Further mathematics HL guide · Mathematics HL Further mathematics HL
3 – SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX Spring Break:...
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HL MATH – Monday, 5/4/15 Spring Break: Paper 1, problems 2, 3, 7 (no calculator)
SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX– 3 –
turn over
2. [Maximum mark: 7]
� &RQVLGHU�WKH�HTXDWLRQ� 3 29 45 74 40 0x x x� � � .
� �D�� :ULWH�GRZQ�WKH�QXPHULFDO�YDOXH�RI�WKH�VXP�DQG�RI�WKH�SURGXFW�RI�WKH�URRWV�RI� WKLV�HTXDWLRQ� [1 mark]
� �E�� 7KH�URRWV�RI�WKLV�HTXDWLRQ�DUH�WKUHH�FRQVHFXWLYH�WHUPV�RI�DQ�DULWKPHWLF�VHTXHQFH���7DNLQJ�WKH�URRWV�WR�EH� ,D D E± ��VROYH�WKH�HTXDWLRQ� [6 marks]
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SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX– 4 –
3. [Maximum mark: 6]
� $�EDJ�FRQWDLQV�WKUHH�EDOOV�QXPEHUHG������DQG���UHVSHFWLYHO\���%LOO�VHOHFWV�RQH�RI�WKHVH�EDOOV� DW� UDQGRP�DQG�KH�QRWHV� WKH�QXPEHU�RQ� WKH� VHOHFWHG�EDOO�� �+H� WKHQ� WRVVHV� WKDW�QXPEHU�RI�IDLU�FRLQV�
� �D�� &DOFXODWH�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�QR�KHDG�LV�REWDLQHG� [3 marks]
� �E�� *LYHQ�WKDW�QR�KHDG�LV�REWDLQHG��¿QG�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�KH�WRVVHG�WZR�FRLQV� [3 marks]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX– 8 –
7. [Maximum mark: 8]
� &RQVLGHU�WKH�IROORZLQJ�V\VWHP�RI�HTXDWLRQV�
12 3 3
3
x y zx y zx y z O
+ + =+ + =� �
ZKHUH�O�! .
� �D�� 6KRZ�WKDW�WKLV�V\VWHP�GRHV�QRW�KDYH�D�XQLTXH�VROXWLRQ�IRU�DQ\�YDOXH�RI�O . [4 marks]
� �E�� �L�� 'HWHUPLQH�WKH�YDOXH�RI�O �IRU�ZKLFK�WKH�V\VWHP�LV�FRQVLVWHQW�
� � �LL�� )RU�WKLV�YDOXH�RI�O ��¿QG�WKH�JHQHUDO�VROXWLRQ�RI�WKH�V\VWHP� [4 marks]
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HL MATH – Monday, 5/4/15 Spring Break: Paper 2, problems 6 (with calculator)
SPEC/5/MATHL/HP2/ENG/TZ0/XX– 8 –
6. [Maximum mark: 6]
7KH�IXQFWLRQ��f is of the form ( ) ,x a cf x xbx c b+
z �+
���*LYHQ�WKDW�WKH�JUDSK�RI��f has
DV\PSWRWHV� 4x � and 2y � ��DQG�WKDW�WKH�SRLQW� 2 , 13
§ ·¨ ¸© ¹
�OLHV�RQ�WKH�JUDSK��¿QG�WKH�
YDOXHV�RI��a , b and c .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SPEC/5/MATHL/HP2/ENG/TZ0/XX– 9 –
turn over
7. [Maximum mark: 9]
� $�VKLS��6��LV����NP�QRUWK�RI�D�PRWRUERDW��0��DW������SP���7KH�VKLS�LV�WUDYHOOLQJ�QRUWKHDVW�with a constant velocity of 1�� NPKU� ���7KH�PRWRUERDW�ZLVKHV�WR�LQWHUFHSW�WKH�VKLS�DQG�it moves with a constant velocity of 1�� NPKU� in a direction T �GHJUHHV�HDVW�RI�QRUWK���,Q�RUGHU�IRU�WKH�LQWHUFHSWLRQ�WR�WDNH�SODFH��GHWHUPLQH
� �D�� WKH�YDOXH�RI�T � [4 marks]
� �E�� WKH�WLPH�DW�ZKLFK�WKH�LQWHUFHSWLRQ�RFFXUV��FRUUHFW�WR�WKH�QHDUHVW�PLQXWH� [5 marks]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SPEC/5/MATHL/HP2/ENG/TZ0/XX– 13 –
turn over
Do NOT write solutions on this page.
11. [Maximum mark: 13]
� $� EDQN� RIIHUV� ORDQV� RI� $P � DW� WKH� EHJLQQLQJ� RI� D� SDUWLFXODU� PRQWK� DW� D� PRQWKO\�interest rate of I��� �7KH�LQWHUHVW� LV�FDOFXODWHG�DW� WKH�HQG�RI�HDFK�PRQWK�DQG�DGGHG�WR�WKH�DPRXQW�RXWVWDQGLQJ�� �$�UHSD\PHQW�RI� $R � LV�UHTXLUHG�DW� WKH�HQG�RI�HDFK�PRQWK���Let $ nS �GHQRWH�WKH�DPRXQW�RXWVWDQGLQJ�LPPHGLDWHO\�DIWHU�WKH� thn �PRQWKO\�UHSD\PHQW�
� �D�� �L�� )LQG�DQ�H[SUHVVLRQ�IRU� 1S and show that
2
2 1 1 1100 100
I IS P R § ·§ · § · � � � �¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹ © ¹© ¹.
� � �LL�� 'HWHUPLQH�D�VLPLODU�H[SUHVVLRQ�IRU� nS . Hence show that
1001 1 1
100 100
n n
nI R IS P
I§ ·§ · § · � � � �¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹ © ¹© ¹
. [7 marks]
� �E�� 6XH�ERUURZV�������DW�D�PRQWKO\�LQWHUHVW�UDWH�RI�����DQG�SODQV�WR�UHSD\�WKH�ORDQ�in 5 years (i.e. 60 months).
� � �L�� &DOFXODWH�WKH�UHTXLUHG�PRQWKO\�UHSD\PHQW��JLYLQJ�\RXU�DQVZHU�FRUUHFW�WR�WZR�GHFLPDO�SODFHV�
� � �LL�� $IWHU����PRQWKV��VKH�LQKHULWV�VRPH�PRQH\�DQG�VKH�GHFLGHV�WR�UHSD\�WKH�ORDQ�FRPSOHWHO\�DW� WKDW� WLPH�� �+RZ�PXFK�ZLOO�VKH�KDYH�WR�UHSD\��JLYLQJ�\RXU�DQVZHU�FRUUHFW�WR�WKH�QHDUHVW��" [6 marks]
HL MATH – Monday, 5/4/15 Solutions
– 5 – SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX/M
SECTION A
1. (a) 8sin3
! ! A1
[1 mark]
(b) 2 8 2 8tan 21 8 7
!
!
" " #
#
4 27
$ %
#
& !
& !
" #
M1A1
[2 marks]
(c) 2
11 23cos2 2 3!
$
$ %
" "
& !
" #
M1A1
6cos2 3!
$ %
"
& !
" #
A1
[3 marks]
Total [6 marks]
2. (a) sum 459
" , product 409
" A1
[1 mark]
(b) it follows that 4539
! " and 2 2 40( )9
! ! "# " A1A1
solving, 53
! " A1
25 25 403 9 9
"
$ %
# "
& !
" #
M1
1( )3
" " % A1
the other two roots are 42,3
A1
[6 marks]
Total [7 marks]
HL MATH – Monday, 5/4/15
– 6 – SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX/M
3. (a) P (no heads from coins tossed) 0.5nn ! (A1)
1 1 1 1 1 1P(no head)3 2 3 4 3 8
! " # " # " M1
724
! A1
[3 marks]
(b) P (2 coins and no heads)P (2 | no heads)P (no heads)
! M1
112724
! A1
27
! A1
[3 marks]
Total [6 marks]
4. (a) 1 3
0E ( ) 12 (1 )dX x x x! $
%
M1
14 5
0
124 5x x& '
! $
( )
* +
A1
35
! A1
[3 marks] (b) 2( ) 12(2 3 )f x x x!
! $ A1 at the mode 2( ) 12(2 3 ) 0f x x x!
! $ ! M1
therefore the mode 23
! A1
[3 marks]
Total [6 marks] 5. (a) ( ) 2cos( ) ( )sin ( )f x x x x$ ! $ # $ $ M1 2cos sinx x x! #
" #( )f x! A1
therefore f is even A1 [3 marks] (b) ( ) 2sin sin cosf x x x x x!
! $ # # ( sin cos )x x x! $ # A1 ( ) cos cos sinf x x x x x!!
! $ # $ ( sin )x x! $ A1 so (0) 0f !! ! AG [2 marks]
continued !!
HL MATH – Monday, 5/4/15
– 7 – SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX/M
Question 5 continued (c) John’s statement is incorrect because either; there is a stationary point at (0, 2) and since f is an even function
and therefore symmetrical about the y-axis it must be a maximum or a minimum
or; ( )f x!! is even and therefore has the same sign either side of (0, 2) R2 [2 marks]
Total [7 marks]
6. (a) 2 3BC 12 81 2 2 3 9 1472
" # # $ $ $ " M1A1
BC 7 3" A1 [3 marks]
(b) area of triangle 1 1 9 3ABC 9 2 32 2 2
% &
" $ $ $ "
' (
' (
) *
M1A1
therefore 1 9 3AD 7 32 2$ $ " M1
9AD7
" A1
[4 marks]
Total [7 marks] 7. (a) using row operations, M1 to obtain 2 equations in the same 2 variables A1A1 for example 1y z+ " 2 2 1y z !+ " + the fact that one of the left hand sides is a multiple of the other left hand side indicates that the equations do not have a unique solution, or equivalent R1AG [4 marks] (b) (i) 3! " A1 (ii) put z "" M1 then 1y "" # A1 and 2x "" + or equivalent A1 [4 marks]
Total [8 marks]
– 6 – SPEC/5/MATHL/HP2/ENG/TZ0/XX/M
5. (a) (i) displacement 3
0dv t!
"
(M1)
0.703 (m)! A1
(ii) total distance 3
0dv t!
"
(M1)
2.05 (m)! A1 [4 marks]
(b) solving the equation 2
0cos( ) d 1
tu u !
"
(M1)
1.39 (s)t ! A1 [2 marks] Total [6 marks] 6. vertical asymptote 4 4 0x b c! # $ # % ! M1
horizontal asymptote 12 2yb
! # $ ! # M1
12
b ! # and 2c ! # A1A1
231 1 2 2
2 3
a%!
# & #
M1
3a ! # A1 [6 marks]
HL MATH – Monday, 5/4/15
– 7 – SPEC/5/MATHL/HP2/ENG/TZ0/XX/M
7.
(a) let the interception occur at the point P, t hrs after 12:00 then, SP 20t! and MP 30t! A1 using the sine rule,
SP 2 sinMP 3 sin135
!
! ! M1A1
whence 28.1! ! A1 [4 marks] (b) using the sine rule again,
MP sin135MS sin (45 28.1255...)
!
"
M1A1
sin13530 10sin16.8745...
t ! # M1
0.81199...t ! A1 the interception occurs at 12:49 A1 [5 marks] Total [9 marks]
HL MATH – Monday, 5/4/15
– 10 – SPEC/5/MATHL/HP2/ENG/TZ0/XX/M
11. (a) (i) 1 1100IS P R! "
# $ %
& !
" #
A1
2
2 1 1100 100I IS P R R! " ! "
# $ % $ %
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" # " #
M1A1
2
1 1 1100 100I IP R! "
! " ! "
# $ % $ $
& !& ! & !
" # " #" #
AG
(ii) extending this,
1
1 1 1 ... 1100 100 100
n n
nI I IS P R
! "
! " ! " ! "
# $ % $ $ $ $ $& !
& ! & ! & !
& !
" # " # " #
" #
M1A1
1 1
1001
100100
n
n
IRIP I
! "
! "
$ %
& !
& !
& !
" #
! "
" #
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" #
M1A1
1001 1 1100 100
n nI R I= PI
! "
! " ! "
$ % $ %& !
& ! & !
& !
" # " #
" #
AG
[7 marks] (b) (i) putting 60 0, 5000, 1S P I# # # M1 60 605000 1.01 100 (1.01 1)R$ # % A1 ($)111.22R # A1 (ii) putting 20, 5000, 1, 111.22n P I R# # # # M1 20 20
20 5000 1.01 100 111.22(1.01 1)S # $ % $ % A1 ($)3652# A1 which is the outstanding amount [6 marks] Total [13 marks]
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