A PRIMER

for the

MATHEMATICS

of

FINANCIAL ENGINEERING

Second Edition

DAN STEFANICA

Baruch CollegeCity University of New York

FE Press

New York

Contents

List of Tables xii

Preface to the Second Edition xiii

Preface to the First Edition xv

Acknowledgments xvii

How to Use This Book xix

1 Calculus review. Options. PutCall parity. 1

1.1 Brief review of dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Brief review of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Dierentiating denite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 LHopitals rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Multivariable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 Functions of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Plain vanilla European call and put options . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Arbitragefree pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 The PutCall parity for European options . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.1 Arbitrage opportunities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Forward and futures contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 Forward contracts and the PutCall parity . . . . . . . . . . 25

1.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Numerical integration. Interest Rates. Bonds. 35

2.1 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Dierentiating improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Midpoint, Trapezoidal, and Simpsons rules . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Convergence of numerical integration methods . . . . . . . . . . . . 43

vii

viii CONTENTS

2.4.1 Implementation of numerical integration methods . . . . . . 45

2.4.2 A concrete example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 Interest Rate Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5.1 Constant interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Forward rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6 Bonds. Yield of a bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.7 Bond duration and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8 Discretely compounded interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.9 Zero coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.10 Numerical implementation of bond mathematics . . . . . . . . . . . 65

2.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Probability concepts. BlackScholes formula. Greeks and hedg-

ing. 75

3.1 Discrete probability concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Continuous probability concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 Variance, covariance, and correlation . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 The standard normal variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 The BlackScholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6 The Greeks of European options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.6.1 Explaining the magic of Greeks computations . . . . . . . . 94

3.7 Implied volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.8 The concept of hedging. and hedging . . . . . . . . . . . . . 99

3.9 Implementation of the BlackScholes formula . . . . . . . . . . . . . 103

3.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Lognormal variables. Riskneutral valuation. 113

4.1 Change of pdfs for functions of random variables . . . . . . . . . . . 113

4.2 Lognormal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3 Independent random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.1 Independent normal random variables . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.2 Independent lognormal random variables . . . . . . . . . . . 121

4.4 The lognormal model for asset prices . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5 Riskneutral derivation of BlackScholes . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.6 Probability that options expire inthemoney . . . . . . . . . . . . 128

4.7 Financial interpretation of N(d1) and N(d2) . . . . . . . . . . . . . 129

ix

4.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5 Newtons method. Implied volatility. Bootstrapping. 135

5.1 Numerical methods for nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.1 Bisection Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.2 Newtons Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.1.3 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2 Numerical methods for Ndimensional problems . . . . . . . . . . . 144

5.2.1 The Ndimensional Newtons Method . . . . . . . . . . . . 144

5.2.2 The Approximate Newtons Method . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3 Computing bond yields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4 Implied volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.5 Bootstrapping for nding zero rate curves . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6 Taylors formula. Taylor series. Bond portfolio optimization.

ATM approximations of BlackScholes formulas. 161

6.1 Taylors formula for functions of one variable . . . . . . . . . . . . . 161

6.2 Taylors formula for multivariable functions . . . . . . . . . . . . . . 164

6.2.1 Taylors formula for functions of two variables . . . . . . . . 166

6.3 Taylor series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.3.1 Examples of Taylor series expansions . . . . . . . . . . . . . 171

6.4 Percentage and log returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.4.1 Asset returns and portfolio returns . . . . . . . . . . . . . . 176

6.5 Parallel shifts in the yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.6 Connections between duration and convexity . . . . . . . . . . . . . 181

6.7 Dollar duration and dollar convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.7.1 DV01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.7.2 Bond portfolio immunization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.8 BlackScholes formula: ATM approximations . . . . . . . . . . . . . 189

6.8.1 Several ATM approximations formulas . . . . . . . . . . . . 189

6.8.2 Deriving the ATM approximations formulas . . . . . . . . . 190

6.8.3 The precision of the ATM approximation of the BlackScholes

formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.9 Greeks and Taylors formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

x CONTENTS

7 Finite Dierences. BlackScholes PDE. 207

7.1 Forward, backward, central nite dierences . . . . . . . . . . . . . 207

7.2 Finite dierence solutions of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.3 Finite dierence approximations of the Greeks . . . . . . . . . . . . 220

7.3.1 Numerical accuracy of the nite dierence approximations of

the Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.4 The BlackScholes PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4.1 Financial interpretation of the BlackScholes PDE . . . . . . 228

7.4.2 The BlackScholes PDE and the Greeks . . . . . . . . . . . 228

7.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8 Multivariable calculus: chain rule, double integrals, extremum

points. Optimality of early exercise. 237

8.1 Chain rule for functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . 237

8.2 Double integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.3 Change of variables for double integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.3.1 Change of variables to polar coordinates . . . . . . . . . . . 244

8.4 Relative extrema of multivariable functions . . . . . . . . . . . . . . 245

8.5 The Theta of a derivative security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.6 Integrating the density function of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8.7 The BoxMuller method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.8 The BlackScholes PDE and the heat equation . . . . . . . . . . . . 257

8.9 Barrier options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.10 Optimality of early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

9 Lagrange multipliers. Portfolio optimization. 271

9.1 Lagrange multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

9.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.2 Optimal investment portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

9.3 Minimum variance portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

9.4 Maximum return portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

9.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

10 Mathematical Appendix 295

10.1 Even and odd functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

xi

10.2 Polynomial interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

10.3 Useful sums with interesting proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10.3.1 Sums of the formn

k=1 ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10.3.2 Sums of the formn

k=1 kjxk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

10.4 Sequences satisfying linear recursions . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10.5 The Big O and little o notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

10.6 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.7 Stirlings formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10.8 Convergence results for Taylor expansions . . . . . . . . . . . . . . 314

10.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

10.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Bibliography 325

Index 329