*5. Repaso de matrices( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

*Elemento: aijTamao: m nMatriz cuadrada: n n(orden n)Elementos de la diagonal: annMatricesVector columna(matriz n x 1)Vector fila(matriz 1 x n)

*Suma:Multiplicacin por un escalar:

*Si A, B, C son matrices mn, k1 y k2 son escalares: (i) A + B = B + A (ii) A + (B + C) = (A + B) + C (iii) (k1k2) A = k1(k2A) (iv) 1 A = A (v) k1(A + B) = k1A + k1B (vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A

*(a)

(b)

Nota: En general, AB BAMultiplicacin:

*Transpuesta de una matriz A:(i) (AT)T = A (ii) (A + B)T = AT + BT (iii) (AB)T = BTAT (iv) (kA)T = kATNota: (A + B + C)T = AT + BT + CT (ABC)T = CTBTAT

*Matriz ceroA + 0 = A A + (A) = 0Matrices triangulares

*Matriz cuadrada n n, i j, aij = 0 Matriz diagonal:A: m n, entonces Im A = A In = AMatriz identidad:

*Una matiz A n n es simtrica si AT = A.

*Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales:

*2x1 + 6x2 + x3 = 7 x1 + 2x2 x3 = 1 5x1 + 7x2 4x3 = 9x3 = 5, x2 = 3, x1 = 10

*Resolver mediante el mtodo de Gauss-Jordanx1 + 3x2 2x3 = 74x1 + x2 + 3x3 = 52x1 5x2 + 7x3 = 19

Entonces:x2 x3 = 3 x1 + x3 = 2 Haciendo x3 = t, tenemos x2 = 3 + t, x1 = 2 t.

*Resolver:x1 + x2 = 1 4x1 x2 = 6 2x1 3x2 = 8 0 + 0 = 16 !! No tiene soluciones.

*Vectores fila: u1 = (a11 a12 a1n), u2 = (a21 a22, a2n),, um = (am1 am2 amn)Vectores columna:El rango de una matriz A m n, es el mximo nmero de vectores fila linealmente independientes.rang A = 2.

*AX = 0Siempre hay soluciones(consistente)Solucin nica X = 0(solucin trivial)rang(A) = nInfinitas solucionesRang(A) < nn r parmetros

*AX = B, B0Inconsistenterang(A) < rang(AB)Consistenterang(A) = rang(AB)Solucin nicarang(A) = nInfinitas solucionesrang(A) < nn r parmetros

*DeterminantesExpansin por cofactores a lo largo de la primera fila.

*det A = a11C11 + a12C12 + a13C13El cofactor de aij es Cij = (1)i+ j Mijdonde Mij se llama menor.... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33

Podemos expandir por filas o columnas.

*

*Ms corto desarrollando por la segunda fila...

*

*det AT = det ASi dos filas (columnas) de una matriz A de n n son idnticas, entonces det A = 0.

*Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n n son cero, entonces det A = 0.Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n n, entonces: det B = det A

*Si B se obtiene de una matriz A n n multiplicando una fila (columna) por un nmero real k, entonces: det B = k det A

*Si A y B son matrices n n, entonces det AB = det A det B.det AB = 24, det A = 8, det B = 3, det AB = det A det B.

*det A = 45 = det B = 45.Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n n, entonces: det B = det A

*matriz diagonalmatriz triangular inferior

*Supongamos que A es una matriz n n. Si ai1, ai2, , ain son los elementos de la i-sima fila y Ck1, Ck2, , Ckn son los cofactores de la k-sima fila, entonces: ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + + ain Ckn = 0, para i k Igualmente, si a1j, a2j, , anj son los elementos de la j-sima columna y C1k, C2k, , Cnk son los cofactores de la k-sima columna, entonces:a1j C1k + a2j C2k + + anj Cnk = 0, para j k

*Demostracin Sea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-sima fila por los de su k-sima fila: bi1 = ak1, bi2 = ak2, , bin = akn B tendr entonces dos filas idnticas de modo que det B = 0, y:

*

*Inversa de un matrizSea A una matriz n n. Si existe una matriz n n B tal queAB = BA = I donde I es la matriz identidad n n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.Sean A, B matrices no singulares. (i)(A-1)-1 = A (ii)(AB)-1 = B-1A-1 (iii)(AT)-1 = (A-1)T

*Sea A una matriz n n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:

se llama adjunta de A y se denota por adj A.Matriz adjunta

*Encontrar la matriz inversa:Sea A una matriz n n. Si det A 0, entonces: Para n =3:

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*Singular

*AX = BSi m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B

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*

*Regla deCramer

*Un sistema homogneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solucin trivial (ceros) si y solo si A es no singular.Un sistema homogneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solucin no trivial si y solo si A es singular.

*Problemas de autovalores

Sea A una matriz n n. Un nmero se dice que es un autovalor de A si existe una solucin vector K, distinto de cero para: AK = KEl vector solucin K es el autovector correspondiente al autovalor .DEFINICINAutovalores y autovectoresLos autovalores de una matriz triangular, inferior o superior, o de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal.

*Verifica que es el autovector de la matriz:

Solucin Autovalor

*Podemos escribir AK = K como:

(A I)K = 0 Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales homogneo. Si queremos que K sea una solucin distinta de cero, debera ocurrir que:det (A I) = 0 Observa que det (A I) nos proporcionar un polinomio de grado n, que llamaremos ecuacin caracterstica.

*Encuentra los autovalores y autovectores de:

3 2 + 12 = 0 ( + 4) ( 3) = 0 = 0, 4, 3.Ahora encontraremos los autovectores para cada autovalor.(A I)K = 0

*(i) 1 = 0Tomando k3 = 13(A 1I)K = 0

*(ii) 2 = 4k1 = k3 , k2 = 2k3. Tomando k3 = 1:(A 2I)K = 0

*(iii) 3 = 3

k1 = k3, k2 = (3/2) k3. Y tomando k3 = 2,(A 3I)K = 0

*1 = 2 = 5 es un autovalor de multiplicidad 2. A partir de (A 5I|0), tenemos:Encuentra los autovalores y autovectores de:Tomando k2 = 1, tenemos k1 = 2, y entonces

*1 = 11, 2 = 3 = 8 (multiplicidad 2).

Encuentra los autovalores y autovectores de:

*(i) 1 = 11, por el mtodo de Gauss-Jordan: k1 = k3, k2 = k3. Si k3 = 1, entonces:

*(ii) 2 = 8, k1 + k2 + k3 = 0. Podemos elegir dos de ellos de manera arbitraria. Tomemos k2 = 1, k3 = 0: Y k2 = 0, k3 = 1:

*AK = K,

Sea A una matriz cuadrada de elementos reales. Si = + i, 0, es un autovalor complejo de A, entonces su conjugado es tambin un autovalor de A. Si K es un autovector correspondiente a , entoncesel autovector conjugado es un autovector correspondiente a .Autovalores y autovectores complejosDemostracin:

*1 = 5 + 2i Encuentra los autovalores y autovectores de:k2 = (1 2i) k1, tomando k1 = 1:(A 1I)K = 0

*Potencias de una matriz Sea A, una matriz n n. Definimos la potencia m-sima de A como:

*Teorema de Cayley-HamiltonUna matriz A satisface su propia ecuacin caracterstica:Ecuacin caracterstica: det (A I) = 0

*Observa que entonces: A2 = A + 2I y 2 = + 2 Y podemos escribir las sucesivas potencias de A como: A3 = AA2 = A(A+ 2I ) = A2 + 2A = 3A+ 2I A4 = AA3 = A (3A+2I) = 3A2+2A = 5A+ 6I A5 = 11A + 10I A6 = 21A + 22I... Am = c1A + c0I ... m = c1 + c0 2 2 = 0.Y por el teorema de Cayley-Hamilton:A2 A 2I = 0Comprobarlo con:

*O sea que podemos escribir: Am = c1A + c0I y m = c1 + c0 2 2 = 0; 1 = 1 , 2 = 2:

*Am = c0I + c1A + c2A2 ++ cn1An1 m = c0 + c1 + c2 2 ++ cn1 n1

donde los ck (k = 0, 1,, n1), dependen de m.Y en general, para una matriz de orden n:

*Solucin 3 + 2 2 + 2 = 0, = 1, 1, 2. Am = c0I + c1A +c2A2 m = c0 + c1 + c2 2 Con 1 = 1, 2 = 1, 3 = 2, obtenemos:(1)m = c0 c1 + c2 1 = c0 + c1 + c2 2m = c0 +2c1 + 4c2Calcula Am para:

*Puesto que Am = c0I + c1A +c2A2, tenemos:

Por ejemplo, para m = 10

*Por el teorema de Cayley-Hamilton: A2 A 2I = 0, I = (1/2)A2 (1/2)A, Multiplicando a ambos lados por A1 podemos encontrar la inversa: A1 = (1/2)A (1/2)I

*Una matriz A n n es simtrica si A=ATSi A es simtrica con elementos reales, entonces los autovalores de A son reales.

AK = K,Transponiendo y multiplicando por K por la derecha:

*Al igual que definimos el producto escalar entre vectores:x y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn podemos definirlo con matrices (vectores fila o columna):X Y XT Y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Autovectores ortogonalesVeamos que si A es una matriz n n simtrica, los autovectores correspondientes a distintos (diferentes) autovalores son ortogonales.

*Demostracin Sean 1,, 2 dos autovalores distintos correspondientes a los autovectores K1 y K2. AK1 = 1K1 , AK2 = 2K2 (AK1)T = K1TAT = K1TA = 1K1T K1TAK2 = 1K1TK2AK2 = 2K2, K1TAK2 = 2K1TK2 0 = 1K1TK2 2K1TK2 0 = (1 2) K1TK2 Como 1 2, entonces K1TK2 = 0.

* = 0, 1, 2 y

*Matriz ortogonal:Una matriz A n n no singular es ortogonal si: A-1 = ATA es ortogonal si ATA = I.

ITI = II = I

*Una matriz A n n es ortogonal si y solo si sus vectores columnas X1, X2, , Xn forman un conjunto ortonormal.Es decir si: XiTXj = 0, i j , i, j =1, 2, , n XiTXi = 1, i =1, 2, , n Los Xi forman un conjunto ortonormal.

*

*Y los vectores son unitarios, ortonormales:

*Verifica que PT = P-1.Vimos

*Autovalor dominante

Sean los autovalores de una matriz A n n. El autovalor se llama autovalor dominante de A si:

Un autovector asociado se denomina autovector dominante de A.

*Mtodo de las potenciasSupongamos que A tiene un autovalor dominante.Vector n 1Supongamos que |1| > |2| |n| con K1, K2, , Kn autovectores asociados linealmente independientes. Entonces:Como AKi = iKi , entonces: AX0 = c1AK1 + c2AK2 + + cnAKn

*Multiplicando por A sucesivamente:Como |1| > |i|, i = 2, 3, , n; cuando m , podemos aproximar:(...)

* Observemos que un autovector multiplicado por una constante sigue siendo un autovector. De modo que podemos escribir: Am X0 = Xm De modo que Xm ser una aproximacin al autovector dominante. Puesto que AK = K, AKK= KK que nos da una aproximacin al autovalor dominante. Cociente de Rayleigh.

*

*

* Si existe una matriz P, tal que P-1AP = D sea diagonal, entonces decimos que A es diagonalizable.

Matriz diagonalizable

*Demostracin Puesto que P = (K1, K2, K3) es no singular, entonces existe P-1 y As que P-1AP = D.

*

Si A es una matriz n n con n autovalores distintos, entonces es diagonalizable.Condicin suficiente de diagonalizacinTenemos que = 5, 5. Y solo podemos encontrar un autovector. La matriz no puede diagonalizarse.

*Diagonaliza: = 1, 4.

*

* = 1, 1, 1. = 1 = 1junto con K1, forman tres vectores linealmente independientes. Luego la matriz es diagonalizable.P-1AP = D

*Si existe una matriz P ortogonal que puede diagonalizar a A, decimos que A es ortogonalmente diagonalizable. Una matriz A n x n es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es simtrica. P diagonaliza a A: P-1AP = D, A = PDP-1. P es ortogonal: P-1 = PT, entonces: A = PDPT. AT = (PDPT)T = PDTPT = PDPT = A Luego A es simtrica.

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