UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNILOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

CONTROL DIGITAL

PROYECTO FINAL

ESTUDIANTES

WILSON ALEXANDER HUERTAS URREGO

COD 3.216.368

EUCLIDES ANIMERO

COD

JESUALDO GAMEZ

COD

FREDDY SPADAFORA

COD

RAUL ALEJANDRO LOPEZ

COD

TUTOR

DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

SEMESTRE II 2012

INTRODUCCION

Los sistemas de control automático, son dispositivos utilizados en la industria, que permiten el control de variables críticas de un proceso industrial. Estos sistemas permiten que las variables controladas permanezcan en un punto de referencia, o en cierto rango aceptable respecto a este punto, Esto con el fin que los procesos industriales sean eficientes, con lo que se logra La eficiencia y optimización de la producción, además de minimizar costos ya que los lazos de control permiten una optimización de las materias primas y la minimización de la energía utilizada en producción

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de control:

Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

a).Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento. (b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es = 0.1 segundos.

SOLUCION

a).Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento.

Nota: lo primero que debemos hacer es expandir el denominador de la función de transferencia, haciendo esto nos queda de la siguiente manera

10

s2+3 s+2

Discretizamos la planta, lo que nos arroja la siguiente función de transferencia

0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

Hallamos el error en estado estacionario

Como nuestro sistema es de tipo utilizamos la siguiente fórmula para su cálculo

ess=lims−0

sR (s )1+Gc (s )G(s)

Entonces procedemos

Como es una entrada escalón

Uz= 1

1−z−1

Luego

X ( z )= 0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

1

1−z−1

Ahora aplicamos el teorema del valor final

Kp= limz−1

(z−1)=0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

1

1−z−1

Kp=limz−1

(1−z−1)=0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

1

1−z−1

Kp=limz−1

.0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

Kp=¿5.14

Ahora hallaremos la constante del error de posición Kp

Dedicmos que

Xss= 11+Kp

Entoces

Xss= 11+5.14

Xss=0.10629

Después prodemos a hallar el tiempo de establecimiento

Cosiderando esto

Continuamos

Entonces la función de transferencia quedaría asi

G ( z )= 0.74082

z2+(2∗1.724∗0.7408)+0.74082

G ( z )= 0.5488

z22.5543+0.5488

Ta para el 1%

Ta= 4.6ᶓwn

ᶓ=2.5543

wn= 0.5488

entonces

Ta= 4.60.5488∗2.5543

Ta=3.28 seg

(b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es = 0.1 segundos.

M p=5=0.05=e−π . ζ2

√1−ζ 2

Se tiene

ζ=√ ( ln (0.05 ))2

π2+( ln (0.05 ))2=0.6901

wd=wn√1−¿ζ 2¿

wd=2.91rads

Se halla el ZOH

Gh (s )= 1

1+Ts2 ❑

= 10.05 s+1

= 105 s+10

Gs=10

(S2+3 S+2 ) (5 s+10 )

Luego con ζ=0.6901 y W n=4radseg

S0=−ζ wn+wn√1−ζ 2=2.76+2,76√3 j

Dc (s)=Ks+2,76s+5.82

Por lo que la ecuación característica deseada se convierte en:

Pd ( s)=s2+2∗ζ∗W n∗s+W n2

Pd ( s)=s2+5.52 s+16

El sistema en lazo cerrado será de la siguiente forma:

Gc=Gh (S )∗G p(s )1+Gh (S )∗G p(s)

GC=K D . S

2+K P . S+K I

0.5 s4+2.5∗S3+(3+KD ) . S2+(2+K P ) . S+K I

Ya que la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es de cuarto orden, se iguala con la ecuación característica deseada añadiendo un término de más, de la siguiente manera:

0.5 s4+2.5∗S3+(3+KD ) . S2+(2+K P ) . S+K I=( s2+5.52 s+16 )∗( s2+α . S+β )

=S4+ (α+5.52 ) . S3+(5.52. α+β+16 ) . S2+ (16 α+5.52 β )S+16 β

De donde se obtienen las siguientes ecuaciones:

0.5=0.5

2.5=α+5.52………….α=3.02

(K D+3 )=(5.52∗α+β+16 )…….=K D=β+29.67

(2+K P )= (16 α+5.52 β )=…………. K P=5.52 β+46.32

(K I )= (16 β )

Con lo que se llega a un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas (infinitas soluciones), suponiendo el valor de βcon el fin que cumpla con la condición de polos dominantes deseados, por ejemplo, si se quiere un par de polos remanentes complejos conjugados (no dominantes):

Al solucionar S2+αS+βse tiene:

S1.2=−α2

±√ α 2

4−β

α2

4−β<0

β>9.1

KP=K p−( K pK iT

2 )KI=K p K iT

KD=K pK d

T

Luego, los valores del PID discreto son:

Constante Proporcional:

1.3072

Constante Derivativa:

0.3865

Constante Integral:

0.9000

Ejercicio 2: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

Calcule la constante de error de velocidad , el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el margen de fase.

1 1

G(s) = =

S(S+1) s2 +→ s

1 1 1

ess = lim s → 0 → ess =

S 1 1

1+ 1 + lim s→ 0

s2 + s s2 + s

1

ess = → ess = 1

1

Se tiene un margen de fase de 51.8

b. Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 80º y la constante de error de velocidad sea T= 2. Suponga que el tiempo de muestreo es T= 0.2segundos.

SOLUCION

MF =51.8

Menor a un segundo

Escogiendo una red de adelanto se tiene que , y

haciendo que K= , se ajusta el valor de K, para cumplir con la especificación del valor Kv obtenido

A continuación se obtiene el diagrama de bode de la

A partir de este diagrama se determina que el margen de fase es de -12.8 y el margen de ganancia es ∞, como se requiere un margen de ganancia al menos de 80°, posteriormente se determina la frecuencia a la que el Angulo de fase es de -180, para obtener un margen de fase de 80°. Del grafica se observa que la frecuencia es de A -180° se tiene 83.3 rad/seg, y a esta frecuencia se tiene un magnitud de -45.1dB

Como la frecuencia de , debe estar dentro de una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que

Calculando el valor de Kc

Finalmente el compensador diseñado es

La función en lazo cerrado queda de la siguiente manera

Transfer function:

3636 s + 3636

s^3 + 1819 s^2 + 1818 s

Se tiene un margen de fase de 89.9

Ejercicio 3

Suponga que la función de transferencia de la planta es:

Diseñe un regulador digital por el método de ubicación de polos para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 10%, el tiempo de establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario sea cero. Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se obtengan 20 muestras por cada ciclo.

Gp (s )= 36s (s+3,6 )

y .0φ=10% ts<1 s ess=0

T→200muestras por ciclo

* 0 v=e−π3

√1− ʓ2

0,1=e−π 3

√1−ʓ2

ʓ=0,59

* ta=4

Wnʓ

Wn= 4Wnʓ

= 4(0,59 ) (1 )

=6,78vad / s

*T= 2πWn

= 2π6,78

=0,93 s

Gp (z )= 6,6199 Z+2,3532z2−1,0352Z+0.0352

Cero Z1=−0.3555

polosp1=1

p2=0.0352

s0=−ʓWn+Wn√1− ʓ2=¿

¿−(0.59 ) (6.78 )+6,78√1−¿¿

s0=−4+5,47 j

s1=−4−5,47

∅ 1=tan−1( 5.470.3555+4 )=51,47 °

∅ 2=tan−1( 5.474−1 )=61,26 °

∅ 3=tan−1( 5.474−0.0352 )=54,06 °

∅ 1+∅2+∅ 3=166,79 °

180 °−166,79 °=13,21 °

Zero=5

polo=3,0

Gc ( s)=Ks+5s+3

Gcz ( z )= z−0.009562−0.0614

K

|Z|=e−ST=e−5 (0.93)=0.00956

|Z|=e−ST=e−3 (0.93)=0,0614

|K ( S+5S+3 )( 36S (S+36 ) )| ¿1

5=4−5.47 j

|K (0.0576 )2+(−0,1496 )|=1

K (1,603 )=1

K= 11,603

k=6,24

KZ−0.00956Z−0.0614 | ¿

Z=16,24

S+5S+3|s=0

K1−0.009561−0.0614

=6.24 ( 53 ) 16.13K=10,4

K=10,4 /16,13

K=0.6447

Gcz (Z )=0.6447 Z−0.00956Z−0.0614

Como el sistema tiene un polo en cero no hay error de posición.

ACTIVIDAD PRÁCTICA

Ejercicio 1

a). Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB o MATLAB® para: (a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escalón unitario ¿Los valores de ess y ta corresponden a los encontrados en el inciso a)?

SOLUCIÓN

Para el desarrollo de este ejercicio se utilizó la herramienta sisotool de matlab

Al analizar los datos obtenidos en la actividad teorica con los obtenidos por medio de la simulación, podemos observar mínimas diferencias. Por ejemplo

Xss calculado= 1.0629

Xss simulado = 1.08

Ta calculado= 3,28

Ta simulado=3,17

(b) Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)?

SOLUCIÓN

En este caso los valores calculados y los simulados son similares aunque siempre hay diferencia mínima.

Ejercicio 2

Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB o MATLAB® para: (a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp(s) ¿El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a)?

b). Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. ¿El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)?

el valor que se obtuvo al hacer la respectiva simulación tuvo una variación de 1.5 grados.

Ejecicio 3

Con los valores del Ejercicio 3 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB o MATLAB® para dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en la parte teórica?

los valores difieren en lo minimo, se puede concluir que es una muy buena aproximación

CONCLUSIONES

Este trabajo fue muy importante ya que en los ejercicios resueltos se aplican

los conceptos vistos en esta unidad como son la transformada Z, la utilización

del software como matlab o otros los cuales son muy importantes comprender y

aprender a manejar porque son conceptos que se aplican en todas los

controles digitales

BIBLIOGRAFÍA

Cespedes M Jhon (2008) Control digital. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Rao V Dukkipati (2006) Analysis and desing of control systems using matlab. New age international limited publishers.

REFERENCIAS

[1] http://www.angelfire.com/la/hmolina/matlab4.html

[2]http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/apuntes%20CD%202010-2011%20ver1.pdf

[3]http://ocw.ehu.es/ensenanzas-tecnicas/ensenanzas-tecnicas/automatica/cap9_html/copy2_of_capitulo-9/

[4] http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/dstep.html

[5] http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/ess.html