4 QM

7/21/2019 4 QM

http://slidepdf.com/reader/full/4-qm 1/35

KuKuantum Meantum Mekkanianiğiği

7/21/2019 4 QM


1900 – 1930’s…1900 – 1930’s…

Revolution in physics:Revolution in physics:

behaviour o li!ht " atomsbehaviour o li!ht " atoms cannotcannot be e#plaine$ bybe e#plaine$ by%e&ton’s classical la&s o physics%e&ton’s classical la&s o physics

nee$e$ to create a 'ne& physics(nee$e$ to create a 'ne& physics(

Classical mechanicsthe PHYSICS of the

MACROSCOPIC world

Quantum mechanicsthe PHYSICS of very

small things (electrons,light!

7/21/2019 4 QM


At the beginning of the 20th century:

Matter: Discrete particles

Electromagnetic radiation: Continuous waves

The two were thought to be uite separate!""

C#A$$%CA# &'($%C$C#A$$%CA# &'($%C$

7/21/2019 4 QM


Ma# )lanck *1900+:Ma# )lanck *1900+:

Matter cannot a"sor"#emit $%st any amo%nt of energy

&nergy can only "e transferredin m%lti'les of discrete %nits

('acets of energy!, called )*%anta+

The beginning of building a new kind of physics…

Max Planck18581!"#

$obel P%i&e inPhysics 1!18

Energy is not continuous

Energy is uanti)ed

7/21/2019 4 QM


Siyahcisim ışıması (1900, Max Planck)

Fotoelektrik olay (1905, Albert Einstein)

Alfa saçılması ve atom modeli (1911, Ernest Rutherford)Atom spektrumunun açıklanması (1913, Niels Bohr)

Madde dalgası kavramı (1923, Louis de Broglie)

Dalga denklemi (1926, Erwin Schrödinger)

Belirsizlik ilkesi (1926, Werner Heisenberg)

Relativistik kuantum mekaniği (1932, Dirac)

Kilometre ta,lar-

7/21/2019 4 QM


.e /ro!lie teorisi *193+elektronun $al!a 2elliği

: taneciğin $al!a boyu h: )lanck sabiti m: taneciğin k4tlesi

p: taneciğin momentumu v: taneciğin h-2-

.avisson ve 5ermer *196+ : elektronun $a oton !ibi k-r-n-ma uğra$-ğ-n-!ster$iler*ele+tron mi+ros+opu,

7

h

p 7

h

mv

.e /ro!lie sa$ece otonun $eğil elektron, çekirdek, atom,top..v.s. gibi momentuma sahip $iğer taneciklerin $e $al!a 2elliği !stermesi !erektiği

varsay-m-n$a bulun$u

7/21/2019 4 QM


Wave properties of electrons

photons have both wave and particle propertieselectrons have both wave and particle properties

wave-particle

dualism

Planck (1900): λ ν hc

h E == (energy of a photon)

Einstein (1908): 2mc E =

mc

hhcmc ==∴ λ

λ or

2

= h/photon momentum

m = mass of a photon

DeBroglie (1929): λ = hm! = h/electron momentum

7/21/2019 4 QM


The diffraction pattern caused by light passing through two ad-acent slits"

Electron beams also show diffraction.

And thus show waveli+e properties/

$lit si)es comparableto wavelength of light

7/21/2019 4 QM


Comparing the diffraction patterns of 1rays and electrons

%n1phase diffraction right lines*8nteratomic $istances in l*s+ λ o #;rays+

7/21/2019 4 QM


<R%=K : 1+ >0 ! 5ol topunun h-2- 30 ms;1 $ir? /u topa e,lik e$en $al!a boyu ne$ir @

+ /ir ntronun *m : 1?A6>#10;6 k!+ h-2- 000 ms;1 $ir?/u ntrona e,lik e$en $al!a boyu ne$ir@

7/21/2019 4 QM


- If a "all with a mass of ./0. g is thrown at a s'eedof -.1 m#h, what is its wavelength2

1 If an electron (mass 3-.34-.'1 g! is traveling at/..5 the s'eed of light, what is its wavelength2

λ 6 h#mv 6 (77174-.'" 8⋅s!#(./0.g!(999999m⋅s1!

λ 6 h#mv 6 (77174-.'" 8⋅s!#(3-.34-.'1g!(./.. 4 133:4-.8 m⋅s1! 6 7.74-.1( m

) 6 -.1 (m 4 -... m 4 - h,

- h - (m ;7.. s

6 1:,; m

s 1

1:,;

λ * 5+(,x1,'5 m

-a)elength . ball/s si&e 0d < ,+1 m -a)e p%ope%ties $2T noticeable

1 3 * 1 $⋅m * 1 kg⋅m(⋅s(

λ * ,+,4,4

6iamete% of a 7 atom is ,+# …wa)elength of elect%on is almost 1,9

of this distance: ;<=> $2T?C<@AB<:

7/21/2019 4 QM


All matter and energy shows both particle1li+e

and wave1li+e properties"

3ave1li+e&article1li+e

aseball &roton &hotonElectron

3A4E1&A5T%C#E D6A#%T(!""

#arge pieces of matter are mainly particle1li+e. with

very short wavelengths"

$mall pieces of matter are mainly wave1li+e with longerwavelengths"

MA$$

λ ≈ obBect si2e ⇒ behave as /CDE FF

7/21/2019 4 QM


Eeisenber! /elirsi2lik Glkesi *19A+Eeisenber! /elirsi2lik Glkesi *19A+

∆# : Her$eki belirsi2lik

∆p : Momentum$aki belirsi2lik

/ir lI4m yap-l-rken mutlaka bir hata yap-l-r?/ir lI4m yap-l-rken mutlaka bir hata yap-l-r?

5eli,mi, aletler ve lI4m teknikleri ile bu hata a2alt-labilir?5eli,mi, aletler ve lI4m teknikleri ile bu hata a2alt-labilir?Eeisenber!Eeisenber! yap-lacak hatan-n bir alt limiti ol$uğunu !stermi,tir?yap-lacak hatan-n bir alt limiti ol$uğunu !stermi,tir?

/ir taneciğin yerini ve momentumunu ayn- an$asonsu2 $uyarl-kta lIebilmek imkans-2$-r?

/u imkans-2l-kJ lIme i,leminin ken$isin$en kaynaklan-r?

∆p#•∆# ≥h>π

7/21/2019 4 QM


<R%=K:<R%=K: E-2$aki belirsi2liğiE-2$aki belirsi2liği 11 olanolan L0 k!L0 k! ağ-rl-ğ-n$aki bir ağ-rl-ğ-n$aki bir

ğrencininğrencinin kamp4steki h-2-kamp4steki h-2- 1?3 ms1?3 ms ise yerin$ekiise yerin$ekibelirsi2liği ne olur@belirsi2liği ne olur@

∆p = m ∆v = (80kg)(0.013 m/s) = 1.04 kg.m/s

∆ x = h

4π ∆ p=

6.626 x10−34 J .s( )4π 1.04kg.m / s( )

= 5.07 x10−35m

Çok k üçük….nerede olduğu kesin olarak belli.

in or$inary lieJ &avelen!th is so short an$ reNuency so hi!h that &e arenot $irectly a&are o the &ave *!eometrical optics limit+?

7/21/2019 4 QM


<R%=K :<R%=K : 1O1O yar-Iapl- bir yr4n!e$e bulunan elektronunyar-Iapl- bir yr4n!e$e bulunan elektronun

h-2-n$aki belirsi2lik ne$ir@ Konum belirsi2liği : 1h-2-n$aki belirsi2lik ne$ir@ Konum belirsi2liği : 1

∆x = (1 Å)(0.01) = 1 x 10-12 m

∆ p = h

4π ∆ x= 6.626 x10

−34 J .s( )4π 1 x10−12m( ) = 5.27 x10−23kg.m / s

∆v =∆ p

m=

5.27 x10−23kg.m / s

9.11 x10−31kg= 5.7 x107 m

s çok büyük

7/21/2019 4 QM


/elirsi2lik ilkesi/elirsi2lik ilkesi

$7869$7869

Mikroskopik $4nya$a oton veya elektron kolayca tan-mlanama2?Mikroskopik $4nya$a oton veya elektron kolayca tan-mlanama2?

Poton ve elektron hem $al!a hem tanecik 2elliği !sterir?Poton ve elektron hem $al!a hem tanecik 2elliği !sterir?

Mikroskopik $4nyay- anlamaya Ial-,-rken her ikisini bir$en $ikkateMikroskopik $4nyay- anlamaya Ial-,-rken her ikisini bir$en $ikkate

almal-y-2?almal-y-2?

7/21/2019 4 QM


Ener-ide+i belirsi)li+

=nerBi;2aman belirsi2lik bağ-nt-s-

amanda+i belirsi)li+

<R%=K : Qyar-lm-, bir enerBi $42eyin$eki yar-mr4 1?A # 10;L saniye olan bir atom temel $42eye in$iğin$e L000 O $al!aboylu bir oton yay-nlamakta$-r? Potonun enerBisin$eki ve $al!a boyun$aki belirsi2lik ne olur@

∆=∆t S T π 7 h >π

=1?A # 10;L 7 h >π

t 7 1?A # 10;L s

∆= 7 ?1#10;L eU

∆= 7 hcλ λ 7 1#10;> O

7/21/2019 4 QM


;6A8T6M ME;A8<=<

Klasik mekaniğin alternatileriKlasik mekaniğin alternatileri

Dalga me+ani>iDalga me+ani>i **=r&in Vchro$in!er =r&in Vchro$in!er ++

MatrisMatris meme+ani>i *+ani>i *Werner Eeisenber!Werner Eeisenber!++

Vonun$a her iki mekaniğin ayn- ol$uğu !sterilmi,tir?

Makroskopik $4nyaya yakla,-rken kuantum mekaniğiJMakroskopik $4nyaya yakla,-rken kuantum mekaniğiJ

klasik mekanik ile b4t4nle,ir? /unaklasik mekanik ile b4t4nle,ir? /una kar,-l-ğ- bulunma ilkesikar,-l-ğ- bulunma ilkesi **correspondence principlecorrespondence principle ,, $enir?$enir?

7/21/2019 4 QM


Ψ*rJt+ 7 yer ve 2aman-n onksiyonu olarak $al!an-n !enliği

Ψ( x,t ) = e− i(ω t −kx ) = e

− i

h( Et − px)

λ π

λ

ω

2 "

ilkesi)Broglie(#e

!ePlanck)$(Einstein

%&elli'&anecikDalga

==

=

=

↔

k veya p

h

k p

E

;uantum me+ani>i

Glerleyen $al!ayaJ bir $al!a onksiyonu e,lik e$er?

?" varsay@m: ir fi)i+sel sistemin belirli bir t an@nda+i durumuΨ*r.t, dalga fon+siyonu ile belirlenir"

ΨΨ *psi+J -,-k ile mukayese e$ilebilir *psi+J -,-k ile mukayese e$ilebilir

8,-k $al!a !ibi $4,4n4l4rseJ -,-k ,i$$eti elektrik alan ,i$$etinin karesi ile orant-l-$-r?8,-k $al!a !ibi $4,4n4l4rseJ -,-k ,i$$eti elektrik alan ,i$$etinin karesi ile orant-l-$-r?

8,-k bir tanecik ak-m- !ibi $4,4n4l4rseJ -,-k ,i$$eti oton say-s- ile orant-l-$-r?8,-k bir tanecik ak-m- !ibi $4,4n4l4rseJ -,-k ,i$$eti oton say-s- ile orant-l-$-r?

∴Poton say-s- ve alan ,i$$etinin karesi birbiri ile orant-l-$-r?

7/21/2019 4 QM


Ψ -,-k ile mukayese e$il$iğin$eJ mutlak $eğerinin karesi ΨJ tanecik say-s- veya ben2eri bir ,ey olmal-$-r?

Uzayda bir yerde fotonların bulunma olasılığıUzayda bir yerde fotonların bulunma olasılığı EE22 ile orantılıdırile orantılıdır??

Uzayda bir yerde taneciklerin bulunma olasılığıUzayda bir yerde taneciklerin bulunma olasılığı ΨΨ22 ile orantılıdır.ile orantılıdır.

Ψ

7 ΨΨX bir taneciğin belirli bir yer$e bulunma olas-l-ğ-

Yokali2e $al!a paketiveya

duran dalgaDanecik *elektron+

Ψ*#y2+ ≈ elektronun (x,y,z) $e bulunma olas-l-ğ-

Ψ*#y2+J her 2aman po2ititirJ Ψ ne!ati olsa$a

Ψ i fi ik l k bi ö ü ü i i k b tl

7/21/2019 4 QM


Ψ nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazı şartlar…

. Ψ $al!a onksiyonu tek $eğerli olmalıdır.

Q2ay-n herhan!i bir noktas-n$a bir elektron iIin iki olas-l-k mevcut olma2?

!. Ψ $al!a onksiyonu ve onun birinci t4revi s4rekli olmal-$-r?

Q2ay-n t4m noktalar-n$a olas-l-k tan-ml- olmal-$-r ve bir nokta$an $iğerine

!eIi,te Zni bir ,ekil$e $eği,eme2?

". r sonsu2a !i$erken Ψ dalga fonksiyon# sıfıra yaklaşmalıdır. [ekir$ekten u2ak mesaeler$eJ olas-l-k !ittikIe k4I4lmeli$ir?

>? Q2ay-n $er$angi bir yerin$e elektronun toplam bulunma olas-l-ğ- 1 $ir?

/una $al!a onksiyonunun normali)asyon ,art- $enir?

∫ ψ . ψ % d τ &

tüm #zay

\? /ir atom$aki t4m orbitaller birbirleriyle orto!onal olmal-$-r?

'Ψ .Ψ d τ &*

+rnein, px, py pz orbitalleri birbirine $iktir?

7/21/2019 4 QM


7/21/2019 4 QM


Kararl- .al!a veya .uran .al!aKararl- .al!a veya .uran .al!astan$in! &ave

.al!a mekaniğine !reJ belirli bir enerBi seviyesin$e bulunan.al!a mekaniğine !reJ belirli bir enerBi seviyesin$e bulunanelektron '$uran $al!a( !ibi kabul e$ilebilir?elektron '$uran $al!a( !ibi kabul e$ilebilir?

[ekir$eğin etra-n$a sa$ece belirli $al!alar mevcut olabilir? /unlara[ekir$eğin etra-n$a sa$ece belirli $al!alar mevcut olabilir? /unlarakararl- $al!akararl- $al!a veyaveya $uran $al!a$uran $al!a a$- verilir?a$- verilir?

Eer kararl- $al!a belirli bir enerBi seviyesine sahiptir?Eer kararl- $al!a belirli bir enerBi seviyesine sahiptir?

Vchr$in!er E atomun$aki elektronun enerBisini hesaplamak iIinVchr$in!er E atomun$aki elektronun enerBisini hesaplamak iIin$uran $al!alar- kullanm-, ve bir e,itlik !eli,tirmi,tir?$uran $al!alar- kullanm-, ve bir e,itlik !eli,tirmi,tir?

7/21/2019 4 QM


.uran $al!a.uran $al!a

.uran $al!aJ !itar teli !ibiJ $al!an-n ilerleme$iği bir harekettir

.uran $al!a $4ğ4m noktalar- iIerir ve

bu noktalar$a hareket etme2?

.al!a boyunun tam veya yar-m katlar- $uran $al!alara kar,-l-k !elir?

dB>Bmler

Ψ

Ψ 7 !enlikJ $al!a y4ksekliği

Vtan$in! =lectron &avesin an atomic corral

7/21/2019 4 QM


de Brogliede Broglie, Bohr’un öngördüğü izinli yörüngelerin duran dalga, Bohr’un öngördüğü izinli yörüngelerin duran dalga

şartlarını sağlayan yörüngeler olduğunu ileri sürmüştür.şartlarını sağlayan yörüngeler olduğunu ileri sürmüştür.

not allowed

/irinci harmonik

Gkinci harmonik

]I4nc4 harmonik

7/21/2019 4 QM


Ma$$e .al!alar- ve /Ma$$e .al!alar- ve /ohr tomohr tomuu Matter &aves an$ the /ohr mo$elMatter &aves an$ the /ohr mo$el

2πr = nλ

n = 4 n = 5 n = 4.5

Kararl- .al!a ^art-

7

h

mv.e /ro!lie

Kararl- Karars-2Kararl-

8 the ra$ius o a /ohr orbit is rJ the path len!th o the electron aroun$ the atomicnucleus is πr?

8 electrons act like &avesJ stable orbits reNuire path len!ths o inte!er numbers o&avelen!th: n λ7 πr?

Cther&ise the electron &aves must $ecay rom sel;cancellation?

7/21/2019 4 QM


? Uarsay-m : /ir sistemin Ψ*rJ t+ $al!a onksiyonunun 2aman iIin$eki !eli,mesiVchr$in!er $enklemi ile belirlenir?

ˆ Hψ = E

_aman$an bağ-ms-2 Vchr$in!er $enklemi

ˆ H

Eamiltonian operatr4 Doplam enerBi 2$eğeri

Kinetik enerBi )otansiyel enerBi

Doplam enerBi operatr4

7/21/2019 4 QM


$chrdinger Dalga Eitli>i$chrdinger Dalga Eitli>i

-ek dor#lt#da-ek dor#lt#da *#+ hareket e$en *1.+J k4tlesi*#+ hareket e$en *1.+J k4tlesi m olan bir taneiinm olan bir taneiin

enerBisienerBisi

/ 7 taneciğin 2$eğer *ei!envalue+ enerBisi

` 7 2onksiyonlar *ei!enunction+m 7 k4tle

x 7 konum

* h;bar+ 7 h

kinetik ener0i potansiyel ener0i

7/21/2019 4 QM


3. boyutta Vchr$in!er e,itliği3. boyutta Vchr$in!er e,itliği

1aplaian operator

*okunu,uJ $el kare+

d2Ψ

dy2

d2Ψ

d2

d2Ψ

d)2

Fπ2m

h2*E1V *.y.),Ψ*.y.), G 0

how ψ changes in space

mass of e

;inetic energy of e

potential energy of ewave function

7/21/2019 4 QM


)ot)otaannsiyelsiyel enerBi ve Kuantla,maenerBi ve Kuantla,ma

1 boyutta *1.+ serbestIe hareket e$en bir tanecik $4,4n4n?1 boyutta *1.+ serbestIe hareket e$en bir tanecik $4,4n4n?

x

p'Verbest Danecik(

)otansiyel = 7 0

Vchr Vchr $in!er =$in!er =,itliği ,yle olacakt-r ,itliği ,yle olacakt-r ::

ˆ Hψ = ˆ p2

2m+ PE

ψ ( p) = ˆ p2

2mψ ( p) = p2

2mψ ( p) = 1

2mv

2ψ ( p) = E ψ ( p)

=ner =ner Bi aral-ğ- Bi aral-ğ- 00 $an sonsu2a ka$ar $eği,ir…??$an sonsu2a ka$ar $eği,ir…?? Kuanti2e $eğil$ir…?Kuanti2e $eğil$ir…???

0

7/21/2019 4 QM


Kutu$aki tanecikKutu$aki tanecik

/ir potansiyel tara-n$an/ir potansiyel tara-n$ans-n-rlan$-r-l-rsa taneciğins-n-rlan$-r-l-rsa taneciğin

yeri ne olur@yeri ne olur@

'Kutu$aki tanecik(

)otansiyel =

7 0 J 0 d # d a iIin

7 ∞ J $iğer # $eğerlerin$e

/u $urum$aJ taneciğin yeri kutunun boyutuna !re s-n-rlanm-,t-r?

)article in a /o#

7/21/2019 4 QM


.al!a onksiyonu neye [email protected]!a onksiyonu neye ben2er@

( ) = a

xn

a x

π ψ sin

2

Duran dalgalara

n = 1, 2, ….

ψ ψ∗ψ

7/21/2019 4 QM


=nerBiler nas-l$-r@=nerBiler nas-l$-r@

Enerji kuantizedir

ψ ψ∗ψ E

2

22

8ma

hn E =

n = 1, 2, …

a : kutunun boyutu

7/21/2019 4 QM


H58E;:H58E;: ir boya mole+BlBnBn u)unlu>u F?0ir boya mole+BlBnBn u)unlu>u F?0 1?01?0 m dir ve +utununm dir ve +utununu)unlu>u olara+ +abul edilebilir" una gre. mole+BlBnu)unlu>u olara+ +abul edilebilir" una gre. mole+BlBn nn GG ?? veve nn GG 22 aras@nda+iaras@nda+i IIEE ve buna +ar@l@+ gelen @@>@n dalga boyu nedirJ ve buna +ar@l@+ gelen @@>@n dalga boyu nedirJ

a = 8 x10-10 m

λ ≈ 700nm

( denel 680 nm)

h 7 A?A # 10;3> ?s

m 7 9?10 # 10 –31 k!

J x x x

x 1922101

2*

108+2)12()108)(101+9(8

)10,2+,( −−−

−

=−=∆Ε

m x x

x x

E

hc -

19

8*

1009+-108+2

)10)(10,2+,( −

−

−

===λ

7/21/2019 4 QM


)otansiyel enerBi s-n-rlan$-r-l-rsaJ sistemin)otansiyel enerBi s-n-rlan$-r-l-rsaJ sistemin

enerBisi kuantla,-r?enerBisi kuantla,-r?

Ei$roBen atomun$a??Ei$roBen atomun$a??

e-

P+r

V (r ) =−e

2

r

potentia

l

r0

0

Vchro$in!er =Nuation

Recovers the '/ohr( behavior

4 QM

Documents

Transcript of 4 QM