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EconometriaVIOLAÇÃO DE HIPOTESES & EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO

ECONOMETRIA -MESTRADO 1

Tópicos a Considerar Continuidade do Programa Ministrado pelo Prof. Alceu Jobim

1. Modelo de Regressão Múltipla Abordagem Matriciala) Pressupostos;

b) Inferência a versão Matricial;

c) Inferência ao Método de Crammer;

d) Testes Essenciais;

2. Violação das Hipóteses básicas do Modeloa) Multicolinearidade e Micronumerosidade

b) Heteroskedasticidade

c) Autocorrelação

3. Extensões do Modelo de Analise de Regressão Linear Simplesa) Regressão linear pela Origem;

b) Formas Funcionais dos Modelos de Regressão

c) Modelo Log-linear -Computando a elasticidade;

d) Modelo Log-lin

e) Modelo Lin-log

f) Modelos Recíprocos


Violação das Hipóteses dos MMQO


Heroskedasticity


Heteroskedasticidade1. Uma das mais relevantes

hipóteses do modelo clássico, consiste no comportamento homoscedastico da variância do resíduo ao longo do tempocaracterística básica das series temporais estacionarias;

2. Ao longo do tempo, os erros de distintos períodos possuem correlação nula;

3. Exemplo do modelo das expectativas racionais;

4. O que ocorre no modelo se esta hipótese for violada?

22 )( σµ =Var

σ

σ

σ

=µ′µ=µ

2

n

2

2

2

1

...00

............

0...0

0...0

)(E)var(


HeteroskedasticidadeDetenção

1. Os estimadores dos mínimos quadrados ordinários continuam sendo melhores e não viesadosporém não mais são eficientes ou seja, não possuem variância mínima


HeteroskedasticidadeTeste de Hipóteses

Método Gráfico

1. Quando não dispomos de informação a priori da presença de heteroskedaticidade, computamos a analise de regressão e em seguida estudamos o comportamento do quadrados do erro, para identificar algum comportamento padronizado da media e Y com os erros;

2. Plot do quadrado do erro estimado em relação a variável dependente estimada;

3. Na generalidade a relação do erro com a media de Y, poder assumir varias formas, linear, quadrática, exponencial etc…

��

��

��

��

��

��

∄



Teste de Park

1. Trata se de um texte no qual regredimos o erro da regressão primaria, com função do logaritmo da variável independente

2. Sempre beta for estatisticamente significante, sugere que estamos em presença de Heteroskedasticidade;

3. Quando beta for estatisticamente insignificante, então a variância é homoskedastica;

4. Trata-se de um teste de segunda ordem, pode ser executado numa segunda ordem, sempre que a heteroskedasticidade não for encontrada em primeira ordem.

�� = ��

��

�� = �� + �� + ��

= � + �� + ��

Considerando que a variância é desconhecida,

Park sugere o uso de como proxy para a

regressão seguinte:

��

��



Teste Goldfeld Quandt

1. Constitui passos para o emprego do presente teste:

a) Organizar a amostra em ordem crescente a X

b) Omitir m observações centrais tal que (n-m) seja num número par

c) Dividir a amostra em duas regressões (n-m)/2

d) Obter a soma dos resíduos quadrados de ambas regressões

2. Se lambda for superior ao valor tabelado de F para os graus de liberdade escolhidos, rejeitamos a hipótese de homoskedasticidade, quer dizer que a variância é heteroskedastica.

( )( ) knu

knu

glSRQ

glSRQ

2

2

2elomod

1

2

1elomod

1

2

−

−==λ∑∑

onde: SRQ= Soma do resíduo quadrado

gl = graus de liberdade



Teste White´s general heteroskedasticity

1. Inicialmente computamos a regressão auxiliar do quadrado do erro nos valores de X, no quadrado de X e nos produtos cruzados;

2. seguida computamos o coeficiente de determinação efectuamos o teste de hipóteses

3. Se o valor computado da estatística for superior ao valor critico chi-squaresegundo os graus de liberdade(sem o intercepto) Conclui-se que existe Heteroscedasticidade

4. Se não exceder: então

o que significa estar-se em presença de homoskedaticidade.

iiiiiiivXXXXXXu ++++++= 326

2

35

2

21433221

2ˆ αααααα

2

df

2 ~Rn χ

�� = �� + �� + �� + ��

0654321 =α=α=α=α=α=α


HeteroskedasticidadeRemédios - Os Mínimos Quadrados Generalizados

1. Conhecendo as variâncias heteroskedastica, transformamos o modelo e dividimos todos os parâmetros pela variância heteroskedastica compreendentea cada período.

2. Onde a variância dos mínimos quadrados ordinários generalizados possuem variância semelhante a observada pelos MQO ou OLS, que é de facto uma constante.

ii33i22ii XXY µ+β+β+β=

ii33i22i0ii XXXY µ+β+β+β=

σ

µ+

σβ+

σβ+

σβ=

σ i

i

i

i3

3

i

i2

2

i

i0

i

i

i XXXY

*

i

*

i3

*

3

*

i2

*

2

*

i0

*

1

*

i XXXY µ+β+β+β=

( )2

i

i2*

i

*

i E)(Evar

σ

µ=µ=µ

( ) ( ) 2

i2

i

2

i2

i

2*

i

*

i

1E

1)(Evar σ

σ=µ

σ=µ=µ

( ) 1)(var 2** ==ii

E µµ


Autocorrelação


Autocorrelação1. A autocorrelação é a serie defasada consigo

mesma segundo um número de unidades de tempo. Quando o termo correlação serial diz respeito a desfazagem de series diferentes.

2. A semelhança da heteroskedasticidade, na presença da autocorrelação os estimadores dos MQO continuam sendo os melhores estimadores lineares não viesados mas não mais possuem a variância mínima entre todos os estimadores não viesados

3. O termo Auto-correlação significa correlação entre elementos da mesma serie ao longo do tempo, todavia, o pressuposto do modelo clássico é de que não deve existir este tipo de perturbações.

0)(E ji =µµ

0)(E ji ≠µµ

ji ≠

ji ≠


AutocorrelaçãoCausas

1. Inercia ou rigidez de variáveis económicas;

2. Especificação errónea do modelo (omissão de importantes variáveis);

3. Fenómeno cobb-web (teia de aranha);

4. A manipulação de dados, sobretudo quando se tem dados brutos ao invés de dados regulares. (transformação de dados trimestrais em mensais)

0)(E ji =µµ

0)(E ji ≠µµ

ji ≠

ji ≠


AutocorrelaçãoTipologias

1. Os modelos com auto-correlaçãona variável dependente denomina-se modelos auto-regressivos

2. Quando estivermos em presença de uma função do erro dependendo de componentes com desfazagem, porem sendo estas perturbações aleatórias com média zero, dizemos que estamos em presença de um esquema de média móvel-MA(1)

ti3i21t10i ICRNRN ε+α+α+α+α= −

ttiερµµ += −1

Onde ρ é o coeficiente de correlação,

Neste contexto, o modelo pode ser

designado como modelo

autorregressivos de ordem um AR(1)

1−+=tti

λεεµ

11 −− ++=ttti

λεερµµ ARMA(1,1)


AutocorrelaçãoMedidas Correctivas

1. Em presença de auto-correlação, os estimadores continuam sendo MELNV porém não mais possuem variância mínima, o que quer dizer que deixam de ser eficientes.

2. Se utilizarmos a os intervalos de confiança tendem a ser muito amplos, tornando difícil a rejeição da hipótese nula

3. Considerando que o erro não é conhecido, a questão da auto-correlação muitas vezes é fruto de especulações. O remédio depende em grande parte do conhecimento tido quanto as interdependências entre as distintas variáveis, pois lidaremos com duas situações, uma quando a estrutura da correlação é conhecida, outra, quando ela não é conhecida.

1AR2 )ˆvar(β


AutocorrelaçãoMedidas Correctivas

1. Quando conhecemos o nível de correlação podemos introduzir ajustamentos no modelo de modo a elimina-la e obter estimadores MELNEE

2. Sempre que tivermos conhecimento da dimensão da correlação, bastará aplicar diferenças ao modelo, reduzindo-o para operação na qual ao aplicar o operador da primeira diferença (delta) perdemos o intercepto. Nestas condições, semelhantemente, podemos estimar o modelo fazendo recurso ao método dos MQO

tt2ti XY µ+β+β=

1t1t2i1t XY −−− µ+β+β=

Multiplicando por ρ e subtraindo da equação anterior

1t1t2i1t XY −−− ρµ+ρβ+ρβ=ρ

)(XX)1(YY 1tt1t2t2i1tt −−− ρµ−µ+ρβ−β+ρ−β=ρ−

t1tt2i1tt )XX()1(YY ε+ρ−β+ρ−β=ρ− −−

t

*

t

*

2

*

1

*

t XY ε+β+β=

Conhecendo o nível de correlação ρ entre os dois períodos:

)XX(X);1();YY(Y 1tt

*

t1

*

11tt

*

t −− ρ−=ρ−β=βρ−=

tt2t XY ε+∆β=∆


AutocorrelaçãoTeste de Durbin Watson

1. O teste de DW é um dos testes tradicionais para testar a presença de auto-correlação. Ele baseia-se nos resíduos e obedece uma distribuição estatística especifica, na qual são considerados os pontos de significância superior e inferior.

2. Quanto aos graus de liberdade, o parâmetro k não considera o intercepto da função. O teste DW não deve ser aplicado em modelos autorregressivos. O teste tem a seguinte formula de cálculo:

( )

∑

∑

=

=

−−

=n

1t

2

t

n

2t

2

1tt

e

ee

d


AutocorrelaçãoSintese

1. A autorrelação pode ocorrer por varias razões, pode ser derivada por inércia ou rigidez das series temporais económicas, viés resultante da

omissão de variáveis importantes, ou por uso da forma funcional incorrecta, o fenómeno cobb-wed, a da teia de aranha ou ainda a

manipulação dos dados.

2. Embora os estimadores de MQO permaneçam não-viesados e consistentes na presença de autocorrelação, eles deixam de ser eficientes.

Como resultado, os testes de significancia t e F usuais não podem ser legitimamente aplicados. Por isso, são necessárias medidas correctivas.

3. o remédio depende da natureza da interdependência entre as perturbações Ut Mas como Ut não são observáveis, a prática comum é supor

que sejam geradas por algum mecanismo.

4. o mecanismo comumente suposto é o esquema auto-regressivo de primeira ordem de Markov, que supõe que a perturbação no período

corrente se relaciona linearmente com o termo de perturbação no período anterior, sendo que o coeficiente de autocorrelação fornece o

grau da interdependência. Este me¬canismo é conhecido como esquema AR(1).

5. Se o esquema AR(1) for válido e o coeficiente de autocorrelação for conhecido, o problema da correlação serial pode ser facilmente atacado

por meio da trans¬formação dos dados seguindo o método da diferença generalizada. O esquema AR(1) pode ser facilmente generalizado

para um esquema AR(p). Podemos também supor um mecanismo de média móvel (MA) ou uma mescla dos es¬quemas AR e MA, conhecida

como ARMA.

6. Mesmo que usemos um esquema AR(1), o coeficiente de autocorrelação p não é conhecido a priori. Examinamos vários métodos para

estimar p, tais como d de Durbin-Watson, d modificado de Theil-Nagar, método de Cochrane-Orcutt (C-O) em duas etapas, método C-O

iterativo e o método de Durbin em duas etapas. Em grandes amostras, estes métodos geralmente produzem estimativas similares, mas não

em pequenas amostras. Na prática, o método C-O iterativo se tornou bastante popular.

7. Naturalmente, antes de corrigir a autocorrelação, é preciso detectá-la. Há diversos métodos de detecção, dos quais o mais célebre é a

estatística d de Durbin-Watson. Embora comumente usada e rotineiramente produzida pela maioria dos pacotes de software, a estatística d

apresenta várias limitações. Muitas vezes, a estatística d indica não uma autocorrelação pura, mas sim um viés de especificação ou o efeito

ARCH.

8. Um modelo especial não discutido no nosso programa é o modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedatic Model) , no qual a

variância condicional do termo de erro se correlaciona serialmente com os valores passados do termo de erro elevados ao quadrado. Este

modelo provou ser muito útil na modelagem e previsão de muitas variáveis financeiras, tais como taxas de câmbio, taxas de inflação etc.

Usar-lo-emos na cadeira de Metodos de Previsão.


Extensões do Modelo de Regressão Linear


Extensões do MRLRegressão na OrigemRegressão na OrigemRegressão na OrigemRegressão na Origem

1. Há ocasiões em que a reta de regressão (da população) assume a seguinte forma:

2. Neste modelo, o coeficiente linear está ausente ou é nulo, daí o nome de regressão pela origem. Vejamos o seguinte exemplo:

3. Na teoria das carteiras (Harry Markowitz), a equação da reta característica, a partir da reta de regressão é:

Onde rj é o retorno máximo possível e Rf é o nível de

risco aceitável


Rj = retorno proporcionado pela ação j em cada ano do

horizonte de tempo estudado.

RF = taxa de juros de um título livre de risco.

RM = retorno da carteira de mercado (o índice da

carteira teórica de uma Bolsa de Valores).

Rj - RF ; RM – RF = são, respectivamente, o retorno

adicional da ação j e do

mercado em relação ao

retorno do título sem

risco.

β = coeficiente angular da reta de regressão que

identifica o risco sistemático da ação j em

relação ao mercado.



α = coeficiente linear da reta característica.

O parâmetro α indica o retorno esperado em excesso

do ativo na hipótese do retorno em excesso da carteira

de mercado ser nulo (RM – RF =0). Representa, assim, o

prêmio pelo risco oferecido pelo ativo.

Em equilíbrio de mercado, a reta característica passa

pela origem(validando assim, o CAPM) .

Como estimamos modelos do tipo da Eq.1 e quais

problemas eles apresentam?

Primeiro, estimamos a reta característica com base em

dados amostrais:



Algumas características da equação acima precisam ser

destacadas:

� que é sempre zero no modelo com o termo

de intercepto (modelo convencional) não precisa ser

zero quando o termo estiver ausente.

� r2 , o coeficiente de determinação, que nunca é

negativo no modelo convencional, pode

ocasionalmente ser negativo no modelo sem o

intercepto. Esse resultado anômalo decorre do fato de

o r2 no modelo convencional supor, explicitamente,

que o intercepto está incluído no modelo. Portanto, o

r2 calculado convencionalmente pode não ser

apropriado para modelos de regressão pela origem.

Para tais modelos,



podemos calcular o chamado r2 bruto, definido como:

Este coeficiente é chamado de bruto porque são somas

de quadrados e produtos cruzados não corrigidos pela

média.

Embora esse r2 bruto satisfaça a relação 0 < r2 < 1, ele

não pode ser comparado diretamente ao r2

convencional.

� Por causa das características especiais desse modelo,

é preciso tomar muito cuidado ao usar o modelo de

regressão com intercepto zero. A menos que haja

uma



expectativa a priori bastante forte, aconselha-se utilizar

o modelo convencional com o intercepto. Isto tem

dupla vantagem. Primeira, se o termo de intercepto

estiver incluído no modelo, mas se revelar

estatisticamente insignificante (isto é, estatisticamente

igual a zero), temos, para todos os fins práticos, uma

regressão pela origem. Segunda e mais importante, se

de fato houver um intercepto no modelo, mas

insistirmos em ajustar uma regressão pela origem,

estaremos cometendo um erro de especificação,

violando uma outra hipótese do Modelo Clássico de

Regressão Linear.

Veja exemplo no ficheiro Extensões do Modelo de RLS

em Excel.



Forma Funcional


1.1. Linearidade nas Variáveis

O primeiro – e talvez mais “natural” –

significado de linearidade é a de que Y é uma

função linear de X, como por exemplo, a equação

a seguir:

Geometricamente, a curva de regressão

neste caso é uma reta. Por esta interpretação,

uma regressão como não é

uma função linear, pois a variável X aparece com

potência 2.

Formas FuncionaisSignificado do Termo LinearSignificado do Termo LinearSignificado do Termo LinearSignificado do Termo Linear


1.2. Linearidade nos Parâmetros

A segunda interpretação de linearidade é a de

que Y é uma função linear dos parâmetros, os β ´s; isso

pode ou não ser linear na variável X. Nesta

interpretação, é um modelo de

regressão linear, mas, digamos,

não é. Este último é um modelo de regressão não-linear

nos parâmetros.

Estudaremos agora, alguns modelos de regressão que

podem ser não-lineares nas variáveis mas lineares nos

parâmetros.

Formas FuncionaisSignificado do Termo LinearSignificado do Termo LinearSignificado do Termo LinearSignificado do Termo Linear


Considere o seguinte modelo, conhecido como modelo de regressão

exponencial:

que pode ser expresso alternativamente como:

Se escrevermos como:

em que α = ln β1, este modelo é linear nos parâmetros α e β2, linear

nos logaritmos, e pode ser estimado por MQO. Por causa dessa

linearidade, tais modelos são chamados de log-log ou log-linear.

Formas FuncionaisModelo Log LinearModelo Log LinearModelo Log LinearModelo Log Linear


Se as hipóteses do MCRLN são satisfeitas, os parâmetros da equação

anterior podem ser estimados pelo MQO, fazendo com que:

em que Yi* = ln Yi e Xi

* = ln Xi .

Uma característica interessante do modelo log-log é que β2 mede a

elasticidade de Y em relação à X. Por exemplo, se a relação entre a

quantidade demandada de um bem e o seu preço for como a

mostrada no Gráfico 1:



Duas características especiais do modelo log-linear podem ser

observadas:

�O modelo supõe que o coeficiente de elasticidade β2 permaneça

sempre constante, daí o nome alternativo de modelo de elasticidade

constante. Ou seja, como mostra o Gráfico 11, a variação em ln Y por

mudança unitária em ln X permanece a mesma, não importa com

qual ln X medimos a elasticidade.

� Embora e sejam estimadores não-enviesados de α e β2,

β1 quando estimado como é ele próprio um

estimador enviesado.

Na maioria dos problemas práticos, porém, o termo de intercepto

tem importância secundária e não precisamos nos preocupar em

obter sua estimativa não-enviesada.


��

�� = ��(��)


No modelo de duas variáveis, o meio mais simples de julgar se o

modelo log-linear se ajusta aos dados é fazer um diagrama de

dispersão de ln Yi e ln Xi e ver se os pontos formam aproximadamente

uma reta, como no Gráfico 11.



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