3.4 Day 2 Linear Programming 2010

1

October 27, 2010

Aug 14­9:04 PM

3.4 Linear Programming

DAY 2

Objectives:  • To find maximum and minimum values• To solve problems with linear programming

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

2

October 27, 2010

Aug 14­9:31 PM

Check Skills You'll Need:

Solve each system of inequalities by graphing.

1.  x > 5     2.  3y > 5x + 2         3.  x + 3y < ­6     y > ­3x + 6            y < ­x + 7             2x ­ 3y < 4

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

3

October 27, 2010

Aug 14­9:44 PM

Solving Real­World Problems:Suppose you are selling cases of mixed nuts and roasted peanuts.  You can order no more than a total of 500 cans and packages and spend no more than $600.  How can you maximize your profit?  How much is the maximum profit?

Mixed Nuts Roasted Peanuts12 cans per case 20 packages per case

You pay...$24 per case You pay...$15 per caseSell at...$3.50 per can Sell at...$1.50 per package

$18 profit per case! $15 profit per case!

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

4

October 27, 2010

Sep 28­4:50 PM

Solving Real­World Problems:Suppose you are selling cases of mixed nuts and roasted peanuts.  You can order no more than a total of 500 cans and packages and spend no more than $600.  How can you maximize your profit?  How much is the maximum profit?

Define: Let x = number of cases of mixed nuts orderedLet y = number of cases of roasted peanuts orderedLet P = total profit

Relate: Organize the information into a table

Mixed Nuts Roasted Peanuts    TotalNumber of Cases       x        y    x + yNumber of Units      12x         20y     500 constraintCost      24x         15y     600 constraintProfit      18x         15y 18x + 15y objective

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

5

October 27, 2010

Sep 28­4:50 PM

Solving Real­World Problems:Suppose you are selling cases of mixed nuts and roasted peanuts.  You can order no more than a total of 500 cans and packages and spend no more than $600.  How can you maximize your profit?  How much is the maximum profit?

Mixed Nuts Roasted Peanuts    TotalNumber of Cases       x        y    x + yNumber of Units      12x         20y     500 constraintCost      24x         15y     600 constraintProfit      18x         15y 18x + 15y objective

Write: Write and simplify the constraints.  Write the objective function.

12x + 20y < 500 3x + 5y < 12524x + 15y < 600 ⇒ 8x + 5y < 200 P = 18x + 15yx > 0, y > 0 x > 0, y > 0

Now follow the steps from yesterday to determine what values of x and y maximize your profit.

{ {

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

6

October 27, 2010

Sep 28­4:50 PM

Step 1:  Graph the constraints (solve for y first)

3x + 5y < 125 y < ­3/5x + 258x + 5y < 200 ⇒ y < ­8/5x + 40x > 0, y > 0 x > 0, y > 0

10

10 20

20

30

30 40

40

50

50

{ {

Step 2:  Find the coordinates    of each vertex

(0, 0)(25, 0)(15, 16)(0, 25)

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

7

October 27, 2010

Sep 28­4:50 PM

Step 3:  Evaluate P at each vertex

P = 18x + 15y

(0, 0) P = 18(0) + 15(0) = 0(25, 0) P = 18(25) + 15(0) = 450(15, 16) P = 18(15) + 15(16) = 510(0, 25) P = 18(0) + 15(25) = 375

Step 4:  State the results in complete sentences.

You can maximize your profit by selling 15 cases of mixed nuts and 16 cases of roasted peanuts.  The maximum profit is $510.

3.4 Day 2 Linear Programming 2010

8

October 27, 2010

Sep 28­5:38 PM

Homework:  page 142 (10, 11, 20, 21, 23 ­ 27)