1998 - Improved Force-directed Layouts

8/6/2019 1998 - Improved Force-directed Layouts

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I m p r o v e d f o r c e - d i r e c t e d l a y o u t s

E m d e n R . G a n s n e r a n d S t e p h e n C . N o r t h

A T & T L a b s , 1 8 0 P a r k A v e . , F l o r h a m P a r k , N J 0 7 9 3 2 , U S A .

f e r g , n o r t h g @ r e s e a r c h . a t t . c o m

h t t p : w w w . r e s e a r c h . a t t . c o m i n f o f e r g , n o r t h g

A b s t r a c t . T e c h n i q u e s f o r d r a w i n g g r a p h s b a s e d o n f o r c e - d i r e c t e d p l a c e -

m e n t a n d v i r t u a l p h y s i c a l m o d e l s h a v e p r o v e n s u r p r i s i n g l y s u c c e s s f u l

i n p r o d u c i n g g o o d l a y o u t s o f u n d i r e c t e d g r a p h s . A s p e c t s o f s y m m e t r y ,

s t r u c t u r e , c l u s t e r i n g a n d r e a s o n a b l e v e r t e x d i s t r i b u t i o n a r i s e f r o m i n i t i a l ,

f o r m l e s s c l o u d s o f p o i n t s . H o w e v e r , w h e n n o d e s m u s t b e l a b e l e d a n d p o i n t

v e r t i c e s a r e r e p l a c e d b y n o n - p o i n t v e r t i c e s , s i m p l e f o r c e - d i r e c t e d m o d e l s

p r o d u c e u n r e a d a b l e d r a w i n g s , e v e n f o r a m o d e r a t e n u m b e r o f n o d e s . T h i s

p a p e r d e s c r i b e s t h e a p p l i c a t i o n o f t w o p o s t - p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s t h a t

c a n b e a p p l i e d t o a n y i n i t i a l v e r t e x l a y o u t t o p r o d u c e u n c l u t t e r e d l a y o u t s

w i t h n o n - p o i n t n o d e s .

1 I n t r o d u c t i o n

I n g e n e r a l , d r a w i n g u n d i r e c t e d g r a p h s i s p r o b l e m a t i c . T h e d i c u l t y l i e s i n t h e r e

b e i n g t o o m u c h f r e e d o m . I f s t r u c t u r e i s i m p o s e d o n t h e g r a p h , w o r k a b l e t e c h -

n i q u e s a r i s e . F o r e x a m p l e , i f t h e g r a p h i s i n t e r p r e t e d t o h a v e a d i r e c t e d o w , o n e

c a n e m p l o y t h e S u g i y a m a - s t y l e a l g o r i t h m s 2 5 , 1 2 . A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n s u i t a b l y

r e s t r i c t t h e l a y o u t s t y l e i n o r d e r t o g e t a h a n d l e o n t h e p r o b l e m . A s a n e x a m p l e

h e r e , w e c a n c o n s i d e r t h e c l a s s o f o r t h o g o n a l l a y o u t s , f o r w h i c h a c o l l e c t i o n o f

w e l l - d e v e l o p e d a n d a n a l y z e d a l g o r i t h m s i s a v a i l a b l e 2 6 , 2 7 , 8 . B u t w i t h o u t u s -

i n g s u c h r e s t r i c t i o n s , t h e r e i s , a t p r e s e n t , n o s i m p l e n o n - h e u r i s t i c a l g o r i t h m f o r

e c i e n t l y d r a w i n g g e n e r a l u n d i r e c t e d g r a p h s .

T h e m o s t e e c t i v e t e c h n i q u e s f o r h a n d l i n g u n d i r e c t e d g r a p h s a r e b a s e d o n

v i r t u a l p h y s i c a l m o d e l s . T h e s e t e c h n i q u e s , g o i n g b a c k t o E a d e s 6 a n d , c o m p u -

t a t i o n a l l y , t o K r u s k a l 1 7 , r e p r e s e n t t h e v e r t i c e s o f a g r a p h a s p h y s i c a l o b j e c t s

s u b j e c t t o v a r i o u s f o r c e s , n a t u r a l a n d u n n a t u r a l . S o m e s u b s e t o f t h e f o r c e s e n -

c o d e s t h e e d g e i n f o r m a t i o n o f t h e g r a p h , t y p i c a l l y a s a n a t t r a c t i v e f o r c e b e t w e e n

t h e t w o e n d p o i n t s o f t h e e d g e . T h e o b j e c t t h e n b e c o m e s o n e o f r e p o s i t i o n i n g

t h e n o d e s i n o r d e r t o m i n i m i z e t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m o r t o a c h i e v e a s t a b l e

c o n g u r a t i o n v i s - a - v i s t h e f o r c e s a c t i n g o n t h e p a r t i c l e s . S t a n d a r d t e c h n i q u e s ,

s u c h a s s t e e p e s t d e s c e n t o r d i s c r e t e i t e r a t i o n , c a n b e u s e d t o s e a r c h f o r t h e d e -

s i r e d c o n g u r a t i o n , a l t h o u g h t h e r e i s a l w a y s t h e p o s s i b i l i t y o f o n l y n d i n g a l o c a l

m i n i m u m . O n c e t h e n a l n o d e p o s i t i o n s a r e d e t e r m i n e d , t h e d r a w i n g i s t y p i c a l l y

c o m p l e t e d b y c o n n e c t i n g e d g e e n d p o i n t s w i t h l i n e s e g m e n t s .

I n p r a c t i c e , t h e s e l a y o u t m e t h o d s a r e r e m a r k a b l y g o o d , e s p e c i a l l y g i v e n t h e

n a i v e n a t u r e o f t h e a l g o r i t h m s c f . 1 8 , 7 . T h e r e s u l t i n g d r a w i n g s t y p i c a l l y c a p -

t u r e m a n y s y m m e t r i e s o f t h e g r a p h , w h i l e a v o i d i n g t h e e x p e n s i v e c o m p u t a t i o n s


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2

Mardenldt

kg

hg

ggtEpstein

kt Freedman

ds

Milnor

cd

Thurston

vd

Douady

Hubard

fg

Mandelbrot

Mumford

Conwaylat

cg

Tarjan

Cannoncrys

gcv

Almgren

Dobkin

Chazelle

cv

Taylor

fd

Peskinsg

Wilks

gv

dv

F i g . 1 . T h e e e c t o f n o n - p o i n t n o d e s

i n v o l v e d i n e x p l i c i t l y l o o k i n g f o r s y m m e t r i e s 1 9 . I n a d d i t i o n , t h e s e m e t h o d s

i d e n t i f y s i g n i c a n t c l u s t e r s o f n o d e s w h i l e p r o d u c i n g a r e a s o n a b l e d i s t r i b u t i o n

o f t h e n o d e s . T h e r e h a s b e e n a v a r i e t y o f w o r k o n t h i s c l a s s o f a l g o r i t h m s 1 4 ,

1 0 , 4 , 9 , 2 4 , 2 , 1 5 , 1 3 , 3 , l e a d i n g t o s o m e q u i t e e c i e n t a l g o r i t h m s t h a t c a n h a n d l e

m e d i u m - s i z e d " g r a p h s .

D e s p i t e t h e e c a c y o f t h e s e a p p r o a c h e s , p r o b l e m s a r i s e w h e n t h e y a r e a p -

p l i e d t o t h e p r a c t i c a l c a s e o f d r a w i n g s w i t h n o n - p o i n t n o d e s . D u e t o t h e v a r y i n g

s h a p e s a n d s i z e s o f t h e n o d e s , t h e r e s u l t i n g d r a w i n g s t e n d t o b e c l u t t e r e d , w i t h

n o d e s o v e r l a p p i n g , i f n o t t o t a l l y h i d i n g , e a c h o t h e r , a n d e d g e s v i s u a l l y l o s t i n

t h e c o n f u s i o n o f b e i n g r o u t e d o v e r o r u n d e r t h e n o d e s . T h e s e p r o b l e m s a r e p a r -

t i c u l a r l y p r e v a l e n t i n t h e c o m m o n c a s e o f g r a p h s w i t h l i t t l e s y m m e t r y a n d m u c h

c o n n e c t i v i t y . A t y p i c a l e x a m p l e i s s h o w n i n F i g . 1 . E v e n m o d e s t s i z e d g r a p h s

b e c o m e u n r e a d a b l e . D e s p i t e t h i s , s u c h d r a w i n g s a p p e a r i n t h e l i t e r a t u r e .

A s i m p l e s o l u t i o n i s t o s c a l e t h e d r a w i n g u p , w h i l e p r e s e r v i n g n o d e s i z e s , u n t i l

t h e n o d e s n o l o n g e r o v e r l a p c f . F i g . 2 . A l t h o u g h t h i s i s s i m p l e a n d c r e a t e s a

s i m i l a r l a y o u t , p r e s e r v i n g s y m m e t r i e s , i t c a n b e w a s t e f u l o f s p a c e , a n d o n e m u s t

s t i l l h a n d l e e d g e - n o d e o v e r l a p s . W e a s k i f t h e r e i s a b e t t e r w a y t o m o d i f y a n i n i t i a l

l a y o u t , r e p o s i t i o n i n g t h e n o d e s t o a v o i d o v e r l a p , w h i l e p r e s e r v i n g p r o x i m i t y ,

c l u s t e r s a n d t h e o v e r a l l s t r u c t u r e a n d l a y o u t , a n d u s i n g l e s s a r e a . G i v e n t h a t

m o s t o f t h e g r a p h s t h a t a r i s e i n p r a c t i c e h a v e l i t t l e s y m m e t r y , w e a r e w i l l i n g t o

f o r e g o p r e s e r v i n g s y m m e t r i e s .

T h i s p a p e r d e s c r i b e s t h e u s e o f t w o g e n e r a l - p u r p o s e p o s t - p r o c e s s i n g m e c h -

a n i s m s f o r i m p r o v i n g t h e s e l a y o u t s t o m a k e t h e d r a w i n g s m o r e r e a d a b l e u s i n g

m o d e s t a d d i t i o n a l a r e a . I n s p i r e d b y w o r k o f L y o n s e t a l . 2 1 , t h e r s t p a s s r e -

m o v e s o v e r l a p p i n g n o d e s b y i t e r a t i v e l y c o n s t r u c t i n g a V o r o n o i d i a g r a m f o r t h e

g r a p h a n d m o v i n g n o d e s w i t h i n t h e i r V o r o n o i c e l l s . T h e s e c o n d p a s s , b a s e d o n


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3

p r e v i o u s e d g e r o u t i n g w o r k 5 , d r a w s e d g e s a s s m o o t h c u r v e s t o a v o i d n o d e - e d g e

o v e r l a p s .

I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n o f t h i s p a p e r , w e p r e s e n t a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n

o f t h e p o s t - p r o c e s s i n g h e u r i s t i c s t h a t w e e m p l o y . T h i s i s f o l l o w e d b y a d i s c u s -

s i o n o f o u r c u r r e n t i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s e h e u r i s t i c s , a n d s a m p l e o u t p u t a n d

t i m i n g s . W e c o n c l u d e w i t h a c o n s i d e r a t i o n o f r e l a t e d w o r k a n d f u t u r e a v e n u e s

f o r t h i s w o r k .

2 C l e a n i n g t h e L a y o u t

G i v e n a c l u t t e r e d l a y o u t , s u c h a s t h e o n e s h o w n i n F i g u r e 1 , o u r g o a l i s s i m p l e :

g r a d u a l l y a d j u s t t h e n o d e s u n t i l t h e r e i s a d e q u a t e s p a c e b e t w e e n t h e m , w h i l e

t r y i n g t o p r e s e r v e t h e i r r e l a t i v e p o s i t i o n s a n d d i s t a n c e s , a n d t h e n c o n s t r u c t t h e

e d g e s a s s m o o t h c u r v e s a v o i d i n g t h e n o d e s .

T o a c h i e v e t h e r s t p a r t , w e u s e a v a r i a n t o f a t e c h n i q u e d e v e l o p e d b y L y o n s

t o b r e a k u p c l u s t e r s o f n o d e s i n a g r a p h d r a w i n g a n d a c h i e v e a m o r e u n i f o r m

d i s t r i b u t i o n . I n o u r v e r s i o n , w e c o n s t r u c t a w i n d o w c o n t a i n i n g t h e c e n t e r s o f a l l

t h e v e r t i c e s , a n d t h e n c o n s t r u c t t h e V o r o n o i d i a g r a m r e l a t i v e t o t h i s w i n d o w ,

u s i n g t h e v e r t e x c e n t e r s a s s i t e s . T h e c e n t r o i d o f t h e V o r o n o i c e l l a s s o c i a t e d

w i t h a v e r t e x r e p r e s e n t s t h e p o i n t m o s t r e m o v e d f r o m a n y o t h e r v e r t e x , a n d

i t i s t o t h a t p o i n t w e m o v e t h e v e r t e x . B y i t e r a t i n g t h i s p r o c e s s , t h e v e r t i c e s

m o v e a w a y f r o m e a c h o t h e r , r e d u c i n g o v e r l a p s . A t t h e s a m e t i m e , t h i s m o t i o n

l a r g e l y m a i n t a i n s t h e r e l a t i v e n o d e p o s i t i o n s f r o m t h e i n i t i a l l a y o u t , a s d e s i r e d .

O f c o u r s e , i f t h e c u r r e n t w i n d o w i s n o t l a r g e e n o u g h , e a c h v e r t e x w i l l c o n v e r g e t o

t h e c e n t r o i d o f i t s c e l l a n d n o f u r t h e r a d j u s t m e n t i s p o s s i b l e . A t t i m e s , t h e r e f o r e ,

i t i s n e c e s s a r y t o i n c r e a s e t h e w i n d o w s i z e a n d a l l o w t h e d r a w i n g a s a w h o l e t o

e x p a n d . E v e n t u a l l y , t h e r e p o s i t i o n i n g s a n d e x p a n s i o n s a r e s u c i e n t t o r e m o v e

a l l n o d e o v e r l a p s .

O n c e t h e n o d e s h a v e b e e n m o v e d s o t h a t t h e r e a r e n o o v e r l a p s , w e t h e n d r a w

t h e e d g e s . W e d o n o t w a n t t o u s e l i n e s e g m e n t s s i n c e , e v e n w i t h t h e a d d i t i o n a l

s p a c e , t h e y w i l l c o n i c t w i t h t h e n o d e r e p r e s e n t a t i o n s a n d o b s c u r e t h e g r a p h

s t r u c t u r e . B a s i c a l l y , e d g e s s h o u l d a v o i d n o d e s e x c e p t f o r e n d p o i n t s . T h e u s e o f

p o l y l i n e s i s p o s s i b l e , b u t w e r e j e c t e d t h e s e f o r a e s t h e t i c a n d c o g n i t i v e r e a s o n s

1

W e f e e l t h a t s o m e f o r m o f s m o o t h c u r v e w o r k s b e s t f o r e d g e s , r e d u c i n g t o a

s t r a i g h t l i n e w h e r e p o s s i b l e .

T o c o n s t r u c t a c u r v e r e p r e s e n t i n g a n e d g e , w e r s t n d t h e s h o r t e s t p a t h

c o n n e c t i n g t h e m i d p o i n t s o f t h e t w o n o d e s a n d a v o i d i n g t h e i n t e r i o r s o f a n y

o t h e r n o d e s . T h i s r e l i e s o n D i j k s t r a ' s a l g o r i t h m a n d a o n e - t i m e c o n s t r u c t i o n o f

t h e v i s i b i l i t y g r a p h o f t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y g o n a l n o d e s

2

. W e t h e n a t t e m p t

t o c o n n e c t t h e t w o n o d e s b y a l i n e s e g m e n t o r a B e z i e r c u r v e s e g m e n t . I f n o n e

o f t h e s e c a n a v o i d c r o s s i n g i n t o t h e i n t e r i o r o f a n o d e , w e n d t h e v e r t e x o n

1

A f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h e s e i s s u e s , a n d o u r v i e w o f t h e m , c a n b e f o u n d i n D o b k i n

e t a l . 5 .

2

T h e c o s t o f c o n s t r u c t i n g t h e v i s i b i l i t y g r a p h i s a m o r t i z e d o v e r t h e c o n s t r u c t i o n o f a l l

t h e e d g e s .


4/10

4

t h e s h o r t e s t p a t h f u r t h e s t f r o m t h e t r i a l c u r v e , b r e a k t h e p r o b l e m i n t o t w o

s u b p r o b l e m s a n d s o l v e e a c h r e c u r s i v e l y . F u r t h e r d e t a i l s c a n b e f o u n d i n 5 .

3 I m p l e m e n t a t i o n

O u r c u r r e n t p r o t o t y p e i m p l e m e n t a t i o n i s b a s e d o n a s i m p l e p i p e l i n e o f t w o p r o -

g r a m s , w i t h t w o e l e m e n t s r e p e a t e d a n d u s i n g t h e d o t 1 1 f o r m a t f o r d e s c r i b i n g

g r a p h s . T h e r s t c o m p o n e n t o f t h e p i p e l i n e i s n e a t o 1 6 , w h i c h t a k e s a n u n d i -

r e c t e d , a t t r i b u t e d g r a p h a n d l a y s o u t t h e v e r t i c e s a s p o i n t s u s i n g a n i m p l e m e n -

t a t i o n o f t h e K a m a d a - K a w a i 1 4 a l g o r i t h m , i t s e l f a c l o s e r e l a t i v e o f K r u s k a l ' s

m u l t i d i m e n s i o n a l s c a l i n g a p p r o a c h 1 7 , 3 . I n a d d i t i o n t o d e t e r m i n i n g n o d e c o -

o r d i n a t e s , i t a l s o s p e c i e s t h e p o l y g o n a s s o c i a t e d w i t h a n o d e

3

T h e s e c o n d c o m p o n e n t o f t h e p i p e l i n e t a k e s t h e n o d e s a n d t h e i r e n c l o s i n g

p o l y g o n s , a n d r a d i a l l y e x p a n d s t h e p o l y g o n s b y a g i v e n a m o u n t . T h i s e n s u r e s

t h a t t h e r e i s a d e q u a t e s p a c e b e t w e e n t h e n o d e s i n t h e n a l l a y o u t . I n a d d i t i o n , i t

d e t e r m i n e s a n i n i t i a l e n c l o s i n g w i n d o w f o r t h e v e r t i c e s , e i t h e r f r o m u s e r s p e c i -

c a t i o n s o r b y e x p a n d i n g t h e e n c l o s i n g i s o t h e t i c r e c t a n g l e b y a g i v e n p e r c e n t a g e ,

t y p i c a l l y 5 . I t t h e n a p p l i e s t h e p r o c e d u r e , d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ,

o f i t e r a t i v e l y c o m p u t i n g t h e V o r o n o i d i a g r a m o f t h e v e r t i c e s a n d m o v i n g e a c h

v e r t e x t o t h e c e n t r o i d o f i t s V o r o n o i c e l l , e x p a n d i n g t h e w i n d o w w h e n n e c e s s a r y ,

u n t i l n o n e o f t h e e x p a n d e d p o l y g o n s o v e r l a p . I t t h e n e m i t s t h e g r a p h w i t h t h e

n e w n o d e p o s i t i o n s . W e u s e F o r t u n e ' s O n l o g n a l g o r i t h m t o c o m p u t e V o r o n o i

d i a g r a m s . P o l y g o n i n t e r s e c t i o n c h e c k i n g u s e s a s i m p l i e d v e r s i o n o f t h e l i n e a r

a l g o r i t h m f o u n d i n O ' R o u r k e 2 2 , p r e c e d e d b y a b o u n d i n g b o x c h e c k .

D e s p i t e t h e b a s i c s i m p l i c i t y o f t h i s p h a s e , t h e r e i s s t i l l r o o m f o r m a n y v a r i -

a t i o n s . F o r e x a m p l e , w i t h e a c h i t e r a t i o n , o n e m u s t d e c i d e w h i c h n o d e s t o m o v e

a n d w h e n t o i n c r e a s e t h e a r e a . C l e a r l y , i f t h e a r e a i s i n c r e a s e d , t h e n o d e s o n t h e

p e r i m e t e r m u s t b e m o v e d i n o r d e r t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e n e w a r e a . O u r i n i t i a l

s t r a t e g y w a s t o o n l y m o v e o v e r l a p p i n g n o d e s a s l o n g a s p r o g r e s s w a s b e i n g m a d e ,

i . e . , t h e n u m b e r o f o v e r l a p s w a s r e d u c e d . I f p r o g r e s s w a s s t a l l e d , w e i n c r e a s e d

t h e a r e a a n d m o v e d a l l t h e n o d e s . W e f o u n d t h a t a n y m o r e s u b t l e s t r a t e g i e s

a l o n g t h e s e l i n e s e . g . , f o l l o w t h e s a m e s t r a t e g y a s a b o v e b u t i n c r e a s e t h e a r e a

o n l y i f t w o c o n s e c u t i v e i t e r a t i o n s s h o w n o p r o g r e s s o n l y i n c r e a s e d t h e n u m b e r

o f i t e r a t i o n s r e q u i r e d a n d t h e n a l a r e a . A n d , i n f a c t , w e f o u n d t h a t t h e f e w e s t

i t e r a t i o n s a n d t h e l e a s t a r e a w e r e p r o d u c e d b y u s i n g t h e e v e n s i m p l e r a p p r o a c h

o f a l w a y s m o v i n g a l l n o d e s a n d i n c r e a s i n g t h e a r e a w h e n e v e r t h e n u m b e r o f

o v e r l a p s d o e s n o t g o d o w n .

T h e n a l c o m p o n e n t o f t h e p i p e l i n e i s a n o t h e r i n s t a n t i a t i o n o f n e a t o . I n

t h i s c a s e , i t a c c e p t s t h e g i v e n n o d e c o o r d i n a t e s , w i t h o u t r e p e a t i n g t h e K a m a d a -

K a w a i p h a s e , a n d m o v e s t o t h e n a l l a y o u t p a s s e s o f r o u t i n g e d g e s a s s m o o t h

c u r v e s a n d g e n e r a t i n g d e v i c e - d e p e n d e n t o u t p u t . A s w i t h m o s t o f o u r t o o l s , o u t -

p u t f o r m a t s i n c l u d e P o s t S c r i p t , G I F , a n d H P G L , a s w e l l a s s i m p l e d o t o u t p u t .

T h e v a r i o u s c o m p o n e n t a l g o r i t h m s u s e d t o c o n s t r u c t e d g e s a s s m o o t h c u r v e s a r e

d e s c r i b e d i n 5 , a l o n g w i t h t h e i r r e s p e c t i v e c o m p l e x i t i e s .

3

N o n - p o l y g o n s , s u c h a s c i r c l e s a n d e l l i p s e s , a r e a p p r o x i m a t e d b y m a n y - s i d e d p o l y g o n s .


5/10

5

Marden

ldt

kg

hg

CannonEpstein

Freedman

Milnor

Thurstonds

ggtkt

cdDouady

Hubard

Mandelbrot

Mumford

fg

vd

Conway

Tarjan

lat

cg

gcv

gv

sg

Wilks

crys

cv

Taylor

Almgren

Dobkin

Chazelle

fd

Peskin

dv

Marden

ldt

kg

hg

Cannon

Epstein

Freedman

Milnor

Thurston

ds

ggt

kt

cdDouady

Hubard

Mandelbrot

Mumford

fg

vd

Conway

Tarjan

lat

cg

gcv

gv

sg

Wilks

crys

cv

Taylor

Almgren

Dobkin

Chazelle

fd

Peskin

dv

F i g . 2 . T i d y i n g t h e g r a p h

4 E x a m p l e s

A s a n e x a m p l e o f o u r a p p r o a c h , w e a p p l i e d i t t o t h e g r a p h s h o w n i n F i g . 1 , a n d

a r r i v e d a t t h e d r a w i n g g i v e n i n t h e l e f t - h a n d s i d e o f F i g . 2 . F o r c o m p a r i s o n , t h e

d r a w i n g s h o w n o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f F i g . 1 w a s c r e a t e d b y d i l a t i n g F i g . 1 ,

p r e s e r v i n g n o d e s i z e , u n t i l t h e n o d e s n o l o n g e r t o u c h e d . E a c h o f t h e s e g u r e s

i s s c a l e d d i e r e n t l y t o t t h e p r e s e n t a t i o n h e r e . I f , h o w e v e r , t h e y w e r e s c a l e d

e q u a l l y , s o t h a t c o r r e s p o n d i n g n o d e s o n t h e 3 g r a p h s w o u l d h a v e i d e n t i c a l s i z e ,

t h e d r a w i n g o n t h e l e f t i n F i g . 2 w o u l d b e 1 . 4 6 t i m e s l a r g e r t h a n t h e d r a w i n g

i n F i g . 1 , w h i l e t h e d r a w i n g o n t h e r i g h t w o u l d b e a f a c t o r o f 3 . 9 l a r g e r . A s

f o r r u n n i n g t i m e s , t h e s i m p l e n e a t o l a y o u t t o o k 0 . 1 8 s e c o n d s

4

u s e r t i m e . O u r

t e c h n i q u e r e q u i r e d 3 . 7 2 s e c o n d s , w i t h 0 . 1 8 s e c o n d s s p e n t i n t h e i n i t i a l l a y o u t ,

0 . 1 2 s e c o n d s u s e d t o a d j u s t t h e n o d e p o s i t i o n s , r e q u i r i n g 2 5 i t e r a t i o n s , a n d t h e

r e s t u s e d t o d o t h e n a l s p l i n e r o u t i n g . A g a i n f o r c o m p a r i s o n , s i m p l y s c a l i n g t h e

d r a w i n g a n d t h e n p e r f o r m i n g t h e s p l i n e r o u t i n g c o s t 4 . 3 1 s e c o n d s .

T a b l e 1 p r o v i d e s a d d i t i o n a l c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e V o r o n o i t e c h n i q u e a n d

s c a l i n g . W e a p p l i e d b o t h m e t h o d s t o 9 g r a p h s t h a t a r i s e n i n p r a c t i c e . C o l u m n s

4 - 6 s h o w , f o r t h e V o r o n o i m e t h o d , t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s n e e d e d t o r e m o v e

a l l n o d e o v e r l a p s , t h e l i n e a r i n c r e a s e i n t h e b o u n d i n g b o x n e e d e d f o r t h e n e w

l a y o u t , a n d t h e a m o u n t o f t i m e t h i s p r o c e s s i n g t o o k . C o l u m n s 7 - 8 s h o w t h e

s i z e i n c r e a s e a n d t i m e t o r e m o v e n o d e o v e r l a p s b y s c a l i n g . W e n o t e t h a t t h e

V o r o n o i a p p r o a c h a c h i e v e s s i g n i c a n t l y b e t t e r u s e o f s p a c e . I t a l s o t a k e s a p p r e -

c i a b l y l o n g e r , b u t t h i s d i e r e n c e i s n e g l i g i b l e , a s t h e n a l , e d g e r o u t i n g p a s s

d o m i n a t e s t h e l a y o u t t i m e s . T h e g r a p h s c l u s t . d o t , r m f 2 0 k 5 0 . d o t , d p d . d o t a n d

h o u s t o n . j s a . d o t a r e s h o w n i n F i g s . 3 , 4 , 2 , a n d 5 , r e s p e c t i v e l y .

A d d i t i o n a l e x a m p l e s o f t h i s t e c h n i q u e a r e s h o w n i n F i g . 3 t h r o u g h F i g . 5 .

I n e a c h c a s e , t h e l e f t l a y o u t s h o w s t h e o r i g i n a l s t r a i g h t - l i n e d r a w i n g b a s e d o n

K a m a d a - K a w a i ; t h e r i g h t l a y o u t s h o w s t h e r e s u l t a f t e r a p p l y i n g o u r t w o p o s t -

p r o c e s s i n g a d j u s t m e n t s .

4

A l l t i m i n g s r e p o r t e d w e r e d o n e o n a n S G I O c t a n e .


6/10

6

T a b l e 1 . C o m p a r i s o n o f a p p l y i n g t h e V o r o n o i a n d s c a l i n g t e c h n i q u e s f o r r e m o v i n g

n o d e - n o d e o v e r l a p s

V o r o n o i S c a l i n g

G r a p h N o d e s E d g e s I t e r a t i o n s S i z e T i m e S i z e T i m e

i n c r e a s e s e c s . i n c r e a s e s e c s .

t u b e . d o t 1 0 1 8 3 1 . 1 0 . 0 0 5 1 . 4 9 0 . 0 0 8

c l u s t . d o t 1 6 7 3 8 1 . 6 1 0 . 0 4 5 2 . 5 4 0 . 0 1 6

r m f 2 0 k 5 0 . d o t 2 0 5 6 2 1 . 0 0 . 0 1 1 1 . 4 9 0 . 0 1 1

i n e t . d o t 2 4 5 1 1 1 . 0 0 . 0 1 2 1 . 5 0 0 . 0 1 7

h o u s t o n . j s a . d o t 3 2 9 8 2 1 . 0 0 . 0 1 9 1 . 6 4 0 . 0 1 3

d p d . d o t 3 6 1 0 8 2 5 1 . 9 5 0 . 3 1 6 3 . 9 3 0 . 0 3 1

g t e u . d o t 4 9 2 6 0 1 9 1 . 7 7 0 . 3 3 6 3 . 0 2 0 . 0 4 4

n g k 1 0 4 . d o t 5 0 1 0 0 1 6 1 . 2 0 0 . 2 9 4 3 . 3 6 0 . 0 4 2

j h o 5 E . d o t 2 1 3 2 6 9 2 1 1 . 7 8 1 . 8 4 3 3 . 2 4 0 . 4 5 2

main

check_buffer

out_heading

prefix

inforel

out_rel

out_data

check_fopencheck_fclose

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check_fopen

check_fclose

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spec_heading

spec_data

init_spec_table

F i g . 3 . c l u s t . d o t

1

6

2

3

8

5

12

4

7

9

10

11

13

16

14

15

19

18

17

20

1

62

3

5

12

8

4

7

11

10

16

9

15

14

13

17

20

18

19

F i g . 4 . r m f 2 0 k 5 0 . d o t


7/10

7

BUMTTXR1130

HSTNTX01

HSTNTXR7994

SPRNTXM0001

HSTXTXJ0001

HSTNTXAP

HSTNTXBA

HSTNTXCA

HSTNTXCLHSTNTXFA

HSTNTXGPHSTNTXJA

HSTNTXMCHSTNTXMO

HSTNTXOV

HSTNTXPR

HSTNTXBU

HSTNTXGVWCP

HSTNTXNA

HSTNTXOX

HSTNTXSU

HSTNTXTZWCP

SPRNTXQ0010

MDVITXR0103

HSTXTXFY

HSTXTXJ0002

HSTNTXAI

HSTNTX01FD3

HSTXTXFYFD3

DLLSTX37WMR

KATYTXQ0010

KATYTXR0010

BUMTTXR1130

HSTNTX01

HSTNTXR7994

SPRNTXM0001

HSTXTXJ0001

HSTNTXAIHSTNTXAP

HSTNTXBA

HSTNTXCA

HSTNTXCL

HSTNTXFA

HSTNTXGPHSTNTXJA

HSTNTXMC

HSTNTXMO

HSTNTXOV

HSTNTXPR

HSTNTXBU

HSTNTXGVWCP

HSTNTXNA

HSTNTXOX

HSTNTXSU

HSTNTXTZWCP

SPRNTXQ0010

MDVITXR0103

HSTXTXFY

HSTXTXJ0002

HSTNTX01FD3

HSTXTXFYFD3

DLLSTX37WMR

KATYTXQ0010

KATYTXR0010

F i g . 5 . h o u s t o n . d o t

5 R e l a t e d W o r k

C o n c e r n i n g t h e p r o b l e m o f o v e r l a p p i n g o b j e c t s i n s t r a i g h t - l i n e d r a w i n g s , a n a l -

t e r n a t i v e a p p r o a c h i s t o m o d i f y t h e v i r t u a l p h y s i c a l m o d e l t o p r e v e n t o r a t l e a s t

m i n i m i z e s u c h o v e r l a p . F o r e x a m p l e , K a m p s e t a l . 1 5 i n t r o d u c e a n a d d i t i o n a l

e n e r g y t e r m r e p r e s e n t i n g t h e a m o u n t o f o v e r l a p o f t h e n o d e s ' b o u n d i n g b o x e s .

S i m i l a r l y , W a n g a n d M i y a m o t o 2 8 m o d i f y t h e f o r c e s b e t w e e n n o d e s , s o t h a t

i f t w o n o d e s o v e r l a p t h e r e i s n o a t t r a c t i v e f o r c e b e t w e e n t h e m a n d t h e r e i s a

s t r o n g e r r e p u l s i v e f o r c e . D a v i d s o n a n d H a r e l 4 m a k e n o d e s a n d n o n - i n c i d e n t

e d g e s r e p e l .

T h e p r o b l e m i s t h a t i m p o s i n g a n o v e r l a p p e n a l t y s t i l l i s n o g u a r a n t e e t h a t

o b j e c t s a r e c o r r e c t l y s e p a r a t e d . T h i s i s p a r t i c u l a r l y a p p a r e n t i n s o m e l a y o u t s

o f l a r g e o r d e n s e g r a p h s . M o r e r e s e a r c h i s n e e d e d t o u n d e r s t a n d p o s s i b l e i n -

t e r f e r e n c e b e t w e e n t h e n e w e n e r g y t e r m s a n d t h e o r i g i n a l m o d e l . B e s i d e s , t h e

s t r a i g h t - l i n e e d g e r e s t r i c t i o n c a n i m p o s e o t h e r p r o b l e m s .

F i s h e y e t e c h n i q u e s 2 3 c a n a d j u s t s p a c i n g b e t w e e n l a y o u t o b j e c t s , b u t a r e

i n t e n d e d f o r i n t e r a c t i v e e n v i r o n m e n t s . I t i s n o t c l e a r h o w t h e y c a n b e a p p l i e d

s u c c e s s f u l l y t o s t a t i c l a y o u t .

W i l l s 2 9 p r o p o s e s a p o s t - p r o c e s s i n g p h a s e f o r v i r t u a l p h y s i c a l m o d e l s . T h e

m e t h o d i s t o c o m p u t e n e a r e s t n e i g h b o r s f o r a l l n o d e s , a n d i n c r e a s e t h e s e p a r a t i o n

b e t w e e n n o d e p a i r s t h a t a r e t o o c l o s e . I t i s n o t c l e a r w h a t h a p p e n s i f t h e r e i s

n o t e n o u g h s p a c e l o c a l l y .


8/10

8

A s p r e v i o u s l y m e n t i o n e d , o u r a p p r o a c h w a s i n s p i r e d b y L y o n s e t a l . 2 1 , 2 0 .

T h e y p r o p o s e i m p r o v i n g l a y o u t s o f p o i n t s i n t h e p l a n e t h a t t y p i c a l l y r e p r e s e n t

g r a p h n o d e s . T h e g o a l i s t o m o r e e v e n l y d i s t r i b u t e t h e p o i n t s w i t h i n a x e d l a y o u t

w i n d o w , w h i l e m a i n t a i n i n g t h e b a s i c s h a p e " o f a d r a w i n g . T h e m e t h o d r e l i e s

o n m e a s u r e s o f s i m i l a r i t y a n d d i s t r i b u t i o n . L a y o u t s a r e u p d a t e d i t e r a t i v e l y b y

e i t h e r a V o r o n o i d i a g r a m o r s p r i n g m o d e l , m o v i n g p o i n t s u n t i l e i t h e r t h e d r a w i n g

b e c o m e s t o o d i s s i m i l a r t o t h e i n p u t , o r a d e s i r e d l e v e l o f d i s t r i b u t i o n h a s b e e n

r e a c h e d . T h e p r o p o s e d m o d e l s f o r s i m i l a r i t y a n d d i s t r i b u t i o n d o n o t t a k e i n t o

a c c o u n t n o n - p o i n t n o d e s o r e d g e s o f t h e g r a p h .

E d g e r o u t i n g c a n b e h a n d l e d b y a n y t e c h n i q u e t h a t s a t i s e s c e r t a i n a e s t h e t i c

g o a l s e . g . m a k e p a t h s t h a t a r e s h o r t , s m o o t h a n d a v o i d u n n e c e s s a r y i n e c t i o n s .

A n a l t e r n a t i v e t o o u r m e t h o d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 w a s p r o p o s e d b y A b e l l o a n d

G a n s n e r 1 .

6 C o n c l u s i o n s a n d F u t u r e W o r k

T h e p r o p o s e d a p p r o a c h m a k e s r e a d a b l e l a y o u t s b y a h y b r i d o f v i r t u a l p h y s i c a l

m o d e l i n g , g e o m e t r i c c o n s t r a i n t s a n d r e p r e s e n t i n g e d g e s a s s m o o t h c u r v e s . T h e

a p p r o a c h i s c o m p a t i b l e w i t h a n y i n i t i a l l a y o u t . T h e r e s u l t i n g d i a g r a m s p r e s e r v e

m u c h o f t h e o r i g i n a l s t r u c t u r e , a t t e m p t t o u s e l i t t l e a d d i t i o n a l s p a c e , a n d c a n

b e c o n s t r u c t e d e c i e n t l y .

T h i s t e c h n i q u e a l s o r a i s e s s o m e i n t e r e s t i n g p r o b l e m s . O n e a r e a c o n c e r n s t h e

l a y o u t i t s e l f . T h e t e c h n i q u e p r e v e n t s u n w a n t e d n o d e - n o d e a n d n o d e - e d g e i n t e r -

s e c t i o n s , b u t d o e s n ' t a d d r e s s e d g e - e d g e i n t e r s e c t i o n s . S u c h i n t e r s e c t i o n s c a n b e

s e e n i n F i g u r e 2 . G l o b a l e d g e r o u t i n g m i g h t b e a g o o d w a y o f a t t a c k i n g t h i s p r o b -

l e m . T h e i d e a w o u l d b e t o d e t e r m i n e w h e n e d g e r o u t e s m i g h t i n t e r a c t p e r h a p s

w h e n p a t h e d g e s a r e s h a r e d o r a r e p r o x i m a t e a n d t h e n t o i n t r o d u c e n e w b a r r i e r s

c o r r e s p o n d i n g t o i m p l i e d r o u t i n g c o n s t r a i n t s . A l t e r n a t i v e l y , i t m i g h t b e p o s s i b l e

t o i n t r o d u c e s o m e a s p e c t s o f e d g e r o u t i n g i n t o t h e f o r c e - d i r e c t e d m o d e l , t h e r e b y

c o n n e c t i n g n o d e a n d e d g e l a y o u t m o r e c l o s e l y , a s i s d o n e i n m o s t S u g i y a m a - s t y l e

l a y o u t s f o r d i r e c t e d g r a p h s .

A n o t h e r i s s u e i s t h a t t h e t e c h n i q u e o f u s i n g V o r o n o i d i a g r a m s t o b r e a k u p

c l u s t e r s o f n o d e s r e a l l y r e p r e s e n t s a f a m i l y o f a l g o r i t h m s , a n d l e a v e s o p e n t h e

d e c i s i o n s a b o u t w h a t n o d e s t o m o v e , w h e r e t o m o v e t h e m , w h e n t o i n c r e a s e

t h e d r a w i n g ' s b o u n d i n g p o l y g o n , a n d w h a t t y p e o f b o u n d i n g p o l y g o n t o u s e .

W e d i s c u s s e d s o m e o f t h e v a r i a t i o n s w e t r i e d i n S e c t i o n 3 . A d j u s t m e n t o f n o d e

p o s i t i o n s a l s o p o t e n t i a l l y i n t e r a c t s w i t h t h e f o r c e m o d e l a n d d i s t u r b s l o c a l s y m -

m e t r y . M o r e e x p e r i m e n t s a r e n e e d e d t o u n d e r s t a n d t h e s e i n t e r a c t i o n s a n d g o o d

t r a d e o s . W e n o t i c e t h a t o u r l a y o u t s t e n d t o d i s p e r s e n o d e s m o r e t h a n n e c e s s a r y .

T h e r e i s a q u e s t i o n c o n c e r n i n g w h e t h e r V o r o n o i d i a g r a m s w i t h p o l y g o n a l

n o d e s h a p e s a s s i t e s m a k e b e t t e r l a y o u t s . I f s o , t h e r e i s a p r o b l e m o f h o w t o

c o m p u t e t h e s e d i a g r a m s i n c r e m e n t a l l y a s n o d e s m o v e . F i n a l l y , t h e r e i s a n e e d

f o r r o b u s t i m p l e m e n t a t i o n s .


9/10

9

R e f e r e n c e s

1 . J . A b e l l o a n d E . G a n s n e r . S h o r t a n d s m o o t h p o l y g o n a l p a t h s . I n C . L u c c h e s i a n d

A . M o u r a , e d i t o r s , L A T I N ' 9 8 : T h e o r e t i c a l I n f o r m a t i c s , v o l u m e 1 3 8 0 o f L e c t u r e

N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 5 1 1 6 2 , 1 9 9 8 .

2 . F . J . B r a n d e n b u r g , M . H i m s o l t , a n d C . R o h r e r . A n e x p e r i m e n t a l c o m p a r i s o n o f

f o r c e - d i r e c t e d a n d r a n d o m i z e d g r a p h d r a w i n g a l g o r i t h m s . I n F . J . B r a n d e n b u r g ,

e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 5 , v o l u m e 1 0 2 7 o f L e c t u r e N o t e s i n

C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 7 6 8 7 , 1 9 9 6 .

3 . J . C o h e n . D r a w i n g g r a p h s t o c o n v e y p r o x i m i t y : a n i n c r e m e n t a l a r r a n g e m e n t

m e t h o d . A C M T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r - H u m a n I n t e r a c t i o n , 4 1 1 : 1 9 7 2 2 9 ,

1 9 8 7 .

4 . R . D a v i d s o n a n d D . H a r e l . D r a w i n g g r a p h s n i c e l y u s i n g s i m u l a t e d a n n e a l i n g . A C M

T r a n s a c t i o n s o n G r a p h i c s , 1 5 4 : 3 0 1 3 3 1 , 1 9 9 6 .

5 . D . D o b k i n , E . G a n s n e r , E . K o u t s o o s , a n d S . N o r t h . I m p l e m e n t i n g a g e n e r a l -

p u r p o s e e d g e r o u t e r . I n G . D i B a t t i s t a , e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g

G D ' 9 7 , v o l u m e 1 3 5 3 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 6 2 2 7 1 , 1 9 9 7 .

6 . P . E a d e s . A h e u r i s t i c f o r g r a p h d r a w i n g . C o n g r e s s u s N u m e r a n t i u m , 4 2 : 1 4 9 1 6 0 ,

1 9 8 4 .

7 . P . E a d e s a n d X . L i n . S p r i n g a l g o r i t h m s a n d s y m m e t r y . I n C O C O O N ' 9 7 , v o l u m e

1 2 7 6 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 0 2 2 1 1 , 1 9 9 7 .

8 . U . F o s s m e i e r a n d M . K a u f m a n n . D r a w i n g h i g h d e g r e e g r a p h s w i t h l o w b e n d n u m -

b e r s . I n F . J . B r a n d e n b u r g , e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 5 , v o l u m e

1 0 2 7 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 5 4 2 6 6 , 1 9 9 6 .

9 . A . F r i c k , A . L u d w i g , a n d H . M e h l d a u . A f a s t a d a p t i v e l a y o u t a l g o r i t h m f o r u n d i -

r e c t e d g r a p h s . I n R . T a m a s s i a a n d I . G . T o l l i s , e d i t o r s , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w -

i n g G D ' 9 4 , v o l u m e 8 9 4 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 3 8 8 4 0 3 , 1 9 9 5 .

1 0 . T . F r u c h t e r m a n a n d E . R e i n g o l d . G r a p h d r a w i n g b y f o r c e - d i r e c t e d p l a c e m e n t . S o f t -

w a r e P r a c t i c e a n d E x p e r i e n c e , 2 1 1 1 : 1 1 2 9 1 1 6 4 , 1 9 9 1 . a l s o a s T e c h n i c a l R e p o r t

U I U C D C S - R - 9 0 - 1 6 0 9 , D e p t . o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v . o f I l l i n o i s a t U r b a n a -

C h a m p a i g n , 1 9 9 0 .

1 1 . E . R . G a n s n e r , E . K o u t s o o s , S . C . N o r t h , a n d K . P . V o . A t e c h n i q u e f o r d r a w i n g

d i r e c t e d g r a p h s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n S o f t w a r e E n g i n e e r i n g , M a r c h 1 9 9 3 .

1 2 . E . R . G a n s n e r , S . C . N o r t h , a n d K . P . V o . D a g a p r o g r a m t h a t d r a w s d i r e c t e d

g r a p h s . S o f t w a r e P r a c t i c e a n d E x p e r i e n c e , 1 8 1 1 : 1 0 4 7 1 0 6 2 , 1 9 8 8 .

1 3 . W . H e a n d K . M a r r i o t t . C o n s t r a i n e d g r a p h l a y o u t . I n S . C . N o r t h , e d i t o r , S y m -

p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 6 , v o l u m e 1 1 9 0 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e , p a g e s 2 1 7 2 3 2 , 1 9 9 7 .

1 4 . T . K a m a d a a n d S . K a w a i . A n a l g o r i t h m f o r d r a w i n g g e n e r a l u n d i r e c t e d g r a p h s .

I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g L e t t e r s , 3 1 : 7 1 5 , 1 9 8 9 .

1 5 . T . K a m p s , J . K l e i n z , a n d J . R e a d . C o n s t r a i n t - b a s e d s p r i n g - m o d e l a l g o r i t h m f o r

g r a p h l a y o u t . I n F . J . B r a n d e n b u r g , e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 5

v o l u m e 1 0 2 7 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 3 4 9 3 6 0 , 1 9 9 6 .

1 6 . E . K o u t s o o s a n d S . N o r t h . I n t e r t o o l c o n n e c t i o n s . I n B . K r i s h n a m u r t h y , e d i t o r ,

P r a c t i c a l R e u s a b l e U N I X S o f t w a r e , c h a p t e r 1 1 , p a g e s 3 0 0 3 1 5 . J o h n W i l e y & S o n s ,

N e w Y o r k , 1 9 9 5 .

1 7 . J . K r u s k a l a n d J . S e e r y . D e s i g n i n g n e t w o r k d i a g r a m s . I n P r o c . F i r s t G e n e r a l C o n f .

o n S o c i a l G r a p h i c s , p a g e s 2 2 5 0 , 1 9 8 0 .

1 8 . X . L i n . A n a l y s i s o f A l g o r i t h m s f o r D r a w i n g G r a p h s . P h D t h e s i s , D e p a r t m e n t o f

C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f Q u e e n s l a n d , 1 9 9 2 .


10/10

1 0

1 9 . R . L i p t o n , S . N o r t h , a n d J . S a n d b e r g . A m e t h o d f o r d r a w i n g g r a p h s . I n P r o c .

A C M S y m p . o n C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y , p a g e s 1 5 3 1 6 0 , 1 9 8 5 .

2 0 . K . L y o n s . C l u s t e r b u s t i n g i n a n c h o r e d g r a p h d r a w i n g . I n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 2

C A S C o n f e r e n c e , p a g e s 7 1 6 , 1 9 9 2 .

2 1 . K . L y o n s , H . M e i j e r , a n d D . R a p p a p o r t . A l g o r i t h m s f o r c l u s t e r b u s t i n g i n a n c h o r e d

g r a p h d r a w i n g . J o u r n a l o f G r a p h A l g o r i t h m s a n d A p p l i c a t i o n s , 2 1 : 1 2 4 , 1 9 9 8 .

2 2 . O ' R o u r k e . C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y i n C . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m -

b r i d g e , 1 9 9 4 .

2 3 . M . - A . S t o r e y a n d H . M u l l e r . G r a p h l a y o u t a d j u s t m e n t s t r a t e g i e s . I n F . J . B r a n d e n -

b u r g , e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 5 , v o l u m e 1 0 2 7 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 4 8 7 9 9 , 1 9 9 6 .

2 4 . K . S u g i y a m a a n d K . M i s u e . A s i m p l e a n d u n i e d m e t h o d f o r d r a w i n g g r a p h s :

M a g n e t i c - s p r i n g a l g o r i t h m . I n R . T a m a s s i a a n d I . G . T o l l i s , e d i t o r s , S y m p o s i u m o n

G r a p h D r a w i n g G D ' 9 4 , v o l u m e 8 9 4 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s

3 6 4 3 7 5 , 1 9 9 5 .

2 5 . K . S u g i y a m a , S . T a g a w a , a n d M . T o d a . M e t h o d s f o r v i s u a l u n d e r s t a n d i n g o f

h i e r a r c h i c a l s y s t e m s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n S y s t e m s , M a n a n d C y b e r n e t i c s , S M C -

1 1 2 : 1 0 9 1 2 5 , 1 9 8 1 .

2 6 . R . T a m a s s i a . O n e m b e d d i n g a g r a p h i n t h e g r i d w i t h t h e m i n i m u m n u m b e r o f

b e n d s . S I A M J . C o m p u t i n g , 1 6 3 : 4 2 1 4 4 4 , 1 9 8 7 .

2 7 . R . T a m a s s i a , G . D i B a t t i s t a , a n d C . B a t i n i . A u t o m a t i c g r a p h d r a w i n g a n d r e a d -

a b i l i t y o f d i a g r a m s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n S y s t e m s , M a n a n d C y b e r n e t i c s , S M C -

1 8 1 : 6 1 7 9 , 1 9 8 8 .

2 8 . X . W a n g a n d I . M i y a m o t o . G e n e r a t i n g c u s t o m i z e d l a y o u t s . I n F . J . B r a n d e n b u r g ,

e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 5 , v o l u m e 1 0 2 7 o f L e c t u r e N o t e s i n

C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 5 0 4 5 1 5 , 1 9 9 6 .

2 9 . G . W i l l s . N i c h e w o r k s - i n t e r a c t i v e v i s u a l i z a t i o n o f v e r y l a r g e g r a p h s . I n G . D i B a t -

t i s t a , e d i t o r , S y m p o s i u m o n G r a p h D r a w i n g G D ' 9 7 , v o l u m e 1 3 5 3 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 4 0 3 4 1 4 , 1 9 9 7 .

1998 - Improved Force-directed Layouts

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