138 - Başkent Üniversitesimail.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/ders/math/calculus/... ·...

Bolum 8Hyperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik fonksiyonlar diferensiyel denklemlerin çözümümde önemli rol oy-nar. Trigonometrik fonksiyonları andıran adları vardır. Trigonometrik fonksi-yonların adlarını sonunu h harfi konulur. Ama onlar trigonometrik fonkiyonlar-dan farklıdır. Aynen trigonometrik fonksiyonlarda oldugu gibi, öteki hiperbolikfonksiyonlar su ikisi cinsinden ifade edilir:

cosh x = ex +e−x

2(8.1)

sinh x = ex −e−x

2(8.2)

Burada x degiskendir. ex ve e−x fonksiyonları süreki ve sonsuz ke türe-tilebilir oldugu için coshx ve si nhx fonksiyonları da sonsuz kes stüretilebi-lir sürekli fonksiyonlardır. (8.1) ve (8.2) fonksiyonlarını sag yanları kullanılarakcoshx ve si nhx fonksiyonlarını grafikleri çizilebilir.

Trigonometr,k fonksiyonlarla hiperbolik fonksiyonlar arasındaki benzer-likler çoktur. Onlardan birisi sudur. Sekilden rörüldügü gibi y = tanθ dog-rusu birimçemberi 8cosθ, sinθ) nktasındabirim x32 − y2 = 1 hipebolünü ise(coshθ, sinhθ) noktasında keser. Birim çemberde y = tanθ.x dogrusunun be-lirledigi POQ diliminin alan radyancinsinden θ açısınn iki katıdır. Benzer özelikbirim hiperbol için e geçerlidir. y = tanθx dogrosonun belirlegidigi sag kolakiP’O’Q’ diliminin alanı θ açısının iki katıdır.

140 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR

8.0.1 Öteki Hyperbolic Fonksiyonlar

tanh x = sinh x

cosh x= ex −e−x

ex +e−x (8.3)

coth x = cosh x

sinh x= ex +e−x

ex −e−x (8.4)

sechx = 1

cosh x= 1

ex +e−x (8.5)

cschx = 1

sinh x= 1

ex −e−x (8.6)

ex = cosh x + sinh x (8.7)

e−x = cosh x − sinh x (8.8)

x = 0 konulursa

cosh0 = 1 sinh0 = 0 (8.9)

oldugu tanımlarından çıkar. Ayrıca, su bagıntılar kolayca görülür:

cosh(−x) = 1

2(e−x +ex ) = coshx (8.10)

si nh(−x) = 1

2(e−x −ex ) =−si nhx (8.11)

(8.12)

cosh(x + y) = cosh x.cosh y + sinh x. sinh y (8.13)

sinh(x + y) = sinh x.cosh y +cosh x. sinh y (8.14)

tanh(x + y) = t anhx + tanh y

1+ tanh x. tanh y(8.15)

8.1 Karmasık Sayılar Için Hiperbolik Fonksiyonlar

e i x = cos x + i sin x (8.16)

e i x = cos x − i sin x (8.17)

8.2. HIPERBOLIK ÖZDESLIKLER 141

sinh x =−i sinh(i x) (8.18)

cosh x = cosh(i x) (8.19)

tanh x =−i tanh(i x) (8.20)

coth x = i coth(i x) (8.21)

sechx = sech(i x) (8.22)

sschx = i csch(i x) (8.23)

tanh(i x) = i tan x (8.24)

cosh(x) = cos(i x) (8.25)

tanh x =−i tan(i x) (8.26)

8.2 Hiperbolik Özdeslikler

Hiperbolik özdeslikler rigonometrik özdesliklere benzer, zaten adları da onlargibidir.

sinh(−x) =−sinh x (8.27)

cosh(−x) = cosh x (8.28)

(8.29)

tanh(−x) =− tanh x (8.30)

coth(−x) =−coth x (8.31)

sech(−x) = sechx (8.32)

csch(−x) =−cschx (8.33)

si nhx = 1

2(ex −e−x ) = 1

2ex (e2x −1) = 1

2e−x (1−e−2x ) (8.34)

coshx = 1

2(ex +e−x ) = 1

2ex (e2x +1) = 1

2e−x (1+e−2x ) (8.35)


tanh x = sinh x

cosh x= ex −e−x

ex +e−x = e2x −1

e2x +1= 1−e−2x

1+e−2x (8.36)

coth x = cosh x

sinh x= ex +e−x

ex −e−x = e2x +1

e2x −1= 1+e−2x

1−e−2x (8.37)

sechx = 1

cosh x= 2

ex +e−x = 2ex

e2x +1= 2e−x

1+e−2x (8.38)

cschx = 1

sinh x= 2

ex −e−x = 2ex

e2x −1= 2e−x

1−e−2x (8.39)

cosh2 x − sinh2 x = 1 (8.40)

Ispat :

cosh2 − si nh2x = 1

4(ex +e−x )2 − 1

4(ex −e−x )2

= 1

4(e2x +2+e−2x −e2x +2−e−2x )

= 1

4(4)

= 1

ex = cosh x + sinh x (8.41)

e−x = cosh x − sinh x (8.42)

sinh(x + y) = sinh x.cosh y +cosh x. sinh y (8.43)

Ispat:

sinh x.cosh y +cosh x. sinh y

= 1

4(ex −e−x )(e y +e−y )+ 1

4(ex +e−x )(e y −e−y )

= 1

4(ex+y −e−x+y +ex−y −e−x−y +ex + y +e−x+y −ex−y −e−x−y )

= 1

2(ex+y −e−x−y )

= si nh(x + y)

8.2. HIPERBOLIK ÖZDESLIKLER 143

cosh(x + y) = cosh x.cosh y + sinh x. sinh y (8.44)

Ispat: Bunun ispatı önceki gibi yapılır. Bu özdesliklerde y yerine −y ko-nulursa,

sinh(x − y) = sinh x cosh y −cosh x sinh y (8.45)

cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y (8.46)

çıkar.

sinh(2x) = 2sinh x cosh x (8.47)

cosh(2x) = cosh2 x − sinh2 x (8.48)

özdeslikleri elde edilir. Trigonometrik fonksiyonlar için x2 + y2 = 1 formülününkarsılıgı

x2 − y2 = 1 (8.49)

dir. Trigonometrik fonksiyonlardaki çember yerini hiperbol almaktadır. Budenklem hiperbolün sag koluna karsılık gelir. Tabii, formülde x ile y nin yerleridegisirse, hiperbolün sol kolu elde edilir. Sekle bakınız. tanh x ve coth x fonksi-yonları tan x ve cot x fonksiyonlarına benzer olarak tanımlanır:

tanh x = sinh x

cosh x= ex −e−x

ex +e−x (8.50)

coth x = cosh x

sinh x= ex +e−x

ex −e−x (8.51)

(8.52)

Aynı sey sechx ve cschx fonksiyonları için de geçerlidir:

sechx = 1

cosh x= 2

ex +e−x (8.53)

cschx = 1

sinh x= 2

ex −e−x (8.54)

cosh(2x) = cosh2x + sinh2 x = 2cosh2 x −1 = 1+2sinh2 x

sinh(2x) = 2sinh x.cosh x tanh(2x) = 2t anhx

1+ tanh2 x


cosh2( x

2

)= cosh x +1

2

sinh2( x

2

)= cosh x −1

2

tanh2( x

2

)= cosh x −1

cosh x +1

1 = cosh2−sinh2 x

cosh0 = 1

sinh0 = 0

t anh0 = 0

cosh x +cosh y = 2cosh( x + y

2

).cosh

( x − y

2

)(8.55)

cosh x −cosh y = 2sinh( x + y

2

). sinh

( x − y

2

)(8.56)

sinh x + sinh y = 2sinh( x + y

2

).cosh

( x − y

2

)(8.57)

sinh x − sinh y = 2cosh( x + y

2

). sinh

( x − y

2

)(8.58)

(8.59)

cosh(kx)+ sinh(kx) = (cosh x + sinh x)k (8.60)

cosh(kx)− sinh(kx) = (cosh x − sinh x)k (8.61)

8.3. HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 145

8.3 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri

8.3.1 Hiperbolic Fonksiyonların Türevleri

Fonkiyonlrın tanımından ve bölümün türevi kuralından asagıdakiler hemengörülür.

d

d xcoshx = 1

2

d

d x(ex +e−x ) = (ex −e−x ) = si nhx (8.62)

d

d xsi nhx = 1

2

d

d x(ex −e−x ) = (ex +e−x ) = coshx (8.63)

d

d xtanh x = 1− tanh2 x = sech2x = 1

cosh2 x(8.64)

d

d xcoth x = 1−coth2 x = csch2x = −1

sinh2 x(8.65)

d

d xsechx =−sechx. tanh x (8.66)

d

d xcschx =−cschx.coth x (8.67)

Bunların ispatları fonksiyonların tanımından ve bölümün türevi kuralından çı-karılır. Örnek olması için dördüncü esitligi çıkaralım.

d

d xcoth x = d

d x

1

tanh x

= 1

tanh2 x

d

d xtanh x

=− 1

tanh2 xsech2x

=−cosh2 x

sinh2 x

1

cosh2 x

=− 1

sinh2 x=−csch2x


8.4 Hiperbolik Fonksiyonların Integralleri

Türevler için buldugumuz esitliliklei kullanarak asagıdaki integral formülleriniyazabiliriz:∫

cosh(ax)d x = 1

asinh(ax)+C (8.68)∫

si nh(ax)d x = 1

acosh(ax)+C (8.69)∫

tanh(x)d x = 1

aln(cosh(ax)+C (8.70)∫

coth(x)d x = 1

aln(sinh(ax)+C (8.71)∫

sech(ax)d x = 1

aar ct an(sinh(ax)+C (8.72)∫

csch(ax)d x = 1

aln

(t anh(

ax

2

)+C (8.73)

= 1

aln(csch(ax)−coth(ax))+C (8.74)∫

sechu. tanhu du =−sechu +C (8.75)∫cschu.cothu du =−cschu +C (8.76)

Problem:

1

2f ′′ = f 3 − f , f (0) = f ′8∞) = 0 (8.77)

baslangıç deger problemini çözünüz.

8.5 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Integrali

∫d xpx2 +1

= si nh−1x +C (8.78)

Yöntem 1: Bu bagıntı si nh−1x fonksiyonunun türevinden integral alına-rak hemen yazılabilir.

Yöntem 2: (8.170) integralini degisken degistirerek de çözebiliriz:

x = sinh t , d x = cosh t , t = sinh−1 x (8.79)

8.5. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI 147

konumuyla,∫d xpx2 +1

=∫

cosh t√sinh2 t +1

=∫

cosh t

cosh td t = t = sinh−1 x +C (8.80)

çıkar. Istersek son terim yerine logaritmik esitligini koyarak,∫d xpx2 +1

= ln(x +

√x2 +1

)+C

esitligini elde edebiliriz.

Buradan görüldügü gibi, (8.170) biçimine dönüstürülebilen integrallerar g si nhu ile ifade edilebilir.

Örnek 8.1

I =∫

d xp9x2 +4

integralini bulunuz.

Çözüm: a = 2, x = 3u konumuyla integral,

I = 1

3

∫dup

u2 +a2

biçimine dönüsür. Buradan,

I = sinh−1 x

a= ln

(x +

px2 +a2

a

)+C = ln(x +

√x2 +a2 − ln a +C

çıkar. u = ax konumuyla bunu bir formül haline getirebiliriz:∫dupu2 +1

= ln(u +√

u2 +a2 (8.81)

Örnek 8.2

I =∫ 3

0

d xpx2 +2



Çözüm: (8.81) formülü kullanlrsa,

I =(ln(x +

√x2 +2

∣∣∣3

0= ln(3+p

11)− lnp

2 = ln3+p

11p2

=≈ 1.5 ■

y = sinh x

fonkiyonunun türevini biliyoruz. O bagıntıdan integral alırsak∫d xpx2 +1

= si nh−1x +C (8.82)

çıkar. Aynı formülü degiskebdegistirerek de elde edebiliriz:

y = cosh−1 x

fonksiyonunun türevinden integral alırsak,∫d xp

x2 −a2= cosh−1(

x

a)+C = ln(x +

√x2 −a2)+C (8.83)

çıkar.

∫d x

a2 −x2 = 1

atanh−1 x

a+C (8.84)

= 1

2aln

a +x

a −x+C (|x| < a) (8.85)

Bu formülü degisken degistirme yöntemiyle de çıkarabiliriz.

x = e y +e−y

e y −e−y (8.86)

⇒ (e y +e−y )x = (e y −e−y ) (8.87)

⇒ ⇒ (e2y +1)x = e2y −1 (8.88)

⇒ e2y +1

e2y −1(8.89)

⇒ (x −1)e2y = (1+x) (8.90)

e2y = x +1

x −1(8.91)


y = 1

2ln

x +1

x −1= coth−1 x (8.92)

= d

d xcoth−1 x = 1

2

d

d x

(ln

x +1

x −1

)(8.93)

= 1

1−x2 (|x| > 1) (8.94)

x yerine x/a konulursa, istenen formül çıkar.

d x

xp

a2 +x2= 1

acsch−1 |x|

a+C (8.95)

(8.96)

Bu formülü,

d

d xcsch−1 = −1

|x|p

1+x2(x 6= 0) (8.97)

formülünden integral alarak hemen çıkarabiliriz. Ama istersek degisken degis-tirme yöntemini de kullanabiliriz:

y = csch−1x

x = cschy = 1

sinh y

= 2

e y −e−y

= 2e y

e2y −1(u = e y , xu2 −2u −x = 0)

u1,2 = 2±p

4+4x2

2x= 1±

p1+x2

x

e y = 1+p

1+x2

x

⇒ y = ln

(1+

p1+x2

x

)

⇒ y = ln

(1

x+p

1+x2

|x|

)


olur. öte yandan,

sinh−1 1

x= ln

(1

x+

√1

x2 +1

)

= ln

(1

x+p

1+x2

|x|

)= csch−1x

elde edilir.

y = cosh−1 x

fonksiyonunun türevinden integral alırsak,∫d xp

x2 −a2= cosh−1(

x

a)+C = ln(x +

√x2 −a2)+C (8.98)

çıkar.

∫d x

a2 −x2 = 1

atanh−1 x

a+C (8.99)

= 1

2aln

a +x

a −x+C (|x| < a) (8.100)

Bu formülü degisken degistirme yöntemiyle de çıkrabiliriz.

x = e y +e−y

e y −e−y (8.101)

⇒ (e y +e−y )x = (e y −e−y ) (8.102)

⇒ ⇒ (e2y +1)x = e2y −1 (8.103)

⇒ e2y +1

e2y −1(8.104)

⇒ (x −1)e2y = (1+x) (8.105)

e2y = x +1

x −1(8.106)

y = 1

2ln

x +1

x −1= coth−1 x (8.107)

= d

d xcoth−1 x = 1

2

d

d x

(ln

x +1

x −1

)(8.108)

= 1

1−x2 (|x| > 1) (8.109)


x yerine x/a konulursa, istenen formül çıkar.

d x

xp

a2 +x2= 1

acsch−1 |x|

a+C (8.110)

(8.111)

Bu formülü,

d

d xcsch−1 = −1

|x|p

1+x2(x 6= 0) (8.112)

formülünden integral alarak hemen çıkarabiliriz. Ama istersek degisken degis-tirme yöntemini de kullanabiliriz:

y = csch−1x

x = cschy = 1

sinh y

= 2

e y −e−y

= 2e y

e2y −1(u = e y , xu2 −2u −x = 0)

u1,2 = 2±p

4+4x2

2x= 1±

p1+x2

x

e y = 1+p

1+x2

x

⇒ y = ln

(1+

p1+x2

x

)

⇒ y = ln

(1

x+p

1+x2

|x|

)

olur. öte yandan,

sinh−1 1

x= ln

(1

x+

√1

x2 +1

)

= ln

(1

x+p

1+x2

|x|

)= csch−1x


elde edilir.

Çözüm: tanh x fonksiyonunun sınır deger problemini sagladıgı kolaycagörülür. O halde çözüm y = tanh x dir.

Sonlu bir [a,b] aralıgında cosh x fonksiyonunun integrali o aralıktaki egriuzunluguna esittir:

Alan= =∫ b

acosh x d x =

∫ b

a

√1+

(d

d xcosh x

)2

d x = arc length

(8.113)

Problem:∫tanh x d x = lncosh x +C (8.114)

dir. Gösteriniz.

Ispat:∫tanh x d x =

∫sinh x

cosh xd x

=∫

d(cosh x

cosh x= lncosh x +C

tanh x fonksiyonu dogrusal olmayan f ′ = 1− f 2 difrensiyel denklemini saglar;yani o denklemin çözümüdür.

8.6 Ters Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik fonksiyonların bire-bir oldugu aralıklarda ters fonksiyonları vardır.Ters foksiyon tanımı uygulanarak hiperbolik fonksiyonların terslei tanımlanır.ters hiperbolik fonksiyonlar fonksiyonları göstermek için farklı simgeler kulla-nılmaktdır:

1. sinh x için sinh−1 x’de oldugu gibi fonksiyon adının üstüne −1 konularak.Bu gösterim f fonksiyonunun tersini göstermek için kullanılan f −1 gös-terimi ile aynı anlamdadır. Çarpımsal ters öge anlamında degildir.

2. ar si nhx gibi fonksiyon adını önüne ar konularak,

3. ar csi nhx gibi fonksiyon adını önüne ar c konularak.

8.7. TERS HIPERBOLIK FONKSYONLARIN LOGARITMIK IFADESI 153

4. ar g si nhx gibi fonksiyon adını önüne ar g konularak.

Bu kitapta bu gösterimler arasından birinci ile sonuncuyu kullanacagız. Dizgikolaylıgı için sonuncu gösterim kitaplsrda çok kullanılır. ar c yerine ar g geldigiiçin trigonometrik foksiyonların tersleri ile karısmaz.

Trigonometrik fonksiyolara benzetilerek, hiperbolik fonksiyonun degis-kenine (argüman) açı denilir. Aslında hiperbolik fonksiyonun degiskeni dereceya da radyan gibi açı ölçü birimi cinsinden olmayan bir sayıdır. Ama birim çem-berde sin ve cos fonksiyonlarının oynadıgı role benzer bir rol, x y = 1 birim hi-perbolünde sinh a ve cosh a fonksiyonları tarafından oynanır.

Hiperbolic fonksiyonlar ve tersleri dogrusal diferensiyel denklem sistem-lerinin çözümlerinde çok geçer.

ar g sechx = ar g cosh1

x(8.115)

ar g cschx = ar g si nh1

x(8.116)

ar g cothx = ar g t anh1

x(8.117)

8.7 Ters Hiperbolik Fonksyonların Logaritmik Ifadesi

ar g si nhx = ln(x +

√x2 +1

)(∞< x <∞) (8.118)

ar g coshx = ln(x +

√x2 −1

)(1 ≤ x <∞) (8.119)

ar g t anhx = 1

2ln

1+x

1−x, (|x| < 1 (8.120)

ar g cothx = 1

2ln

1+x

x −1, |x| > 1 (8.121)

ar g sechx = ln

(1

x+p

1−x2

x

), (0 < x ≤ 1) (8.122)

ar g cschx = ln

(1+x

+

p1+x2

|x| (x 6= 0)

)(8.123)

Ispatlar:

si nh−1x = ln(x +

√1+x2

)(8.124)


Ispat:

y = sinh−1 x ⇔ x = sinh y

x = e y −e−y

2(e y = t )

= t − 1t

2

⇒ 2x = t − 1

t

⇒ t1,2 = x ±√

1+x2

e y ≥ 0 oldugundan, köklerden pozitif olanı almalıyız:

e y = e y −e−y

2+ e y +e−y

2= sinh y +cosh y

= sinh y +√

sinh2+1

= x +√

x2 +1

e y = x +√

1+x2

ln(e y ) = y

⇒ y = ln(x +√

1+x2)

çıkar ki bu istenen esitliktir.

cosh−1 x = ln(x +

√x2 −1

)(8.125)


Ispat:

y = cosh−1 x ⇔ x = cosh y

x = e y +e−y

2(e y = t )

= t − 1t

2

⇒ 2x = t − 1

t

⇒ t1,2 = x ±√

x2 −1

e y ≥ 0 oldugundan, köklerden pozitif olanı almalıyız:

e y = t

= x +√

x2 −1 |x| > 1

y = ln(x +

√x2 −1

)Buradan istenen formül çıkar.

tanh−1 x = 1

2ln

1+x

1−x(|x| < 1) (8.126)

= coth−1 1

x(< x| < 1 (8.127)

Ispat:

y = tanh−1 x ⇔ x = tanh y

x = sinh y

cosh y

= e y −e−y

e y +e−y

= e2y −1

e2y +1


xe2y +x = e2y −1

(x −1)e2y =−(x −1)

e2y = 1+x

1−x

⇒ ln(e2y ) = ln1+x

1−x

⇒ y = 1

2ln

1+x

1−x

Buradan istenen formül çıkar.

coth−1 x = 1

2ln

x +1

x −1(|x| > 1) (8.128)

= tanh−1 1

x(< x| > 1 (8.129)

Ispat:

y = coth−1 x ⇔ x = coth y

x = cosh y

sinh y

= e y +e−y

e y −e−y

= e2y +1

e2y −1

xe2y −x = e2y +1

(x −1)e2y = (x +1)

e2y = x +1

x −1

⇒ ln(e2y ) = lnx +1

x −1

⇒ y = 1

2ln

x +1

x −1

Buradan istenen formül çıkar. Ikinci esitlik x yerine 1/x konularak benzer yön-


temle elde edileblir:

y = 1

2ln

x+1x

x−1x

= 1

2ln

1+ 1x

1− 1x

= tanh−1 x (|x| > 1)

sech−1x = ln

(1+

p1−x2

x

)(8.130)

= cosh−1 1

x(0 < x ≤ 1) (8.131)

Ispat:

y = sech−1x ⇔ x = sechy

x = 2

e y +e−y

= 2e y

e2y +1

xe2y +x = 2e y

xt 2 −2t +x = 0 (t = e y )

t1,2 = 1±p

1−x2

x

e y > 1 olması için köklerden pozitf olanı seçiyoruz.

e y = 1+p

1−x2

x

y =(

1+p

1−x2

x

)


çıkar ve istenenin ilk formülü ispatlanmıs olur. Ikinci esitlik için x yerine 1/xkoyarsak,

cosh−1 1

x= ln

(1

x+

√1

x2 −1

)(8.132)

= ln

1

x+

√1−x2

x2

(8.133)

= ln

(1+

p1−x2

x

)(8.134)

= sech−1x (8.135)

çıkar.

csch−1x = ln

(1+

p1+x2

|x|

)(8.136)

= sinh−1 1

x(x 6= 0) (8.137)

Ispat:

y = csch−1x ⇔ x = cschy

x = 2

e y −e−y

= 2e y

e2y −1

xe2y −x = 2e y

xt 2 −2t +x = 0 (t = e y )

t1,2 = 1±p

1+x2

x

8.8. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 159

e y > 1 olması için köklerden pozitif olanı seçiyoruz.

e y = 1+p

1+x2

x

y = ln

(1+

p1+x2

x

)

ln

(1

x+p

1+x2

|x|

)

çıkar ve istenenin ilk formülü ispatlanmıs olur. Ikinci esitlik için x yerine 1/xkoyarsak,

sinh−1 1

x= ln

(1

x+

√1

x2 +1

)(8.138)

= ln

(1

x+p

1+x2

|x|

)(8.139)

= ln

(1+

p1−x2

x

)(8.140)

= csch−1x (8.141)

çıkar.

8.8 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri

d

d xar g si nhx = 1p

x2 +1(8.142)

d

d xar g coshx = 1p

x−1(8.143)

d

d xar g t anhx = 1

1−x2 (8.144)

d

d xar g cschx = −1

|x|p

1+x2(8.145)

d

d xar g sechx = −1

xp

1−x2(8.146)

d

d xar g cothx = 1

1−x2 (8.147)


Ispatlar:

1.Yöntem:

y = ar g si nhx ⇔ x = sinh y

⇒ 1 = cosh y.y ′

⇒ y ′ = 1

cosh y

⇒ y ′ = 1√sinh2+1

⇒ y ′ = 1px2 +1

(8.148)

2.Yöntem:

y = f (x) (8.149)

⇒ Dx f −1(x) = 1

f ′( f −1(x)(8.150)

formülü kullanılırsa,

f (x) = sinh x

Dx sinh−1(x) = 1

f ′( f −1(x))

= 1

cosh(sinh−1 x)

= 1√1+ (sinh(sinh−1 x))2

= 1p1+x2

y = ar g coshx ⇔ x = cosh y

⇒ 1 = sinh y.y ′

⇒ y ′ = 1

sinh y

⇒ y ′ = 1√cosh2+1

⇒ y ′ = 1px2 −1

(|x| > 1) (8.151)

8.8. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 161

y = ar g t anhx ⇔ x = tanh y

⇒ 1 = sech2 y.y ′

⇒ y ′ = 1

sech2 y

⇒ y ′ = 1

1− tanh2 y

⇒ y ′ = 1

1−x2 (−1 < x < 1)

y = ar g cothx ⇔ x = coth y

⇒ 1 =−csch2 y.y ′

⇒ y ′ =− 1

csch2 y

⇒ y ′ = −1

coth2 y −1

⇒ y ′ = −1

x2 −1(|x| > 1)


y = ar g sechx ⇔ x = sec y

⇒ 1 = −sinh y

cosh2 y.y ′

⇒ y ′ = −cosh2 y

sinh y

⇒ y ′ = −cosh2 y√cosh2 y −1

⇒ y ′ = − 1x2√

1x2 −1

⇒ y ′ = − 1x2√

1x2 −1

⇒ y ′ = − 1x2

−1|x|

p1−x2

⇒ y ′ = −1

|x|p

1−x2(0 < x < 1)

1− t anh2x = sech2x (8.152)

coth2 x −1 = csch2x (8.153)


y = ar g cschx ⇔ x = cschy

⇒ 1 =−cschy.coth y.y ′

⇒ y ′ = −1

cschy.coth y

⇒ y ′ = −sinh y

cschy.cosh y

⇒ y ′ = −sinh2 y

cosh y

=⇒ x = 1

sinh y⇔ (sinh2 y = 1

x2 ,

=⇒ 1

cosh y= 1√

sinh2 y +1= 1√

1x2 +1

= |x|px2 +1

⇒ y ′ = −1

|x|p

x2 +1

8.9 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Integrali

√x2 +a2,

√x2 −a2

teerimlerini içeren interallerde, köklü ifadeyi yoketmek için x = a sinh t vex = a cosh t konumu yapılır ve ters hiperbolic fonksiyonların türevlerinden in-tegrali alınır ve onların logaritmik eitlikleri kullanılabilir.

∫d xpx2 +1

= si nh−1x +C = ln(x +√

1+x2)+C (8.154)

Yöntem 1: Bu bagıntıdaki ilk esitlik si nh−1x fonksiyonunun türevindenintegral alınarak, ikinci esitlik ise si nh−1x’nin logaritmik ifadesinden çıkar.

Yöntem 2: (8.170) integralini degisken degistirerek de çözebiliriz:

x = sinh t , d x = cosh t , t = sinh−1 x +C = ln(x +√

1+x2) (8.155)

konumuyla,∫d xpx2 +1

=∫

cosh t√sinh2 t +1

=∫

cosh t

cosh td t = t = sinh−1 x +C (8.156)


çıkar. Istersek son terim yerine logaritmik esitligini koyarak,∫d xpx2 +1

= ln(x +

√x2 +1

)+C

esitligini elde edebiliriz.

Buradan görüldügü gibi, (8.170) biçimine dönüstürülebilen integrallerar g si nhu ile ifade edilebilir.

∫dup

u2 −a2= cosh−1u +C = ln

(u +

√u2 −1

)+C (8.157)

Yöntem 1: Bu bagıntıdaki ilk esitlik cosh−1x fonksiyonunun türevindenintegral alınarak, ikinci esitlik ise cosh−1x’nin logaritmik ifadesinden çıkar.

(8.173) biçimine dönüstürülebilen integraller (8.173) formülü kullanıla-rak bulunabilecegi gibi, x = cosh t konumuyla da çözülebilir:

I =∫ p

x2 −3

x2 (8.158)

interalini bulunuz.

Çözüm:

x > 0 oldugunu varsayarak x =p3cosh t konumuyla,√

x2 −3 =p3sinh t , d x =p

3cosh t

degisken degistirimi yapılırsa

I =∫

sinh2 t

cosh2 td t =

∫cosh2 t −1

cosh2 td t = t − tanh t +C (8.159)

çıkar. Buradan eriyex degiskenine dönersek,

I = cosh− xp3− tanh

(cosh−1 t

xp3

)+C

= ln(x +√

x2 −3−p

x2 −3

x+C

I =∫

d x

a2 −x2 = 1

atanh−1 x

a+C

= 1

2aln

a +x

a −x+C (|x| < a)


interalini bulunuz.

Çözüm: Bu integrali bulmanın en kolay yolu tanh−1 x fonksiyonunun in-tegralini almak ve sonra logaritmik ifadesini kullanmaktır. Ama istenirse x =tanh t konumuyla degisken degistirimi ile de çözüm yapılabilir.

I = 1

atanh− x

a+C (8.160)

= 1

2aln

a +x

a −x+C (|x| < a) (8.161)

dir.

sech−1x = ln

(1+

p1−x2

x

)(8.162)

= cosh−1 1

x(0 < x ≤ 1) (8.163)

interalini bulunuz.

Çözüm: Yukarıda söyledigimiz gibi, bu integrali bulmanın en kolay yolutanh−1 x fonksiyonunun integralini almak ve sonra logaritmik ifadesini kullan-maktır. Ama istenirse x = tanh t konumuyla degisken degistirimi ile de çözümyapılabilir.

I =∫

d x

a2 −x2 = 1

acoth− x

a+C (8.164)

= 1

2aln

x +a

x −a+C (|x| > 0) (8.165)

çıkar.

Örnek 8.3

I =∫

d x

1−x2


Çözüm: Yulkarıdaki formül kullanılabilir ya da x = coth t konumu yapıla-rak degisken degistirilebilir.

I =∫

d x

1−x2 = coth−1 x = 1

1−x2 (|x| > 1) (8.166)


bulunur.

I =∫

d x

xp

a2 −x2= 1

asech−1 |x|

a+C (8.167)

=− 1

aln

a +p

a2 −x

|x| +C (0 < x < a) (8.168)

formülünü çıkarınız.

Çözüm: sech−1x fonksiyonunun türevinin interali alınır ve logaritmikesitligi kullanılırsa formül elde edilir.

Örnek 8.4

I =∫

d x

xp

1−x2


Çözüm: Yulkarıdaki formül kullanılabilir ya da x = secht konumu yapı-larak degisken degistirilebilir.

I =∫

d x

xp

1−x2= sech−1x = ln

1+p

1−x2

x+C (0 < |x| < a) (8.169)

bulunur.

I = d x

|x|p

a2 +x2= csch−1x +C = ln(

1

x+p

1+x2

|x| +C (x 6= 0) (8.170)

formülünü çıkarınız.

Çözüm: csch−1x fonksiyonunun türevinin interali alınır ve logaritmikesitligi kullanıslırsa formül elde edilir.

Örnek 8.5

I =∫

d x

|x|p

1+x2


Çözüm: Yukarıdaki formül kullanılabilir ya da x = secht konumu yapıla-rak degisken degistirilebilir.

I =∫

d x

|x|p

1+x2= csch−1x +C = ln

(1

|x|p

1+x2

)+C (x 6= 0)

bulunur.

138 - Başkent Üniversitesimail.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/ders/math/calculus/... ·...

Documents

Transcript of 138 - Başkent Üniversitesimail.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/ders/math/calculus/... ·...