2013年度

構造材料力学

演習問題＆宿題の解説（第１回～第８回）

宿題１－１ （4月12日）下の図に示す二等辺三角形の剛体ABCが、辺BCの中点に力Pを受けるとき、剛体が釣合うための３つの力P1、P2、P３を求めなさい。

b

A B

C

a

P1

P2 P3

PD α

ΣH=0より P1=Pcosα

ΣV=0より P2+P3ｰPsinα=0

点DにおけるΣM=0より（時計回りをプラスとする）

ｰP1×(b/2)+P2×(3a/4)ｰP3×(a/4)=0ｰP1×(b/2) +(3a/4)×(PsinαｰP3) ｰP3×(a/4)=0

[解説]

b

A B

C

a

P1

P2 P3

PD α

b/2

3a/4a/4 P2＝PsinαｰP3

P1=Pcosα

[解説]

ｰPb･cosα/2+3Pa･sinα/4 ｰ(3P3a/4 +P3a/4)=0

ｰP1×(b/2) +(3a/4)×(PsinαｰP3) ｰP3×(a/4)=0

P3a= 3Pa･sinα/4ｰPb･cosα/2

∴P3= （3sinα/4ｰ(b/a)･cosα/2）P

P2＝PsinαｰP3＝ Psinαｰ（3sinα/4ｰ(b/a)･cosα/2）P

∴P2 ＝（sinα/4+(b/a)･cosα/2）P

宿題２－1 せん断力図と曲げモーメント図を描きなさい。

2m 4m

8m

A B

P=20kN

2m

1mC

P=20kN

P=20kNM=40kN･m ED

D

C

P=20kN

2m 6m8m

A BCMo=40kN･m

力の伝達と置換

集中荷重Ｐと曲げモーメントＭが作用する単純はりに置

換できる 部材ごとの力の釣合い

P=20kN

2m 6m8m

A BC

RA=Pb/ℓ=20×6/8=15kN

RA=15kN RB=5kN＋

－

M=Pab/ℓ=20×2×6/8=30kN･m

＋

RB=Pa/ℓ=20×2/8=5kN

集中荷重の影響

Mo=40kN･m

2m 6m8m

A BC

RA=ｰMo/ℓ=ｰ40/8=ｰ5kN

RB=Mo/ℓ=40/8=5kN

＋

－

MX＝ｰM0(x/ℓ)

MX＝M0(1ｰx/ℓ)

RA =ｰ5kN RB－

曲げＭの影響

せん断力の重ね合わせ

RA＝15kN ＋

－ RB＝5kN

RB＝5kN－

RA＝ｰ5kN

＋

RB＝10kN

RA＝10kN ＋

－

曲げモーメントの重ね合わせ

M=30kN･m＋

＋

－ 10kN･m

30kN･m

＋

20kN･m

40kN･m

宿題２－２

aℓ

A B

q0

aℓ

A B

q0

せん断力図と曲げモーメント図を描き、最大曲げモーメントの大きさを求めなさい。

(a)

(b)

宿題２－２

(a) 解説

a bℓ

A B

q0

合力q0a/2

合力q0b/2

2a/3 a/3 b/3 2b/3 RBRA

RA・ℓ－(q0a/2)×(b+a/3)ｰ (q0b/2)×(2b/3) ＝0Ｂ点回りのモーメントの釣合いΣＭ＝０より

RA・ℓ－(q0/6 )(3ab+a2+2b2) ＝0RA・ℓ－(q0 /2)×(ab+a2/3)ｰ (q0b2/3) ＝0

RA・ℓ=(q0/6 )(a+b)(a+2b) RA・ℓ=(q0/6 )・ℓ･(ℓ+b) ∴RA= (q0/6 )(ℓ+b)

ここで、a+b=ℓ

ｰRB・ℓ＋(q0a/2)×(2a/3)＋(q0b/2)×(a+b/3) ＝0同様に、A点回りのモーメントの釣合いΣＭ＝０より

RB・ℓ＝(q0/6 )(2a2＋3ab＋b2) ＝ (q0/6 )(a+b)(2a＋b)

RB・ℓ＝(q0 /2)×(2a2/3)＋(q0/2)(ab+b2/3)

RB=(q0/6 )・ℓ･(ℓ+a) ∴RB= (q0/6 )(ℓ+a)

q(x)=q0(x/a)

RA

A

x

C

Qx

Mx

x/3

ΣM＝０より

MX＝RA・xｰ(q0x2/2a)(x/3) ＝ (q0/6 )(ℓ+b) xｰq0x3/6a＝ (q0/6a){ax（ℓ+b)ｰx3}

着目点Cより左側について力の釣合いを考える

ΣQ＝０より

QX＝RAーq0x2/(2a)=(q0/6 )(ℓ+b) －q0x2/(2a)＝(q0/6a)（aℓ+abｰ3x2）

a bℓ

A B

xRB

RA

q0

q(x)=q0(x/a)

C

0≦x≦a

ΣM＝０より

MX＝RB・x’ｰ(q0x’2/2b)(x’/3) ＝ (q0/6 )(ℓ+a) x’ｰq0x’3/6b＝ (q0/6b){bx’（ℓ+a)ｰx’3}

着目点Cより右側について力の釣合いを考える

ΣQ＝０より

QX＝ｰRB＋q0x’2/(2b)=ｰ(q0/6 )(ℓ+a) ＋q0x’2/(2b)＝(q0/6b)（ｰbℓｰab+3x’2）

a≦x≦ℓ

a bℓ

A B

q0

xRB

RA

q(x)=q0(x')/b

Cx'

q(x)=q0x'/b

RB

B

x'Qx

MxC

x'/3

MX＝ (q0/6a){ax（ℓ+b)ｰx3}QX＝(q0/6a)（aℓ+abｰ3x2）0≦x≦a

MX＝ (q0/6b){bx’（ℓ+a)ｰx’3}QX＝ (q0/6b)（ｰbℓｰab+3x’2）a≦x≦ℓ

最大せん断力および最大曲げモーメントの生じる位置は、ｄQ/ｄx=0およびｄM/dｘ＝0より求められる。そのｘ座標を代入することで各最大値を求めることができる（以下省略）。

A B

qoab/3

＋

ABRB

RA ＋

ーQ－図

M－図

宿題２－２ (b)

RA・ℓ－(q0a/2)×(b+a/3)ｰ (q0b)×(b/2) ＝0Ｂ点回りのモーメントの釣合いΣＭ＝０より

RA・ℓ－(q0/6 )(3ab+a2+3b2) ＝0RA・ℓ－(q0 /2)×(ab+a2/3)ｰ (q0b2/2) ＝0

BA

a bℓ

2a/3 a/3 b/2 b/2 RBRA

合力q0a/2 合力q0b

RA・ℓ－(q0/6 )(3ab+a2+3b2) ＝0RA＝(q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2)

ｰRB・ℓ＋(q0a/2)×(2a/3)＋(q0b)×(a+b/2) ＝0同様に、A点回りのモーメントの釣合いΣＭ＝０より

RB・ℓ＝(q0/6 )(2a2＋6ab＋3b2)

RB・ℓ＝(q0 /2)×(2a2/3)＋(q0)(ab+b2/2)

RB＝(q0/6 ℓ)(2a2+6ab+3b2)

q(x)=q0(x/a)

RA

A

x

C

Qx

Mx

x/3

ΣM＝０より

MX＝RA・xｰ(q0x2/2a)(x/3) ＝ (q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2) xｰq0x3/6a＝ (q0/6ℓ){x（ a2+3ab+3b2) ｰx3 （ℓ/a）}

着目点Cより左側について力の釣合いを考える

ΣQ＝０より

QX＝RAーq0x2/(2a)=(q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2) －q0x2/(2a)＝(q0/6ℓ)｛(a2+3ab+3b2)ｰ3x2（ℓ/a）}

a bℓ

A B

xRB

RA

q0

q(x)=q0(x/a)

C

a≦x≦aRA＝(q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2)

ΣM＝０より

MX＝RB・x’ｰ(q0x’)(x’/2) ＝ (q0/6 ℓ)(2a2+6ab+3b2) x’ｰq0x’2/2＝ (q0/6ℓ){（ 2a2+6ab+3b2) x’ｰ 3ℓx’2}

着目点Cより右側について力の釣合いを考える

ΣQ＝０より

QX＝ｰRB＋q0x’=ｰ(q0/6 ℓ)(2a2+6ab+3b2) ＋q0x’＝ｰ(q0/6ℓ)（ 2a2+6ab+3b2ｰ6ℓx’）

a≦x≦ℓ

a bℓ

A B

q0

xRB

RA

Cx'

q0

RB

B

x'Qx

MxC

x'/2

q0x'

0≦x≦a

a≦x≦ℓ

MX＝ (q0/6ℓ){x（ a2+3ab+3b2) ｰx3 （ℓ/a）}QX＝ (q0/6ℓ)｛(a2+3ab+3b2)ｰ3x2（ℓ/a）}

MX＝ (q0/6ℓ){（ 2a2+6ab+3b2) x’ｰ 3ℓx’2}QX＝ｰ (q0/6ℓ)（ 2a2+6ab+3b2+6ℓx’）

Q－図

M－図

ABRA ＋

ー

AB

＋

最大せん断力および最大曲げモーメントの生じる位置は、ｄQ/ｄx=0およびｄM/dｘ＝0より求められる。そのｘ座標を代入することで各最大値を求めることができる（以下省略）。

演習問題

3つの集中荷重が作用する片持ちばりのせん断力図と曲げモーメント図を求めなさい

a

b

c

A B

P1 P2 P3

第３回 片持ちはりの断面力

ab

c

A B

P1 P2 P3P１によるせん断力

と曲げモーメントを求める

RA=P1 ＋ P1

MA=ｰP1・aー

同様にしてP2、P3によるせん断力と曲げモーメントを求

める

RA=P2 ＋ P2

MA= ｰP2・b ー

P3RA=P3 ＋

MA= ｰP3・c ー

P1からP3 による

せん断力と 曲げモーメントを重ね合

わせる

RA=P1 ＋ P1

RA=P2 ＋ P2

RA=P1+P2+P3

＋

P1

P2

P3

RA=P3 ＋ P3

せん断力図

MA= ｰP1・aー

MA= ｰP2・b ー

MA= ｰP3・c ー

ｰP3・c ー

ｰP2・b

ｰP1・a

曲げモーメント図

演習問題 下のゲルバーばりの点Eにおける曲げモーメントMEの影響線を求めてみよう！

a

A B

ℓ ℓ

D

ゲルバーヒンジ

C

E

ℓ/2 ℓ/2

a

A B

ℓ ℓ

D

ゲルバーヒンジ

C

E

ℓ/2 ℓ/2

P=1x

ME=ｰRD(a+ℓ/2)+RBℓ/2= ｰ RD(a+ℓ/2)+RD(ℓ+a)(ℓ/2)/ℓ

=－Rda/2=ｰ(ax/2ℓ)

RA

Aℓ

D

P=1x

RD

0≦x≦ℓRD=x/ℓ

RB=RD(ℓ+a)/ℓ

aB

ℓD

RD

RC

ℓ/2

RB

a

A B

ℓ ℓ

D

ゲルバーヒンジ

C

E

ℓ/2 ℓ/2

RA

Aℓ

DRD a

Bℓ

D

RC

P=1x

RB

RB=(ℓｰx)/ℓME=ｰP(ℓ/2ｰx)+RBℓ/2＝x/2

ｰa/2

10kN

A B2m 6m

5kN1kN/m

2mC D

宿題３ 下に示す(a)片持ちばり、(b)張出しばりのせん断力図

と曲げモーメント図を描き、最大曲げモーメントの値を求めなさい。

AB

6m

10kN1kN/m

2mC

10kN

A B2m 6m

5kN1kN/m

2mC D

宿題３下に示す(a)片持ちばり、(b)張出しばりのせん断力図と

曲げモーメント図を描き、最大曲げモーメントの値を求めなさい。

AB

6m

10kN1kN/m

2mC

構造材料力学 第３回 －宿題の解説－

宿題３－１

支点反力RA=鉛直力の総和＝6m×1kN/m＋10kN＝16kN

A点回りのモーメントの釣合いΣM=より、MA＝18kN･m＋80kN･m＝98kN･m

AB

6m

10kN1kN/m

2mC

RA

MA

0≦x≦6m Qx= RAｰqx=16ｰxq=1

RAx

C

Qx

Mx

x/2

qx

MA Mx= RAxｰMAｰqx(x/2)=16xｰ98ｰ x2/2

6m≦x≦8m Qx= ｰ10Mx= ｰ10×(8－x)

せん断力

曲げモーメント

0≦x≦6mQx= RAｰqx=16ｰx

Mx= RAxｰMAｰqx(x/2)=16xｰ98ｰ x2/2

6m≦x≦8mQx= ｰ10

Mx= ｰ10×(8－x)

0≦x≦6m

6m≦x≦8m

AB

6m

10kN1kN/m

2mC

16kN10kN

＋

ｰ98kN･m

ｰ20kN･m－

10kN

A B2m 6m

5kN1kN/m

2mC D

B点回りのモーメントの釣合いより、-10×8＋RA×6－1×6×3＋5×2＝０ RA＝44/3(kN)

同様に、A点回りのモーメントの釣合いより、-10×2＋1×6×3－RB×6＋5×8＝０ RB＝19/3(kN)

C～A区間 -2≦x≦０

Q=－10 (ｋN)

M=10×x （ｋN･m）

B～D区間 6≦x≦8

Q=5 (ｋN)

M=5×（8－x） （ｋN･m）

A～B区間 ０≦x≦6

Mx= ｰ10（2+x）+RAxｰqx(x/2)=ｰ10（2+x）+44x/3ｰ x2/2

= ｰ20+14x/3ｰ x2/2

Qx= －10+RAｰqx=－10+44/3ｰx

10kN

A B2m 6m

5kNq=1kN/m

2mC D

x

10kN

A B2m 6m

5kN1kN/m

2mC D

RA RB

10kN

5kN

ｰ20kN･m ｰ10kN･mｰ9.11kN･m

[演習問題] 下に示す組合せ断面の図心位置と、図心軸回りの断面2次モーメントＩx を求めよ！

x

y

O

100

170

1010

5

6

6

6

150

80

(unit : mm)

面積 S (mm2)図心までの高さ

ｈ (mm)

Gx=S×ｈ(mm3）

① 80×6＝ 480 3 1,440② 5×138＝ 690 75 51,750③ 80×6＝ 480 147 70,560④ 150×6＝ 900 153 137,700

⑤+⑥ 20×100＝ 2,000 153 306,000ΣS＝ 4,550 ΣSh＝ 567,450

上の表より、下端からの図心の高さは、ｙ0＝ΣSh/ΣS＝567,450/4,550＝124.7(mm)

各断面の図心軸回りのIx0

（＝BH 3/12） (mm4)面積 S (mm2)

図心までの距離 ｄ (mm)

I‘=S× ｄ ２

(mm4）Ix0＋I‘

（＝BH 3/12＋Sｄ ２） (mm4)

① 80×63/12=1,440 80×6＝ 480 121.7 7,109,227 7,110,667② 5×1383/12=1,095,030 5×138＝ 690 49.7 1,704,362 2,799,392③ 80×63/12=3,060 80×6＝ 480 22.3 238,699 241,759④ 150×63/12=2,700 150×6＝ 900 28.3 720,801 723,501

⑤+⑥ 20×1003/12=1,666,667 20×100＝ 2,000 28.3 1,601,780 3,268,447Σ（Ix0＋I‘）＝ 14,143,766

[宿題５－１] 同一寸法の２つのＩ型鋼を並べて、その図心軸（x軸,y軸）に関する断面2次モーメントＩxとIyとが

互いに等しくなるように、ｅの値を決めなさい！

5

(unit : mm)

5

150

80

5

80

e

y

x

y

xO

[宿題５] 同一寸法の２つのＩ型鋼を並べて、その図心軸（x軸,y軸）に関する断面2次モーメントＩxとIyとが互いに等しくなるように、

ｅの値を決めなさい！

前回の宿題の解説

5

(unit : mm)

5150

80

5

80

e

y

x

y

xO

41

b

h

X X

Y

Y

eyex

xo xo

yo

yo

図心

図心を通るxo-xo軸回りの断面2次モーメントIｘoは、Ixo＝bh3/12

同様に、図心を通るｙo-ｙo軸回りの断面2次モーメントIｙoは、Iｙo＝ｈｂ3/12

図心軸からexだけ偏心したY-Y軸回りの断面2次モーメントIYは、

IY＝ｈｂ3/12＋（b･h)ex2

長方形断面の断面2次モーメント

図心軸からeyだけ偏心したX-X軸回りの断面2次モーメントIｘは、

Iｘ＝bh3/12＋（b･h)ey2

先ずy-y軸より左側の断面Aについて、x-x軸に関する断面2次モーメントIxを考える。

よって、２つの断面AとBについてのx-x軸に関する断面2次モーメントIxは、

①＋③ ②

5

(unit : mm)

5150

80

5

80

e

y

x

y

xO

①

②

③

A B

次に、断面AとBについてのy-y軸に関する断面2次モーメントIyの総和を求める。

=5,350,000 (mm4)

Ix=2×5,350,000＝10,700,000 (mm4）

Ix=Iy となるためには、750ｅ2+856,250=10,700,000

これを解くと、ｅ≒114.6（mm）

■宿題-6

43

下の単純梁において，梁中央のたわみとたわみ角を求めよ．

L

w

A B

.2

2

を求めるモーメントより任意の点での曲げ

たわみの微分方程式

MEIM

dxyd

44

L

wA B

RA RBx

L－x

w

A B

x

w(L－x)/L

RB=wL/6RA=wL/3 (L－x)/3

w(L－x)2/(2L)

任意の位置ｘより右側の反力・荷重による曲げモーメントを求める方が計算は楽！

45

xwLxwxLw

dxydEIM

xwLxwxLwxL

LxxLw

xLLLxLw

LxLwxLwL

xLLxLwxRMx

wLRwLR

B

BA

326

3262

6)(

)(6

)(6

)(6

)(

3/)()2/()()(

6,

3

232

2

23

223

2

③たわみの微分方程式

　　　　

－Ｌ

る．より右側の外力を考えめる．②曲げモーメントを求

①支点反力を求める．

L－x

w

A B

x

w(L－x)/L

RB=wL/6RA=wL/3 (L－x)/3

w(L－x)2/(2L)

46

21345

1234

232

2

1824120

6624

326

CxCxwLxwxLwEIy

CxwLxwxLw

dxdyEI

xwLxwxLw

dxydEIM

④積分すると

EIwLy

EIwL

dxdy

Lx

4

3

7685576072

たわみ　　

たわみ角　　

）においてはよって、梁中央（

xwLxwLxwxLwEIy

wLxwLxwxLw

dxdyEI

CC

451824120

4566243

345

3234

21

を代入して，⑥

0,45

000 2

3

1 CwLCyLxyx 　　　より　で，で

⑤境界条件として、L

w

A B

x

演習問題 ■円形断面の核

47

Ax

y

R

R

右図の円形断面（半径＝Ｒ）の核の位置を求めてみよう！

ヒント

断面積Ａ＝πＲ2

断面２次モーメントＩｘ＝Ｉｙ＝πＲ4/4

軸力による応力＝P/A

曲げ応力＝M・ｙ/I（y軸回り）

■円形断面の核

48

44

0

0)(

4

2

4

2

4

RRR

R

ARIe

RIeP

AP

xIM

APRxA

RA

RII

x

x

yx

より＝で点

右図において

Ax

y

R

R

R/4ex

教科書 p.201

演習問題 ■三角形断面の核

49

下図の三角形断面の核の位置を求めてみよう！

h

b

■三角形断面の核

502

36

3

bhA

bhI x

122

2

363

23

)32(0

0)32(

3

h

hbh

bh

AhIe

hIeP

AP

yIeP

AP

hyA

xy

x

y

x

yy

y

より＝で点

■三角形断面の核

512

36

3

bhA

bhI x

6

2

3633

3)(

0

)(

0)3

(

3

h

hbh

bh

AhIe

hIeP

AP

yIeP

AP

hyB

xy

x

y

x

yy

y

より＝で点

522

48221

32

3622

3

23

bhA

hbbh

bbhI y

bbbh

hb

AbI

e

bIeP

AP

xIeP

AP

bxC

yx

y

x

y

xx

x

121

2

482

2

20

0)2

(

3

より＝で点

53

b/6

b/2

h

y

図心

ｙ軸回りの断面２次モーメント＝Io＋A×(b/6)2

＝ｈ×(b/2）3／36＋1/2×ｈ×(b/2)×(b/6)2

第8回 長柱 ■演習問題8-1

54

244 4.118,6750,20200 cmAcmIcmI yx

下図のH型鋼による両端固定梁の座屈荷重と降伏荷重を求め，

座屈するかどうか調べよ．

ただし，断面諸量は

とし，材料特性は

22 /235,/200000 mmNmmNE y

とする．

また，材料の初期不整等は考慮しないものとする．

■演習問題8-1 回答

55

2

5.0

LEIP

AP

cr

yy

両端固定の座屈荷重は

降伏荷重は

kNL

EIPcr 297,2150005.0

1067502000005.0

24

2

　　

座屈荷重

kNN

AP yy

783,2400,783,2104.118235 2

　　　　

　

降伏荷重

に至る前に降伏する．となるので，梁は座屈降伏荷重座屈荷重 ycr PP

■演習問題8-2

56

ただし，椅子の脚は直径27.2mm，厚さ1.9mmの鋼管

(STK400)で作られており，体重は４本の脚に均等に作用

するものとする．

また，座面は十分に強度があり，椅子の脚上部は回転

しないように座面と強固に接続されているものとする．

椅子の自重は無視する．

STK400の許容応力度は道路橋示方書に示されている

SM400に対する値と同様とする．

鋼管の断面諸量

断面積：1.51cm2

断面２次モーメント：1.22cm4

断面2次半径：0.899cm

座面

脚

右図の椅子に体重８５kgの人が座ったときに椅子の脚に生じる圧縮

応力度を求め，椅子の脚が安全かどうか調べよ．

■演習問題8-2 解説

57

ある．で，椅子の足は危険で許容応力度を越えるのとなり，作用応力度が＞

は許容圧縮応力度

は細長比

椅子の脚の座屈長は

と，下側は自由と考える椅子の足の上側は固定

は作用圧縮力

本に作用する圧縮力は椅子の脚

なので，，椅子の脚本数は体重

cac

ca

ca

c

c

mmN

cmcmrl

cmcm

mmNAP

NP

kg

2

2

/1.133211.311.310088.01.3137.0140

1.31899.028/

280.740

/1.138)10051.1/(5.208/

5.2084/81.9*851

485

rl

rl

rlrl

rl

rlrl

ca

92;

390023.06.1140

9218;

210088.037.0140

18;140

2

2

許容応力度

宿題：下の図形の核の位置を求めなさい。

58

x

ｙ

－h/2

－b/2 b/2

h/2

第5回の授業での[例題]を利用してみよう。[例題] 底辺の幅Ｂ、高さＨの三角形のｘ軸回りの断面2次モーメントを求めよ！

60

Ｘ軸回りの断面2次モーメントIxは、

同様にしてｙ軸回りの断面2次モーメントIｙは、

122

482

2

0)2

(

02

3

hbhh

bh

hAIe

hIeP

APy

IeP

AP

hy

xy

x

y

x

y

より＝で

x

ｙ

－h/2

－b/2 b/2

h/2

ey

61

x

ｙ

－h/2

－b/2 b/2

h/2