3. estatica fluidos

CAPITULO III:

ESTATICA DE FLUIDOS

MECANICA DE FLUIDOS I

Docente: GORKI F. ASCUE SALAS Ingeniero Civil – Magister en Ciencias de la Geoinformación y Observación

de la Tierra mención Evaluación de Recursos Hídricos

Cusco, Setiembre - 2012

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL – FILIAL CUSCO

3.1 Introducción

La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo.

A diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse.

Por lo tanto, el estudio de ambos fluidos (líquidos y gases) presentan algunas características diferentes: El estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática. El estudio de los gases se llama aerostática.

3.1 Introducción

A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la hidrostática, de la cual surgen los principios de Pascal y de Arquímedes.

La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos.

La estática de fluidos es utilizada como principio de construcción de muchas obras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.

3.2 Definición de presión

La propiedad fundamental de un fluido estático es la presión, que es la fuerza superficial que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene.

En cualquier punto del interior de un fluido existe también una determinada presión.


En un fluido estático, la presión resulta independiente de la orientación de cualquier superficie interna sobre la que actúa.

La presión es la fuerza constante que actúa perpendicularmente sobre una superficie plana.

La presión (P) representa la intensidad de la fuerza (F) que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie (A) considerada.

2

F NP

A m

F


Es decir: Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será la presión resultante.

Equivalencias: 1 Pa = 1 N/m2=10 dinas/cm2

1 bar = 105 Pa = 0.986923 atm 1 atm=760 torr = 1.01325 bar 1 torr = 1 mm Hg = 133,322 Pa 1 psi = 1 lbf/pulg2=6894.76 Pa


3.2.1 Presión en un punto de un fluido en reposo: Se considera a una cuña triangular de fluido ubicada dentro de una masa de fluido donde no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso, y por la segunda Ley de Newton (F = ma) se tienen:

0 . 0

0 . 02

0 02 2

x x n

y y n

z z z

F p y z p z s sen

x y zF p x z p z s cos g

x y x yF p p

.

cos .

ysen y s sen

s

xx s cos

s


3.2.1 Presión en un punto de un fluido en reposo:

De estas ecuaciones, se deducen que: La presión no varía en la dirección

horizontal. La presión varía en la dirección vertical por

acción de la gravedad proporcionalmente a la densidad y a la diferencia de altura.

.

.2

2

2

x n

x n x n

y n

y n

y n

p y z p z s sen

p y p y p p

x y zp x z p z s cos g

x yp x p x g

yp p g

2

x n

y n

p p

yp p g


3.2.1 Presión en un punto de un fluido en reposo: La cuña hidráulica tiende a cero, por lo tanto; se

puede despreciar y se tiene lo siguiente:

02

y n

yg p p

z x y np p p p p

La presión en un punto es igual en todas las direcciones.

3.3 Distribución de presiones en un fluido estático

3.3.1 Ecuación fundamental de la hidrostática: Imaginar un volumen de fluido (aire) elemental en la atmósfera, de superficie dA y alto dz, como se ve en la figura: 1 2

1 1

2 2

0 0

. .

. .

.

. . . 0

( ). .

z

z dz

z z dz

z z dz

F F F P

F p dA p dA

F p dA p dA

P mg dp dm g

p dA p dA dm g

p p dA dm g

.

.

z dz zdp p p

dmdm dV

dV

dV dA dz

. . . .dp dA dA dz g

dpdp gdz g

dz

3.3 Distribución de presiones en un fluido estático

Esta ecuación es válida para describir la distribución de presiones en un fluido sujeto a las siguientes restricciones:

Fluido en estado de equilibrio estático La acción gravitatoria es la única fuerza másica El eje z es vertical .

En resumen, un fluido esta en equilibrio estático: Si la presión en todos los puntos de un plano

horizontal es la misma. Si la presión varía sólo en la dirección vertical y no

depende de la forma del recipiente que lo contiene. La presión aumenta con la profundidad. La variación de la presión se debe la densidad del

fluido y la acción de la gravedad (peso del fluido).

dpg

dz

3.4 Variación de la presión hidrostática en líquidos

Si p0 es el valor de la presión en el nivel z0 (que puede ser el nivel del mar) y p el valor de la presión a una altura z en la atmósfera o una profundidad z en el océano, y si la densidad es constante, se puede integrar la ecuación hidrostática y se obtiene:

0 0 0 0 0

0

( ) ( )p p g z z p p g z z h z z

p p gh

Principio de Pascal

0 0

dp g dz


Esta ecuación, es válida sólo cuando la densidad es constante. , ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo que se conoce como paradoja hidrostática.


PASCAL estableció que si se tiene un líquido en un depósito completamente cerrado y en uno de sus puntos se aplica una presión cualquiera, esa presión se trasmite con igual valor a todos los puntos del líquido.


Principio de Pascal:

La presión que se ejerce sobre un fluido se trasmite por igual a todos sus puntos y a las paredes del recipiente que lo contiene.


Prensa hidráulica: La aplicación más importante del principio de Pascal es la prensa hidráulica.

La ventaja que presentan los líquidos es que al transmitir Presiones, pueden multiplicar las Fuerzas aumentando el área sobre la cuál se ejerce.

1

212

1

1

2

2

12

A

AFF

A

F

A

F

PP


Ejercicio 1: Se desea levantar un automóvil de masa igual a 1,200 Kg con una gata hidráulica, tal como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza se deberá aplicar en el émbolo más pequeño, que tiene un área de 10 cm2 para levantarlo, sabiendo que el área del émbolo más grande es de 200 cm2?.

Solución:

El peso del automóvil es: Luego:

Reemplazando se tiene:

2

11

A

mgAF

2

2

1 2

10 1200 9.81

588.6200

mcm Kg

sF N

cm

2F mg

1 2

1 2

F F

A A


Ejercicio 2: Determinar el peso W, que puede sostenerse con una fuerza de 50 Kg aplicados en el pistón que se muestra en la figura.

Solución: Considerando el desnivel

entre el punto 1 y 2 despreciable, se tiene:

Por definición:

2

2250 1675.40

3.8

cmW Kg W Kg

cm

2

11 1 1 2

1 1

2

22 2 2 2

2 2

4

4

4

4

F FP A P

A

W WP A P

A

1 2P P

2

1

2 2

1 2 2

4 4F WW F

Luego:

Sustituyendo se tiene:


Ejercicio 3: Un dispositivo de exploración de las profundidades del mar tiene una ventana circular de 0.10 m2. ¿Qué fuerza ejerce sobre ella las aguas de mar, cuya densidad es 1030 Kg/m3, a una profundidad de 5000 m?

Solución:

6

(1030)(9.8)(5000)(0.1)

5.05 10 5.05

F pA ghA

F

F N F MN


Ejercicios para intervención en clase:

1. El embolo grande de un elevador hidráulico tiene un radio de 20 cm. ¿Qué fuerza debe aplicarse al embolo pequeño de radio 2 cm para elevar un coche de masa 1500 Kg?

2. ¿Cuál es la masa total de la atmosfera de la Tierra?. El radio de la Tierra es 6.37x106 m y la presión atmosférica en la superficie es 1.013x105 N/m2.

3. Para levantar una plataforma de 10 Ton. se utiliza un gato hidráulico. Si en el pistón actúa una presión de 12 Kg/cm2 y es transmitida por un aceite de densidad relativa 0.810, ¿Qué diámetro se requiere?

3.5 Medición de la presión. Manometría

En ingeniería se suele medir la presión de dos formas: Refiriéndola a un nivel de presión nula (cero

absoluto o vacío perfecto), en este caso se llama presión absoluta.

Usando la presión atmosférica local como referencia. Esta forma se emplea en muchos instrumentos de medida de tipo diferencial, la presión que arroja la medición del fluido se denomina en términos generales presión manométrica.

Según que la presión sea superior o inferior a la atmosférica, se suele denominar : Presión manométrica (Pman), si P > Patm Presión de vacío (Pabs), si P<Patm


Una ecuación sencilla que relaciona los dos sistemas de medición de la presión es:

abs man atmP P P


Por lo tanto: Las presiones absolutas deben utilizarse en todos los

cálculos con gases. Un vacío perfecto es la presión más baja posible y en

consecuencia, la presión absoluta siempre es positiva.

Una presión manométrica por encima de la presión atmosférica local siempre es positiva.

Una presión manométrica por debajo de la presión atmosférica local es negativa y suele denominarse vacío.

La magnitud de la presión atmosférica varía con la ubicación y condiciones climáticas.

La presión barométrica es un indicador de la variación continua de la presión atmosférica.


Presión atmosférica: Es la presión que el peso del aire ejerce sobre la superficie terrestre y sobre cualquier otra superficie que se encuentre en ella.


En 1643, Evangelista Torricelli, llenó un tubo de vidrio, de 1 m de longitud con mercurio (Hg) y tapó el extremo abierto. Luego lo dio vuelta en una cubeta que también contenía Hg y observó; que el Hg del tubo a 0°C descendió hasta estabilizarse su columna en 76 cm y cuya presión es equivalente a 101.3 kPa.

HgHg Hg Hg Hg

atm Hg

Hg Hg Hg

AW m g V gP P

A A A

Hg Hg

Hg

h g

A atm Hg Hg HgP P gh


Piezómetro: Consiste en un tubo vertical, abierto en la parte superior y conectado al recipiente en que se desea medir la presión.

Como A y 1 están al mismo nivel:

Por lo que:

A 1P P

A 1 1P h


Manómetro simple: En tubo de U, el fluido manométrico puede ser de mercurio (Hg), tetracloruro de carbono (CCl4), aceite, agua, etc.

En la figura mostrada se cumple que:

Sustituyendo se tiene:

A 1 2 3

2 1 1 1 3 0 man 2

P P P P

P P h P P h

A man 2 1 1P h h


Manómetros: Son aparatos que sirven para medir la presión de los fluidos contenidos en recipientes cerrados , hay manómetros de líquidos o metálicos (tubo en U o de Bourdon).

Barómetros: Son aparatos que miden la presión atmosférica y pueden ser barómetros de mercurio y metálicos.


En la actualidad existen tanto manómetros como barómetros digitales.


Ejercicio 4: En el tanque de la figura tenemos tres líquidos insolubles. Calcular la presión absoluta y relativa en el fondo y determinar la cota de los líquidos en cada uno de los piezómetros colocados como se indica, considerar que la presión atmosférica es 0.95 atm.


Solución: Las presiones relativas son:

Sustituyendo se tienen:

2 1 1 1 2 1

3 2 2 2 3 2

4 3 3 3 4 3

.

.

agua

agua

P P z z DR

P P z z DR

P P z z g

2

1 0 /P Kg m

2

2 2

2

3 3

2

4 4

0 0.75 1000 18.20 15.50 2025 /

2025 1.00 1000 15.50 12.50 5025 /

5025 183.49 9.81 12.50 10.00 9525 /

P P Kg m

P P Kg m

P P Pman Kg m


Solución: La presión absoluta en el fondo (punto 4) es:

Las alturas y cotas de los piezómetros son:

2 2

2

1 10330 / 0.95(10330) 9813.5 /

9525 9813.5 19338.5 /

Pabs Pman Patm

atm Kg m Patm Patm Kg m

Pabs Pabs Kg m

21 1 1 1 1

1

32 2 2 2 2

2

43 3 4 3 3

3

20252.70 2.70 15.50 18.20

750

50255.03 5.03 12.50 17.53

1000

95255.29 5.29 10.00 15.29

1800

PP H H h H Cota

PH H H m h h m

PH H H m h h m

PH H H m h h m


Ejercicio 7: Dos recipientes cuyas superficies libres se encuentran a una diferencia de altura (H), contienen el mismo liquido de peso especifico (g) según se indica en

la figura. Hallar una expresión para calcular en función de ga, A, gb, B.

Solución: En el manómetro :

Simplificando:

1 2 1 0P P P

0 0A BH A A B B H

1

2

:

X

A X A

A

Superior

P P H X

P P A

P P A X

1

2

:

m

B m B

B

Inferior

P P m

P P B

P P B m H

B A BB B A BH

A B


Tarea 2.1 Ejercicios de Aplicación de Presiones: Resolver los siguientes ejercicios propuestos en los libros

de Streeter y Giles, de acuerdo al ultimo digito: 2.2.1 a 2.2.4 (Streeter, Pág. PDF 48) y 2.3.1 a 2.3.4

(Streeter, Pág. PDF 52), 46 al 58 (Giles, Paginas PDF 26 al 28).

Últimos Dígitos: 4 y 9: 2.2.1, 2.3.4, 46, 51 y 56. 5 y 0: 2.2.2, 2.3.3, 47, 52 y 57. 6 y 1: 2.2.3, 2.3.2, 48, 53 y 58. 7 y 2: 2.2.4, 2.3.1, 49, 54 y 46. 8 y 3: 2.2.1, 2.3.2, 50, 55 y 47.

Fecha limite de presentación: Examen Parcial.

2.6 Fuerzas Hidrostáticas sobre Superficies Planas Sumergidas

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida:

En la figura se muestra un placa plana sumergida en un líquido en estado estático, sobre cuya cara superior se evalúa la acción de la presión hidrostática distribuida.



Debido a la presión variable que actúa sobre la placa, para el análisis se considera como un elemento diferencial de área (dA) ubicado a una profundidad (h) y a una distancia (x) del eje Y. Al tratarse de un elemento diferencial, la presión que actúa sobre el mismo puede considerarse constante por consiguiente la fuerza sobre este elemento es, integrando esta ecuación diferencial sobre el área A se obtiene el valor de la fuerza resultante:

Si la presión (p) a una altura (h) por debajo de la superficie libres esta dada por luego, se tiene:

dF pdA

A

F pdA

0p p gh

0A

0A

F (p gh)dA

F p A g hdA

h x.sen

0A

0A

F p A g x.sen dA

F p A g.sen xdA



Si luego:

Sustituyendo se tiene que:

Esta última expresión matemática, indica: La fuerza debida a la acción de la presión uniforme que actúa

sobre la superficie libre, se transmite a través del líquido sin variación.

La fuerza hidrostática propiamente dicha, debida a la acción de la columna líquida que actúa sobre la superficie (presión causada por la gravedad que se incrementa linealmente sobre el líquido).

Finalmente, la ecuación es: Si el factor entre paréntesis representa la presión en el

baricentro de A, la fuerza hidrostática es:

cg

A

xdA x A

cg cgh x .sen

0 cgF p A g.sen .x A

0 cgF p A g.h A

0 cgF (p g.h )A

cgF p A



Esquemáticamente se tiene:


Punto de aplicación de la fuerza hidrostática (Centro de presión)

El centro de presión es el punto sobre el área donde se supone que actúa la fuerza resultante, en forma tal que tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el área debido a la presión del fluido.

Teorema de Varignon: El momento de la resultante de un sistema de fuerzas en torno a cualquier eje debe ser igual a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas alrededor el mismo eje.

Tomando momentos alrededor del eje Y (momentos en O respecto del plano de la figura), se tiene

h cp h

A

F x xdF


Punto de aplicación de la fuerza hidrostática (Centro de presión)

Si entonces y luego:

Despejando se tiene:

El momento de inercia del área con respecto al eje, esta dado por: y se tiene:

Aplicando el teorema de Steiner de los ejes paralelos, el momento de inercia a un eje centroidal paralelo al eje yy es:

h cgF g.h A hdF g.h.dA h x.sen

2

h cp cg cp cg cp

A A

F x g.h A.x g(x.sen )x.dA g.h A.x g.sen x dA

2

cp

cg A

senx x dA

h A

2

yy

A

I x dA yy

cp

cg

Ix

x A

cg

cg

hx

sen

2

cgyy2

yy cg cpyycg

I A.xI I A.x x

x A

yy

cp cg

cg

Ix x

A.x


Ejemplo 1: La compuerta que se muestra en la figura se articula en O. La

compuerta tiene 2 m de ancho normal al plano del dibujo. Calcule la fuerza requerida en A para mantener la compuerta cerrada.

Solución: Datos e incógnitas


Solución:

1. Fuerza hidrostática

h cg cg cg cg 1 2

2 2

2 2

cg cg

2

cg

cg

h

h

F p A p g.h h h h

h (a / 2)sen h (2 / 2)sen30

h (1)(0.5) h 0.50m

h 1 0.50 h 1.50m

A ab A (2)(2) A 4.00m

p (1000)(9.80)(1.5)

p 14700Pa

F (14700)(4) 58,800N

F 58.8kN


Solución: 2. Momento (con referencia al punto O)

ho h

3yy cg

cgyycg

F (a / 2 e)M 0 F (a / 2 e) F.a 0 F

a

I hbae I x

x A 12 sen

34

cgyy

(2)(2) 1.5I 1.33m x 3m

12 sen30

1.33 (58.8)(1 0.11)e 0.11m F 32.67kN

(3)(4) 2


Ejemplo 2: Mott - Ejemplo 4.5 (Pág. 95)


Solución:


Ejemplo 3: Giles - Ejemplo 3 (Pág. 32).

2.7 Fuerzas Hidrostáticas sobre Superficies Curvas Sumergidas

Fuerza hidrostática sobre una superficie curva sumergida : La fuerza resultante de las fuerzas de presión sobre una

superficie curva se calcula separando las componentes verticales y horizontales. De la figura:

dF p.dA

Componentes horizontales: Multiplicar a ambos por un vector

unitario i. Si

Entonces

dF.i p.dA.i

x xdF dF.i dA dA.i

x x

x

F p.dA

dF.k p.dA.k

z z 0dF dF.k dA dA.k p g(z z )

Componente vertical: Multiplicando por un vector unitario k. Si entonces

z z

z

F p.dA

o

z

z 0 z liq.sup.curva liq.sup.curva

z

F g (z z ).dA gV W z liq.sup.curvaF W


Ejemplo 1: Calcule la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el fluido ejerce sobre la compuerta, luego calcule la fuerza resultante así como su dirección. La superficie de interés es cilíndrica con una longitud de 1.5 m.

Solución: Componente

vertical (Fv): Peso del volumen sobre la superficie curva

2v H O desplazado

1 2

1 1

2

2

F g. V

V (A A )b

A h R

RA

4


Ejemplo 1:

22 2

1 2

3

v

(1.20)A (2.80)(1.20) 3.36m A 1.13m

4

V (3.36 1.13)(1.50) 6.74m F (1000)(9.80)(6.74) 66.052kN

Componente horizontal (Fh): fuerza debida a la presión fluida sobre la superficie curva.

Fuerza resultante:

2h cg p cg H O cp

cg

h

F p A p gh

p (1000)(9.80)(3.40) 33.32kN

F (33.32)(1.50)(1.20) 59.976kN

2 2 2 2

r h v rF (F ) (F ) (59.976) (66.052) F 89.219kN


Ejemplo 2: Mott - Ejemplo 4.8 (Pág. 106)


Tarea 2.2 Ejercicios de Aplicación de Fuerzas Hidrostáticas: 1. Resolver los siguientes ejercicios propuestos en los libros

de Streeter y Giles, de acuerdo al ultimo digito: 2.5.1 a 2.5.8 (Streeter, Pág. PDF 66) y 2.6.1 a 2.6.6

(Streeter, Pág. PDF 72), 20 al 44 (Giles, Paginas PDF 39 al 42).

Últimos Dígitos: 4: 2.5.1, 2.6.1, 20, 30 y 40. 5: 2.5.2, 2.6.2, 21, 31 y 41. 6: 2.5.3, 2.6.3, 22, 32 y 42. 7: 2.5.4, 2.6.4, 23, 33 y 20. 8: 2.5.5, 2.6.5, 24, 34 y 21. 9: 2.5.6, 2.6.6, 25, 35 y 22. 0: 2.5.7, 2.6.1, 26, 36 y 23. 1: 2.5.8, 2.6.2, 27, 37 y 24. 2: 2.5.1, 2.6.3, 28, 38 y 25. 3: 2.5.2, 2.6.4, 29, 39 y 26.

Fecha limite de presentación: Examen Parcial.

2.7 Flotación y Estabilidad

Empuje hidrostático: Los cuerpos sólidos sumergidos en un líquido experimentan

un empuje hacia arriba debido a la presión del fluido que actúa sobre sus superficies exteriores. Este fenómeno, que es el fundamento de la flotación de los barcos, era conocido desde la más remota antigüedad.

Principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido en el

interior de un líquido sufre un empuje ascendente igual al peso del líquido desalojado.

liqdesE W


Empuje hidrostático: Situaciones posibles según la magnitud del peso

del cuerpo (W) con respecto al empuje (E): Si la fuerza de empuje (E) es menor que el peso

del cuerpo (W), el cuerpo se hunde hasta tocar fondo. Ejm: piedra maciza en el agua.

Si el empuje (E) es igual al peso del cuerpo (W) esta en equilibrio y el cuerpo flota “entre aguas” por debajo de la superficie liquida. Ejm: submarinos.

Si la fuerza de empuje (E) es mayor que el peso del cuerpo (W), entonces “flota”, el cuerpo se encuentra parcialmente sumergido. Ejm: los barcos.

La fuerza de empuje depende de la densidad del cuerpo y la del líquido donde este sumergido.

liq liqdes

cue cuesum

E gV

W gV

cue liq

liq cue

cue liq


Ejemplo: Calcular el empuje que sufre una bola esférica

de 1 cm de radio, cuando se sumerge en: a) Alcohol (ρ = 0.7 gr/cm3). b) Agua (ρ = 1 gr/cm3). c) Tetracloruro de carbono (ρ = 1.7 gr/cm3).

Solución: Según el Principio de Arquímedes; “el empuje es

igual al peso del liquido desalojado”. Ósea: El volumen de una esfera es:

liqdes

liqdes liqdes

liqdes liqdes liq

cuesum liqdes

cuesum liq

E W

W m g

m V

V V

E V g

3 3 3 6 3

cue cue cue

4 4V r V (1) V 4.19cm V 4.19 10 m

3 3

a)

b)

c)

3

2

4

6 3 3 3 2

CH OH alc

6 3 3 3 2

H O alc

6 3 3 3 2

CCl alc

E (4.19 10 m )(0.7 10 Kg/ m )(9.81m / s ) E 0.03N

E (4.19 10 m )(1.0 10 Kg/ m )(9.81m / s ) E 0.04N

E (4.19 10 m )(1.7 10 Kg/ m )(9.81m / s ) E 0.07N


Resolver los ejercicios propuestos 5.1 a 5.62 del libro de Mott (Pag. 147 PDF).

Nota: Cada alumno resolverá 5 ejercicios de acuerdo al ultimo digito de su código. 1: 5.1, 5.11, 5.21, 5.31, 5.41 y 5.51, 5.61 (Opc.) 2: 5.2, 5.12, 5.22, 5.32, 5.42 y 5.52, 5.62 (Opc.) 3: 5.3, 5.13, 5.23, 5.33, 5.43 y 5.53

9: 5.9, 5.19, 5.29, 5.39, 5.49 y 5.59 0: 5.10, 5.20, 5.30, 5.40, 5.50 y 5.60

Fecha limite de entrega: El día programado para

el Examen Final.

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