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APUNTES ESTRUCTURAS IV (Graduado en Arquitectura) ESTRUCTURAS DE ACERO

Jonathan Ruz Jaramillo. Dr. Arquitecto

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Se adjunta la adaptacin de una conversacin real que tuvo lugar en un foro online sobre ingeniera

(www.physicsforums.com) en octubre de 2004:

What height beam do I need to support a weight

Voy a construir un columpio/gimnasio en la habitacin de mi hijo de 4 aos para que durante el

invierno pueda satisfacer su necesidad constante de trepar sin tener que subirse encima de m .

Cmo puedo calcular el perfil de acero que necesito para que resista su peso y el de algunos amigos

ms? Preferiblemente deseara utilizar un tubo cuadrado de acero S275, puesto que un amigo mo me

los puede conseguir a buen precio $$

Debido a la construccin de mi casa, una de las paredes es un muro con el suficiente espesor como para

introducir la viga en el mismo tanto como quiera (hasta que mi vecino empiece a protestar, claro),

mientras que en el otro extremo, tengo una de esas paredes finas de las que se construyen ahora en la

que nicamente tengo una pilastra. Creo que en este extremo nicamente podra colocar una placa de

anclaje. La distancia entre ambas paredes es de 4,0 metros.

Mi hijo pesa unos 15 kilos, pero como no me fo, multiplquenlo por 10 para considerar tambin el peso

de varios amigos haciendo el mono.

He ledo en un foro algo sobre resistencia elstica y plstica del acero pero no me queda claro cul de

ellas es mejor. Estara bien hacerlo de las dos formas a ver con cual obtengo el perfil ms pequeo

Apreciara que el clculo estuviese suficientemente justificado con frmulas fsicas para convencer a mi

mujer

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Nota: Considerar la carga tanto del hijo como del grupo de amigos como una carga continua. A efectos

de comprobacin de la seccin, despreciar el efecto del cortante.

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A partir de los datos que se establecen en el enunciado, tenemos que establecer el modelo de clculode la estructura del columpio que se propone.

Con respecto a los apoyos, segn nos indican tenemos por una parte un muro en el que podemos

introducir la viga tanto como queramos, es decir, un empotramiento. En la pilastra del otro extremo, slose coloca una placa de anclaje. A menos que se disee un detalle especfico que impida el giro en elapoyo, lo ms habitual es que esa placa de anclaje suponga un apoyo fijo, es decir, la seccin tienecapacidad de rotacin.

Por su parte, la carga del nio es de 15 Kp, carga que por seguridad multiplicamos por 10, es decir,tenemos 150 Kp que, linealmente aplicados sobre la viga, son 150 Kp/m. De esta forma, el modelo declculo que tenemos es el siguiente:

La carga aplicada es carga sin mayorar, por lo que tenemos que aplicarle el correspondiente coeficientede seguridad. En este sentido, tanto el hijo como sus amigos implican una sobrecarga de uso, por lo que

segn el DB-SE, art. 4.2.4, tabla 4.1, es de g= 1,50. 150 / 1,50 225 / 2,25 / 2,25 /

a) Suponemos un comportamiento elstico de la seccin:

,, Dado que queremos optimizar la seccin del perfil: = fyd

275 /1,05 Para poder realizar la comprobacin, necesitamos el valor del mximo momento al que se encuentrasometido la viga, por lo que a partir del modelo de clculo, pasamos a determinar el valor de los esfuerzosgenerados en ella por la carga actuante.

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Como se puede comprobar, el mximo momento se alcanza en el empotramiento, siendo este de valor:

8 2,25 / 4000

8 4500000

Si admitimos que la seccin que estamos comprobando, en este caso, la del empotramiento, trabaja enrgimen elstico, podemos decir que M2d= Med.

,, , , 4500000 275 /1,05 17181,8181 17,18

Si consultamos un prontuario, dado que nos dicen que el perfil debe ser un tubo cuadrado, obtenemospor ejemplo un perfil #70.4 (W

el,y

= 20,10 cm

3

).

Este perfil tiene un mdulo resistente plstico de valor: Wpl,y = 24,40 cm3

. Esto implica que el mximomomento que puede soportar esa seccin (correspondiente con el momento plstico) es el siguiente:

, ,275 /1,05 24400 6390476,19 b) Suponemos un comportamiento plstico de la seccin.

Si asumimos un comportamiento plstico de la seccin, admitimos que esta ser capaz de llegar adesarrollar el momento resistente plstico. Para ello, tendremos adems que comprobar que la seccines de clase 1 o 2, es decir, que es capaz de desarrollar dicho momento plstico. Para ello, en este caso,

asumimos que M2d= Mpl,d

,, , , 4500000 275 /1,05 17181,8181 17,18

En este caso, si consultamos un prontuario, dado que nos dicen que el perfil debe ser un tubo cuadrado,obtenemos por ejemplo un perfil #60.4 (W

pl,y

= 17,32 cm

3

).

Verificamos por tanto que cuando el perfil trabaja en rgimen plstico necesitamos una pieza de menorseccin.

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A modo de comparacin con la comprobacin anterior, podemos decir que este perfil tiene un mduloresistente elstico de valor: We,y = 14,10 cm3. Esto implica que el momento que puede soportar esaseccin en rgimen elstico, es decir, antes de que la fibra ms tensionada de la seccin comience aplastificar, es el siguiente:

, ,275 /1,05 14100 3692857,14 c) Comportamiento plstico de la seccin y capacidad de rotacin

Si la seccin es de clase 1, sabemos que no solamente es capaz de desarrollar el momento plstico sinoque adems tiene la capacidad de rotacin suficiente como para desarrollar rtulas plsticas.

En el caso que estamos estudiando, la seccin es hiperesttica, al estar en el extremo 1 articulada y enempotrada en su extremo 2. Por ello, siempre que la seccin sea de clase 1, ser posible asumir la

generacin de una rtula plstica como estado intermedio que permitira la optimizacin del perfil, msall de que este sea capaz de trabajar en estado plstico a partir del momento de plastificacin.

Para ello, comenzamos por analizar los esfuerzos que se generan en la estructura una vez que se haproducido la rtula plstica en el punto de mayor momento de la seccin, en el que por tanto en primerlugar las fibras del perfil llegarn a desarrollar el momento plstico Mp.

A partir del anlisis de estos diagramas de esfuerzos en el estado 2 (estructura con rtula plstica),podemos calcular el momento plstico que soportara la seccin antes de que volviese a aparecer unanueva rtula plstica que, para la estructura que nos ocupa, generara la inestabilidad de la estructura.

Como puede verse en las leyes de esfuerzos, el momento mximo que se produce en el estado 2 es:

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, 8 Para determinar M, por semejanza de tringulos, obtenemos que:

2 4 2 Ahora sustituyendo en la primera expresin:

, 8 ,2 ,

12 Aplicamos ahora la expresin para el clculo de flexin de una seccin sometida al momento plstico:

,, , , 12 1 2 , ,

1 2 2,25 / 4000

12 275 /1,05

11454,75 11,45 Con este mdulo resistente, obtenemos un perfil de seccin tubo cuadrado #50.4(Wpl= 11,46 cm3).

d) Comprobacin a Estados Lmites de Servicio

Adicionalmente se va a comprobar la seccin a Estados Lmites de Servicio, con el objeto de verificar sila flecha que se producira en el perfil bajo la carga actuante sera admisible.

Hay que tener en cuenta que la deformacin en las estructuras (comprobacin de aptitud al servicio) paralos efectos debidos a las acciones de corta duracin que pueden resultar irreversibles, se calcula con lascargas caractersticas, es decir, sin aplicar coeficientes de mayoracin. As se indica en el artculo 4.3.2del DB-SE. Por ello, calculamos la estructura en su estado inicial, dado que la flecha mxima se producirantes de que se desarrolle el momento de plastificacin.

La flecha mxima que se produce en la estructura que estamos analizando es:

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, 185 Calculamos la flecha mxima para el perfil que se ha optimizado anteriormente:

185 1,50 / 4000185210000 / 229000 43,16 4,32 La limitacin de flecha se establece en el art. 4.3.3.1 del DB-SE. Para elementos que no soportantabiques o pavimentos rgidos, la flecha mxima se puede limitar en 1/300. De esta forma:

3004000300 13,33 1,3

1,3 4,32

Dado que la limitacin de flecha en este caso se sita en 1,3 cm, tendramos que asumir que esta es laflecha mxima que queremos que se produzca en la seccin y a partir de ah obtener la inercia del perfilnecesario para que se produzca esa flecha. Es decir:

, 185 13,33

185 Una vez determinada la inercia del perfil necesario, en un prontuario buscaramos el perfil que tenga unainercia igual o superior a esta, determinando en consecuencia la seccin apropiada.

Ahora bien, en este caso, la estructura que estamos calculando es un columpio, por lo que no va asoportar ms carga que la de los nios jugando, tal y como nos plantea el supuesto del ejercicio. En estecaso concreto, por tanto, nos podra dar igual que se alcanzase la flecha mxima de 4,32 cm, puesto queno habr ningn elemento constructivo que resulte daado.

Con esto, se pretende que se reflexione sobre la limitacin de deformaciones en las estructuras, que estrelacionada con el uso y papel que el elemento que calculamos tiene en la estructura.

e) Comprobacin de la clase de seccin del perfil.

Finalmente, una vez seleccionado el perfil adecuado para la estructura que se nos propone (#50.4)vamos a determinar la clase de seccin. La posibilidad de utilizar un determinado perfil en la estructuradepende en realidad de la posibilidad de que la seccin pueda trabajar en rgimen plstico o en rgimenelstico. En este sentido, segn el art. 6.2.1, aptdo. 3 del DB-SE-A, la capacidad resistente de lassecciones depende de su clase. Para secciones de clase 1 y 2 la distribucin de tensiones se escogeratendiendo a criterios plsticos (en flexin se alcanza el lmite elstico en todas las fibras de la seccin).Para las secciones de clase 3 la distribucin seguir un criterio elstico (en flexin se alcanza el lmiteelstico slo en las fibras extremas de la seccin) y para secciones de clase 4 este mismo criterio seestablecer sobre la seccin eficaz.

Puesto que hemos asumido que este perfil podr llegar al momento plstico, es decir, trabajar en rgimen

plstico) y adems tener la capacidad de giro suficiente para desarrollar una rtula plstica, debemoscomprobar que este es de clase 1.

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Para su clasificacin, hay que tener en cuenta que el perfil que estamos clasificando es un tubo cuadradoy por tanto, es un caso particular de perfil que est conformado por 4 elementos tipo alma, es decir,apoyados en 2 bordes. Por ello, recurrimos a lo indicado en la tabla 5.3 del DB-SE-A, teniendo en cuenta

que, dado que el perfil est trabajando a flexin, por lo que la parte superior estar sometida a compresiny las dos almas centrales lo estarn a flexin.

Dado que el espesor de las chapas del perfil es de 4mm, su lmite elstico es de 275 N/mm 2. Por tanto,el factor de reduccin ():

235 235275 0,8545Alma superior (compresin):

Lmite de esbeltez para clase 1:

33 5 0 2 1 , 5 4 384 9,5 330,8545 28,19 Almas centrales (flexin simple):

Lmite de esbeltez para clase 1:

72 9,5 330,8545 61,52 Por ello, la seccin es de clase 1, por lo que es correcto asumir que este puede trabajar en rgimenplstico, siendo vlida por tanto la seccin #50.4.

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