8/14/2019 3 Trigonometrie C

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Le sinus, le cosinus et latangente dun anglenont pas dunit.

T RIGONOMETRIE Emilien Suquet, suquet@automaths.com

I Cosinus, Sinus et Tangente d'un angle aigu

Dans un triangle ABC rectangle en A, on dfinit le sinus, le cosinus et la tangente de langle aiguABC de la manire suivante :

sin ABC = cot oppos ABC

hypotnuse =ACBC

cos ABC = cot adjacent ABChypotnuse =

ABBC

tan ABC = cot oppos ABC

cot adjacent ABC =ACAB

Remarques :

On peut prouver lexistence du sinus et de la tangente de la mme faon quen quatrime. Onavait alors utilis le thorme de Thals pour montrer lexistence du cosinus.

On a aussi avec langle ACB : cos ACB =ACBC ; sin ACB =

ABBC ; tan ACB =

ABAC

Il nest pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux de trouverdes moyens mnmotechniques pour les retenir. En voil un :

CASH : Cosinus = Adjacent Sur H ypotnuseA vous den trouver dautres

Le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont strictement plusgrands que 0 et strictement plus petits que 1.

Lorsque lon connat le sinus dun angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche[sin-1] ou [Asn] de votre machine.

Exemple : si sin ABC = 0,8 et ABC est un angle aigu alors ABC = 53,13 degrs 0,01 prs.

Lorsque lon connat le cosinus dun angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche[cos-1] ou [Acs] de votre machine.

Exemple : si cos ABC = 0,5 et ABC est un angle aigu alors ABC = 60 degrs.

Lorsque lon connat la tangente dun angle on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant la touche[tan-1] ou [Atn] de votre machine.

Exemple : si tan ABC = 0,2 et ABC est un angle aigu alors ABC = 11,30 degrs 0,01 prs.

Conseil : refaites vous-mme les calculs des exemples ci-dessus.

C

BA

Hypotnuse

Ct adjacent ABC

Ct oppos ABC

Faites attention bienmettre votre machine en

mode degr.

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II Relations trigonomtriques

Pour toutes valeurs de x on a : cos 2 x + sin 2 x = 1 et tan x =sin xcos x

Dmonstration dans le cas ou x est une valeur strictement comprise entre 0 et 90 degrs :

Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que ABC = x

On a alors : cos x =ABBC , sin

x =ACBC et tan

x =ACBC

cos2x + sin 2x =

AB

BC

2

+

AC

BC

2

= AB2

BC2 +AC2BC2 =

AB2 + AC 2BC2

On sait que le triangle ABC est rectangle en A

Daprs le thorme de Pythagore,

On a AB 2 + AC2 = BC2

Do cos 2x + sin 2x =BC2BC2 = 1

sin xcos x =

ACBCABBC

= ACBC BCAB =

ACAB = tan

x

III Exercices types comments

Enonc 1 : dtermination dune distance

DEF est un triangle rectangle en D tel que DEF = 30

et DF = 5.Quelle est la mesure de EF ?

DEF est un triangle rectangle en D

sin DEF =DEDF

sin 30 =DE5

DE = 5 sin 30

DE = 2,5

?5

D E

F

30

BA

C

x

Il est fortement conseill de faire une figuremme si cela nest pas demand dans lnonc.Cela vous vitera bien des erreurs dtourderie.

Cette prcision est indispensable car la formule que vousallez utiliser ne marche que dans des triangles rectangles.

Ecrivez dabord la formule en toutes lettres.

Noubliez pas dencadrer ou souligner le rsultat.

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Dans lnonc, on ne demande pas de valeurapproche, il faut donc donner la valeur exacte.

Noubliez pas de rappeler la rgle

On peut arrter ici si on veut.

Enonc 2 : dtermination dun angleABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7.

Dterminez la mesure de langle ABC 0,01 prs.

ABC est un triangle rectangle en A.

tan ABC =ACAB

tan ABC =7

5

do ABC = 50,19 degrs 0,01 prs

Enonc 3 : utilisation des formules de trigonomtrieSoit x la mesure dun angle aigu tel que cos x = 0,41) Calculer la valeur exacte de sin x 2) En dduire la valeur exacte de tan x

1) On a sin 2 x + cos 2 x = 1Do sin 2 x + 0,4 2 = 1

sin 2 x + 0,16 = 1sin 2 x = 0,84

sin x = - 0,84 ou sin x = 0,84or le sinus dun angle aigu est compris entre 0 et 1

donc sin x = 0,84

2) On a tan x =sin x cos x

tan x =0,840,4

tan x =84

100 1

0,4

tan x =2 21

10

1

0,4 =

21

2

Rappelez vous que si X 2 = a alorsX = a ou X = - a

7

5A

B

C

?

On trouve la valeur de langle en utilisantla touche [Atn] ou [tan-1] de la calculatrice

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Enonc 4 : attention aux approximations

On donne la figure ci-contre qui nest pas lchelle.

1) Calculer HA au millimtre prs.

2) Calculer la mesure de langle ABH 0,01 prs.

1)

AHC est un triangle rectangle en HDaprs le thorme de PythagoreOn a AC 2 = HA 2 + HC 2 Do 6 2 = HA 2 + 4 2

36 = HA 2 + 16HA 2 = 20

HA = 20HA 4,5 au mm prs

2)

ABH est un triangle rectangle en H

Donc tan ABH =AHBH

tan ABH =202

ABH 65,91 degr 0,1 prs

HB

C

A

4

6

2

Il faut absolument prendre la valeur exacte de AH mme si on a demandla valeur approche dans la question prcdente. Il faut toujours viter, si

cela est possible, de faire des calculs avec des approximations

On utilise ici la calculatrice et sa touche [Atn] ou [tan-1].

Si nous navions pas garder 20 mais pris lavaleur approche 4,5 nous aurions trouv 66,04