20131216_Métodos_de_análisis_Esfuerzos_deformaciones_desplazamientos_en_pavimentos_flexibles.pdf

Métodos de Análisis:

Esfuerzos, deformaciones y desplazamientos en pavimentos flexibles.

Referencias:

Yoder & Witczak (1975). Principles of Pavement Design. Huang (2004). Pavement Analysis and Design.

Papagiannakis & Masad (2008). Pavement Design and Materials.

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ingeniería Civil Pavimentos. Profesor: Luis Ricardo Vásquez Varela, M.Sc.

Desarrollo histórico.

• Los modelos matemáticos son las herramientas para la solución de problemas de ingeniería, aún con el beneficio de la experiencia pasada.

• Bases de una solución:

– Considerar los requerimientos físicos de una estructura para soportar las cargas externas, las deformaciones y los esfuerzos en los elementos.

– Considerar el comportamiento mecánico de los materiales de acuerdo con las leyes básicas de la mecánica que gobiernan el movimiento y las fuerzas.

LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc. 2

Semiespacio continuo homogéneo, isótropo y elástico lineal de Boussinesq.

• La teoría original de Boussinesq (1885) se basa en la aplicación de una carga puntual concentrada sobre un semi–espacio infinito en planta y profundidad.

• El semiespacio es continuo, homogéneo, isótropo y elástico lineal.

• Los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos pueden determinarse mediante la integración para áreas uniformemente cargadas:

– Mediante áreas circulares se pueden representar las huellas de los neumáticos.

• El modelo de Boussinesq es aplicable en pavimentos cuya estructura y

subrasante tengan módulos de elasticidad muy similares (un afirmado sobre un aluvial, por ejemplo). Es un caso muy poco representativo.

• Una aplicación más realista es la evaluación del módulo de la subrasante a partir de medidas de deflexión (desplazamiento) vertical bajo una carga de configuración conocida (intensidad, forma).


• Gráficos de Foster y Ahlvin (1954) para el modelo de Boussinesq. – Solución de un sistema en coordenadas

cilíndricas (r, θ, z) con origen en el centro de un área circular superficial de radio (a).

– El área cargada aplica una presión uniforme

(q), es decir, no tiene rigidez propia.

– El material se caracteriza por el módulo elástico (E) y la relación de Poisson (ν = 0.5).

– Se pueden obtener: • Esfuerzo vertical (σz). • Esfuerzo radial (σr). • Esfuerzo tangencial (σθ). • Esfuerzo cortante (τzr). • Desplazamiento o deflexión vertical (Uz).


σθ

E ν = 0.5

r

z


Los números en las curvas indican (r / a)

Esfuerzo normal en la dirección z (σz) debido a una presión (q) aplicada en un área circular en la superficie (Foster y Ahlvin, 1954).



Esfuerzo normal en la dirección r (σr) debido a una presión (q) aplicada en un área circular en la superficie (Foster y Ahlvin, 1954).


σθ


Esfuerzo normal en la dirección θ (σθ) debido a una presión (q) aplicada en un área circular en la superficie (Foster y Ahlvin, 1954).



Esfuerzo cortante en la dirección r, sobre la cara z, (τrz) debido a una presión (q) aplicada en un área circular en la superficie (Foster y Ahlvin, 1954).


Los números en las curvas indican (r / a). q . a . F Uz = ------------- E

Deflexión (desplazamiento) vertical en la dirección z (Uz) debido a una presión (q) aplicada en un área circular en la superficie (Foster y Ahlvin, 1954).

• Ejemplo:

Sobre una subrasante nivelada y compactada se aplica una carga igual a 40 kN sobre una placa flexible de 0.15 metros de radio.

– Calcule los esfuerzos producidos por la carga:

• Bajo el centro del área cargada y en la superficie del terreno.

• A 0.75 metros del centro del área cargada y a 0.3 metros de profundidad.

– Considere un módulo de elasticidad de 100,000 kPa y calcule el desplazamiento vertical en la superficie del terreno bajo el centro del área cargada.


• Solución:

El área de la superficie cargada es igual a:

La presión uniforme aplicada es igual a:

Se calculan las profundidades (z) y distancias radiales (r) de los puntos de interés en términos del radio del área cargada (a = 0.15 m):


𝐴 = 𝜋 0.15𝑚 2 = 0.071 𝑚²

𝑞 = 40𝑘𝑁0.071 𝑚² = 566 𝑘𝑃𝑎

Punto z (m) z/a r (m) r / a

1 0.0 0.0 0.0 0.0

2 0.30 2.0 0.75 5.0

Se obtienen los factores de influencia de los gráficos apropiados para cada respuesta estructural en cada punto:

Los esfuerzos y el desplazamiento vertical en cada punto son:


Punto z/a r / a σz /q (%) σr /q (%) σθ /q (%) τzr /q (%) F

1 0.0 0.0 100% 100% 100% 0% 1.5

2 2.0 5.0 0.3% 1.6% → 0% 0.68% 0.17

Punto z r σz (kPa) σr (kPa) σθ (kPa) τzr (kPa) Uz (mm)

1 0.0 0.0 566 566 566 0 1.27

2 0.3 0.75 1.7 9.1 → 0 3.8 0.14

• Ejemplo 2: – Se realizó un ensayo con deflectómetro de impacto

liviano (ASTM E2583 & IAN73 - UK) sobre un suelo de subrasante.

• El equipo aplica la carga a través de una placa de 0.15 m

de radio.

• El desplazamiento vertical se mide mediante un acelerómetro o un geófono.

• La carga se mide mediante una celda de presión.

– Se obtuvo una carga pico de 7.0 kN y un desplazamiento vertical de 0.5 mm.

– Calcule el módulo elástico movilizado por la subrasante.


http://www.dynatest.com/equipment/structural/lwd



• Solución: Considerando la ecuación del gráfico de deflexión:

Se puede proponer para el módulo que:

La deflexión medida por este equipo es superficial y bajo el centro del área cargada, de forma que (z/a) = 0 y (r/a) = 0.

Se obtiene un parámetro F = 1.5.

El módulo es:


𝑈𝑧 =𝑞. 𝑎. 𝐹

𝐸

𝐸 =𝑞. 𝑎. 𝐹

𝑈𝑧

𝐸 =

7𝑘𝑁𝜋 0.15𝑚 2 . 0.15𝑚 . 1.5

0.51000𝑚

= 44,536 𝑘𝑁/𝑚²

Teoría de capas elásticas (Donald M. Burmister, 1943).

• Cada capa se compone de materiales que son isótropos, homogéneos y carentes de peso propio.

• El sistema es compuesto, es decir, puede existir continuidad de los esfuerzos o deformaciones a través de las interfases entre capas.

• La mayor parte de las soluciones para pavimentos asumen que los materiales son elásticos lineales.

• Esto no es un problema si se estima el módulo de cada material para el nivel de esfuerzo apropiado.


http://www.columbia.edu/cu/civileng/ling/burmister/burmister

.html

a

z

r

Capa superior (1)

Capas intermedias (i)

Capa inferior (n)

H1, E1, ν1

Hi, Ei, νi

Hn, En, νn

p

http://www.columbia.edu/cu/civileng/ling/burmister/burmister.html




• La primera solución para un sistema generalizado multicapa elástico fue presentada por Burmister (1943).

– Sistemas elásticos de N capas. – Soluciones específicas para sistemas de dos y tres capas. – Cargas uniformes, aplicadas de forma normal sobre un área circular en la

superficie.

• Schiffman extendió los trabajos de Burmister para formas más

generalizadas de carga asimétrica, incluyendo esfuerzos cortantes en la superficie.

• Para su aplicación práctica se han tabulado coeficientes por autores como Jones y Peattie.

• En la actualidad las soluciones tabulares han sido sustituidas por software.


Solución de un sólido de revolución con deformación axialmente simétrica.

0

rzr

rrzr

0

rzr

rzzrz

r

urr

r

urz

uzz

r

u

z

u zrrz


Funciones de esfuerzo en coordenadas cilíndricas.


rrrdrrr

122

22

rrrrrrz

12112

2

2

2

2

222

zzz

2

2

2

22

21

zrrrzrr

2

2

2

221

1

rzrz

zrzr

rz

2

2

22 1

1

2

2

2

2

22

22 11

zrrrr

Funciones de desplazamiento.

rrEur

212

2

rzrEvu

2

11 2

2

2212

1

zEwuz

Criterio de solución.

00 44


Sean ρ = r / H y λ = z / H, donde H es la distancia desde la superficie hasta la capa inferior del pavimento.

11

2

0

3 )(

iiii emDemCeBeAm

mJHi

m

i

m

i

m

ii

)()(

012121)(*)(

ii m

iii

m

iiiiz emDBemCAmmJ

)()(

0

)()(10

1

1

)(2

11)(

)(*)(

ii

ii

m

i

m

ii

m

ii

m

iiir

eDeCmmJ

emDBemCAmJ

mmJ

)()(

0

)()(1

1

1

)(2

11)(

*)(

ii

ii

m

i

m

ii

m

ii

m

iii

eDeCmmJ

emDBemCAmJ

)()(

1122)(*)(

ii m

iii

m

iiiirz emDBemCAmmJ


)()(

0142242)(

1*)(

ii m

iii

m

iii

i

iiz emDBemCAmJ

Eu

)()(

1111)(

1*)(

ii m

ii

m

ii

i

iir emDBemCAmJ

Eu

0

10 )()()( mJm

qdmJqmf

0

10

0

0 )()()()()( dmmJmJqdmmmJmfq

0

1 )(*

dmmJm

RqR


Condiciones de frontera, λ = 0.

)(*)( 01 mmJz

0*)( 1 rz

0

1

22

21)21(

1

1

1

1

1

1

1

1

D

C

e

e

B

A

e

e

i

i

i

i

m

i

m

i

m

m

Frontera cuando = infinito.

0 nn CA


Continuidad en las interfases.

1*)(*)( iziz 1*)(*)( irzirz 1*)(*)( iziz uu 1*)(*)( irir uu

1

1

1

1

1111

11

1111

1111

)42()42(

)1()1(

2)2(1

21)21(1

)42()42(1

)1(11

)2(21

)21()21(1

i

i

i

i

iiiiiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiii

i

i

i

i

iiiiii

iiii

iiiiii

iiiiii

D

C

B

A

RmFRmRFR

RmFmRFR

mFmF

mFmF

D

C

B

A

FmmF

FmmF

FmmF

FmmF

)( 1 iim

i eF

i

i

i

ii

E

ER

1

1 1

1


Solución iterativa.

• Asigne valores sucesivos de m, de cero a un entero positivo muy grande, hasta que R converja.

• Para cada valor de m, determine las constantes de integración Ai, Bi, Ci y Di de las condiciones de frontera y continuidad.

• Sustituya las constantes en las ecuaciones R*.

• Determine R por integración numérica.


Gráficos para sistemas de dos capas.

• Burmister y Huang han propuesto ábacos para sistemas de dos capas a partir de la solución general del sistema multicapa.

• Los ábacos se aplican para la obtención de respuestas de interés en el análisis de pavimentos:

– Esfuerzo vertical para h1 = a.

– Esfuerzo vertical en la interfase entre la

subrasante y el pavimento bajo el centro de la carga.

– Desplazamiento vertical en la superficie bajo el centro de la carga.

– Desplazamiento vertical en la interfase entre la subrasante y el pavimento.

– Deformación de tensión en el fondo de la capa 1 bajo el centro de la carga.


ν1, E1 h1

ν2, E2

Capa 1

Capa 2

• Se resuelva un sistema en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) con origen en el centro del área cargada en la superficie.

• El área aplica una presión uniforme (q) y tiene un radio (a)

z

r


Distribución del esfuerzo vertical en un sistema bicapa (Burmister, 1958)

Note que el espesor de pavimento es igual al

radio del área cargada.

Capa 1

Capa 2

Interfase 1-2

z / a

σz / q

Cap

a d

e s

ub

rasa

nte

C

apa

de

b

ase

de

l p

avim

en

to


Deflexión vertical en la superficie de sistemas bicapa (Burmister, 1943)

Si la presión, q, se aplica a través de una placa rígida, el desplazamiento vertical es: 1.18 . q . a w0 = ----------------- . F2

E2


Deflexión vertical en la interfase de sistemas bicapa (Huang, 1969)

Números en las curvas indican (r/a)

Se obtiene la deflexión vertical en este punto


Esfuerzo vertical en la interfase de sistemas bicapa (Huang, 1969)


Deformación horizontal de tensión en el fondo de la capa 1 (Huang, 1973)

εt = (q*Fe)/ E1

Fact

or

de

def

orm

ació

n, F

e

• Ejemplo: Una llanta circular de 0.1 metros de radio transmite una presión de 700 kPa a una capa de concreto asfáltico de 0.2 metros de espesor construida sobre una subrasante de espesor infinito. Los módulos de elasticidad de la capa asfáltica y la subrasante son 1,400 MPa y 140 MPa, respectivamente. Calcule: • La deflexión superficial bajo la carga.

• La deflexión de la subrasante bajo la carga.

• El esfuerzo vertical de la subrasante bajo la carga.

• La deformación de tensión en el fondo de la capa asfáltica.


• Solución:

– Para resolver los problemas se requieren los parámetros:

h1 / a = 0.20 m / 0.10 m = 2

E1 / E2 = 1,400 MPa / 140 MPa = 10

– Deflexión superficial bajo la carga: F2 = 0.3 del gráfico de deflexión.

– Deflexión de la subrasante bajo la carga: F = 0.39 del gráfico de deflexión.


𝑤0 =1.5. 𝑞. 𝑎. 𝐹2

𝐸2=

1.5 700𝑘𝑃𝑎 0.1𝑚 0.3

140,000 𝑘𝑃𝑎= 0.24 𝑚𝑚

𝑤 =𝑞. 𝑎. 𝐹

𝐸2=

700𝑘𝑃𝑎 0.1𝑚 0.39

140,000 𝑘𝑃𝑎= 0.195 𝑚𝑚

• Solución:

– Esfuerzo vertical en la subrasante (σc) bajo la carga:

• a / h1 = 0.10 m / 0.20 m = 0.5

• E1 / E2 = 1,400 MPa / 140 MPa = 10

• Se obtiene del gráfico: σc / q = 0.1

– Deformación horizontal de tensión en el fondo de la capa asfáltica.

• Factor de deformación, Fe = 0.35


𝜎𝑐 = 0.1 . 𝑞 = 0.1 700𝑘𝑃𝑎 = 70𝑘𝑃𝑎

𝜀𝑡 =𝑞.𝐹𝑒

𝐸1=

700𝑘𝑃𝑎 0.35

1′400,000𝑘𝑃𝑎= 175 × 10−6 (microstrain)

Gráficos para sistemas de tres capas.

• Corresponde al sistema de coordenadas cilíndricas(r, θ, z) con origen en la superficie en el centro del área circular cargada.

• Se resuelven los esfuerzos en las interfases 1 y 2. – Interfase 1:

• Análisis de fatiga en el fondo de las capas

asfálticas(εt).

– Interfase 2:

• Análisis de deformación permanente en

la parte superior de la subrasante (εz).

• En este modelo la tensión es negativa y la compresión positiva.


𝜀𝑟 =1

𝐸𝜎𝑟 − 𝜈 𝜎𝑧 + 𝜎𝑟

𝜀𝑧 =1

𝐸𝜎𝑧 − 𝜈 𝜎𝑟 + 𝜎𝑟

𝜎𝑧1

𝜎𝑟1

𝜎𝑟2 𝜎𝑧2

𝜎𝑟3

Interfase 1

Interfase 2

z

r

• Tablas de Jones Los gráficos y tablas completas están en la referencia de Yoder & Witczak (1975).

– Se definen cuatro relaciones adimensionales para el sistema:

– Se obtienen los valores de influencia para el cálculo de los esfuerzos verticales y radiales en las interfases 1 y 2:

– Con los esfuerzos obtenidos y las ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal se obtienen las deformaciones.


𝜀𝑟 =1

𝐸𝜎𝑟 − 𝜈 𝜎𝑧 + 𝜎𝑟

𝜀𝑧 =1

𝐸𝜎𝑧 − 𝜈 𝜎𝑟 + 𝜎𝑟

𝑘1 =𝐸1𝐸2

𝑘2 =𝐸2𝐸3

𝐴 =𝑎

ℎ2 𝐻 =

ℎ1ℎ2

𝜎𝑧1 = 𝑞 𝑍𝑍1

𝜎𝑧1 − 𝜎𝑟1 = 𝑞 𝑍𝑍1 − 𝑅𝑅1

𝜎𝑧2 = 𝑞 𝑍𝑍2

𝜎𝑧2 − 𝜎𝑟2 = 𝑞 𝑍𝑍2 − 𝑅𝑅2

𝜎𝑧2 − 𝜎𝑟3 = 𝑞 𝑍𝑍2 − 𝑅𝑅3


A

• Ejemplo:

Un pavimento se compone de un sistema de tres capas con las características que se presentan a continuación:

Se aplica una carga uniforme (q) de 600 kPa sobre un área circular de 0.16 m de radio (a).

Calcule:

• Los esfuerzos en las interfases.

• La deformación horizontal de tensión en el fondo de la capa asfáltica (εt).

• La deformación vertical de compresión en la parte superior de la subrasante (εz).


Capa Espesor (m) Rel. Poisson Módulo de elasticidad (MPa)

1 0.10 0.5 1,400

2 0.20 0.5 700

3 Infinito 0.5 35

• Solución:

– Se obtienen los parámetros adimensionales del sistema:

• k1 = E1 / E2 = 1,400 MPa / 700 MPa = 2 • k2 = E2 / E3 = 700 MPa / 35 MPa = 20 • H = h1 / h2 = 0.10 m / 0.20 m = 0.5 • A = a / h2 = 0.16 m / 0.20 m = 0.8

– De las tablas de factores de Jones se obtiene:

• ZZ1 = 0.69098 • ZZ2 = 0.06476 • ZZ1 – RR1 = 0.86191 • ZZ2 – RR2 = 0.91168 • ZZ2 – RR3 = 0.04558


– Esfuerzos en las interfases:


𝜎𝑧1 = 𝑞 𝑍𝑍1 = 600 𝑘𝑃𝑎 0.69098 = 414.6 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑧2 = 𝑞 𝑍𝑍2 = 600 𝑘𝑃𝑎 0.06476 = 38.86 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑧1 − 𝜎𝑟1 = 𝑞 𝑍𝑍1 − 𝑅𝑅1 = 600 𝑘𝑃𝑎 0.86191 = 517.1 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑧2 − 𝜎𝑟2 = 𝑞 𝑍𝑍2 − 𝑅𝑅2 = 600 𝑘𝑃𝑎 0.91168 = 547 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑟1 = 𝜎𝑧1 − 517.1 𝑘𝑃𝑎 = 414.6 𝑘𝑃𝑎 − 517.1 𝑘𝑃𝑎 = −102.5 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑟2 = 𝜎𝑧2 − 547 𝑘𝑃𝑎 = 38.86 𝑘𝑃𝑎 − 547 𝑘𝑃𝑎 = −508.1 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑧2 − 𝜎𝑟3 = 𝑞 𝑍𝑍2 − 𝑅𝑅3 = 600 𝑘𝑃𝑎 0.04558 = 27.35 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑟3 = 𝜎𝑧2 − 27.35 𝑘𝑃𝑎 = 38.86 𝑘𝑃𝑎 − 27.35 𝑘𝑃𝑎 = 11.51 𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑧3 = 𝜎𝑧2 = 38.86 𝑘𝑃𝑎

– Deformación horizontal de tensión en el fondo de la capa asfáltica.

– Deformación vertical de compresión en la parte superior de la subrasante:


𝜀𝑟1 =1

1′400,000 𝑘𝑃𝑎−102.5 − 0.5 414.6 − 102.5 𝑘𝑃𝑎 = −1.847 × 10−4

𝜀𝑟1 =1

𝐸𝜎𝑟1 − 𝜈 𝜎𝑧1 + 𝜎𝑟1

𝜀𝑧3 =1

35,000 𝑘𝑃𝑎38.86 − 0.5 11.51 + 11.51 𝑘𝑃𝑎 = 7.814 × 10−4

𝜀𝑧3 =1

𝐸𝜎𝑧3 − 𝜈 𝜎𝑟3 + 𝜎𝑟3

Transformación de capas.

• Las soluciones gráficas y tabulares están limitadas hasta tres capas.

• Para cuatro capas o más se propone “unificar” materiales mediante la conversión del espesor de un material en otro de referencia con igual rigidez a la flexión. – Considere dos vigas de ancho unitario, compuestas por los materiales 1 y 2, con la

misma relación de Poisson (ν1 = ν2):

– Al igualar la rigidez a la flexión de las dos vigas, se obtiene la relación que deben

cumplir sus alturas para que su capacidad estructural sea equivalente.


h1

b1 = 1.0

E1 h2

b2 = 1.0

E2 𝐸1𝐼1 = 𝐸1𝑏 × ℎ1

3

12 𝐸2𝐼2 = 𝐸2

𝑏 × ℎ23

12

• A partir de esta relación, Odemark (1949) propuso una ecuación de la forma:

• Donde:

– heq: Espesor equivalente de un material con módulo E1 al transformarlo en el material con módulo E2.

– h: Espesor original del material con módulo E1.


ℎ𝑒𝑞 = 0.9 ×𝐸1𝐸2

13

× ℎ

𝐸1𝐼1 = 𝐸2𝐼2 𝐸1𝑏 × ℎ1

3

12= 𝐸2

𝑏 × ℎ23

12 𝐸1 × ℎ1

3 = 𝐸2 × ℎ23 ℎ2 =

𝐸1𝐸2

3

× ℎ1

Software disponible.

• La solución del sistema de capas se conoce como Análisis de Capas Elásticas.

• En inglés: LEA – Layered

– Elastic

– Analysis

• Se ha publicado un número importante de programas para computadora que emplean este sistema para el análisis y diseño de pavimentos flexibles.


Programa Autor Licencia Empleo actual

CHEVRON Warren y Dieckman, USA ¿? Recodificado en otros programas

BISAR Shell Petroleum, UK Comercial Extendido

Problemas de compatibilidad con Windows a 64 bits

ELSYM5 Federal Highway

Administration & UC Berkeley Comercial Limitado (DOS)

KENPAVE Yang H. Huang Comercial Extendido

JULEA Jacob Uzan (Technion, Israel) Comercial Hace parte de la nueva MEPDG

LEAF Gordon Hayhoe (FAA, USA) Público En aumento.

WESLEA F. J. Van Cauwelaert Variable

Varias licencias • PerROAD • WESLEA

• EVERSTRESS

Alizé 3 Laboratoire Central des Ponts et Chaussés (Francia)

Variable Limitado (DOS)

ALIZE-LCPC Comercial Extendido

WinDEPAV Interfase para Alizé 3

Luis Ricardo Vásquez Varela (Colombia)

Público Extendido

Problemas de compatibilidad con Windows a 64 bits

CIRCLY Mincad Systems (Australia) Comercial Extendido

mePADS CSIR (Suráfrica) Comercial Extendido



http://www.itech-soft.com/alize/download/fr/ALIZE-PLAQ-v1.1.pdf










http://www.mincad.com.au/circly5demos/CIRCLY5_Overview.pdf




http://asphalt.csir.co.za/samdm/



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