50503203 Movimiento Circular Uniforme

8/17/2019 50503203 Movimiento Circular Uniforme

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F́ısica

Gúıa de Materia

Movimiento circularMódulo Electivo

III Medio

www.puntajenacional.cl

Nicolás Melgarejo, Verónica Saldaña

Licenciados en Ciencias Exactas, U. de Chile

Estudiantes de Licenciatura en Educación, U. de Chile


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1. Movimiento circular uniforme

Un cuerpo se encuentra en movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferenciao un arco de circunferencia. Si dicho movimiento se realiza a una velocidad de módulo constante, elmovimiento circular es uniforme.

Una part́ıcula que gira atada al extremo de una cuerda es un ejemplo de movimiento circular. Enla imagen se observa que el vector velocidad de la part́ıcula vaŕıa continuamente de dirección, pero sumagnitud se mantiene constante, es decir, se trata de un movimiento circular uniforme M.C.U.

1.1. Velocidad lineal

La velocidad a la cual hacemos referencia en el ejemplo anterior es denominada velocidad lineal otangencial, la cual se representa a través del vector tangente al punto de la trayectoria circular en que se

halla la part́ıcula en movimiento. Este vector cambia de dirección constantemente, por lo que la velocidadlineal no es constante. En un M.C.U. la velocidad tangencial mantiene su magnitud constante.

1.2. Rapidez lineal

La rapidez lineal o tangencial es el módulo de la velocidad lineal, en un M.C.U. se mantiene constantey podemos determinar su valor a trav́es del cuociente entre la distancia recorrida por la part́ıcula y eltiempo que demora en recorrer dicha distancia.

El tiempo que la partı́cula tarda en dar un giro completo se denomina periodo del movimiento, se lerepresenta con la letra T . La distancia que recorre el cuerpo con M.C.U. en el lapso de un periodo T esigual al peŕımetro de la circunferencia 2πR. Aśı, la rapidez tangencial v de un M.C.U. está dada por:

v = 2πR

T (1)

donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria.

1.3. Periodo

Como se indicó anteriormente, el periodo T es el tiempo que una partı́cula emplea en dar una vueltacompleta a su trayectoria. En un M.C.U. el periodo se mantiene constante, es decir, el cuerpo siempredemora la misma cantidad de tiempo en realizar un giro.

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Ejemplo

Determine la rapidez tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 10 [cm] de radio en 0,2 [s]:

Solución: Para hallar la rapidez lineal v, basta con reemplazar los datos dados en el enunciado enla ecuación (1):

v = 2πR

T =

2π · 10[cm]0, 2[s]

= 314cm

s

1.4. Frecuencia

Se llama frecuencia f a la cantidad de giros o revoluciones que realiza un cuerpo en movimiento enuna determinada unidad de tiempo, en particular, con movimiento circular. En un M.C.U. la frecuenciaes constante y se puede determinar haciendo el cuociente entre la cantidad de giros y el tiempo empleadoen hacer esos giros. En particular, si consideramos el cuociente entre una vuelta y el tiempo usado paradar esa vuelta se concluye que:

f = 1T (2)

En el S.I. la unidad de medida de la frecuencia es el Hertz [Hz], donde 1[Hz] =1

1

s

Ejemplo

Un motor da 3.000 revoluciones por minuto. Determine su periodo.

Solución: El enunciado indica que el motor realiza 3.000 giros en un lapso de tiempo igual a 60 segundos,ya que un minuto equivale a 60 segundos. Con esta informaci ón es posible determinar la frecuencia deoscilación del motor:

f = 3.00060

girossegundo

= 50[Hz]

Aplicando la ecuación (2) obtenemos el valor del periodo T :

T = 1

f =

1

50[s] = 0, 02[s]

Es decir, el motor demora 0,02 segundos en completar una revolución.

Desafı́o...

En un hilo de 1[m] de largo se atan dos pie-

dras, una en un extremo de la cuerda y la otraa 40[cm] del extremo, tal como se muestra enla figura. Si se hace girar el hilo a razón de 3vueltas por segundo, ¿qué sucede con la rapi-dez lineal de las piedras? ¿son iguales? ó ¿unatiene mayor rapidez que la otra? Respuesta

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1.5. Velocidad angular

Una partı́cula que se mueve con movimiento circular pasa por la posición P 1, después de un intervalode tiempo ∆t está pasando por la posición P 2, en este lapso de tiempo el radio de la trayectoria delmovimiento del cuerpo ha barrido un ángulo ∆θ. La relación entre el ángulo ∆θ descrito y el intervalo detiempo ∆t empleado para describirlo se denomina velocidad angular ω del cuerpo en movimiento.

En un M.C.U. la velocidad angular se mantiene constante, su magnitud está dada por:

ω = ∆θ

∆t (3)

Como la velocidad angular se mantiene constante, podemos hallar el valor de ω para el instante enque la part́ıcula completa una vuelta, tendremos que ∆θ = 2π radianes y ∆t = T , aśı:

ω = 2π

T (4)

donde recordemos que T es el peŕıodo o tiempo que emplea el cuerpo en dar un giro completo. Sabiendoque la frecuencia f es el inverso multiplicativo del periodo, la expresión (4) es equivalente a:

ω = 2πf (5)

Si a la ecuación (4) multiplicamos el valor del radio R de la circunferencia que sigue el cuerpo comotrayectoria, se obtiene la expresión (1):

ω · R = 2π

T · R

Se concluye:

ω · R = v (6)

El vector velocidad angular ω es perpendicular al plano en donde se dibuja la trayectoria circular delmovimiento de la part́ıcula, su origen se encuentra en el eje de rotación y su sentido depende del sentidodel vector velocidad lineal v. Es posible expresar la ecuación (6) vectorialmente como producto cruz:

ω × R = v (7)

donde R es el vector posición del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre śı y se relacionan através de la regla de la mano derecha.

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Desafı́o...

Respecto al desaf́ıo anterior, ¿qué sucede con la magnitud de la velocidad angularde las piedras? ¿son iguales? ó ¿una tiene mayor rapidez angular que la otra?Respuesta

Ejemplo

Calcule la magnitud de la velocidad tangencial de un punto de la ĺınea del Ecuador de la Tierra. Considere

el radio terrestre igual a 6.000 [Km]

Solución: La Tierra tarda un d́ıa en dar un giro completo respecto de su eje de rotacíon. En unavuelta o giro completo, el radio terrestre barre un ángulo de 360◦, lo que expresado en radianes es iguala 2π. De acuerdo a esto, la velocidad angular ω del movimiento de rotación terrestre es:

ω = 2π rad

d́ıa

Un d́ıa corresponde a 24 horas. Como cada hora tiene 60 minutos y cada minuto tiene 60 segundos,

realizando un sencillo cálculo puede concluir que un d́ıa equivale a 86.400 segundos. Reemplazando:

ω = 2π

86.400

rad

s

Aplicando la ecuación (6) obtenemos el valor de la magnitud de la velocidad tangencial, es decir, la rapideztangencial v del punto del Ecuador:

v = ω · R = 2π

86.400

rad

s

· 6.000[Km] = 0, 436

Km

s

1.6. Aceleración centrı́peta

Sabemos que en un M.C.U. la magnitud de la velocidad lineal o tangencial de la part́ıcula se mantieneconstante, lo que implica que no existe sobre el cuerpo aceleraci ón tangencial. Pero la dirección del vectorvelocidad lineal cambia, por lo tanto, existe una variación de dicho vector en el tiempo, lo que a su vezgenera el vector aceleración centrı́peta ac.

El vector ac tiene la dirección del radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria ysiempre apunta hacia el centro de ésta. Su magnitud está dada por la ecuacione:

ac = v2

R (8)

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donde v es la magnitud de la velocidad lineal, R el radio de la circunferencia.

Según la ecuación (6) v = ω · R, reemplazando en (8) nos queda que:

ac = (ω · R)2

R

= ω2 · R2

R

= ω2 · R

(9)

donde R es el radio y ω la magnitud de la velocidad angular.

1.7. Fuerza centŕıpeta

De acuerdo a la segunda ley de Newton, si un cuerpo con M.C.U. se ve afectado por la aceleraci óncentŕıpeta, entonces sobre este cuerpo actúa una fuerza que provoca dicha aceleración. Esta fuerza a sidodenominada fuerza centŕıpeta, tiene igual dirección y sentido que la aceleración centŕıpeta. Su magnitudqueda determinado por:

F c = m · ac

donde m corresponde a la masa del objeto en movimiento y ac a su aceleración centŕıpeta. Reemplazandolas ecuaciones (8) y (9) obtenemos:

F c = m ·v2

R (10)

F c = m ·

ω

2·

R (11)

Desafı́o...

Demuestre que la magnitud de fuerza centŕıpeta es igual al producto del momentumlineal p y la rapidez angular ω , es decir,

F c = p · ω

Respuesta

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Ejemplo

Determine la magnitud de la fuerza centŕıpeta sobre un automóvil de 10 [Kg], el cual recorre una pista circular de 80 [m] de radio, con M.C.U. a 72

Kmh

de velocidad lineal.

Solución: De acuerdo a los datos entregados en el enunciado, la ecuaci ón pertinente para determinar elmódulo de la fuerza centŕıpeta F c es la número (10). Reemplazando:

F c = m ·v2

R = 10[Kg] ·

72

Kmh

280[m]

Note que es necesario trasformar los [Km] de la unidad de la velocidad lineal, ya que el radio de la pistaestá expresada en metros. Además transformaremos la unidad hora a segundos para escribir la respuestaen Newton:

F c = 10[Kg] ·

72.000

3.600

ms

280[m]

= 50Kg ·

m

s2

= 50[N ]

1.8. Momento angular

Momento angular o cantidad de movimiento angular L corresponde a una ca-racteŕıstica de los cuerpos que están en rotación, es la medida de la inercia rota-cional de un cuerpo que gira. El momento angular es un vector perpendicular alplano de la trayectoria del cuerpo que rota, el cual tiene una magnitud dada por:

L = R · p (12)

donde R

es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y p

es la magnitud del vector momento lineal de la part́ıcula. El momento lineal p esuna caracteŕıstica de los cuerpos con masa que se mueven a cierta velocidad, es lamedida de la inercia de un cuerpo que se traslada, su magnitud está dada por:

p = m · v (13)

donde m es la masa del cuerpo en movimiento y v su velocidad, en el caso de moverse con M.C.U. v es lavelocidad lineal de la part́ıcula. Reemplazando la ecuación (13) en la expresión (12) se obtiene:

L = R · m · v (14)

Reemplazando la ecuación (6) en esta última expresión se concluye que el momento angular depende de

la masa del cuerpo que gira, de su velocidad angular y del radio de giro de su trayectoria:

L = m · R2 · ω (15)

Es posible escribir vectoriamente la ecuación (12) como producto cruz:

L = R × p (16)

donde R es el vector posición del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre śı y se relacionan através de la regla de la mano derecha.

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1.9. Conservación del momento angular

El momento angular se conserva si no actúa sobre el objeto o sistema en rotación un momento de torsióno torque externo neto. Recordemos que torque τ es una magnitud vectorial que indica cuantitativamentela tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotaci ón de un cuerpo respecto de un eje de giro.En función del cambio de momento angular ∆L del cuerpo o sistema en rotación, el torque puede seexpresado como:

τ = ∆L

∆t

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donde ∆t es el intervalo de tiempo en el cual se produce la variaci ón de momento angular.Aplicar un torque a un cuerpo o sistema mecánico en rotación genera una variación o cambio en su

momento angular. Si la magnitud de torque es nulo, es decir, τ = 0, entonces el cambio en el momentoangular también es nulo. Por lo tanto, si no actúa un torque externo sobre un objeto o sistema en rotación,el momento angular se mantiene constante, es decir, se conserva.

Ejemplo

Un hombre está sentado en una silla giratoria mientras sostiene dos bolas de boliche de 3 [Kg] cada una.Después de darse un impulso comienza a girar con los brazos estirados, las bolas rotan con una rapidez

lineal igual a 2 ms con un radio de giro igual a 60 [cm]. Si el radio de giro disminuye a 40 [cm] al recoger

sus brazos, ¿cuál es la rapidez lineal de las bolas de boliche?

Solución: Por el principio de conservación del momento angular, la magnitud del momento angularantes de recoger los brazos, Li, es igual a la magnitud del momento angular después de recoger los brazos,Lf , aśı:

Li = Lf

Reemplazamos en la ecuación (14) los valores correspondientes al antes y después de haber cambiado elradio de giro:

Ri · mi · vi = Rf · mf · vf

Como la masa de las bolas de boliche no vaŕıa, la expresión se reduce a:

Ri · vi = Rf · vf

Despejamos el valor de la rapidez de las bolas después de haber encojido los brazos, vf , y hallamos suvalor reemplazando los datos:

vf = Ri · vi

Rf =

60[cm] · 2ms

40[cm]

= 3ms

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Desafı́os resueltos

Desafı́o I: La piedra que está en el extremo de la cuerda tiene mayor rapidez lineal que la que seencuentra a 40[cm] del extremo, pues en el mismo tiempo describe una circunferencia mayor, esdecir, recorre una mayor distancia. Volver

Desaf́ıo II: Ambas piedras poseen igual rapidez angular ya que describen ángulos iguales en tiemposiguales. Volver

Desaf́ıo III: Por la ecuación (10) tenemos que:

F c = m ·v2

R

que puede ser reescrita como:

F c = m · v ·v

R

Como el momentum es igual a masa por velocidad (P = m ·v) y por la ecuación (6) ω = vR

, entonces:

F c = p · ω

Volver

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