2ºBAC Solucionario Fisica Santillana

2

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2Presentacin

Adems de responder a las cuestiones bsicas del programa de Fsica para segundo de bachillerato, el texto de Santillana pretende dar una respuesta a los conocimientos necesarios para superar con xito las pruebas de selectividad. Es por esto que casi la totalidad de las cuestiones y ejercicios seleccionados se incluyen dentro de las pruebas de selectividad de todo el territorio nacional.

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3ndiceprESEntAcin

Tema 1 La interaccin gravitatoria 5

Tema 2 El campo gravitatorio 33

Tema 3 El campo electrosttico 73

Tema 4 El campo magntico 129

Tema 5 La induccin electromagntica 171

Tema 6 El movimiento armnico simple (MAS) 205

Tema 7 El movimiento ondulatorio. El sonido 245

Tema 8 La luz y la ptica 291

Tema 9 La fsica cuntica 335

Tema 10 relatividad. Fsica nuclear 369

Anexos Sistema peridico de los elementos 404

tabla de constantes fsicas y qumicas 406

Presentacin

Adems de responder a las cuestiones bsicas del programa de Fsica para segundo de bachillerato, el texto de Santillana pretende dar una respuesta a los conocimientos necesarios para superar con xito las pruebas de selectividad. Es por esto que casi la totalidad de las cuestiones y ejercicios seleccionados se incluyen dentro de las pruebas de selectividad de todo el territorio nacional.

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76

programacin de aula

1 La interaccin gravitatoria

Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican. Comprensincinemticadelmovimientodeloscuerposqueintegran

elSistemaSolar.LeyesdeKepler. LadinmicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.

LeydeNewtondelagravitacinuniversal. Lainteraccingravitatoriacomointeraccinadistancia. Lainteraccingravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.

Relacinconlafuerzapeso. Distincinentrepesoymasa. Interaccingravitatoriadeunconjuntodemasas.Principio

desuperposicin. Consecuenciasdelainteraccingravitatoria.Explicacindelasmareas.

Conceptos

CONTENIDOS

Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.

Utilizarconsolturaherramientasdeclculocomolascalculadorasolashojasdeclculo.

Relacionardatosymodelosmatemticosconfenmenosobservados(interpretacindelcalendario,lasmareas,duracindelaoendistintosplanetas,etc.).

Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimblico.

Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.

Procedimientos, destrezas y habilidades

1. Educacin cvicaComosucedienelmomentohistricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientficoqueseopongaalaideologaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Serinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientficofrentealpoderestablecido.

Puestoqueeldebatesoloserfructferosihayposibilidaddeofrecerdiversasposiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolparasusmiembros.

Sesugierenalgunosposiblesttulosparaeldebate:

Puedenloscientficosestablecerteorasqueseoponganalaleynatural? Puedenloscientficosinvestigarsobrecualquiercosa? Eltrabajocientficopuededestruirlasociedad?

EDUCACIN EN VALORES

1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeomtricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocntrico.

2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposicinylavelocidaddeloscuerposcelestes.

3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcarctercentraldelafuerzaresponsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusrbitasseanestablesyplanas.

4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitacinuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacerclculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.

5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.

6. Utilizarelclculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.

7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccingravitatoria.

CRITERIOS DE EVALUACIN

Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.

Respetareltrabajocientficoysuindependenciafrenteaideologas. Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidos

porprocedimientoscientficosylavulnerabilidaddelasteorasquelosinterpretan.

Actitudes Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.

Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.

Estudiarelmodelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgicaylaevolucingeomtricaquerequiriparaexplicarlosdatos.

Estudiarelmodeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideolgicosquesuscita.

ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.

EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.

Comprenderelalcancedelaleydelagravitacinuniversal.Manejarlaenelmbitocelesteyenelterrestre.

Utilizarlaformulacinvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteraccinentreunconjuntodemasaspuntuales.

Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenmenosobservables,comoeldistintopesodeunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracindelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.

OBJETIVOS

5

La interaccin gravitatoria1

SeiniciaestecursodeFsicaabordandoelestudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvanatratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaesmuydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicandolasleyesfsicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiracercasealacomprensindeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.

Losdiseoscurricularesestablecidosenlosltimostiemposbuscanquelosalumnosalcancencompetenciatecnolgica,especialmenteenelmanejoderecursosinformticos.Eltratamientodelosdatosqueseempleanenestetemaproporcionarocasinparautilizarhojasdeclculoyrepresentacionesgrficasquefacilitarnlacomprensindelosproblemasanalizados.

PRESENTACIN

4

Introduccin

8


9

Solucionario

1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.

De acuerdo con la segunda ley de Kepler, la Tierra gira alrededor del Sol con velocidad areolar constante. Esto determina que su velocidad lineal es mayor en el perihelio que en el afelio. El hemisferio norte de la Tierra est en posicin opuesta al Sol cuando se mueve en la zona del perihelio, poca de las estaciones otoo-invierno. Este es el motivo por el que el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.

2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)

De acuerdo con la tercera ley de Kepler:

Tr

2

3= cte.

Por tanto, TrT

T

cte.2

3= T

rM

M

cte.2

3=

Adems, sabemos que r rM T= 1 468, . Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 468

1 4

= =

( , )

,

6681 468 1 468 1 78

32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T , , , TT

Por lo tanto hay 1,78 aos terrestres en cada ao marciano.

3. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.

De acuerdo con la tercera ley de Kepler: T

r

2

3= cte.

Por tanto, T

rT

T

cte.2

3= T

rJ

J

cte.2

3=

Adems, sabemos que T TJ T= 12 . Igualando:

T

rTr

Tr

T

r

r r

J

J

T

T

T

J

T

T

J

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

12

12 1

= =

=

( )

TTJ T J T T33 2 3 2312 12 5 24 r r r r r= = = ,

Por lo tanto, la distancia de Jpiter al Sol es 5,24 veces mayor que la distancia de la Tierra al Sol.

4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 109 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)

El momento angular se conserva:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelioafelio perkm

r

v v

5 26 109, = iihelio

perihelio afelio

km 8 75 105 26

7,

,

v v= 10

8 75 1060 11

9

7,,= vafelio

Por lo tanto, la velocidad en el perihelio es 60,11 veces mayor que la velocidad en el afelio.

5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.

Dato: 1 UA = 1,496 1011 m.

De nuevo se conserva el momento angular:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelioafelio pem/s

r

r r

3 48 104, = rrihelio m/s 3 53 104,

Adems, sabemos que:

r r

rafelio perihelio

af

UA m+ = =1 446 216 32 109, , eelio periheliom= 216 32 109, r

23,523,5

SolAfelio (verano en

el hemisferio norte)

Perihelio (invierno en el hemisferio

norte)

(El dibujo no est a escala.)

En cualquier texto de Fsica los ejercicios y las cuestiones consti-tuyen una parte fundamental del contenido del libro. En nuestro material, las actividades aparecen agrupadas en dos secciones:

Juntoalateora,apiedepgina. Alfinaldecadatema.

En este libro se presenta, para cada uno de los temas del libro de texto:

La Programacin de aula (objetivos, contenidos y criterios de evaluacin).

La Resolucin de todos los ejercicios incluidos en el libro del alumno.

Adems de este libro, al profesor se le ofrece como material de apoyo un CD con pruebas de acceso a la Universidad resueltas.

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5La interaccin gravitatoria1

SeiniciaestecursodeFsicaabordandoelestudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvanatratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaesmuydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicandolasleyesfsicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiracercasealacomprensindeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.

Losdiseoscurricularesestablecidosenlosltimostiemposbuscanquelosalumnosalcancencompetenciatecnolgica,especialmenteenelmanejoderecursosinformticos.Eltratamientodelosdatosqueseempleanenestetemaproporcionarocasinparautilizarhojasdeclculoyrepresentacionesgrficasquefacilitarnlacomprensindelosproblemasanalizados.

PRESENTACIN

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Conceptos

CONTENIDOS






Procedimientos, destrezas y habilidades





EDUCACIN EN VALORES


















OBJETIVOS

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7programacin de aula

La interaccin gravitatoria






CONTENIDOS










EDUCACIN EN VALORES









Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.

Respetareltrabajocientficoysuindependenciafrenteaideologas. Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidos

porprocedimientoscientficosylavulnerabilidaddelasteorasquelosinterpretan.










OBJETIVOS

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1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.

DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestenposicinopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,pocadelasestacionesotoo-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoo-inviernoduraseisdasmenosqueeldeprimavera-verano.

2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:

Tr

2

3= cte.

Portanto,TrT

T

cte.2

3=T

rM

M

cte.2

3=

Adems,sabemosquer rM T= 1 468, .Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 468

1 4

= =

( , )

,

6681 468 1 468 1 78

32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T , , , TT

Porlotantohay1,78aosterrestresencadaaomarciano.

3. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.


Portanto,

Adems,sabemosque .Igualando:

Porlotanto,ladistanciadeJpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.


Elmomentoangularseconserva:

Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.


Dato: 1 UA = 1,496 1011 m.

Denuevoseconservaelmomentoangular:

Adems,sabemosque:

23,523,5

SolAfelio(veranoenelhemisferio

norte)Perihelio

(inviernoenelhemisferio

norte)

(El dibujo no est a escala.)

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Solucionario

Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.

DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestenposicinopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,pocadelasestacionesotoo-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoo-inviernoduraseisdasmenosqueeldeprimavera-verano.

La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)


Portanto,

Adems,sabemosque .Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 468

1 4

= =

( , )

,

6681 468 1 468 1 78

32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T , , , TT

Porlotantohay1,78aosterrestresencadaaomarciano.

El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:T

r

2

3= cte.

Portanto,T

rT

T

cte.2

3=T

rJ

J

cte.2

3=

Adems,sabemosqueT TJ T= 12 .Igualando:

T

rTr

Tr

T

r

r r

J

J

T

T

T

J

T

T

J

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

12

12 1

= =

=

( )

TTJ T J T T33 2 3 2312 12 5 24 r r r r r= = = ,

Porlotanto,ladistanciadeJpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.


Elmomentoangularseconserva:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelioafelio perkm

r

v v

5 26 109, = iihelio

perihelio afelio

km 8 75 105 26

7,

,

v v= 10

8 75 1060 11

9

7,,= vafelio

Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.


Dato: 1 UA = 1,496 1011 m.

Denuevoseconservaelmomentoangular:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelioafelio pem/s

r

r r

3 48 104, = rrihelio m/s 3 53 104,

Adems,sabemosque:

r r

rafelio perihelio

af

UA m+ = =1 446 216 32 109, , eelio periheliom= 216 32 109, r

Perihelio(inviernoenelhemisferio

norte)

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10


Sustituyendo:

( , ) ,216 32 10 3 48 109 4 m m/sperihelio perih =r r eelio

perihelio

m/s

m

3 53 10

216 32 10 3

4

9

,

,

r = ,,, ,

,48 10

3 48 10 3 53 10107 38 1

4

4 4

m/sm/s m/s+

= 009 m

Entonces:rperihelio m m= =216 32 10 107 38 10 108 94 19 9, , , 009 m

6. Si la rbita de un planeta es elptica, en qu punto de su trayectoria tendr velocidad lineal mxima? Y si la rbita fuera circular?

UnaconclusindelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:

L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelio rSilarbitaeselptica,suvelocidadlinealsermximaenelperihelio,yaqueahladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.Silarbitafueracircular,suvelocidadlinealserlamismaentodalarbita.

7. Un cuerpo de masa m1 est separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atraccin WF. Calcula el valor de la fuerza si:

a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce

a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.

a) Sim m'1 12= :

F Gm m

dF G

m m

d

F Gm m

d

''

'

'

= =

=

1 22

1 22

1 2

2

2

22

2 F F' =

Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.

b) Sim m'1 11

2= :

F Gm m

dF G

m m

d

F Gm m

''

'

'

= =

=

1 22

1 2

2

1

12

12

222

12d

F F ' =

Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambinsereducealamitad.

c) Si :

Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.

d) Si :

Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.

8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compr en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. Cunto pesar en la Luna si la mide con una balanza de resorte? Y si la mide con una balanza de platos?

Conunabalanzadeplatospesarexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.Conunabalanzaderesortelamedidaseveraafectadaporlagravedad.

9. Dnde tendr ms masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? Dnde pesar ms?

TendrlamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarmsenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.

10. La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Cul es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Jpiter es gaseoso y no tiene una superficie slida como la Tierra o Marte.)

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Solucionario

Sustituyendo:

( , ) ,216 32 10 3 48 109 4 m m/sperihelio perih =r r eelio

perihelio

m/s

m

3 53 10

216 32 10 3

4

9

,

,

r = ,,, ,

,48 10

3 48 10 3 53 10107 38 1

4

4 4

m/sm/s m/s+

= 009 m

Entonces:

Si la rbita de un planeta es elptica, en qu punto de su trayectoria tendr velocidad lineal mxima? Y si la rbita fuera circular?

UnaconclusindelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:

Silarbitaeselptica,suvelocidadlinealsermximaenelperihelio,yaqueahladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.Silarbitafueracircular,suvelocidadlinealserlamismaentodalarbita.

Un cuerpo de masa m1 est separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atraccin WF. Calcula el valor de la fuerza si:

a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce

a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.

a) Si :

Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.

b) Si :

Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambinsereducealamitad.

c) Sid d' = 12

:

F Gm m

d

F Gm m

d' '=

=

1 2

2

1 2

212

14

F G m md

F F' '= =4 41 22

Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.

d) Sid d' = 2 :

F Gm m

dF G

m md

F Gm

' '

'

= =

=

1 22

1 2

2

1

2 41

4

( )

md

F F22

1

4 ' =

Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.

8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compr en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. Cunto pesar en la Luna si la mide con una balanza de resorte? Y si la mide con una balanza de platos?

Conunabalanzadeplatospesarexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.Conunabalanzaderesortelamedidaseveraafectadaporlagravedad.

P m gP m g PTierra Tierra

Luna LunaLuna

==

== P

ggTierra

Luna

Tierra

9. Dnde tendr ms masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? Dnde pesar ms?

TendrlamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarmsenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.

10. La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Cul es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Jpiter es gaseoso y no tiene una superficie slida como la Tierra o Marte.)

P F GM m

R= G =

2

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12


EnlaTierraPT=750N.EnJpiter:

P GM m

RG

M mR

GM

JJ

J

T

T

T= =

= 2 2 2

318

11

318

11( ) =

= = =

mR

P P

( )T

T J750 N 1971N

2

2 2

318

11

318

11

11. En cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.

a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del tringulo.

b) Y si el cuerpo que est en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un tringulo.)

Elbaricentrodeltringuloeselpuntoenquesecortansusmedianas;

seencuentraaunadistanciadecadavrticeiguala2h3

.

Paraeltringulodelproblema:

hh= = = =6 33

5 203

2 2 5,20 mm

1,73 m ,

2

3

2 5 203

= =h , m 3,47 m

Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposicin,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.

Elmdulodecadaunadelastresfuerzasesidntico:

F Gm m

di

i2

2

N mkg

kg kg= = 2

112

6 67 105 103 47

,, mm

N2

= 2 77 10 10,

(i=A,B,C.)

Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncindesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:

WFA=FcosWiFsenWjWFB=+FcosWiFsenWjWFC=FWj

WFT=WFA+WFB+WFC WFT=(FcosWiFsenWj)+ (FcosWiFsenWj )+ FWj

Teniendoencuentaquelosngulosysoniguales:WFT=2FsenWj+FWj=2F0,5Wj+FWj=0

Conclusin:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntringulo.

12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:

a) Explica por qu un mismo astro aparece unas veces ms brillante que otras.

b) Explica el movimiento retrgrado de Marte.

a) UnastroapareceavecesmsbrillanteporquesudistanciaalaTierravaraenfuncindelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.

6m 6m

C

B

6m

2h3

h3

5kg

5kg 5kg

10kg

WFC

WFB

WFA

A

833523 _ 0005-0032.indd 12 14/5/09 08:11:21


13

Solucionario

EnlaTierraPT=750N.EnJpiter:

En cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.

a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del tringulo.

b) Y si el cuerpo que est en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un tringulo.)

Elbaricentrodeltringuloeselpuntoenquesecortansusmedianas;

seencuentraaunadistanciadecadavrticeiguala .

Paraeltringulodelproblema:

Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposicin,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.

Elmdulodecadaunadelastresfuerzasesidntico:

F Gm m

di

i2

2

N mkg

kg kg= = 2

112

6 67 105 103 47

,, mm

N2

= 2 77 10 10,

(i=A,B,C.)

Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncindesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:

sen sen = = =1 733 47

0 5,,

,

cos,

, cos = = =33 47

0 86

WFA=FcosWiFsenWjWFB=+FcosWiFsenWjWFC=FWj

WFT=WFA+WFB+WFC WFT=(FcosWiFsenWj)+ (FcosWiFsenWj )+ FWj

Teniendoencuentaquelosngulosysoniguales:WFT=2FsenWj+FWj=2F0,5Wj+FWj=0

Conclusin:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntringulo.

12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:

a) Explica por qu un mismo astro aparece unas veces ms brillante que otras.

b) Explica el movimiento retrgrado de Marte.

a) UnastroapareceavecesmsbrillanteporquesudistanciaalaTierravaraenfuncindelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.

A B

C

WFC

WFBxWFAx

WFByWFAyWFBWFA

B

5kg

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14


b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.

13. Utilizando un modelo heliocntrico, justifica el movimiento retrgrado de Marte.

ElmovimientoretrgradodeMarteeslatrayectoriairregularquesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.

LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyeccinenlabvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccindelasdistintaslneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrgrado).

14. Si el Sol est en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicacin de por qu no se observa paralaje estelar; es decir, por qu no se ve que cambie la posicin de una estrella en el firmamento al cambiar la posicin de la Tierra.

Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.

15. En el lenguaje comn decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Qu tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmacin?

Geocntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelacinaella.

16. Una partcula se mueve con movimiento rectilneo uniformemente acelerado alejndose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en direccin radial. Su momento angular:

a) Es constante.

b) Es cero.

c) Aumenta indefinidamente.

Porladefinicindemomentoangular:

WL=WrWp=WrmWv senSilosvectoresdeWryWvtienenlamismadireccinysentido,resultaqueformanunngulode0,porloquesen0=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).

17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partcula se acerca continuamente al origen.

Lanicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunngulode180,pero,nuevamente,sen180=0yelresultadoesnulo,L=0.

18. Una partcula se mueve en un plano con movimiento rectilneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.

Elmomentoangularesconstantesinovaraconeltiempo.

ElvectormWv esparaleloaWv.Elproductovectorial

=Wv(mWv )es0,yaqueelsenodelnguloqueformanes0.Silapartculasemueveconmovimientorectilneoyuniforme:

Tierra

Deferente

Epiciclo

Tierra

Tierra

Marte

Marte

Sol

SolEstrellasfijasMovimiento

observadodeMarte

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15

Solucionario

b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.

Utilizando un modelo heliocntrico, justifica el movimiento retrgrado de Marte.

ElmovimientoretrgradodeMarteeslatrayectoriairregularquesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.

LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyeccinenlabvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccindelasdistintaslneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrgrado).

Si el Sol est en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicacin de por qu no se observa paralaje estelar; es decir, por qu no se ve que cambie la posicin de una estrella en el firmamento al cambiar la posicin de la Tierra.

Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.

15. En el lenguaje comn decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Qu tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmacin?

Geocntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelacinaella.

16. Una partcula se mueve con movimiento rectilneo uniformemente acelerado alejndose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en direccin radial. Su momento angular:

a) Es constante.

b) Es cero.

c) Aumenta indefinidamente.

Porladefinicindemomentoangular:

WL=WrWp=WrmWv senSilosvectoresdeWryWvtienenlamismadireccinysentido,resultaqueformanunngulode0,porloquesen0=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).

17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partcula se acerca continuamente al origen.

Lanicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunngulode180,pero,nuevamente,sen180=0yelresultadoesnulo,L=0.

18. Una partcula se mueve en un plano con movimiento rectilneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.

Elmomentoangularesconstantesinovaraconeltiempo.

d Ldt

d r pdt

d rdt

m v rd m v

dt= = + =( ) ( ) ( ) ( ) 0

W W W WWW

ElvectormWv esparaleloaWv.Elproductovectorial d rdt

m v v m v = ( ) ( )W W

=Wv(mWv )es0,yaqueelsenodelnguloqueformanes0.Silapartculasemueveconmovimientorectilneoyuniforme:

d m vdt

dLdt

L( ) = = =0 0 cte.W

Deferente

Epiciclo

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16


19. Si una partcula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:

a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.

Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular,d Ldt

r F= W

W W .

Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccindelradio.SilapartculadescribeunmovimientocircularbajolaaccindeestafuerzasecumplirWrWF=0,porloqueWLnopresentarvariacinrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).

20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:

a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Vara el momento lineal y se conserva el momento angular.

Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccindefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservar.RecurdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperiheliosermayorqueenelafelio.

21. Las rbitas de los planetas son planas porque:

a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la accin de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una nica estrella.

Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesurbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccindeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasrbitassonplanas.RecurdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccindeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanrbitasplanas.

22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.

UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:

WL1=WL2Wr1(mWv1)=Wr2(mWv2)Simplificamosm:

Wr1Wv1=Wr2Wv2= Wcte.

23. Explicar por qu los cometas que orbitan elpticamente alrededor del Sol tienen ms velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carcter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.

(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)

Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarrereasigualesentiemposiguales.

Poresto,cuandoelcometaestmscercadelSol,tendrquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismareaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestalejadodelSol.Paraello,debemoversemsrpido.

24. Dos satlites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la rbita de B ser: a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.

Sitienenelmismomomentoangular:LA=LBmAvArA=mBvBrB

50mBvArA=mB2vArB50rA=2rBPorlotanto,larespuestacorrectaeslad).

25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, cmo sera su periodo de revolucin alrededor del Sol?:

a) Igual. b) De 2 aos. c) De 4 aos.

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17

Solucionario

Si una partcula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:

a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.

Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, .

Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccindelradio.SilapartculadescribeunmovimientocircularbajolaaccindeestafuerzasecumplirWrWF=0,porloqueWLnopresentarvariacinrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).

En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:

a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Vara el momento lineal y se conserva el momento angular.

Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccindefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservar.RecurdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperiheliosermayorqueenelafelio.

Las rbitas de los planetas son planas porque:

a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la accin de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una nica estrella.

Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesurbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccindeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasrbitassonplanas.RecurdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccindeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanrbitasplanas.

Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.

UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:

WL1=WL2Wr1(mWv1)=Wr2(mWv2)Simplificamosm:

Wr1Wv1=Wr2Wv2= Wcte.

23. Explicar por qu los cometas que orbitan elpticamente alrededor del Sol tienen ms velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carcter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.

(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)

Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarrereasigualesentiemposiguales.

Poresto,cuandoelcometaestmscercadelSol,tendrquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismareaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestalejadodelSol.Paraello,debemoversemsrpido.

24. Dos satlites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la rbita de B ser: a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.

Sitienenelmismomomentoangular:LA=LBmAvArA=mBvBrB

50mBvArA=mB2vArB50rA=2rBPorlotanto,larespuestacorrectaeslad).

25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, cmo sera su periodo de revolucin alrededor del Sol?:

a) Igual. b) De 2 aos. c) De 4 aos.

Mslento

Msrpido

AfelioSol

Perihelio

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18


DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire

alrededordelSol,

Porlotanto,lavelocidadyelradioderbitavarandeformainversa:vsermayorcuantomenorsear.Adems,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).

28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 108 km y que la Tierra tarda 365,256 das en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 1011 N m2 kg2.(P. Asturias. Junio, 2006)

CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol,FG=FC:

Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:

29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de rbitas circulares.

b) Rhea y Titn son dos satlites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 das terrestres en recorrer sus rbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la rbita de Rhea es 5,27 108 m, calcula el radio medio de la rbita de Titn y la masa de Saturno.

G = 6,67 1011 N m2 kg2.(Aragn. Septiembre, 2006)

a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendorbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse.

2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.LavariacindelradiodelaTierra

noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresutamao.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.

mvr

GM m

rT

S T 2

2=

Sabiendoquev rT

r= = 2 ,sustituyendoydespejando:

22

22

22

2 3

Tr

rG

Mr

Tr

G M

= =

S

S ( )

Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesurbita.Larespuestacorrectaeslaa).

26. Qu cambio experimentara el periodo de revolucin de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?


alrededordelSol,T

r

2

3= cte.LavariacindelradiodelaTierra

noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresumasa.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.

mvr

GM m

rT

S T 2

2=

Sabiendoquev rT


22

22

22

2 3

Tr

rG

Mr

Tr

G M

= =

S

S ( )

Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningncambio.

27. Un objeto que describe rbitas circulares alrededor del Sol ir ms rpido: a) Cuanto mayor sea el radio de la rbita.b) Cuanto menor sea el radio de la rbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.

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19

Solucionario

T 2

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.

= = =

= =2 22

2

2 2

2

3

2

Tvr

Tr

v

rvr

vr

;

( )( )

cte. cte.

Porlotanto,lavelocidadyelradioderbitavarandeformainversa:vsermayorcuantomenorsear.Adems,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).

28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 108 km y que la Tierra tarda 365,256 das en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 1011 N m2 kg2.(P. Asturias. Junio, 2006)

CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol,FG=FC:

mvr

GM m

rT

S T 2

2=

Sabiendoquev rT


m Tr

rG

M m

rM

TT

S TS

22

22

2

= =

=

2 3

6

2

31 558 10

rG

M

Ss

,

22 11

11 2

1 49 106 67 10

1 965 1

( ,

,,

m)N m kg

3

2= 0030 kg

29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de rbitas circulares.

b) Rhea y Titn son dos satlites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 das terrestres en recorrer sus rbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la rbita de Rhea es 5,27 108 m, calcula el radio medio de la rbita de Titn y la masa de Saturno.

G = 6,67 1011 N m2 kg2.(Aragn. Septiembre, 2006)



dAdt

= cte.


alrededordelSol, LavariacindelradiodelaTierra

noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresutamao.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.


Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesurbita.Larespuestacorrectaeslaa).

Qu cambio experimentara el periodo de revolucin de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?


alrededordelSol, LavariacindelradiodelaTierra

noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresumasa.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.


Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningncambio.

Un objeto que describe rbitas circulares alrededor del Sol ir ms rpido: a) Cuanto mayor sea el radio de la rbita.b) Cuanto menor sea el radio de la rbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.

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20


3. Paratodoslosplanetas:Ta

k2

3= (constante).Dondeaes

elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta. Demostramosestaleyconlaleydegravitacinuniversal.

Paraunplanetaquedescribeunarbitacircular:

F F mvr

GM m

rG C T

S T= = 2

2

Sabiendoquev rT

r= = 2 ,sustituyendo:

2 2 2

2

T

r

rG

Mr

= S rT

GM3

2 22= =S

( )cte.

b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatlites:

T

r

T

r12

13

22

23

2

8 35 27 10=

=

( )

( , )

(4,52 das

m

15,9 ddas

T

)2

3r

rT15,9 das m

4,52 das=

=

( ) ( , )

( ),

2 8 3

23

5 27 101 222 109 m

ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatlites,porejemplo,Rhea.

CuandounsatliteestenrbitaalrededordeSaturnoFG=FC:

mvr

GM m

rR

S R 2

2=

Sabiendoquev rT


22

22

2

T

r

rG

Mr

MT

= =

S S

2 3

rG

TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:

MT

rG

SR

R

s

=

=

=

2

2

390 528 10

2 3

3

,

2 8

11 2

5 27 106 67 10

( ,

,m)

N m kg

3

22

S kg

M = 568 015 1024,

30. Jpiter es un planeta que est rodeado de una serie de lunas que giran en torno a l de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Jpiter.

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatlitesquegiran

alrededordeunmismoplanetaverifican:

Portanto,

Igualando:

YparaGanimedes:

31. El periodo de revolucin de Marte alrededor del Sol es de 687 das. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las rbitas descritas son circunferencias.)(C. F. Navarra. Junio, 2007)

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran

alrededordelSolverifican:

Igualando:

833523 _ 0005-0032.indd 20 14/5/09 08:11:27


21

Solucionario

3. Paratodoslosplanetas: (constante).Dondeaes

elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta. Demostramosestaleyconlaleydegravitacinuniversal.

Paraunplanetaquedescribeunarbitacircular:

Sabiendoque ,sustituyendo:

b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatlites:

ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatlites,porejemplo,Rhea.

CuandounsatliteestenrbitaalrededordeSaturnoFG=FC:


TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:

30. Jpiter es un planeta que est rodeado de una serie de lunas que giran en torno a l de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Jpiter.

Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo (das)

o 421,6 1,769

europa 3,551

ganimedes 1070

calisto 1882 16,689

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatlitesquegiran

alrededordeunmismoplanetaverifican:Tr

2

3= cte.

Portanto,TrI

I

cte.2

3=T

rE

E

cte.2

3=

T

rG

G

cte.2

3=

Igualando:

T

r

T

rr

T

TrE

E

I

IE

E

II

2

3

2

3

2

233

2

2

3 551

1 7694= = = ,

,221 6 670 8933 , ,=

rEuropa m= 670 89 106,YparaGanimedes:

T

r

T

rT

rr

TG

G

I

IG

G

II

2

3

2

3

3

32

3

3

1070421 6

1 7= = = ,

, 669 7 1522 = ,

TGaminedes 7,152 das=

31. El periodo de revolucin de Marte alrededor del Sol es de 687 das. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las rbitas descritas son circunferencias.)(C. F. Navarra. Junio, 2007)

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran

alrededordelSolverifican:Tr

2

3= cte.

T

rM

M

2

3=

T

rT

T

cte.2

3=

Igualando:

T

rTr

rTT

rM

M

T

TM

M

TT

2

3

2

3

2

233

2

233 687

365150= = = ==

=

228 67

228 67 106

,

,

rM km

833523 _ 0005-0032.indd 21 14/5/09 08:11:29

22


32. Europa, satlite de Jpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una rbita completa de 6,71 105 km de radio cada 3 das, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:

a) La velocidad lineal de Europa con relacin a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.

Obtenemoselperiodoensegundos:

T = +324 60 60

113

60das

h

1 damin

1 hs

minh

min1 h

601

14 6601

306 876 103

smin

mins

mins

+

+ =, ,

a)v rT

r= =

=

2 2

306 876 103, s

=

=

6 71 10

13 74 10

9

3

,

,

m

m/s

b) CuandoEuropaestenrbitaalrededordeJpiter,FG=FC:

m

vr

GM m

r

Mv r

G

EJ E

J

2m/s)

=

2

2

2 313 74 10

=

=

( , 66 71 106 67 10

1 899 108

11 227,

,,

m

N m /kgkg

2=

33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.

Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.

CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierraFG=FC:

mvr

GM m

rL

T L 2

2=

Sabiendoquev rT


22

22

2

T

r

rG

Mr

MT

= =

T T

2 3rG

MT3

sm)=

2

2 3 10388 400 10

66

2 3,

(

,,,

67 106 35 10

11 224

N m kg

kg2

=

34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula: a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotacin en das.

Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 106 m.

a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,FG=FC:

[1]

EnlasuperficiedelaTierra:

[2]

Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelacinr=60 RT:

b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:

35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen ms rpido los cuerpos:

a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rpido.

Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleracinquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.

Comoseapreciaenlafrmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleracin;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).

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23

Solucionario

Europa, satlite de Jpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una rbita completa de 6,71 105 km de radio cada 3 das, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:

a) La velocidad lineal de Europa con relacin a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.

Obtenemoselperiodoensegundos:

T = +324 60 60

113

60das

h

1 damin

1 hs

minh

min1 h

601

14 6601

306 876 103

smin

mins

mins

+

+ =, ,

a)

b) CuandoEuropaestenrbitaalrededordeJpiter,FG=FC:

m

vr

GM m

r

Mv r

G

EJ E

J

2m/s)

=

2

2

2 313 74 10

=

=

( , 66 71 106 67 10

1 899 108

11 227,

,,

m

N m /kgkg

2=

Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.

Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.

CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierraFG=FC:


MT3

sm)=

2

2 3 10388 400 10

66

2 3,

(

,,,

67 106 35 10

11 224

N m kg

kg2

=

34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula: a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotacin en das.

Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 106 m.


mvr

GM m

rv G

Mr

LT L T = =

2

22 [1]

EnlasuperficiedelaTierra:

g GMR

g R G M= = TT

T T22 [2]

Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelacinr=60 RT:

v GMr

g RR

g R

v

22

60 60

9 86 6 37

= =

=

=

T T

T

T

2m/s

, , = 1060

1 023 106

3m m/s,

b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:

v rT

R= = 2 60 T

Tv

R= =

=2 60 2 60 6 37 101 023 10

2 36

3

T

mm/s

,,

, 55 106 s

T = =2 35 106, s1 h

3600 s1 das24 h

27,17 das

35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen ms rpido los cuerpos:

a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rpido.

F GM m

rg mG

T= = 2

Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleracinquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.

Comoseapreciaenlafrmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleracin;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).

833523 _ 0005-0032.indd 23 14/5/09 08:11:31

24


36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.

a) Si hicisemos la experiencia en la Luna, cuntas pesas tendramos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?

b) Y si hicisemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m s2; gL =1,7 m s2.

Conunabalanzadeplatoshabrquecolocarlamismacantidaddepesas.Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveraafectadaporlagravedad.

P m gP m g

P

Tierra TierraLuna Luna

Lun

==

aa Tierra LunaTierra

Tierra= =Pgg

P 179 8

,,m/sm/ss

= PTierra 0 173,

37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Y cul sera su peso

a) si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m s2.

P=FG=m g.a) EnlaTierra:

g GMR

g P= = = = = TT

2 2m/s kg 9,8m s N2 0

9 8 70 686,

b) SiMM

'TT=2

:

g G

M

Rg

P m g mg P

'

' '

=

= =

=

= = =

T

T

NN

22

2 2

686

2343

2

c) SiRR'TT=2

:

g GM

RG

M

Rg

P m

'

'

=

= =

=

T

T

T

T

2 4

42 2

gg m g P' = 4 4 4 686 2744= = =N N

d) Si :

38. Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra?

Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; RT = 6370 km; MT = 5,98 1024 kg.

ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:

[1]

ParacalcularlafuerzacentrpetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotacinidnticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1da.UtilizamosunidadesdelSI:

[2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

39. Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto que est situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).

Llamamosg0alvalordelaaceleracindelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.

833523 _ 0005-0032.indd 24 14/5/09 08:11:32


25

Solucionario

Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.

a) Si hicisemos la experiencia en la Luna, cuntas pesas tendramos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?

b) Y si hicisemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m s2; gL =1,7 m s2.

Conunabalanzadeplatoshabrquecolocarlamismacantidaddepesas.Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveraafectadaporlagravedad.

Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Y cul sera su peso

a) si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m s2.

P=FG=m g.a) EnlaTierra:

g GMR

g P= = = = = TT

2 2m/s kg 9,8m s N2 0

9 8 70 686,

b) Si :

c) Si :

d) SiMM

RR' 'T

TT

Ty= =2 2

:

g G

M

RG

M

Rg

P

'

'

=

= =

=

T

T

T

T

2

2

2

4

22 2

mm g m g P = ' 2 2 2 686 1372= = =N N

38. Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra?

Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; RT = 6370 km; MT = 5,98 1024 kg.

ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:

P F GM m

r= = =

GT2

1124

66 67 10

5 98 106 37 10

,,

( , )),

29 83 = m m [1]

ParacalcularlafuerzacentrpetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotacinidnticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1da.UtilizamosunidadesdelSI:

F mvr

mr

rm

TrC = =

= 2 2 2 2

2

2 ( )

F m mC =

= ( )( )

,2

24 36006 37 10 0 034

2

26 , [2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

PF

mmC

=

=9 830 034

289,,

39. Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto que est situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).

Llamamosg0alvalordelaaceleracindelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.

g GM

R hG

MR R

GMR

g

=+

=+

=

( ) ( )2 2 260

1

61T

T T

T

T2

== = = g02

22

61

m/s3721

m/s9 8

2 63 10 3,

,

833523 _ 0005-0032.indd 25 14/5/09 08:11:33

26


40. La Luna describe una rbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 das. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna

atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.

c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, con qu velocidad llegar al suelo?

d) Con qu velocidad llegar al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?

Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; MT = 5,98 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.


mvr

GM m

rL

T L 2

2=

Sabiendoquev rT

r= = 2 ,sustituyendo(unidadesSI) ydespejando:

2

2

22

2

T

r

rG

Mr

r G MT

= =

L

L

T

LL T

L

2

3

rL

2=

6 67 10 5 98 10 27 3 24 60 6011 24, , ,

=

=

23

6383 06 10, mb) Enestecaso:

F GM m

rG

MM

rT

T L

L

TT

L

N

= =

=

=

2 2

11

81

1

816 67 10,

m kg

( kg)( m)

2 22

2 =5 98 10

383 06 10200

24

6

,,

,668 1018 N

LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.

c) Elcuerpoquecaetendrunmovimientouniformementeacelerado.Vendrdeterminadoporlasecuaciones:

v v at y y v t a t= + = + + 0 0 0 21

2;

Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleracinserencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrsignonegativo.

TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mser:

Portanto:

Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo.

d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:

Portanto:


41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamao, cul ser su peso? Dato: gT = 9,8 m s2.

P=FG=m g.EnlaTierra:

Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):

833523 _ 0005-0032.indd 26 14/5/09 08:11:34


27

Solucionario

La Luna describe una rbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 das. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna

atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.

c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, con qu velocidad llegar al suelo?

d) Con qu velocidad llegar al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?

Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; MT = 5,98 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.


Sabiendoque ,sustituyendo(unidadesSI)

ydespejando:

b) Enestecaso:

F GM m

rG

MM

rT

T L

L

TT

L

N

= =

=

=

2 2

11

81

1

816 67 10,

m kg

( kg)( m)

2 22

2 =5 98 10

383 06 10200

24

6

,,

,668 1018 N

LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.

c) Elcuerpoquecaetendrunmovimientouniformementeacelerado.Vendrdeterminadoporlasecuaciones:

Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleracinserencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrsignonegativo.

TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mser:

g Gm

R hL

L

L

=+

=

( ),

,

211

24

6 67 10

5 98 1081

6370 100 104

1 943 2+

= , m/s2

y g t t

t

= =

=

12

1012

1 94

10 21 9

2 2L

2m m/s

m

,

, 44m/s2= 3,21 s

Portanto:

v g t t vL L L= = = = 1 94 1 94 3 21, , ,m/s m/s s 6,22 33m/s Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo.

d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:

g GM

R hT =

+=

T

T( ), ,

(211

246 67 10 5 98 10

6370 1033 2109 83

+=

), m/s2

y g t t

t

= =

=

12

1012

9 83

10 29 8

2 2T

2m m/s

m

,

, 33 m/s2= 1,43 s

Portanto:v g tT T 2m/s s= = = 9 83 1 43, , 14,06 m/s


41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamao, cul ser su peso? Dato: gT = 9,8 m s2.

P=FG=m g.EnlaTierra:

g GMR

TT

T

2m/s= = 2 9 8,

Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):

g GMR

G

M

RG

M

RgP

P

P

T

T

T

TT

10= = = = = 2 2 21

101

101

10

9 8

0 98 10 0 98 9 8

,

, , ,

m/s

m/s kg m/s

2

2 2

=

= = = = P m g NN

833523 _ 0005-0032.indd 27 14/5/09 08:11:35

28


42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la rbita.

b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el 90% del medido en la Tierra.

(Andaluca, 2007)



dAdt

= cte.

3. Paratodoslosplanetas:Ta

k2

3= (constante).

DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.

ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemsrpidoalestarmscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestmsalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.

b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaraentrelaTierrayVenus;loquevaraeselvalordelaaceleracindelagravedad,g,encadacaso:

g GMR

g GMR

VenusVenus

VenusTierra

Tierra

Ti

= = 2

;eerra

2

43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, en qu proporcin?

ConunrazonamientoidnticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacsereldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:

ComoP=FG=m g,resultaqueelpeso(2mgT)sereldoblequeenlaTierra.

44. La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su dimetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.

a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta completa

alrededor del Sol, expresado en aos terrestres.

Datos: g = 10 m s2; radio orbital terrestre = 1,5 1011 m.(Andaluca, 2007)

a) .

Si

b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira

alrededordelSolverifica:

Portanto, Adems,rJ=5 rT.Igualando:

Portanto,elperiododeJpiteresde11,18aosterrestres.

Mslento

Msrpido

SolAfelio Perihelio

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29

Solucionario

a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la rbita.

b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el 90% del medido en la Tierra.

(Andaluca, 2007)



3. Paratodoslosplanetas: (constante).

DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.

ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemsrpidoalestarmscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestmsalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.

b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaraentrelaTierrayVenus;loquevaraeselvalordelaaceleracindelagravedad,g,encadacaso:

43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, en qu proporcin?

ConunrazonamientoidnticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacsereldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:

dmV

dM

R

dM

R

M M= =

= =

= P P

T

TT

T

P T43

2 43

83 3 ( )

g GM

Rg G

MR

GMR

gTT

TP

P

P

T

TT= = = = 2 2 2

8

22

( )

ComoP=FG=m g,resultaqueelpeso(2mgT)sereldoblequeenlaTierra.

44. La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su dimetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.

a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta completa

alrededor del Sol, expresado en aos terrestres.

Datos: g = 10 m s2; radio orbital terrestre = 1,5 1011 m.(Andaluca, 2007)

a)P F m g g GMR

= = =G JJ

y J 2 .

SiM M R R g GM

RgJ T J T

T

TTy= = = =300 10

30010

32

J( )

P m g= = =J 75 kg 3 10 m/s 2250 N

b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira

alrededordelSolverifica:Tr

2

3= cte.

Portanto,T

rT

T

cte.2

3=

T

rJ

J

cte.2

3= Adems,rJ=5 rT.Igualando:

Tr

Tr

Tr

Tr

TT TJ

J

T

T

J

T

T

T

JT

2

3

2

3

2

3

2

3

2

32

5 5=

= =

( ) JJ T

J T T

2 3 2

3

5

5 1118

=

= =

T

T T T

,

Portanto,elperiododeJpiteresde11,18aosterrestres.

Perihelio

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30


Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveratradoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobrel.

Porladefinicindefuerzagravitatoria:

YqueremosqueFGT=FGL:

[1]

Ademssabemosque y .Retomando[1]:

Desarrollandolaecuacinde2.gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:

Ylasolucinesindependientedelamasadelcuerpo.

47. En los vrtices inferiores de un rectngulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que est en el tercer vrtice, si la altura del rectngulo es de 3 m.

LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserlafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.

45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequea masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vrtices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:

a) A y B se acercarn uno al otro ms rpidamente.b) C y X se acercarn uno al otro ms rpidamente.c) Se acercarn ambas parejas con la misma aceleracin.

Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleracin.Talycomoestnanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:

F GM M

dG =

2

M:masadeA,B,C.m:masadeX.

Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:

F M a GMd

a aG A B= = = 2

LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:

F GM m

dG =

2

LaaceleracindeloscuerposCyXesdistinta:

F m a GM m

dm a G

Md

a

F M a GM

GX X X X

GC C

= = =

=

2 2

mmd

M a Gmd

a2 2

= = C C

ElcuerpoCsemueveconmenoraceleracinquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmsrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoverhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.

46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 108 m, en qu punto debiera situarse un satlite de 10 toneladas para que sea igualmente atrado por ambas? Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.

(P. Asturias. Septiembre, 1999)

B

A

C

X

dd

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31

Solucionario

Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveratradoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobrel.

Porladefinicindefuerzagravitatoria:

F GM m

dF G

M md

GTT

GLL= =

12

22

;

YqueremosqueFGT=FGL:

GM m

dG

M md

Md

Md

=T L T L12

22

12

22

= [1]

Ademssabemosqued d d d M M1 2 8 1 8 23 84 10 3 84 10 0 012+ = = =, , , m m y L T yd d d d M M1 2 8 1 8 23 84 10 3 84 10 0 012+ = = =, , , m m y L T .Retomando[1]:

M

d

M

ddT T

( , )

,, ( ,

3 84 10

0 0120 012 3 8

822

22 2

2

=

= 44 108 2 2 d )

Desarrollandolaecuacinde2.gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:

d

d2

6

18 6

37 906 10

3 84 10 37 906 10 346

== =

,

, ,

m

y m m ,,094 106 m

Ylasolucinesindependientedelamasadelcuerpo.

47. En los vrtices inferiores de un rectngulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que est en el tercer vrtice, si la altura del rectngulo es de 3 m.

LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserlafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.

Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequea masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vrtices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:

a) A y B se acercarn uno al otro ms rpidamente.b) C y X se acercarn uno al otro ms rpidamente.c) Se acercarn ambas parejas con la misma aceleracin.

Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleracin.Talycomoestnanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:

Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:

LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:

LaaceleracindeloscuerposCyXesdistinta:

ElcuerpoCsemueveconmenoraceleracinquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmsrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoverhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.

Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 108 m, en qu punto debiera situarse un satlite de 10 toneladas para que sea igualmente atrado por ambas? Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la

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