3. Метод конечных разностей

1. Основные понятия

( ) ( ), ,

( ) ( ), ,

L u x f x x D

l u x x x

(1)

(2)

где L - линейный дифференциальный оператор, l – оператор

дополнительных (начальных, граничных) условий, .D D

Рассмотрим задачу:

заменяем на - дискретное множество узлов – сетка,

заменяем на - сеточные функции (зависят от

параметра h), ..

D h

( ) ,u x x D ( )h ny x

n hx

. Пространство H0 отображается на

пространство Hh:

0( ) , ( )h n hu x H y x H

0( ) ~ ( ) ( ), ,h h h hu x H u x Р u x u H

где Ph - линейный оператор из H0 в Нh.

На линейном пространстве Нh вводятся сеточные нормы -

аналоги норм в пространстве H0.

h hy

Условие согласования норм:

00lim h hh

u u

, где - норма в пространстве H0. 0

,h hu Р u u

Пусть

где - множество внутренних узлов, γh – множество

граничных узлов.

( ) ( ), , ( ) ( ), ,h h h h h hx P f x x x P x x ,h h h h

( ) ( ) ( ) ( ).m

hx L u x Lu x O h (3)

Перейдем от дифференциальных операторов к разностным:

( ) ( ), ,

( ) ( ), .

h h h h

h h h h

L y x x x

l y x x x

(4)

, .h hL L l l

Задаче (1) – (2) ставится в соответствие система алгебраических

(разностных) уравнений

(5)

Будем говорить, что Lh аппроксимирует L с порядком m>0 в точке x,

если

Семейство уравнений (4), (5), зависящих от параметра h, называется

разностной схемой.

( ) , ,

( ) , ,

h h h h

h h h h

L z x x

l z x x

(6)

Пусть zh=yh-uh, где uh=Phu. Так как Lh и lh -

линейные операторы, то получаем задачу:

(7)

где и νh - погрешности аппроксимации на

решении u(x) разностной схемой уравнения (1) и

дополнительного условия (2). Схема (4)- (5):

h

1) аппроксимирует задачу(1)-(2) и имеет m-й

порядок аппроксимации, если

2 3( ), ( );

m m

h hh hO h O h (8)

2) сходится и имеет m – й порядок точности, если

(1 )( ).

m

h h hy u O h (9)

Схема (4)-(5) корректна (разностная задача

поставлена корректно), если при всех достаточно

малых : 0h h

1) разностная задача однозначно разрешима при

любых входных данных ; 2) решение равномерно по h непрерывно зависит

от входных данных (свойство устойчивости).

,h h

hy

Если Lh и lh - линейные операторы, то при 0h h

1 2(1 ) (2 ) (3 ),h h hh h h

y M M (10)

где - постоянные, не зависящие от h и

выбора входных данных .

1 20, 0M M

,h h

Если схема (4)-(5) устойчива, а zh – решение задачи

(6)-(7),

то (10) =>

1 2(1 ) (1 ) (2 ) (3 )h h h h hh h h hy u z M M (11)

Из равенства (11) следует утверждение:

Если линейная схема (4)-(5) устойчива и

аппроксимирует задачу (1)-(2) , то она сходится (из

устойчивости и аппроксимации линейной схемы

следует ее сходимость).

Порядок точности схемы (4)-(5) определяется

порядком аппроксимации.

2. Разностная задача для уравнения

теплопроводности на отрезке 2

2

0

0 1

( , ), 0 1, 0 ,

( ,0) ( ), 0 1,

(0, ) , (1, ) , 0 .

u uf x t x t T

t x

u x u x x

u t u t t T

(12)

(13)

Разностная аппроксимация оператора 2

2.

u uLu

t x

Введем равномерные сетки :

; 0,1,..., ; 1 ,

; 0,1,..., ; ,

( , ) ,

0 1 ; 0 .

h n

s

h h n s

x nh n N hN

t s s S S T

x t D

D x t T

(14)

Назовем шаблоном

множество узлов, на котором

записывается оператор

(0)

2

( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )h

w x t w x t w x h t w x t w x h tL w

h

(15)

(x,t+τ)

(x-h,t) (x,t) (x+h,t)

ˆ( , ), ( , )w w x t w w x t

ˆt

w ww

(16)

2

( , ) 2 ( , ) ( , )xx

w x h t w x t w x h tw

h

(0)

h t xxL w w w

1( ( ) ( ))

1( ( ) ( ))

1( )

x

x

xx x x

v v x v x hh

v v x h v xh

v v vh

(17)

(x,t)

(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)

(x-h,t) (x,t) (x+h,t)

(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)

(1) ˆh t xxL w w w (18)

( ) ˆ( (1 ) )h t xx xxL w w w w

(19)

22

2

2 2 44

2 4

( , ) ( , ) ( )2

( , ) ( , ) ( )12

t

xx

w ww x t x t O

t x

w h ww x t x t O h

x x

(20)

2 2

3

2, , ,

2!

w ww x t w x t x t O

t t

22

2

, ,ˆ, ,

2t

w x t w x tw w w ww x t x t O

t t

2 2 3 3

2 3, , , , ,

2! 3!

w h w h ww x h t w x t h x t x t x t

x x x

4 4 5 5 6 6

7

4 5 6, , ,

4! 5! 6!

h w h w h wx t x t x t O h

x x x

, , , ,1x xxx

w x h t w x t w x t w x h tw ww

h h h h

2 2 4

4

2 4, ,

12

w h wx t x t O h

x x

Подставляя (20) в (17), (18), получим

(0) (0) 2( , ) ( )hL w Lw x t O h

(21)

(1) (1) 2( , ) ( )hL w Lw x t O h

(22)

При σ=0,5 («симметричная схема») получаем

(0,5) (0,5) 2 2( , ) ( ),2

hL w Lw x t O h

(23)

где ψ - погрешность аппроксимации оператора L

соответствующим разностным оператором Lhτ.

Добавляя к разностному уравнению разностные

начальные и граничные условия (13), (14), получим

разностную начально – краевую задачу (схему):

( )

0

0 1

ˆ( (1 ) ) , ( , ) ,

( ,0) ( ), ,

(0, ) , (1, ) , ,

h t xx xx n s h

n h

s

L y y y y x t

y x u x x x

y t y t t t

(24)

(25)

(26)

где . ( , )s

n n sx t

Схема (24)-(26) аппроксимирует задачу (12)-(14) с

порядком при и при

.

2( )O h 0, 1 2 2( )O h

0,5

Схема называется явной, если σ=0.

При σ≠0 схема называется неявной (при σ=1 – чисто

неявной).

2 2 3 3

4

2 3

1 1, , , ,

2 2 2 2! 4 2 3! 8 2

w w ww w x t x t x t x t O

t t t

2 2 3 3

4

2 3

1 1ˆ , , , ,

2 2 2 2! 4 2 3! 8 2

w w ww w x t x t x t x t O

t t t

2 2

0.5 3

2

1

2

1ˆ , ,

2 3! 4 2h t xx xx

w wL w w w w x t x t O

t t

2 2 4 2 2 4

4

2 4 2 4

1

2

, , , ,12 12

w h w w h wx t x t x t x t O h

x x x x

2 2 3

2 2

2 2

1

2 2 2! 8 2

w w wx x x O h t

t x x t

2

2 2 2 2

2, , ,

2 2 2

w wx t x t O h Lw x t O h

t x

Явная схема (σ=0):

1

1 12( 2 )s s s s s s

n n n n n ny y y y yh

(27)

1,2,..., 1; 0,1,..., .n N s M

Чисто неявная схема (σ=1):

1 1 1

1 12 2 2

1 2 1 1 1( ) ( )s s s s s

n n n n ny y y yh h h

(28)

1,2,..., 1; 0,1,..., .n N s M

Теорема

Для устойчивости разностной схемы (24)-(26)

достаточно, чтобы существовали такие не зависящие

от h и τ постоянные и , при которых

имеет место оценка 1 0C

Доказательство:

1 1

1 2 1 1 2 2

2 1 1 0

1 2 1 1 2

1

1 1 1 0 2 1

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) 1 (1 ) ... (1 ) 1

(1 ) ... (1 ) (1 ) ( 1)(1 ) , ,

s s s

s s

s m m

y C y C C C y C C

C y C C C y C

C C C u C m C s m

2 0C

1

1 2(1 )s sy C y C (29)

Замечание. В (29) введены нормы:

равномерная (чебышевская): ,

max s

nn s

y y (30)

на s-м слое: maxs s

nn

y y(31)

(32)

Так как

1 1

1 1(1 ) (1 )C M C Tm MC C e e (33)

при , то полагая m M 1

1 2 2 1,C T

M e M C TM

1 0 2 .y M u M (34)

Рассмотрим устойчивость чисто неявной схемы

(σ=1) (28) => 1 1 1 1

1 1 22 ,s s s s s s

n n n n n ny y y y yh

(35)

0

1 1 1maxs s s

k n nn

y y y (36)

0 0 0

1 1 1

1 12 0s s s

k k ky y y

(37)

0 0 0

1s s s

k k ky y (38)

0

1 1 1mins s s

n nn

y y y (39)

0 0 0

1 1 1

1 12 0s s sy y y

(40)

0 0 0

1s s sy y (41)

(38), (41) =>

0 0 0 0 0 0

1 1 1s s s s s s s

n k k ky y y y y (42)

(42) => 1s s

ny y (43)

(43) => 1s sy y (44)

Рассмотрим устойчивость явной схемы (σ=0)

(27) => 1

1 1(1 2 )s s s s s

n n n n ny y y y

(45)

1

1 1(1 2 )

(1 2 )

s s s s s

n n n n n

s s

y y y y

y y

(46)

Пусть . Тогда и получим 1

2 1 2 0

(46) =>

1s sy y (47)

1

1 1

1

(1 2 )

( 1) (1 2 ) ( 1) (4 1)

s s s s

n n n n

n n

y y y y

(48)

Пусть - ошибка на s-м слое. ( 1) , 0s n

ny

1(4 1) , 4 1 1

2

s k k

ny

ошибка неограниченно возрастает, причем с

уменьшением шага сетки ошибка нарастает

(увеличивается число шагов).

Выводы. Чисто неявная схема является безусловно

устойчивой. Явная схема является условно

устойчивой при выполнении условия или

(условие Куранта).

1

2

(49) 2

2

h

3. Метод прогонки

1, 2, ..., 11 1

0 1 1 1 2 1 2

,

æ , æ

n Nn n n n n n n

N N

A y C y B y F

y y y y

(50)

(51)

1, 2, ..., 1.0, 0, n Nn nA B

0, 1, 2, ..., 1.1 1 1, n Nn n n ny y (52)

(52) =>

1 1 1 1n n n n n n n n n ny y y (53)

(50),(52),(53) =>

1 1

1

( ( ) )

( ( ) ) 0

n n n n n n

n n n n n n n

A C B y

A C A F

(54)

(54) =>

1

1, 2, ..., 11

nn

n n n

n n nn Nn

n n n

B

C A

A F

C A

(55) Прямой ход:

(51),(52) n=0 =>

1 1 1 1æ , (56)

(51),(52) n=N-1 =>

2 2

2

æ

1- æ

NN

N

y

(57)

Обратный ход:

1, 2, ..., 01 1 1, n N Nn n n ny y (58)

Достаточные условия устойчивости:

1, 2, ..., 1,

1 2

,

æ 1, 1,2, æ æ 2

n Nn n nC A B

(59)

Число арифметических операций прогонки . ( )O N

Покажем, что (59)=> 1, 2, ...,1, i Ni

Индукция: а) ; б) . 1 1æ 1 11 1i i

(59)=> (1 ) 0i i i i i i i i i iC A B C A B A (59а)

, (59а)=> 0i i iC A 0iB

(59а)=> i i i iC A B 1 1.i

i

i i i

B

C A

Покажем, что 11 1i i

Если , то ,(59а) => 1 1 0iA

Покажем, что (59)=> 21 æ 0.n

2 2 21 æ 1 æ 1 æ 0.N N

2 1 1æ 1 æ 1 1 1N

1 1.i i i i iC A B

а)

2 21 æ 1 æ 1 0.N N N

2 1 1æ 1 æ 1 1 1N б)

При ошибка не нарастает: 1 1 1i i iy y y 1i

1 1 1 1 1 1 1 1,i i i i i i i i i i iy y y y y y

1 1 1i i i iy y y

Если возмущаются, то ,

где - ошибка округления.

2

01max i

i Ny N

1 1,i i

0