16. Valovi i zvuk (pripremljeno prema poglavlju 16, Cutnell & Johnson: Physics, 9th edition, John Wiley and Sons, (2012), poveznica: www.pdf-archive.com/2018/04/25/cutnell ) Priroda valova. Postoje zajednička svojstva valova:

1. Val je poremećaj koji putuje kroz neko sredstvo. 2. Val prenosi energiju od mjesta do mjesta.

Razmotrimo val na vodi. Na slici desno vidi se kako motorni čamac koji plovi jezerom stvara val. Val dolazi do drugog čamca u kojem ometa ribara. Međutim, ne postoji protok vode između brodova. Uočimo da val nije skupno kretanje vode poput rijeke, već je poremećaj koji se širi površinom vode. Postoje dvije osnovne vrste valova: poprečni i uzdužni (transverzalni i longitudinalni). Slika dolje ilustrira kako se transverzalni val može stvoriti pomoću duge, mekane opruge. Ako jedan kraj trzamo gore-dolje, šalje se uzlazni impuls koji putuje udesno. Crvena strelica pokazuje smjer kretanja vala,

odnosno brijeg koji putuje prema desno (slike (a)-(c)). Na slici (c) označena je jedna točka. Može se vidjeti kako se ona pomiče gore-dolje jednostavnim harmoničnim gibanjem dok val putuje udesno. Dakle, poprečni val je onaj u kojem se poremećaj javlja okomito na smjer putovanja vala. Radio valovi, svjetlosni valovi i mikrovalovi su poprečni valovi. Poprečni valovi također putuju na žicama gitare.

Pomoću duge, mekane opruge također se može generirati longitudinalni val (slika desno). Kad se jedan kraj gura naprijed-nazad, područje u kojemu su zavojnice stisnute putuje udesno. Ako se kraj kontinuirano pomiče naprijed-nazad jednostavnim harmoničnim gibanjem, stvara se cijeli val. Dakle, longitudinalni val je onaj u kojem se poremećaj javlja paralelno s linijom putovanja vala. Zvučni val je longitudinalni val.

Zanimljivo je da vodeni val nije ni poprečni niti uzdužni, jer gibanje vodenih čestica nije strogo okomito ili strogo paralelno s linijom kretanja vala. Umjesto toga, gibanje uključuje i poprečne i uzdužne komponente, budući da se vodene čestice na površini kreću gotovo kružnim putanjama, kao što pokazuje slika lijevo.

Periodički valovi. Transverzalni i longitudinalni valovi o kojima smo raspravljali nazivaju se periodički valovi jer ih karakterizira ciklus koji se ponavlja, a stvara ga izvor. Na slikama gore, vidjeli smo da se ponavljajući obrasci pojavljuju kao rezultat jednostavnog harmoničnog gibanja lijevog kraja opruge.

Slika dolje, dio (a), grafički prikazuje poprečni val na mekanoj opruzi, a bit će korisna za razumijevanje terminologije. Na ovom grafu možemo uočiti geometrijska svojstva vala: amplituda, 𝐴, je maksimalna udaljenost neke čestice (sredstva) u odnosu na ravnotežni položaj; valna duljina, 𝜆, je duljina nakon koje se poremećaj ponavlja, kao što je istaknuto bojom na slici dolje. Drugim riječima, valna duljina je udaljenost između dva susjedna brijega ili dola, odnosno udaljenost bilo koje dvije uzastopne ekvivalentne točke na valu.

Na slici (b) prikazan je graf dobiven promatranjem gibanja jedne točke na opruzi, ali je sad na apscisi (x-osi) naznačeno vrijeme. Kako se val giba, jedna promatrana točka oscilira gore-dolje jednostavnim harmoničkim titranjem. Period titranja točke, 𝑇, je vrijeme potrebno za jedan ciklus, baš kao što je to bio slučaj za objekt koji titra na opruzi. Veza perioda i frekvencije, baš kao i u slučaju jednostavnog harmoničkog titranja, iznosi:

𝑓 =1𝑇

Postoji jednostavna veza između perioda, valne duljine i brzine periodičnog vala. Da bismo intuitivno uveli tu vezu, razmotrimo situaciju na slici desno. Neka se teretni vlak, koji se kreće stalnom brzinom 𝑣 , sastoji od identičnih vagona duljine 𝜆. Vrijeme potrebno za prolazak jedanog vagona je 𝑇. Stoga, brzinu možemo dobiti kao 𝑣 = 𝜆/𝑇. Budući da je frekvencija vala 𝑓 = 1/𝑇, izraz za brzinu možemo zapisati

𝑣 =𝜆𝑇 = 𝑓𝜆 (16.1)

Brzina vala na žici. Svojstva materijala ili sredstva kroz koje prolazi val određuju brzinu tog vala. Na primjer, slika desno prikazuje transverzalni val na žici. Na slici možem uočiti da brzina kojom se val kreće udesno ovisi o tome koliko brzo jedan segment žice ubrzava prema gore. U skladu s drugim Newtonovim zakonom, veća sila dovodi do većeg ubrzanja. Dakle, što je veća napetost u žici, 𝐹, veće su sile na segmente žice. Također, na ubrzanje utječe i masa segmenta koji se ubrzava, odnosno ovisi o masi po jedinici duljine (linearna gustoća), 𝑚/𝐿. Iznos za brzinu vala donosimo bez izvoda, a glasi:

𝑣 =𝐹𝑚/𝐿 (16.2)

Matematički opis vala. Kad val putuje kroz sredstvo, čestice sredstva se izmještaju iz svojih ravnotežnih položaja. Pretpostavimo da se čestica nalazi na udaljenosti 𝑥 od ishodišta. Željeli bismo znati koliki je njen pomak u odnosu na ravnotežno stanje, 𝑦, u bilo kojem trenutku 𝑡. Za periodične valove nastale iz jednostavnog harmoničnog izvora, izraz pomaka opisan je sinusnom funkcijom. Jednadžba (16.3) opisuje val koji putuje udesno, u smjeru 𝑥 , a ima amplitudu 𝐴, frekvenciju 𝑓 i valnu duljinu 𝜆 . Jednadžba (16.4) odnosi se na val koji se kreće ulijevo, u smjeru −𝑥:

Val koji putuje u 𝑥 smjeru 𝑦 = 𝐴 sin 2𝜋𝑓𝑡 −2𝜋𝑥𝜆 (16.3)

Val koji putuje u− 𝑥 smjeru 𝑦 = 𝐴 sin 2𝜋𝑓𝑡 +2𝜋𝑥𝜆 (16.4)

Na slici desno prikazan je pomak 𝑦 kao funkcija položaja 𝑥 za pet vremenskih trenutaka, 𝑡 = 0, !

!𝑇, !

!𝑇, !

!𝑇, 𝑇 .

Grafovi su konstruirani korištenjem jednadžbe (16.3), za pet navedenih vrijednosti vremena 𝑡. Radi lakšeg snalaženja, crvenom je bojom istaknut jedan segment vala koji odgovara jednoj valnoj duljini. Crvenim je kvadratom prikazana točka koja ima pomak iz ravnoteže 𝑦 = 0, a u trenutku 𝑡 = 0 nalazi se na položaju 𝑥 = 0. Kako vrijeme prolazi, položaj na kojem je pomak 𝑦 = 0 se pomakao udesno, što se na slici može vidjeti kao pomicanje obojenog segmenta i kvadrata udesno. Na sličan se način može predočiti da jednadžba (16.4) opisuje val koji se kreće ulijevo. Priroda zvuka. Zvuk je longitudinalni val koji stvara objekt koji titra, poput žice za gitaru ili ljudskih glasnica. Zvuk se može stvarati ili prenositi samo u sredstvu, poput plina, tekućine ili krute tvari, dok ne može postojati u vakuumu. Fizika membrane zvučnika. Da bistmo razumjeli kako nastaju zvučni valovi i zašto su longitudinalni, razmotrimo membranu zvučnika. Kad se membrana pomakne prema van, ona komprimira zrak ispred nje, kao na slici desno. Ova kompresija uzrokuje lagani porast tlaka zraka. Područje povišenog tlaka se udaljava od zvučnika brzinom zvuka. Ova situacija je analogna komprimiranom području mekane zavojnice u primjeru s longitudinalnim valom. Kako val prolazi, obojene točkice koje prikazuju dio na mekane opruge i molekule zraka izvode jednostavno harmonično titranje u odnosu na svoj ravnotežni položaj. Strelice prikazuju smjer jednostavnog harmoničnog titranja, za koje vidimo da je

paralelno sa smjerom putovanja. Frekvencija zvučnog vala. Eksperimenti su pokazali da zdrava mlada osoba čuje sve frekvencije zvuka u rasponu od otprilike 20 Hz do 20.000 Hz (20 kHz). Međutim, sposobnost da čujete visoke frekvencije opada s godinama tako da normalna odrasla osoba u srednjoj dobi može čuti frekvencije samo do maksimalnih 12-14 kHz. Brzina zvuka. Zvuk putuje plinovima, tekućinama i čvrstim tvarima znatno različitim brzinama. Pri sobnoj temperaturi brzina zvuka u zraku iznosi 343 m/s, a znatno je veća kod tekućina i krutih tvari. Na primjer, u odnosu na brzinu zvuka u zraku, zvuk u vodi putuje oko četiri puta brže, a kroz čelik sedamnaest puta brže. Kao što je to bio slučaj za brzinu vala na žici gitare, brzina zvuka ovisi o svojstvima sredstva. Račun pokazuje da brzina zvuka u idealnom plinu iznosi

Idealni plin 𝑣 =𝛾𝑘𝑇𝑚 (16.5)

gdje koeficijent 𝛾 = 𝑐!/𝑐! predstavlja odnos specifičnog toplinskog kapaciteta pri konstantnom tlaku 𝑐! i specifičnog toplinskog kapaciteta pri konstantnom volumenu 𝑐!. Može se pokazati da je vrijednost 𝛾 = 5/3 za idealne jednoatomske plinove, a 𝛾 = 7/5 za idealne dvoatomne plinove. Masa jedne molekule plina označena je 𝑚, Boltzmannova konstanata 𝑘, a temperatura 𝑇. S druge strane, u krutim tvarima i tekućinama brzina zvuka ovisi o njihovim elastičnim svojstvima, ali to neće biti predmet detaljne analize ovog predmeta. Intenzitet zvuka. Zvučni valovi prenose energiju koja prisiljavanja na bubnjić u našem uhu da vibrira. U ekstremnim slučajevima, kao što je zvučna eksplozija, energija može biti tolika da uzrokuje štetu na prozorima i zgradama. Količina energije koju u sekundi prenosi zvučni val naziva se snagom vala i mjeri se u SI jedinicama za snagu, J/s=W. Kad zvučni val napusti izvor, poput zvuka iz zvučnika na slici desno, površine kroz koje zvuk prolazi su sve veće i veće. Na primjer, jednaka zvučna snaga prolazi kroz površine označene na crtežu brojevima 1 i 2. Međutim, u slučaju 2 snaga pokriva veću površinu. Stoga ćemo uvesti pojam intenzitet valova, pri čemu pojam intenziteta valova nije ograničen samo na zvučne valove. Intenzitet zvuka 𝐼 definira se kao snaga zvuka 𝑃 koja prolazi okomito kroz neku plohu podijeljena s površinom 𝐴 te plohe:

𝐼 =𝑃𝐴 (16.6)

Na primjer, za ton od 1000 Hz, najmanji intenzitet zvuka koji ljudsko uho može čuti je oko 𝐼 = 1 ∙ 10!!" W/m!, i taj se intenzitet naziva pragom čujnosti.

Ukoliko neki izvor emitira zvuk jednoliko u svim smjerovima, intenzitet ovisi o udaljenosti na jednostavan način. Razmotrimo situaciju u kojoj je izvor zvuka u središtu zamišljene sfere radijusa 𝑟. S obzirom na to da ukupna izračena snaga prolazi kroz sferu površine 𝐴 = 4𝜋𝑟!, intenzitet na udaljenosti 𝑟 iznosi

𝐼 =𝑃

4𝜋𝑟! (16.7) Iz toga vidimo da intenzitet zvuka opada s udaljenošću s 1/𝑟!. Na primjer, ako se udaljenost poveća za faktor dva, intenzitet zvuka se smanjuje za 4. Decibeli. Decibel (dB) je mjerna jedinica koja se koristi za usporedbu dva intenziteta zvuka. Najjednostavnija metoda usporedbe bila bi izračunati omjer intenziteta. Na primjer, mogli bismo usporediti intenzitet 𝐼 = 8 ∙ 10!!" W/m! s intenzitetom 𝐼! = 1 ∙ 10!!" W/m! tako da kažemo da je 𝐼/𝐼! = 8 te navodeći da je intenzitet 𝐼 osam puta veći od intenziteta 𝐼!. Međutim, zbog načina na koji mehanizam ljudskog sluha reagira na intenzitet, za usporedbu je primjerenije koristiti logaritamsku skalu. U tu se svrhu razina intenziteta izražava u decibelima, a definira se na sljedeći način:

𝛽 = (10 dB) log𝐼𝐼!

(16.8)

gdje „log“ označava uobičajeni logaritam po bazi 10. Intenzitet 𝐼! predstavlja referentnu razinu s kojom se uspoređuje intenzitet 𝐼, a ponekad se za 𝐼! uzima prag čujnosti, 𝐼! = 1 ∙ 10!!" W/m!. Za primjer gore, možemo izračunati da je:

𝛽 = 10 dB log8 ∙ 10!!"W/m!

1 ∙ 10!!"W/m! = 10 dB log 8 = 10 dB 0.9 = 9 dB

Ovaj rezultat ukazuje da je intenzitet 𝐼 za 9 decibela veći od intenziteta 𝐼!. Uočimo da decibel nije intenzitet i nema jedinicu već je, poput radijana, bez dimenzije. Primijetite da ako pričamo o intenzitetu zvuka koji je na pragu čujnosti, onda ja 𝐼 =𝐼!, a razina intenziteta je 0 dB:

𝛽 = 10 dB log𝐼!𝐼!

= 10 dB log 1 = 0 dB

Dopplerov efekt. Jeste li ikada čuli kako se približava vatrogasno vozilo i primijetili izrazitu promjenu u zvuku sirene nakon što vozilo prođe pored vas? Dok se vozilo približava, visina sirene je relativno visoka, ali kako vozilo prolazi i odmiče, visina zvuka naglo pada. Takve je pojave prvi put identificirao 1842. g. austrijski fizičar Christian Doppler (1803–1853), a danas se nazivaju Doplerov efekt. Da bismo objasnili kako nastaje Dopplerov efekt, kombinirat ćemo koncepte o kojima smo ranije raspravljali, brzinu izvora, valnu duljinu i frekvenciju zvučnog vala. Pritom ćemo vidjeti da Doplerov efekt predstavlja promjenu frekvencije ili visine zvuka, a ona nastaje kao posljedica gibanja izvora zvuka.

Pomični izvor zvuka. Da bismo vidjeli kako nastaje Dopplerov efekt, razmotrimo zvuk koji emitira sirena na stacionarnom vatrogasnom vozilu na slici dolje. Također, pretpostavit ćemo da je zrak nepomičan u odnosu na Zemlju. Svaki plavi luk na slici predstavlja valnu frontu zvučnog vala. S obzirom na to da su valne fronte simetrične koncentrične kružnice, slušatelji koji stoje ispred ili iza vozila čuju jednak broj titraja zraka u sekundi te stoga čuju istu frekvenciju.

Jednom kada se vozilo počne gibati, situacija se mijenja, kao što pokazuje slika (b). Ispred vozila valne su fronte sada međusobno bliže, što rezultira smanjenjem valne duljine zvuka. Ovo "skupljanje" nastaje zato što vozilo u gibanju "hvata" valnu frontu prije nego što emitira sljedeću. Budući da su valne fronte bliže jedna drugoj, promatrač koji stoji ispred vozila osjeti kako više njih dolazi do njega, u odnosu na vozilo u mirovanju. Ovo odgovara većoj frekvenciji zvuka, što promatrač čuje kao viši ton. S druge strane, iza vozila valne su fronte udaljenije što dovodi do povećanja valne duljine, odnosno od smanjenja frekvencije. Ako stacionarna sirena na slici gore emitira valnu frontu u trenutku 𝑡 = 0, sljedeću valnu frontu emitirat će u trenutku 𝑡 = 𝑇, gdje je 𝑇 period vala. Udaljenost između ove dvije valne fronte je valna duljina zvuka 𝜆 nepokretnog izvora, kao što pokazuje slika desno (a). Kada se vozilo giba prema prema nepomičnom promatraču giba brzinom 𝑣! , sirena također emitira valne fronte u trenucima 𝑡 = 0 i 𝑡 = 𝑇. Međutim, prije ispuštanja druge valne fronte, vozila se približilo promatraču na udaljenost 𝑣!𝑇, kao što pokazuje slika (b). Kao rezultat, udaljenost između valnih fronti više nije valna duljina 𝜆, nego valna 𝜆! koja se skratila za iznos 𝑣!𝑇:

𝜆′ = 𝜆 − 𝑣!𝑇 Označimo li frekvenciju koju stacionarni promatrač čuje kao 𝑓!, gdje indeks „p“ znači „promatrač“, frekvencija je jednaka brzini zvuka 𝑣 podijeljena sa skraćenom valnom duljinom 𝜆′

𝑓! =𝑣𝜆! =

𝑣𝜆 − 𝑣!𝑇

Sjetimo se da za stacionarnu sirenu vrijedi 𝜆 = 𝑣/𝑓! = 𝑣𝑇 , gdje 𝑓! označava frekvenciju zvuka koju emitira izvor. Korištenjem ove jednadžbe i izraza za frekvenciju promatrača, dobivamo slijedeći rezultat:

Izvor se približava opažaču 𝑓! = 𝑓!1

1− 𝑣!/𝑣 (16.9)

S obzirom na to da je izraz u nazivniku, 1− 𝑣!/𝑣, manji od jedan, frekvencija promatrača 𝑓! veća je od frekvencije izvora, 𝑓!. Razlika između ove dvije frekvencije, 𝑓! − 𝑓!, naziva se Dopplerov pomak, a njegov iznos ovisi o omjeru brzine izvora 𝑣! i brzine zvuka 𝑣. Za promatrača s druge strane, kad se sirena udaljava od njega, valna duljina 𝜆! postaje veća od 𝜆:

𝜆! = 𝜆 + 𝑣!𝑇 Uočimo da se umjesto predznaka − sad pojavljuje predznak +. Posljedično, u izrazu za frekvenciju promatrača, 𝑓!, u nazivniku se pojavljuje predznak +:

Izvor se udaljava od opažača 𝑓! = 𝑓!1

1+ 𝑣!/𝑣 (16.10)

Izraz u nazivniku, 1+ 𝑣!/𝑣, veći je od 1 pa je rekvencija promatrača, 𝑓!, manja od frekvencije koju emitira izvor, 𝑓!.