3393 Методичні вказівкиlib.sumdu.edu.ua/library/docs/rio/2012/m3393.pdf ·...

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни

Сумський державний університет

3393 Методичні вказівки

до виконання лабораторних робіт

з дисциплін «Інформатика», «Обчислювальна техніка»,

«Основи інформаційних технологій та програмування»:

для студентів напрямів підготовки:

«Інженерна механіка», «Енергетика»,

«Інженерне матеріалознавство»

денної форми навчання

Модуль 5

Суми

Сумський державний університет

2012

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з

дисциплін «Інформатика», «Обчислювальна техніка», «Основи

інформаційних технологій та програмування» / укладачі:

А. В. Марченко, О. В. Алексенко, Н. А. Федотова, О. В. Бондар.

– Суми : Сумський державний університет, 2012. – Модуль 5. –

54 с.

Секція інформаційних технологій проектування.

Кафедра комп’ютерних наук

3

Зміст С.

Лабораторна робота 1 ....................................................................... 5

1 Теоретичні відомості ................................................................. 5 1.1 Розв’язання рівнянь з одним невідомим в аналітичній

формі .......................................................................................... 5 1.2 Чисельне розв’язання рівнянь з одним невідомим .......... 8

1.3 Розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем ................... 9

1.4 Розв’язання систем лінійних рівнянь.............................. 13 1.5 Розв’язання рівнянь у символьному вигляді .................. 15

2 Завдання .................................................................................... 16 Завдання 1 ................................................................................ 16

Завдання 2 ................................................................................ 16 Завдання 3 ................................................................................ 17 Завдання 4 ................................................................................ 18

Завдання 5 ................................................................................ 19

Завдання 6 ................................................................................ 20 Питання для контролю ............................................................... 21

Лабораторна робота 2 ..................................................................... 22

1 Теоретичні відомості ............................................................... 22 1.1 Чисельне розв’язання диференціальних рівнянь ........... 23 1.2 Чисельне розв’язання системи диференціальних

рівнянь ..................................................................................... 24

1.3 Розв’язання задачі Коші для диференціальних

рівнянь вищого порядку ......................................................... 27

2 Завдання .................................................................................... 29 Завдання 1 ................................................................................ 29 Завдання 2 ................................................................................ 30 Завдання 3 ................................................................................ 31 Завдання 4 ................................................................................ 33

Питання для контролю ............................................................... 35

Лабораторна робота 3 ..................................................................... 36

1 Теоретичні відомості ............................................................... 36

1.1 Сума та добуток ряду ....................................................... 36 1.2 Обчислення інтегралів ..................................................... 37

4

1.3 Символьні обчислення ..................................................... 38

1.3 Обчислення границь ......................................................... 39 1.4 Диференціювання та обчислення інтегралів .................. 39 1.5 Комплексні числа.............................................................. 42

2 Завдання .................................................................................... 43

Завдання 1 ................................................................................ 43 Завдання 2 ................................................................................ 43

Завдання 3 ................................................................................ 44


Питання для контролю ............................................................... 47 Лабораторна робота 4 ..................................................................... 48

1 Завдання .................................................................................... 48


Завдання 3 ................................................................................ 48

Завдання 4 ................................................................................ 50

Питання для контрою ................................................................. 52 Список використаної літератури ................................................... 53

5

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 1

Тема „Методи розв’язання алгебраїчних рівнянь та

систем”

Мета: вивчення можливостей розв’язання різних типів рівнянь

та їх систем у додатку Mathcad.

Форма звіту: файл звіту з виконаним завданням відповідно до

варіанта.

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система Mathcad дозволяє розв’язувати лінійні, нелінійні

рівняння та їх системи як аналітично, так і графічно та чисельно.

Для розв’язання рівнянь та їх систем необхідні такі

палітри: Арифметика, Матрицы, Булево, Вычисления та

Символические операторы.

1.1 Розв’язання рівнянь з одним невідомим в

аналітичній формі

Є два способи розв’язання рівнянь з одним невідомим:

– за допомогою пункту головного меню Символы;

– за допомогою команди solve палітри Символы.

У першому способі для аналітичного розв’язання рівнянь

необхідно виконати такі дії:

1 Записати рівняння у документі Mathcad так, щоб права

частина дорівнювала нулю.

2 Виділити математичним курсором шукану змінну.

3 Виконати команду головного меню Mathcad: Символы

→ Переменная → Вычислить (Symbolics → Variable → Solve)

(рис. 1.1).

6

Рисунок 1.1 − Розв’язання рівнянь з одним невідомим

аналітичним способом (крок 3)

У результаті виконання такої команди виконується пошук

такого значення змінної, при якому вихідний вираз стає таким,

що дорівнює нулю. На рис. 1.2 наведений приклад розв’язання

квадратного рівняння.

Рисунок 1.2 – Приклад розв’язання квадратного рівняння

аналітичним способом

7

Якщо коефіцієнти в рівнянні відомі, то результат буде

числом (рис. 1.3).

x cos x( )

.73908513321516064166

Рисунок 1.3 – Приклад розв’язання рівняння з відомими

коефіцієнтами

Для виведення рішення справа від виразу необхідно

встановити прапорець у меню Символы → Стиль решения →

Горизонтально (Symbolics → Evaluation Style → Horizontally).

Другий спосіб розв’язання рівнянь можна виконати,

скориставшись панеллю символьних обчислень , на якій

необхідно натиснути кнопку solve. Після чого на екрані

з’явиться повідомлення .

Наступним кроком необхідно ввести зліва від ключового

слова solve вираз для правої частини рівняння, а справа - ім’я

змінної, відносно якої необхідно розв’язати рівняння. Далі

необхідно клацнути на вільному місці робочої області

документа. Результат буде відображено у робочому документі

справа від стрілки (рис. 1.4).

При використанні оператора solve, → необхідно мати на

увазі, що змінні не повинні бути визначені заздалегідь, але

спроба розв’язання квадратного рівняння призведе до помилки,

хоча квадратний тричлен зі змінною z розкриється досить

задовільно:

a z2

b z c solve z

1

2 ab b

24 a c

1

2

1

2 ab b

24 a c

1

2

.

8

Рисунок 1.4 – Приклад розв’язання рівнянь за допомогою

кнопки solve панелі символьних обчислень

1.2 Чисельне розв’язання рівнянь з одним невідомим

Багато нелінійних рівнянь, наприклад трансцендентні, та

системи з них не мають аналітичних розв’язків та розв’язуються

лише графічними або чисельними методами.

Функція root (вираз, ім’я змінної) шукає значення змінної,

за якої вираз дорівнює нулю. Пошук кореня відбувається

ітераційними методами, причому насамперед необхідно задати

початкове значення.

Наприклад, необхідно знайти корень трансцендентного

рівняння х=cos (x).

Задамо початкове значення х=1, розв’язок дає функція root

(x-cos(x))=0.74.

Необхідно відмітити, що під час виведення результату

відображається лише 3 значущих цифри після десяткової

крапки. Це налаштування можна змінити у меню Format →

Number у пункті Displayed Precision.

Або, наприклад, можна спочатку знайти графічний

розв’язок, а потім скористатися функцією root.

9

Для задання початкового значення для уникнення

тривіальних помилок можна побудувати графік досліджуваної

функції. Задайте у робочому документі функцію F(x) і

побудуйте її графік у декартових координатах. Для пошуку

графічних коренів рівняння – абсциси точок перетинання

графіка функції з віссю ординат, клацніть по графіку правою

кнопкою мишки. У контекстному меню, що з’явиться, оберіть

пункт Трассировка та встановіть за домопогою стрілок

клавіатури або мишки маркер (пунктирні лінії, що

перетинаються) у точці перетину графіка з віссю абсцис. У

діалоговому вікні будуть відображені координати маркера:

значення координати х при рівності координати у нулю або

малої величини і є шукане приблизне значення кореня. Приклад

розв’язання цим методом наведений на рис. 1.5.

1.3 Розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем

Якщо необхідно знайти рішення розв’язок з декількома

змінними або системи рівнянь, задається блок рівнянь. Він має

таку структуру:

– Given – службове слово, що позначає початок блока;

– рівняння;

– обмежувальні умови;

– вирази з функціями Find та Minner;

– перевірка розв’язання за необхідності.

У даному випадку використовуються такі функції:

– Find (х1, х2, …, хп) – повертає значення однієї змінної

або значення вектора змінних Х, що відповідає точному

розв’язку.

– Minner (х1, х2, …, хп) – повертає значення однієї змінної

або значення вектора змінних Х, що відповідає приближеному

значенню з мінімальною середньоквадратичною похибкою.

– Обмежувальні умови необхідні для обмеження області

розв’язання за допомогою функції Find або мінімізації

середньоквадратичної похибки за допомогою функції Minner.

10

Вони задаються такими конструкціями: (більше), (менше),

(більше або дорівнює), (менше або дорівнює).

Завдання: розв’язання рівняння х=4сos(x) Спочатку знайдемо графічний розв’язок рівняння: 1. Визначимо довільний (тому, що невідомо, чому дорівнює корінь рівняння)

діапазон зміни аргументу, наприклад, х:=- 20, -19.5 .. 20 2. Будуємо графік функції (функцію отримуємо із рівняння перенесенням усіх

членів рівняння в ліву частину): у(х):=х-4сos(x) 3. Точка перетину графіка функції та осі Х – корень рівняння.

З графіка бачимо, що коренів рівняння три. Перший наближено дорівнює х:=-4 Знаходимо точне значення першого кореня, використовуючи функцію root та початкове значення кореня: root(х-4сos(x),x)=-3.595 Другий наближено дорівнює х:=-2 Знаходимо точне значення другого кореня, використовуючи функцію root та початкове значення кореня: root(х-4сos(x),x)=-2.133 Третій наближено дорівнює х:=1 Знаходимо точне значення третього кореня, використовуючи функцію root та початкове значення кореня: root(х-4сos(x),x)=-1.252.

Рисунок 1.5 – Приклад графічного розв’язання рівняння

11

Увага! У блоці розв’язання системи рівнянь необхідно

вводити знак рівності за допомогою комбінації клавіш [Ctrl + =]

або кнопки = палітри Булево.

Найбільш часто пошук коренів системи нелінійних рівнянь

виконується за допомогою блока Given ... Find(...). Наприклад,

необхідно розв’язати систему рівнянь:

.27cos

,25sin

2

3

xy

yx

Тоді в MathCad система розв’язується таким чином:

y 1 x 1 Given

x3

sin y( ) 25

y2

cos x( ) 27 x

yFind x y( )

x 2.96 y 5.101

Тут також можуть розв’язуватися системи рівнянь з

декількома невідомими, однак, як і у попередньому випадку,

необхідне визначення початкової точки заздалегідь, від якої

буде виконуватися пошук розв’язків.

Розв’язок шукається методом ітерацій і за наявності

декількох коренів, вочевидь, буде знайдено лише найближчий

розв’язок, якщо він існує.

Приклад розв’язання системи рівнянь (рис. 1.6):

12

.xy

,xy

38

2

х:=-5, -4,75 .. 5

а)

Блок першого розв’язку х := 0 у := 0 Початкова точка Given y – x

2 = 0

у – 8 - 3∙х = 0

8952

7021

0

0

0

0

.

.

Y

X)y,x(Find:

Y

X

X0

2 = 2.895 Перевірка розв’язку

8 + 3∙X0 = 2.895 Блок другого розв’язку х := 3 у := 0 Початкова точка Given y – x

2 = 0

у – 8 - 3∙х = 0

10522

7024

0

0

0

0

.

.

Y

X)y,x(Find:

Y

X

X0

2 = 22.105 Перевірка розв’язку

8 + 3∙X0 = 22.105

б)

Рисунок 1.6 – Приклад розв’язання системи рівнянь:

а) – графічне розв’язання системи рівнянь;

б) – аналітичне розв’язання системи рівнянь

13

Таким чином можна розв’язувати і системи лінійних

рівнянь, однак є необхідність задавати початкову ітерацію, тому

що системи лінійних рівнянь краще розв’язувати матричним

методом.

Аналогічно розв’язуються і більш складні рівняння або їх

системи.

1.4 Розв’язання систем лінійних рівнянь

1.4.1 Для розв’язання систем лінійних рівнянь можна

використовувати вбудовану функцію lsolve(…). Нехай буде

задана система лінійних рівнянь:

.yx

,yx

05

132

У MathCad спочатку записуємо матрицю коефіцієнтів та

вектор правих частин, що мають такий вигляд:

A2

1

3

5 B

1

0 .

Потім записуємо функцію

lsolve A B( )0.385

0.077 .

1.4.2 Матричний спосіб

Система рівнянь може бути подана як A∙X=B. Розв’язуємо

її матричним способом.

X A1

B

X0.385

0.077 .

14

1.4.3 Розв’язок систем лінійних рівнянь можна отримати

також за допомогою блока Given ... Find(...).

x 0 y 0

Given

2 x 3 y 1

x 5 y 0

X Find x y( )

X0.385

0.077 .

Приклад розв’язування системи лінійних рівнянь

.xx.x.

,x.xx.

,x.x.x

204080040

91503090

80802404

321

321

321

Задання матриць коефіцієнтів та вільних членів

20

9

8

4080040

1503090

0802404

:B

..

..

..

:A

Інвертування матриці А

250108856106572

01203340106457

102614020250

33

3

3

1

...

...

...

:A

Розв’язання системи лінійних рівнянь

BA:X 1

Результат розв’язання

0455

1953

9091

.

.

.

X

15

При знаходженні коренів полінома ступеня п краще

скористатися функцією polyroots(v), де v – вектор довжини n+1,

що містить коефіцієнти полінома. Функція polyroots(v) повертає

відразу всі корені полінома як дійсні, так і комплексні.

Попередньо коефіцієнти полінома повинні бути подані у вигляді

вектора (рис. 1.7).

Рисунок 1.7 – Приклад розв’язання системи рівнянь

1.5 Розв’язання рівнянь у символьному вигляді

Деякі рівняння MathCad можна розв’язати у символьному

вигляді. Для цього існує три можливості: перша – використання

меню Символы (Symbolics), друга – використання оператора

solve, x , третя – використання блока Given ... Find(...).

Спробуємо розв’язати систему лінійних рівнянь. Given u 2 v a 4 u v b

Find u v( )

2 b a

1 8

4 a b

1 8

У даному випадку ми були вимушені вводити змінні, що

доти не використовувались u, v, оскільки змінні x, y вже

визначені. Уникнути цих труднощів можна, розв’язуючи

рівняння на новому робочому аркуші.

16

Проілюструємо ще одне розв’язання для полінома третього

порядку.

a 1 b 1 c 1 d 1

a z3

b z2

c z d solve z

1

i

i .

2 ЗАВДАННЯ

Завдання 1

Відкрийте документ Mathcad.

Збережіть документ у своїй папці під ім’ям ЛР_1.

На початку документа введіть тему лабораторної роботи та

свої прізвище з ініціалами.

На рядок нижче введіть тему заняття.

Завдання 2

Розв’язати рівняння відповідно до вашого варіанта з

таблиці 1.1 за допомогою пункту головного меню Символы.

Таблиця 1.1 – Варіанти завдань

Номер

бригади

Рівняння Номер

бригади

Рівняння

1 xe

x

21

cos1 2 4,11

4 3xe

3 413 3xe 4 4

3

5

3

x

x

5 4

2

1

3

x

x 6 xx 3sin2cos5

17

Продовження табл.1.1

Номер

бригади

Рівняння Номер

бригади

Рівняння

7 21

32

xx

x 8 xx 3sincos2

9 xx 3sin32cos2 2

10 xx sin2cos3 2

11 xx cos2 12 221

1

xx

x

Завдання 3

Розв’язати рівняння відповідно до вашого варіанта з

таблиці 1.2 за допомогою команди solve палітри Символы.


Номер

бригади

Рівняння Коефіцієнти рівняння

a b c

1

2

bxaxtan 1,2618

2,5237

1,8433

3,6866

3

4

cbxaxln 1,2195

2,7439

1,3744

3,0924

0,5

1,0

5

6

cxbxasin 2,33

4,0

2,857

3,8125

2,0

3,25

7 2034 xx

8 754 xx

9 523 xx

10 723 xx

18


Номер

бригади

Рівняння Коефіцієнти рівняння

a b c

11 21

32

xx

x

12 xe

x21

cos5

Завдання 4

Знайдіть графічний розв’язок рівняння відповідно до

вашого варіанта з таблиці 1.3. Розв’яжіть рівняння, відповідно

до вашого варіанта за допомогою функції root.


Номер

бригади

Рівняння a b c

1 2xex

2 75 1.03 xex

3 12 xe x

4 xx cos2 x 0

5 15,0ln xx

6 15,0ln xx x 1

7

8 cxbxacos 0,33

1,5

2,7

2,25

-1,05

1,25

9 xex x4

x < 0

10 xex xe 2 x > 0

11 2034 xx x 0

12 155.02 xex x < 0

19

Завдання 5

Знайдіть розв’язок системи рівнянь (графічно і чисельно)

відповідно до вашого варіанта в таблиці 1.4.


Номер

бригади

Система рівнянь a b c d f

1 .0ln

,0tan

22 xby

xyax

1,0 7,5

2 .0cos

,02

cxy

yxbyax

0,16 2,1 1,0

3

.034

,0costan

23 xxcy

byax

1,0 1,5 2,0

4 2 0,5 0,3

5

.02

,4

2

3

2

3

2

yx

yx

x 0

6 .02

,01

22 yyx

xy

x 0

7 .01

,0cos

22 yx

yxx

x 0

8

.0

,12

3

2

22

xy

yx

y 0

9 .01

,0sin

22 yx

xy

x 0

10

.0sin

,0123

fxdycx

byax

3,2 1,5 -3,0 0,125 -0,4

11 2,0 11,1 2,0 -0,1 1

12 0,2 1,7 -1,0 5 -1,9

20

Завдання 6

Знайдіть розв’язок системи лінійних рівнянь відповідно до

вашого варіанта таблиці 1.5.


Номер

бригади

Матриця коефіцієнтів системи Стовпець

вільних

членів

1

1,84

2,32

1,83

2,25

2,6

2,06

2,53

2,82

2,24

–6,09

–6,98

–5,52

2

2,18

2,17

3,15

2,44

2,31

3,22

2,49

1,49

3,17

–4,34

–3,91

–5,27

3

1,54

3,69

2,45

1,7

3,73

2,43

1,62

3,59

2,25

–1,97

–3,74

–2,26

4

1,53

2,35

3,83

1,61

2,31

3,73

1,43

2,07

3,45

–5,13

–3,69

–5,98

5

2,36

2,51

2,59

2,37

2,4

2,41

2,13

2,1

2,06

1,48

1,92

2,16

6

5

1

–3

0

3

2

1

–1

10

11

4

6

7

2

–1

1

0

3

–1

–1

1

4

–3

2

3

21


Номер

бригади

Матриця коефіцієнтів системи Стовпець

вільних

членів

8

2

1

1

0

–3

1

–1

1

3

1

2

4

9

5

–1

1

1

3

–2

–1

1

4

–5

5

1

10

3

–2

1

1

4

1

–1

1

3

–1

5

–3

ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1 Для чого використовується функція root і як вона

записується?

2 Як символьно обчислюється рівняння однієї змінної?

3 Як розв’язуються системи нелінійних рівнянь?

4 Яка функція використовується для розв’язання системи

лінійних рівнянь?

5 Опишіть матричний спосіб розв’язання систем лінійних

рівнянь?

6 Як розв’язуються системи лінійних рівнянь за

допомогою блока Given ... Find(...)?

7 Як розв’язуються рівняння через оператор solve?

8 Як розв’язуються системи рівнянь у символьному

вигляді?

22


Тема „Методи розв’язання диференціальних

рівнянь и систем”

Мета: вивчення можливостей розв’язання різних типів

диференціальних рівнянь та їх систем у системі MathCad.


варіанта.


Система MathCad дозволяє розв’язувати лінійні, нелінійні

рівняння та системи рівнянь як аналітично, так і чисельно та

графічно.

Звичайним диференціальним рівнянням порядку n

називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну х і шукану

функцію y=y(x) та її похідні.

Системою звичайних диференціальних рівнянь

називається система рівнянь

nixyxyxyxyxfi ,1,0,...',',...,,; 2121 , яка пов’язує

незалежну змінну х, шукані функції y1=y1(x),у2(х),… та їх

похідні.

Усі функції MathCad служать для чисельного розв’язання

задачі Коші нормальних систем звичайних диференціальних

рівнянь. Задача Коші для рівнянь зводиться до розв’язання

задачі для системи.

,,...,,,'

...

,,...,,,'

,,...,,,'

21

2122

2111

nnn

n

n

yyyxfy

yyyxfy

yyyxfy

.)(

...

,)(

,)(

,002

2,002

1,001

nyxy

yxy

yxy

23

Чисельне розв’язання цієї задачі міститься у побудові

таблиці наближених значень yi,1, yi,2,…, yi,n, i=1,2,…,п,

розв’язання y1(x), y2(x),…, yn(x) на відрізку [x0, xп] у точках

x0,x1,…,xп, які мають назву вузлів сітки.

Позначивши

Y(x)=(y1(x),y2(x),…,yn(x)),

Y0=(y0,0;y0,1;…;y0,n),

Y’=(y’1(x),y’2(x),…,’yn(x)),

F(x,Y)=(f1(x,y1,…,yn), f2(x,y1,…,yn),…, fn(x,y1,…,yn)),

де Y – шукане рішення; YO – вектор початкових умов; F(x,Y) –

вектор правих частин, запишемо систему диференціальних

рівнянь у векторній формі:

Y’=F(x,Y), Y(x0)=Y0.

У MathCad розв’язати задачу Коші для такої системи

можна за допомогою функції rkfixed(y,x1,x2,npoints,D) –

розв’язання задачі методом Рунге-Кутта зі сталим кроком.

1.1 Чисельне розв’язання диференціальних рівнянь

Розглянемо диференціальні рівняння 1-го порядку.

Задано диференціальне рівняння

xy

d

d

y

xx2

при початковій умові y 1( ) 0.

Чисельне розв’язання відбувається за допомогою

вбудованої функції

rkfixed(y,x1,x2,n,D),

24

яка використовує метод Рунге-Кутта 4-го порядку. Тут

у − вектор початкових умов, у даному випадку вектор з одного

елемента;

х1,х2 – межі інтервалу для пошуку розв’язків;

п – кількість точок на інтервалі;

D(x,y) – вектор-функція перших похідних, у даному випадку

вектор з одного елемента.

Розв’язок рівняння шукаємо на інтервалі (1,5).

Розв’язок рівняння у MathCad:

xy

d

d

y

xx2

.

Задається початкова умова g0:=0.

Записуємо праву частину рівняння як функцію від х та

початкової умови g0:

20 xx

g:)g,x(D

Знаходимо числовий розв’язок за функцією rkfixed. В

даному випадку шукаємо розв’язок в інтервалі від 1 до 5 у 40

точках всередині інтервалу.

Повний запис вищенаведеного прикладу поданий на

рис. 2.1а.

Матриця Z має 2 стовпці і 40 рядків – перший стовпець

містить змінну х, другий – шукану функцію у.

Графік числового розв’язку наведений на рис. 2.1б.

1.2 Чисельне розв’язання системи диференціальних

рівнянь

Система лінійних рівнянь 1-го порядку розв’язується за

допомогою функції rkfixed.

25

Функція

20 xx

g:)g,x(D

Чисельне розв’язання )D,40,5,1,g(rkfixed:Z

а)

б)

Рисунок 2.1 – Приклад розв’язку лінійного рівняння 1-го

порядку за функцією rkfixed:

а) числовий розв’язок; б) графік чисельного розв’язку

Розв’яжемо для прикладу систему двох диференціальних

рівнянь 1-го порядку:

tx

d

dy x

2x

,

ty

d

d3 x x

2y

.

Початкові умови: x 0( ) 0 ,

y 0( ) 1 .

26

Тоді у MathCad розв’язання виконується так, як подано на

рис. 2.2.

g0

1

D t g( )g1 g0

2g0

3 g0 g02

g1

Z rkfixed g 0 10 100 D( )

Рисунок 2.2 – Розв’язок системи двох диференціальних рівнянь

1-го порядку

Z

0 1 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 0 1

0.1 0.091 0.918

0.2 0.165 0.866

0.3 0.226 0.836

0.4 0.278 0.823

0.5 0.321 0.822

0.6 0.358 0.83

0.7 0.39 0.844

0.8 0.418 0.864

0.9 0.444 0.887

1 0.468 0.913

1.1 0.49 0.941

1.2 0.51 0.971

1.3 0.53 1.001

1.4 0.548 1.032

1.5 0.566 1.063

27

1.3 Розв’язання задачі Коші для диференціальних

рівнянь вищого порядку

Знайдемо на відрізку [0;3] наближений розв’язок рівняння xyey '' , що задовольняє початковим умовам 1)0(',1)0( yy

та побудуємо графік знайденого розв’язку.

Зведемо розв’язок задачі для рівняння 2-го порядку до

задачі, еквівалентній нормальній системі 2-го порядку.

Позначимо

).(')(

),()(

2

1

xyxy

xyxy

Оскільки

),('))'('()('' 2 xyxyxy

то отримаємо

),exp('

,'

12

21

xyy

yy

.1)0(

,1)0(

2

1

y

y

Розв’яжемо задачу чисельно, використовуючи алгоритм

Рунге-Кутта з фіксованим кроком на сітці з 20 вузлів, що

знаходяться між собою на рівній відстані.

Фрагмент робочого документа MathCad з обчисленнями та

графіком наведений на рис. 2.3.

28

Рисунок 2.3 – Приклад розв’язання диференціальних рівнянь

вищого порядку

Примітка. Визначте вектор Y і вектор-функцію D(x,y) як

матриці розмірності 2 1. Присвойте компонентам вектора Y

початкові значення, а компонентам вектора D(x,y) – вирази для

правих частин рівнянь системи.

Розв’язання задачі Коші для нормальної системи

диференціальних рівнянь. Знайдемо на відрізку [0;3]

наближений розв’язок задачі Коші

,'

,'

,sin'

133

2

12

321

yyy

yy

xyyy

.1)0(

,1)0(

,1)0(

3

2

1

y

y

y

29

Побудуємо графіки для знайденого рішення. Розв’яжемо задачу

чисельно, використовую алгоритм Ругне-Кутта з фіксованим

кроком на сітці з 30 вузлів, що знаходяться на рівній відстані

один від одного (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 – Приклад розв’язання задачі Коші чисельним

методом

Примітка. Для того щоб побудувати графіки знайденого

розв’язку (графіки функцій введіть на осі абсцис як змінні Y<1>

(стовпець координат вузлів сітки), а на осі ординат введіть,

розділяючи комою, Y<2>, Y<3>, Y<4> (стовпці, що містять

відповідно значення y1(x), y2(x), y3(x) у вузлах сітки).

2 ЗАВДАННЯ

Завдання 1

Відкрийте документ MathCad. Збережіть документ у своїй

папці під ім’ям ЛР_2.

На початку документа введіть тему лабораторної роботи.

На рядок нижче введіть номер своєї бригади та свої

ініціали та прізвище.

30

На рядок нижче введіть тему заняття.

Завдання 2

Розв’язати диференціальне рівняння 1-го порядку

відповідно до вашого варіанта з таблиці 2.1.


Номер

бригади

Початкове

значення

Інтервал Кількість

точок

Рівняння

1 0 0; 3 25 ttydt

dy2sincos

2 0,5 1; 3 30 tt

y

dt

dy3

3 0 -1; 5 40 2

21

1

2t

t

ty

dt

dy

4 1 1; 4 35 112

2y

t

t

dt

dy

5 0,7 0,8; 3,5 45 3

23

tt

y

dt

dy

6 0 0,2; 3,7 15 322 tty

dt

dy

7 1,2 1,5; 3,1 22 2

2

tt

y

dt

dy

8 0 0,4; 4,7 27 3tty

dt

dy

9 2 2; 8 32

21

1

2tey

tdt

dy t

10 1,4 1; 6 41 ttety

dt

dy t sin22

31

Продовження табл. 2.1

Номер

бригади

Початкове

значення


точок

Рівняння

11 1 1; 4 35 112

2y

t

t

dt

dy

12 1,2 1,5; 3,1 22 2

2

tt

y

dt

dy

Завдання 3

Розв’яжіть дві задачі Коші для систем диференціальних

рівнянь 1-го порядку зі сталими коефіцієнтами на відрізку [0, 1]

відповідно до вашого варіанта з таблиці 2.2:

,)0(,...),('

,)0(,...),('

0

0

ZZtBZtZ

YYtAYtY

де А і В – задані матриці; Y0, Z0 – задані вектори.

Для введення індексів при описі векторів Y0, Z0 після назви

вектора введіть точку, після чого введіть індекс (таким чином

отримаєте текстовий індекс).

Методичні рекомендації до виконання завдання

Спершу розв’яжіть першу систему. Для цього визначте

матрицю коефіцієнтів системи А. Далі введіть вектор

початкових умов Y0.

Введіть функцію D.

Запишіть функцію rkfixed.

Побудуйте графіки отриманих функцій. Стовпець 0

містить значення аргументу, стовпець 1 – значення першої

функції системи, стовпець 2 – значення другої функції системи

(рис. 2.5).

Потім розв’яжіть першу систему аналогічно.

32

Рисунок 2.5 – Приклад розв’язання системи диференціальних

рівнянь


Номер

бригади

A Y0 N B Z0

1 -1,999 -0,019 -0,063 -1,051

0 1

6 -10,850 9,787 32,515 -499,55

1 0

2 -13,237 15,299 33,885 522,183

2 0

7 -6,905 0,03 -0,145 -6,095

1 5

3 -0,717 -23,827 114,483 -640,393

1 2

8 -1,905 -0,015 -0,13 -2,295

1 0

33


Номер

бригади

A Y0 N B Z0

4 -17,359 -0,573 5,366 -21,351

2 1

9 -64,712 -85,344 -128,964 -170,918

1 0

5 -229,934 301,266 227,624 -303,576

1 1

10 -2,018 -0,818 -0,082 -1,282

1 1

6 -1,999 -0,019 -0,063 -1,051

0 1

6 -10,850 9,787 32,515 -499,55

1 0

7 -13,237 15,299 33,885 522,183

2 0

7 -6,905 0,03 -0,145 -6,095

1 5

8 -0,717 -23,827 114,483 -640,393

1 2

8 -1,905 -0,015 -0,13 -2,295

1 0

9 -17,359 -0,573 5,366 -21,351

2 1

9 -64,712 -85,344 -128,964 -170,918

1 0

10 -229,934 301,266 227,624 -303,576

1 1

10 -2,018 -0,818 -0,082 -1,282

1 1

11 -17,359 -0,573 5,366 -21,351

2 1

8 -64,712 -85,344 -128,964 -170,918

1 0

12 -13,237 15,299 33,885 522,183

2 0

7 -6,905 0,03 -0,145 -6,095

1 5

Завдання 4

Розв’яжіть диференціальне рівняння 2-го порядку

відповідно до вашого варіанта з таблиці 2.3.

Задача Коші для звичайного диференціального рівняння

2-го порядку

TttfkxHxmx

vx

xx

,0),('''

,)0('

,)0(

0

0

описує рух важеля масою m, що підвішений до кінця пружини.

Тут x(t) – зсув важеля від положення рівноваги; Н – стала, що

34

характеризує силу опору середовищу; k – коефіцієнт пружності

пружини; f(t) – зовнішня сила.

Початкові умови: х(0) – зсув важеля у початковий момент

часу t=0; х’(0) – швидкість важеля у початковий момент часу.

Промоделювати рух важеля на часовому відрізку [0,T] при

трьох заданих згідно з варіантом із таблиці 2.3 наборах (I, II, III)

значень параметрів.


Номер

бригади

H k m f(t) x0 v0 T

1

I

II

III

0,5

-“-

-“-

1

-“-

-“-

1

-“-

-“-

0

10

0

–10

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

2

I

II

III

1

-“-

-“-

1

-“-

-“-

0,5

-“-

-“-

tsin(t)

0

tsin(t)

0

-“-

-“-

0

–10

–50

20

-“-

-“-

3

I

II

III

1

-“-

-“-

5

-“-

-“-

0,75

-“-

-“-

0

-“-

-“-

-10

0

-10

0

10

10

5

-“-

-“-

4

I

II

III

1

-“-

-“-

1

-“-

-“-

1

3

6

cos(t)

-“-

-“-

0

-“-

-“-

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

5

I

II

III

0,5

-“-

-“-

5

50

0,5

1

-“-

-“-

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

0

-“-

-“-

15

-“-

-“-

6

I

II

III

1

-“-

-“-

5

0,5

50

1

-“-

-“-

0

-“-

-“-

0

-“-

-“-

1

-“-

-“-

15

-“-

-“-

7

I

II

III

1

0,1

10

1

-“-

-“-

5

-“-

-“-

–t

-“-

-“-

15

-“-

-“-

0

-“-

-“-

40

-“-

-“-

8

I

II

III

1

-“-

-“-

1

-“-

-“-

0,5

5

50

sin(t)

-“-

-“-

0

-“-

-“-

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

35


Номер

бригади

H k m f(t) x0 v0 T

9

I

II

III

1

-“-

-“-

1

-“-

-“-

1

3

6

cos(t)

-“-

-“-

0

-“-

-“-

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

10

I

II

III

0,5

-“-

-“-

5

50

0,5

1

-“-

-“-

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

0

-“-

-“-

15

-“-

-“-

11

I

II

III

1

-“-

-“-

1

-“-

-“-

1

3

6

cos(t)

-“-

-“-

0

-“-

-“-

0

-“-

-“-

20

-“-

-“-

12

I

II

III

1

0,1

10

1

-“-

-“-

5

-“-

-“-

–t

-“-

-“-

15

-“-

-“-

0

-“-

-“-

40

-“-

-“-


1 Як символьно обчислюються рівняння однієї змінної?

2 Як розв’язуються системи нелінійних рівнянь з

використанням блока Given ... Find(...)?



вигляді?

5 Яка функція використовується для чисельного

розв’язання диференціальних рівнянь і як це записати у

MathCad?

36


Тема „Обчислення сум та добутків рядів.

Символьні обчислення”

Мета: вивчення методів знаходження сум та добутків рядів, а

також похідних та інтегралів у системі MathCad.


варіанта.


Для обчислення сум та добутків скористаємося палітрою

«Матанализ» (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Палітра «Матанализ»

1.1 Сума та добуток ряду

Для обчислення сум рядів скористаємося значком суми із

зазначенням меж підсумовування. Система може обчислювати

також суми з нескінченними межами.

Наприклад,

1

100

n

1

n2

1.635

0

20

n

1( )n

2 n( )0.54

.

37

З прикладів видно, що система оброблює ситуації

1( )0

1 0 1 .

Позначка підсумовування лише з вказівкою індексу

використовується для роботи з матрицями і функціями, що

залежать від індексу, тобто у випадках, коли межі зміни індексу

зазначаються у вигляді змінної інтервального типу.

Наприклад:

n 1 100 y n( ) n2

2 n 1,

n

1

y n( )0.635

.

Аналогічно обчислюються добутки. За визначенням

1

n

i

ai

a1

a2

.... an

Наприклад,

1

10000

n

11( )

n 1

2 n 11.414 ,

2

10000

k

11

k2

0.5 .

1.2 Обчислення інтегралів

Визначений інтеграл – це площа криволінійної трапеції.

Інтеграл достатньо добре обчислюється, якщо підінтегральна

функція не має особливостей.

38

Точність обчислень задається системною змінною TOL, що

може бути перевизначена у меню Математика\Параметры

(Math\Options). Визначимо, наприклад, 10-8

(TOL:= 10-8

).

Обчислимо

.11.3:)(,2..1.1,1: 23 xxxfx

Тут ми виводимо результат із шістьма значущими

цифрами

2

1

.591667.0)( dxxf

1.3 Символьні обчислення

Якщо результат необхідно отримати у вигляді набору

математичних символів (тобто необхідно обчислити

невизначений інтеграл, продиференціювати функцію), то такі

обчислення у MathCad називаються символьними.

При символьних обчисленнях не треба задавати зміну

аргументу, оскільки ми прагнемо отримати результат у

символьному вигляді, а не у числовому.

Увага! У символьних обчисленнях як знак рівності

використовується знак символьної рівності →, що розміщений

на палітрі обчислень.

Суми і добутки можна обчислювати у символьному

вигляді, як-от на прикладі

1n

1

n2

1

6

2

1

10

n

1

n2

1968329

1270080

або по кінцевій границі

39

0

5

n

1( )n

z2 n

2 n( )1

1

2z2 1

24z4 1

720z6 1

40320z8 1

3628800z10

Отримаємо ряд із восьми складових, що означає про

неспроможність системи спростити вираз.

1.3 Обчислення границь

Для обчислення границь також використовується знак

символьної рівності →. Наприклад,

0x

sin x( )

xlim 1

x

11

x

x

lim exp 1( )

Можна обчислити також границі зліва та справа.

1.4 Диференціювання та обчислення інтегралів

Для обчислення похідної достатньо поставити функцію під

знак d

d. Наприклад,

),sin(:)( 2xxxf ,

.

)4cos(8)4sin(

)61000.3cos(22000.7)61000.3sin(

)24000.3cos(48000.6)24000.3sin(

)89000.2cos(78000.5)89000.2sin(

)56000.2cos(12000.556000.2sin

)25000.2cos(50000.425000.2sin

)96000.1cos(92000.396000.1sin

)69000.1cos(38000.369000.1sin

)44000.1cos(88000.244000.1sin

)21000.1cos(42000.221000.1sin

)1cos(2)1sin(

)(xfdx

d

40

Якщо перед цим визначити значення змінної, то отримаємо

числове значення:

5.0:x

x

1

1 x2

d

d.76980035891950101935

2x

f x( )d

d

2

3.0 cos .25( ) .500 sin .25( )

Для прикладу обчислимо інтеграл від функції

xsin x2

2 x2

cos x2

d x sin x2 .

Необхідно мати на увазі, що MathCad не виводить сталу

інтегрування.

Обчислимо інтеграл від більш складної функції:

xx3

2 x2

x 1

x2

x 1 x2

1

d2

33

1

2atan

1

32 x 1( ) 3

1

2 1

2ln x

21 ,

x1

a2

b2

sin x( )2

d x1

a2

b2

sin x( )2

1

2

d .

Як бачимо, такий інтеграл не можна обчислити в

аналітичному вигляді, тому повертається вихідний вираз.

Операції символьної математики можна виконати і через

меню Символы (Symbolics). Виконаємо налаштування в меню

41

Символы\Стиль обчислень (Symbolics\Evaluation Style): опцію

Горизонтально (Horizontally) лише попередньо для того, щоб

забезпечити виведення в тому самому рядку.

Диференціювання виконується через меню Символы\

Переменные\Дифференциалы (Symbolics\Variable\ Differentiate).

Попередньо необхідно виділити змінну диференціювання у

виразі, наприклад,

x

1 x2

1

1 x2

x2

1 x2

3

2

.

Таким самим чином виконується інтегрування через меню

Символы\Переменные\Интегралы (Symbolics\Variable\Integrate).

Корені рівняння можна знайти через меню

Символы\Переменные\Вычислить (Symbolics\ Variable\ Solve:

a x2

b x c

1

2 a( )b b

24 a c

1

2 a( )b b

24 a c

,

tan2

x

21

2

arccot1

22

arccot1

22

.

Можна обчислити визначник матриці через меню

Символы\ Матрицы\ Определитель (Symbolics\ Matrix\

Determinant, попередньо виділивши її зміст:

a

c

b

d a d b c.

42

Транспоновану й обернену матрицю відповідно:

a

b

c

d,

d

a d b c( )

c

a d b c( )

b

a d b c( )

a

a d b c( )

.

1.5 Комплексні числа

Комплексні числа вводяться звичайним алгебраїчним

записом, як уявна одиниця використовується символ і або j.

Примітка. Необхідно вводити 1і:

a 2 3i

b 1 4j

c a b

c 1 7i

a

b0.588 0.647i

c a b c 3 i

a b 14 5i .

Комплексне спряження вводиться символом подвійних

лапок після введення ім’я змінної:

a 2 3i

b 1 4i

ei

0.54 0.841i

1 i

sin i( ) 1.175i

43

31 1

cos i( ) 1.543

61 0.866 0.5i

або так: 61 1( )

1

6.

За умови багатозначності коренів система поверне корінь з

найменшою уявною частиною.

Функції для роботи з комплексними числами:

Re(z) – дійсна частина числа: Re(а)=2;

Im(z) – уявна частина числа: Im(а)=3;

arg(z) – аргумент (кут в комплексній площині між дійсною

віссю та z);

|z| – модуль.

2 ЗАВДАННЯ

Завдання 1






На рядок нижче введіть тему та мету заняття.

Завдання 2

Обчисліть суму ряду:

0

20

n

1( )n

2 n( )0.54

.

44

Обчисліть суму ряду:

n 1 100

y n( ) n2

2 n 1,

n

1

y n( )0.635.

Обчисліть добуток ряду:

1

10000

n

11( )

n 1

2 n 11.414

Завдання 3

Побудуйте графік функції відповідно до вашого варіанта з

таблиці 3.1 та обчисліть визначений інтеграл.


Номер

бригади


точок

Рівняння функції

1 0; 3 25 3

3 2dy y

dt t t

2 1; 3 30 2

2

21

1

dy tyt

dt t

3 –1; 5 40 3dy

ty tdt

4 1; 4 35 2

2 sintdyty te t

dt

5 1,8; 5,5 45 cos sin 2dy

y t tdt

45


Номер

бригади


точок

Рівняння функції

6 0,2; 3,7 15 22

( 1)1

tdyy e t

dt t

7 1,5; 3,1 22 32 2

dyty t

dt

8 0,4; 4,7 27 3dy y

tdt t

9 2; 8 32 2

2dy y

dt t t

10 1; 6 41 2

2 11

dy ty

dt t

11 0,8; 3,5 45 cos sin 2dy

y t tdt

12 0,2; 3,7 27 3dy y

tdt t

Завдання 4

Обчисліть границі

0x

sin x( )

xlim 1

x

11

x

x

lim exp 1( )

.

Завдання 5

1 Обчисліть невизначений інтеграл функції,

використовуючи палітру «Матанализ» та пункт головного меню

Символы\Переменные\Интегралы:

46

x

xx

2

sin2

2

;

xxy cos2sin2 2

.

2 Обчисліть похідну першого та другого порядку такої

функції:

4

2

1

3

x

x

.

Першу похідну обчисліть як за допомогою палітри

«Матанализ», так і за допомогою пункту головного меню

Символы\Переменные\ Дифференциалы.

3 Обчисліть одним із зазначених у попередніх пунктах

способом похідну та невизначений інтеграл функції відповідно

до вашого варіанта з таблиці 3.2.


Номер

бригади y(t)

Номер

бригади y(t)

1 23t 2 2

13

1

xet

3 sin cost t 4 2

2t

t

5 26t t 6 2

2 cosxy e t

7 4

2 2

1

y t

t

8 23y t

9

2

2 6

2 3t

t t

10 2

2 6

2 3t

t t

11

2

2 6

1 3

1

t

t t

12

2

2t

t

47


1 Розташування та зовнішній вигляд суми ряду з двома

границями. Визначення такої суми та її обчислення.

2 Розміщення та зовнішній вигляд суми ряду з однією

границею. Визначення такої суми та її обчислення.

3 Розміщення та зовнішній вигляд добутку ряду з однією

границею. Визначення такого добутку та його обчислення.

4 Розміщення та зовнішній вигляд добутку ряду з двома

границями. Визначення такого добутку та його обчислення.

5 Розміщення та зовнішній вигляд та обчислення

визначеного інтегралу.

6 Символічний знак рівності – вигляд, місцеположення

та призначення.

7 Розміщення та зовнішній вигляд та обчислення

границь.

8 Невизначений інтеграл – вигляд, місцеположення та

обчислення.

9 Перша похідна – розміщення, зовнішній вигляд та

обчислення.

10 Похідна п-го порядку – розміщення, зовнішній вигляд

та обчислення.

11 Символьне обчислення інтегралу функції.

12 Символьне обчислення диференціала функції.

13 Символьне обчислення коренів рівняння.

14 Символьні операції з матрицями.

15 Запис комплексного числа, уявна одиниця.

16 Дії з комплексними числами. Обчислення модуля

комплексного числа.

17 Обчислення дійсної та уявної частин комплексного

числа, аргументу комплексного числа.

18 Визначення комплексного спряження.

48


Тема „Методи розв’язання диференціальних

рівнянь та обчислення інтегралів та похідних”

Мета: закріплення способів обчислення інтегралів та похідних

та методів розв’язання диференціальних рівнянь у системі

MathCAD.


варіанта.

1 ЗАВДАННЯ

Завдання 1






На рядок нижче введіть тему та мету заняття.

Завдання 2

Обчисліть визначений інтеграл, побудуйте таблицю

значень та графік підінтегральної функції відповідно до вашого

варіанта з таблиці 4.1.

Завдання 3

Обчисліть невизначений інтеграл dxxf )( та знайдіть

часткові похідні dxdy

fd 2

, 2

2

dx

fd,

dxdz

fd 2

, 2

2

dy

fd,

2

2

dz

fd відповідно до

вашого варіанта з таблиці 4.2.

49


Номер

бригади

f(x) Номер

бригади

f(x)

1

3

1

1 dxex x

0

sin 3sin2

xdxe x

2

1

22 dxex x

1

0

2

3

dxex x

1

0

2 )1(cos dxxxx

1

0 1 xx

dx

2

0

cos 2cos xdxe x

1

0 3 xx

dx

2

0

)sin(cos dxxxx

1

0 1 xx

dx

3

1

dxxe x

1

5.0 1

)2(

x

dxx

2

1

22

dxe xx

1

0 1

)2(

x

dxx

1

0

2 )1sin( dxxx

1

0

)sin(cos dxxxx

50


Номер

бригади

f(x) Номер

бригади

f(x)

1 )32exp( zyxxyz 2 )32cos()cos( zyxxyz

3 )32cos()sin( zyxxyz 4 32 32 zyx

5 )32sin()( 22 zyxzyx 6 )32exp( 22 zyxxyz

7 )2exp( zxxy 8 )32cos()( 22 zyxzyx

9 xzxyx 322 10

yzxzxy3

11 )32exp( 22 zyxxy 12 zyx

xyz

23

13

13 z

xyxyz sin)( 3

14 )2exp( zxyz

15 z

xyexp 16 )ln( 32 xyzyx

Завдання 4

Чисельно розв’яжіть диференціальне рівняння на інтервалі

Ttt ;0 . Кількість точок – 15. Початкова умова 00 )( yty .

Завдання оберіть з таблиці 4.3 відповідно до вашого варіанта.

51


Номер

бригади

f(t,y) t0 T y0

1 2/ tty

dt

dy

1 2 0

2 ttyctgtdt

dysin2

2

12 0

3 2

)2sin(cos

tty

dt

dy 0 1 0

4 tytgtdt

dy 2cos

4

14 0.5

5 ttt

y

dt

dy2

2

2 –1 0 1,5

6 )1(1

tet

y

dt

dy t 0 1 1

7 tttydt

dysin/

2

12 1

8 ttydt

dysin/ p p+1

1

9 2

2t

t

y

dt

dy 1 2 1

10 2

2

2 1

2

1

2

t

ty

t

t

dt

dy 0 1 3

2

11 552

2y

t

t

dt

dy 2 3 4

12 te

t

tty

dt

dy 1/ 1 2 e

13 tttydt

dy/ln2/ 1 2 1

14 3/12/ tty

dt

dy 1 2 4

52

ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЮ

1 Як символьно обчислюються рівняння однієї змінної?



вигляді?

4 Яка функція найчастіше використовується для

чисельного розв’язання диференціальних рівнянь і як це

записується у MathCad?

5 Яке призначення мають символьні засоби системи

MathCad? Як забезпечується доступ до них?

6 Які необхідно виконати вимоги перед виконанням

символьних перетворень?

7 Перерахуйте основні можливості доступних

символьних перетворень у системі MathCad?

53

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Информатика. Базовый курс / С. В. Симонович и др. –

СПб.: Издательство "Питер", 2000. – 640 с.

2. Інформатика і комп'ютерна техніка (+Авторизований

доступ) [Текст] : навч. посіб. / за ред. М. Є. Рогози. – К. :

Академія, 2006. – 368 с.

3. Інформатика. Комп'ютерна техніка. Комп'ютерні

технології [Текст] : підручник. – 2-е вид. – К. : Каравела, 2008. –

640 с.

Навчальне видання

Методичні вказівки

до лабораторних робіт

з дисциплін «Інформатика», «Обчислювальна техніка»,

«Основи інформаційних технологій та програмування»

для студентів напрямів підготовки

«Інженерна механіка», «Енергетика»,

«Інженерне матеріалознавство»

денної форми навчання

Модуль 5

Відповідальний за випуск О. В. Бондар

Редактор Н. З. Клочко

Комп’ютерне верстання А. В. Марченко

Підписано до друку 23.11.2012, поз.

Формат 60х84/16. Ум. друк. арк. 2,56. Обл.-вид.арк. 1,56. Тираж 50 пр. Зам.№

Собівартість видання грн к.

Видавець і виготовлювач

Сумський державний університет, вул. Римського-Корсакова, 2, м. Суми, 40007

Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3062 від 17.12.2007.

3393 Методичні вказівкиlib.sumdu.edu.ua/library/docs/rio/2012/m3393.pdf ·...

Documents

Transcript of 3393 Методичні вказівкиlib.sumdu.edu.ua/library/docs/rio/2012/m3393.pdf ·...