1

3.- Geometra descriptiva

La geometra descriptiva es un conjunto de tcnicas geomtricas que permite representar el espacio

tridimensional sobre una superficie bidimensional. Por tanto, mediante lectura adecuada posibilita resolver

problemas espaciales en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso.

En la poca actual se reconocen dos modelos, en los cuales se les considera: 1) lenguaje de representacin y

de sus aplicaciones; 2) tratado de geometra. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado

relacionado con el de la Geometra proyectiva.

La geometra (del latn geometra, que proviene del idioma griego , geo tierra y metria medida), es una

rama de la matemtica que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio,

incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies,

polgonos, poliedros, etc.).

Se llama geometra proyectiva a la rama de la matemtica que estudia las propiedades de incidencia de las figuras

geomtricas, pero abstrayndose totalmente del concepto de medida. A menudo se usa esta palabra tambin para

hablar de la teora de la proyeccin llamada geometra descriptiva.

Dibujo en perspectiva. La luz pasa a partir de la mirada del espectador a un objeto. En caso de que la luz llega al

plano de la imagen, el objeto se dibuja. La perspectiva trata de emular esto.

Desde la antigedad, como lo demuestran dibujos encontrados en cuevas prehistricas, el hombre ha sentido

siempre necesidad de representar grficamente su entorno, pero no es sino hasta el Renacimiento cuando se

intenta ilustrar la profundidad.

Los nuevos imperativos de representacin del arte y de la tcnica impulsan a ciertos humanistas a estudiar

propiedades geomtricas para obtener nuevos mtodos que les permitan proyectar fielmente la realidad. Aqu se

enmarcan figuras como Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della

Francesca y muchos ms.

Al descubrir la perspectiva y la seccin, todos ellos crean la necesidad de implantar las bases formales en las que

se asiente la nueva modalidad de Geometra que sta implica: la Geometra proyectiva, cuyos principios

fundamentales aparecen de la mano de Grard Desargues en el siglo XVII. A esta nueva geometra tambin la

estudiaron Blaise Pascal y Philippe de la Hire, pero debido al gran inters suscitado por la Geometra cartesiana

(Geometra analtica) y sus mtodos, no alcanz tanta difusin.

El posterior desarrollo de la tcnica requiri aplicar las teoras matemticas a la prctica, proceso que culmin en

1795 con la publicacin de la obra de Gaspard Monge Geometra descriptiva.

Formas geomtricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Politopohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Poliedrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptivahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drawing_Square_in_Perspective_2.gifhttp://es.wikipedia.org/wiki/Medio_ambientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Renacimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Profundidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Necesidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Humanistahttp://es.wikipedia.org/wiki/Luca_Paciolihttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vincihttp://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leone_Battista_Albertihttp://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francescahttp://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francescahttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9rard_Desargueshttp://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Philippe_de_la_Hirehttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

2

Clasificacin de las formas geomtricas elementales

Formas geomtricas planas:

Recta

En geometra euclidiana, la recta o la lnea recta, se extiende en una misma direccin, existe en una sola

dimensin y contiene infinitos puntos; est compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lnea ms corto que

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea

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une dos puntos). Tambin se describe como la sucesin continua e indefinida de puntos en una sola dimensin, o

sea, no posee principio ni fin.

Polgono

En geometra, un polgono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos

consecutivos que cierran una regin en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se

intersectan se llaman vrtices. El interior del polgono es llamado a veces su cuerpo. El polgono es el caso

bidimensional del politopo, figura geomtrica general definida para cualquier nmero de dimensiones. A su vez, un

politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polcoro.

La palabra polgono deriva del griego antiguo (polgonos), a su vez formado por (pol) muchos

y (gna) ngulo.1 2 3 Aunque hoy en da los polgonos son usualmente entendidos por el nmero de sus

lados.

Elementos de un polgono

Hexgono regular.

En un polgono se pueden distinguir los siguientes elementos geomtricos:

Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polgono.

Vrtice (V): es el punto de interseccin (punto de unin) de dos lados consecutivos.

Diagonal (d): es el segmento que une dos vrtices no continuos.

Permetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polgono.

Semipermetro (SP): es la mitad permetro.

ngulo interior (AI): es el ngulo formado internamente por dos lados consecutivos.

ngulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongacin de un lado consecutivo.

En un polgono regular se puede distinguir, adems:

Centro (C): es el punto equidistante de todos los vrtices y lados.

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ngulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un

lado.

Apotema (a): es el segmento que une el centro del polgono con el centro de un lado; es perpendicular a

dicho lado.

Diagonales totales, , en un polgono de lados.

Clasificacin

Los polgonos se clasifican por el nmero de sus lados segn la tabla adjunta, o bien por la forma de su contorno.

Clasificacin de polgonos

segn el nmero de lados

Nombre n lados

trgono, tringulo 3

tetrgono, cuadrngulo, cuadriltero 4

pentgono 5

hexgono 6

heptgono 7

octgono u octgono 8

enegono o nongono 9

decgono 10

endecgono o undecgono 11

dodecgono 12

tridecgono 13

tetradecgono 14

pentadecgono 15

hexadecgono 16

heptadecgono 17

octodecgono 18

eneadecgono 19

isodecgono, icosgono 20

http://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tetr%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadr%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1terohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hex%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hept%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%B3gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ene%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Non%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Endec%C3%A1gonohttp://lema.rae.es/drae/?val=undec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dodec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tridec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tetradec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pentadec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hexadec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Heptadec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Octodec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Eneadec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Isodec%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Icos%C3%A1gono

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GENERALIDADES SOBRE RECTAS Y CURVAS GEOMETRICAS

La recta, o linea recta, en geometra, es el ente ideal que slo posee una dimensin y contiene infinitos

puntos; est compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lnea ms corto que une dos puntos);

tambin se describe como la sucesin continua e indefinida de puntos en una sola dimensin.

Es uno de los entes geomtricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos

apriorsticos ya que su definicin slo es posible a partir de la descripcin de las caractersticas de otros

elementos similares. As, es posible elaborar definiciones basndose en los Postulados caractersticos que

determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra

minscula.

Caractersticas de la recta

Algunas de las caractersticas de la recta son las siguientes:

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.

La distancia ms corta entre dos puntos est en una lnea recta, en la geometra euclidiana.

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la interseccin de dos planos.

La Geometra analtica consiste en emplear operaciones de clculo para resolver problemas de

geometra. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuacin, y determinar las

valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometra.

Ecuacin de la recta [editar]

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se calcula mediante la

ecuacin:

Se puede obtener la ecuacin de la recta a partir de la frmula de la pendiente:

Esta forma de obtener la ecuacin de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las

coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen slo los dos puntos, por lo que tambin se le

llama ecuacin de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la

tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Forma simplificada de la ecuacin de la recta [editar]

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos

deducir, partiendo de la ecuacin general de la recta, y2 y1 = m(x2 x1):

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_caracter%C3%ADsticoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Min%C3%BAsculahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit&section=4http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Jean_Baptiste_Biothttp://es.wikipedia.org/wiki/Abscisahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit&section=5

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Las Rectas

Las rectas se forman por la unin de puntos que van en la misma direccin.

Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener direccin horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.

Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua

El plano

El plano es una superficie infinita que est formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geomtricas como: tringulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.

Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagnalo extendindose en todas sus direcciones.

Un plano est compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el smbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentacin del plano: P CBD.

Semiplano

Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.

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Los puntos

Los puntos nos sirven para definir una posicin en el plano. Formamos una lnea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.

Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son tambin puntos que pertenecen al plano.

Semirrectas

Si marcamos nuestra recta definiendo slo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.

Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es slo la frontera entre las dos semirrectas.

Segmentos

Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro

ejemplo, ; es el segmento .

SEGMENTO

Segmentos consecutivos

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Segmento-definicion.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Segmento-definicion.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Segmentos-consecutivos.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Segmentos-consecutivos.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Segmentos-consecutivos.png

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Dos rectas que no se cruzan en ningn punto del plano reciben el nombre de rectas paralelas. Si se cortan, sern rectas secantes.

RECTAS PARALELAS, COINCIDENTES Y SECANTES

La posicin relativa de dos rectas m y n pueden presentarse en el plano slo de tres maneras distintas:

Las rectas m y n se superponen: Rectas coincidentes.

Las rectas m y n no se intersectan: Rectas paralelas.

Las rectas m y n se intersectan en un punto: Rectas secantes.

PENDIENTE DE LA RECTA

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Segmentos-suma.png

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Para otros usos de este trmino vase Pendiente.

Pendiente de una carretera. En matemticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinacin de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal. Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la funcin en el punto considerado, y es un parmetro relevante en el trazado altimtrico de carreteras, vas frreas, canales y otros elementos constructivos.

Recta (una dimensin)

Por tener una sola dimensin se denominar:

Lnea recta, el lugar geomtrico de la sucesin continua de puntos en la citada dimensin.

Planas (dos dimensiones)

Una sucesin continua de puntos contenidos en un plano, aunque siga cualquier criterio, se denomina lnea. Puede ser:

Lnea recta, la sucesin continua de puntos en una misma direccin.

Lnea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.

Lnea quebrada, cuando presenta puntos angulosos.

Lnea mixta, una combinacin de las anteriores.

Espaciales (tres dimensiones)]

Tambin, una lnea es el lugar geomtrico de una sucesin continua de puntos en un espacio tridimensional, aunque siga cualquier criterio. Puede ser:

Lnea recta, curva o quebrada, similares a las anteriores.

Lnea curva alabeada, la que presenta formas redondeadas y no puede ser contenida en un plano.

Lnea quebrada tridimensional, la que presenta puntos angulosos y no puede ser contenida en un plano.

Lnea mixta tridimensional, una combinacin de las anteriores

Seccin cnica

Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a todas las curvas interseccin entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vrtice, se obtienen las cnicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parbola, hiprbola y circunferencia.

ELIPSE

La elipse es una lnea curva, cerrada y plana cuya definicin ms usual es:

http://es.wikipedia.org/wiki/Pendientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Grade_dimension.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Grade_dimension.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Grade_dimension.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Carreterahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_aplicadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Carreterahttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADa_f%C3%A9rreahttp://es.wikipedia.org/wiki/Canal_%28hidr%C3%A1ulica%29http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espaciohttp://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbolahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

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La elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin.

1 Una elipse que gira

alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado

Parbola

En matemtica, la parbola (del griego ) es la seccin cnica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

nota 1 Se define tambin como el lugar geomtrico de los puntos de un plano que

equidistan de una recta llamada directriz,nota 2

y un punto exterior a ella llamado foco. En geometra proyectiva, la parbola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homlogos en una proyectividad semejante o semejanza.

Hiprbola

Una hiprbola (del griego ) es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetra, y con ngulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin.

1

Una hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vrtices, la cual es una constante positiva.

http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ElipseAnimada.gifhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Generatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Elipse#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Esferoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Generatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Directrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyectividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Partes_de_una_par%C3%A1bola.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Generatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)

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Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos estn a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

Perspectiva de las secciones cnicas.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperbola_properties.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Equidistantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(Geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lineas_del_circulo.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cono_y_secciones.svg

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Superficie reglada

Clasificacin de las superficies regladas

Plano (geometra)

En geometra, un plano es objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometra junto con el punto y la recta.

Interseccin de dos planos en un espacio tridimensional. Representacin isomtrica de dos planos perpendiculares.

Cilindro

En geometra, un cilindro es una superficie de las denominadas cudricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro.

Un cilindro circular recto.

Cono (geometra)

En geometra, un cono recto es un slido de revolucin generado por el giro de un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos. Al crculo conformado por el otro cateto se denomina Base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vrtice.

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Intersecting_Planes.PNGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Cu%C3%A1dricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Generatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Directrizhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cylinder_geometry.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Generatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)

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OBTENCIN DE LAS VISTAS DE UN OBJETO

GENERALIDADES

Se denominan vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre 6

planos, dispuestos en forma de cubo. Tambin se podra definir las vistas como, las proyecciones ortogonales de un objeto, segn las distintas direcciones desde donde se mire.

Las reglas a seguir para la representacin de las vistas de un objeto, se recogen en la norma UNE 1-032-82, "Dibujos tcnicos: Principios generales de representacin", equivalente a la norma ISO 128-

82.

DENOMINACIN DE LAS VISTAS

Si situamos un observador segn las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendramos las seis vistas posibles de un objeto.

Estas vistas reciben las siguientes denominaciones:

Vista A: Vista de frente o alzado

Vista B: Vista superior o planta

Vista C: Vista derecha o lateral derecha

Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda

Vista E: Vista inferior

Vista F: Vista posterior

POSICIONES RELATIVAS DE LAS VISTAS

Para la disposicin de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar dos variantes de proyeccin ortogonal de la misma importancia: - El mtodo de proyeccin del primer diedro, tambin denominado Europeo (antiguamente, mtodo E) - El mtodo de proyeccin del tercer diedro, tambin denominado Americano (antiguamente, mtodo A) En ambos mtodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre cuyas seis caras, se realizarn las correspondientes proyecciones ortogonales del mismo.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cone.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_cones_01.png

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La diferencia estriva en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se encuentra entre el observador y el plano de proyeccin, en el sistema Americano, es el plano de proyeccin el que se encuentra entre el observador y el objeto.

SISTEMA EUROPEO

SISTEMA AMERICANO

Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del cubo, y manteniendo fija, la cara de la proyeccin

del alzado (A), se procede a obtener el desarroyo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, es diferente segn el sitema utilizado.

SISTEMA EUROPEO

SISTEMA AMERICANO

El desarroyo del cubo de proyeccin, nos proporciona sobre un nico plano de dibujo, las seis vistas principales de un objeto, en sus posiciones relativas. Con el objeto de identificar, en que sistema se ha representado el objeto, se debe aadir el smbolo que se

puede apreciar en las figuras, y que representa el alzado y vista lateral izquierda, de un cono truncado, en cada uno de los sistemas.

SISTEMA EUROPEO

SISTEMA AMERICANO

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CORRESPONDENCIA ENTRE LAS VISTAS

Como se puede observar en las figuras anteriores, existe una correspondencia obligada entre las diferentes vistas. As estarn relacionadas:

a) El alzado, la planta, la vista inferior y la vista posterior, coincidiendo en anchuras. b) El alzado, la vista lateral derecha, la vista lateral izquierda y la vista posterior, coincidiendo en alturas.

c) La planta, la vista lateral izquierda, la vista lateral derecha y la vista inferior, coincidiendo en profundidad.

Habitualmente con tan solo tres vistas, el alzado, la planta y una vista lateral, queda perfectamente definida una pieza. Teniendo en cuenta las correspondencias anteriores, implicaran que dadas dos cualquiera de las vistas, se podra obtener la tercera, como puede apreciarse en la figura:

Tambin, de todo lo anterior, se deduce que las diferentes vistas no pueden situarse de forma arbitraria. Aunque las vistas aisladamente sean correctas, si no estn correctamente situadas, no definirn la pieza.

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SISTEMAS DE REPRESENTACIN

GENERALIDADES

Todos los sistemas de representacin, tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio. Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representacin. Pero todos ellos cumplen una condicin fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentes sistemas permiten una representacin bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representacin bidimensional, el sistema debe permitir obtener la posicin en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto. Todos los sistemas, se basan en la proyeccin de los objetos sobre un plano, que se denomina plano del cuadro o de proyeccin, mediante los denominados rayos proyectantes. El nmero de planos de proyeccin utilizados, la situacin relativa de estos respecto al objeto, as como la direccin de los rayos proyectantes, son las caractersticas que diferencian a los distintos sistemas de representacin.

SISTEMAS DE PROYECCIN

En todos los sistemas de representacin, la proyeccin de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyeccin, se realiza mediante los rayos proyectantes, estos son lneas imaginarias, que pasando por los vrtices o puntos del objeto, proporcionan en su interseccin con el plano del cuadro, la proyeccin de dicho vrtice o punto. Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos sern paralelos entre s, dando lugar a la que se denomina, proyeccin cilndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyeccin estaremos ante la proyeccin cilndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyeccin cilndrica oblicua. Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyeccin central o cnica.

Proyeccin cilndrica ortogonal Proyeccin cilndrica oblicua Proyeccin central o cnica

TIPOS Y CARACTERSTICAS

Los diferentes sistemas de representacin, podemos dividirlos en dos grandes grupos: los sistemas de medida y los sistemas representativos. Los sistemas de medida, son el sistema didrico y el sistema de planos acotados. Se caracterizan por la posibilidad de poder realizar mediciones directamente sobre el dibujo, para obtener de forma sencilla y rpida, las dimensiones y posicin de los objetos del dibujo. El inconveniente de estos sistemas es, que no se puede apreciar de un solo golpe de vista, la forma y proporciones de los objetos representados. Los sistemas representativos, son el sistema de perspectiva axonomtrica, el sistema de perspectiva caballera, el sistema de perspectiva militar y de rana, variantes de la perspectiva caballera, y el sistema de perspectiva cnica o central. Se caracterizan por representar los objetos mediante una nica proyeccin, pudindose apreciar en ella, de un solo golpe de vista, la forma y proporciones de los mismos. Tienen el inconveniente de ser mas difciles de realizar que los sistemas de medida, sobre todo si comportan el trazado de gran cantidad de curvas, y que en ocasiones es imposible tomar medidas directas sobre el dibujo. Aunque el objetivo de estos sistemas es representar los objetos como los vera un observador situado en una posicin particular respecto al objeto, esto no se consigue totalmente, dado que la visin humana es binocular, por lo que a lo mximo que se ha llegado, concretamente, mediante la perspectiva cnica, es a representar los objetos como los vera un observador con un solo ojo.

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En el siguiente cuadro pueden apreciarse la caractersticas fundamentales de cada unos de los sistemas de representacin.

Sistema Tipo Planos de proyeccin Sistema de proyeccin

Didrico De medida Dos Proyeccin cilndrica ortogonal

Planos acotados De medida Uno Proyeccin cilndrica ortogonal

Perspectiva axonomtrica

Representativo Uno Proyeccin cilndrica ortogonal

Perspectiva caballera Representativo Uno Proyeccin cilndrica oblicua

Perspectiva militar Representativo Uno Proyeccin cilndrica oblicua

Perspectiva de rana Representativo Uno Proyeccin cilndrica oblicua

Perspectiva cnica Representativo Uno Proyeccin central o cnica

ESCALA

Es la proporcin de aumento o disminucin que existe entre las dimensiones reales y las dimensiones

representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas

sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso denominado escala de reduccin; y para representar

objetos de pequeas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado

escala de ampliacin. La escala a utilizar se determina entonces en funcin de las medidas del objeto y las

medidas del papel en el cual ser representado. El dibujo hecho a escala mantendr de esta forma todas las

proporciones del objeto representado, y mostrar una imagen de la apariencia real del mismo. Finalmente, deben

indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.

A manera de ejemplo se presenta la ilustracin comparativa de un cuadrado de 2 cms. de lado dibujado en sus

dimensiones reales (escala natural escala 1/1); multiplicando sus medidas por dos (escala 2/1); y dividiendo sus

medidas por (dos a escala 1/2).

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cuadrado dibujado a 3 escalas diferentes

Factores de Escalas de Reduccin y Ampliacin

escalas de reduccin

escala

factor de reduccin

longitud de representacin

de 1 metro

1/1 1/1,25 1/2 1/2,5 1/5 1/7,5 1/10

1 1,25

2 2,5 5

7,5 10

100 cms. 80 cms. 50 cms. 40 cms. 20 cms.

13,33 cms. 10 cms

escalas de ampliacin

escala

factor de aumento

longitud de representacin

de 1 cm.

1/1 1,33/1 2/1 4/1 5/1 8/1 10/1

1 1,33

2 4 5 8

10

1 cms. 1,33 cms.

2 cms. 4 cms. 5 cms. 8 cms.

10 cms.

Escalas

Para evitar la realizacin de multiplicaciones divisiones en la elaboracin de un dibujo a escala, se trabaja con

reglas graduadas denominadas escalas, las cuales son construidas en base a los factores de reduccin

ampliacin de las respectivas escalas.

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escalas

Escalmetro

Un escalmetro o escala de arquitecto, elaborado de bronce

Un Escalmetro (denominado a veces como escala de arquitecto) es una regla especializada cuya seccin

transversal tiene forma prismtico con el objeto de tener diferentes escalas en la misma regla. Se emplea

frecuentemente para medir en dibujos que contienen diferentes escalas, tal y como los blueprints. En su borde

contiene un rango con escalas calibradas y basta con girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada.

Materiales

La escala se ha realizado tradicionalemente en madera (generalmente de madera de haya) y para poder mantener

la precisin y la longevidad del escalmetro se ha empleado materiales que ofrezcan al mismo tiempo durabilidad y

estabilidad. En la actualidad lo ms comn es encontrar los escalmetros en plstico rgido o aluminio.

Dependiendo de el nmero de escalas incluidas en la regla la seccin transversal puede ser triangular (tres

escalas, que suele ser la ms habitual), cuadrada (cuatro escalas), y as sucesivamente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Broncehttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_%28instrumento%29http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_%28Geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttp://es.wikipedia.org/wiki/Escala_%28cartograf%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Blueprinthttp://es.wikipedia.org/wiki/Maderahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aluminio

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Escalas Habituales

Unidades Mtricas

Los escalmetros empleados en Europa y en otras areas mtricas se marcan referencias a una base del sistema

mtrico. De esta forma los dibujos contienen las escalas y las unidades que se estn empleando. Las unidades de

longitud estndard en el sistema SI pueden diferir en diferentes paises generalmente se emplea milmetros (mm)

en Inglaterra y metros (m), mientras en Francia se trabaja generalmente en centmetros (cm) y metros.

En los escalmetros planos contienen escalas en pares y suelen ser:

1:1 / 1:100

1:5 / 1:50

1:20 / 1:200

1:1250 / 1:2500

Para los esclmetros triangulares, los valores apareados son:

1:1 / 1:10

1:2 / 1:20

1:5 / 1:50

1:100 / 1:200

1:500 / 1:1000

1:1250 / 1:2500

Escalmetro

Un escalmetro o escala de arquitecto, elaborado de bronce

Un Escalmetro (denominado a veces como escala de arquitecto) es una regla especializada cuya seccin

transversal tiene forma prismtico con el objeto de tener diferentes escalas en la misma regla. Se emplea

frecuentemente para medir en dibujos que contienen diferentes escalas, tal y como los blueprints. En su borde

contiene un rango con escalas calibradas y basta con girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada.

Materiales

La escala se ha realizado tradicionalemente en madera (generalmente de madera de haya) y para poder mantener

la precisin y la longevidad del escalmetro se ha empleado materiales que ofrezcan al mismo tiempo durabilidad y

estabilidad. En la actualidad lo ms comn es encontrar los escalmetros en plstico rgido o aluminio.

Dependiendo de el nmero de escalas incluidas en la regla la seccin transversal puede ser triangular (tres

escalas, que suele ser la ms habitual), cuadrada (cuatro escalas), y as sucesivamente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/SIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Architects_scale.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Architects_scale.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Architects_scale.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Broncehttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_%28instrumento%29http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_%28Geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttp://es.wikipedia.org/wiki/Escala_%28cartograf%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Blueprinthttp://es.wikipedia.org/wiki/Maderahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aluminio

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Escalas Habituales

Unidades Mtricas

Los escalmetros empleados en Europa y en otras areas mtricas se marcan referencias a una base del sistema

mtrico. De esta forma los dibujos contienen las escalas y las unidades que se estn empleando. Las unidades de

longitud estndard en el sistema SI pueden diferir en diferentes paises generalmente se emplea milmetros (mm)

en Inglaterra y metros (m), mientras en Francia se trabaja generalmente en centmetros (cm) y metros.

En los escalmetros planos contienen escalas en pares y suelen ser:

1:1 / 1:100

1:5 / 1:50

1:20 / 1:200

1:1250 / 1:2500

Para los esclmetros triangulares, los valores apareados son:

1:1 / 1:10

1:2 / 1:20

1:5 / 1:50

1:100 / 1:200

1:500 / 1:1000

1:1250 / 1:2500

Perspectiva axonomtrica

La perspectiva axonomtrica es un sistema de representacin grfica, consistente en representar elementos

geomtricos o volmenes en un plano, mediante proyeccin ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal

forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.

La perpectiva axonomtrica cumple dos propiedades importantes que la distinguen de la perspectiva cnica:

La escala del objeto representado no depende de su distancia al observador (equivalente a que el

observador estuviera en el infinito).

Dos lneas paralelas en la realidad son tambin paralelas en su representacin axonomtrica.

Los tres ejes del plano proyectante se dibujan as: el referente a la altura suele ser vertical, y los

referentes a longitud y anchura pueden disponerse con cualquier ngulo. Los ejes del plano proyectante

guardan entre s 120 en la perspectiva isomtrica, un caso particular de la perspectiva axonomtrica. Si

los ejes guardan entre s 90 y 135 se denomina perspectiva caballera.

Para que el dibujo se parezca ms a la realidad, se aplica a veces un coeficiente de reduccin en las

medidas paralelas a los ejes de anchura y longitud.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/SIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_isom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera

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Perspectiva axonomtrica: proporcin de las medidas. Proyeccin isomtrica de un filtro Bayer sobre un sensor. Proyeccin isomtrica

Una proyeccin isomtrica es un mtodo grfico de representacin, ms especficamente una axonomtrica1

cilndrica2 ortogonal.

3 Constituye una representacin visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la

que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ngulos de 120, y las dimensiones paralelas a

dichos ejes se miden en una misma escala.

La isometra es una de las formas de proyeccin utilizadas en dibujo tcnico que tiene la ventaja de permitir la

representacin a escala, y la desventaja de no reflejar la disminucin aparente de tamao -proporcional a la

distancia- que percibe el ojo humano.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perspective_isometrique_proportions.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Bayer_pattern_on_sensor.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Axonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Axonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_isom%C3%A9trica#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_isom%C3%A9trica#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Dibujo_t%C3%A9cnicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ojo

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EL NGULO DIEDRO Y SUS ELEMENTOS

Se llama ngulo diedro, o simplemente diedro, a la porcin de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen un borde comn, y estn situados en planos distintos.

Diedro: Conjunto de dos planos no paralelos.

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ngulo diedro

Un ngulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una arista comn. Es un concepto geomtrico ideal, y slo es posible representarlo parcialmente, como dos rectngulos con un lado comn, que simbolizan dos semiplanos.

El valor de un ngulo diedro es el de menor amplitud posible que conforman dos semirectas pertenecientes a cada semiplano; se obtiene tomando un plano auxiliar perpendicular a la recta comn, siendo la apertura de las semirrectas interseccin, la medida del ngulo diedro.

En la imagen, los dos bordes delanteros o traseros de los semiplanos ("rectngulos", en la imagen), si son perpendiculares a la recta comn, sirven como referencia para medir el ngulo diedro.

En Geometra descriptiva, se utilizan como planos de referencia, los que forman un angulo diedro de 90.

ngulos diedros. Se llama ngulo diedro a la abertura comprendida entre dos planos que se cortan. Los planos que forman los diedros se llaman caras. El ngulo diedro se designa por dos letras de la arista, o bien por cuatro letras: dos de la arista y una de cada cara (figura 12.1).

Todo ngulo diedro se mide por medio de su ngulo rectilneo, el cual est formado por las perpendiculares a la arista en un punto cualquiera de ella y situadas en cada plano del diedro (figura 12.2). Posiciones relativas entre dos planos.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Dihedron.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Semiplanohttp://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva

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Dos planos pueden tener las siguientes posiciones relativas: a) planos paralelos: Son aquellos que no tienen punto en comn alguno (figura 12.4). b) planos que se cortan: Son aquellos que tienen infinitos puntos comunes situados en lnea recta, llamada sta, interseccin entre los planos (figura 12.5).

c) Planos perpendiculares: Son aquellos que forman un diedro recto (figura 12.6). El BAC es el ngulo rectilneo

y, por lo tanto, PQ cuando BAC = 90 .

ngulo diedro Figura formada por dos planos que se cortan. El tamao del ngulo diedro se define como el tamao del ngulo formado entre dos lneas que se cortan (una en cada plano) que son ambas perpendiculares a la arista a lo largo de la cual se cortan los dos planos.

Definicin de diedro?

el diedro es lo mismo que ngulo diedro? S que es lo mismo. Diedro: En geometra, dcese de cada una de las cuatro partes del espacio limitadas por dos planos que se cortan.

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SISTEMA DIEDRICO.

FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO.

El sistema didrico de representacin surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones.

En el sistema didrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre s, llamados plano de proyeccin VERTICAL y plano de proyeccin HORIZONTAL. Estos

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dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre s, se cortarn en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT)

De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO CUADRANTE.

Adems de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45 con los planos de proyeccin y se cortan entre ellos y a los planos de proyeccin en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda divisin planos BISECTORES.

Lo expuesto hasta el momento nos da una visin del sistema de representacin en el espacio. Pasemos, pues a continuacin a representarlo al plano, para ello tendremos que abatir el plano de proyeccin horizontal sobre el plano de proyeccin vertical utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedar como nico elemento de referencia la LT.

En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyeccin del elemento que estamos representando para su total definicin y comprensin, esta proyeccin se realiza sobre un tercer plano de proyeccin denominado plano de PERFIL.

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CODIGOS HABITUALES DE NOTACIN.

La LT se representar en el presente trabajo mediante una lnea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos.

La nomenclatura del punto a travs de letras maysculas, diferenciando si se trata de una proyeccin horizontal (mediante el subndice 1 (`)), de una proyeccin vertical( mediante el subndice 2 (`')) o de una tercera proyeccin, la de perfil( mediante el subndice 3 (`'')).

La nomenclatura de las rectas mediante letras minsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyeccin horizontal, vertical o de perfil mediante los subndices 1, 2 y 3 respectivamente.

Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subndices 1, 2 y 3.

REPRESENTACIN DEL PUNTO.

El sistema didrico de representacin consiste en obtener las distintas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyeccin de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyeccin. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyeccin Horizontal obtendremos la proyeccin horizontal del punto A (A1). Repitiendo la misma operacin sobre el plano de proyeccin vertical obtenemos la proyeccin vertical del punto A, que es A2 y lo mismo con la tercera proyeccin o de perfil A3.

El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyeccin: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia al plano de proyeccin de perfil (denominada como distancia), la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyeccin vertical (denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyeccin horizontal (denominada cota).

CORTES, SECCIONES Y ROTURAS INTRODUCCIN En ocasiones, debido a la complegidad de los detalles internos de una pieza, su representacn se hace confusa, con gran nmero de aristas ocultas, y la limitacin de no poder acotar sobre dichas aristas. La solucin a este problema son los cortes y secciones, que estudiaremos en este tema.

Tambin en ocasiones, la gran longitud de determinadas piezas, dificultan su representacin a escala en un plano, para resolver dicho problema se har uso de las roturas, artificio que nos permitir aadir claridad y ahorrar espacio.

Las reglas a seguir para la representacin de los cortes, seciones y roturas, se recojen en la norma UNE 1-032-82, "Dibujos tcnicos: Principios generales de representacin", equivalente a la norma ISO

128-82. GENERALIDADES SOBRE CORTES Y SECCIONES

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Un corte es el artificio mediante el cual, en la representacin de una pieza, eliminamos parte de la misma, con objeto de clarificar y hacer ms sencilla su representacin y acotacin.

En principio el mecanismo es muy sencillo. Adoptado uno o varios planos de corte, eliminaremos ficticiamente de la pieza, la parte ms cercana al observador, como puede verse en las figuras.

Como puede verse en las figuras siguientes, las aristas interiores afectadas por el corte, se representarn con el mismo espesor que las aristas vistas, y la superficie afectada por el corte, se representa con un rayado. A continuacin en este tema, veremos como se representa la marcha del corte, las normas para el rayado del mismo, etc

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Se denomina seccin a la interseccin del plano de corte con la pieza (la superficie indicada de color rojo ), como puede apreciarse cuando se representa una seccin, a diferencia de un corte, no se representa el resto de la pieza que queda detrs de la misma. Siempre que sea posible, se preferir representar la seccin, ya que resulta ms clara y sencilla su representacin.

LNEAS DE ROTURA EN LOS MATERIALES Cuando se trata de dibujar objetos largos y uniformes, se suelen representar interrumpidos por lneas de rotura. Las roturas ahorran espacio de representacin, al suprimir partes constantes y regulares de las piezas, y limitar la representacin, a las partes suficientes para su definicin y acotacin.

Las roturas, estn normalizadas, y su tipos son los siguientes:

a) Las normas UNE definen solo dos tipos de roturas (figuras 1 y 2), la primera se indica mediante una lnea fina, como la de los ejes, a mano alzada y ligeramente curvada, la segunda suele utilizarse en trabajos por ordenador.

b) En piezas en cua y piramidales (figuras 3 y 4), se utiliza la misma lnea fina y ligeramente curva. En estas piezas debe mantenerse la inclinacin de las aristas de la pieza.

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c) En piezas de madera, la lnea de rotura se indicar con una lnea en zig-zag (figura 5).

d) En piezas cilndricas macizas, la lnea de rotura de indicar mediante las caracterstica lazada (figura 6).

e) En piezas cnicas, la lnea de rotura se indicar como en el caso anterior, mediante lazadas, si bien estas resultarn de diferente tamao (figura 7).

f) En piezas cilndricas huecas (tubos), la lnea de rotura se indicar mediante una doble lazada, que patentizarn los dimetros interior y exterior (figura 8).

g) Cuando las piezas tengan una configuracin uniforme, la rotura podr indicarse con una lnea de trazo y punto fina, como la las lneas de los ejes (figura 9).

REPRESENTACIN DE LA MARCHA DE UN CORTE Cuando la trayectoria de un corte sea evidente, no ser necesaria ninguna indicacin (figura 1). En el caso de que dicha trayectoria no sea evidente o se realice mediante varios planos de corte, el recorrido se indicar mediante una lnea de trazo y punto fino, que se representar con trazos gruesos en sus extremos y cambios de direccin (figuras 2, 3 y 4).

En los extremos del plano de corte se situarn dos letras mayusculas, que servirn de referencia del mismo,

estas letras podrn ser repetidas A-A o consecutivas A-B. Tambin en los extremos se consignan dos flechas, que indican el sentido de observacin. Sobre la vista afectada del corte, se indicarn las letras

definidoras del corte.

Un corte puede realizarse por diferentes tipos de planos: un nico plano (figura 1), por planos paralelos (figura 2), por planos sucesivos (figura 3), y por planos concurrentes (figura 4), en este ltimo caso, uno de ellos se gira antes del abatimiento.

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NORMAS PARA EL RAYADO DE LOS CORTES

Las superficies de una pieza afectadas por un corte, se resaltan mediante un raya de lneas paralelas, cuyo espesor ser el ms fino de la serie utilizada. Basndonos en las normas UNE, podemos establecer las siguientes reglas, para la realizacin de los rayados: 1) La inclinacin del rayado ser de 45 respecto a los ejes de simetra o contorno principal de la pieza (figura 1). 2) La separacin entre las lneas de rayado depender de tamao de la pieza, pero nunca deber ser inferior a 0,7 mm. ni superior a 3 mm. (figura 2).

3) En piezas de gran tamao, el rayado puede reducirse a una zona que siga el contorno de la superficie a rayar (figura 3).

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4) En los casos de cortes parciales o mordeduras, la separacin entre la parte seccionada y el resto de la pieza, se indica con una lnea fina a mano alzada, y que no debe coincidir con ninguna arista ni eje de la pieza (figura 4).

5) Las diferentes zonas rayadas de una pieza, pertenecientes a un mismo corte, llevarn la misma inclinacin y separacin (figura 5), igualmente se mantendr el mismo rayado cuando se trate de cortes diferentes sobre una misma pieza (figura 6).

6) En piezas afectadas por un corte por planos paralelos, se emplar el mismo rayado, pudiendo desplazarse en la lnea de separacin, para una mayor comprensin del dibujo (figura 7).

7) En cortes sobre representaciones de conjuntos, las diferentes piezas se rayarn modificando la inclinacin de 45, y cuando no pueda evitarse, se variar la separacin del rayado (figura 8).

8) Las superficies delgadas, no se rayan, sino que se ennegrecen. Si hay varias superficies contiguas, se dejar una pequea separacin entre ellas, que no ser inferior a 0,7 mm. (figura 9).

9) Debe evitarse la consignacin de cotas sobre las superficies rayadas. En caso de consignarse, se interrumpir el rayado en la zona de la cifra de cota, pero no en las flechas ni lneas de cota (figura 10).

10) No se dibujarn aristas ocultas sobre las superficies rayadas de un corte. Y solo se admitirn excecionalmente, si es inevitable, o con ello se contribuye decisivamente a la lectura e interpretacin de la pieza (figura 11).

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ELEMENTOS QUE NO SE SECCIONAN Las normas establecen como piezas no seccionables: los tornillos, tuercas, arandelas, pasadores, remaches, eslabones de cadena, chavetas, tabiques de refuerzo, nervios, orejeras, bolas de cojinetes, mangos de herramientas, ejes, brazos de ruedas y poleas, etc.. A modo de ejemplo se incluyen los siguientes: tornillo, tuerca y remache (figura 1), eslabn de cadena (figura 2), mango de herramienta (figura

3), tabiques de refuerzo (figura 4), unin roscada (figura 5), y brazos de polea (figura 6).