"อยบาที่ ,ห"ารื่"อยบาที่ ,หน,งพ#นบาที่}

3. A={สุ%บบาที่ ,ย�สุ%บบาที่ ,ห"าสุ%บบาที่ ,หน,งรื่"อยบาที่ ,ห"ารื่"อยบาที่ ,หน,งพ#นบาที่}

4. A={ห"าสุ%บบาที่ ,หน,งรื่"อยบาที่ ,ห"ารื่"อยบาที่ ,หน,งพ#นบาที่ }

2. B เป็�นเซตของจ)านวนเต4มซ,งมากกว�าหรื่�อเที่�าก#บ 5 และน"อยกว�าหรื่�อเที่�าก#บ 10 เข�ยนเซต

แบบฝู=กห#ดบที่ที่� 1


แบบบอกเง�อนไขได"อย�างไรื่1. B= {x∈ I5≤x ≤10 } 2. B= {x∈R5≤ x≤10 }

3. B= {x∈ I5<x<10 } 4. B= {x∈R5<x<10 }

3. C={−1 ,−2 ,−3 ,−4 ,−5 ,… } เข�ยนเซตแบบบอกเง�อนไขได"อย�างไรื่1. C={x∈ Ix=n2 โดยที่�n เป็�นจ)านวนน#บ}2. C={x∈ Ix=√n โดยที่�n เป็�นจ)านวนน#บ}

3. C={x∈ Ix=n❑โดยที่�n เป็�นจ)านวนน#บ}

4. C={x∈ Ix=−n❑โดยที่�n เป็�นจ)านวนน#บ}

4. D= {2,3,4,5 } เข�ยนเซตแบบบอกเง�อนไขได"อย�างไรื่ก. D= {x∈ I2≤x ≤5 } ข. D= {x∈ I1<x<6 }

ค. D= {x∈N2≤ x≤5 } ง. D= {x∈R1< x<6 } 1. ก และ ข 2. ข และ ค

3. ก , ข และ ค 4. ถ(กที่�กข"อ5. E={x∈ Ix2=100 } เข�ยนเซตแบบแจกแจงสุมาช่%กได"อย�างไรื่

1. E={−10,10 } 2. E={10 }

3. E={−10 } 4. E=∅

6. F={x∈ I +¿¿ x2=100 } เข�ยนเซตแบบแจกแจงสุมาช่%กได"อย�างไรื่1. F={−10,10 } 2. F={10 }

3. F={−10 } 4. F=∅

7. G= {x∈Qx=√nเม�อn เป็�นจ)านวนน#บ} เข�ยนเซตแบบแจกแจงสุมาช่%กได"อย�างไรื่

1. G= {1,√2 ,√3 ,2 ,… } 2. G= {0,1 ,√2 ,√3 ,… }

3. G= {0,1,2,3 ,…} 4. G= {1,2,3,4 ,…}

8. H= {x∈ I +¿¿ x2+7 x+12=0 } เข�ยนเซตแบบแจกแจงสุมาช่%กได"อย�างไรื่1. H= {−3 ,−4 } 2. H= {3,4 }

3. H= {−3,4 } 4. H=∅

9. จ#ดเป็�นเซตป็รื่ะเภที่ใด1. เซตจ)าก#ด 2. เซตอน#นต&


3. ที่#+งเซตจ)าก#ดและเซตอน#นต& 4. ไม�สุามารื่ถรื่ะบ�ได"10. ข"อใดเป็�นเซตจ)าก#ด

1. A={…,8,9,10 } 2. B= {−5 ,−4 ,−3 ,−2,… }

3. C={0,1 ,…,100 } 4. D= {…,−1,0,1 ,…}

11. ข"อใดไม�ถู0กตั!อง1. เซตว�างและเซตซ,งม�สุมาช่%ก 1 ต#ว ค�อ 0 เป็�นเซตเด�ยวก#น

2. เซตจ)าก#ดสุามารื่ถบอกจ)านวนสุมาช่%กของเซตได"3. เซตอน#นต&ไม�สุามารื่ถบอกจ)านวนสุมาช่%กของเซตได"4. เป็�นสุ#ญ่ล#กษณิ&ของเซตว�าง

12. A={1,2,3,4,5 ,…} เซต A ม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 5 ต#ว 2. 6 ต#ว3. 100 ต#ว 4. ไม�สุามารื่ถบอกได"

13. B= {x∈R2<x<10 } เซต B ม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 7 ต#ว 2. 9 ต#ว3. 11 ต#ว 4. ไม�สุามารื่ถบอกได"

14. C={x∈ I2< x<10 } เซต C ม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 7 ต#ว 2. 9 ต#ว3. 11 ต#ว 4. ไม�สุามารื่ถบอกได"

15. D= {x∈R√n<0 } เซต D ม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 0 ต#ว 2. 3 ต#ว3. 10 ต#ว 4. ไม�สุามารื่ถบอกได"

16. เซตใดต�างจากกล��ม1. A={x∈ I10≤ x≤15 } 2. B= {x∈ Ix>0 }


3. C={x∈Rx2+x−30=0 } 4. D= {x∈N√x=0 }

17. ข"อใดไม�ถู0กตั!อง1. เซตที่�เที่�ยบเที่�าก#นม�จ)านวนสุมาช่%กเที่�าก#น2. เซต A เที่�าก#บเซต B เม�อสุมาช่%กที่�กต#วของ เซต A เป็�น

สุมาช่%กของเซต B และสุมาช่%กที่�กต#วของเซต B เป็�นสุมาช่%กของเซต A 3. ถ"า A=B แล"ว B=A เสุมอ4. ถ"าเซต A เที่�ยบเที่�าก#บเซต B แล"ว A=B เสุมอ

18. ถ"า A={2,6,10 } เซตใดเที่�าก#บ A1. B= {2,2,10 } 2. C={10,2,6 }

3. D= {7,9,4,8 } 4. E={3,1,2 }

19. ถ"า A={x∈ I2<x<5 } เซตใดไม�เท�าก�บ A1. B= {3,4 } 2. C={x∈ R3≤x ≤4 }

3. D= {x∈ I3≤x ≤4 } 4. E={x∈ Nx2−7 x+12=0}

20. ข"อใดถ(กต"อง A={x∈ Ix2+7 x+12=0 }

B= {x∈ I−5<x←2 }

C={x∈Nx2=121 } D= {x∈ Ix2+22x+121=0}

1. A≠B แต� C=D 2. A ไม�เที่�ยบเที่�าก#บ B แต� C=D

3. A=B แต� C เที่�ยบเที่�าก#บ D 4. A≠B แต� C เที่�ยบเที่�าก#บ D

2.1 เอกภพสุ#มพ#ที่ธ&

2 เอกภพสุ#มพ#ที่ธ& สุ#บเซต


เอกภพสุ#มพ#ที่ธ& ค�อ เซตที่�ถ(กก)าหนดข,+นเพ�อก)าหนดขอบเขตที่�ศ,กษา โดยม�ข"อตกลงว�า จะกล�าวถ,งสุ%งที่�เป็�นสุมาช่%กของเซตน�+เที่�าน#+น จะไม�กล�าวถ,งสุ%งอ�นใดที่�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซตน�+ โดยที่#วไป็จะใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& U แที่น เอกภพสุ#มพ#ที่ธ&ตั�วิอย�างท%& 1 หาสุมาช่%กของ A={x2x2+x−15=0} เม�อ U ค�อเซตของจ)านวนเต4ม

วิธี%ท,า 2 x2+x−15=0

( x+3 ) (2x−5 )=0

x+3=0 หรื่�อ 2 x−5=0

x=−3 หรื่�อ x=52

ด#งน#+น A={−3 }

ตั�วิอย�างท%& 2 หาเอกภพสุ#มพ#ที่ธ&เม�อ A={xx2−100=0 } ม�สุมาช่%กค�อ 10

วิธี%ท,า x2−100=0

x2=100

( x+10 ) ( x−10 )=0

x+10=0 หรื่�อ x−10=0 x=−10 หรื่�อ x=10

ด#งน#+น U ค�อเซตของจ)านวนเต4มบวก

เอกภพสุ#มพ#ที่ธ& สุ#บเซต


1. เข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบแจกแจงสมาชิกตัามเอกภพส�มพ�ทธี�ท%&ก,าหนัดิ

1.1 A={x−2≤ x≤2 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม

1.2 B= {x−2≤x ≤2 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มบวก

1.3 C={xx+1≠ x } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม

1.4 D= {xx2=−10 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนจรื่%ง

1.5 E={xx2−4 x−21=0} เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม

1.6 F={xx2−5 x−6=0 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มลบ

1.7 G= {xx2+6 x+9=0} เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มบวก

1.8 H= {x1<x<10 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนป็รื่ะกอบ



2. หาเอกภพสุ#มพ#ที่ธ&ของเซตต�อไป็น�+2.1 A={x−1≤ x≤1 } สุมาช่%กค�อ -1,0,1 2.2 B= {x−1≤x ≤1 } สุมาช่%กค�อ 0,1 2.3 C={x√ x<0 } ไม�ม�สุมาช่%ก 2.4 D= {xx ≥0 } เป็�นเซตอน#นต& 2.5 E={xx2−2x−15=0 } สุมาช่%กค�อ -3,5 2.6 F={xx2−2 x−15=0} สุมาช่%กค�อ -3 2.7 G= {x6x2−7 x−5=0 } ไม�ม�สุมาช่%ก 2.8 H= {x0< x<2 } เป็�นเซตอน#นต&

2.2 สุ#บเซตและเพาเวอรื่&เซต


บทนัยาม เซต Aเป็�นสุ#บเซตของเซต B ก4ต�อเม�อ สุมาช่%กที่�กต#วของเซต A เป็�นสุมาช่%กของเซต B

เซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B แที่นด"วย A B

ในกรื่ณิ�ตรื่งข"ามก#นเซต A ไม�เป็�นสุ#บเซตของเซต B ก4ต�อเม�อ สุมาช่%กบางต#วของเซต A ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต B

เซต A ไม�เป็�นสุ#บเซตของเซต B แที่นด"วย A B

ตั�วิอย�างท%& 3 ให" A={1 },B= {0,1,2 },C={3,4,5,6 } และ D= {0,1,2,3,4,5 }

จงพ%จารื่ณิาว�าเซตค(�ใดบ"างเป็�นสุ#บเซตก#นวิธี%ท,า จะได"ว�า A⊂B เพรื่าะสุมาช่%กที่#+งหมดของเซต A หรื่�อ 1

เป็�นสุมาช่%กของ B A⊂D เพรื่าะสุมาช่%กที่#+งหมดของเซต A หรื่�อ 1 เป็�นสุมาช่%กของ D

B⊂D เพรื่าะสุมาช่%กที่#+งหมดของเซต B หรื่�อ 0,1,2

เป็�นสุมาช่%กของ Dตั�วิอย�างท%& 4 จงพ%สุ(จน&ว�าเซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B เม�อ U

เป็�นเซตของจ)านวนเต4มA={x√x=2 }

B= {xx2≤25 }

วิธี%ท,า จาก√ x=2 จะได" x=4

ด#งน#+น A={x√x=2 } จะได" A={4 }

จากx2≤25 จะได" x=−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4,5

ด#งน#+น B= {xx2≤25 } จะได" B= {−5 ,−4 ,−3 ,−2,−1,0,1,2,3,4,5 }

สุมาช่%กที่�กต#วของเซต A เป็�นสุมาช่%กของเซต Bด#งน#+น เซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B

ส�บเซตั (Subset)


1. เป็�นสุ#บเซตของที่�กเซต2. เซตที่�กเซตเป็�นสุ#บเซตของต#วม#นเอง3. เซตที่�กเซตเป็�นสุ#บเซตของเอกภพสุ#มพ#ที่ธ&4. A⊂B และ B⊂ A ก4ต�อเม�อ A=B5. A เป็�นสุ#บเซตแที่"ของ B เม�อ A⊂B แต� B⊄ A 6. A ไม�เป็�นสุ#บเซตแที่"ของ B เม�อ A⊂B และ B⊂ A 7. ถ"า A ม�สุมาช่%ก n ต#ว แล"ว A ม�สุ#บเซต 2n สุ#บเซต8. ถ"า A ม�สุมาช่%ก n ต#ว แล"ว A ม�สุ#บเซตแที่" 2n−1 สุ#บเซต 9. ถ"า A⊂B และ B⊂C แล"ว A⊂C 10. เซตว�างม�สุ#บเซตเพ�ยง 1 สุ#บเซต ค�อเซตว�าง

บทนัยาม เพาเวอรื่&เซตของเซต A ค�อ เซตซ,งป็รื่ะกอบด"วยสุมาช่%กที่�เป็�นสุ#บเซตที่#+งหมดของเซต A และสุามารื่ถเข�ยนแที่นได"ด"วยสุ#ญ่ล#กษณิ& P(A)

สุามารื่ถเข�ยนในรื่(ป็บอกเง�อนไขด#งน�+ P(A) = {xx⊂ A }

ตั�วิอย�างท%& 5 หาเพาเวอรื่&เซตของ A = Ø

ว%ธ�ที่)า สุ#บเซตที่#+งหมดของ A ค�อ Ø ∴ P(A) = {Ø }

ตั�วิอย�างท%& 6 หาเพาเวอรื่&เซตของ B = {1}

สมบ�ตัของส�บเซตั

เพาเวิอร์�เซตั (Power set)


ว%ธ�ที่)า สุ#บเซตที่#+งหมดของ B ค�อ {1}, Ø∴ P(B) = {{1}, Ø }

ตั�วิอย�างท%& 7 หาเพาเวอรื่&เซตของ C = {1,2}

ว%ธ�ที่)า สุ#บเซตที่#+งหมดของ C ค�อ{1},{2},{1,2}, Ø∴ P(C) = {{1},{2},{1,2}, Ø }

ตั�วิอย�างท%& 8 หาเพาเวอรื่&เซตของ D = {0,3,-7}

ว%ธ�ที่)า สุ#บเซตที่#+งหมดของ D ค�อ {0},{3},{-7},{0,3},

{0,-7},{3,-7},{0,3,-7}, Ø∴ P(D) = { {0},{3},{-7},{0,3},{0,-7},{3,-7},{0,3,-7}, Ø }

ตั�วิอย�างท%& 9 หาเพาเวอรื่&เซตของ E = {-5, {4},{-5,4}}

ว%ธ�ที่)า สุ#บเซตที่#+งหมดของ E ค�อ {-5},{{4}},{{-5,4}},{-

5, {4}},{-5, {-5,4}},{{4},{-5,4}},{-5, {4},{-5,4}}, Ø∴ P(E) = { {-5},{{4}},{{-5,4}},{-5, {4}},{-5, {-5,4}},{{4},{-5,4}},{-5, {4},{-5,4}}, Ø }

1. P(A)≠∅ เพาเวอรื่&เซตของเซตใดๆ ไม�เที่�าก#บเซตว�าง2. A∈P(A ) เซตใดๆเป็�นสุมาช่%กของเพาเวอรื่&เซตของเซตน#+น3. ∅∈ P(A) เซตว�างเป็�นสุมาช่%กของเพาเวอรื่&เซต4. ถ"า A ม�สุมาช่%ก n ต#ว แล"ว P(A) ม�สุมาช่%ก 2n ต#ว5. A⊂B ก4ต�อเม�อ P(A)⊂P(B) 6. ถ"า A เป็�นเซตอน#นต& แล"ว P(A) เป็�นเซตอน#นต&ด"วย

สมบ�ตัของเพาเวิอร์�เซตั


1. หาส�บเซตัท�+งหมดิของเซตัตั�อไปนั%+1.1 {3,1 }

1.2 {−4,2,0 }

1.3 {−6 ,−1,7,9 }

1.4 ∅

1.5 {4 , {9 }}

1.6 { {7 }, {0 } }



2. จงพส0จนั�วิ�าเซตั A เป3นัส�บเซตัของเซตั B เม(&อ U คั(อเซตัของจ,านัวินัเตั4ม แลุะ A={xx2−12x+36=0} B= {x5≤x ≤8 } __ __ __ 3. จงพส0จนั�วิ�าเซตั A เป3นัส�บเซตัไม�แท!ของเซตั B เม(&อ U คั(อเซตัของจ,านัวินัเตั4ม แลุะ A={xx=9 }

B= {xx2−81=0} __ __ __

4. หาเพาเวิอร์�เซตัของเซตัตั�อไปนั%+4.1 A={9 }

__ __

4.2 B= {−6,3 } __ __

4.3 C={9,0 ,−2 } __ __

4.4 D= {−7 ,−1,1,7 } __ __

4.5 E=∅ __ __

4.6 F={3 , {7 }} __ __

4.7 G= {{0 } , {4 ,−1 }}


__ __

4.8 H= {2 , {1,4 } , {4 }} __ __

2.3 แผู้นภาพของเวนน&-ออยเลอรื่&

แผนัภาพของเวินันั�-ออยเลุอร์� (Venn-Euler Diagram)

ช่�อของแผู้นภาพมาจากช่�อของน#กคณิ%ตศาสุตรื่&สุองที่�านค�อเวนน&และออยเลอรื่& ซ,งแผู้นภาพของเวนน&-ออยเลอรื่&ค�อแผู้นภาพซ,งสุรื่"างข,+นเพ�อแสุดงขอบเขตและความสุ#มพ#นธ&ของเซต ที่#+งน�+น%ยมสุรื่"างแผู้นภาพโดยใช่"รื่(ป็สุ�เหล�ยมผู้�นผู้"าหรื่�อรื่(ป็ป็?ดใดๆ แที่นเอกภพสุ#มพ#ที่ธ& U และวงกลม หรื่�อวงรื่�แที่นเซตใดๆ สุามารื่ถสุรื่"างแผู้นภาพแสุดงความสุ#มพ#นธ&ของเซต ด#งน�+

1. เซตั A แลุะเซตั B ไม�ม%สมาชิกร์�วิมก�นั สุรื่"างแผู้นภาพโดยวงกลมซ,งแที่นเซต A แลุะเซต B ไม�ม�พ�+นที่�ที่#บซ"อนก#น เช่�น

A={3,2 } ,B= {−1,7 } เซตที่#+งสุองไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#น


2. เซตั A แลุะเซตั B ม%สมาชิกร์�วิมก�นับางสุ�วน สุรื่"างแผู้นภาพโดยวงกลมซ,งแที่นเซต A และเซต B ม�พ�+นที่�บางสุ�วนที่#บซ"อนก#น เช่�น

A={0 ,−1,4 } ,B= {4,6,9 } เซตที่#+งสุองม�สุมาช่%กรื่�วมก#นค�อ 43. เซตั A เป3นัส�บเซตัของเซตั B แตั�เซตั B ไม�เป3นัส�บเซตั

ของเซตั A สุรื่"างแผู้นภาพโดยวงกลมซ,งแที่นเซต A ม�ขนาดเล4กอย(�ภายในวงกลมซ,งแที่นเซต B ม�ขนาดใหญ่� เช่�น

A={7,1 } ,B= {0,7,1,6 ,−2 }

4. เซตั A เท�าก�บเซตั B สุรื่"างแผู้นภาพโดยวงกลมซ,งแที่นเซต Aและเซต B ม�ขนาดเที่�าก#นและซ"อนที่#บก#นพอด� เช่�น

A={−2,1,8 } ,B={−2,1,8 }

สุ)าหรื่#บสุมาช่%กในเอกภพสุ#มพ#ที่ธ& ซ,งไม�เป็�นสุมาช่%กของเซตใดๆ ให"เข�ยนอย(�ในรื่(ป็สุ�เหล�ยม ซ,งไม�อย(�ในวงกลม เช่�น

U= {−5 ,−4,0,1,6,7,9 } , A= {1,7,9 }, B= {−5,1 }


-4,0,6 เป็�นสุมาช่%กของเอกภพสุ#มพ#ที่ธ& แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต A และเซต B ตั�วิอย�างท%& 10 สุรื่"างแผู้นภาพแสุดงข"อม(ลต�อไป็น�+

U¿ {−9 ,−3 ,−2,0,1,2,5,6 }

A={−2,0,6 }

B= {−9 ,−2,1 }

ตั�วิอย�างท%& 11 สุรื่"างแผู้นภาพแสุดงข"อม(ลต�อไป็น�+U¿ {−4 ,−3 ,−2,0,1,2,5,6,7 }

A={−2,5,6,7 }

B= {−3 ,−2,0,1,6 }

C={−4,2,1,5,6 }

ตั�วิอย�างท%& 12 สุรื่"างแผู้นภาพแสุดงข"อม(ลต�อไป็น�+U¿ {−2,1,0,1,2,3 }

A={xx2=1}B= {xx2−3 x+2=0 }C={x2x−6=0 }

วิธี%ท,า __จาก A={xx2=1}

x2=1


x2−1=0

( x+1 )(x−1)=0

x+1=0 หรื่�อ x−1=0

x=−1 หรื่�อ x=1

ด#งน#+น A={−1,1 }

จาก B= {xx2−3 x+2=0 } x2−3 x+2=0 ( x−2 )(x−1)=0

x−2=0 หรื่�อ x−1=0

x=2 หรื่�อ x=1

ด#งน#+น B= {1,2 }

จาก C={x2x−6=0 }

2 x−6=02 x=6

x=62=3

ด#งน#+น C={3 }

แบบฝู=กห#ด 2.31. สร์!างแผนัภาพแสดิงข!อม0ลุตั�อไปนั%+

1.1 U¿ {−9 ,−2 ,−1,0,5,6,7 } A={−2,6,7 }


B= {−9,7 }

1.2 U¿ {−7 ,−3 ,−2 ,−1,0,2,4,6 }

A={−3,2,6 }

B= {−7,4 }

1.3 U¿ {−9 ,−3,0,1,4,7 }

A={−9,0,7 }

B= {0,7 ,−9 }

1.4 U¿ {−9,4,1 }

A={−9,4 }

B= {4 ,−9,1 }

1.5 U¿ {−7 ,−1,2,4,6 }

A={−7,2,4 }

B= {4 }

1.6 U¿ {−4 ,−2,0,1,9 }

A={−4 ,−2,1,9 }

B= {−2,0,1,9 }

1.7 U¿ {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

A={1,2,3,4,5 }

B= {1,2,3,8 }

C={1,3,4,7 }


1.9 U¿ {−9 ,−4 ,−3,0,1,2,6,7,9 }

A={0,1,9 }

B= {−3,0,6 }

C={2,7 }

1.11 U¿ {−9 ,−1,1,2,4,5,7 }

A={1 }

B= {−9,2,4 }

C={1,2,7 }

1.8 U¿ {−5 ,−4,2,3,7 }

A={2,7 }

B= {−5,2,3 }

C={−4,2,3 }

1.10 U¿ {−6 ,−4,1,2,4,5,6 }

A={2 }

B= {−4,2,6 }

C={−6 ,−4,2,4,6 }

1.12 U¿ {−7 ,−6 ,−4,2,4,5,9 }

A={2,5 }

B= {−6,2,4,5 }

C={−7,2,9 }


2. เข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบแจกแจงสมาชิกแลุะสร์!างแผนัภาพ

2.1 U¿ {x∈ I−4≤ x≤6 } A={xx2−5x−6=0}

B= {xx=4 }

2.2 U¿ {x∈ I−3<x<6 } A={xx2=25}

B= {xx2−8 x+15=0}

2.3 U¿ {x∈ I−3≤ x≤5 } A={xx2+x−6=0 }

B= {xx2−7 x+10=0}

2.5 U¿ {x∈ I0<x<6 } A={xx3−4 x2−4 x+16=0} B= {xx3−11 x2+40 x−48=0}C={xx3−4 x2−x+4=0}

2.4 U¿ {x∈ I−2≤ x≤5 }

A={xx2=25 }

B= {x(x2−4 )(x−5)=0}

2.6 U¿ {x∈ I0<x<6 } A={xx3−8 x2+17 x−10=0 }B= {xx=3 }C={xx2−4 x+3=0 }


จงเลุ(อกคั,าตัอบท%&ถู0กตั!องท%&ส�ดิ1. สุมาช่%กของเซต {x−1≤x ≤1 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มตรื่งก#บข"อใด

1. -1,0,1 2. 0,1 3. -1,04. 1

2. สุมาช่%กของเซต {x−1≤x ≤1 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนน#บตรื่งก#บข"อใด

1. -1,0,1 2. 0,1 3. -1,04. 1

3. สุมาช่%กของเซต {xx2=36 } เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มลบตรื่งก#บข"อใด

1. 6 และ -6 2. 6 3. -6 4.

ถ(กที่�กข"อ4. สุมาช่%กของเซต {x3 x2−20 x−7=0} เม�อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มตรื่งก#บข"อใด

1. 7 และ −13 2. -7 และ 1

3 3. 7 4. -7

5. {x10<x<20 } ม�สุมาช่%กค�อ 11,13,17,19 เอกภพสุ#มพ#ที่ธ&ของเซตน�+ตรื่งก#บข"อใด

1. U¿ R 2. U¿ P 3. U¿ I 4. U¿ I+¿¿

6. ข"อใดไม�เป3นัสุ#บเซตของ{3,6 ,−1 }

1. ∅ __ 2. {3,6 ,−1 } 3. {3,6 } 4. {−6 }

7. ข"อใดเป3นัสุ#บเซตของ{4 , {2 } , {6 , {3 }}}

แบบ


1. {4 } __ 2. 2 3. {2 } 4. {6,3 }

8. ข"อใดเป3นัสุ#บเซตที่#+งหมดของ{7,0 ,−1 ,−5 }

1. {7 }, {0 } , {−1 } , {−5 }, {7,0 } , {7 ,−1 }, {7 ,−5 }, {0 ,−1 }, {0 ,−5 } , {−1 ,−5 } , {7,0 ,−1 }, {7,0 ,−5 }, {7 ,−1,−5 } , {0 ,−1 ,−5 }, {7,0 ,−1 ,−5 } ,∅

2. {7 }, {0 } , {−1 } , {−5 }, {7,0 } , {7 ,−1 }, {7 ,−5 }, {0 ,−1 }, {0 ,−5 } , {−1 ,−5 } , {7,0 ,−1 }, {7,0 ,−5 }, {7 ,−1,−5 } , {7,0 ,−1 ,−5 },∅

3. {7 }, {0 } , {−1 } , {−5 }, {7,0 } , {7 ,−1 }, {7 ,−5 }, {0 ,−1 }, {0 ,−5 } , {−1 ,−5 } , {7,0 ,−1 }, {7 ,−1 ,−5 } , {0 ,−1 ,−5 }, {7,0 ,−1 ,−5 } ,∅

4. {7 }, {0 } , {−1 } , {−5 }, {7,0 } , {7 ,−1 }, {7 ,−5 }, {0 ,−1 }, {0 ,−5 } , {−1 ,−5 } , {7,0 ,−1 }, {7,0 ,−5 }, {7 ,−1,−5 } , {0 ,−1 ,−5 },∅

9. เซตใดเป็�นสุ#บเซตของที่�กเซต1. U 2. ∅ 3. P(A)

4. ถ(กที่�กข"อ10. A เป็�นสุ#บเซตของเซตใด

ก. U __ ข. ∅ ค. A

1. ก 2. ค 3. ก และ ข4. ก และ ค

11. A=B เม�อใด1. A⊂Bแต� B⊄A 2. A⊄Bแต� B⊂A

__3. A⊄BและB⊄ A 4. A⊂BและB⊂ A

12. A เป็�นสุ#บเซตแท!ของ B เม�อใด1. A⊂Bแต� B⊄A 2. A⊄Bแต� B⊂A


13. A เป็�นสุ#บเซตไม�แท!ของ B เม�อใด1. A⊂Bแต� B⊄A 2. A⊄Bแต� B⊂A



14. เซตซ,งม�สุมาช่%ก 3 ต#ว ม�สุ#บเซตที่#+งหมดก�สุ#บเซต1. 7 สุ#บเซต 2. 8 สุ#บเซต 3. 15 สุ#บเซต

4. 16 สุ#บเซต15. เซตซ,งม�สุมาช่%ก 4 ต#ว ม�สุ#บเซตแท!ที่#+งหมดก�สุ#บเซต

1. 7 สุ#บเซต 2. 8 สุ#บเซต 3. 15 สุ#บเซต4. 16 สุ#บเซต

16. ข"อใดเป็�นสุ#บเซตของ A={x3≤ x≤8 } เม� อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม

1. B= {xx2−10 x+25=0} 2. C={xx2=0 }3. D= {xx2−8x+12=0} 4. E={xx=9 }

17. ข"อใดไม�เป3นัสุ#บเซตของ A={xx2≤9} เม� อ U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม

1. B= {x√ x=0 } 2. C={xx=1 }

3. D= {xx2−2x−8=0 } 4. E={xx2+4 x+4=0 }

18. ข"อใดเป็�นสุ#บเซตไม�แท!ของ A={xx=6 } 1. B= {xx2+12x+36=0} 2. C={xx2+4 x−12=0}3. D= {xx2=36 } 4. E={x∈ I−6≤ x≤6 }

19. เซตซ,งม�สุมาช่%ก 5 ต#ว เพาเวอรื่&เซตของเซตน#+นม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 15 ต#ว 2. 16 ต#ว 3. 30 ต#ว4. 32 ต#ว

20. ข"อใดเป็�นเพาเวอรื่&เซตของ {3,0 }

1. { {3 }, {0 } ,∅ } 2. { {3 }, {0 } , {3,0 }}

3. {3 , {0 } , {3,0 } ,∅ } 4. { {3 }, {0 } , {3,0 } ,∅ }

21. ข"อใดเป็�นเพาเวอรื่&เซตของ {−2,1,5 }

1. { {−2,1 }, {−2,5 } , {1,5 } , {−2,1,5 } ,∅ } 2. { {−2 }, {1 } , {5 }, {−2,1 } , {−2,5 } , {1,5 },∅ }


3.{−2 } , {1 } , {5 }, {−2,1 } , {−2,5 } , {1,5 }, {−2,1,5 },∅

4. { {−2 }, {1 } , {5 }, {−2,1 } , {−2,5 } , {1,5 }, {−2,1,5 },∅ }

22. ข"อใดเป็�นเพาเวอรื่&เซตของ {−3,0,2,9 }

1.{3 } , {0 } , {2 }, {9 }, {−3,0 }, {−3,2 } , {−3,9 } , {0,2 }, {0,9 } , {2,9 } , {−3,0,2 }, {−3,0,9 } ,

{−3,2,9 }, {0,2,9 } , {−3,0,2,9 } ,∅

2.{3 } , {0 } , {2 }, {9 }, {−3,0 }, {−3,2 } , {−3,9 } , {0,2 }, {0,9 } , {2,9 } , {−3,0,2 }, {−3,0,9 } ,

{−3,2,9 }, {0,2,9 } , {−3,0,2,9 } ,∅

3.{3 } , {0 } , {2 }, {9 }, {−3,0 }, {−3,2 } , {−3,9 } , {0,2 }, {0,9 } , {2,9 } , {−3,0,2 },

{−3,2,9 }, {0,2,9 } , {−3,0,2,9 } ,∅

4.{3 } , {0 } , {2 }, {9 }, {−3,0 }, {−3,2 } , {−3,9 } , {0,2 }, {0,9 } , {2,9 } , {−3,0,2 }, {−3,0,9 } ,

{−3,2,9 }, {0,2,9 } ,∅

23. ข"อใดเป็�นเพาเวอรื่&เซตของ {1 , {3 } , {2 ,−1 }}

1.{ {1 }, {{3 }} , {{2 ,−1 } }, {1 , {3 } } , {1, {2 ,−1 } }, { {3 }, {2 ,−1 }} ,∅ }2.{ {1 }, {{3 }} , {{2 ,−1 } }, {1 , {3 } } , {1, {2 ,−1 } }, { {3 }, {2 ,−1 }} , {1 , {3 }, {2 ,−1 } }}3.{ {1 }, {{3 }} , {{2 ,−1 } }, {1 , {3 } } , {1, {2 ,−1 } }, { {3 }, {2 ,−1 }} , {1 , {3 }, {2 ,−1 } },∅ }4. {1 } , {{3 }} , {{2 ,−1 }} , {1 , {3 }}, {1 , {2 ,−1 }} , {{3 } , {2 ,−1 }} , {1 , {3 } , {2 ,−1 }} ,∅

24. P(A) เป็�นเซตอน#นต&เม�อ A เป็�นเซตป็รื่ะเภที่ใด1. เซตจ)าก#ด 2. เซตอน#นต&3. ที่#+งเซตจ)าก#ดและเซตอน#นต& 4. ผู้%ดที่�กข"อ

25. แผู้นภาพด"านล�างแที่นข"อใด

1. A และ B ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#น 2. A เป็�นสุ#บเซตของ B

3. B เป็�นสุ#บเซตของ A 4. A เที่�าก#บ B


26. A และ B ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#น C เป็�นสุ#บเซตของ B ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

27. U ¿ {−7 ,−6 ,−5 ,−1,2,3,4,9 } , A={−6 ,−1,3,4 } ,B={−7 ,−6,3 } ต รื่ ง ก# บแผู้นภาพใด

28. U¿ {−2 ,−1,3,4,6,9 } ,A={3 } ,B={−1,3,4 },C={−2,3,6 }


29. แผู้นภาพด"านล�างตรื่งก#บข"อใด

1. U ¿ {−3 ,−2,0,1,2,4,6,7,9 } 2. U ¿ {0,1,2,4,6,7,9 }

A={1,2,4,6 } A={1,2,4,6 }

B= {1,2,9 } B= {1,2,9 }

C={0,2,4,7 } C={0,2,4,7 }

3. U ¿ {−3 ,−2,0,1,2,4,6,7,9 } 4. U ¿ {−3 ,−2,0,1,2,4,6,7,9 }

A={6 } A={1,6 }

B= {9 } B= {2,9 }

C={0,7 } C={0,4,7 }

30. แผู้นภาพของ U ¿ {x∈ I−3≤ x≤3 } , A= {xx−3=1 } ,


B= {xx3+x2−4 x−4=0 } ตรื่งก#บข"อใด

3 การื่กรื่ะที่)าที่างเซต


การ์กร์ะท,าทางเซตั ค�อ การื่สุรื่"างเซตใหม�จากเซตที่�ก)าหนด การื่กรื่ะที่)าที่างเซตม� 4 ช่น%ด ค�อย(เน�ยน อ%นเตอรื่&เซกช่#น ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซต และคอมพล�เมนต&

3.1 ย(เน�ยนย0เนั%ยนั ค�อ การื่กรื่ะที่)าที่างเซตซ,งที่)าให"เก%ดเซตใหม�ซ,งม�สุมาช่%ก

ที่#+งหมดของเซตซ,งน)ามาย(เน�ยนก#น ย(เน�ยนใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& เซต A ย(เน�ยนก#บเซต B ใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& A B เข�ยนเป็�นเซตแบบบอกเง�อนไข ด#งน�+

A∪B= {xx∈ A หรื่�อ x∈B }

สุามารื่ถเข�ยนแผู้นภาพแที่นการื่ย(เน�ยนของเซต A และ เซต B ด#งน�+

1. เซต A และ เซต B ม�สุมาช่%กรื่�วมก#นบางสุ�วน สุมาช่%กของ A∪B เป็�นสุมาช่%กที่#+งหมดของเซต A และ เซต B รื่วมก#น โดยที่� A∪B ค�อ สุ�วนที่�แรื่เงาในแผู้นภาพ

2. เซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B สุมาช่%กของ A∪B เป็�นสุมาช่%กของเซต B


3. เซต B เป็�นสุ#บเซตของเซต A สุมาช่%กของ A∪B เป็�นสุมาช่%กของเซต A

4. เซต A เที่�าก#บเซต B สุมาช่%กของ A∪B เป็�นสุมาช่%กของเซต A หรื่�อ เซต B

5. เซต A ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#บเซต B สุมาช่%กของ A∪B เป็�นสุมาช่%กที่#+งหมดของเซต A และ เซต B

ตั�วิอย�างท%& 1 A={2,6,9,10 }

B= {1,5,6,8,9 } C={3,5,7 }

จงหา A∪B , A∪C , B∪C

วิธี%ท,า A∪B= {1,2,5,6,8,9,10 }

A∪C={2,3,5,6,7,9,10 }B∪C= {1,3,5,6,7,8,9 }

ข!อส�งเกตั!!! - เซต B และเซต C ม�สุมาช่%กซ)+าก#นค�อ 5 ด#งน#+น B∪C จะเข�ยน 5 ซ,งเป็�นสุมาช่%ก


ที่�ซ)+าก#นของเซต B และเซต C เพ�ยง 1 ครื่#+ง- ถ"าเซต A และเซต B ไม�เป็�นเซตว�าง แล"ว A∪B ไม�เป็�น

เซตว�างตั�วิอย�างท%& 2 U ¿ {xx เป็�นจ)านวนเต4มบวกที่�น"อยกว�า10 }

A={1,2,6,9 }

B= {2,8,9 }

จงสุรื่"างแผู้นภาพของ A∪B

วิธี%ท,า A∪B= {1,2,6,8,9 }

1. A∪B=B∪A

2. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

3. A∪ A=A

4. A∪∅=A

5. A∪U = U

6. ถ"า A∪B=∅ แล"ว A=∅ และ B=∅7. ถ"า A⊂B แล"ว A∪B=B

8. A⊂ A∪B และ B⊂ A∪B

ตั�วิอย�างท%& 3 A={xx2=9}

B= {x∈ I−5<x<5 }

จงพ%สุ(จน&ว�า ถ"า A⊂B แล"ว A∪B=B

วิธี%ท,า A={−3,3 }

สมบ�ตัของย0เนั%ยนั


B= {−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

สุมาช่%กที่�กต#วของเซต A เป็�นสุมาช่%กของเซต B สุรื่�ป็ว�าเซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต Bด#งน#+น ถ"า A⊂B แล"ว A∪B=B

1. ให! A={0,2,5,6 } ,B={1,2,6,8 } ,C={2,4,6 } จงเข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบแจกแจงสมาชิก1.1 A∪B 1.2 B∪ A 1.3 A∪C 1.4 B∪C 1.5 A∪ A 1.6 C∪C 1.7 (A∪B)∪C 1.8 A∪(B∪C)

2. หา A∪B จากเซตั A แลุะเซตั B ตั�อไปนั%+2.1 A={2,3,6,10 } B= {2,6,8,12 }



A∪B=¿

2.2 A={4,5,9 } B= {1,6,10 }A∪B=¿

2.3 A={2,3,6,10,12 } B= {3,6,12 }A∪B=¿

2.4 A={−4,0,2 } B= {−43,0,1,2 }A∪B=¿

2.5 A={} B= {−2,0,9,13 }A∪B=¿

2.6 A={−5,4,8,9 } B= {−5,4,8,9 }A∪B=¿

2.7 A={} B={}A∪B=¿

2.8 A={−8 ,−1,0,4,5 ,… } B= {−8,0,4 ,…}A∪B=¿

3. แรื่เงา A∪B จากแผู้นภาพต�อไป็น�+3.1

3.3

3.5

3.2


3.4

4. สร์!างแผนัภาพของ A∪B จากเซตัท%&ก,าหนัดิ4.1 U¿ {0,1,2,3,4,5,6,7 }

A={1,2,3,7 }

B= {4,6,7 }

4.2 U¿ {−6 ,−2,0,1,3,5,6,7 }

A={1,3,6 }

B= {−2,0,7 }

4.3 U¿ {3,4,6,7,9 }

A={3,4,6 }

B= {3,4,6 }

4.4 U¿ {−6 ,−2,0,1,3,5,7 }

A={−2,0,1,3 }

B= {−6,1,5,7 }

4.5 U¿ {−6 ,−3 ,−1,2,4,9 } A={2,9 }

B= {−1,2,4,9 }

4.6 U¿ {−4,2,5,8,9 } A={−4,2,5,8,9 }

B= {8 }


5. จงพส0จนั�วิ�าถู!า A⊂B แลุ!วิ A∪B=B เม(&อA={2,6,9 }

B= {1,2,5,6,9 } __ __ __ __ __ __ 6. จงพส0จนั�วิ�าถู!า B⊂ A แลุ!วิ A∪B=A เม(&อ U เป3นัเซตัของจ,านัวินัเตั4มแลุะ

A={x−2≤ x≤2 }

B= {xx2−x−2=0} __ __ __ __ __ __


3.2 อ%นเตอรื่&เซกช่#นอนัเตัอร์�เซกชิ�นั ค�อ การื่กรื่ะที่)าที่างเซตซ,งที่)าให"เก%ดเซตใหม�ซ,ง

ม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กรื่�วมก#นของเซตซ,งน)ามาอ%นเตอรื่&เซกช่#นก#น อ%นเตอรื่&เซกช่#นใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& เซต A อ%นเตอรื่&เซกช่#นก#บเซต B ใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& A B เข�ยนเป็�นเซตแบบบอกเง�อนไข ด#งน�+

A∩B= {xx∈ Aและ x∈B }

สุามารื่ถเข�ยนแผู้นภาพแที่นการื่อ%นเตอรื่&เซกช่#นของเซต A และ เซต B ด#งน�+

1. เซต A และ เซต B ม�สุมาช่%กรื่�วมก#นบางสุ�วน สุมาช่%กของ A∩B เป็�นสุมาช่%กรื่�วมก#นของเซต A และ เซต B โดยที่� A∩B ค�อ สุ�วนที่�แรื่เงาในแผู้นภาพ

2. เซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B สุมาช่%กของ A∩B ค�อสุมาช่%กของเซต A

3. เซต B เป็�นสุ#บเซตของเซต A สุมาช่%กของ A∩B ค�อสุมาช่%กของเซต B


4. เซต A เที่�าก#บเซต B สุมาช่%กของ A∩B เป็�นสุมาช่%กของเซต A หรื่�อ เซต B

5. เซต A ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#บเซต B A∩B เป็�นเซตว�างหรื่�อ A∩B ไม�ม�สุมาช่%ก

ตั�วิอย�างท%& 4 A={0,2,6,9 } ,B={3,6,9,10 } ,C= {3,10,12 }

จงหา A∩B , A∩C และ B∩C วิธี%ท,า A∩B= {6,9 }

A∩C={} B∩C={3,10 }

ตั�วิอย�างท%& 5 U ¿ {x∈ Ixมากกว�าหรื่�อเที่�าก#บ−4แต�น"อยกว�า5 } A={xx=4 }

B= {xx2−3 x−4=0 }

จงสุรื่"างแผู้นภาพ A∩B วิธี%ท,า จาก A={xx=4 }

x=4

x=±4

จะได" A={−4,4 }


จาก B= {xx2−3 x−4=0 }

x2−3 x−4=0

( x−4 ) ( x+1 )=0

( x−4 )=0 หรื่�อ ( x+1 )=0

x=4 หรื่�อ x=−1

จะได" B= {−1,4 } U ¿ {−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

1. A∩B=B∩ A

2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C )

3. A∩ A=A

4. A∩∅=∅

5. A∩U = A

6. ถ"า A⊂B แล"ว A∩B=A

7. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

8. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A ∩C)

ตั�วิอย�างท%& 6 จงพ%สุ(จน&ว�า A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

เม�อ A={xx4+8 x3−9 x2−200 x−400=0 }

B= {xx3+4 x2−11 x−30=0 } C={xx3+11 x2+35 x+25=0}

วิธี%ท,า จาก A={xx4+8 x3−9 x2−200 x−400=0 }

x4+8 x3−9 x2−200 x−400=0

สมบ�ตัของอนัเตัอร์�เซกชิ�นั


(x2+8 x+16)(x2−25)=0

( x+4 )2(x+5)(x−5)=0

( x+4 )2=0 หรื่�อ x+5=0 หรื่�อ x−5=0

x=−4 หรื่�อ x=−5 หรื่�อ x=5

จะได" A={−5 ,−4,5 }

จาก B= {xx3+4 x2−11 x−30=0 }

x3+4 x2−11 x−30=0

(x2+7 x+10)(x−3)=0(x+5)(x+2)(x−3)=0

x+5=0 หรื่�อ x+2=0 หรื่�อ x−3=0

x=−5 หรื่�อ x=−2 หรื่�อ x=3

จะได" B= {−5 ,−2,3 }

จาก C={xx3+11 x2+35 x+25=0}

x3+11 x2+35 x+25=0

(x2+10x+25)(x+1)=0

( x+5 )2(x+1)=0

( x+5 )2=0 หรื่�อ x+1=0 x=−5 หรื่�อ x=−1

จะได" C={−5 ,−1 }

B∩C={−5 }∴ A∪¿

A∪B= {−5 ,−4 ,−2,3,5 }A∪C={−5 ,−4 ,−1,5 }∴ ( A∪B )∩ (A∪C )={−5 ,−4,5 }

ด#งน#+น A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)


1. ให! A={2,3,7,9 } ,B={3,5,7,9 } ,C= {2,5,9,10 } จงเข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบแจกแจง สมาชิก1.1 A∩B __ __

1.2 B∩ A __ __

1.3 B∩C __ __

1.4 A∩C __ __

1.5 A∩ A __ __

1.6 C∩C __ __

แบบ


1.7 (A∩B)∩C __ __

1.8 A∩(B∩C) __ __

2. หา A∩B จากเซตั A แลุะเซตั B ตั�อไปนั%+2.1 A={2,3,5,8,10 } B= {3,7,8,11 }A∩B=¿ 2.2 A={0,2,6 } B= {0,2,6,9 }A∩B=¿ 2.3 A={−4,0,1,6 } B= {−4,0,6 }A∩B=¿ 2.4 A={0,2,5,7 } B= {7,0,2,5 }A∩B=¿ 2.5 A={2,8,10,11} B=∅A∩B=¿ 2.6 A={−2,0,1,6 } B= {−3 ,−1,4,5 }A∩B=¿ 2.7 A=∅ B={}A∩B=¿ 2.8 A={3,5,7,9 ,…} B= {2,3,7,8 ,… }A∩B=¿

3. ให! A={3,6,8,9 } ,B={1,3,5,8 } ,C= {2,3,9,10 } จงหา3.1 A∪B

3.2 A∩B

3.3 B∪C

3.4 C∩ A

3.5 (A∪B)∪C

3.7 C∪(A ∩B)


3.6 A∪(B∩C) 3.8 (B∪C)∩ A

4. แร์เงาภาพของ A∩B จากแผนัภาพตั�อไปนั%+4.1

4.3

4.5

5. แร์เงาแผนัภาพตัามท%&ก,าหนัดิ5.1 (A∩B)∩C

5.3 A∪(B∩C)

4.2


4.4

5.2 A∩(B∩C)

5.4 A∩(B∪C)

5.5 B∩(A∪C)

5.7 (A∩B)∪(B∩C )

6. หาคั�าของ A∩B จากเซตัท%&ก,าหนัดิ6.1 A={xx3−7 x+6=0 } B= {xx3+x2−21 x−45=0} 6.3 A={xx4−10 x2+9=0} B= {xx2−4 x+3=0 }

5.6 (B∪C)∪ A

5.8 (A∪B)∩(B∪C)


6.2 A={xx2−25=0 } B= {xx2+6 x+9=0} 6.4 A={xx=2nเม�อn เป็�นจ)านวนน#บ}

B= {xx2−4 x+3=0 }

7. จงพ%สุ(จน&ว�า ถ"า A⊂B แล"ว A∩B=A

A={−3,1,6,9 }B= {−3,0,1,2,6,9 }

8. จงพ%สุ(จน&ว�า A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A ∩C)

A={xx3+5 x2−36 x−180=0 }B= {xx3+11 x2+24 x−36=0}C={xx3+6 x2−4 x−24=0}


3.3 ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซตผลุตั�างร์ะหวิ�างเซตั ค�อ การื่กรื่ะที่)าที่างเซตซ,งที่)าให"เก%ดเซตใหม�

ซ,งม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กของเซตต#วต#+งแต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซตต#วลบ ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซตใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& −¿ ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซต A และเซต B ใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& A−¿ B เข�ยนเป็�นเซตแบบบอกเง�อนไข ด#งน�+

A−B={xx∈ Aและ x∉B }

สุามารื่ถเข�ยนแผู้นภาพแที่นผู้ลต�างรื่ะหว�างเซต A และเซต B ด#งน�+

1. เซต A และ เซต B ม�สุมาช่%กรื่�วมก#นบางสุ�วน สุมาช่%กของ A−B เป็�นสุมาช่%กของเซต A แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต B โดยที่� A−B ค�อ สุ�วนที่�แรื่เงาในแผู้นภาพ

2. เซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B สุมาช่%กของ A−B ค�อเซตว�าง


3. เซต B เป็�นสุ#บเซตของเซต A สุมาช่%กของ A−B ค�อสุมาช่%กของเซต A แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต B

4. เซต A เที่�าก#บเซต B สุมาช่%กของ A−B ค�อเซตว�าง

5. เซต A ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#บเซต B A−B เป็�นสุมาช่%กที่#+งหมดของ A

ตั�วิอย�างท%& 7 A={3,5,8,10 } ,B={1,2,5,8 } ,C= {1,3,5,8,10 }

จงหา A−B , B−A , A−CและB−C

วิธี%ท,า A−B={3,10 }

B−A={1,2 }A−C={}B−C= {2 }

ข!อส�งเกตั!!! 1. A−B ไม�จ)าเป็�นต"องเที่�าก#บ B−A

2. A−B=∅ เม�อ A=B หรื่�อ A⊂B ตั�วิอย�างท%& 8 U¿ {x∈ I−3≤ x≤3 }


A={xx4−9 x2=0 }B= {xx2+x−6=0 }

จงสุรื่"างแผู้นภาพ A−B วิธี%ท,า U¿ {−3 ,−2,−1,0,1,2,3 }

จาก A={xx4−9 x2=0 }

x4−9 x2=0

x2(x2−9)=0

x2(x+3)(x−3)=0

x2=0 หรื่�อ x+3=0 หรื่�อ x−3=0

x=0 หรื่�อ x=−3 หรื่�อ x=3

จะได" A={−3,0,3 }

จาก B= {xx2+x−6=0 }

x2+ x−6=0

(x+3)(x−2)=0

x+3=0 หรื่�อ x−2=0


จะได" B= {−3,2 }

1. A−B=A ก4ต�อเม�อ B=∅

2. A−B=∅ ก4ต�อเม�อ A⊂B หรื่�อ A=B

3. ถ"า A⊂B แล"ว A−B=∅

สมบ�ตัของผลุตั�าง


4. ถ"า A=B แล"ว A−B=∅5. A−B = A∩B'

6. A−∅ = A7. ∅−A = ∅8. A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)9. A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)

10. ( A∩B )−C=(A−C )∩(B−C)

11. ( A∪B )−C=(A−C )∪(B−C)

ตั�วิอย�างท%& 9 หาค�าของ ( A−B )−C เม�อ A={−3 ,−1,0,2,5,7 }

B= {−3 ,−2,0,1,4 }

C={0,1,4,7,8 }

วิธี%ท,า A−B={−1,2,5,7 }

∴ ( A−B )−C= {−1,2,5 }

ตั�วิอย�างท%& 10 จงพ%สุ(จน&ว�า A−(B∩C )=(A−B)∪(A−C)

เม�อ A={xx3+6 x2−x−30=0 }

B= {xx3+7 x2+15 x+9=0}C={xx2−25=0 }

วิธี%ท,า จาก A={xx3+6 x2−x−30=0 }

x3+6 x2−x−30=0

(x2+8 x+15)(x−2)=0

(x+3)(x+5)(x−2)=0

x+3=0 หรื่�อ x+5=0 หรื่�อx−2=0

x=−3 หรื่�อ x=−5 หรื่�อx=2

จะได" A={−5 ,−3,2 }

จาก B= {xx3+7 x2+15 x+9=0}

x3+7 x2+15 x+9=0

(x2+6 x+9)(x+1)=0

( x+3 )2(x+1)=0

x+3=0 หรื่�อ x+1=0 x=−3 หรื่�อ x=−1


จะได" B= {−3 ,−1 }

จาก C={xx2−25=0 }

x2−25=0

(x+5)(x−5)=0

x+5=0 หรื่�อ x−5=0 x=−5 หรื่�อ x=5

จะได" C={−5,5 }

B∩C={}

∴ A−(B∩C)={−5 ,−3,2 } A−B={−5,2 }

A−C={−3,2 }

∴(A−B)∪(A−C)= {−5 ,−3,2 }

ด#งน#+น A−(B∩C )=(A−B)∪(A−C)

1. ให! A={0,1,3,4,6,8 } ,B={1,5,7,8 } ,C= {−1,0,3,6 } จงเข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบ แจกแจงสมาชิก1.1 A−B

1.2 B−A



1.3 A−C

1.4 C−B

1.5 A−A 1.7 ( A−B )−C

2. หา A−B จากเซตั A แลุะเซตั B ตั�อไปนั%+2.1 A={0,1,2,3,4,6,9,10 } B= {0,2,3,5,8,9,10 }A−B=¿

2.3 A={−2 ,−1,0,1,2,3,5 } B= {−2,0,1,3 }A−B=¿

2.5 A={−1,0,3,6,8 } B= {−2,1,2,4,7 }A−B=¿

1.6 B−B 1.8 B−(A−C )

2.2 A={2,3,5,7 }

B= {0,1,2,3,4,5,7 }A−B=¿

2.4 A={−3 ,−4,0,1 }

B= {0 ,−4,1 ,−3 }A−B=¿

2.6 A={2,4,6,8 ,…}

B= {2,4 }A−B=¿

3. ก,าหนัดิให! A={2,3,4,6,8 } ,B={1,3,5,6,9 } ,C= {3,4,5,7,10 } จงหา3.1 A−B 3.3 B∪ A

3.5 (A−B)∪C

3.7 (A−B)∪(A−C)

4. แร์เงาภาพของ A−B จากแผนัภาพตั�อไปนั%+4.1

4.3


4.5

3.2 A∩B

3.4 C−A

3.6 C∩(A−C) 3.8 ( A∩B )−(B∪C )

4.2

4.4

5. แร์เงาภาพตัามท%&ก,าหนัดิ5.1 (A−B)∪C

5.3 B−(A−C )

5.5 C−(A∩B)

5.7 (B∩A )−(A∩C )


5.2 A∩(B−C)

5.4 B−(A∪C)

5.6 (B∪ A )−C

5.8 (A−B)∪(C−A)

6. หาคั�าของA−B จากเซตัท%&ก,าหนัดิ

6.1 A={xx2−2x−3=0 } B= {xx2+x−12=0} 6.3 A={xx4−74 x2+1,225=0} B= {xx2+10 x+25=0 }

7. จงพ%สุ(จน&ว�า A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)

เม�อ A={0,2,6,8 }

B= {2,5,7,8 } C={0,5,8,9 }

6.2 A={xx2−25=0 } B= {xx2+2x−8=0} 6.4 A={xx=5nเม�อn เป็�นจ)านวนน#บ}

B= {xx3−25 x2+175 x−375=0}


8. จงพ%สุ(จน&ว�า ( A∩B )−C=( A−C )∪ (B−C )

เม�อ A={3,5,7,8 }

B= {0,1,6,8 } C={3,4,6,9 }

9. จงพ%สุ(จน&ว�า ( A∪B )−C=( A−C )∪ (B−C )

เม�อ A={x∈ I−2≤ x≤2 }

B= {xx2−4 x+4=0 } C={xx2−4 x+3=0 }


3.4 คอมพล�เมนต&คัอมพลุ%เมนัตั� ค�อ การื่กรื่ะที่)าที่างเซตซ,งที่)าให"เก%ดเซตใหม� ซ,ง

ม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กของเอกภพสุ#มพ#ที่ธ&ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซตที่�น)ามาคอมพล�เมนต&

ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซตใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& ' เซต A คอมพล�เมนต& ใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& A 'เข�ยนเป็�นเซตแบบบอกเง�อนไข ด#งน�+

A '={xx∈U และ x∉ A }

สุามารื่ถเข�ยนแผู้นภาพแที่นคอมพล�เมนต&ของเซต A ด#งน�+1. เซต A และ เซต B ม�สุมาช่%กรื่�วมก#นบางสุ�วน สุมาช่%ก

ของ A ' เป็�นสุมาช่%กของเซต U แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซต A โดยที่� A ' ค�อ สุ�วนที่�แรื่เงาในแผู้นภาพ


2. เซต A เป็�นสุ#บเซตของเซต B สุมาช่%กของ A ' เป็�นสุมาช่%กของ U แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของ A

3. เซต B เป็�นสุ#บเซตของเซต A สุมาช่%กของ A ' เป็�นสุมาช่%กของ U แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของ A

4. เซต A เที่�าก#บเซต B สุมาช่%กของ A ' เป็�นสุมาช่%กของ U แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของ A

5. เซต A ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#บเซต B สุมาช่%กของ A ' เป็�นสุมาช่%กของ U แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของ A


ตั�วิอย�างท%& 11 U¿ {−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

A={−2,0,1,3 }B= {−4 ,−1,2,4 }C={−2 ,−1,3,4 }

จงหา A' ,B' ,C ' , ( A−B )' , A'∪C ,(B∩C) '

วิธี%ท,า A'= {−4 ,−3 ,−1,2,4 }

B'={−3 ,−2,0,1,3 }C '={−4 ,−3,0,1,2 }

A−B❑={−2,0,1,3 }

(A−B)'={−4 ,−3 ,−1,2,4 }

A'∪C={−4 ,−3 ,−2 ,−1,2,3,4 }

B∩C={−1,4 } (B∩C )'= {−4 ,−3 ,−2,0,1,2,3 }

ตั�วิอย�างท%& 12 U¿ {x∈ I0<x<10 }

A={xx3−13 x2+55 x−75=0 }B= {xx3−8 x2+19 x−12=0 }

จงหาค�าของ A '∩B '

วิธี%ท,า U¿ {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

จาก A={xx3−13 x2+55 x−75=0 }

x3−13 x2+55 x−75=0

(x2−10 x+25)(x−3)=0

(x−5)2(x−3)=0

(x−5)2=0 หรื่�อ x−3=0

x=5 หรื่�อ x=3

จะได" A={3,5 }

จาก B= {xx3−8 x2+19 x−12=0 }

x3−8 x2+19x−12=0

(x2−4 x+3)(x−4)=0


(x−1)(x−3)(x−4)=0

x−1=0 หรื่�อ x−3=0หรื่�อx−4=0

x=1 หรื่�อ x=3 หรื่�อ x=4 จะได" B= {1,3,4 }

A'= {1,2,4,6,7,8,9 }B'={2,5,6,7,8,9 }

∴ A '∩B'= {2,6,7,8,9 }

1. A'=¿ U−A

2. (A¿¿ ') '=A ¿3. U’= ∅4. ∅ '=¿ U5. A∪ A'=¿ U6. A∩ A'=¿ ∅7. A−B=A∩B'

8. (A∩B)'=A '∪B'

9. (A∪B)'=A '∩B'

10. U−A=¿ U ∩ A'=A '

ตั�วิอย�างท%& 13 จงพ%สุ(จน&ว�า A−B=A∩B' เม�อ U ¿ {2,3,6,7,9 } , A= {3,7 } ,B= {2,3,6,9 }

วิธี%ท,า A−B={7 }

B'= {7 }A∩B'= {7 }

ด#งน#+น A−B=A∩B'

ตั�วิอย�างท%& 14 จงพ%สุ(จน&ว�า A∪ A'=¿ U เม�อ U ¿ {x∈ I−4≤ x≤4 }

A={xx4−20 x2+64=0}

วิธี%ท,า U ¿ {−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

จาก A={xx4−20 x2+64=0} x4−20x2+64=0

สมบ�ตัของคัอมพลุ%เมนัตั�


(x2−16)(x2−4)=0(x+4 )(x−4)( x+2)(x−2)=0

x+4=0 หรื่�อ x−4=0 หรื่�อx+2=0 หรื่�อx−2=0

x=−4 หรื่�อ x=4 หรื่�อ x=−2 หรื่�อ x=2

จะได" A={−4 ,−2,2,4 }

A '={−3 ,−1,0,1,3 }A∪ A '={−4 ,−3 ,−2,−1,0,1,2,3,4 }

ด#งน#+น A∪ A'=¿ U

1. ให! U¿ {−3 ,−2,0,1,4,5 } , A={−2,0,4 } ,B= {−3,0,1,5 } ,C= {−2,0,1 }

จงเข%ยนัเซตัตั�อไปนั%+แบบแจกแจงสมาชิก1.1 A '



1.3 C '

1.5 U

1.2 B'

1.4 (A' )'

1.6

2. ก,าหนัดิให! U¿ {−6 ,−4 ,−1,0,3,4,5 } , A= {−6 ,−1,0,5 },B={−4 ,−1,3,4 } ,

C={−6,0,3,5 } จงหา2.1 A '

2.3 C−B

2.5 A'−B

2.7 (A∪C) '

2.9 A '∩B '

2.2 A∪B

2.4 A∩C

2.6 B'∪C

2.8 (B−A) '

2.10 B'−C '

2.11 (A¿¿ '−C) ' ¿

2.13 C '∪(B−A)

2.15 (C∪C ' )−B

2.17 (A−B) ' ∩(B∪C ')

2.12 (B∪A ' )'

2.14 B∩(A−A ')

2.16 (A '−B)∪C '

2.18 ( A'∪B ' )−(C−C )


3. แร์เงาภาพตัามท%&ก,าหนัดิ3.1 (A−B) '

3.2 A '∪B

3.3 (A∩B)'

3.4 B'−A 3.5 ( A∪B )−C '

3.6 (B'∩ A )−C (B '∩ A )−C 3.7 A'−(B∩C )


3.8 ( A−B ) '∪ A 3.9 ( A∪B' )−(A ∩C)

3.10 ( A∩B ) ' ∩(B∪C)


4. หาเซตต�อไป็น�+จากข"อม(ลที่�ก)าหนดให"4.1 U¿ {x∈ I0≤ x ≤8 } 4.2 U¿ {xx=5n เม�อn เป็�นจ)านวนน#บ}

A={xx3−8 x2+17 x−10=0 } A={xx2−25 x+150=0 }

หาA ' หาA ' 4.3 U¿ {x∈ I−4≤ x≤4 } 4.4 U¿ {x∈ I−2≤ x≤5 }

A={xx=2 } A={xx3−2x2−3 x=0} B= {xx2=9 } B= {xx3−6 x2+32=0}

หา(A∪B)' หาA '∩B '

5. จงพ%สุ(จน&ว�า A∩ A'=∅ เม�อ U¿ {0,3,4,7,9,10 }, A= {0,7,10 }

6. จงพ%สุ(จน&ว�า ¿ เม�อ U¿ {−4 ,−2,1,3,5,6,9 }, A={−4,1,3 }, B={}

7. จงพ%สุ(จน&ว�า ¿ เม�อ U¿ {x∈ I−5≤ x≤3 }, A= {xx2+2 x−3} , B= {xx4+10 x3+16 x2−90 x−225=0}

แบบ


จงเลุ(อกคั,าตัอบท%&ถู0กตั!องท%&ส�ดิ1. ย(เน�ยนค�อการื่กรื่ะที่)าที่างเซตซ,งม�ล#กษณิะตามข"อใด

1. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กที่#+งหมดของเซตที่#+งสุอง2. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กรื่�วมก#นของเซตที่#+งสุอง3. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กของเซตต#วต#+ง แต�ไม�เป็�น

สุมาช่%กของเซตต#วลบ4. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กของเอกภพสุ#มพ#ที่ธ& แต�

ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซตน#+น2. ถ"าเซต A และเซต B ม�สุมาช่%กบางสุ�วนรื่�วมก#น A∪B ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

3. แผู้นภาพใดไม�ใชิ�แผู้นภาพของ A∪B 1. 2.


3. 4.

4. A={−8 ,−4,0,5 } ,B={−8,0,2 } แล"ว A∪B ตรื่งก#บข"อใด1. {0 } 2. {−8 ,−4,0,2,5 } 3. {−8 ,−4,0,5 } 4. {−8 ,−4,0,3,5 }

5. A={−2,0,7 } ,B={−2,0,1,5,7 } แล"ว A∪B ตรื่งก#บข"อใด1. {−2,0,7 } 2. {−2,0,1,5,8 } 3. {−2,0,2,5,7 } 4. {−2,0,1,5,7 }

6. A={0,3,6,10 } ,B={0,1,5,10 } ,C={2,3,5,6 } แล"ว (A∪B)∪C ตรื่งก#บข"อใด1. {0,1,2,3,5,6,10 } 2. {0,1,3,5,6,10 } 3. {0,1,2,3,5,8,10 } 4. {}

7. A={2,8,9,10 ,…} ,B={2,10 } แล"ว A∪B ตรื่งก#บข"อใด1. {2,10 } 2. {2,8,9,10 } 3. {2,8,9,10 ,…} 4. {2,10 ,…}

8. A∪ A เที่�าก#บข"อใด1. A 2. ∅ 3.U 4. ถ(กที่�ก

ข"อ9. A∪∅ เที่�าก#บข"อใด

1. A 2. ∅ 3.U 4. ถ(กที่�กข"อ10. A∪U เที่�าก#บข"อใด

1. A 2. ∅ 3.U 4. ถ(กที่�กข"อ11. A∪B=∅ เม�อใด


1. A และ B เป็�นเซตอน#นต& 2. A เป็�นเซตว�าง B เป็�นเซตอน#นต&

3.A เป็�นเซตว�าง B เป็�นเซตจ)าก#ด 4. A และ B เป็�นเซตว�าง

12. A={xx4−41x+400=0 } ,B= {xx2−2 x−15=0} แล"ว A∪B ตรื่งก#บข"อใด

1. {−5 ,−4 ,−3,4,5 } 2. {−5 ,−4 ,−2,4,5 } 3. {−6 ,−2,1,2,6 } 4. {5 }

13. อ%นเตอรื่&เซกช่#นใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ&ใด1. 2. 3. −¿ 4.

14. ถ"า A B แล"ว AB ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

15. แผู้นภาพใดไม�ใชิ�แผู้นภาพของ AB


16. A={−2,0,1,3,5 } ,B={0,2,3,4,5 } แล"ว A∩B ตรื่งก#บข"อใด1. {0 ,1,3,5 } 2. {0,3,5 } 3. {−2,3,5 } 4. {−2,0,1,2,3,4,5 }

17. A={−3,1,4,9 } ,B={−5 ,−1,0,6 } แล"ว A∩B ตรื่งก#บข"อใด1. ∅ 2. {−5 ,−1,0,6 } 3. {−5 ,−3 ,−1,0,1,4,6,9 } 4. {−3,1,4,6 }

18. A={−4 ,−1,0,3,6,8 } ,B={−1,0,6 } แล"ว A∩B ตรื่งก#บข"อใด1. {−4 ,−1,0,3,6,8 } 2. {−4,0,6 } 3. {} 4. {−1,0,6 }

19. A={−3,0,1,6,9 ,…} ,B={−3,1,9 } แล"ว A∩B ตรื่งก#บข"อใด1. {1,9 } 2. {−3,2,9 } 3. {−3,1,9 } 4. {−3,1,6,9 ,…}

20. A={−3,0,2,4,6 } ,B={0,2,4,5,7 },C={0,2,3,5,6 } แล"ว A∩(B∩C) ตรื่งก#บข"อใด

1. {0,2,5 } 2. {0,2 } 3. {−3,2,5 } 4. ∅

21. A={−2 ,−1,4,5,7 }, B= {−3 ,−1,0,5,7 } ,C= {−2,−1,2,5,9 } แล"ว (A∪B)∩(B∪C) ตรื่งก#บข"อใด


1. {−1,5 } 2. {−3 ,−2,−1,0,5,7 } 3. {−3 ,−2,−1,0,2,5,7,9 } 4. {−3 ,−2,−1,0,4,5,7 }

22. A∩U เที่�าก#บข"อใด1. A 2. ∅ 3.U 4. ถ(กที่�ก

ข"อ23. A∩ = ∅ ควรื่เต%มเซตใดใน

1. A 2. ∅ 3.U 4. ถ(กที่�กข"อ24. (A∪C)∩B ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

25. A∩B ตรื่งก#บข"อใด เม�อ A={xx3+5 x2−49x−245=0 }

B= {xx2−2 x−35=0}

1. {} 2. {−5,7 } 3. {−7,7 } 4. {−7 ,−5,7 }

26. ผู้ลต�างรื่ะหว�างเซตค�อการื่กรื่ะที่)าที่างเซตซ,งม�ล#กษณิะใด1. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กที่#+งหมดของเซตที่#+งสุอง2. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กของเซตต#วต#+ง แต�ไม�เป็�น

สุมาช่%กของเซตต#วลบ3. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กรื่�วมก#นของเซตที่#+งสุอง


4. เซตใหม�ที่�เก%ดข,+นม�สุมาช่%กเป็�นสุมาช่%กของเอกภพสุ#มพ#ที่ธ& แต�ไม�เป็�นสุมาช่%กของเซตน#+น27. ถ"าเซต A และ เซต B ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#น A−B ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

28. ข"อใดไม�ใชิ�แผู้นภาพของ A−B

29. A={2,3,8,9,10 } ,B={2,4,5,8,9 } แล"ว A−B ตรื่งก#บข"อใด1. {3,10 } 2. {3,8 } 3. {2,8,9 } 4. {2,3,4,8,9,10 }

30. A={2,4,6,7 } ,B={1,3,5,8 } แล"ว A−B ตรื่งก#บข"อใด1. ∅ 2. {1,3,5,8 } 3. {2,4,5,8 } 4. {2,4,6,7 }


31. A={1,3,6,9,10 ,…} ,B= {3,9 } แล"ว A−B ตรื่งก#บข"อใด1. {1,10 } 2. {1,6,10 ,…} 3. {1,3,6,9,10 ,…} 4. {3,9 ,…}

32. A={−2,4,5,8,9 } ,B={5,9 ,−2,4,8 } แล"ว A−B ตรื่งก#บข"อใด1. ∅ 2. {−2,4,5 } 3. {5,8,9 } 4. {−2,4,5,8,9 }

33. A−B ตรื่งก#บข"อใด1. A '∪B 2. A '∩B 3. A∩B' 4. A∪B'

34. A−B=A ตรื่งก#บข"อใด1. A≠∅ และ B≠∅ 2. B≠∅

3. A=B และ B≠∅ 4. ไม�ม�ข"อใดถ(ก35. (B−C )∪ A ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

36.( A−B )−C ตรื่งก#บข"อใด เม�อ A={2,4,5,8,10 } ,B={1,3,5,8,9 } ,C= {2,6,7,9 }

1. {2,4,10 } 2. {3,6,7 } 3. {4,10 } 4. {2 }

37. A−B ตรื่งก#บข"อใด เม�อ A={xx3+3 x2−81 x−243=0 }

B= {xx3+x2−21 x−45=0}


1. {3 } 2. {−9,9 } 3. {−9 ,−3,9 } 4. ∅

38. A ' เข�ยนเป็�นเซตแบบบอกเง�อนไขได"อย�างไรื่ 1.{xx∈ A และ x∈B } 2. {xx∉ A และ x∉B }

3. {xx∈ A และ x∉B } 4. x∨x∈ U และ x∉ A

39. ข"อใดไม�ใชิ�แผู้นภาพA '

40. (A∪B)' ตรื่งก#บแผู้นภาพใด

41. (B∪C)' ∩(A∪B)' ตรื่งก#บแผู้นภาพใด


42. U¿ {−3,0,1,2,4,7 }, A={−3,2,7 } แล"ว A ' ตรื่งก#บข"อใด1. {−3,2,7 } 2. {0,1,4 } 3. {−3,1,7 } 4. {0,2,7 }

43. U¿ {−2,0,2,4,6 ,… }, A= {−2,4 } แล"ว A ' ตรื่งก#บข"อใด1. {0,2,6 } 2. {0,4,6 ,… } 3. {−2,0,6 ,… } 4. {0,2,6,8,10 ,… }

44. U¿ {0,3,4,6,9,10 }, A= {3,6,10 } ,B= {0,3,9 } แล"ว (A∪B)' ตรื่งก#บข"อใด1. {4 } 2. {0,4,10 } 3. {0,6,10 } 4. {0,3,6,9,10 }

45. U¿ {−2,0,2,5,7,8 }, A= {−2,2,7,8 } ,B={0,2,5,7 } แล"ว A'−B ตรื่งก#บข"อใด1. {} 2. {0,5 } 3. {0,2,5 } 4. {−2,0,5 }

46. U¿ {−3 ,−1,0,2,3,5,9 } , A={−3,3,5 } ,B={−1,2,5,9 } ,C= {−3,0,9 } แล"ว (C ¿¿ ' ∩A )∪B ¿ ตรื่งก#บข"อใด

1. {3,5 } 2. {−1,2,3,9 } 3. {−1,0,3,5,9 } 4. {−1,2,3,5,9 }

47. (A' )' ตรื่งก#บข"อใด1. A 2. U 3. ∅ 4. ถ(กที่�ก

ข"อ


48. ∅ ' ตรื่งก#บข"อใด1. A 2. U 3. ∅ 4. ถ(กที่�ก

ข"อ49. A∩ A ' ตรื่งก#บข"อใด

1. A 2. U 3. ∅ 4. ถ(กที่�กข"อ50. A−(B∪C) ตรื่งก#บข"อใด

1. (A∩B)∪C 2. ( A∪B' )−C ' 3. ( A∩B' )−C 4. ( A∩B' )−C '

4.1 จ)านวนสุมาช่%กของเซตจ)าก#ด

4 จ)านวนสุมาช่%กของ


พ%จารื่ณิาเซตจ)าก#ดต�อไป็น�+ A = {0,2,3,5,7 } เซต A ม�สุมาช่%ก 5

ต#วB = {−4 ,−1 .2.6 } เซต B ม�สุมาช่%ก 4

ต#วC = {} เซต C ม�สุมาช่%ก 0

ต#วจ)านวนสุมาช่%กของเซตจ)าก#ดใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& n() โดยภายในวงเล4บ

เต%มสุ#ญ่ล#กษณิ&ของเซต เช่�น เซต A ม�สุมาช่%ก 5 ต#ว ใช่"สุ#ญ่ล#กษณิ& n ( A )=5

ตั�วิอย�างท%& 1 บอกจ)านวนสุมาช่%กของเซต A ,B ,C , A∩B ,B∪C ,B' ,C−A , (B−C ) ', { A'∩C ¿

U = {−2 ,−1,0,2,4,5,8 }

A = {−2,0,4,8 }

B = {−1,0,2 }

C = {−2,2,5 }

วิธี%ท,า n ( A )=4 ,n (B )=3 ,n (C )=3

A∩B={0 } ∴n ( A∩B )=1

B∪C= {−2 ,−1,0,2,5 } ∴n (B∪C )=5

B'={−2,4,5,8 } ∴n (B' )=4

C−A={2,5 } ∴n (C−A )=2

B−C= {−1,0 }

(B−C )'= {−2,2,4,5,8 } ∴n ( (B−C )′ )=5

A'= {−1,2,5 }A'∩C= {2,5 } ∴n ( A '∩C )=2

จ)านวนสุมาช่%กของ


ตั�วิอย�างท%& 2 หาจ)านวนสุมาช่%กของ A∩B∩C , A∪B∪C , ( A∩B∩C )′และ

เม�อ U = {x∈ I−3≤x≤3 }

A = {xx3+2 x2−3 x=0 }

B = {xx2+6 x+9=0}

C = {xx2=1}วิธี%ท,า U = {−3 ,−2,−1,0,1,2,3 }

จาก A = {xx3+2 x2−3 x=0 }

x3+2 x2−3x=0x ( x2+2x−3 )=0x (x+3 ) ( x−1 )=0

x=0 หรื่�อ x+3=0 หรื่�อ x−1=0

x=0 หรื่�อ x=−3 หรื่�อ x=1

A = {−3,0,1 }

จาก B = {xx2+6 x+9=0}

x2+6 x+9=0( x+3 )2=0x+3=0x=−3

B = {−3 }

จาก C = {xx2=1}

x2=1x2−1=0( x+1 ) (x−1 )=0

x+1=0 หรื่�อ x−1=0


C = {−1,1 }A∩B∩C={} ∴n ( A∩B∩C )=0


A∪B∪C={−3 ,−1,0,1 } ∴n ( A∪B∪C )=4

( A∩B∩C )′={−3 ,−2,−1,0,1,2,3 } ∴n ( (A∩B∩C )′ )=7

( A∪B∪C )′={−2,2,3 } ∴n ( (A∪B∪C )′ )=3

การื่หาจ)านวนสุมาช่%กของเซตจ)าก#ดสุามารื่ถหาโดยใช่"สุ(ตรื่ ด#งน�+1. จ)านวนสุมาช่%กของ A∪B

- กรื่ณิ�ที่� A และ B ไม�ม�สุมาช่%กรื่�วมก#น

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )

- กรื่ณิ�ที่� A และ B ม�สุมาช่%กบางสุ�วนรื่�วมก#น

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A∩B )

2. จ)านวนสุมาช่%กของ A∪B∪C

n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )+n (C )−n ( A∩B )−n (B∩C )−n ( A∩C )+n (A∩B∩C )

ส0ตัร์การ์หาจ,านัวินัสมาชิกของเซตัจ,าก�ดิ


3. จ)านวนสุมาช่%กของ A – B

n ( A−B )=n ( A )−n (A∩B )

4. จ)านวนสุมาช่%กของ B – A

n (B−A )=n (B )−n ( A∩B )

5. จ)านวนสุมาช่%กของ A'

n ( A' )=n (U )−n ( A )

การื่หาจ)านวนสุมาช่%กของเซตจ)าก#ดสุามารื่ถใช่"แผู้นภาพของเวนน& ออยเลอรื่& โดยใสุ�ต#วเลขในวงกลมแต�ละสุ�วนแที่นจ)านวนสุมาช่%ก–

จากแผู้นภาพ n ( A )=3+2=5

n (B )=2+1=3

n ( A∩B )=2


จากแผู้นภาพ n ( A )=2+1+1+0=4

n (B )=3+1+1+2=7n (C )=5+0+1+2=8n ( A∩B )=1+1=2n (B∩C )=1+2=3n ( A∩C )=1+0=1n ( A∩B∩C )=1

ตั�วิอย�างท%& 3 ก)าหนดให" n¿ U¿=10 , n ( A )=3 , n (B )=4 ,n ( A∩B )=1

จงหา n (A' ) , n (B' ) ,n ( A−B ) ,n (B−A ) ,n ( A∪B )

วิธี%ท,า

n ( A' )=n (U )−n ( A )=10−3=7

n (B' )=n (U )−n (B )=10−4=6n ( A−B )=n ( A )−n (A∩B )=3−1=2n (B−A )=n (B )−n ( A∩B )=4−1=3n ( A∩B )=n ( A )+n (B )−n (A∩B )=3+4−1=6

ตั�วิอย�างท%& 4 A∩B ม�สุมาช่%กเที่�าไรื่ เม�อ A∪B ม�สุมาช่%ก 7 ต#ว เซต A ม�สุมาช่%ก 3 ต#ว เซต B ม�สุมาช่%ก 4 ต#ว

วิธี%ท,า n ( A∪B )=n ( A )+n (B )+n ( A∩B )

7=3+4+n ( A∩B )n ( A∩B )=0

∴ A∩B ม�สุมาช่%กเป็�น 0 ต#ว


ตั�วิอย�างท%& 5 A∪B∪C ม�สุมาช่%กเที่�าไรื่ เม�อ n ( A )=8 , n (B )=6 , n (C )=10 ,

n ( A∩B )=n ( A∩C )=n (B∩C )=3 , n (A∩B∩C )=1

วิธี%ท,า n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )+n (C )−n ( A∩B )−n (B∩C )−n ( A∩C )+n (A∩B∩C )

=8+6+10−3−3−3+1=16

∴ A∪B∪C ม�สุมาช่%ก 16 ต#ว ตั�วิอย�างท%& 6 A – B ม�สุมาช่%กก�ต#ว เม�อ n ( A )=7ต#ว, n (B )=4 ต#ว,

n ( A∪B )=8ต#ววิธี%ท,า- หา n ( A∩B )

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A∩B )

8=7+4−n (A∩B )n ( A∩B )=3

- หา n ( A−B )

n ( A−B )=n ( A )−n (A∩B )

=7−3

=4

∴ A−B ม�สุมาช่%ก 4 ต#ว


1. ก,าหนัดิให! U = {2,3,5,7 ,810 } , A={2,7 ,10 } ,B={3,5,7,8 } หาจ,านัวินัสมาชิก

ของเซตัตั�อไปนั%+1.1 A 1.2 B 1.3 A' 1.4 B'

1.5 A∩B 1.6 B∪A

1.7 A−B 1.8 B−A

1.9 ( A∪B )′ 1.10 B'∩A

2. ก,าหนัดิให! U = {−3 ,−1,0,2,4,5,9 } , A= {−3,0,2,9 }, B= {−1,0,4,9 },C={0,2,4,9 }

หาจ,านัวินัสมาชิกของเซตัตั�อไปนั%+2.1 A∪B 2.2 C∩B 2.3 A−B 2.4 B−C

แบบ


2.5 (B−A )′ 2.6 (B∪C )′

2.7 A∪B∪C 2.8 A∩B∩C 2.9 A−(B−C ) 2.10 (B∩A )∪C

3. ก,าหนัดิให! U = {x−4≤x≤4 }

A={xx3−5 x2−8x+48=0 }B= {xx3−4 x2−9 x−36=0}C={x∈ Ix3−9 x2+24 x−16=0 }

หาจ,านัวินัของเซตัตั�อไปนั%+3.1 A 3.2 B 3.3 C 3.4 U 3.5 A∪B 3.6 B∩C 3.7 C−B 3.8 B'

3.9 (B−C )′ 3.10 ( A∪C )′

3.11 (B∩A )−C 3.12 (C∪A )∩B


4. ก,าหนัดิให! n¿ U¿ =10 , n ( A )=7 , n (B )=3 , n (A∩B )=2

จงสร์!างแผนัภาพแลุะหาจ,านัวินัสมาชิกของเซตัตั�อไปนั%+

4.1 A' 4.2 B'

4.3 A−B 4.4 B−A

4.5 A∪B 4.6 ( A∪B )′

4.7 ( A−B )′ 4.8 (B−A )′

4.9 ( A∩B )′

5. ก)าหนดให" n¿ U¿ =20 ,n ( A )=8 , n (B )=8 , n (C )=7 , n (A∩B )=3 , n (B∩C )=3 ,

n ( A∩C )=4 ,n ( A∩B∩C )=2 สุรื่"างแผู้นภาพและหาจ)านวนสุมาช่%กของเซตต�อไป็น�+


5.1 A' 5.2 B'

5.3 C ' 5.4 A∪B 5.5 B∩C 5.6 B−A

5.7 ( A∩C )′ 5.8 (C−A )′

5.9 ( A∪B )∩C 5.10 B−(C∪A )

5.11 A∪B∪C 5.12 ( A∪B∪C )′

6. A∪Bม%สมาชิกก%&ตั�วิ เม(&อ n ( A )=4 ,n (B )=5แลุะเซตั A แลุะเซตั B ไม�ม%สมาชิกร์�วิมก�นั

7. A∪Bม%สมาชิกก%&ตั�วิ เม(&อ n ( A )=3 , n (B )=7 , n (A∩B )=1

8. n ( A )=5 , n (B )=3 ,n ( A∩B )=2จงหาจ,านัวินัสมาชิกของ8.1 A−B


8.2 B−A

9. n ( A )=12, n (B )=9 , n¿ U¿ จงหาจ,านัวินัสมาชิกของ

9.1 A'

9.2 B'

10. A∪B∪Cม%สมาชิกก%&ตั�วิ เม(&อ n ( A )=7 , n (B )=4 ,n (C )=7 , n ( A∩B )=2 ,

n (B∩C )=3 , n ( A∩C )=4 ,n ( A∩B∩C )=2

11. A∩Bม%สมาชิกก%&ตั�วิ เม(&อn ( A )=9 , n (B )=7 , n (C )=6 , n (A∩B )=2 ,

n (B∩C )=3 , n ( A∩C )=3 , n ( A∩B∩C )=1 , n (A∪B∪C )=15

12. n ( A∩B )=2แลุะ n ( A∪B )=12ถู!า n ( A )=n (B ) แลุ!วิ A−Bม%สมาชิกเท�าไหร์�


13. n ( A∩B )=1แลุะ n ( A∪B )=9ถู!าจ,านัวินัสมาชิกของเซตั Aมากกวิ�าจ,านัวินัสมาชิกของเซตัB

2 ตั�วิ เซตั A แลุะเซตัB ม%สมาชิกเซตัลุะก%&ตั�วิ

14. เซตั A แลุะเซตัB ม%สมาชิกร์�วิมก�นัจ,านัวินัหนั6&ง n ( A−B )=1 แลุะ n (B−A )=2

ถู!า n ( A∪B )=8 แลุ!วิ n ( A∩B ) ม%คั�าเท�าไร์

15. n ( A )=8 , n (B )=8 , n (C )=6 , n (A∩B )=3 , n(B∩C )=3 , n( A∩C )=4 , n( A∪B∪C )=14

จงหาจ)านวนสุมาช่%กของเซตต�อไป็น�+15.1 A∩B∩C 15.2 A∪B 15.3 B−C 15.4 B' 15.5 (B∪C ) ' 15.6 A '−B 15.7 ( A∪B )−C 15.8 B−(A∩C )


16. n¿ U¿ =20 ,n (A∪B∪C ) '=4 , n(A∩B )มากกว�า n( A∩B∩C )อย(� 1 n(B∩C )มากกว�า n( A∩B∩C )อย(� 1 , n( A∩C ) มากกว�า n( A∩B∩C )

อย(� 3 ถ"า n( A )=8 ,n (B )=8 , n(C )=9แล"ว B' ม�สุมาช่%กเที่�าไรื่

4.2 โจที่ย&ป็@ญ่หา

การื่แก"โจที่ย&ป็@ญ่หาในเรื่�องจ)านวนสุมาช่%กของเซตจ)าก#ดสุามารื่ถที่)าได"โดยการื่ป็รื่ะย�กต&ใช่"แผู้นภาพเวนน&-ออยเลอรื่&และสุ(ตรื่การื่หาจ)านวนสุมาช่%กของเซตจ)าก#ดตั�วิอย�างท%& 7 จากการื่สุ)ารื่วจผู้("ซ�+อจ)านวน 10 คน พบว�าม�ผู้("ซ�+อเสุ�+อ 8 คน ซ�+อกางเกง 7 คน ม�ผู้("ซ�+อเสุ�+อ และกางเกงก�คน เม�อผู้("ซ�+อที่�กคนต"องซ�+อเสุ�+อหรื่�อกางเกงอย�างน"อย 1 ช่น%ด


วิธี%ท,า การื่แก"โจที่ย&ป็@ญ่หาข"างต"นสุามารื่ถที่)าได"โดยใช่"แผู้นภาพเวนน&-ออยเลอรื่&

ก)าหนดให" A แที่น เซตของผู้("ซ�+อเสุ�+อB แที่น เซตของผู้("ซ�+อกางเกงA∪B แที่น เซตของผู้("ซ�+อเสุ�+อหรื่�อกางเกงA∩B แที่น เซตของผู้("ซ�+อเสุ�+อและกางเกง

แผู้นภาพด"านบนแที่นเซตของผู้("ซ�+อเสุ�+อ

แผู้นภาพด"านบนแที่นเซตของผู้("ซ�+อกางเกง

แผู้นภาพด"านบนแที่นเซตของผู้("ซ�+อเสุ�+อหรื่�อกางเกง

แผู้นภาพด"านบนแที่นเซตของผู้("ซ�+อเสุ�+อและกางเกง


แผู้นภาพด"านบนแที่นเซตของผู้("ซ�+อเฉพาะเสุ�+อ

แผู้นภาพด"านบนแที่นเซตของผู้("ซ�+อเฉพาะกางเกง

n( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )

10=8+7−n( A∩B )10=15−n (A∩B)

∴n(A∩B )=5

ด#งน#+น ผู้("ซ�+อเสุ�+อและกางเกงจ)านวน 5 คนตั�วิอย�างท%& 8 น#กเรื่�ยนจ)านวน 14 คน ได"เกรื่ด 4 เฉพาะว%ช่าคณิ%ตศาสุตรื่& 7 คน ได"เกรื่ด 4 เฉพาะว%ช่า ว%ที่ยาศาสุตรื่& 4 คน ถ"าน#กเรื่�ยนที่�กคนต"องได"เกรื่ด 4 อย�างน"อย 1 ว%ช่า จะม�น#กเรื่�ยนต"อง

ได"เกรื่ด 4 ที่#+งสุองว%ช่าก�คนวิธี%ท,า


ก)าหนดให" A แที่น เซตของน#กเรื่�ยนได"เกรื่ด 4 ว%ช่าคณิ%ตศาสุตรื่&

B แที่น เซตของน#กเรื่�ยนได"เกรื่ด 4 ว%ช่าว%ที่ยาศาสุตรื่&

A∪B แที่น เซตของน#กเรื่�ยนที่#+งหมด A∩B แที่น เซตของน#กเรื่�ยนได"เกรื่ด 4 ที่#+งสุองว%ช่า

n( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )14=7+4−x14=11−x

∴ x=3

ด#งน#+น น#กเรื่�ยนได"เกรื่ด 4 ที่#+งสุองว%ช่า 3 คนตั�วิอย�างท%& 9 จากการื่สุ#มภาษณิ&กล��มต#วอย�าง 10 คน พบว�าม�ผู้("ไม�ช่อบก%นสุ"มหรื่�อกล"วย 1 คน ม�ผู้("

ช่อบก%นเฉพาะสุ"ม 3 คน ผู้("ช่อบก%นเฉพาะกล"วย 4 คน กล��มต#วอย�างที่�ช่อบก%นสุ"มม�ก�คน


ก)าหนดให" U แที่นเซตของกล��มต#วอย�างA แที่น เซตของผู้("ช่อบก%นสุ"ม B แที่น เซตของผู้("ช่อบก%นกล"วยA∪B แที่น เซตของผู้("ช่อบก%นสุ"มหรื่�อกล"วย A∩B แที่น เซตของผู้("ช่อบก%นสุ"มและกล"วย( A∪B )' แที่น เซตของผู้("ไม�ช่อบก%นสุ"มหรื่�อกล"วย

- หาจ)านวนผู้("ช่อบก%นสุ"มหรื่�อกล"วย


n( A∪B) '=n(U)−n (A∪B )1=10−n( A∪B)

n( A∪B)=9

- หาจ)านวนผู้("ช่อบก%นสุ"มn( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )

9=( x+3 )+( x+4 )−x9=x+7x=2

ด#งน#+น กล��มต#วอย�างที่�ช่อบก%นสุ"ม 3+x=3+2=5 คนตั�วิอย�างท%& 10 เด�อนที่�แล"วฝูนตกตอนเช่"าและตอนเย4น 3 ว#น ฝูนตกตอนเช่"าหรื่�อตอนเย4น 11 ว#น

ถ"าฝูนตกตอนเช่"ามากกว�าฝูนตกตอนเย4น 4 ว#น ฝูนตกตอนเย4นก�ว#น


ก)าหนดให" A แที่น เซตของฝูนตกตอนเช่"าB แที่น เซตของฝูนตกตอนเย4น A∪B แที่น เซตของฝูนตกตอนเช่"าหรื่�อตอนเย4น A∩B แที่น เซตของฝูนตกตอนเช่"าและตอนเย4น

n(B ) เป็�น x+3

n( A ) เป็�น x+7

n( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )

11=( x+7 )+( x+3)−311=2x+72 x=4x=2

ด#งน#+น ฝูนตกตอนเย4น x+3=2+3=5 ว#น


ตั�วิอย�างท%& 11 ผู้("บรื่%โภคด�มน)+าสุ"ม 11 คน ด�มน)+าอง� �น 9 คน ด�มน)+ามะนาว 6 คน ด�มน)+าสุ"มและน)+า

อง� �น 4 คน ด�มน)+าอง� �นและน)+ามะนาว 2 คน ด�มน)+าสุ"มและน)+ามะนาว 3 คน ด�มน)+าสุ"ม

น)+าอง� �นและน)+ามะนาว 1 คน ผู้("บรื่%โภคด�มน)+าผู้ลไม"ช่น%ดเด�ยวก�คน

ว%ธ�ที่)า จากข"อม(ลที่�โจที่ย&ก)าหนดสุามารื่ถสุรื่"างแผู้นภาพได" ด#งน�+

ก)าหนดให" A แที่น เซตของผู้("บรื่%โภคที่�ด�มน)+าสุ"มB แที่น เซตของผู้("บรื่%โภคที่�ด�มน)+าอง� �นC แที่น เซตของผู้("บรื่%โภคที่�ด�มน)+ามะนาว

ด#งน#+น ผู้("บรื่%โภคที่�ด�มน)+าผู้ลไม"ช่น%ดเด�ยว =5+4+2=11 คนตั�วิอย�างท%& 12 หม(�บ"านแห�งหน,งม�ป็รื่ะช่ากรื่ 68 ครื่อบครื่#ว เล�+ยงนกแก"ว 7 ครื่อบครื่#ว เล�+ยงนกเอ�+ยง 5

ครื่อบครื่#ว เล�+ยงนกพ%รื่าบ 9 ครื่อบครื่#ว เล�+ยงนกแก"วและนกเอ�+ยง 3 ครื่อบครื่#ว

เล�+ยงนกเอ�+ยงและนกพ%รื่าบ 2 ครื่อบครื่#ว เล�+ยงนกแก"วและนกพ%รื่าบ 5 ครื่อบครื่#ว

ม�ก�ครื่อบครื่#วที่�เล�+ยงนกแก"วและนกเอ�+ยงแต�ไม�เล�+ยงนกพ%รื่าบ ถ"าหม(�บ"านน�+ไม�เล�+ยงนก 55

ครื่อบครื่#ววิธี%ท,า ก)าหนดให" U แที่นเซตของป็รื่ะช่ากรื่ที่#+งหมด

A แที่น เซตที่�เล�+ยงนกแก"ว


B แที่น เซตที่�เล�+ยงนกเอ�+ยงC แที่น เซตที่�เล�+ยงนกพ%รื่าบA∩B แที่น เซตที่�เล�+ยงนกแก"วและนกเอ�+ยงB∩C แที่น เซตที่�เล�+ยงนกเอ�+ยงและนกพ%รื่าบA∩C แที่น เซตที่�เล�+ยงนกแก"วและนกพ%รื่าบA∩B∩C แที่น เซตที่�เล�+ยงนกที่#+งสุามช่น%ดA∪B∪C แที่น เซตที่�เล�+ยงนกอย�างน"อย 1 ช่น%ด( A∪B∪C )' แที่น เซตที่�ไม�เล�+ยงนก

n( A∪B∪C ) '=n(U)−n (A∪B∪C )

55=68−n (A∪B∪C )

n( A∪B∪C )=13n( A∪B∪C )=n( A )+n(B)+n (C )−n( A∩B )−n(B∩C )−n(A∩C )+n(A∩B∩C )

13=7+5+9−3−2−5+x13=11+xx=2

ด#งน#+น ครื่อบครื่#วที่�เล�+ยงนกแก"วและนกเอ�+ยงแต�ไม�เล�+ยงนกพ%รื่าบ 1

ครื่อบครื่#ว


1. น#กเรื่�ยนจ)านวน 10 คน ช่อบเล�นฟุ�ตบอล 8 คน ช่อบเล�นบาสุเกตบอล 5 คน ม�น#กเรื่�ยนก�คน ช่อบเล�นก�ฬาที่#+งสุองช่น%ด เม�อน#กเรื่�ยนที่�กคนต"องเล�นก�ฬาอย�างน"อย 1 ช่น%ด

แบบ


2. การื่สุ)ารื่วจว#ยรื่� �นกล��มหน,งพบว�าช่อบด(หน#ง 4 คน ช่อบฟุ@งเพลง 5 คน ช่อบด(หน#งและฟุ@งเพลง 1 คน ว#ยรื่� �นที่�กคนด(หน#งหรื่�อฟุ@งเพลงอย�างน"อย 1 อย�าง การื่สุ)ารื่วจครื่#+งน�+ม�ว#ยรื่� �นก�คน

3. น#กดนตรื่� 6 คน เล�นกลอง 5 คน เล�นกลองและเบสุ 2 คน น#กดนตรื่�ที่�กคนต"องเล�นกลองหรื่�อ เบสุอย�างน"อย 1 ช่น%ด ม�น#กดนตรื่�เล�นเบสุก�คน


4. น#กเรื่�ยนกล��มหน,งจ)านวน 10 คน ไม�เรื่�ยนคณิ%ตศาสุตรื่&หรื่�อว%ที่ยาศาสุตรื่& 1 คน เรื่�ยนคณิ%ตศาสุตรื่& 6 คน เรื่�ยนว%ที่ยาศาสุตรื่& 8 คน น#กเรื่�ยนที่�เรื่�ยนที่#+งสุองว%ช่าก�คน

5. ผู้("บรื่%โภค 50 คน ไม�ช่อบช่มพ( �หรื่�อมะม�วง 20 คน ช่อบช่มพ( � 14 คน ช่อบมะม�วง 16 คน ผู้("บรื่%โภคช่อบช่มพ( �และมะม�วงก�คน


6. เด�อนที่�แล"วฝูนตกเฉพาะตอนเช่"า 4 ว#น ฝูนตกเฉพาะตอนเย4น 7

ว#น เด�อนที่�แล"วฝูนตกรื่วม 16 ว#น ฝูนตกที่#+งเช่"าและเย4นก�ว#น

7. กล��มต#วอย�าง 15 คน ไม�ช่อบฟุ@งเพลง 3 คน ช่อบฟุ@งเพลงไที่ย 5 คน ช่อบฟุ@งเพลงสุากล 11 คน กล��มต#วอย�างก�คนช่อบฟุ@งเฉพาะเพลงสุากล


8. ผู้("บรื่%โภค 28 คน ช่อบก%นข"าวและกCวยเต�Dยว 4 คน ช่อบก%นข"าวน"อยกว�าช่อบก%นกCวยเต�Dยว 2 คน ผู้("บรื่%โภคที่�ก%นเฉพาะกCวยเต�Dยวม�ก�คน เม�อผู้("บรื่%โภคที่�กคนต"องช่อบก%นข"าวหรื่�อกCวยเต�Dยวอย�างน"อย 1 ช่น%ด

9. น#กเรื่�ยน 100 คน ไม�เรื่�ยนพ%เศษ 50 คน จ)านวนน#กเรื่�ยนที่�เรื่�ยนพ%เศษว%ช่าเคม�เป็�น 4 เที่�าของจ)านวน น#กเรื่�ยนที่�เรื่�ยนว%ช่าช่�วว%ที่ยา น#กเรื่�ยนที่�เรื่�ยนพ%เศษที่#+งสุองว%ช่าม� 10

คน ม�น#กเรื่�ยนที่�เรื่�ยนพ%เศษ 1 ว%ช่า ก�คน


10. ช่าวสุวนป็ล(กสุ"ม 10 รื่าย ป็ล(กมะม�วง 12 รื่าย ป็ล(กกล"วย 8

รื่าย ป็ล(กสุ"มและมะม�วง 4 รื่าย ป็ล(กมะม�วงและกล"วย 4 รื่าย ป็ล(กสุ"มและกล"วย 5 รื่าย ป็ล(กผู้ลไม"ที่#+งสุามช่น%ด 3 รื่าย ช่าวสุวน ป็ล(กกล"วยอย�างเด�ยวก�รื่าย

11. น#กเรื่�ยน 22 คน เล�นฟุ�ตบอล 10 คน เล�นบาสุเกตบอล 10

คน เล�นรื่#กบ�+ 13 คน เล�นฟุ�ตบอล และบาสุเกตบอล 5 คน เล�นบาสุเกตบอลและรื่#กบ�+ 6 คน เล�นฟุ�ตบอลและรื่#กบ�+ 4 คน ม�น#กเรื่�ยน ก�คนเล�นก�ฬาที่#+งสุามช่น%ด โดยที่�น#กเรื่�ยนที่�กคนต"องเล�นก�ฬาอย�างน"อย 1 ช่น%ด


12. กล��มต#วอย�าง 24 คน ช่อบสุ�สุ"ม 16 คน ช่อบสุ�แดง 11 คน ช่อบสุ�สุ"มและสุ�แดง 5 คน ช่อบสุ� แดงและสุ�เข�ยว 4 คน ช่อบสุ�สุ"มและสุ�เข�ยว 7 คน ช่อบที่#+งสุามสุ� 3 คน กล��มต#วอย�างช่อบสุ�เข�ยว สุ�เด�ยวก�คน เม�อกล��มต#วอย�างคนช่อบต"องช่อบสุ�ใดสุ�หน,งอย�างน"อย 1 สุ�

แบบ


เลุ(อกตั�วิเลุ(อกท%&ถู0กท%&ส�ดิ1. เซตใดม�จ)านวนสุมาช่%กมากที่�สุ�ด

1. A={1,2,4,6,9 } 2. B= {1,2,4,6,9 } 3.C={0,2 } 4. D= {−2,−1,1,2,4,5,7 }

ให!ข!อม0ลุตั�อไปนั%+ตัอบคั,าถูามข!อ 2 – 7

U ¿ {−3 ,−1,0,1,4,6,7 }

A={−3,0,4,7 }

B= {0,6 } C={−1,0,6,7 }

2. A∪B ม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 1 ต#ว 2. 2 ต#ว 3. 5 ต#ว

4. 6 ต#ว3. C 'ม�สุมาช่%กก�ต#ว

1. 3 ต#ว 2. 4 ต#ว 3. 5 ต#ว4. 6 ต#ว

4. B−A ม�สุมาช่%กก�ต#ว1. 0 ต#ว 2. 1 ต#ว 3. 3 ต#ว

4. 4 ต#ว5. (B∩C)' ม�สุมาช่%กก�ต#ว

1. 3 ต#ว 2. 4 ต#ว 3. 5 ต#ว4. 6 ต#ว

6. A∪B∪Cสุมาช่%กก�ต#ว1. 3 ต#ว 2. 4 ต#ว 3. 5 ต#ว

4. 6 ต#ว7. ( A∩B )−C 'สุมาช่%กก�ต#ว


1. 1 ต#ว 2. 2 ต#ว 3. 3 ต#ว4. 4 ต#ว

ให!ข!อม0ลุตั�อไปนั%+ตัอบคั,าถูามข!อ 8 – 9n ( A )=8 , n (B )=8 , n (C )=9 , n (A∩B )=5 , n (B∩C )=3 , n (A∩C )=4 , n ( A∩B∩C )=2

8. จ)านวนสุมาช่%กของ A∪B ม�ก�ต#ว1. 12 ต#ว 2. 11 ต#ว 3. 10 ต#ว

4. 8 ต#ว9. จ)านวนสุมาช่%กของ B∩(A−C) ม�ก�ต#ว

1. 6 ต#ว 2. 5 ต#ว 3. 4 ต#ว4. 3 ต#ว

10. n(U)=12 , n ( A∪B )'=2 ,n ( A )=5 , n (B )=7 จ)านวนสุมาช่%กของ A∩B ม�ก�ต#ว

1. 2 ต#ว 2. 3 ต#ว 3. 4 ต#ว4. 5 ต#ว

11.n ( A )=5 , n (B )=6 , n (A−B )=1 จ)านวนสุมาช่%กของ A∪B ม�ก�ต#ว1. 6 ต#ว 2. 7 ต#ว 3. 8 ต#ว

4. 9 ต#ว12. จ)านวนสุมาช่%กของเซต A เป็�น 3 เที่�าของจ)านวนสุมาช่%กของเซต B ถ"า n ( A∩B )=2 และ n ( A∪B )=10 แล"ว B−A ม�สุมาช่%กก�ต#ว

1. 1 ต#ว 2. 2 ต#ว 3. 3 ต#ว4. 4 ต#ว

13.n ( A )=6 , n (B )=8 , n (C )=8 , n (A∩B )=4 ,n (B∩C )=5 , n (A∩C )=3

ถ"า n(U)=20 แล"ว(B−A ) ' ม�สุมาช่%กก�ต#ว เม�อ n ( A∪B∪C )=13


1. 6 ต#ว 2. 7 ต#ว 3. 8 ต#ว4. 9 ต#ว

14.n ( A )=7 , n (B )=9 , n (C )=11 , n (A∩B∩C )=0 , n (A∪B∪C )=15

ถ"า B∩C ม�จ)านวนสุมาช่%กเป็�น 3 เที่�าของ A∩B และ A∩C ม�จ)านวนสุมาช่%กเป็�น 2 เที่�าของ A∩B แล"ว C−(A∪B) ม�สุมาช่%กก�ต#ว

1. 1 ต#ว 2. 2 ต#ว 3. 3 ต#ว4. 4 ต#ว

15. เด4กน#กเรื่�ยน 6 คน ช่อบด�มนม 3 คน ช่อบด�มน)+าหวาน 5 คน ม�เด4กน#กเรื่�ยนช่อบด�มนมและ น)+าหวานก�คน เม�อเด4กที่�กคนต"องช่อบด�มนมหรื่�อน)+าหวานอย�างน"อย 1 ช่น%ด

1. 1 คน 2. 2 คน 3. 3 คน4. 4 คน

16.น#กดนตรื่�ไที่ย 30 คน ช่อบเล�นซออ(" 12 คน ช่อบเล�นซอด"วง 17 คน ช่อบเล�นที่#+งซออ("และซอด"วง 5 คน ม�น#กดนตรื่�ไที่ยก�คนไม�ช่อบเล�นซอที่#+งสุองช่น%ด

1. 6 คน 2. 5 คน 3. 4 คน4. 3 คน

17. กล��มต#วอย�าง 13 คน ช่อบป็ล(กต"นไม" 9 คน ช่อบเล�+ยงสุ#ตว&และต"นไม" 2 คน กล��มต#วอย�างที่�กคน ต"องป็ล(กต"นไม"หรื่�อเล�+ยงสุ#ตว&อย�างใดอย�างหน,ง ม�กล��มต#วอย�างช่อบเล�+ยงสุ#ตว&ก�คน


1. 4 คน 2. 5 คน 3. 6 คน4. 7 คน

18. ผู้("บรื่%โภค 23 คน จ)านวนผู้("บรื่%โภคที่�ที่านข"าวอย�างเด�ยวเป็�นสุองเที่�าของจ)านวนผู้("บรื่%โภคที่�ที่านข"าว และกCวยเต�Dยว จ)านวนผู้("บรื่%โภคที่�ที่านกCวยเต�Dยวอย�างเด�ยวมากกว�าจ)านวนผู้("บรื่%โภคที่�ที่านข"าวและ กCวยเต�Dยวอย(� 3 คน ผู้("บรื่%โภคที่�ที่านข"าวหรื่�อกCวยเต�Dยวเพ�ยงอย�างเด�ยวม�ก�คน เม�อผู้("บรื่%โภคที่�กคนต"อง ที่านข"าวหรื่�อกCวยเต�Dยวอย�างน"อย 1 อย�าง

1. 12 คน 2. 15 คน 3. 18 คน4. 20 คน

19. น#กเรื่�ยน 17 คน ช่อบสุ�แดง 8 คน ช่อบสุ�เหล�อง 9 คน ช่อบสุ�สุ"ม 11 คน ช่อบสุ�แดงและสุ�เหล�อง 5 คน ช่อบสุ�เหล�องและสุ�สุ"ม 6 คน ช่อบสุ�แดงและสุ�สุ"ม 4 คน ช่อบที่#+งสุามสุ� 4 คน น#กเรื่�ยน ช่อบสุ�สุ"มสุ�เด�ยวก�คน เม�อน#กเรื่�ยนที่�กคนต"องช่อบอย�างน"อย 1 สุ�

1. 4 คน 2. 5 คน 3. 6 คน4. 7 คน

20. สุหกรื่ณิ&การื่เกษตรื่แห�งหน,งม�สุมาช่%ก 45 รื่าย เล�+ยงเป็�ด 12

รื่าย เล�+ยงไก� 10 รื่าย เล�+ยงหม( 12

รื่าย เล�+ยงเป็�ดและไก� 8 รื่าย เล�+ยงไก�และหม( 7 รื่าย เล�+ยงเป็�ดและหม( 7 รื่าย ไม�เล�+ยงสุ#ตว& 27 รื่าย เกษตรื่กรื่เล�+ยงสุ#ตว&ที่#+งสุามช่น%ดก�รื่าย

1. 3 คน 2. 4 คน 3. 5 คน4. 6 คน



1. 1.1 A={1,2,3,4,5,6,7,8,9 } 1.2 B= {1,2,3,4 }

เฉลยแบบ

เฉลยบที่


1.3 C={101,102,103,104 ,… } 1.4 D= {…,−4 ,−2,0,2,4 ,…}

1.5E={1,3 } 1.6 F={−1 }

2. 2.1 A={x∈R0<x<7 } 2.2 B= {x∈ I0<x<7 }

2.3 C={x∈ Ix<1,000 } 2.4 D= {x∈ I +¿¿ x>10 }

2.5E={x∈N1<x≤52 } 2.6 F={x∈ Ix2−10x+25=0}

3. 3.1 A={เมษายน ,ม%ถ�นายน ,ก#นยายน ,พฤศจ%กายน }

3.2 B= {มกรื่าคม ,ม�นาคม ,พฤษภาคม ,กรื่กฎาคม ,สุ%งหาคม ,ต�ลาคม ,ธ#นวาคม }

3.3 C={2,3,4,5 } 3.4 D= {13,14,15,16 ,…}

3.5 E={5 ,−5 } 3.6 F={5 }

4. 4.1 A={x∈N0<x<8 } 4.2 B= {x∈ I−1<x<8 }

4.3 C={x∈ Ix ≥10 } 4.4 D= {x∈ I❑0<x<101 }

4.5E={x∈Qx= nn+1

โดยที่�n เป็�นจ)านวนน#บ}4.6 F={x∈ Ix=5n โดยที่�nเป็�นจ)านวนน#บ }


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.


1. 1.1 A=B 1.2 A≠B 1.3 A≠B 1.4 A=B1.5 A≠B 1.6 A=B 1.7 A≠B 1.8 A=B

2. 2.1 A=B

C เที่�ยบเที่�าก#บ A และ B

เฉลยแบบ


2.2 A เที่�ยบเที่�าก#บ B B เที่�ยบเที่�าก#บ C

C เที่�ยบเที่�าก#บ A

2.3 B=C

A เที่�ยบเที่�าก#บB และC

2.4 A เที่�ยบเที่�าก#บ C2.5 A=B 2.6 A=C

B เที่�ยบเที่�าก#บ A และ C


1. 2 2. 1 3. 4 4. 3 5. 1 6. 2 7. 4 8. 4 9. 110. 311. 112. 413. 414. 115. 116. 217. 4 18. 219. 220. 3




1. 1.1 x อย(�ในช่�วง -2 ถ,ง 2 1.2 x อย(�ในช่�วง -2 ถ,ง 2

A={−2 ,−1,0,1,2 } B= {1,2 }

1.3 เน�องจากจ)านวนใดๆบวกก#บ 1 ย�อมไม�เที่�าก#บจ)านวนน#+นC={…,−2 ,−1,0,1,2 ,…}

1.4 เน�องจากจ)านวนจรื่%งที่�กจ)านวนเม�อยกก)าล#งสุองต"องมากกว�าหรื่�อเที่�าก#บศ(นย&เสุมอ

D={}

1.5 E={7 ,−3 } 1.6 F={−1 } 1.7 G={}

1.8 x อย(�ในช่�วง 2 ถ,ง 9H= {4,6,8,9 }

2. 2.1 x อย(�ในช่�วง -1,0,1 A ม�สุมาช่%กค�อ -1,0,1

U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม2.2 x อย(�ในช่�วง -1,0,1 B ม�สุมาช่%กค�อ 0,1

U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มที่�มากกว�าหรื่�อเที่�าก#บ 0

2.3 รื่ากที่�สุองของจ)านวนใดๆมากกว�าหรื่�อเที่�าก#บ 0 C ไม�ม�สุมาช่%ก

U เป็�นเซตของจ)านวนจรื่%ง2.4 ค�าสุ#มบ(รื่ณิ&ของจ)านวนใดๆมากกว�าหรื่�อเที่�าก#บ 0 D เป็�น

เซตอน#นต& U เป็�นเซตของจ)านวนจรื่%ง2.5 x=5 หรื่�อ x=−3 E สุมาช่%กค�อ -3,5

U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม2.6 x=5 หรื่�อ x=−3 F สุมาช่%กค�อ -3 U เป็�นเซตของจ)านวนเต4มลบ


2.7 x=53หรื่�อ x=−1

2 G ไม�ม�สุมาช่%ก

U เป็�นเซตของจ)านวนเต4ม2.8 เน�องจากจ)านวนจรื่%งจ)านวนมากม�ค�าในช่�วง 0<x<2 H

เป็�นเซตอน#นต& U เป็�นเซตของจ)านวนจรื่%ง


1. 1.1 {3 } , {1 } , {3,1 } , φ

1.2 {−4 } , {2 } , {0 }, {−4,2 }, {−4,0 } , {2,0 }, {−4,2,0 } , φ

1.3 {−6 }, {−1 } , {7 } , {9 } , {−6 ,−1 } , {−6,7 } , {−6,9 } , {−1,7 } , {−1,9 } , {7,9 }, {−6 ,−1,7 }

, {−6,1,9 } , {−6,7,9 } , {−1,7,9 } , {−6 ,−1,7,9 } , φ1.4

1.5 {4 } , {{9 }} , {4 , {9 }} , φ

1.6 { {7 }} , {{0 }} , {{7 } , {0 }} , φ

2. A={6 }

B= {5,6,7,8 }

สุมาช่%กที่�กต#วของ A เป็�นสุมาช่%กของ B เซตA เป็�นสุ#บเซตของเซต B3. A={−9,9 }

B= {−9,9 }

สุมาช่%กที่�กต#วของ A เป็�นสุมาช่%กของ B และ สุมาช่%กที่�กต#วของ B เป็�นสุมาช่%กของ A เซต A ไม�เป็�นสุ#บเซตแที่"ของเซต B

4. 4.1 P( A )={ {9 }, φ }

4.2 P(B)={{−6 }, {3 } , {−6,3 } , φ }

4.3 P(C )= {{9 } , {0 } , {−2 }, {9,0 }, {9 ,−2 }, {0 ,−2 } , {9,0 ,−2 } , φ }

4.4 P(D )={{−7 }, {−1 } , {1 }, {7 }, {−7 ,−1 }, {−7,1 } , {−7,7 } , {−1,1 }, {−1,7 }, {1,7 }, {−7 ,−1,1 },

{−7 ,−1,7 } , {−7,1,7 } , {−1,1,7 } , {−7 ,−1,1,7 }, φ }


4.5 P(E )={φ }

4.6 P(F )= {{3 } , {{7 } } , {3 , {7 } } , φ }

4.7 P(G )={ {{0 }} , {{4 ,−1 }} , {{0 } , {4 ,−1 }} , φ }

4.8 P(H )={ {2 } , {{1,4 } }, { {4 } }, {2 , {1,4 } } , {2 , {4 }} , {{1,4 } , {4 } }, {2 , {1,4 } , {4 } } , φ }


1. 1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7 1.8

1.9 1.10


1.11 1.12

2. 2.1 U = {−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4,5,6 } 2.2 U = {−2,−1,0,1,2,3,4,5}

A={−1,6 }B= {−4,4 }

A={5 }B= {3,5 }

2.3 U = {−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 } 2.4 U = {−2,−1,0,1,2,3,4,5 }A={−3,2 }B= {2,5 }

A={5 }B= {−2,2,5 }

2.5 U = {1,2,3,4,5 } 2.6 U = {1,2,3,4,5 }

A={2,4 }B= {3,4 }C={1,4 }

A={1,2,5 }B= {3 }C={1,3 }



1. 1 2. 4 3. 3 4. 3 5. 2 6. 4 7. 1 8. 1 9. 210. 411. 412. 113. 414. 215. 316. 117. 318. 319. 420. 421. 422. 223. 324. 225. 326. 427. 228. 429. 130. 2


1. 1.1 A∪B= {0,1,2,5,6,8 } 1.2 B∪ A= {0,1,2,5,6,8 }

1.3 A∪C={0,2,4,5,6 } 1.4 B∪C= {1,2,4,6,8 }

1.5 A∪ A={0,2,5,6 } 1.6 C∪C= {2,4,6 }

1.7 (A∪B)∪C={0,1,2,4,5,6,8 } 1.8 A∪(B∪C)= {0,1,2,4,5,6,8 }

2. 2.1 {2,3,6,8,10,12 } 2.2 {1,4,5,6,9,10 }

2.3 {2,3,6,10,12 } 2.4 {−4 ,−3,0,1,2 }

2.5 {−2,0,9,13 } 2.6 {−5,4,8,9 }

2.7 {} 2.8 {−8 ,−1,0,4,5 ,…}

3. 3.1 3.2



3.3 3.4

3.5

4. 4.1 4.2

4.3 4.4

4.5 4.6

5. A∪B={1,2,5,6,9 }


สุมาช่%กที่�กต#วของ A∪B เป็�นสุมาช่%กของ B และสุมาช่%กที่�กต#วของ B เป็�นของ A∪B

ด#งน#+น ถ"า A⊂B แล"ว A∪B=B

6. A={−2 ,−1,0,1,2 }

B= {−1,2 }A∪B={−2 ,−1,0,1,2 }สุมาช่%กที่�กต#วของ A∪B เป็�นสุมาช่%กของ A และสุมาช่%กที่�กต#ว

ของ A เป็�นของ A∪B

ด#งน#+น ถ"า B⊂ A แล"ว A∪B=A


1. 1.1 A∩B= {3,7,9 } 1.2 B∩ A= {3,7,9 }

1.3 B∩C={5,9 } 1.4 A∩C={2,9 }

1.5 A∩ A={2,3,7,9 } 1.6 C∩C= {2,5,9,10 }

1.7 (A∩B)∩C= {9 } 1.8 A∩(B∩C)={9 }

2. 2.1 {3,8 } 2.2 {0,2,6 }

2.3 {−4,0,6 } 2.4 {0,2,5,7 }

2.5 ∅ 2.6 ∅2.7 ∅ 2.8 {3,7 }

3. 3.1 A∪B= {1,3,5,6,8,9 } 3.2 A∩B= {3,8 }

3.3 B∪C= {1,2,3,5,8,9,10 } 3.4 C∩ A={3,9 }

3.5 (A∪B)∪C={1,2,3,5,6,8,9,10 } 3.6 A∪(B∩C)={3,6,8,9 }

3.7 C∪(A ∩B)={2,3,8,9,10 } 3.8 (B∪C)∩ A= {3,8,9 }

4. 4.1 4.2

4.3 4.4


4.5

5. 5.1 5.2

5.3 5.4

5.5 5.6

5.7 5.8

6. 6.1 A={−3,1,2 } 6.2 A={−5,5 }


B= {−3,5 } B= {−3 }∴ A∩B= {−3 } ∴ A∩B=φ

6.3 A={−3 ,−1 ,13 } 6.4 A={2,4,6,8 ,. . . }

B= {1,3 } B= {2,4,6 }∴ A∩B= {1,3 } ∴ A∩B= {2,4,6 }

7. A∩B={−3,1,6,9 }

สุมาช่%กที่�กต#วของ A∩B เป็�นสุมาช่%กของเซต A และสุมาช่%กที่�กต#วของเซต A เป็�นสุมาช่%ก

ของ A∩B

ด#งน#+น ถ"า A⊂B แล"ว A∩B=A

8. A={−6,5,6 }B= {−6,1 }C={−6 ,−2,2 }B∪C= {−6 ,−2,1,2 }A∩(B∪C )={−6 }A∩B= {−6 }A∩C= {−6 }( A∩B )∩(A∩C )={−6 }ด#งน#+น A∩(B∪C )=( A∩B )∪(A∩C )


1. 1.1 A−B={0,3,4,6 } 1.2 B−A={5,7 }

1.3 A−C={1,4,8 } 1.4 C−B= {−1,0,3,6 }

1.5 A−A=∅ 1.6 B−B=∅1.7 ( A−B )−C={4 } 1.8 B−(A−C )={5,7 }

2. 2.1 {1,4,6 } 2.2 {}2.3 {−1,2,5 } 2.4 {}2.5 {−1,0,3,6,8 } 2.6 {6,8 ,… }

3. 3.1 A−B={2,4,8 } 3.2 A∩B= {3,6 }

3.3 B∪ A= {1,2,3,4,5,6,8,9 } 3.4 C−A={5,7,10 }

3.5 (A−B)∪C={2,3,4,5,7,8,10 } 3.6 C∩(A−C)={}3.7 (A−B)∪(A−C)= {2,4,6,8 } 3.8 ( A∩B )−(B∪C )={}


4. 4.1 4.2

4.3 4.4

4.5

5. 5.1 5.2

5.3 5.4

5.5 5.6


5.7 5.8

6. 6.1 A={−1,3 } 6.2 A={−5,5 }

B= {3 ,−4 } B= {−4,2 }∴ A−B= {−1 } ∴ A−B= {−5,5 }

6.3 A={−7 ,−5,5,7 } 6.4 A={5 ,10 ,15 ,20 ,. . . }

B= {−5 } B= {5 ,15 }∴ A−B= {−7,5,7 } ∴ A−B= {10 ,20 ,25 ,30 , . .. }

7. B∪C= {0,2,5,7,8,9 }

A−(B∪C )={6 }A−B= {0,6 }A−C= {2,6 }( A−B )∩(A−C )= {6 }∴A−(B∪C )=(A−B )∩(A−C )

8. A∩B={8 }( A∩B )−C= {8 }A−C= {5,7,8 }B−C={0,1,8 }( A−C )∩(B−C )={8 }∴( A∩B)−C=(A−C )∩(B−C )

9. A={−2 ,−1,0,1,2 }


B={2 }C= {1,3 }A∪B )={−2 ,−1,0,1,2 }( A∪B )−C= {−2 ,−1,0,2 }A−C= {−2 ,−1,0,2 }B−C={2 }( A−C )∪(B−C )={−2 ,−1,0,2 }∴( A∪B)−C=(A−C )∪(B−C )


1. 1.1 A '={−3,1,5 } 1.2 B'= {−2,4 }

1.3 C '={−3,4,5 } 1.4 (A' )'={−2,0,4 }

1.5 U' ¿∅ 1.6 ∅ '=¿ U2. 2.1 A '={−4,3,4 } 2.2 A∪B= {−6 ,−4 ,−1,0,3,4,5 }

2.3 C−B= {−6,0,5 } 2.4 A∩C={−6,0,5 }

2.5 A'−B=∅ 2.6 B'−C={−6,0,3,5 }

2.7 (A∪C) '={−4,4 } 2.8 (B−A) '={−6 ,−1,0,5 }

2.9 A'∩B '=∅ 2.10 B'−C '={−6,0,5 }

2.11( A'−C ) '={−6 ,−1,0,3,5 } 2.12 (B∪A ') '= {−6,0,5 }

2.13C '∪(B−A)= {−4 ,−1,3,4 } 2.14 B∩(A−A ')={−1 }

2.15(C∪C )'−B= {3 } 2.16 (A'−B)∪C '= {−4,1,4 }

2.17( A−B )'∩(B∪C ')= {−4 ,−1,3,4 }

2.18 ( A'∪B ' )−(C−C )={−6 ,−4,0,3,4,5 }

3. 3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6


3.7 3.8

3.9 3.10

4. 4.1 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8 } 4.2 U={5 ,10 ,15 ,20 , .. . }A={1,2,5 }∴ A '={0,3,4,6,7,8 }

A={10 ,15 }∴ A '={5 ,20 ,25 ,30 , .. . }

4.3 U={−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

A={−2,2 }B= {−3,3 }A∪B={−3 ,−2,2,3 }∴(A∪B )'={−4 ,−1,0,1,4 }

4.4 U={−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 . }

A={−1,0,3 }B= {−2,4 }A '={−2,1,2,4,5 }B'= {−1,0,1,2,3,5 }∴ A '∩B '= {1,2,5 }

5. A '={3,4,9 }∴ A∩A '=φ

6. A∩B=φ


( A∩B )'= {−4 ,−2,1,3,5,6,9 }A '= {−2,5,6,9 }B '={−4 ,−2,1,3,5,6,9 }A '∪B '={−4 ,−2,1,3,5,6,9 }∴( A∩B) '=A '∪B '

7. U={−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 }

A= {−3,1 }B={−5 ,−3,3 }A∪B= {−5 ,−3,1,3 }( A∪B )'= {−4 ,−2 ,−1,0,2 }A '= {−5 ,−4 ,−2 ,−1,0,2,3 }B '={−4 ,−2 ,−1,0,1,2 }A '∩B '={−4 ,−2 ,−1,0,2 }∴( A∪B) '=A '∩B '


1. 1 2. 3 3. 4 4. 2 5. 4 6. 1 7. 3 8. 1 9. 110. 311. 412. 113. 214. 415. 416. 217. 118. 419. 320. 221. 222. 123. 224. 225. 226. 227. 228. 429. 130. 431. 232. 133. 334. 235. 336. 337. 238. 439. 440. 241. 142. 243. 444. 145. 146. 447. 148. 249. 350. 3



1. 1.1 n( A )=3 ต#ว 1.2 n(B )=4 ต#ว1.3 A '={3,5,8 } 1.4 B'= {2 ,10 }

n( A ' )=3 ต#ว n(B ' )=2 ต#ว

1.5 A∩B={7 } 1.6 B∪A={2,3,5,7,8 ,10 }

n( A∩B)=1 ต#ว n(B∪A )=6 ต#ว1.7 A−B={2 ,10 } 1.8 B−A={3,5,8 }

n( A−B)=2 ต#ว n(B−A )=3 ต#ว1.9 A∪B={2,3,5,7,8 ,10 } 1.10 B'= {2 ,10 }

( A∪B )'={} B'∩A={2 ,10 }

n((A∪B )' )=0 ต#ว n(B '∩A )=2 ต#ว2. 2.1 A∪B={−3 ,−1,0,2,4,9 } 2.2 C∩B= {0,4,9 }



n( A∪B)=6 ต#ว n(C∩B )=3 ต#ว2.3 A−B={−3,2 } 2.4 B−C= {−1 }

n( A−B)=2 ต#ว n(B−C )=1 ต#ว2.5 B−A={−1,4 } 2.6 B∪C= {−1,0,2,4,9 }

(B−A )'= {−3,0,2,5,9 } (B∪C ) '= {−3,5 }

n((B−A )' )=5 ต#ว n((B∪C ) ')=2 ต#ว2.7 A∪B∪C={−3 ,−1,0,2,4,9 } 2.8 A∩B∩C={0,9 }

n( A∪B∪C )=6 ต#ว n( A∩B∩C )=2 ต#ว

2.9 B−C= {−1 } 2.10 B∩A={0,9 }

A−(B−C )={−3,0,2,9 } (B∩A )∪C= {0,2,4,9 }

n( A−(B−C ))=4 ต#ว n((B∩A )∪C )=4 ต#ว

3. U={−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

A={−3,4 }B= {−4 ,−3,3 }C={1,4 }3.1 n( A )=2 ต#ว 3.2 n(B )=3 ต#ว3.3 n(C )=2 ต#ว 3.4 n(U)=9 ต#ว3.5 A∪B={−4 ,−3,3,4 } 3.6 B∩C={}

n( A∪B)=4 ต#ว n(B∩C )=0 ต#ว3.7 C−B= {1,4 } 3.8 B'= {−2 ,−1,0,1,2,4 }

n(C−B )=2 ต#ว n(B ' )=6 ต#ว3.9 B−C= {−4 ,−3,3 } 3.10 A∪C={−3,1,4 }

(B−C ) '= {−2 ,−1,0,1,2,4 } ( A∪C )'={−3,1,4 } n((B−C )' )=6 ต#ว n((A∪C ) ' )=3 ต#ว

3.11 B∩A={−3 } 3.12 C∪A={−3,1,4 } (B∩A )−C= {−3 } (C∪A )∩B= {−3 } n((B∩A )−C )=1 ต#ว n((C∪A )∩B )=1 ต#ว


4.

4.1 n( A ' )=3 ต#ว 4.2 n(B ' )=7 ต#ว4.3 n( A−B)=5 ต#ว 4.4 n(B−A )=1 ต#ว4.5 n( A∪B)=8 ต#ว 4.6 n( A∪B) '=2 ต#ว4.7 n( A−B) '=5 ต#ว 4.8 n(B−A ) '=9 ต#ว4.9 n( A∩B) '=8 ต#ว

5.

5.1 n( A ' )=12 ต#ว 5.2 n(B ' )=12 ต#ว5.3 n(C ')=13 ต#ว 5.4 n( A∪B)=13 ต#ว5.5 n(B∩C )=3 ต#ว 5.6 n(B−A )=5 ต#ว5.7 n( A∩C ) '=16 ต#ว 5.8 n(C−A ) '=17 ต#ว5.9 n((A∪B )∩C )=5 ต#ว 5.10 n(B−(C∪A ))=4 ต#ว5.11 n( A∪B∪C )=15 ต#ว 5.12 n( A∪B∪C ) '=5 ต#ว

6. n( A∪B)=n( A )+n(B)=4+5=9ต#ว7. n( A∪B)=n( A )+n(B)−n(A∩B )=3+7−1=9ต#ว8. 8.1 n( A−B)=n( A )−n( A∩B)=5−2=3 ต#ว

8.2 n(B−A )=n(B)−n(A∩B )=3−2=1 ต#ว


9. 9.1 n( A ' )=n(U)−n (A )=15−12=3 ต#ว9.2 n(B ' )=n(U)−n (B )=15−9=6 ต#ว

10.n( A∪B∪C )=n( A )+n(B)+n (C )−n( A∩B )−n(B∩C )−n(A∩C )+n(A∩B∩C ) =7+4+7−2−3−4+2=11 ต#ว

11. n( A∪B∪C )=n( A )+n(B)+n (C )−n( A∩B )−n(B∩C )−n(A∩C )+n(A∩B∩C )

15=9+7+6−n (A∩B)−3−3+115=17−n (A∩B )n( A∩B)=2 ต#ว

12.

∴n(A−B )=5 ต#ว13. n( A )=6 ต#ว n(B )=4 ต#ว14. n( A∩B)=5 ต#ว15. n( A∪B∪C )=n( A )+n(B)+n (C )−n( A∩B )−n(B∩C )−n(A∩C )+n(A∩B∩C )

14=8+8+6−3−3−4+ x14=12+xx=2

15.1 n( A∩B∩C )=2 ต#ว 15.2 n( A∪B)=13 ต#ว

15.3 n(B−C )=5 ต#ว 15.4 n(B ' )=6 ต#ว15.5 n(B∪C )'=3 ต#ว 15.6 n( A '−B)=1 ต#ว


15.7 n((A∪B )−C )=8 ต#ว 15.8 n(B−( A∩C ))=6 ต#ว16. - หา n( A∪B∪C )

n( A∪B∪C ) '=n(U)−n (A∪B∪C )4=20−n( A∪B∪C )

n( A∪B∪C )=16 ต#ว - หา n( A∩B∩C )

ให" n( A∩B∩C ) เป็�นxn( A∪B∪C )=n( A )+n(B)+n (C )−n( A∩B )−n(B∩C )−n(A∩C )+n(A∩B∩C )16=8+8+9−( x+1 )−( x+1 )−( x+3 )+x16=20−2 x2 x=4x=2

- หาจ)านวนสุมาช่%กของ B'

n(B ' )=n(U)−n (B )=20−8=12 ต#วด#งน#+น B' ม�สุมาช่%ก 12 ต#ว


1. น#กเรื่�ยนช่อบเล�นก�ฬาที่#+งสุองช่น%ด 3 คน2. การื่สุ)ารื่วจครื่#+งน�+ม�ว#ยรื่� �น 8 คน3. น#กดนตรื่�เล�นเบสุ 3 คน4. น#กเรื่�ยนที่�ช่อบเรื่�ยนที่#+งสุองว%ช่า 5 คน5. ไม�ม�ผู้("บรื่%โภคช่อบช่มพ( �และมะม�วง6. ฝูนตกที่#+งเช่"าและเย4น 5 ว#น7. กล��มต#วอย�างช่อบฟุ@งเฉพาะเพลงสุากล 7 คน8. ผู้("บรื่%โภคช่อบก%นเฉพาะกCวยเต�Dยว 13 คน


9. น#กเรื่�ยนเรื่�ยนพ%เศษหน,งว%ช่า 40 คน10. ช่าวสุวนป็ล(กกล"วยอย�างเด�ยว 2 รื่าย11. น#กเรื่�ยนที่�เล�นก�ฬาที่#+งสุามช่น%ด 4 คน12. กล��มต#วอย�างช่อบสุ�เข�ยวสุ�เด�ยว 2 คน


1. 4 2. 3 3. 1 4. 2 5. 3 6. 4 7. 1 8. 2 9. 410. 111. 212. 113. 314. 115. 216. 117. 318. 319. 220. 4

ช่�อ - สุก�ล : นางสุาวก#ลยาณิ� หน(พ#ดป7จจ�บ�นัก,าลุ�งศึ6กษา : วิทม. คัณ์ตัศึาสตัร์�ศึ6กษา มหาวิทยาลุ�ยบ0ร์พา ป9ท%& 1ร์ห�สนัสตั : 55990041

ผู้("จ#ดที่)า


เอกสาร์ปร์ะกอบการ์เร์%ยนั ส�ดิยอดิเร์(&อง เซตั“ (Sets)” เลุ�มนั%+จ�ดิท,าข6+นั เพ(&อเป3นัส�วินัหนั6&งในัการ์เร์%ยนัร์ายวิชิา 327542

คัณ์ตัศึาสตัร์�ส,าหร์�บคัร์0 1 เสนัอ ดิร์. อาร์%ร์�กษ� ชิ�ยวิร์

กว%ยา เนาวป็รื่ะที่�ป็. เทคันัคัการ์เร์%ยนัคัณ์ตัศึาสตัร์� เซตั“ ” กลุ��มสาร์ะการ์เร์%ยนัร์0!คัณ์ตัศึาสตัร์� .

กรื่�งเที่พฯ : สุ)าน#กพ%มพ&ฟุ?สุ%กสุ&เซ4นเตอรื่& , 2547.

จ#กรื่%นที่รื่& วรื่รื่ณิโพธ%Gกลาง. คั0�ม(อปร์ะกอบการ์เร์%ยนัคัณ์ตัศึาสตัร์�พ(+นัฐานั ม. 4 – 6 เลุ�ม 1.

รื่ายการื่อ"างอ%ง


กรื่�งเที่พฯ : สุ)าน#กพ%มพ& พ.ศ.พ#ฒนา , 2553.

สุถาบ#นสุ�งเสุรื่%มการื่สุอนว%ที่ยาศาสุตรื่&และเที่คโนโลย�. หนั�งส(อเร์%ยนัสาร์ะการ์เร์%ยนัร์0!พ(+นัฐานั

คัณ์ตัศึาสตัร์� เลุ�ม 1 กลุ��มสาร์ะการ์เร์%ยนัร์0!คัณ์ตัศึาสตัร์� ชิ�+นัม�ธียมศึ6กษาป9ท%& 4-6.

พ%มพ&ครื่#+งที่� 2. กรื่�งเที่พฯ : องค&การื่ค"าของ สุกสุค.,

2553.

___________________________

Documents

Transcript of ___________________________