1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com

8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com

http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 1/338



Please

note

that

all

materials

on

this blog are

for

in

educational purposes only. If you like them and ca

,please

purchase

the

materials

in

order

to

supportworks.

These

Books

on

this

blog

are

only

the

previ

works

to

help

you

to

purchase

these

books.Note t

are

copyright

protected

materials

and

don’t

misus

not responsible for any judicial case if falls upon yo



1300 Math Formulas

fp_k VVQVNMTTQN

`çéóêáÖÜí « OMMQ ^KpîáêáåK ^ää oáÖÜíë oÉëÉêîÉÇK



i

qÜáë é~ÖÉ áë áåíÉåíáçå~ääó äÉÑí Ää~åâK



ii

Preface

qÜáë Ü~åÇÄççâ áë ~ ÅçãéäÉíÉ ÇÉëâíçé êÉÑÉêÉåÅÉ Ñçê ëíì-

ÇÉåíë ~åÇ ÉåÖáåÉÉêëK fí Ü~ë ÉîÉêóíÜáåÖ Ñêçã ÜáÖÜ ëÅÜççäã~íÜ íç ã~íÜ Ñçê ~Çî~åÅÉÇ ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë áå ÉåÖáåÉÉêáåÖIÉÅçåçãáÅëI éÜóëáÅ~ä ëÅáÉåÅÉëI ~åÇ ã~íÜÉã~íáÅëK qÜÉ ÉÄççâÅçåí~áåë ÜìåÇêÉÇë çÑ Ñçêãìä~ëI í~ÄäÉëI ~åÇ ÑáÖìêÉë Ñêçã

kìãÄÉê pÉíëI ^äÖÉÄê~I dÉçãÉíêóI qêáÖçåçãÉíêóI j~íêáÅÉë~åÇ aÉíÉêãáå~åíëI sÉÅíçêëI ^å~äóíáÅ dÉçãÉíêóI `~äÅìäìëIaáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåëI pÉêáÉëI ~åÇ mêçÄ~Äáäáíó qÜÉçêóKqÜÉ ëíêìÅíìêÉÇ í~ÄäÉ çÑ ÅçåíÉåíëI äáåâëI ~åÇ ä~óçìí ã~âÉÑáåÇáåÖ íÜÉ êÉäÉî~åí áåÑçêã~íáçå èìáÅâ ~åÇ é~áåäÉëëI ëç áíÅ~å ÄÉ ìëÉÇ ~ë ~å ÉîÉêóÇ~ó çåäáåÉ êÉÑÉêÉåÅÉ ÖìáÇÉK



iii

Contents

1 krj_bo pbqpNKN pÉí fÇÉåíáíáÉë 1 NKO pÉíë çÑ kìãÄÉêë 5 NKP _~ëáÅ fÇÉåíáíáÉë 7 NKQ `çãéäÉñ kìãÄÉêë 8

2 ^idb_o^OKN c~ÅíçêáåÖ cçêãìä~ë 12 OKO mêçÇìÅí cçêãìä~ë 13 OKP mçïÉêë 14 OKQ oççíë 15 OKR içÖ~êáíÜãë 16

OKS bèì~íáçåë 18 OKT fåÉèì~äáíáÉë 19 OKU `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ë 22

3 dbljbqovPKN oáÖÜí qêá~åÖäÉ 24 PKO fëçëÅÉäÉë qêá~åÖäÉ 27 PKP bèìáä~íÉê~ä qêá~åÖäÉ 28

PKQ pÅ~äÉåÉ qêá~åÖäÉ 29 PKR pèì~êÉ 33 PKS oÉÅí~åÖäÉ 34 PKT m~ê~ääÉäçÖê~ã 35 PKU oÜçãÄìë 36 PKV qê~éÉòçáÇ 37 PKNM fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ 38

PKNN fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 40 PKNO qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 41



iv

PKNP háíÉ 42 PKNQ `óÅäáÅ nì~Çêáä~íÉê~ä 43 PKNR q~åÖÉåíá~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 45

PKNS dÉåÉê~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 46 PKNT oÉÖìä~ê eÉñ~Öçå 47 PKNU oÉÖìä~ê mçäóÖçå 48 PKNV `áêÅäÉ 50 PKOM pÉÅíçê çÑ ~ `áêÅäÉ 53 PKON pÉÖãÉåí çÑ ~ `áêÅäÉ 54 PKOO `ìÄÉ 55 PKOP oÉÅí~åÖìä~ê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ 56

PKOQ mêáëã 57 PKOR oÉÖìä~ê qÉíê~ÜÉÇêçå 58 PKOS oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 59 PKOT cêìëíìã çÑ ~ oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 61 PKOU oÉÅí~åÖìä~ê oáÖÜí tÉÇÖÉ 62 PKOV mä~íçåáÅ pçäáÇë 63 PKPM oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê 66

PKPN oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê ïáíÜ ~å lÄäáèìÉ mä~åÉ c~ÅÉ 68 PKPO oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 69 PKPP cêìëíìã çÑ ~ oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 70 PKPQ péÜÉêÉ 72 PKPR péÜÉêáÅ~ä `~é 72 PKPS péÜÉêáÅ~ä pÉÅíçê 73 PKPT péÜÉêáÅ~ä pÉÖãÉåí 74 PKPU péÜÉêáÅ~ä tÉÇÖÉ 75

PKPV bääáéëçáÇ 76 PKQM `áêÅìä~ê qçêìë 78

4 qofdlkljbqovQKN o~Çá~å ~åÇ aÉÖêÉÉ jÉ~ëìêÉë çÑ ^åÖäÉë 80 QKO aÉÑáåáíáçåë ~åÇ dê~éÜë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 81 QKP páÖåë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 86 QKQ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë çÑ `çããçå ^åÖäÉë 87 QKR jçëí fãéçêí~åí cçêãìä~ë 88



v

QKS oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 89 QKT mÉêáçÇáÅáíó çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 QKU oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90

QKV ^ÇÇáíáçå ~åÇ pìÄíê~Åíáçå cçêãìä~ë 91 QKNM açìÄäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 92 QKNN jìäíáéäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 93 QKNO e~äÑ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 94 QKNP e~äÑ ^åÖäÉ q~åÖÉåí fÇÉåíáíáÉë 94 QKNQ qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç mêçÇìÅí 95 QKNR qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç pìã 97 QKNS mçïÉêë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 98

QKNT dê~éÜë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 99 QKNU mêáåÅáé~ä s~äìÉë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 102 QKNV oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 103 QKOM qêáÖçåçãÉíêáÅ bèì~íáçåë 106 QKON oÉä~íáçåë íç eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 106

5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp

RKN aÉíÉêãáå~åíë 107 RKO mêçéÉêíáÉë çÑ aÉíÉêãáå~åíë 109 RKP j~íêáÅÉë 110 RKQ léÉê~íáçåë ïáíÜ j~íêáÅÉë 111 RKR póëíÉãë çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë 114

6 sb`qlopSKN sÉÅíçê `ççêÇáå~íÉë 118

SKO sÉÅíçê ^ÇÇáíáçå 120 SKP sÉÅíçê pìÄíê~Åíáçå 122 SKQ pÅ~äáåÖ sÉÅíçêë 122 SKR pÅ~ä~ê mêçÇìÅí 123 SKS sÉÅíçê mêçÇìÅí 125 SKT qêáéäÉ mêçÇìÅí 127

7 ^k^ivqf` dbljbqovTKN låÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 130



vi

TKO qïç -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 131 TKP píê~áÖÜí iáåÉ áå mä~åÉ 139 TKQ `áêÅäÉ 149

TKR bääáéëÉ 152 TKS eóéÉêÄçä~ 154 TKT m~ê~Äçä~ 158 TKU qÜêÉÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 161 TKV mä~åÉ 165 TKNM píê~áÖÜí iáåÉ áå pé~ÅÉ 175 TKNN nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë 180 TKNO péÜÉêÉ 189

8 afccbobkqfî `î`rirpUKN cìåÅíáçåë ~åÇ qÜÉáê dê~éÜë 191 UKO iáãáíë çÑ cìåÅíáçåë 208 UKP aÉÑáåáíáçå ~åÇ mêçéÉêíáÉë çÑ íÜÉ aÉêáî~íáîÉ 209 UKQ q~ÄäÉ çÑ aÉêáî~íáîÉë 211 UKR eáÖÜÉê lêÇÉê aÉêáî~íáîÉë 215

UKS ^ééäáÅ~íáçåë çÑ aÉêáî~íáîÉ 217 UKT aáÑÑÉêÉåíá~ä 221 UKU jìäíáî~êá~ÄäÉ cìåÅíáçåë 222 UKV aáÑÑÉêÉåíá~ä léÉê~íçêë 225

9 fkqbdoî `î`rirpVKN fåÇÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 227 VKO fåíÉÖê~äë çÑ o~íáçå~ä cìåÅíáçåë 228

VKP fåíÉÖê~äë çÑ fêê~íáçå~ä cìåÅíáçåë 231 VKQ fåíÉÖê~äë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 237 VKR fåíÉÖê~äë çÑ eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 241 VKS fåíÉÖê~äë çÑ bñéçåÉåíá~ä ~åÇ içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë 242 VKT oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 243 VKU aÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 247 VKV fãéêçéÉê fåíÉÖê~ä 253 VKNM açìÄäÉ fåíÉÖê~ä 257 VKNN qêáéäÉ fåíÉÖê~ä 269



vii

VKNO iáåÉ fåíÉÖê~ä 275 VKNP pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä 285

10 afccbobkqf^i bnr^qflkpNMKN cáêëí lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 295 NMKO pÉÅçåÇ lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 298 NMKP pçãÉ m~êíá~ä aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 302

11 pbofbpNNKN ^êáíÜãÉíáÅ pÉêáÉë 304 NNKO dÉçãÉíêáÅ pÉêáÉë 305

NNKP pçãÉ cáåáíÉ pÉêáÉë 305 NNKQ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë 307 NNKR mêçéÉêíáÉë çÑ `çåîÉêÖÉåí pÉêáÉë 307 NNKS `çåîÉêÖÉåÅÉ qÉëíë 308 NNKT ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë 310 NNKU mçïÉê pÉêáÉë 311 NNKV aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ~åÇ fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë 312

NNKNM q~óäçê ~åÇ j~Åä~ìêáå pÉêáÉë 313 NNKNN mçïÉê pÉêáÉë bñé~åëáçåë Ñçê pçãÉ cìåÅíáçåë 314 NNKNO _áåçãá~ä pÉêáÉë 316 NNKNP cçìêáÉê pÉêáÉë 316

12 mol_^_fifqvNOKN mÉêãìí~íáçåë ~åÇ `çãÄáå~íáçåë 318 NOKO mêçÄ~Äáäáíó cçêãìä~ë 319



viii

qÜáë é~ÖÉ áë áåíÉåíáçå~ääó äÉÑí Ää~åâK



1

Chapter 1

Number Sets

1.1 Set Identities

pÉíëW ^I _I `råáîÉêë~ä ëÉíW f`çãéäÉãÉåí W ^′ mêçéÉê ëìÄëÉíW _^ ⊂ bãéíó ëÉíW ∅ råáçå çÑ ëÉíëW _^∪ fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW _^∩

aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW _y^

1. f^ ⊂

2. ^^ ⊂

3. _^ = áÑ _^ ⊂ ~åÇ ^_⊂ .

4. bãéíó pÉí^⊂∅

5. råáçå çÑ pÉíë{ }_ñ çê^ñ öñ _^` ∈∈=∪=



CHAPTER 1. NUMBER SETS

2

Figure 1.

6. `çããìí~íáîáíó

^__^ ∪=∪

7. ^ëëçÅá~íáîáíó( ) ( ) `_^`_^ ∪∪=∪∪

8. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë{ }_ñ ~åÇ^ñ öñ _^` ∈∈=∪=

Figure 2.

9. `çããìí~íáîáíó^__^ ∩=∩

10. ^ëëçÅá~íáîáíó

( ) ( ) `_^`_^ ∩∩=∩∩




3

11. aáëíêáÄìíáîáíó( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∪∩∪=∩∪ I

( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∩∪∩=∪∩ K

12. fÇÉãéçíÉåÅó^^^ =∩ I^^^ =∪

13. açãáå~íáçå∅=∅∩^ I

ff^ =∪

14. fÇÉåíáíó^^ =∅∪ I

^f^ =∩

15. `çãéäÉãÉåí{ }^ñ öfñ ^ ∉∈=′

16. `çãéäÉãÉåí çÑ fåíÉêëÉÅíáçå ~åÇ råáçå

f^^ =′∪ I∅=′∩^^

17. aÉ jçêÖ~å∞ë i~ïë

( ) _^_^ ′∩′=′∪ I

( ) _^_^ ′∪′=′∩

18. aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ pÉíë

{ }^ñ ~åÇ_ñ öñ ^y_` ∉∈==




4

Figure 3.

19. ( )_^y_^y_ ∩=

20. ^_^y_ ′∩=

21. ∅=^y^

22. ^_y^ = áÑ ∅=∩_^ .

Figure 4.

23. ( ) ( ) ( )`_y`^`_y^ ∩∩=∩

24. ^yf^ =′

25. `~êíÉëá~å mêçÇìÅí ( ){ }_ ó ~åÇ^ñ ö ó Iñ _^` ∈∈=×=




5

1.2 Sets of Numbers

k~íìê~ä åìãÄÉêëW ktÜçäÉ åìãÄÉêëW Mk

fåíÉÖÉêëW w

mçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW +w

kÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW −wo~íáçå~ä åìãÄÉêëW noÉ~ä åìãÄÉêëW o`çãéäÉñ åìãÄÉêëW `

26. k~íìê~ä kìãÄÉêë

`çìåíáåÖ åìãÄÉêëW { }KIPIOINk = K

27. tÜçäÉ kìãÄÉêë

`çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW { }KIPIOINIMk M = K

28. fåíÉÖÉêë tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW

{ }KIPIOINkw ==+ I

{ }NIOIPIw −−−=− K I

{ } { }KK IPIOINIMINIOIPIwMww −−−=∪∪= +− K

29. o~íáçå~ä kìãÄÉêë

oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW

≠∈∈== M Ä~åÇw Ä~åÇw~~åÇ

Ä

~ñ öñ n K

30. fêê~íáçå~ä kìãÄÉêë

kçåêÉéÉ~íáåÖ ~åÇ åçåíÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëK




7

1.3 Basic Identities

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å

34. ^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó~M~ =+

35. ^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ( ) M~~ =−+

36. `çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå~ Ä Ä~ +=+

37. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå( ) ( )Å Ä~Å Ä~ ++=++

38. aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå( ) Ä~ Ä~ −+=−

39. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó~N~ =⋅

40. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ

N~

N

~ =⋅ I M~ ≠

41. jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M

MM~ =⋅

42. `çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå~ Ä Ä~ ⋅=⋅




8

43. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå( ) ( )Å Ä~Å Ä~ ⋅⋅=⋅⋅

44. aáëíêáÄìíáîÉ i~ï( ) ~Å~ÄÅ Ä~ +=+

45. aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçåN

~~

⋅=

1.4 Complex Numbers

k~íìê~ä åìãÄÉêW åfã~Öáå~êó ìåáíW á`çãéäÉñ åìãÄÉêW ò

oÉ~ä é~êíW ~I Åfã~Öáå~êó é~êíW ÄáI ÇájçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI Nê I Oê

^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I Nϕ I Oϕ

áá N = áá R = áá NåQ =+

Ná

O

−= Ná

S

−= Ná

OåQ

−=

+

áá P −= áá T −= áá PåQ −=+

46.

Ná Q = Ná U = Ná åQ =

47. Äá~ò +=

48. `çãéäÉñ mä~åÉ




9

Figure 6.

49. ( ) ( ) ( ) ( )áÇ ÄÅ~ÇáÅ Äá~ +++=+++

50. ( ) ( ) ( ) ( )áÇ ÄÅ~ÇáÅ Äá~ −+−=+−+

51. ( )( ) ( ) ( )á ÄÅ~Ç ÄÇ~ÅÇáÅ Äá~ ++−=++

52. áÇÅ

~Ç ÄÅ

ÇÅ

ÄÇ~Å

ÇáÅ

Äá~OOOO

⋅+−

+++

=++

53. `çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë

Äá~ Äá~|||||||

−=+

54. ϕ= Åçëê~ I ϕ= ëáåê Ä




10

Figure 7.

55. mçä~ê mêÉëÉåí~íáçå çÑ `çãéäÉñ kìãÄÉêë( )ϕ+ϕ=+ ëáåáÅçëê Äá~

56. jçÇìäìë ~åÇ ^êÖìãÉåí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉêfÑ Äá~ + áë ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêI íÜÉå

OO Ä~ê += EãçÇìäìëFI

~

Ä~êÅí~å=ϕ E~êÖìãÉåíFK

57. mêçÇìÅí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( ) ( )OOONNNON ëáåáÅçëêëáåáÅçëêòò ϕ+ϕ⋅ϕ+ϕ=⋅

( ) ( )[ ]ONONON ëáåáÅçëêê ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=

58. `çåàìÖ~íÉ kìãÄÉêë áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå

( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=ϕ+ϕ ëáåáÅçëêëáåáÅçëê|||||||||||||||||||||

59. fåîÉêëÉ çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå

( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=

ϕ+ϕ ëáåáÅçë

ê

N

ëáåáÅçëê

N




11

60. nìçíáÉåí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( )( )

( ) ( )[ ]ONON

O

N

OOO

NNN

O

N ëáåáÅçëê

ê

ëáåáÅçëê

ëáåáÅçëê

ò

òϕ−ϕ+ϕ−ϕ=

ϕ+ϕϕ+ϕ

=

61. mçïÉê çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê

( )[ ] ( ) ( )[ ]ϕ+ϕ=ϕ+ϕ= åëáåáåÅçëêëáåáÅçëêò ååå

62. cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤

( ) ( ) ( )ϕ+ϕ=ϕ+ϕ åëáåáåÅçëëáåáÅçë å

63. kíÜ oççí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê

( )

π+ϕ

+π+ϕ

=ϕ+ϕ=å

â Oëáåá

å

â OÅçëêëáåáÅçëêò ååå I

ïÜÉêÉNåIIOINIMâ −= K K

64. bìäÉê∞ë cçêãìä~

ñ ëáåáñ ÅçëÉ áñ +=



12

Chapter 2

Algebra

2.1 Factoring Formulas

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Åk~íìê~ä åìãÄÉêW å

65. ( )( ) Ä~ Ä~ Ä~ OO −+=−

66. ( )( )OOPP Ä~Ä~ Ä~ Ä~ ++−=−

67. ( )( )OOPP Ä~Ä~ Ä~ Ä~ +−+=+

68. ( )( ) ( )( )( )OOOOOOQQ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ ++−=+−=−

69. ( )( )QPOOPQRR Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ ++++−=−

70. ( )( )QPOOPQRR Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ +−+−+=+

71. fÑ å áë çÇÇI íÜÉå

( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ −−−−− +−−+−+=+ K K

72. fÑ å áë ÉîÉåI íÜÉå

( )( )

NåOåOPåOåNååå Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ −−−−− +++++−=− K I



CHAPTER 2. ALGEBRA

13

( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ −−−−− −+−+−+=+ K K

2.2 Product Formulas

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅtÜçäÉ åìãÄÉêëW åI â

73. ( ) OOO Ä~ÄO~ Ä~ +−=−

74. ( ) OOO Ä~ÄO~ Ä~ ++=+

75. ( ) POOPP Ä~ÄP Ä~P~ Ä~ −+−=−

76. ( ) POOPP Ä~ÄP Ä~P~ Ä~ +++=+

77. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQ Ä~S Ä~Q~ Ä~ +−+−=−

78. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQ Ä~S Ä~Q~ Ä~ ++++=+

79. _áåçãá~ä cçêãìä~

( ) I Ä`~Ä` Ä~` Ä~`~` Ä~ åå

åNåNå

åOOåO

åNåN

ååM

åå +++++=+ −−

−−K

ïÜÉêÉ( )>â å>â

>å` â

å

−= ~êÉ íÜÉ Äáåçãá~ä ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK

80. ( ) ÄÅO~ÅO~ÄOÅ Ä~Å Ä~ OOOO +++++=++

81. ( ) ++++++=+++++ OOOOOO î ìÅ Ä~ î ìÅ Ä~ KK

( )ìî Äî Äì ÄÅ~î ~ì~Å~ÄO +++++++++++ KKK



CHAPTER 2. ALGEBRA

14

2.3 Powers

_~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã

82. åãåã ~~~ +=

83. åã

å

ã

~~

~ −=

84. ( ) ããã Ä~~Ä =

85.ã

ãã

Ä

~

Ä

~=

86. ( ) ãååã

~~ =

87. N~ M = I M~ ≠

88. N~ N =

89.ã

ã

~

N~ =−

90. å ãå

ã

~~ =



CHAPTER 2. ALGEBRA

15

2.4 Roots

_~ëÉëW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ãM ÄI~ ≥ Ñçê ÉîÉå êççíë E â Oå = I kâ ∈ F

91. ååå Ä~~Ä =

92.

åã åããå

Ä~ Ä~ =

93.å

å

å

Ä

~

Ä

~= I M Ä ≠

94. åãå

ã

åã å

åã ã

ã

å

Ä

~

Ä

~

Ä

~== I M Ä ≠ K

95. ( ) å ãéé

å ã ~~ =

96. ( ) ~~ å

å =

97.åé ãéå ã ~~ =

98. å

ãå ã ~~ =

99. ãåã å ~~ =

100. ( ) å ããå ~~ =

CHAPTER 2. ALGEBRA

16

101.~

~

~

N å Nå

å

−

= I M~ ≠ K

102.O

Ä~~

O

Ä~~ Ä~

OO −−±

−+=±

103. Ä~

Ä~

Ä~

N

−=

±

m

2.5 Logarithms

mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI âk~íìê~ä åìãÄÉêW å

104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜã

ñ äçÖ ó ~= áÑ ~åÇ çåäó áÑ ó ~ñ = I M~ > I N~ ≠ K

105. MNäçÖ ~ =

106. N~äçÖ ~ =

107.

<∞+

>∞−=

N~áÑ

N~áÑ MäçÖ ~

108. ( ) ó äçÖ ñ äçÖ ñó äçÖ ~~~ +=

109. ó äçÖ ñ äçÖ ó

ñ äçÖ ~~~ −=



CHAPTER 2. ALGEBRA

17

110. ( ) ñ äçÖ åñ äçÖ ~å

~ =

111. ñ äçÖ å

N

ñ äçÖ ~

å

~ =

112. ÅäçÖ ñ äçÖ ~äçÖ

ñ äçÖ ñ äçÖ ~Å

Å

Å~ ⋅== I MÅ > I NÅ ≠ K

113.~äçÖ

NÅäçÖ

Å

~ =

114. ñ äçÖ ~~ñ =

115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NMñ äçÖ ñ äçÖ NM =

116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜã

ñ äåñ äçÖ É = I

ïÜÉêÉ KTNUOUNUOUKOâ

NNäáãÉ

â

â =

+=

∞→

117. ñ äåQPQOVQKMñ äåNMäå

Nñ äçÖ ==

118. ñ äçÖ PMORURKOñ äçÖ ÉäçÖ

Nñ äå ==



CHAPTER 2. ALGEBRA

18

2.6 Equations

oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI îpçäìíáçåëW Nñ I Oñ I N ó I O ó I P ó

119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ

M Ä~ñ =+ I~

Äñ −= K

120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå

MÅ Äñ ~ñ O =++ I~O

~ÅQ Ä Äñ

O

OIN

−±−= K

121. aáëÅêáãáå~åí

~ÅQ Äa O−=

122. sáÉíÉ∞ë cçêãìä~ë

fÑ Mèéñ ñ O =++ I íÜÉå

=

−=+

èñ ñ

éñ ñ

ON

ON K

123. M Äñ ~ñ O =+ I Mñ N = I

~

Äñ O −= K

124. MÅ~ñ O =+ I~

Åñ OIN −±= K

125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç∞ë cçêãìä~K

Mèéó ó P =++ I

CHAPTER 2. ALGEBRA

19

î ì ó N += I ( ) ( ) á î ìO

P î ì

O

N ó PIO +±+−= I

ïÜÉêÉ

P

OO

P

é

O

è

O

èì

+

+−= I P

OO

P

é

O

è

O

è î

+

−−= K

2.7 Inequalities

s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò

oÉ~ä åìãÄÉêëW

åPON ~II~I~I~

ÇIÅI ÄI~

K I ãI å

aÉíÉêãáå~åíëW aI ñ a I ó a I òa

126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë

fåÉèì~äáíó fåíÉêî~ä kçí~íáçå dê~éÜ Äñ ~ ≤≤ [ ] ÄI~

Äñ ~ ≤< ( ] ÄI~

Äñ ~ <≤ [ ) ÄI~

Äñ ~ << ( ) ÄI~ Äñ ≤<∞− I

Äñ ≤ ( ] ÄI∞−

Äñ <<∞− I Äñ <

( ) ÄI∞−

∞<≤~ I~≥

[ )∞I~

∞<<~ I~> ( )∞I~

CHAPTER 2. ALGEBRA

20

127. fÑ Ä~ > I íÜÉå ~ Ä < K

128. fÑ Ä~ > I íÜÉå M Ä~ >− çê M~ Ä <− K

129. fÑ Ä~ > I íÜÉå Å ÄÅ~ +>+ K

130. fÑ Ä~ > I íÜÉå Å ÄÅ~ −>− K

131. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå Ç ÄÅ~ +>+ K

132. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå Å ÄÇ~ −>− K

133. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉå ãÄã~ > K

134. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉåã

Ä

ã

~> K

135. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã ~åÇ Mã I íÜÉå åå Ä~ < K

138. fÑ Ä~M << ~åÇ Må K

139. fÑ Ä~M < I M Ä > X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ Ä~ = K

141. O~

N

~ ≥+ I ïÜÉêÉ M~ > X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í N~ = K

CHAPTER 2. ALGEBRA

21

142.å

~~~~~~ åONå

åON

+++≤

KK I ïÜÉêÉ M~II~I~ åON >K K

143. fÑ M Ä~ñ >+ ~åÇ M~ > I íÜÉå~

Äñ −> K

144. fÑ M Ä~ñ >+ ~åÇ M~ ++

M~ > M~ <

Ma>

Nñ ñ ON ñ ñ ñ <<

Ma=

ñ ñ N ∅∈ñ

Ma<

∞<<∞− ∅∈ñ

CHAPTER 2. ALGEBRA

22

146. Ä~ Ä~ +≤+

147. fÑ ~ñ K

148. fÑ ~ñ > I íÜÉå ~−< ~åÇ ~> I ïÜÉêÉ M~ > K

149. fÑ ~ñ O K

150. fÑ ~ñ O > I íÜÉå ~ñ > I ïÜÉêÉ M~ > K

151. fÑ( )( )

Mñ Ö

ñ Ñ > I íÜÉå

( ) ( )

( )

≠

>⋅

Mñ Ö

Mñ Ö ñ Ñ K

152.( )( )

Mñ Ö

ñ Ñ < I íÜÉå

( ) ( )

( )

≠

<⋅

Mñ Ö

Mñ Ö ñ Ñ K

2.8 Compound Interest Formulas

cìíìêÉ î~äìÉW ^fåáíá~ä ÇÉéçëáíW `^ååì~ä ê~íÉ çÑ áåíÉêÉëíW êkìãÄÉê çÑ óÉ~êë áåîÉëíÉÇW íkìãÄÉê çÑ íáãÉë ÅçãéçìåÇÉÇ éÉê óÉ~êW å

153. dÉåÉê~ä `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~åí

å

êN`^

+=



CHAPTER 2. ALGEBRA

23

154. páãéäáÑáÉÇ `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìëÑçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW

( )í

êN`^ += K

155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëífÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E ∞→å FI íÜÉå

êí`É^ = K



24

Chapter 3

Geometry

3.1 Right Triangle

iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I ÄeóéçíÉåìëÉW Å^äíáíìÇÉW ÜjÉÇá~åëW ~ã I Äã I Åã

^åÖäÉëW α Iβ

o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê

^êÉ~W p

Figure 8.

156. °=β+α VM



CHAPTER 3. GEOMETRY

25

157. β==α ÅçëÅ

~ëáå

158. β==α ëáåÅ

ÄÅçë

159. β==α Åçí~

í~å

160. β==α í~å

~

ÄÅçí

161. β==α ÉÅÅçëÅ

ëÉÅ

162. β==α ëÉÅ~

ÅÉÅÅçë

163. móíÜ~ÖçêÉ~å qÜÉçêÉãOOO Å Ä~ =+

164. ÑÅ~ O = I ÖÅ Ä O = I

ïÜÉêÉ Ñ ~åÇ Å ~êÉ éêçàÉÅíáçåë çÑ íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄI êÉëéÉÅ-íáîÉäóI çåíç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK

Figure 9.



CHAPTER 3. GEOMETRY

26

165. ÑÖ Ü O = I

ïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK

166.Q

~ ÄãOOO

~ −= IQ

Ä~ãOOO

Ä −= I

ïÜÉêÉ ~ã ~åÇ Äã ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK

Figure 10.

167.O

Åã Å = I

ïÜÉêÉ Åã áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK

168. Åã

O

Åo ==

169.Å~

~Ä

O

Å Ä~ê

++=

−+=

170. ÅÜ~Ä =



CHAPTER 3. GEOMETRY

27

171.O

ÅÜ

O

~Äp ==

3.2 Isosceles Triangle

_~ëÉW ~iÉÖëW Ä_~ëÉ ~åÖäÉW β

sÉêíÉñ ~åÖäÉW α ^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 11.

172.O

VM α−°=β

173.Q

~ ÄÜ

OOO −=



CHAPTER 3. GEOMETRY

28

174. ÄO~i +=

175. α== ëáåO

Ä

O

~Üp

O

3.3 Equilateral Triangle

páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~

^äíáíìÇÉW Üo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 12.

176.O

P~Ü =



CHAPTER 3. GEOMETRY

29

177.P

P~Ü

P

Oo ==

178.O

o

S

P~Ü

P

Nê ===

179. ~Pi =

180.Q

P~

O

~Üp

O

==

3.4 Scalene Triangle

E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF

páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å

pÉãáéÉêáãÉíÉêWO

Å Ä~é

++=

^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW γβα II

^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Å Ä~ ÜIÜIÜ

jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Å Ä~ ãIãIã

_áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë γβα II W Å Ä~ íIíIío~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê^êÉ~W p

CHAPTER 3. GEOMETRY

30

Figure 13.

181. °=γ+β+α NUM

182. Å Ä~ >+ I~Å Ä >+ I

ÄÅ~ >+ K

183. Å Ä~ <− I

~Å Ä <− I

ÄÅ~ <− K

184. jáÇäáåÉ

O

~è = I ~ööè K

Figure 14.



CHAPTER 3. GEOMETRY

31

185. i~ï çÑ `çëáåÉë

α−+= Åçë ÄÅOÅ Ä~ OOO I

β−+= Åçë~ÅOÅ~ Ä OOO I

γ−+= Åçë~ÄO Ä~Å OOO K

186. i~ï çÑ páåÉë

o Oëáå

Å

ëáå

Ä

ëáå

~=

γ=

β=

α I

ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK

187.pQ

~ÄÅ

ÜO

~Ä

ÜO

~Å

ÜO

ÄÅ

ëáåO

Å

ëáåO

Ä

ëáåO

~o

Å Ä~

====γ

=β

=α

=

188.( )( )( )

é

Åé Äé~éê O −−−= I

Å Ä~ Ü

N

Ü

N

Ü

N

ê

N++= K

189.( )( )

ÄÅ

Åé Äé

Oëáå

−−=

αI

( ) ÄÅ

~éé

OÅçë

−=

αI

( )( )( )~éé

Åé Äé

Oí~å −−−

=α

K

190. ( )( )( )Åé Äé~éé~

OÜ ~ −−−= I

( )( )( )Åé Äé~ééO

Ü Ä −−−= I

( )( )( )Åé Äé~ééÅOÜ Å −−−= K



CHAPTER 3. GEOMETRY

33

195.O

ÅÜ

O

ÄÜ

O

~Üp Å Ä~ === I

O

ëáå ÄÅ

O

ëáå~Å

O

ëáå~Äp

α=

β=

γ= I

( )( )( )Åé Äé~éép −−−= EeÉêçå∞ë cçêãìä~FI

éêp = I

o Q

~ÄÅp = I

γβα= ëáåëáåëáåo Op O I

Oí~åOí~åOí~åép O γβα

= K

3.5 Square

páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~

aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 16.



CHAPTER 3. GEOMETRY

34

196. O~Ç =

197. O

O~

O

Ç

o ==

198.O

~ê =

199. ~Qi =

200. O~p =

3.6 Rectangle

páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Ä

aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 17.

201. OO Ä~Ç +=



CHAPTER 3. GEOMETRY

35

202.O

Ço =

203. ( ) Ä~Oi +=

204. ~Äp =

3.7 Parallelogram

páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ

`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI

^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ

^äíáíìÇÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i

^êÉ~W p

Figure 18.

205. °=β+α NUM

206. ( )OOOO

ON Ä~OÇÇ +=+



CHAPTER 3. GEOMETRY

36

207. β=α= ëáå Äëáå ÄÜ

208. ( ) Ä~Oi +=

209. α== ëáå~Ä~Üp I

ϕ= ëáåÇÇO

Np ON K

3.8 Rhombus

páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~aá~Öçå~äëW ON ÇIÇ

`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI

^äíáíìÇÉW eo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê

mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 19.



CHAPTER 3. GEOMETRY

37

210. °=β+α NUM

211. OOO

ON ~QÇÇ =+

212.~O

ÇÇëáå~Ü ON=α=

213.O

ëáå~

~Q

ÇÇ

O

Üê ON α

===

214. ~Qi =

215. α== ëáå~~Üp O I

ONÇÇO

Np = K

3.9 Trapezoid

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Ü^êÉ~W p



CHAPTER 3. GEOMETRY

38

Figure 20.

216.O

Ä~è +=

217. èÜÜO

Ä~p =⋅

+=

3.10 Isosceles Trapezoid

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o^êÉ~W p



CHAPTER 3. GEOMETRY

39

Figure 21.

218.O

Ä~è +=

219. OÅ~ÄÇ +=

220. ( )OO ~ ÄQNÅÜ −−=

221.( )( ) Ä~ÅO Ä~ÅO

Å~ÄÅo

O

−++−

+=

222. èÜÜO Ä~p =⋅+=



CHAPTER 3. GEOMETRY

40

3.11 Isosceles Trapezoid withInscribed Circle

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê


Figure 22.

223. ÅO Ä~ =+

224. ÅO

Ä~è =

+=

225. OOO

ÅÜÇ +=



CHAPTER 3. GEOMETRY

41

226.O

~Ä

O

Üê ==

227.~

ÄS

Ä

~

U

Ä~ÅÜ

ÜO

Å

~Ä

ÅN

O

Å

êQ

ÅÇ

ÜO

ÅÇo OO

O

+++=+=+===

228. ( ) ÅQ Ä~Oi =+=

229.( )

O

iêÅÜèÜ

O

~Ä Ä~Ü

O

Ä~p ===

+=⋅

+=

3.12 Trapezoid with Inscribed Circle

_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä

i~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI ÇjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ


o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p



CHAPTER 3. GEOMETRY

42

Figure 23.

230. ÇÅ Ä~ +=+

231.O

ÇÅ

O

Ä~è

+=

+=

232. ( ) ( )ÇÅO Ä~Oi +=+=

233. èÜÜO ÇÅÜO Ä~p =⋅+

=⋅+

= I

ϕ= ëáåÇÇO

Np ON K

3.13 Kite

páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ

^åÖäÉëW γβα II




CHAPTER 3. GEOMETRY

43

Figure 24.

234. °=γ+β+α PSMO

235. ( ) Ä~Oi +=

236.O

ÇÇp ON=

3.14 Cyclic Quadrilateral

páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ


fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα III

o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é

^êÉ~W p



CHAPTER 3. GEOMETRY

44

Figure 25.

237. °=δ+β=γ+α NUM

238. míçäÉãó ∞ë qÜÉçêÉã

ONÇÇ ÄÇ~Å =+

239. ÇÅ Ä~i +++=

240.( )( )( )( )( )( )( )ÇéÅé Äé~é

ÅÇ~Ä ÄÅ~Ç ÄÇ~Å

Q

No

−−−−+++

= I

ïÜÉêÉO

ié = K

241. ϕ= ëáåÇÇONp ON I

( )( )( )( )ÇéÅé Äé~ép −−−−= I

ïÜÉêÉO

ié = K



CHAPTER 3. GEOMETRY

45

3.15 Tangential Quadrilateral



o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p

Figure 26.

242. Ç ÄÅ~ +=+

243. ( ) ( )Ç ÄOÅ~OÇÅ Ä~i +=+=+++=

244.( ) ( )

éO

é Ä~ Ä~ÇÇê

OOOO

ON −+−−

= I

ïÜÉêÉO

ié = K



CHAPTER 3. GEOMETRY

46

245. ϕ== ëáåÇÇO

Néêp ON

3.16 General Quadrilateral



fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα III


Figure 27.

246. °=δ+γ+β+α PSM

247. ÇÅ Ä~i +++=



CHAPTER 3. GEOMETRY

47

248. ϕ= ëáåÇÇO

Np ON

3.17 Regular Hexagon

páÇÉW ~fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã

o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p

Figure 28.

249. °=α NOM

250.O

P~

ãê ==



CHAPTER 3. GEOMETRY

48

251. ~o =

252. ~Si =

253.O

PP~éêp

O

== I

ïÜÉêÉO

ié = K

3.18 Regular Polygon

páÇÉW ~kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åfåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã

o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p



CHAPTER 3. GEOMETRY

49

Figure 29.

254. °⋅−

=α NUMO

Oå

255. °⋅−

=α NUMO

Oå

256.

åëáåO

~o

π=

257.

Q

~o

åí~åO

~ãê

OO −=

π==

258. å~i =

259.å

Oëáå

O

åo p

O π= I

Q~o ééêp

O

O −== I



CHAPTER 3. GEOMETRY

50

ïÜÉêÉO

ié = K

3.19 Circle

o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW Ç`ÜçêÇW ~

pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñq~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö`Éåíê~ä ~åÖäÉW α fåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW β


260.O

ëáåo O~ α

=

Figure 30.



CHAPTER 3. GEOMETRY

51

261. ONON Ä Ä~~ =

Figure 31.

262. NN ÑÑ ÉÉ =

Figure 32.

263. NO ÑÑ Ö =



CHAPTER 3. GEOMETRY

52

Figure 33.

264.O

α=β

Figure 34.

265. Ço Oi π=π=

266.O

io

Q

Ço p

OO =π

=π=



CHAPTER 3. GEOMETRY

53

3.20 Sector of a Circle

o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 35.

267. oñ ë =

268. °

απ

= NUM

o

ë

269. o Oëi +=

270.°απ

===PSM

o

O

ñ o

O

oëp

OO

CHAPTER 3. GEOMETRY

54

3.21 Segment of a Circle

o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`ÜçêÇW ~`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α eÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p

Figure 36.

271. OÜÜo OO~ −=

272. OO ~o QO

No Ü −−= I o Ü <

273. ~ëi +=



CHAPTER 3. GEOMETRY

55

274. ( )[ ] ( )ñ ëáåñ O

o ëáå

NUMO

o Üo ~ëo

O

Np

OO

−=

α−

°απ

=−−= I

Ü~P

O

p ≈ K

3.22 Cube

bÇÖÉW ~aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 37.

275. P~Ç =

276.

O

~ê =



CHAPTER 3. GEOMETRY

56

277.O

P~o =

278. O~Sp =

279. P~s =

3.23 Rectangular Parallelepiped

bÇÖÉëW ~I ÄI Åaá~Öçå~äW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 38.

280. OOO Å Ä~Ç ++=

281. ( ) ÄÅ~Å~ÄOp ++=

282. ~ÄÅs =



CHAPTER 3. GEOMETRY

57

3.24 Prism

i~íÉê~ä ÉÇÖÉW äeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ~êÉ~W ip

^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p

qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 39.

283. _i pOpp += K

284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã( )ä~~~~p åPONi ++++= K

285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëãéäp i = I

ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK



CHAPTER 3. GEOMETRY

58

286. Üps _=

287. `~î~äáÉêáDë mêáåÅáéäÉ

dáîÉå íïç ëçäáÇë áåÅäìÇÉÇ ÄÉíïÉÉå é~ê~ääÉä éä~åÉëK fÑ ÉîÉêóéä~åÉ Åêçëë ëÉÅíáçå é~ê~ääÉä íç íÜÉ ÖáîÉå éä~åÉë Ü~ë íÜÉ ë~ãÉ~êÉ~ áå ÄçíÜ ëçäáÇëI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉë çÑ íÜÉ ëçäáÇë ~êÉ Éèì~äK

3.25 Regular Tetrahedron

qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~eÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p

pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 40.

288. ~P

OÜ =



CHAPTER 3. GEOMETRY

59

289.Q

~Pp

O

_ =

290. O~Pp =

291.OS

~Üp

P

Ns

P

_ == K

3.26 Regular Pyramid

páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ÄeÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ãkìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åpÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW éo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p

i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip




CHAPTER 3. GEOMETRY

60

Figure 41.

292.Q

~ Äã

OO −=

293.

åëáåO

~å

ëáå ÄQ

Ü

OOO

π

−π

=

294. éã~ ÄQå~Q

Nå~ã

O

Np OO

i =−==

295. éêp _ =

296. i_ ppp +=

297. éêÜP

NÜp

P

Ns _ ==



CHAPTER 3. GEOMETRY

61

3.27 Frustum of a Regular Pyramid

_~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW

åPON

åPON

ÄII ÄI ÄI Ä~II~I~I~

KK

eÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ã^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW Np I Op


mÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW Nm I Om

pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW âqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 42.

298. â ~

Ä

~

Ä

~

Ä

~

Ä

~

Ä

å

å

P

P

O

O

N

N ====== K



CHAPTER 3. GEOMETRY

62

299. O

N

O â p

p=

300. ( )O

mmãp ONi

+=

301. ONi pppp ++=

302. ( )OONN ppppP

Üs ++=

303. [ ]ON

O

N â â NP

Üp

~

Ä

~

ÄN

P

Üps ++=

++=

3.28 Rectangular Right Wedge

páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Äqçé ÉÇÖÉW ÅeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip





CHAPTER 3. GEOMETRY

63

Figure 43.

304. ( ) ( )OOOOi Å~Ü Ä ÄÜQÅ~

O

Np −++++=

305. ~Äp _ =

306. i_ ppp +=

307. ( )Å~OS

ÄÜs +=

3.29 Platonic Solids

bÇÖÉW ~o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW opìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s



CHAPTER 3. GEOMETRY

64

308. cáîÉ mä~íçåáÅ pçäáÇëqÜÉ éä~íçåáÅ ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ éçäóÜÉÇê~ ïáíÜ Éèìáî~äÉåíÑ~ÅÉë ÅçãéçëÉÇ çÑ ÅçåÖêìÉåí ÅçåîÉñ êÉÖìä~ê éçäóÖçåëK

pçäáÇ kìãÄÉêçÑ sÉêíáÅÉë

kìãÄÉêçÑ bÇÖÉë

kìãÄÉêçÑ c~ÅÉë

pÉÅíáçå

qÉíê~ÜÉÇêçå Q S Q PKOR`ìÄÉ U NO S PKOO

lÅí~ÜÉÇêçå S NO U PKOTfÅçë~ÜÉÇêçå NO PM OM PKOT

açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM PM NO PKOT

Octahedron

Figure 44.

309.S

S~ê =

310.O

O~o =



CHAPTER 3. GEOMETRY

65

311. P~Op O=

312. P

O~

s

P

=

Icosahedron

Figure 45.

313.)

NO

RPP~ê

+=

314. ( )RROQ

~o +=

315. P~Rp O=

316.)

NO

RP~Rs

P +=



CHAPTER 3. GEOMETRY

67

eÉáÖÜíW ei~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip



Figure 47.

321. oeOp i π=

322. ( )

+π=+π=+=O

ÇeÇo eo OpOpp _i

323. eo eps O_ π==



CHAPTER 3. GEOMETRY

68

3.31 Right Circular Cylinder withan Oblique Plane Face

o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oqÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW NÜ

qÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW OÜ


^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW _p

qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p

sçäìãÉW s

Figure 48.

324. ( )ONi ÜÜo p +π=

325.

O

ONOO_

O

ÜÜo o o p

−+π+π=



CHAPTER 3. GEOMETRY

69

326.

−++++π=+=

O

ONOON_i

O

ÜÜo o ÜÜo ppp

327. ( )ON

O

ÜÜO

o s +

π=

3.32 Right Circular Cone

o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oaá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW ÇeÉáÖÜíW epä~åí ÜÉáÖÜíW ãi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip


qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p

sçäìãÉW s

Figure 49.



CHAPTER 3. GEOMETRY

71

Figure 50.

333. ( )OO êo ãe −−=

334. â ê

o =

335.O

O

O

N

O

â ê

o

p

p

==

336. ( )êo ãp i +π=

337. ( )êo ãêo pppp OOiON +++π=++=

338. ( )OONN ppppP

Üs ++=

339. [ ]ON

O

N â â NP

Üp

ê

o

ê

o N

P

Üps ++=

++=



CHAPTER 3. GEOMETRY

72

3.34 Sphere

o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

Figure 51.

340. Oo Qp π=

341. po P

NÇ

S

Neo

P

Qs PP =π=π=

3.35 Spherical Cap

o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉW êeÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW _p

^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW `p




CHAPTER 3. GEOMETRY

73

Figure 52.

342.ÜO

Üêo

OO +=

343. O_ êp π=

344. ( )OO` êÜp +π=

345. ( ) ( )OOO`_ êoÜOêOÜppp +π=+π=+=

346. ( ) ( )OOO ÜêPÜS

Üo PÜS

s +π

=−π

=

3.36 Spherical Sector

o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW êeÉáÖÜíW Üqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p

sçäìãÉW s



CHAPTER 3. GEOMETRY

74

Figure 53.

347. ( )êÜOo p +π=

348. Üo P

Os Oπ=

kçíÉW qÜÉ ÖáîÉå Ñçêãìä~ë ~êÉ ÅçêêÉÅí ÄçíÜ Ñçê ±çéÉå≤

~åÇ±ÅäçëÉÇ≤ ëéÜÉêáÅ~ä ëÉÅíçêK

3.37 Spherical Segment

o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW Nê I Oê

eÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp

^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW Np I Op




CHAPTER 3. GEOMETRY

75

Figure 54.

349. oÜOp p π=

350. ( )OO

ONONp êêoÜOpppp ++π=++=

351. ( )OOO

ON ÜêPêPÜ

SNs ++π=

3.38 Spherical Wedge

o~ÇáìëW oaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW ip




CHAPTER 3. GEOMETRY

76

Figure 55.

352. ñ o OVM

o p O

O

i =απ

=

353. ñ o Oo VM

o o p OO

OO +π=απ

+π=

354. ñ o PO

OTMo s P

P

=απ=

3.39 Ellipsoid

pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI ÅsçäìãÉW s



CHAPTER 3. GEOMETRY

77

Figure 56.

355. ~ÄÅP

Qs π=

Prolate Spheroid

pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ > FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

356.

+π=

É

É~êÅëáå~ Ä ÄOp I

ïÜÉêÉ~

Ä~É

OO −= K

357. ~ Ä

P

Qs Oπ=

CHAPTER 3. GEOMETRY

78

Oblate Spheroid

pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ < FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s

358.

+π=~L ÄÉ

~

ÄÉ~êÅëáåÜ~

Ä ÄOp I

ïÜÉêÉ~ Ä

ÉOO −

= K

359. ~ ÄP

Qs Oπ=

3.40 Circular Torus

j~àçê ê~ÇáìëW ojáåçê ê~ÇáìëW ê

pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s



CHAPTER 3. GEOMETRY

79

Picture 57.

360. oêQp Oπ=

361. OO oêOs π=



80

Chapter 4

Trigonometry

^åÖäÉëW α I β

oÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ó

tÜçäÉ åìãÄÉêW â

4.1 Radian and Degree Measures of Angles

362. ?QRDNTRTNUM

ê~ÇN °≈π°

=

363. ê~ÇMNTQRPKMê~ÇNUM

N ≈π

=°

364. ê~ÇMMMOVNKMê~ÇSMNUM

DN ≈⋅π

=

365. ê~ÇMMMMMRKMê~ÇPSMMNUM

?N ≈⋅π=

366. ^åÖäÉEÇÉÖêÉÉëF

M PM QR SM VM NUM OTM PSM

^åÖäÉEê~Çá~åëF M

S

π

Q

π

P

π

O

π π

O

Pπ πO



CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

82

371.ê

ëÉÅ =α

372. ó

êÅçëÉÅ =α

373. páåÉ cìåÅíáçåñ ëáå ó = I Nñ ëáåN ≤≤− K

Figure 59.

374. `çëáåÉ cìåÅíáçåÅçë ó = I NÅçëN ≤≤− K




83

Figure 60.

375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå

í~å ó = I ( )O

Nâ Oñ π+≠ I Kí~å ∞≤≤∞−

Figure 61.




84

376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåÅçí ó = I π≠ â ñ I ∞≤≤∞− Åçí K

Figure 62.

377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå

ëÉÅ ó = I ( )O

Nâ Oñ π+≠ K




85

Figure 63.

378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåÉÅÅçë ó = I π≠ â ñ K

Figure 64.




86

4.3. Signs of Trigonometric Functions

379.nì~Çê~åí

páåα

`çëα

q~åα

`çíα

pÉÅα

`çëÉÅα

f H H H H H Hff H H

fff H Hfs H H

380.

Figure 65.




87

4.4 Trigonometric Functions of Common Angles

381.°α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí αëÉÅ αÅçëÉÅ

M M M N M ∞ N ∞

PMS

π

O

N

O

P

P

N P

P

O O

QRQ

π

O

O

O

O N N O O

SMP

π

O

P

O

N P

P

N O

P

O

VMO

π N M ∞ M ∞ N

NOMP

Oπ

O

P

O

N− P−

P

N− O−

P

O

NUM π M N− M ∞ N− ∞

OTMO

Pπ N− M ∞ M ∞ N−

PSM πO M N M ∞ N ∞




88

382.

°α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí

NR NO

π

Q

OS − Q

OS + PO− PO+

NUNM

π

Q

NR −

Q

RONM+R

ROR− ROR+

PSR

π

Q

RONM−Q

NR +

NR

RONM

+

−RONM

NR

−

+

RQNM

Pπ

Q

NR +

Q

RONM−RONM

NR

−

+NR

RONM

+

−

TOR

Oπ

Q

RONM+Q

NR − ROR+ R

ROR−

TRNO

Rπ Q

OS + Q

OS − PO+ PO−

4.5 Most Important Formulas

383. NÅçëëáå OO =α+α

384. Ní~åëÉÅ OO =α−α

385. NÅçíÅëÅ OO =α−α

386. αα

=α Åçë

ëáåí~å




89

387.αα

=αëáå

ÅçëÅçí

388. NÅçíí~å =α⋅α

389.α

=αÅçë

NëÉÅ

390.α

=αëáå

NÅçëÉÅ

4.6 Reduction Formulas

391. β βëáå βÅçë βí~å βÅçí

α− α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí α−°VM α+ Åçë α+ ëáå α+ Åçí α+ í~å

α+°VM α+ Åçë α− ëáå α− Åçí α− í~å

α−°NUM α+ ëáå α− Åçë α− í~å α− Åçí

α+°NUM α− ëáå α− Åçë α+ í~å α+ Åçí

α−°OTM α− Åçë α− ëáå α+ Åçí α+ í~å

α+°OTM α− Åçë α+ ëáå α− Åçí α− í~å

α−°PSM α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí

α+°PSM α+ ëáå α+ Åçë α+ í~å α+ Åçí




90

4.7 Periodicity of Trigonometric Functions

392. ( ) α=π±α ëáååOëáå I éÉêáçÇ πO çê °PSM K

393. ( ) α=π±α ÅçëåOÅçë I éÉêáçÇ πO çê °PSM K

394. ( ) α=π±α í~ååí~å I éÉêáçÇ π çê °NUM K

395. ( ) α=π±α ÅçíåÅçí I éÉêáçÇ π çê °NUM K

4.8 Relations between TrigonometricFunctions

396. ( ) NQOÅçëOOÅçëNO

NÅçëNëáå

OO

−

π

−α

=α−±=α−±=α

Oí~åN

Oí~åO

O α+

α

=

397. ( ) NOÅçëOOÅçëNO

NëáåNÅçë OO −

α=α+±=α−±=α

Oí~åN

Oí~åN

O

O

α+

α−

=

398. αα−

=α+α

=−α±=αα

=α Oëáå

OÅçëN

OÅçëN

OëáåNëÉÅÅçë

ëáåí~å

O




91

Oí~åN

Oí~åO

OÅçëN

OÅçëN

O α+

α

=α+α−

±=

399.α−α

=αα+

=−α±=αα

=αOÅçëN

Oëáå

Oëáå

OÅçëNNÅëÅ

ëáå

ÅçëÅçí O

O

í~åO

Oí~åN

OÅçëN

OÅçëNO

α

α−

=α−α+

±=

400.

Oí~åN

Oí~åN

í~åNÅçë

NëÉÅ

O

O

O

α−

α+

=α+±=α

=α

401.

Oí~åO

Oí~åNÅçíN

ëáå

NÅëÅ

O

O

α

α+=α+±=

α=α

4.9 Addition and Subtraction Formulas

402. ( ) αβ+βα=β+α ÅçëëáåÅçëëáåëáå

403. ( ) αβ−βα=−α ÅçëëáåÅçëëáå ó ëáå

404. ( ) βα−βα=β+α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë

405. ( ) βα+βα=β−α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë




92

406. ( )βα−β+α

=β+αí~åí~åN

í~åí~åí~å

407. ( )βα+β−α=β−α

í~åí~åNí~åí~åí~å

408. ( )β+αβα−

=β+αí~åí~å

í~åí~åNÅçí

409. ( ) β−α

βα+

=β−α í~åí~å

í~åí~åN

Åçí

4.10 Double Angle Formulas

410. α⋅α=α ÅçëëáåOOëáå

411. NÅçëOëáåONëáåÅçëOÅçë OOOO −α=α−=α−α=α

412.α−α

=α−α

=αí~åÅçí

O

í~åN

í~åOOí~å

O

413.O

í~åÅçíÅçíO

NÅçíOÅçíO

α−α=α−α=α




93

4.11 Multiple Angle Formulas

414. α−α⋅α=α−α=α POP

ëáåëáåÅçëPëáåQëáåPPëáå

415. α⋅α−α⋅α=α ÅçëëáåUÅçëëáåQQëáå P

416. α+α−α=α RP ëáåNSëáåOMëáåRRëáå

417. α⋅α−α=α−α=α OPP ëáåÅçëPÅçëÅçëPÅçëQPÅçë

418. NÅçëUÅçëUQÅçë OQ +α−α=α

419. α+α−α=α ÅçëRÅçëOMÅçëNSRÅçë PR

420.α−α−α

=αO

P

í~åPN

í~åí~åPPí~å

421.α+α−α−α

=αQO

P

í~åí~åSN

í~åQí~åQQí~å

422.α+α−α+α−α

=αQO

PR

í~åRí~åNMN

í~åRí~åNMí~åRí~å

423.NÅçíP

ÅçíPÅçíPÅçí

O

P

−αα−α=α

424.α−αα+α−

=αP

QO

í~åQí~åQ

í~åí~åSNQÅçí




94

425.α+α−α

α+α−=α

í~åRí~åNMí~å

í~åRí~åNMNRÅçí

PR

QO

4.12 Half Angle Formulas

426.O

ÅçëN

Oëáå

α−±=

α

427.O

ÅçëN

OÅçë

α+±=

α

428. α−α=αα−

=α+α

=α+α−

±=α

ÅçíÅëÅëáå

ÅçëN

ÅçëN

ëáå

ÅçëN

ÅçëN

Oí~å

429. α+α=αα+

=α−α

=α−α+

±=α

ÅçíÅëÅëáå

ÅçëN

ÅçëN

ëáå

ÅçëN

ÅçëN

OÅçí

4.13 Half Angle Tangent Identities

430.

Oí~åN

Oí~åO

ëáåO α+

α

=α




95

431.

Oí~åN

Oí~åN

ÅçëO

O

α+

α−

=α

432.

Oí~åN

Oí~åO

í~åO α−

α

=α

433.

Oí~åO

Oí~åN

ÅçíO

αα−

=α

4.14 Transforming of TrigonometricExpressions to Product

434.O

ÅçëO

ëáåOëáåëáå β−αβ+α

=β+α

435.O

ëáåO

ÅçëOëáåëáå β−αβ+α

=β−α

436.O

ÅçëO

ÅçëOÅçëÅçë β−αβ+α

=β+α

437.O

ëáåO

ëáåOÅçëÅçë β−αβ+α

−=β−α




96

438.( )

β⋅αβ+α

=β+αÅçëÅçë

ëáåí~åí~å

439. ( )β⋅αβ−α=β−α

ÅçëÅçëëáåí~åí~å

440.( )

β⋅αα+β

=β+αëáåëáå

ëáåÅçíÅçí

441.

( )β⋅αα−β

=β−α ëáåëáå

ëáåÅçíÅçí

442.

α+π

=

α−π

=α+αQ

ëáåOQ

ÅçëOëáåÅçë

443.

α+π

=

α−π

=α−α

Q

ÅçëO

Q

ëáåOëáåÅçë

444.( )

β⋅αβ−α

=β+αëáåÅçë

ÅçëÅçíí~å

445.( )

β⋅αβ+α

−=β−αëáåÅçë

ÅçëÅçíí~å

446.O

ÅçëOÅçëN O α=α+

447.O

ëáåOÅçëN O α=α−




97

448.

α−π

=α+OQ

ÅçëOëáåN O

449.

α−π=α−

OQëáåOëáåN O

4.15 Transforming of TrigonometricExpressions to Sum

450.( ) ( )

O

ÅçëÅçëëáåëáå

β+α−β−α=β⋅α

451.( ) ( )

O

ÅçëÅçëÅçëÅçë

β+α+β−α=β⋅α

452.( ) ( )

O

ëáåëáåÅçëëáå

β+α+β−α=β⋅α

453.β+αβ+α

=β⋅αÅçíÅçí

í~åí~åí~åí~å

454.β+α β+α=β⋅α

í~åí~åÅçíÅçíÅçíÅçí

455.β+αβ+α

=β⋅αí~åÅçí

Åçíí~åÅçíí~å




98

4.16 Powers of Trigonometric Functions

456.O

OÅçëNëáå O α−=α

457.Q

PëáåëáåPëáå P α−α

=α

458.

U

POÅçëQQÅçëëáå Q +α−α

=α

459.NS

RëáåPëáåRëáåNMëáå R α+α−α

=α

460.PO

SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMëáå S α−α+α−

=α

461.O

OÅçëNÅçë O α+=α

462.Q

PÅçëÅçëPÅçë P α+α

=α

463. U

POÅçëQQÅçë

Åçë

Q +α+α

=α

464.NS

RÅçëPëáåRÅçëNMÅçë R α+α+α

=α

465.PO

SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMÅçë S α+α+α+

=α




99

4.17 Graphs of Inverse TrigonometricFunctions

466. fåîÉêëÉ páåÉ cìåÅíáçå

ñ ~êÅëáå ó = I NN ≤≤− IO

ñ ~êÅëáåO

π≤≤

π− K

Figure 66.

467. fåîÉêëÉ `çëáåÉ cìåÅíáçå

~êÅÅçë ó = I NN ≤≤− I π≤≤ ~êÅÅçëM K

100

Figure 67.

468. fåîÉêëÉ q~åÖÉåí cìåÅíáçå

~êÅí~å ó = I ∞≤≤∞− I Oñ ~êÅí~åO

π

<<

π

− K

Figure 68.




102

471. fåîÉêëÉ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå

( ] [ ) KO

IMMIO

ñ ÅëÅ~êÅIINNIñ Iñ ~êÅÅëÅ ó

π∪

π−∈∞∪−∞−∈=

Figure 71.

4.18 Principal Values of InverseTrigonometric Functions

472.M

O

N

O

O

O

PN

ñ ~êÅëáå °M °PM °QR °SM °VM~êÅÅçë °VM °SM °QR °PM °M

O

N−

O

O−

O

P− N−

ñ ~êÅëáå°−PM

°− QR °− SM

− VM

~êÅÅçë °NOM

°NPR °NRM

°NUM

103

473.M

P

PN P

P

P− N− P−

~êÅí~å °M °PM °QR °SM °−PM

°− QR

°− SM

Åçí~êÅ °VM °SM °QR °PM °NOM °NPR

°NRM

4.19 Relations between Inverse

Trigonometric Functions

474. ( ) ñ ~êÅëáåñ ~êÅëáå −=−

475. ñ ~êÅÅçëO

ñ ~êÅëáå −π

=

476. Oñ N~êÅÅçëñ ~êÅëáå −= I NM ≤≤ K

477. Oñ N~êÅÅçëñ ~êÅëáå −−= I MN ≤≤− K

478.Oñ N

ñ ~êÅí~åñ ~êÅëáå

−= I NO < K

479.ñ N

Åçí~êÅñ ~êÅëáåO−

= I NM ≤< K

480. π−−

= ñ N

Åçí~êÅñ ~êÅëáåO

I MN <≤− K

481. ( ) ñ ~êÅÅçëñ ~êÅÅçë −π=−

104

482. ñ ~êÅëáåO

ñ ~êÅÅçë −π

=

483. Oñ N~êÅëáåñ ~êÅÅçë −= I NM ≤≤ K

484. Oñ N~êÅëáåñ ~êÅÅçë −−π= I MN ≤≤− K

485.ñ N

~êÅí~åñ ~êÅÅçëO−

= I NM ≤< K

486.ñ N

~êÅí~åñ ~êÅÅçëO−

+π= I MN <≤− K

487.Oñ N

ñ Åçí~êÅñ ~êÅÅçë

−= I NN ≤≤− K

488. ( ) ñ ~êÅí~åñ ~êÅí~å −=−

489. ñ Åçí~êÅO

ñ ~êÅí~å −π

=

490.Oñ N

ñ ~êÅëáåñ ~êÅí~å

+=

491.Oñ N

N~êÅÅçëñ ~êÅí~å

+= I M≥ K

492.Oñ N

N~êÅÅçëñ ~êÅí~å

+−= I M≤ K

105

493.N

~êÅí~åO

ñ ~êÅí~å −π

= I M> K

494. N~êÅí~åO

ñ ~êÅí~å −π−= I M< K

495.N

Åçí~êÅñ ~êÅí~å = I M> K

496. π−= NÅçí~êÅñ ~êÅí~å I M< K

497. ( ) ñ Åçí~êÅñ Åçí~êÅ −π=−

498. ñ ~êÅí~åO

ñ Åçí~êÅ −π

=

499. Oñ NN~êÅëáåñ Åçí~êÅ+= I M> K

500.Oñ N

N~êÅëáåñ Åçí~êÅ

+−π= I M< K

501.Oñ N

ñ ~êÅÅçëñ Åçí~êÅ

+

=

502.N

~êÅí~åñ Åçí~êÅ = I M> K

503.N

~êÅí~åñ Åçí~êÅ +π= I M< K




106

4.20 Trigonometric Equations

tÜçäÉ åìãÄÉêW å

504. ~ñ ëáå = I ( ) å~~êÅëáåNñ å π+−=

505. ~Åçë = I åO~~êÅÅçë π+±=

506. ~í~å = I å~~êÅí~å π+=

507. ~Åçí = I å~Åçí~êÅ π+=

4.21 Relations to Hyperbolic Functions

fã~Öáå~êó ìåáíW á

508. ( ) ñ ëáåÜááñ ëáå =

509. ( ) ñ í~åÜááñ í~å =

510. ( ) ñ ÅçíÜááñ Åçí −=

511. ( ) ñ ëÉÅÜáñ ëÉÅ =

512. ( ) ñ ÅëÅÜááñ ÅëÅ −=



107

Chapter 5

Matrices and Determinants

j~íêáÅÉëW ^I _I `bäÉãÉåíë çÑ ~ ã~íêáñW á~ I á Ä I áà~ I áà Ä I áàÅ

aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ^ÇÉíjáåçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áàj

`çÑ~Åíçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áà`

qê~åëéçëÉ çÑ ~ ã~íêáñW q^ I ^ú

^Çàçáåí çÑ ~ ã~íêáñW ^~Çà

qê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^íê

fåîÉêëÉ çÑ ~ ã~íêáñW N^−

oÉ~ä åìãÄÉêW âoÉ~ä î~êá~ÄäÉëW áñ

k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI å

5.1 Determinants

513. pÉÅçåÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí

NOON

OO

NN Ä~ Ä~ Ä~

Ä~^ÇÉí −==



CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

108

514. qÜáêÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí

−++== POONNPPNOPNOPPOONN

PPPOPN

OPOOON

NPNONN

~~~~~~~~~

~~~

~~~

~~~

^ÇÉí

PNOONPPPONNOPOOPNN ~~~~~~~~~ −−−

515. p~êêìë oìäÉ E^êêçï oìäÉF

Figure 72.

516. k-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí

åååàOåNå

áåáàOáNá

åO àOOOON

åN àNNONN

~~~~

~~~~

~~~~

~~~~

^ÇÉí

KK

KKKKKK

KK

KKKKKK

KK

KK

=

517. jáåçêqÜÉ ãáåçê áàj ~ë ë çÅá~íÉ Ç ïá íÜ íÜ É É ä É ãÉ åí áà~ çÑ å-íÜ çêÇÉê

ã~íêáñ ^ áë íÜÉ ( )Nå− -íÜ çêÇÉê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉêáîÉÇ Ñêçã

íÜÉ ã~íêáñ ^ Äó ÇÉäÉíáçå çÑ áíë á-íÜ êçï ~åÇ à-íÜ ÅçäìãåK




109

518. `çÑ~Åíçê

( ) áà

àá

áà jN` +−=

519. i~éä~ÅÉ bñé~åëáçå çÑ å-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åíi~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ á-íÜ êçï

∑=

=å

N àáàáà`~^ÇÉí I åIIOINá K= K

i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ à-íÜ Åçäìãå

∑=

=å

Nááàáà`~^ÇÉí I åIIOIN à K= K

5.2 Properties of Determinants

520. qÜÉ î~äìÉ çÑ ~ ÇÉíÉêãáå~åí êÉã~áåë ìåÅÜ~åÖÉÇ áÑ êçïë ~êÉ

ÅÜ~åÖÉÇ íç Åçäìãåë ~åÇ Åçäìãåë íç êçïëK

OO

NN

ON

ON

Ä~

Ä~

Ä Ä

~~=

521. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉ ëáÖå çÑíÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ÅÜ~åÖÉÇK

NN

OO

OO

NN

Ä~

Ä~

Ä~

Ä~−=

522. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áÇÉåíáÅ~äI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉÇÉíÉêãáå~åí áë òÉêçK

M~~

~~

OO

NN =




110

523. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ ãìäíáéäáÉÇ Äó~ Åçããçå Ñ~ÅíçêI íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ãìäíáéäáÉÇ Äó íÜ~íÑ~ÅíçêK

OO

NN

OO

NN

Ä~ Ä~â

Ä~âÄâ~ =

524. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ áåÅêÉ~ëÉÇ EçêÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó Éèì~ä ãìäíáéäÉë çÑ íÜÉ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíëçÑ ~åó çíÜÉê êçï Eçê ÅçäìãåFI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åíáë ìåÅÜ~åÖÉÇK

OO

NN

OOO

NNN

Ä~ Ä~

ÄâÄ~ ÄâÄ~ =++

5.3 Matrices

525. aÉÑáåáíáçå^å åã× ã~íêáñ ^ áë ~ êÉÅí~åÖìä~ê ~êê~ó çÑ ÉäÉãÉåíë Eåìã-

ÄÉêë çê ÑìåÅíáçåëF ïáíÜ ã êçïë ~åÇ å ÅçäìãåëK

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

~~~

~~~

~~~

~^

K

MMM

K

K

526. pèì~êÉ ã~íêáñ áë ~ ã~íêáñ çÑ çêÇÉê åå× K

527. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ áà~ áë ëóããÉíêáÅ áÑ àááà ~~ = I áKÉK áí áë

ëóããÉíêáÅ ~Äçìí íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK

528. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñáà

~ áë ëâÉï -ëóããÉíêáÅ áÑ àááà

~~ −= K




111

529. aá~Öçå~ä ã~íêáñ áë ~ ëèì~êÉ ã~íêáñ ïáíÜ ~ää ÉäÉãÉåíë òÉêçÉñÅÉéí íÜçëÉ çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK

530. råáí ã~íêáñ áë ~ Çá~Öçå~ä ã~íêáñ áå ïÜáÅÜ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çåíÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~ä ~êÉ ~ää ìåáíóK qÜÉ ìåáí ã~íêáñ áëÇÉåçíÉÇ Äó fK

531. ^ åìää ã~íêáñ áë çåÉ ïÜçëÉ ÉäÉãÉåíë ~êÉ ~ää òÉêçK

5.4 Operations with Matrices

532. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ ~êÉ Éèì~ä áÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó ~êÉ ÄçíÜçÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× ~åÇ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë ~êÉÉèì~äK

533. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ Å~å ÄÉ ~ÇÇÉÇ Eçê ëìÄíê~ÅíÉÇF çÑI ~åÇçåäó áÑI íÜÉó Ü~îÉ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× K fÑ

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

~~~

~~~

~~~

~^

K

MMM

K

K

I

[ ]

==

ãåOãNã

åOOOON

åNNONN

áà

Ä Ä Ä

Ä Ä Ä

Ä Ä Ä

Ä_

K

MMM

K

K

I




113

íÜÉå

==

ãâ OãNã

â OOOON

â NNONN

ÅÅ Ä

ÅÅÅ

ÅÅÅ

`^_

K

MMM

K

K

I

ïÜÉêÉ

∑=λ

λλ=+++=å

N àáåàáå àOOá àNNááà Ä~ Ä~ Ä~ Ä~Å K

E ãIIOINá K= X â IIOIN à K= FK

qÜìë áÑ

[ ]

==

OPOOON

NPNONN

áà ~~~

~~~~^ I [ ]

==

P

O

N

á

Ä

Ä

Ä

Ä_ I

íÜÉå

=

⋅

=

POPOOONON

PNPONONNN

P

O

N

OPOOON

NPNONN

Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~

Ä

Ä

Ä

~~~~~~^_ K

536. qê~åëéçëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ íÜÉ êçïë ~åÇ Åçäìãåë çÑ ~ ã~íêáñ ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉåíÜÉ åÉï ã~íêáñ áë Å~ääÉÇ íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñK

fÑ ^ áë íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñI áíë íê~åëéçëÉ áë ÇÉåçíÉÇ q^ çêú̂ K

537. qÜÉ ã~íêáñ ^ áë çêíÜçÖçå~ä áÑ f^^ q = K

538. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå

( ) qqq ^_^_ = K




114

539. ^Çàçáåí çÑ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ^~Çà I

áë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë áà` çÑ ^W

[ ]qáà`^~Çà = K

540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó ^íê I áë

ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW

ååOONN ~~~^íê +++= K K

541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí

^Ç Éí I í ÜÉå áí ë áåîÉêëÉ N^− áë ÖáîÉå Äó

^ÇÉí

^~Çà^ N=− K

542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå

( ) NNN ^_^_ −−− = K

543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑóíÜÉ Éèì~íáçå

u^u λ= I ïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå

Mf^ =λ− K

5.5 Systems of Linear Equations

s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI Nñ I KIñ O

oÉ~ä åìãÄÉêëW KI~I~I ÄI~I~I~ NONNNPON




115

aÉíÉêãáå~åíëW aI ñ a I ó a I òa

j~íêáÅÉëW ^I _I u

544.

=+

=+

OOO

NNN

Ç ó Äñ ~

Ç ó Äñ ~I

a

añ ñ = I

a

a ó

ó = E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI

ïÜÉêÉ

NOON

OO

NN

Ä~ Ä~ Ä~

Ä~

a −== I

NOON

OO

NN

ñ ÄÇ ÄÇ ÄÇ

ÄÇa −== I

NOON

OO

NN

ó Ç~Ç~Ç~

Ç~a −== K

545. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW

a

añ ñ = I

a

a ó

ó = K

fÑ Ma= ~åÇ Ma ñ ≠ Eçê Ma ó ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç

ëçäìíáçåKfÑ Maaa ó ñ === I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó

ëçäìíáçåëK

546.

=++

=++

=++

PPPP

OOOO

NNNN

ÇòÅ ó Äñ ~

ÇòÅ ó Äñ ~

ÇòÅ ó Äñ ~

I

a

añ ñ = I

a

a ó

ó = Ia

aò ò= E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI




116

ïÜÉêÉ

PPP

OOO

NNN

Å Ä~

Å Ä~

Å Ä~

a= I

PPP

OOO

NNN

ñ

Å ÄÇ

Å ÄÇ

Å ÄÇ

a = I

PPP

OOO

NNN

ó

ÅÇ~

ÅÇ~

ÅÇ~

a = I

PPP

OOO

NNN

ò

Ç Ä~

Ç Ä~

Ç Ä~

a = K

547. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW

aañ ñ = I

aa ó

ó = Ia

aò ò= K

fÑ Ma= ~åÇ Ma ñ ≠ Eçê Ma ó ≠ çê Maò ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã

Ü~ë åç ëçäìíáçåKfÑ Maaaa ò ó ñ ==== I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó

ã~åó ëçäìíáçåëK

548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áåå råâåçïåëqÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë

=+++

=+++

=+++

ååååOOåNNå

OååOOOONON

NååNONONNN

Äñ ~ñ ~ñ ~

Äñ ~ñ ~ñ ~

Äñ ~ñ ~ñ ~

K

KKKKKKKKKKKK

K

K

Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã

=

⋅

å

O

N

å

O

N

ååOåNå

åOOOON

åNNONN

Ä

Ä

Ä

ñ

ñ

ñ

~~~

~~~

~~~

MM

K

MMM

K

K

I

áKÉK

_u^ =⋅ I




117

ïÜÉêÉ

=

ååOåNå

åOOOON

åNNONN

~~~

~~~

~~~

^

K

MMM

K

K

I

=

å

O

N

ñ

ñ

ñ

u M I

=

å

O

N

Ä

Ä

Ä

_ M K

549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë åå×

_^u N⋅= − I

ïÜÉêÉ N^− áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K



118

Chapter 6

Vectors

sÉÅíçêëW ìr

I î r

I ï r

I êr

I→

^ _ I £sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì

rI î r

I £

råáí îÉÅíçêëW ár I àr I â r

kìää îÉÅíçêW Mr

`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ì

rW NNN wIvIu

`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î r

W OOO wIvIu

pÅ~ä~êëW λ Iµ

aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçë

^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ

6.1 Vector Coordinates

550. råáí sÉÅíçêë

( )MIMINá =r

I

( )MINIM à =r I

( )NIMIMâ =r

I

Nâ àá === rrr

K

551. ( ) ( ) ( ) â òò à ó ó áñ ñ ^_ê MNMNMN

rrrr−+−+−==

→



CHAPTER 6. VECTORS

119

Figure 73.

552. ( ) ( ) ( )O

MN

O

MN

O

MN òò ó ó ñ ñ ^_ê −+−+−==→r

553. fÑ ê^_ r=

→

I íÜÉå ê_^ r−=

→

K

Figure 74.

554. α= Åçëêu r

I

β= Åçëêv r

I

γ= Åçëêw r K



CHAPTER 6. VECTORS

120

Figure 75.

555. fÑ ( ) ( )NNNN wIvIuêwIvIuê rr = I íÜÉå

Nuu = I Nvv = I Nww = K

6.2 Vector Addition

556. î ì ï rrr

+=

Figure 76.



CHAPTER 6. VECTORS

121

Figure 77.

557. åPON ìììì ï r

Krrrr

++++=

Figure 78.

558. `çããìí~íáîÉ i~ïì î î ì

rrrr+=+

559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï( ) ( ) ï î ì ï î ì

rrrrrr++=++

560. ( )ONONON wwIvvIuu î ì +++=+ rr



CHAPTER 6. VECTORS

122

6.3 Vector Subtraction

561. î ì ï

rrr

−= áÑ ì ï î

rrr

=+ K

Figure 79.

Figure 80.

562. ( ) î ì î ì rrrr

−+=−

563. ( )MIMIMMìì ==− rrr

564. MM =r

565. ( )ONONON wwIvvIuu î ì −−−=− rr

I

6.4 Scaling Vectors

566. ì ï rr λ=



CHAPTER 6. VECTORS

123

Figure 81.

567. ì ï rr⋅λ=

568.( )

wIvIuì λλλ=λr

569. λ=λ ìì rr

570. ( ) ììì rrrµ+λ=µ+λ

571. ( ) ( ) ( )ììì rrr

λµ=λµ=µλ

572. ( ) î ì î ì rrrr λ+λ=+λ

6.5 Scalar Product

573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì

r

~åÇ î

r

θ⋅⋅=⋅ Åçë î ì î ì rrrr I

ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ìr

~ å Ç î r

K

CHAPTER 6. VECTORS

124

Figure 82.

574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêãfÑ ( )

NNN

wIvIuì =r

I ( )OOO

wIvIu î =r

I íÜÉå

ONONON wwvvuu î ì ++=⋅ rr K

575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêëfÑ ( )NNN wIvIuì =

rI ( )OOO wIvIu î =r

I íÜÉå

O

O

O

O

O

O

O

N

O

N

O

N

ONONON

wvuwvu

wwvvuuÅçë

++++

++=θ K

576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíóì î î ì

rrrr⋅=⋅

577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) î ì î ì

rrrr⋅λµ=µ⋅λ

578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó

( ) ï ì î ì ï î ì rrrrrrr ⋅+⋅=+⋅

579. M î ì =⋅rr

áÑ ìr

I î r

~êÉ çêíÜçÖçå~ä EO

π=θ FK

580. M î ì >⋅rr

áÑO

M π<θ< K

CHAPTER 6. VECTORS

125

581. M î ì <⋅rr

áÑ π<θ<π

OK

582. î ì î ì rrrr

⋅≤⋅

583. î ì î ì rrrr⋅=⋅ áÑ ì

rI î r

~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK

584. fÑ ( )NNN wIvIuì =r

I íÜÉåO

N

O

N

O

N

OO wvuìììì ++===⋅ rrrr

K

585. Nâ â à àáá =⋅=⋅=⋅ rrrrrr

586. Máâ â à àá =⋅=⋅=⋅ rrrrrr

6.6 Vector Product

587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ìr

~åÇ î r

ï î ì

rrr=× I ïÜÉêÉ

• θ⋅⋅= ëáå î ì ï rrr

I ïÜÉêÉO

M π≤θ≤ X

• ì ï rr⊥ ~åÇ î ï

rr⊥ X

• sÉÅíçêë ìr

I î r

I ï r

Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK



CHAPTER 6. VECTORS

126

Figure 83.

588.

OOO

NNN

wvu

wvu

â àá

î ì ï

rrr

rrr=×=

589.

−=×= OO

NN

OO

NN

OO

NN

vu

vu

Iwu

wu

Iwv

wv

î ì ï

rrr

590. θ⋅⋅=×= ëáå î ì î ìp rrrr

EcáÖKUPF

591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF

î ì

î ìëáå rr

rr

⋅×

=θ

592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó( )ì î î ì

rrrr×−=×

593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) î ì î ì

rrrr×λµ=µ×λ



CHAPTER 6. VECTORS

127

594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó( ) ï ì î ì ï î ì

rrrrrrr×+×=+×

595. M î ì

rrr

=× áÑ ìr

~åÇ î r

~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK

596. Mâ â à àáárrrrrrr

=×=×=×

597. â àárrr

=× I áâ àrrr

=× I àáâ rrr

=×

6.7 Triple Product

598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí[ ] ( ) ( ) ( ) î ì ï ì ï î ï î ì ï î ì

rrrrrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅=

599. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] î ï ìì î ï ï ì î ì ï î î ì ï ï î ì rrrrrrrrrrrrrrrrrr

−=−=−===

600. ( ) [ ] ï î ìâ ï î ìâ rrrrrr=×⋅

601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã

( )

PPP

OOO

NNN

wvu

wvu

wvu

ï î ì =×⋅ rrr

I

ïÜÉêÉ( )NNN wIvIuì =

rI ( )OOO wIvIu î =r

I ( )PPP wIvIu ï =r

K

602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ( ) ï î ìs rrr×⋅=



CHAPTER 6. VECTORS

128

Figure 84.

603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ

( ) ï î ìS

Ns

rrr×⋅=

Figure 85.

604. fÑ ( ) M ï î ì =×⋅ rrr

I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr

I î r

I ~åÇ ï r

~êÉ äáåÉ~êäó

ÇÉéÉåÇÉåí I ëç î ì ï rrrµ+λ= Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êëλ ~åÇµ K

605. fÑ ( ) M ï î ì ≠×⋅ rrr

I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr

I î r

I ~åÇ ï r

~êÉ äáåÉ~êäó

áåÇÉéÉåÇÉåíK



CHAPTER 6. VECTORS

129

606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí( ) ( ) ( ) ï î ì î ï ì ï î ì

rrrrrrrrr⋅−⋅=××



130

Chapter 7

Analytic Geometry

7.1 One-Dimensional Coordinate System

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I M ó I N ó I O ó

oÉ~ä åìãÄÉêW λ aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç

607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë

ONNO ñ ñ ñ ñ ^_Ç −=−==

Figure 86.

608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ

λ+λ+=

Nñ ñ ñ ON

M I`_^`=λ I N−≠λ K

Figure 87.



CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

131

609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí

O

ñ ñ ñ ON

M

+= I N=λ K

7.2 Two-Dimensional Coordinate System

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I M ó I N ó I O ó

mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ϕIê

oÉ~ä åìãÄÉêW λ mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅIaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç^êÉ~W p


( ) ( )ONO

ONO ó ó ñ ñ ^_Ç −+−==

Figure 88.




132


λ+λ+

=N

ñ ñ ñ ON

M Iλ+λ+

=N

ó ó ó ON

M I

`_^`=λ I N−≠λ K

Figure 89.




133

Figure 90.

612. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí

O

ñ ñ

ñ ON

M

+

= I O

ó ó

ó ON

M

+

= I N=λ K

613. `ÉåíêçáÇ EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ jÉÇá~åëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

P

ñ ñ ñ ñ PON

M

++= I

P

ó ó ó ó PON

M

++= I

ïÜÉêÉ ( )NN ó Iñ ^ I ( )OO ó Iñ _ I ~åÇ ( )PP ó Iñ ` ~êÉ îÉêíáÅÉë çÑ

íÜÉ íêá~åÖäÉ ^_` K




134

Figure 91.

614. fåÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^åÖäÉ _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

Å~

Åñ Äñ ~ñ ñ PON

M ++++

= IÅ~

Åó Äó ~ó ó PON

M ++++

= I

ïÜÉêÉ _`~ = I `^ Ä = I ^_Å = K

Figure 92.




135

615. `áêÅìãÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ íÜÉ páÇÉ mÉêéÉåÇáÅìä~ê_áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

O

N ó ó ñ

N ó ó ñ

N ó ó ñ

ñ

PP

OO

NN

POP

OP

OOO

OO

NON

ON

M

++

+

= I

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

O

N ó ñ ñ

N ó ñ ñ

N ó ñ ñ

ó

PP

OO

NN

OP

OPP

OO

OOO

ON

ONN

M

++

+

=

Figure 93.




136

616. lêíÜçÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^äíáíìÇÉëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ ñ ó

N ó ñ ñ ó

N ó ñ ñ ó

ñ

PP

OO

NN

OPONP

OONPO

ONPON

M

+

+

+

= I

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

Nñ ó ó ñ

Nñ ó ó ñ

Nñ ó ó ñ

ó

PP

OO

NN

PONOP

ONPOO

NPOON

M

+

+

+

=

Figure 94.

617. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ

( ) ( )NPNP

NONO

PP

OO

NN

ó ó ñ ñ

ó ó ñ ñ

O

N

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

O

Np

−−

−−±=±=




137

618. ^êÉ~ çÑ ~ nì~Çêáä~íÉê~ä

( ) ( )( ) ( )( )[ ++−++−±= POPOONON ó ó ñ ñ ó ó ñ ñ O

Np

( )( ) ( )( )NQNQQPQP ó ó ñ ñ ó ó ñ ñ +−++−+

Figure 95.

kçíÉW få Ñçêãìä~ë SNTI SNU ïÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëçíÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê ~êÉ~K

619. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë( )NOON

OO

ON ÅçëêêOêê^_Ç ϕ−ϕ−+==




138

Figure 96.

620. `çåîÉêíáåÖ oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë íç mçä~ê `ççêÇáå~íÉëϕ= Åçëê I ϕ= ëáåê ó K

Figure 97.

621. `çåîÉêíáåÖ mçä~ê `ççêÇáå~íÉë íç oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë

OO

ó ñ ê += I

ó

í~å =ϕ K




139

7.3 Straight Line in Plane

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI Mñ I Nñ I M ó I N ó I N~ I O~ I £oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI ^I _I `I N^ I O^ I £

^åÖäÉëW α I β

^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ

kçêã~ä îÉÅíçêW år

mçëáíáçå îÉÅíçêëW êr

I ~r

I Är

622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉM`_ó ^ñ =++

623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉqÜÉ îÉÅíçê ( )_I^å

r áë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ M`_ó ^ñ =++ K

Figure 98.

624. bñéäáÅáí bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí cçêãF

Äâñ ó += K




140

qÜÉ Öê~ÇáÉåí çÑ íÜÉ äáåÉ áë α= í~åâ K

Figure 99.

625. dê~ÇáÉåí çÑ ~ iáåÉ

NO

NO

ñ ñ ó ó í~åâ

−−=α=

Figure 100.




141

626. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ dáîÉå ~ mçáåí ~åÇ íÜÉ dê~ÇáÉåí( )MM ñ ñ â ó ó −+= I

ïÜÉêÉ â áë íÜÉ Öê~ÇáÉåíI ( )MM ó Iñ m áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK

Figure 101.

627. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ qÜ~í m~ëëÉë qÜêçìÖÜ qïç mçáåíë

NO

N

NO

N

ñ ñ

ñ ñ

ó ó

ó ó

−−

=−−

çê

M

N ó ñ

N ó ñ

N ó ñ

OO

NN = K




142

Figure 102.

628. fåíÉêÅÉéí cçêã

N ó

~

ñ =+

Figure 103.




143

629. kçêã~ä cçêãMéëáå ó Åçëñ =−β+β

Figure 104.

630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã

v

ó ó

u

ñ ñ NN −=

−I

ïÜÉêÉ ( )vIu áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ ( )NNN ó Iñ m äáÉë

çå íÜÉ äáåÉK




144

Figure 105.

631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ~=

632. eçêáòçåí~ä iáåÉ Ä ó =

633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ

Äí~êrrr

+= I ïÜÉêÉl áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëIu áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI

~r áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I

Är

áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉIí áë ~ é~ê~ãÉíÉêI

→

= luêr

áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK




145

Figure 106.

634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã

+=

+=

OO

NN

íÄ~ ó

íÄ~ñ I

ïÜÉêÉ( ) ó Iñ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI

( )ON ~I~ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI

( )ON ÄI Ä ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI

í áë ~ é~ê~ãÉíÉêK




146

Figure 107.

635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( ) ÄI~m íç íÜÉ äáåÉ

M`_ó ^ñ =++ áë

OO _^

`_Ä^~

Ç +

++

= K

Figure 108.




147

636. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñ â ó += ~åÇ OO Äñ â ó += ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

ON â â = K

qïç äáåÉë M` ó _ñ ^ NNN =++ ~åÇ M` ó _ñ ^ OOO =++ ~êÉé~ê~ääÉä áÑ

O

N

O

N

_

_

^

^= K

Figure 109.

637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñ â ó += ~åÇ OO Äñ â ó += ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ

N

Oâ

Nâ −= çêI Éèìáî~äÉåíäóI Nâ â ON −= K

qïç äáåÉë M` ó _ñ ^ NNN =++ ~åÇ M` ó _ñ ^ OOO =++ ~êÉ

éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑM__^^ ONON =+ K




148

Figure 110.

638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë

ON

NO

â â N

â â í~å

+−

=ϕ I

OO

OO

ON

ON

ONON

_^_^

__^^Åçë

+⋅+

+=ϕ K




149

Figure 111.

639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉëfÑ íïç äáåÉë M` ó _ñ ^ NNN =++ ~åÇ M` ó _ñ ^ OOO =++ áåíÉê-

ëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë

NOON

NOONM

_^_^

_`_`ñ

−+−

= INOON

NOONM

_^_^

`^`^ ó

−+−

= K

7.4 Circle

o~ÇáìëW o`ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW ( ) ÄI~

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óIN

ñ IN

ó I £

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í




150

640. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF

OOO o ó ñ =+

Figure 112.

641. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( ) ÄI~

( ) ( ) OOOo Ä ó ~ñ =−+−

Figure 113.




151

642. qÜêÉÉ mçáåí cçêã

M

N ó ñ ó ñ

N ó ñ ó ñ

N ó ñ ó ñ

N ó ñ ó ñ

PPOP

OP

OOOO

OO

NNON

ON

OO

=

+

+

+

+

Figure 114.

643. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã

=

=

íëáåo ó

íÅçëo ñ I π≤≤ OíM K

644. dÉåÉê~ä cçêã

Mcbó añ ^ó ^ñ OO =++++ E^ åçåòÉêçI ^cQba OO >+ FK

qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( ) ÄI~ I ïÜÉêÉ

^O

a~ −= I

^O

b Ä −= K

qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë

153

646. ~Oêê ON =+ I

ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( ) ó Iñ m çå

íÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK

Figure 116.

647. OOO Å Ä~ +=

648. bÅÅÉåíêáÅáíó

N~

ÅÉ <=

649. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë

Å~

É~ñ

O

±=±=


=

=

íëáå Ä ó

íÅçë~ñ I π≤≤ OíM K

154


Mcbó añ `ó _ñó ^ñ OO =+++++ I

ïÜÉêÉ M^`Q_O <− K

652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë

Mcbó añ `ó ^ñ OO =++++ I

ïÜÉêÉ M^` > K

653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ ( )É~bQi = I

ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑíÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK

654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ

( ) ~Ä Ä~RKNi −+π= I

( )OO Ä~Oi +π= K

655. ~Äp π=

7.6 Hyperbola

qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~`çåàìÖ~íÉ ~ñáëW ÄcçÅáW ( )MIÅcN − I ( )MIÅcO

aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅbÅÅÉåíêáÅáíóW É^ëóãéíçíÉëW ëI íoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â




155

656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF

N ó

~

ñ O

O

O

O

=−

Figure 117.

657. ~Oêê ON =− I

ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( ) ó Iñ m çå

íÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK




156

Figure 118.

658. bèì~íáçåë çÑ ^ëóãéíçíÉëñ

~

Ä ó ±=

659. OOO Ä~Å +=

660. bÅÅÉåíêáÅáíó

N~

ÅÉ >=

661. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë

Å

~

É

~ñ

O

±=±=

157

662. m~ê~ãÉíêáÅ bèì~íáçåë çÑ íÜÉ oáÖÜí _ê~åÅÜ çÑ ~ eóéÉêÄçä~

=

=

íëáåÜ Ä ó

íÅçëÜ~ñ I π≤≤ OíM K



ïÜÉêÉ M^`Q_O >− K

664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë

Mcbó añ `ó ^ñ OO =++++ I

ïÜÉêÉ M^` < K

665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã

Q

Éñó

O

= I

çê

â

ó = I ïÜÉêÉ Q

É

â

O

= Kfå íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë M= ~åÇ

M ó = K




158

Figure 119.

7.7 Parabola

cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW écçÅìëW csÉêíÉñW ( )MM ó Iñ j

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å

666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF

éñ O ó O =




159

Figure 120.

bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ

O

éñ −= I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë

MIO

éc I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ

( )MIMj K



ïÜÉêÉ M^`Q_O =− K

668. O~ñ ó = I

~O

Né = K





160

O

é ó −= I


OéIMc I

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ( )MIMj K

Figure 121.

669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó -~ñáë

Mcbó añ ^ñ O

=+++ E^I b åçåòÉêçFIÅ Äñ ~ñ ó O ++= I

~O

Né = K


O

é ó ó M −= I





162


( ) ( ) ( )O

NO

O

NO

O

NO òò ó ó ñ ñ ^_Ç −+−+−==

Figure 123.


λ+

λ+=

N

ñ ñ ñ ON

M Iλ+λ+

=N

ó ó ó ON

M Iλ+λ+

=N

òòò ON

M I

ïÜÉêÉ

`_

^`=λ I N−≠λ K




163

Figure 124.

Figure 125.




165

Figure 126.

7.9 Plane

mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Mñ I M ó I Mò I Nñ I N ó I Nò I £

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI N^ I O^ I ~I ÄI ÅI N~ I O~ I λ I éI íI £

kçêã~ä îÉÅíçêëW år

I Når

I Oår

aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçë

aáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç

675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó ^ñ =+++




166

676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉqÜÉ îÉÅíçê ( )`I_I^å

r áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó ^ñ =+++ K

Figure 127.

677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó ^ñ =+++

fÑ M^ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ -~ñáëKfÑ M_ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó -~ñáëKfÑ M` = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëKfÑ Ma = I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK

fÑ M_^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó -éä~åÉKfÑ M`_ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉKfÑ M`^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK




167

678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã( ) ( ) ( ) Mòò` ó ó _ñ ñ ^ MMM =−+−+− I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )MMM òI ó Iñ m äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅ-

íçê ( )`I_I^ áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK

Figure 128.

679. fåíÉêÅÉéí cçêã

N

Å

ò ó

~

ñ =++




168

Figure 129.

680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã

M

òò ó ó ñ ñ

òò ó ó ñ ñ

òò ó ó ñ ñ

POPOPO

PNPNPN

PPP

=

−−−

−−−

−−−

I

çê

M

Nò ó ñ

Nò ó ñ Nò ó ñ

Nò ó ñ

PPP

OOO

NNN = K




169

Figure 130.

681. kçêã~ä cçêã MéÅçëòÅçë ó Åçëñ =−γ+β+α I

ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íçíÜÉ éä~åÉ I ~åÇ αÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë

çÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK




171

Figure 132.

683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉëfÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå ÄóMaò` ó _ñ ^ NNNN =+++ I

Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ I

íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë

OO

OO

OO

ON

ON

ON

ONONON

ON

ON

`_^`_^

``__^^

åå

ååÅçë

++⋅++

++=

⋅⋅

=ϕ rr

rr

K




172

Figure 133.

684. m~ê~ääÉä mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò` ó _ñ ^ NNNN =+++ ~åÇ

Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

O

N

O

N

O

N

`

`

_

_

^

^== K

685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò` ó _ñ ^ NNNN =+++ ~åÇ

Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ

M``__^^ ONONON =++ K

686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNN òI ó Iñ m ~åÇ m~ê~ääÉä qç

íÜÉ sÉÅíçêë ( )NNN ÅI ÄI~ ~åÇ ( )OOO ÅI ÄI~ EcáÖKNPOF




173

M

Å Ä~

Å Ä~

òò ó ó ñ ñ

OOO

NNN

NNN

=

−−−

687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNNN òI ó Iñ m ~åÇ ( )OOOO òI ó Iñ m I

~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê ( )ÅI ÄI~

M

Å Ä~

òò ó ó ñ ñ

òò ó ó ñ ñ

NONONO

NNN

=−−−

−−−

Figure 134.

688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( )NNNN òI ó Iñ m íç íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó ^ñ =+++ áë




174

OOO

NNN

`_^

a`ò_ó ^ñ Ç

++

+++= K

Figure 135.

689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉëfÑ íïç éä~åÉë Maò` ó _ñ ^ NNNN =+++ ~åÇ

Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜí

äáåÉ áë ÖáîÉå Äó

+=

+=+=

Åíòò

Äí ó ó ~íñ ñ

N

N

N

I

çê

Å

òò ó ó

~

ñ ñ NNN −=

−=

−I

ïÜÉêÉ




176

Figure 136.

691. qïç mçáåí cçêã

NO

N

NO

N

NO

N

òò

òò

ó ó

ó ó

ñ ñ

ñ ñ

−

−=

−

−=

−

−

Figure 137.




177


γ+=

β+=

α+=

Åçëíòò

Åçëí ó ó

Åçëíñ ñ

N

N

N

I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )NNNN òI ó Iñ m äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉI

αÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå

îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK

Figure 138.

693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë

OO

OO

OO

ON

ON

ON

ONONON

ON

ON

Å Ä~Å Ä~

ÅÅ Ä Ä~~

ëë

ëëÅçë

++⋅++++=

⋅⋅=ϕ rrrr




178

Figure 139.

694. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

ON ëööë

rr

Içê

O

N

O

N

O

N

Å

Å

Ä

Ä

~

~== K

695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

Mëë ON =⋅

rr

Içê

MÅÅ Ä Ä~~ ONONON =++ K

696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë

qïç äáåÉëN

N

N

N

N

N

Å

òò

Ä

ó ó

~

ñ ñ −=

−=

− ~åÇ




179

O

O

O

O

O

O

Å

òò

Ä

ó ó

~

ñ ñ −=

−=

− áåíÉêëÉÅí áÑ

M

Å Ä~

Å Ä~

òò ó ó ñ ñ

OOO

NNN

NONONO

=

−−−

K

697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ

qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ

òò ó ó

~

ñ ñ NNN −=

−=

− ~åÇ íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó ^ñ =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ

Mëå =⋅ rr Içê

M`Å_Ä^~ =++ K

Figure 140.




180

698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ

qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ

òò ó ó

~

ñ ñ NNN −=

−=

− ~åÇ íÜÉ éä~åÉ

Ma`ò_ó ^ñ =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑëööå rr

I

çê

Å

`_

~

^== K

Figure 141.

7.11 Quadric Surfaces

mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI ò

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI PON â Iâ Iâ I £

181

699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå

MaoòOnó Omñ Oeñó Odòñ OcóòO`ò_ó ^ñ OOO =+++++++++

700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë

`~ëÉ o~åâEÉF o~åâEbF ∆ â ëáÖåë qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ

N P Q M< p~ãÉ oÉ~ä bääáéëçáÇ

O P Q M> p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ

P P Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí

Q P Q M< aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë

R P P aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ

S P P p~ãÉ fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉT O Q M< p~ãÉ bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ

U O Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ

V O P p~ãÉ oÉ~ä bääáéíáÅ ̀ óäáåÇÉêNM O P p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉêNN O P aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉêNO O O aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNP O O p~ãÉ fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNQ N P m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê

NR N O oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉëNS N O fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉëNT N N `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë

eÉêÉ

=

`cd

c_e

de^

É I

=

ao nmo `cd

nc_e

mne^

b I ( )bÇÉí=∆ I

PON â Iâ Iâ ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI

M

ñ `cd

cñ _e

deñ ^

=

−

−

−

K




182

701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF

NÅ

ò ó

~

ñ O

O

O

O

O

O

=++

Figure 142.

702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF

NÅ

ò ó

~

ñ O

O

O

O

O

O

−=++

703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF

NÅ

ò ó

~

ñ O

O

O

O

O

O

=−+




183

Figure 143.

704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF

NÅ

ò ó

~

ñ O

O

O

O

O

O

−=−+

Figure 144.




184

705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF

MÅ

ò ó

~

ñ O

O

O

O

O

O

=−+

Figure 145.

706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF

MÅ

ò ó

~

ñ O

O

O

O

O

O

=++

707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF

Mò ó ~ñ O

O

O

O

=−+




185

Figure 146.

708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF

Mò ó

~

ñ O

O

O

O

=−−

Figure 147.




186

709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF

N ó

~

ñ O

O

O

O

=+

Figure 148.

710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF

N ó

~

ñ O

O

O

O

−=+

711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF

N ó

~

ñ O

O

O

O

=−




187

Figure 149.

712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF

M ó

~

ñ O

O

O

O

=−

713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF

M ó

~

ñ O

O

O

O

=+

714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF

M ó ~

ñ O

O

=−




188

Figure 150.

715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRFN

~

ñ O

O

=

716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF

N~

ñ O

O

−=

717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTF

Mñ O =




189

7.12 Sphere

o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW omçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Nñ I N ó I Nò I £

`ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW ( )ÅI ÄI~

oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j

718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF

OOOO o ò ó ñ =++

Figure 151.

719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( )ÅI ÄI~

( ) ( ) ( ) OOOO o Åò Ä ó ~ñ =−+−+−

720. aá~ãÉíÉê cçêã

( )( ) ( )( ) ( )( ) Mòòòò ó ó ó ó ñ ñ ñ ñ ONONON =−−+−−+−− I




190

ïÜÉêÉ( )NNNN òI ó Iñ m I ( )OOOO òI ó Iñ m ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK

721. cçìê mçáåí cçêã

M

Nò ó ñ ñ ó ñ

Nò ó ñ ñ ó ñ

Nò ó ñ ñ ó ñ

Nò ó ñ ñ ó ñ

Nò ó ñ ò ó ñ

QQQOQ

OQ

OQ

PPPOP

OP

OP

OOOOO

OO

OO

NNNON

ON

ON

OOO

=

++

++

++

++

++


Mjcòbó añ ^ò^ó ^ñ OOO =++++++ E^ áë åçåòÉêçFK

qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( )ÅI ÄI~ I ïÜÉêÉ

Ô

a~ −= I

Ô

b Ä −= I

Ô

cÅ −= K

qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë

Ôj^Qcbao OOOO −++= K



191

Chapter 8

Differential Calculus

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î^êÖìãÉåí EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉFW ñoÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI Çk~íìê~ä åìãÄÉêW å^åÖäÉW α

fåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåW NÑ −

8.1 Functions and Their Graphs

723. bîÉå cìåÅíáçå( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ =−

724. lÇÇ cìåÅíáçå( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ −=−

725. mÉêáçÇáÅ cìåÅíáçå( ) ( )ñ Ñ åqñ Ñ =+

726. fåîÉêëÉ cìåÅíáçå

( )ñ Ñ ó = áë ~åó ÑìåÅíáçåI ( ) ó Ö ñ = çê ( )ñ Ñ ó N−= áë áíë áåîÉêëÉ

ÑìåÅíáçåK



CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

193

Figure 153.

729. nì~Çê~íáÅ cìåÅíáçåOñ ó = I o ∈ K

Figure 154.




194

730. Å Äñ ~ñ ó O ++= I o ∈ K

Figure 155.

731. `ìÄáÅ cìåÅíáçåPñ ó = I o ∈ K




195

Figure 156.

732. ÇÅñ Äñ ~ñ ó OP +++= I o ∈ K




196

Figure 157.

733. mçïÉê cìåÅíáçååñ ó = I kå∈ K




197

Figure 158.

Figure 159.




198

734. pèì~êÉ oççí cìåÅíáçå

ñ ó = I [ )∞∈ IMñ K

Figure 160.

735. bñéçåÉåíá~ä cìåÅíáçåëñ ~ ó = I M~ > I N~ ≠ Iñ É ó = áÑ É~ = I KSTNUOUNUOUQKOÉ =

Figure 161.




199

736. içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåëñ äçÖ ó ~= I ( )∞∈ IMñ I M~ > I N~ ≠ I

ñ äå ó = áÑ É~ = I M> K

Figure 162.

737. eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå

ñ ëáåÜ ó = IO

ÉÉñ ëáåÜ

ñ ñ −−= I o ∈ K




200

Figure 163.

738. eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå

ñ ÜÅçë ó = I OÉÉñ ÜÅçë

ñ ñ −

+= I o ∈ K

Figure 164.




201

739. eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå

ñ í~åÜ ó = Iñ ñ

ñ ñ

ÉÉ

ÉÉ

ñ ÅçëÜ

ñ ëáåÜñ í~åÜ ó

−

−

+−

=== I o ∈ K

Figure 165.

740. eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå

ñ ÜÅçí ó = Iñ ñ

ñ ñ

ÉÉ

ÉÉ

ñ ëáåÜ

ñ ÅçëÜñ ÜÅçí ó

−

−

−+

=== I o ∈ I M≠ K




202

Figure 166.

741. eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå

ñ ÜëÉÅ ó = Iñ ñ ÉÉ

O

ñ ÅçëÜ

Nñ ÜëÉÅ ó

−+=== I o ∈ K

Figure 167.




203

742. eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå

ñ ÅëÅÜ ó = Iñ ñ ÉÉ

O

ñ ëáåÜ

Nñ ÅëÅÜ ó

−−=== I o ∈ I M≠ K

Figure 168.

743. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçåñ ~êÅëáåÜ ó = I o ∈ K




204

Figure 169.

744. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçåñ ~êÅÅçëÜ ó = I [ )∞∈ INñ K

Figure 170.

745. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçåñ ~êÅí~åÜ ó = I ( )NINñ −∈ K




206

Figure 172.

747. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçåñ ~êÅëÉÅÜ ó = I ( ]NIMñ ∈ K




207

Figure 173.

748. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåñ ~êÅÅëÅÜ ó = I o ∈ I M≠ K

Figure 174.




209

759. Nñ í~å

äáãN

Mñ =

−

→

760. ( ) Nñ NäåäáãMñ

=+→

761. Éñ

NNäáã

ñ

ñ =

+

∞→

762.â

ñ

ñ Éñ

â Näáã =

+∞→

763. N~äáã ñ

Mñ =

→

8.3 Definition and Properties of the Derivative

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíW â^åÖäÉW α

764. ( ) ( ) ( )

Çñ

Çó ó äáã

ñ Ñ ñ ñ Ñ äáãñ ó

Mñ Mñ =

∆∆

=∆

−∆+=′

→∆→∆




210

Figure 175.

765. α= í~å

Çñ

Çó

766.( )

Çñ

Çî

Çñ

Çì

Çñ

î ìÇ+=

+

767.( )

Çñ

Çî

Çñ

Çì

Çñ

î ìÇ−=

−

768.( )

Çñ

Çìâ

Çñ

âìÇ=

769. mêçÇìÅí oìäÉ( )

Çñ

Çî ì î

Çñ

Çì

Çñ

î ìÇ⋅+⋅=

⋅




211

770. nìçíáÉåí oìäÉ

O

î

Çñ

Çî ì î

Çñ

Çì

î

ì

Çñ

Ç ⋅−⋅

=

771. `Ü~áå oìäÉ( )( )ñ Ö Ñ ó = I ( )ñ Ö ì = I

Çñ

Çì

Çì

Çó

Çñ

Çó ⋅= K

772. aÉêáî~íáîÉ çÑ fåîÉêëÉ cìåÅíáçå

Çó

Çñ

N

Çñ

Çó = I

ïÜÉêÉ ( ) ó ñ áë íÜÉ áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçå çÑ ( )ñ ó K

773. oÉÅáéêçÅ~ä oìäÉ

O ó Çñ Çó

ó

N

Çñ

Ç−=

774. içÖ~êáíÜãáÅ aáÑÑÉêÉåíá~íáçå( )ñ Ñ ó = I ( )ñ Ñ äå ó äå = I

( ) ( )[ ]ñ Ñ äå

Çñ

Çñ Ñ

Çñ

Çó ⋅= K

8.4 Table of Derivatives

fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI Å

k~íìê~ä åìãÄÉêW å




212

775. ( ) M`Çñ

Ç=

776. ( ) Nñ Çñ Ç =

777. ( ) ~ Ä~ñ Çñ

Ç=+

778. ( ) Ä~ñ Å Äñ ~ñ

Çñ

Ç O +=++

779. ( ) Nåå åñ ñ Çñ

Ç −=

780. ( ) Nå

å åñ

Çñ

Ç+

− −=

781.Oñ

N

ñ

N

Çñ

Ç−=

782. ( )ñ O

Nñ

Çñ

Ç=

783. ( ) å Nåå

ñ åNñ

Çñ Ç −=

784. ( ) N

ñ äåÇñ

Ç=

785. ( )~äå

Nñ äçÖ

Çñ

Ç~ = I M~ > I N~ ≠ K




213

786. ( ) ~äå~~Çñ

Ç ñ ñ = I M~ > I N~ ≠ K

787. ( ) ñ ñ ÉÉÇñ Ç =

788. ( ) ñ Åçëñ ëáåÇñ

Ç=

789. ( ) ñ ëáåñ Åçë

Çñ

Ç−=

790. ( ) ñ ëÉÅÅçë

Nñ í~å

Çñ

Ç O

O ==

791. ( ) ñ ÅëÅëáå

Nñ Åçí

Çñ

Ç O

O −=−=

792. ( ) ñ ëÉÅñ í~åñ ëÉÅÇñ

Ç⋅=

793. ( ) ñ ÅëÅñ Åçíñ ÅëÅÇñ

Ç⋅−=

794. ( ) Oñ N

Nñ ~êÅëáåÇñ

Ç

−=

795. ( )Oñ N

Nñ ~êÅÅçë

Çñ

Ç

−−=

796. ( )O

N

Nñ ~êÅí~å

Çñ

Ç

+

=




214

797. ( )ON

Nñ Åçí~êÅ

Çñ

Ç

+−=

798. ( )Nñ ñ

Nñ ëÉÅ~êÅÇñ Ç

O −=

799. ( )Nñ ñ

Nñ ÅëÅ~êÅ

Çñ

ÇO −

−=

800. ( ) ñ ÅçëÜñ ëáåÜÇñ Ç =

801. ( ) ñ ëáåÜñ ÅçëÜÇñ

Ç=

802. ( ) ñ ëÉÅÜÅçëÜ

Nñ í~åÜ

Çñ

Ç O

O ==

803. ( ) ñ ÅëÅÜëáåÜ

Nñ ÅçíÜ

Çñ

Ç O

O −=−=

804. ( ) ñ í~åÜñ ëÉÅÜñ ëÉÅÜÇñ

Ç⋅−=

805. ( ) ñ ÅçíÜñ ÅëÅÜñ ÅëÅÜÇñ Ç ⋅−=

806. ( )Nñ

Nñ ~êÅëáåÜ

Çñ

ÇO +

=

807. ( ) Nñ

N

ñ ~êÅÅçëÜÇñ

ÇO −=

215

808. ( )ON

Nñ ~êÅí~åÜ

Çñ

Ç

−= I Nñ < K

809. ( )N

Nñ ~êÅÅçíÜÇñ Ç

O −−= I Nñ > K

810. ( )Çñ

Çî ìäåì

Çñ

Çì îìì

Çñ

Ç î N î î ⋅+⋅= −

8.5 Higher Order Derivatives

cìåÅíáçåëW ÑI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñk~íìê~ä åìãÄÉêW å

811. pÉÅçåÇ ÇÉêáî~íáîÉ

( )O

O

Çñ

ó Ç

Çñ

Çó

Çñ

Ç

Çñ

Çó Ñ Ñ =

=′

=′′=′′

812. eáÖÜÉê-lêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉ

( ) ( ) ( )( ) ′=== −Nåå

å

åå Ñ ó

Çñ

ó ÇÑ

813. ( )( ) ( ) ( )ååå î ì î ì +=+

814. ( )( ) ( ) ( )ååå î ì î ì −=−

815. iÉáÄåáíò∞ë cçêãìä~ë

( ) î ì î ìO î ììî ′′+′′+′′=′′




216

( ) î ì î ìP î ìP î ììî ′′′+′′′+′′′+′′′=′′′

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )åOåNååå ìî î ìON

Nåå î åì î ììî ++′′

⋅−

+′+= −−K

816. ( )( )

( )åãåã ñ

>åã

>ãñ −

−=

817. ( )( )>åñ

åå =

818. ( )( ) ( ) ( )~äå

>NåNñ äçÖ å

Nå

å~ −−=

−

819. ( )( ) ( ) ( )å

Nåå >NåN

ñ äå −−

=−

820. ( )( )~äå~~ åñ åñ =

821. ( )( ) ñ åñ ÉÉ =

822. ( )( )~äå~ã~ åãñ ååãñ =

823. ( )( )

π+=

O

åñ ëáåñ ëáå

å

824. ( )( )

π

+=O

åñ Åçëñ Åçë

å




217

8.6 Applications of Derivative

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ómçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅíW ësÉäçÅáíóW î^ÅÅÉäÉê~íáçåW ïfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñqáãÉW ík~íìê~ä åìãÄÉêW å

825. sÉäçÅáíó ~åÇ ^ÅÅÉäÉê~íáçå( )íÑ ë = áë íÜÉ éçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅí êÉä~íáîÉ íç ~ ÑáñÉÇ

ÅççêÇáå~íÉ ëóëíÉã ~í ~ íáãÉ íI( )íÑ ë î ′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë îÉäçÅáíó çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI

( )íÑ ë î ï ′′=′′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ

íÜÉ çÄàÉÅíK

826. q~åÖÉåí iáåÉ( )( )MMM ñ ñ ñ Ñ ó ó −′=−

218

Figure 176.

827. kçêã~ä iáåÉ

( )( )M

M

M ñ ñ ñ Ñ

N ó ó −

′−=− EcáÖ NTSF

828. fåÅêÉ~ëáåÖ ~åÇ aÉÅêÉ~ëáåÖ cìåÅíáçåëKfÑ ( ) Mñ Ñ M >′ I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI Nñ ñ < I

ñ ñ O < FIfÑ ( ) Mñ Ñ M <′ I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI

ON ñ ñ ñ << FI

fÑ ( )Mñ Ñ ′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

219

Figure 177.

829. içÅ~ä ÉñíêÉã~^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í Nñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ

íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Nñ ëìÅÜ íÜ~í

( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ N ≥ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK

^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ

íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Oñ ëìÅÜ íÜ~í

( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ O ≤ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK

830. `êáíáÅ~ä mçáåíë

^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê( )Mñ Ñ ′ áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå∞í ÉñáëíK

831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä

( ]Nñ I~ ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ

áåíÉêî~ä [ ) ÄIñ N I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í Nñ

EcáÖKNTTFK

220

832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä

( ]Oñ I~ ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ

áåíÉêî~ä [ ) ÄIñ O I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ K

EcáÖKNTTFK

833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ( ) Mñ Ñ N =′ ~åÇ ( ) Mñ Ñ N <′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã

~í Nñ K

fÑ ( ) Mñ Ñ O =′ ~åÇ ( ) Mñ Ñ O >′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã

~í Oñ K EcáÖKNTTF

834. `çåÅ~îáíóKÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñ Ñ ′ áë

áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ EcáÖKNTTI ñ ñ P < FK

ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñ Ñ ′ áë

ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖKNTTI Pñ ñ < FK

835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóKfÑ ( ) Mñ Ñ M >′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ K

fÑ ( ) Mñ Ñ M <′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ K

fÑ ( )ñ Ñ ′′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíëfÑ ( )Pñ Ñ ′ Éñáëíë ~åÇ ( )ñ Ñ ′′ ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í Pñ ñ = I íÜÉå

íÜÉ éçáåí ( )( )PP ñ Ñ Iñ áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ

( )ñ Ñ K fÑ ( )Pñ Ñ ′′ Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå ( ) Mñ Ñ P =′′

EcáÖKNTTFK

837. i∞eçéáí~ä∞ë oìäÉ

( )( )

( )( )ñ Ö

ñ Ñ äáã

ñ Ö

ñ Ñ äáã

Åñ Åñ ′′

=→→

áÑ ( ) ( )

∞==

→→

Mñ Ö äáãñ Ñ äáã

Åñ Åñ K




221

8.7 Differential

cìåÅíáçåëW ÑI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñaÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñ ó ′ I ( )ñ Ñ ′

oÉ~ä Åçåëí~åíW `aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ÑìåÅíáçå ( )ñ Ñ ó = W Çó

aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ñW Çñpã~ää ÅÜ~åÖÉ áå ñW ∆ pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå óW ó ∆

838. Çñ ó Çó ′=

839. ( ) ( ) ( ) ñ ñ Ñ ñ Ñ ñ ñ Ñ ∆′+=∆+

Figure 178.




222

840. pã~ää `Ü~åÖÉ áå ó( ) ( )ñ Ñ ñ ñ Ñ ó −∆+=∆

841. ( ) Çî Çì î ìÇ +=+

842. ( ) Çî Çì î ìÇ −=−

843. ( ) `Çì`ìÇ =

844. ( ) ìÇî îÇììî Ç +=

845.O î

ìÇî îÇì

î

ìÇ

−=

8.8 Multivariable Functions

cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( ) ó Iñ ò I ( ) ó Iñ Ñ I ( ) ó Iñ Ö I ( ) ó Iñ Ü

^êÖìãÉåíëW ñI óI ípã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ∆ I ó ∆ I ò∆ K

846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë

qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ

ñ Ñ Ñ

=∂∂

E~äëç ñ òò

=∂∂

FI

qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó

ó Ñ ó

Ñ =

∂∂

E~äëç ó ò ó

ò=

∂∂

FK




223

847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë

ññ O

O

Ñ ñ

Ñ

ñ

Ñ

ñ =

∂∂

=

∂∂

∂∂

I

óó O

O

Ñ ó

Ñ

ó

Ñ

ó =

∂∂=

∂∂

∂∂

I

ñó

O

Ñ ñ ó

Ñ

ñ

Ñ

ó =

∂∂∂

=

∂∂

∂∂

I

óñ

O

Ñ ó ñ

Ñ

ó

Ñ

ñ =

∂∂∂

=

∂∂

∂∂

K

fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå

ó ñ

Ñ

ñ ó

Ñ OO

∂∂∂

=∂∂

∂K

848. `Ü~áå oìäÉëfÑ ( ) ( )( ) ó Iñ ÜÖ ó Iñ Ñ = EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå

( )( ) Ü ó Iñ ÜÖ Ñ ∂∂′=∂∂ I ( )( ) ó Ü ó Iñ ÜÖ ó Ñ ∂∂′=∂∂ K

fÑ ( ) ( ) ( )( )í ó Iíñ Ñ íÜ = I íÜÉå ( )Çí

Çó

ó

Ñ

Çí

Çñ

ñ

Ñ íÜ

∂∂

+∂∂

=′ K

fÑ ( ) ( )( ) î Iì ó I î Iìñ Ñ ò = I íÜÉå

ì ó

ó Ñ

ìñ

ñ Ñ

ìò

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ I

î ó

ó Ñ

î ñ

ñ Ñ

î ò

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ K

849. pã~ää `Ü~åÖÉë

ó ó

Ñ ñ

ñ

Ñ ò ∆

∂∂

+∆∂∂

≈∆

224

850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~( ) ó Iñ Ñ Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ( )MM ó Iñ áÑ ( ) ( )MM ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ ≤

Ñçê ~ää ( ) ó Iñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM ó Iñ K

( ) ó Iñ Ñ Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ( )MM ó Iñ áÑ ( ) ( )MM ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ ≥

Ñçê ~ää ( ) ó Iñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM ó Iñ K

851. pí~íáçå~êó mçáåíë

M ó

Ñ

ñ

Ñ =

∂∂

=∂∂

K

içÅ~ä ã~ñáã~ ~åÇ äçÅ~ä ãáåáã~ çÅÅìê ~í ëí~íáçå~êó éçáåíëK

852. p~ÇÇäÉ mçáåí^ ëí~íáçå~êó éçáåí ïÜáÅÜ áë åÉáíÜÉê ~ äçÅ~ä ã~ñáãìãåçê ~ äçÅ~ä ãáåáãìã

853. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê pí~íáçå~êó mçáåíë

iÉí ( )MM ó Iñ ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E M ó Ñ

ñ Ñ =∂∂=∂∂

FK

( ) ( )

( ) ( )MM óó MM óñ

MMñó MMññ

ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ

ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ a = K

fÑ Ma > I ( ) M ó Iñ Ñ MMññ > I ( )MM ó Iñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K

fÑ Ma > I ( ) M ó Iñ Ñ MMññ < I ( )MM ó Iñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K

fÑ Ma < I ( )MM ó Iñ áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK

fÑ Ma = I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

854. q~åÖÉåí mä~åÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( ) ó Iñ Ñ ò =

~í ( )MMM òI ó Iñ áë

( )( ) ( )( )MMM ó MMMñ M

ó ó ó Iñ Ñ ñ ñ ó Iñ Ñ òò −+−=− K




225

855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( ) ó Iñ Ñ ò = ~í

( )MMM òI ó Iñ áë

( ) ( ) Nòò

ó Iñ Ñ ó ó

ó Iñ Ñ ñ ñ M

MM ó

M

MMñ

M

−−=−=− K

8.9 Differential Operators

råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW ár

I àr

I â r

pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW ( )òI ó Iñ Ñ I ( )åON ñ IIñ Iñ ì K

dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW ìÖê~Ç I ì∇

aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉWä

Ñ

∂∂

sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW ( )o InImcr

aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÇáî r I cr⋅∇

`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÅìêär

I cr

×∇

i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW O∇

856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå

∂∂∂∂∂∂=∇=

òÑ I

ó Ñ I

ñ Ñ Ñ Ñ Öê~Ç I

∂∂

∂∂

∂∂

=∇=åON ñ

ìII

ñ

ìI

ñ

ìììÖê~Ç K K

857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ

γ∂∂

+β∂∂

+α∂∂

=∂∂

Åçëò

Ñ Åçë ó

Ñ Åçëñ

Ñ

ä

Ñ I




226

ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê

( )γβα ÅçëIÅçëIÅçëär

I NÅçëÅçëÅçë OOO =γ+β+α K

858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ

ò

o

ó

n

ñ

mccÇáî

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇= rr

859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ

o nmñ ñ ñ

â àá

ccÅìêä ∂

∂

∂

∂

∂

∂

=×∇=

rrr

rr

â ó

m

ñ

n à

ñ

o

ò

má

ò

n

ó

o rrr

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=

860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê

O

O

O

O

O

OO

òÑ

ó Ñ

ñ Ñ Ñ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

861. ( ) ( ) MccÅìêäÇáî ≡×∇⋅∇= rr

862. ( ) ( ) MÑ Ñ Öê~ÇÅìêä ≡∇×∇=

863. ( ) ( ) Ñ Ñ Ñ Öê~ÇÇáî O∇=∇⋅∇=

864. ( ) ( ) ( ) ccccÇáî Öê~ÇcÅìêäÅìêä OO rrrrr

∇−⋅∇∇=∇−=



227

Chapter 9

Integral Calculus

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ

fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫ Çñ ñ Ñ I ( )∫ Çñ ñ Ö I £aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñ ó ′ I ( )ñ Ñ ′ I ( )ñ c′ I £

oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI âk~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à

9.1 Indefinite Integral

865. ( ) ( ) `ñ cÇñ ñ Ñ +=∫ áÑ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ K

866. ( )( ) ( )ñ Ñ Çñ ñ Ñ =′∫

867. ( ) ( )

∫∫ = Çñ ñ Ñ â Çñ ñ âÑ

868. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ

869. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=− Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ

870. ( ) ( ) `~ñ c~

N

Çñ ~ñ Ñ +=∫



CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

228

871. ( ) ( ) ` Ä~ñ c~

NÇñ Ä~ñ Ñ ++=+∫

872. ( ) ( ) ( ) `ñ Ñ ONÇñ ñ Ñ ñ Ñ O +=′∫

873.( )( )

( ) `ñ Ñ äåÇñ ñ Ñ

ñ Ñ +=

′∫

874. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′= ÇííìíìÑ Çñ ñ Ñ áÑ ( )íìñ = K

875. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë

∫∫ −= îÇììî ìÇî I

ïÜÉêÉ ( )ñ ì I ( )ñ î ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK

9.2 Integrals of Rational Functions

876. `~ñ ~Çñ +=∫

877. `O

ñ ñÇñ

O

+=∫

878. `P

ñ Çñ ñ

PO +=∫

879. `

Né

ñ Çñ ñ

Néé +

+

=+

∫ I Né −≠ K




229

880. ( ) ( )

( ) `

Nå~

Ä~ñ Çñ Ä~ñ

Nåå +

++

=++

∫ I Nå −≠ K

881. `ñ äåÇñ +=∫

882. ` Ä~ñ äå~

N

~ñ

Çñ ++=

+∫

883. `ÇÅñ äåÅ

~Ç ÄÅñ

Å

~Çñ

ÇÅñ

Ä~ñ

O ++

−+=

+

+

∫

884.( )( )

`~ñ

Äñ äå

Ä~

N

Äñ ~ñ

Çñ +

++

−=

++∫ I Ä~ ≠ K

885. ( ) ` Äñ ~äå~ Äñ ~N

ñ ~

ñÇñ O

++−+=+∫

886. ( ) ( ) ` Äñ ~äå~ Äñ ~~O Äñ ~O

N

Ä

N

Äñ ~

Çñ ñ OO

P

O

+

+++−+=

+∫

887.( )

`ñ

Äñ ~äå

~

N

Äñ ~ñ

Çñ +

+=

+∫

888.( )

`ñ

Äñ ~äå

~

Ä

~ñ

N

Äñ ~ñ

Çñ OO

+++−=+∫

889.( )

` Äñ ~

~ Äñ ~äå

Ä

N

Äñ ~

ñÇñ OO

+

+++=

+∫




230

890.( )

` Äñ ~

~ Äñ ~äå~O Äñ ~

Ä

N

Äñ ~

Çñ ñ O

PO

O

+

+−+−+=

+∫

891.( ) ( )

`ñ

Äñ ~äå

~

N

Äñ ~~

N

Äñ ~ñ

Çñ OO

++

++

=+∫

892. `Nñ

Nñ äå

O

N

Nñ

Çñ O

++−

=−∫

893. `ñ Nñ Näå

ON

ñ NÇñ O +−+=−∫

894. `ñ ~

ñ ~äå

~O

N

ñ ~

Çñ OO

+−+

=−∫

895. `~ñ

~ñ äå

~O

N

~ñ

Çñ

OO

++

−=

−∫

896. `ñ í~åN

Çñ N

O +=

+−∫

897. `~

ñ í~å

~

N

~

Çñ N

OO +=

+−∫

898. ( ) `~ñ äåO

N

~

ñÇñ OO

OO ++=

+∫

899. `~

Äñ ~êÅí~å

~Ä

N

Äñ ~

Çñ O

+

=

+∫ I M~Ä > K

231

900. ` Ä

~ñ äå

ÄO

N

Äñ ~

ñÇñ O

O ++=

+∫

901.( )

` Äñ ~

ñ äå

~O

N

Äñ ~ñ

Çñ O

O

O +

+=

+∫

902. ` Äñ ~

Äñ ~äå

~ÄO

N

ñ Ä~

Çñ OOO

+−+

=−∫

903. `~ÅQ Ä Ä~ñ O~ÅQ Ä Ä~ñ Oäå

~ÅQ ÄN

Å Äñ ~ñ Çñ

O

O

OO +

−++−−+

−=

++∫ I

M~ÅQ ÄO >− K

904. ` Ä~ÅQ

Ä~ñ O~êÅí~å

Ä~ÅQ

O

Å Äñ ~ñ

Çñ OOO

+−

+

−=

++∫ I

M~ÅQ Ä

O

<− K

9.3 Integrals of Irrational Functions

905. ` Ä~ñ ~

O

Ä~ñ

Çñ ++=

+∫

906. ( ) ` Ä~ñ ~P

OÇñ Ä~ñ O

P++=+∫

907.( )

` Ä~ñ ~P

ÄO~ñ O

Ä~ñ

ñÇñ O

++−

=+∫

233

916. `~

Äñ ~~êÅí~å

~

O

Äñ ~ñ

Çñ +

−+

−=

+∫ I M~ < K

917. ( )( ) ( ) ` Ä~

Äñ ~êÅëáå Ä~ñ Äñ ~Çñ

ñ Ä

ñ ~+

+++++−=

+−∫

918. ( )( ) ( ) ` Ä~

ñ Ä~êÅëáå Ä~ñ Äñ ~Çñ

ñ Ä

ñ ~+

+−

+−−+−=−+

∫

919. `ñ ~êÅëáåñ NÇñ ñ Nñ N O ++−−=−+∫

920.( )( )

`~ Ä

~ñ ~êÅëáåO

~ Ä~ñ

Çñ +

−−

=−−∫

921. +−+−

=−+

∫ OO Åñ Äñ ~

ÅQ

ÄÅñ OÇñ Åñ Äñ ~

`~ÅQ Ä

ÄÅñ O~êÅëáå

ÅU

~ÅQ ÄOP

O

++

−−+

922. ( ) `Å Äñ ~ñ ~O Ä~ñ Oäå~

N

Å Äñ ~ñ

Çñ O

O+++++=

++∫ I

M~ > K

923. `~ÅQ Ä~Q

Ä~ñ O~êÅëáå

~

N

Å Äñ ~ñ

Çñ O

O+−

+−=

++∫ I M~ < K

924. `~ñ ñ äåO

~~ñ

O

ñ Çñ ~ñ OO

OOOOO +++++=+∫




235

935. `~

~êÅëáå~~ñ Çñ ~ñ OO

OO

++−=−

∫

936. `~ñ ñ äå~ñ

Çñ ~ñ OO

OO

O

OO

+−++−

−=−

∫

937. `~ñ ñ äå~ñ

Çñ OO

OO+−+=

−∫

938. `~ñ ~ñ

ñÇñ OOOO +−=−∫

939. `~ñ ñ äåO

~~ñ

O

ñ

~ñ

Çñ ñ OOO

OO

OO

O

+−++−=−

∫

940. `ñ

~~êÅëáå

~

N

~ñ ñ

Çñ

OO

+−=−∫

941.( )

`~ñ

~ñ

~

N

~ñ ~ñ

Çñ OO

++−

=−+

∫

942.

( )

`

~ñ

~ñ

~

N

~ñ ~ñ

Çñ OO

+

−

+−=

−−∫

943. `ñ ~

~ñ

~ñ ñ

Çñ O

OO

OOO+

−=

−∫

944.

( )

`~ñ ~

ñ

~ñ

Çñ OOOO

POO

+−

−=

−

∫




236

945. ( ) ( ) +−−−=−∫ OOOOOP

OO ~ñ ~Rñ OU

ñ Çñ ~ñ

`~ñ ñ äåU

~P OOQ

+−++

946. `~

ñ ~êÅëáå

O

~ñ ~

O

ñ Çñ ñ ~

OOOOO ++−=−∫

947. ( ) `ñ ~P

NÇñ ñ ~ñ O

POOOO +−−=−∫

948. ( ) `~

ñ ~êÅëáå

U

~ñ ~~ñ O

U

ñ Çñ ñ ~ñ

QOOOOOOO ++−−=−∫

949. `ñ ~~

ñ äå~ñ ~Çñ

ñ

ñ ~OO

OOOO

+−+

+−=−

∫

950. `~

ñ ~êÅëáå

ñ ~Çñ

ñ ~ OO

O

OO

+−−

−=−

∫

951. `ñ ~êÅëáåñ N

Çñ O

+=−

∫

952. `~ñ ëáå

ñ ~Çñ

OO+=

−∫

953. `ñ ~ñ ~

ñÇñ OO

OO+−−=

−∫

954. `~

ñ

~êÅëáåO

~

ñ ~O

ñ

ñ ~

Çñ ñ OOO

OO

O

++−−=−∫

237

955.( )

`ñ ~

ñ ~

O

N

ñ ~~ñ

Çñ OO

++−

−=−+

∫

956.( )

`ñ ~

ñ ~

O

N

ñ ~~ñ

Çñ OO

+−+

−=−−

∫

957.( ) ( )

` Äñ ~

~ Äñ ~êÅëáå

~ Ä

N

ñ ~ Äñ

Çñ O

OOOO+

++

−=

−+∫ I ~ Ä > K

958.( )

I` Äñ ~ñ ~ Ä~

Äñ äå

Ä~

N

ñ ~ Äñ

Çñ OOOOOOOOO

+++−−

+

−=

−+∫

~ Ä < K

959. `ñ ~

ñ ~

ñ ~ñ

Çñ O

OO

OOO+

−−=

−∫

960. ( ) ( ) `~

ñ ~êÅëáå

U

~Pñ ~ñ O~R

U

ñ Çñ ñ ~

QOOOOO

POO ++−−=−∫

961.( )

`ñ ~~

ñ

ñ ~

Çñ OOOO

POO

+−

=−

∫

9.4 Integrals of Trigonometric Functions

962. `ñ ÅçëñÇñ ëáå +−=∫

963. `ñ ëáåñÇñ Åçë +=∫




238

964. `ñ OëáåQ

N

O

ñ Çñ ñ ëáåO +−=∫

965. `ñ OëáåQN

Oñ Çñ ñ ÅçëO ++=∫

966. `ñ ÅçëQ

Pñ PÅçë

NO

N`ñ Åçëñ Åçë

P

NÇñ ñ ëáå PP +−=+−=∫

967. `ñ ëáå

Q

Pñ Pëáå

NO

N`ñ ëáå

P

Nñ ëáåÇñ ñ Åçë PP ++=+−=

∫

968. `O

ñ í~åäåÇñ ñ ÅëÅ

ñ ëáå

Çñ +== ∫∫

969. `QO

ñ í~åäåÇñ ñ ëÉÅ

ñ Åçë

Çñ +

π

+== ∫∫

970. `ñ ÅçíÇñ ñ ÅëÅëáå

Çñ O

O +−== ∫∫

971. `ñ í~åÇñ ñ ëÉÅÅçë

Çñ O

O +== ∫∫

972. `Oñ í~åäå

ON

ñ ëáåOñ ÅçëÇñ ñ ÅëÅ

ñ ëáåÇñ

O

P

P ++−== ∫∫

973. `QO

ñ í~åäå

O

N

ñ ÅçëO

ñ ëáåÇñ ñ ëÉÅ

ñ Åçë

Çñ O

P

P +

π

++== ∫∫

974. `ñ OÅçëQ

N

Çñ ñ Åçëñ ëáå +−=∫




239

975. `ñ ëáåP

NÇñ ñ Åçëñ ëáå PO +=∫

976. `ñ ÅçëPNÇñ ñ Åçëñ ëáå PO +−=∫

977. `ñ QëáåPO

N

U

ñ Çñ ñ Åçëñ ëáå OO +−=∫

978. `ñ ÅçëäåñÇñ í~å +−=∫

979. `ñ ëÉÅ`Åçë

NÇñ

Åçë

ñ ëáåO

+=+=∫

980. `ñ ëáåQO

ñ í~åäåÇñ

ñ Åçë

ñ ëáåO

+−

π

+=∫

981. `ñ ñ í~åÇñ ñ í~åO +−=∫

982. `ñ ëáåäåñÇñ Åçí +=∫

983. `ñ ÅëÅ`ëáå

NÇñ

ëáå

ñ ÅçëO

+−=+−=∫

984. `ñ ÅçëO

ñ í~åäåÇñ

ñ ëáå

ñ ÅçëO

++=∫

985. `ñ ñ ÅçíÇñ ñ ÅçíO +−−=∫

986. `ñ í~åäåëáåÅçë

Çñ

+=∫




240

987. `QO

ñ í~åäå

ñ ëáå

N

ñ Åçëñ ëáå

Çñ O

+

π

++−=∫

988. `O

ñ í~åäå

ñ Åçë

N

ñ Åçëñ ëáå

Çñ O

++=∫

989. `ñ Åçíñ í~åÅçëëáå

Çñ OO

+−=∫

990.

( )

( )

( )

( ) `åãO

ñ åãëáå

åãO

ñ åãëáå

Çñ åñ ëáåãñ ëáå +−

−

++

+

−=∫ IOO åã ≠ K

991.( )( )

( )( )

`åãO

ñ åãÅçë

åãO

ñ åãÅçëÇñ åñ Åçëãñ ëáå +

−−

−++

−=∫ I

OO åã ≠ K

992.( )( )

( )( )

`åãO

ñ åãëáå

åãO

ñ åãëáåÇñ åñ Åçëãñ Åçë +

−−

+++

=∫ I

OO åã ≠ K

993. `ñ ëÉÅñÇñ í~åñ ëÉÅ +=∫

994. `ñ ÅëÅñÇñ Åçíñ ÅëÅ +−=∫

995. `Nå

ñ ÅçëÇñ ñ Åçëñ ëáå

Nåå +

+−=

+

∫

996. `Nå

ñ ëáåÇñ ñ Åçëñ ëáå

Nåå +

+=

+

∫




241

997. `ñ Nñ ~êÅëáåñ Çñ ñ ~êÅëáå O +−+=∫

998. `ñ Nñ ~êÅÅçëñ Çñ ñ ~êÅÅçë O

+−−=∫

999. ( ) `Nñ äåO

Nñ ~êÅí~åñ Çñ ñ ~êÅí~å O ++−=∫

1000. ( ) `Nñ äåO

Nñ Åçí~êÅñ Çñ ñ Åçí~êÅ O +++=∫

9.5 Integrals of Hyperbolic Functions

1001. `ñ ÅçëÜñÇñ ëáåÜ +=∫

1002. `ñ ëáåÜñÇñ ÅçëÜ +=∫

1003. `ñ ÅçëÜäåÇñ ñ í~åÜ +=∫

1004. `ñ ëáåÜäåÇñ ñ ÅçíÜ +=∫

1005. `ñ í~åÜñÇñ ëÉÅÜO +=∫

1006. `ñ ÅçíÜñÇñ ÅëÅÜO +−=∫

1007. `ñ ëÉÅÜñÇñ í~åÜñ ëÉÅÜ +−=∫




242

1008. `ñ ÅëÅÜñÇñ ÅçíÜñ ÅëÅÜ +−=∫

9.6 Integrals of Exponential and LogarithmicFunctions

1009. `ÉÇñ É ñ ñ +=∫

1010. `~äå

~Çñ ~

ñ ñ +=∫

1011. `~

ÉÇñ É

~ñ ~ñ +=∫

1012. ( ) `N~ñ ~ÉÇñ ñÉ O

~ñ

~ñ +−=∫

1013. `ñ ñ äåñ Çñ ñ äå +−=∫

1014. `ñ äåäåäå

Çñ +=∫

1015.( )

`Nå

N

Nå

ñ äåñ Çñ ñ äåñ

O

Nåå +

+−

+= +∫

1016. `É~

Äñ Åçë Ä Äñ ëáå~Çñ Äñ ëáåÉ ~ñ

OO

~ñ ++−

=∫




243

1017. `É~

Äñ ëáå Ä Äñ Åçë~Çñ Äñ ÅçëÉ ~ñ

OO

~ñ +++

=∫

9.7 Reduction Formulas

1018. ∫∫ −−= Çñ Éñ ã

åÉñ

ã

NÇñ Éñ ãñ Nåãñ åãñ å

1019.( ) ∫∫ −− −

+−

−= Çñ ñ

É

Nå

ã

ñ Nå

ÉÇñ

ñ

ÉNå

ãñ

Nå

ãñ

å

ãñ

I Nå ≠ K

1020. ∫∫ −− −−= ñÇñ ëáåÜ

å

Nåñ ÅçëÜñ ëáåÜ

å

NñÇñ ëáåÜ OåNåå

1021. ( ) ∫∫ −− −−

−−−= ñ ëáåÜ

Çñ

Nå

Oå

ñ ëáåÜNå

ñ ÅçëÜ

ñ ëáåÜ

Çñ OåNåå I Nå ≠ K

1022. ∫∫ −− −+= ñÇñ ÅçëÜ

å

Nåñ ÅçëÜñ ÅçëÜñ ëáåÜ

å

NñÇñ ÅçëÜ OåNåå

1023.( ) ∫∫ −− −

−+

−−=

ñ ÅçëÜ

Çñ

Nå

Oå

ñ ÅçëÜNå

ñ ëáåÜ

ñ ÅçëÜ

Çñ OåNåå

I Nå ≠ K

1024.ãå

ñ ÅçëÜñ ëáåÜñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜ

NãNåãå

+=

−+

∫

∫ −

+−

+ ñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜãå

Nã Oãå

1025.ãå

ñ ÅçëÜñ ëáåÜñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜ

NãNå

ãå

+=

+−

∫




244

∫ −

+−

− ñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜãå

Nå ãOå

1026. ∫∫ −− +−

−= ñÇñ í~åÜñ í~åÜNå

NñÇñ í~åÜ OåNåå I Nå ≠ K

1027. ∫∫ −− +−

−= ñÇñ ÅçíÜñ ÅçíÜNå

NñÇñ ÅçíÜ OåNåå I Nå ≠ K

1028.

∫∫

−−

−

−+

−= ñÇñ ëÉÅÜ

Nå

Oå

Nå

ñ í~åÜñ ëÉÅÜñÇñ ëÉÅÜ Oå

Oåå I Nå ≠ K

1029. ∫∫ −− −+−= ñÇñ ëáå

å

Nåñ Åçëñ ëáå

å

NñÇñ ëáå OåNåå

1030.( ) ∫∫ −− −

−+

−−=

ñ ëáå

Çñ

Nå

Oå

ñ ëáåNå

ñ Åçë

ñ ëáå

Çñ OåNåå

I Nå ≠ K

1031. ∫∫ −− −+= ñÇñ Åçë

å

Nåñ Åçëñ ëáå

å

NñÇñ Åçë OåNåå

1032.( ) ∫∫ −− −

−+

−=

ñ Åçë

Çñ

Nå

Oå

ñ ÅçëNå

ñ ëáå

ñ Åçë

Çñ OåNåå

I Nå ≠ K

1033.ãå

ñ Åçëñ ëáåñÇñ Åçëñ ëáåNãNå

ãå

+=

−+

∫

∫ −

+−

+ ñÇñ Åçëñ ëáåãå

Nã Oãå

1034.ãå

ñ Åçëñ ëáåñÇñ Åçëñ ëáå

NãNåãå

+−=

+−

∫




245

∫ −

+−

+ ñÇñ Åçëñ ëáåãå

Nå ãOå

1035. ∫∫ −− −−

= ñÇñ í~åñ í~åNå

NñÇñ í~å OåNåå I Nå ≠ K

1036. ∫∫ −− −−

−= ñÇñ Åçíñ ÅçíNå

NñÇñ Åçí OåNåå I Nå ≠ K

1037.

∫∫

−−

−

−+

−= ñÇñ ëÉÅ

Nå

Oå

Nå

ñ í~åñ ëÉÅñÇñ ëÉÅ Oå

Oåå I Nå ≠ K

1038. ∫∫ −−

−−

+−

−= ñÇñ ÅëÅNå

Oå

Nå

ñ Åçíñ ÅëÅñÇñ ÅëÅ Oå

Oåå I Nå ≠ K

1039. ∫∫ −+

+−

+= ñÇñ äåñ

Nå

ã

Nå

ñ äåñ ñÇñ äåñ Nãå

ãNåãå

1040.( ) ∫∫

−

− −+

−−= Çñ

ñ

ñ äå

Nå

ã

ñ Nå

ñ äåÇñ

ñ

ñ äåå

Nã

Nå

ã

å

ã

I Nå ≠ K

1041. ∫∫ −−= ñÇñ äååñ äåñ ñÇñ äå Nååå

1042. ∫∫ −

−= ñÇñ ÅçëÜñ åñ ÅçëÜñ ñÇñ ëáåÜñ

Nååå

1043. ∫∫ −−= ñÇñ ëáåÜñ åñ ëáåÜñ ñÇñ ÅçëÜñ Nååå

1044. ∫∫ −+−= ñÇñ Åçëñ åñ Åçëñ ñÇñ ëáåñ Nååå

1045. ∫∫ −

−= ñÇñ ëáåñ åñ ëáåñ ñÇñ Åçëñ

Nååå




246

1046. ∫∫−+

−+

=+

−+

− Çñ ñ N

ñ

Nå

Nñ ëáå

Nå

ñ ñÇñ ëáåñ

O

NåN

NåNå

1047. ∫∫−+

++

=+

−+

− Çñ ñ N

ñ

Nå

Nñ Åçë

Nå

ñ ñÇñ Åçëñ

O

NåN

NåNå

1048. ∫∫ ++−

+=

+−

+− Çñ

N

ñ

Nå

Nñ í~å

Nå

ñ ñÇñ í~åñ

O

NåN

NåNå

1049. ∫∫ +−=+ ~ñ Çñ

~ Ä

~ñ

~ñ Çñ ñ åå

å

1050.( ) ( )( )( ) NåOOåO Å Äñ ~ñ ~ÅQ ÄNå

Ä~ñ O

Å Äñ ~ñ

Çñ −

++−−

−−=

++∫

( )( )( ) ( )∫ −

++−−−

−NåOO

Å Äñ ~ñ

Çñ

~ÅQ ÄNå

~PåOOI Nå ≠ K

1051.( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I~ñ

Çñ

~NåO

PåO

~ñ ~NåO

ñ

~ñ

Çñ NåOOONåOOOåOO ∫∫ −−

+−−

++−

=+

Nå ≠ K

1052.

( ) ( ) ( )

NåOOOåOO

~ñ ~NåO

ñ

~ñ

Çñ −

−−

−=

−

∫

( ) ( )∫ −−−

−−

NåOOO~ñ

Çñ

~NåO

PåOI Nå ≠ K




247

9.8 Definite Integral

aÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫ Ä

~

Çñ ñ Ñ I ( )∫ Ä

~

Çñ ñ Ö I £

oáÉã~åå ëìãW ( )∑=

∆ξå

Nááá ñ Ñ

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ ∆

^åíáÇÉêáî~íáîÉëW ( )ñ c I ( )ñ d

iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI ÅI Ç

1053. ( ) ( )∑∫=→∆

∞→∆ξ=

å

Nááá

Mñ ã~ñ å

Ä

~

ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ

á

I

ïÜÉêÉ Nááá ñ ñ ñ −−=∆ I ááNá ñ ñ ≤ξ≤− K

Figure 179.

248

1054. ~ ÄÇñ N Ä

~

−=∫

1055. ( ) ( )∫∫ = Ä

~

Ä

~

Çñ ñ Ñ â Çñ ñ âÑ

1056. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ Ä

~

Ä

~

Ä

~

Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ

1057. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=− Ä

~

Ä

~

Ä

~

Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ

1058. ( ) MÇñ ñ Ñ ~

~

=∫

1059. ( ) ( )∫∫ −=

~

Ä

Ä

~

Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ

1060. ( ) ( ) ( )∫∫∫ += Ä

Å

Å

~

Ä

~

Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ Ñçê ÄÅ~ << K

1061. ( ) MÇñ ñ Ñ

Ä

~ ≥∫ áÑ ( ) Mñ Ñ ≥ çå [ ] ÄI~ K

1062. ( ) MÇñ ñ Ñ Ä

~

≤∫ áÑ ( ) Mñ Ñ ≤ çå [ ] ÄI~ K




249

1063. cìåÇ~ãÉåí~ä qÜÉçêÉã çÑ `~äÅìäìë

( ) ( ) ( ) ( )~c Äcñ cÇñ ñ Ñ Ä

~

Ä

~

−==∫ áÑ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ K

1064. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçåfÑ ( )íÖ ñ = I íÜÉå

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=Ç

Å

Ä

~

ÇííÖ íÖ Ñ Çñ ñ Ñ I

ïÜÉêÉ

( )~Ö Å

N−

= I ( ) ÄÖ Ç

N−

= K

1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë

( ) ∫∫ −= Ä

~

Ä

~

Ä

~

îÇììî ìÇî

1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ

( ) ( ) ( ) ( )

++−= ∑∫

−

=

Nå

NááåM

Ä

~

ñ Ñ Oñ Ñ ñ Ñ åO

~ ÄÇñ ñ Ñ




250

Figure 180.

1067. páãéëçå∞ë oìäÉ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ++++−

=∫ PONM

Ä

~ñ Ñ Qñ Ñ Oñ Ñ Qñ Ñ åP

~ ÄÇñ ñ Ñ

( ) ( ) ( )]åNåQ ñ Ñ ñ Ñ Qñ Ñ O ++++ −K I

ïÜÉêÉ

áå

~ Ä~ñ á

−+= I åIIOINIMá K= K




251

Figure 181.

1068. ^êÉ~ råÇÉê ~ `ìêîÉ

( ) ( ) ( )~c ÄcÇñ ñ Ñ p

Ä

~−== ∫ I

ïÜÉêÉ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ K




252

Figure 182.

1069. ^êÉ~ _ÉíïÉÉå qïç `ìêîÉë

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )~d~c Äd ÄcÇñ ñ Ö ñ Ñ p

Ä

~+−−=−= ∫ I

ïÜÉêÉ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ I ( ) ( )ñ Ö ñ d =′ K




253

Figure 183.

9.9 Improper Integral

1070. qÜÉ ÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫ Ä

~

Çñ ñ Ñ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê áåíÉÖê~ä

áÑ~ çê Ä áë áåÑáåáíÉI

( )ñ Ñ Ü~ë çåÉ çê ãçêÉ éçáåíë çÑ ÇáëÅçåíáåìáíóáå íÜÉ áåíÉêî~ä [ ] ÄI~ K

1071. fÑ ( )ñ Ñ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå [ )∞I~ I íÜÉå

( ) ( )∫∫ ∞→

∞

=å

~å

~

Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ K




254

Figure 184.

1072. fÑ ( )ñ Ñ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå ( ] ÄI∞− I íÜÉå

( ) ( )∫∫ ∞−→

∞−

= Ä

å

å

Ä

Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ K

Figure 185.




255

kçíÉ W qÜÉ áãéêçéÉê áåíÉÖê~äë áå NMTNI NMTO ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ äáãáíë Éñáëí ~åÇ ~êÉ ÑáåáíÉX çíÜÉêïáëÉ íÜÉ áåíÉÖê~äë ~êÉÇáîÉêÖÉåíK

1073. ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=Å

Å

Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ

Figure 186.

fÑ Ñçê ëçãÉ êÉ~ä åìãÄÉê ÅI ÄçíÜ çÑ íÜÉ áåíÉÖê~äë áå íÜÉ êáÖÜí

ëáÇÉ ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞

∞−

Çñ ñ Ñ áë ~äëç

ÅçåîÉêÖÉåíX çíÜÉêïáëÉ áí áë ÇáîÉêÖÉåíK

1074. `çãé~êáëçå qÜÉçêÉãëiÉí ( )ñ Ñ ~åÇ ( )ñ Ö ÄÉ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçåë çå íÜÉ ÅäçëÉÇ

áåíÉêî~ä [ )∞I~ K pìééçëÉ íÜ~í ( ) ( )ñ Ñ ñ Ö M ≤≤ Ñçê ~ää ñ áå

[ )∞I~ K




256

• fÑ ( )∫∞

~

Çñ ñ Ñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞

~

Çñ ñ Ö áë ~äëç

ÅçåîÉêÖÉåíI

• fÑ ( )∫∞

~

Çñ ñ Ö áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞

~

Çñ ñ Ñ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1075. ^ÄëçäìíÉ ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ

fÑ ( )∫∞

~

Çñ ñ Ñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞

~

Çñ ñ Ñ áë ~Äëç-

äìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK

1076. aáëÅçåíáåìçìë fåíÉÖê~åÇiÉí ( )ñ Ñ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë Åçåíáåìçìë çå íÜÉ áåíÉêî~ä

[ ) ÄI~ Äìí áë ÇáëÅçåíáåìçìë ~í Äñ = K qÜÉå

( ) ( )

∫∫

ε−

+→ε

= Ä

~M

Ä

~

Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ

Figure 187.




257

1077. iÉí ( )ñ Ñ ÄÉ ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå Ñçê ~ää êÉ~ä åìãÄÉêë ñ áå

íÜÉ áåíÉêî~ä [ ] ÄI~ ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå ( ) ÄI~ K qÜÉå

( ) ( ) ( )∫∫∫ δ++→δ

ε−

+→ε +=

Ä

ÅM

Å

~M

Ä

~Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ K

Figure 188.

9.10 Double Integral

cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( ) ó Iñ Ñ I ( ) î IìÑ I £

açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫o

ÇñÇó ó Iñ Ñ I ( )∫∫o

ÇñÇó ó Iñ Ö I £

oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑= =

∆∆ã

Ná

å

N à àá àá ó ñ î IìÑ

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ ∆ I à ó ∆

oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI pmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ




258

^êÉ~W ^pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s

j~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ãaÉåëáíóW ( ) ó Iñ ρ

cáêëí ãçãÉåíëW ñ j I ó j

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñ f I ó f I Mf

`Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( ) ó Iñ σ

`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó

^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ

1078. aÉÑáåáíáçå çÑ açìÄäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅ ÄI~ × áë ÇÉÑáåÉÇ

íç ÄÉ

( )[ ] [ ]

( )∑∑∫∫= =→∆

→∆×

∆∆=ã

Ná

å

N à àá àá

M ó ã~ñ Mñ ã~ñ

ÇIÅ ÄI~

ó ñ î IìÑ äáãÇ^ ó Iñ Ñ

à

á

I

ïÜÉêÉ àá î Iì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ

( ) àN àáNá ó I ó ñ Iñ −− × I ~åÇ Nááá ñ ñ ñ −−=∆ I N à à à ó ó ó −−=∆ K

Figure 189.




259

qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë

( ) ( )[ ] [ ]

∫∫∫∫×

=ÇIÅ ÄI~o

Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ I

ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅ ÄI~ × Åçåí~áåë oI( ) ( ) ó Iñ Ñ ó Iñ Ö = áÑ ( ) ó Iñ Ñ áë áå o ~åÇ ( ) M ó Iñ Ö = çíÜÉêïáëÉK

Figure 190.

1079. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+o o o

Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ö ó Iñ Ñ

1080. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ −=−o o o

Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ö ó Iñ Ñ

1081. ( ) ( )∫∫∫∫ =o o

Ç^ ó Iñ Ñ â Ç^ ó Iñ âÑ I

ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK

1082. fÑ ( ) ( ) ó Iñ Ö ó Iñ Ñ ≤ çå oI íÜÉå ( ) ( )∫∫∫∫ ≤o o

Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ K

1083. fÑ ( ) M ó Iñ Ñ ≥ çå o ~åÇ o p ⊂ I íÜÉå




260

( ) ( )∫∫∫∫ ≤o p

Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ K

Figure 191.

1084. fÑ ( ) M ó Iñ Ñ ≥ çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ

êÉÖáçåëI íÜÉå ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=∪ po po

Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ K

eÉêÉ po ∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK

Figure 192.




261

1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá∞ë qÜÉçêÉã

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ = Ä

~

ñ è

ñ éo

ÇóÇñ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ

Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI( ) ( ) ( ){ }ñ è ó ñ éI Äñ ~ö ó Iñ o ≤≤≤≤= K

Figure 193.

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ =Ç

Å

ó î

ó ìo

ÇñÇó ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ

Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI( ) ( ) ( ){ }Ç ó ÅI ó î ñ ó ìö ó Iñ o ≤≤≤≤= K




262

Figure 194.

1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë

fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [ ] [ ]ÇIÅ ÄI~ × I íÜÉå

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫

=

=

Ç

Å

Ä

~

Ä

~

Ç

Åo

Çó Çñ ó Iñ Ñ Çñ Çó ó Iñ Ñ ÇñÇó ó Iñ Ñ K

få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( ) ó Iñ Ñ Å~å ÄÉ ïêáí-

íÉå ~ë ( ) ( ) ó Üñ Ö ïÉ Ü~îÉ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

== ∫∫∫∫∫∫

Ç

Å

Ä

~o o

Çó ó ÜÇñ ñ Ö ÇñÇó ó Üñ Ö ÇñÇó ó Iñ Ñ K

1087. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

ÇìÇî î Iì

ó Iñ î Iì ó I î Iìñ Ñ ÇñÇó ó Iñ Ñ

po ∂∂

= ∫∫∫∫ I

ïÜÉêÉ( )( )

M

î

ó

ì

ó î

ñ

ì

ñ

î Iì

ó Iñ ≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë-

Ñçêã~íáçåë ( ) ( ) î Iì ó Iñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ




263

Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( ) î Iìñ ñ = I ( ) î Iì ó ó = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåá-

íáçå çÑ oK

1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉëθ= Åçëêñ I θ= ëáåê ó K

Figure 195.

1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë

( )( )

θ=θθ∂

∂= êÇêÇÇêÇ

Iê

ó Iñ ÇñÇó K

iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW( ) ( )θ≤≤θ≤ ÜêÖ M I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O K

qÜÉå

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫β

α

θ

θ

θθθ=Ü

Ö o

êÇêÇëáåêIÅçëêÑ ÇñÇó ó Iñ Ñ K




264

Figure 196.

fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå Äó Äê~M ≤≤≤ I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O I

íÜÉå

( ) ( )

∫ ∫∫∫

β

α

θθθ= Ä

~o

êÇêÇëáåêIÅçëêÑ ÇñÇó ó Iñ Ñ K

Figure 197.




265

1090. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå

( )

( )

∫ ∫= Ä

~

ñ Ñ

ñ Ö

ÇóÇñ ^ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK

Figure 198.

( )

( )

∫ ∫=

Ç

Å

ó è

ó é

ÇñÇó ^ EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK

Figure 199.




266

1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ

( )∫∫=o

Ç^ ó Iñ Ñ s K

Figure 200.

fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ~= I Äñ = I ( )ñ Ü ó = I

( )ñ Ö ó = I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ == Ä

~

ñ Ö

ñ Üo

ÇóÇñ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ s K

fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó Å ó = I Ç ó = I ( ) ó èñ = I

( ) ó éñ = I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

∫ ∫∫∫ ==Ç

Å

ó è

ó éo

ÇñÇó ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ s K




267

fÑ ( ) ( ) ó Iñ Ö ó Iñ Ñ ≥ çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑ

íÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå ( ) ó Iñ Ñ òN = ~åÇ ( ) ó Iñ Ö òO = çîÉê o áë

ÖáîÉå Äó

( ) ( )[ ]∫∫ −=o

Ç^ ó Iñ Ö ó Iñ Ñ s K

1092. ^êÉ~ ~åÇ sçäìãÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉëfÑ p áë ~ êÉÖáçå áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ÄçìåÇÉÇ Äó α=θ I β=θ I

( )θ= Üê I ( )θ= Ö ê I

íÜÉå

( )

( )

∫ ∫∫∫β

α

θ

θ

θ==Ö

Üp

êÇêÇÇ^^ I

( )∫∫ θθ=p

êÇêÇIêÑ s K

Figure 201.

1093. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~

ÇñÇó ó

ò

ñ

òNp

o

OO

∫∫

∂∂

+

∂∂

+=




268

1094. j~ëë çÑ ~ i~ãáå~

( )∫∫ρ=o

Ç^ ó Iñ ã I

ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí EñIóF áë ( ) ó Iñ ρ K

1095. jçãÉåíëqÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçê-ãìä~

( )∫∫ ρ=o

ñ Ç^ ó Iñ ó j K

qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó -~ñáë áë

( )∫∫ ρ=o

ó Ç^ ó Iñ ñ j K

qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë áë

( )

∫∫ ρ=

o

Oñ Ç^ ó Iñ ó f K

qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó -~ñáë áë

( )∫∫ ρ=o

O ó Ç^ ó Iñ ñ f K

qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë

( ) ( )∫∫ ρ+= o

OO

M Ç^ ó Iñ ó ñ f K

1096. `ÉåíÉê çÑ j~ëë

( )

( )

( )∫∫

∫∫∫∫ ρ

ρ

=ρ==

o

o

o

ó

Ç^ ó Iñ

Ç^ ó Iñ ñ

Ç^ ó Iñ ñ ã

N

ã

jñ I




269

( )

( )

( )∫∫

∫∫∫∫ ρ

ρ

=ρ==

o

o

o

ñ

Ç^ ó Iñ

Ç^ ó Iñ ó

Ç^ ó Iñ ó ã

N

ã

j ó K

1097. `Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ

( )∫∫σ=o

Ç^ ó Iñ n I

ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíëÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë ( ) ó Iñ σ K

1098. ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå

( )∫∫=µo

Ç^ ó Iñ Ñ p

NI

ïÜÉêÉ ∫∫=o

Ç^p K

9.11 Triple Integral

cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW ( )òI ó Iñ Ñ I ( )òI ó Iñ Ö I £

qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫∫d

ÇsòI ó Iñ Ñ I ( )∫∫∫d

ÇsòI ó Iñ Ö I £

oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑∑= = =

∆∆∆ã

Ná

å

N à

é

Nâ â àáâ àá ò ó ñ ï I î IìÑ

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ ∆ I à ó ∆ I â ò∆

iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ëoÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p`óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I òpéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕ

sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s




270

j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ãaÉåëáíóW ( )òI ó Iñ µ

`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò

cáêëí ãçãÉåíëW ñó j I óòj I ñòj jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñó f I óòf I ñòf I ñ f I ó f I òf I Mf

1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅ ÄI~ ××

áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ

( )[ ] [ ] [ ]

( ) Iò ó ñ ï I î IìÑ äáãÇsòI ó Iñ Ñ ã

Ná

å

N à

é

Nâ â àáâ àá

Mòã~ñ M ó ã~ñ Mñ ã~ñ

ëIêÇIÅ ÄI~

â

à

á∑∑∑∫∫∫

= = =

→∆→∆→∆

××

∆∆∆=

ïÜÉêÉ â àá ï I î Iì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ

( ) ( )â Nâ àN àáNá òIò ó I ó ñ Iñ −−− ×× I ~åÇ Nááá ñ ñ ñ −−=∆ I

N à à à ó ó ó −−=∆ I Nâ â â òòò −−=∆ K

1100. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+ddd

ÇsòI ó Iñ Ö ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ö òI ó Iñ Ñ

1101. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −=−ddd

ÇsòI ó Iñ Ö ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ö òI ó Iñ Ñ

1102. ( ) ( )

∫∫∫∫∫∫ =

dd

ÇsòI ó Iñ Ñ â ÇsòI ó Iñ âÑ I

ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK

1103. fÑ ( ) MòI ó Iñ Ñ ≥ ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅ

êÉÖáçåëI íÜÉå

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=∪ qdqd

ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ñ K

eÉêÉ qd ∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë d ~åÇ qK




271

1104. bî~äì~íáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äë Äó oÉéÉ~íÉÇ fåíÉÖê~äëfÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òI ó Iñ ëìÅÜ íÜ~í

( ) ( ) ( ) ó Iñ ò ó Iñ Io ó Iñ ON χ≤≤χ∈ I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

ÇñÇó ÇòòI ó Iñ Ñ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ o

ó Iñ

ó Iñ d

O

N

∫∫ ∫∫∫∫

=χ

χ

I

ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó -éä~åÉK

fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òI ó Iñ ëìÅÜ íÜ~í

( ) ( ) ( ) ( ) ó Iñ ò ó Iñ Iñ ó ñ I Äñ ~ ONON χ≤≤χϕ≤≤ϕ≤≤ I íÜÉå

( ) ( )( )

( )

( )

( )

Çñ Çó ÇòòI ó Iñ Ñ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ Ä

~

ñ

ñ

ó Iñ

ó Iñ d

O

N

O

N

∫ ∫ ∫∫∫∫

=

ϕ

ϕ

χ

χ

1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇfÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅ ÄI~ ×× I íÜÉå

( ) ( ) Çñ Çó ÇòòI ó Iñ Ñ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ Ä

~

Ç

Å

ë

êd

∫ ∫ ∫∫∫∫

= K

få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( )òI ó Iñ Ñ Å~å ÄÉ

ïêáííÉå ~ë ( ) ( ) ( )òâ ó Üñ Ö ïÉ Ü~îÉ

( ) ( ) ( ) ( )

= ∫∫∫∫∫∫

ë

ê

Ç

Å

Ä

~d

Çòòâ Çó ó ÜÇñ ñ Ö ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ K

1106. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë

( ) =∫∫∫d

ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

IÇñÇóÇò ï I î Iì

òI ó Iñ ï I î IìòI ï I î Iì ó I ï I î Iìñ Ñ

p∫∫∫ ∂

∂=




272

ïÜÉêÉ( )

( ) M

ï

ò

î

ò

ì

ò ï

ó

î

ó

ì

ó ï

ñ

î

ñ

ì

ñ

ï I î Iì

òI ó Iñ ≠

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂∂∂

∂∂

=∂

∂ áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ

íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë ( ) ( ) ï I î IìòI ó Iñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìää-

Ä~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( ) ï I î Iìñ ñ = I

( ) ï I î Iì ó ó =

( ) ï I î Iìòò = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK

1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë

( )( )

ÇòêÇêÇÇòÇêÇòIIê

òI ó Iñ ÇñÇóÇò θ=θ

θ∂∂

= K

iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW

( ) ( ) ( ) ó Iñ ò ó Iñ Io ó Iñ ON χ≤≤χ∈ I ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó -éä~åÉK qÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫∫∫ θθθ=pd

ÇòêÇêÇòIëáåêIÅçëêÑ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ

( )( )

( )

( )

θ

θθ= ∫∫ ∫

θ

θθχ

θθχ

êÇêÇÇòòIëáåêIÅçëêÑ Iêo

ëáåêIÅçëê

ëáåêIÅçëê

O

N

K

eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK

1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë

( )( )

ϕθθ=ϕθϕθ∂

∂= ÇÇêÇëáåêÇÇêÇ

IIê

òI ó Iñ ÇñÇóÇò O

( ) =∫∫∫d ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ




273

( )∫∫∫ ϕθθθϕθϕθ=p

O ÇÇêÇëáåêÅçëêIëáåëáåêIÅçëëáåêÑ I

ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇá-

å~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç πO I íÜÉ ~åÖäÉ ϕ ê~åÖÉë Ñêçã M íç π K

Figure 202.

1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ

∫∫∫=d

ÇñÇóÇòs

1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë

( )

ÇòêÇêÇsòIIêp

∫∫∫θ

θ=

1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë

( )

ϕθθ= ∫∫∫ϕθ

ÇÇêÇëáåêsIIêp

O




274

1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ

( )∫∫∫ µ=d

ÇsòI ó Iñ ã I

ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí ( )òI ó Iñ áë ( )òI ó Iñ µ K

1113. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ

ã

jñ

óò= Iã

j ó ñò= I

ã

jò

ñó = I

ïÜÉêÉ

( )∫∫∫ µ=d

óò ÇsòI ó Iñ ñ j I

( )∫∫∫ µ=d

ñò ÇsòI ó Iñ ó j I

( )∫∫∫ µ=d

ñó ÇsòI ó Iñ òj

~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë M= IM ó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóI ( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK

1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó -éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE M= FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E M ó = F

( )∫∫∫ µ=d

Oñó ÇsòI ó Iñ òf I

( )∫∫∫ µ=d

O óò ÇsòI ó Iñ ñ f I

( )∫∫∫ µ=d

Oñò ÇsòI ó Iñ ó f K

1115. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë

( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d

OOñòñó ñ ÇsòI ó Iñ ó òfff I

( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d

OO óòñó ó ÇsòI ó Iñ ñ òfff I




275

( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d

OO óòñòò ÇsòI ó Iñ ñ ó fff K

1116. mçä~ê jçãÉåí çÑ fåÉêíá~( ) ( )∫∫∫ µ++=++=

d

OOOñò óòñó M ÇsòI ó Iñ ò ó ñ ffff

9.12 Line Integral

pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òI ó Iñ c I ( ) ó Iñ c I ( )ñ ÑpÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ( )òI ó Iñ ì

`ìêîÉëW ̀ I N` I O`

iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I β

m~ê~ãÉíÉêëW íI ëmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ

sÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )o InImcr

mçëáíáçå îÉÅíçêW ( )ëêr

råáí îÉÅíçêëW ár

I àr

I â r

I τr

^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW piÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW ij~ëë çÑ ~ ïáêÉW ãaÉåëáíóW ( )òI ó Iñ ρ I ( ) ó Iñ ρ


cáêëí ãçãÉåíëW ñó j I óòj I ñòj

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñ f I ó f I òf

sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW stçêâW t

j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _r

`ìêêÉåíW f

bäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW ε j~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ




276

1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( )ëêê

rr= I

pëM ≤≤ I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K

qÜÉå

( )( ) ( ) ∫∫∫ ==``

p

M

cÇëÇëòI ó Iñ cÇëëêc r

I

ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK

1118. ∫∫∫ +=∪ ONON ````

ÇëcÇëcÇëc

Figure 203.

1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ( )íêê rr= I

β≤≤α í I íÜÉå

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫β

α

′+′+′= Çííòí ó íñ íòIí ó Iíñ cÇëòI ó Iñ c OOO

`

K

1120. fÑ ` áë ~ ëãççíÜ ÅìêîÉ áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå

( )ñ Ñ ó = I Äñ ~ ≤≤ I íÜÉå

( ) ( )( ) ( )( )∫∫ ′+= Ä

~

O

`

Çñ ñ Ñ Nñ Ñ Iñ cÇë ó Iñ c K

1121. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë




278

1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë

( ) ( )∫∫ ⋅−=⋅− ``

êÇcêÇc rrrr

I

ïÜÉêÉ-` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅∪ ONON `````

êÇcêÇcêÇcêÇc rrrrrrrr

I

ïÜÉêÉ ` áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ ÅìêîÉë N` ~åÇ O` K

1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ( ) ( ) ( ) ( )íòIí ó Iíñ íê =r

I

β≤≤α í I íÜÉå=++∫̀ oÇònÇó mÇñ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫β

α

++= ÇíÇí

ÇòíòIí ó Iíñ o

Çí

Çó íòIí ó Iíñ n

Çí

Çñ íòIí ó Iíñ m

1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )ñ Ñ ó = I

íÜÉå

( )( ) ( )( )∫∫

+=+

Ä

~`

Çñ Çñ

ÇÑ ñ Ñ Iñ nñ Ñ Iñ mnÇó mÇñ K

1126. dêÉÉå∞ë qÜÉçêÉã

∫∫∫ +=

∂

∂−

∂

∂

`o

nÇó mÇñ ÇñÇó

ó

m

ñ

nI

ïÜÉêÉ ( ) ( ) à ó Iñ ná ó Iñ mcrrr

+= áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ-

íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë ó

m

∂∂

In

∂∂

áå ~

ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉëãççíÜ ÅìêîÉ `K




279

1127. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ `

∫∫∫ −==`o

óÇñ ñÇó O

NÇñÇó p

1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë

qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå â o ànámcrrrr

++= áë

ë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉÅçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~êÑìåÅíáçå ( )òI ó Iñ ìì = E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í

ìÖê~Çc =

r

I çê m

ì

=∂

∂

I n ó

ì

=∂

∂

I o ò

ì

=∂

∂

K

qÜÉå

( ) ( ) ( )^ì_ìoÇònÇó mÇñ êÇêc``

−=++=⋅ ∫∫ rrr

K

1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ

^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã ìÖê~Çc =r

áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ

ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå â o ànámc rrrr ++=

áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ

M

o nmò ó ñ

â àá

cÅìêär

rrr

r=

∂∂

∂∂

∂∂

= K

fÑ íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå áå ñó -éä~åÉ ëç íÜ~í

( ) ( )^ì_ìnÇó mÇñ `

−=+∫ I

íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñçê ÇÉíÉêãáåáåÖ áÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ áë ÅçåëÉêî~íáîÉÅ~å ÄÉ ïêáííÉå áå íÜÉ Ñçêã

ñ

n

ó

m

∂∂

=∂∂

K




281

( ) ( ) ( )( )∫β

α

+

+

ρ= Çí

Çí

Çò

Çí

Çó

Çí

Çñ íòIí ó Iíñ ã

OOO

K

fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ áå ñó -éä~åÉI íÜÉå íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ ïáêÉ áë ÖáîÉå Äó

( )∫ρ=`

Çë ó Iñ ã I

çê

( ) ( )( )∫β

α

+

ρ= Çí

Çí

Çó

Çí

Çñ í ó Iíñ ã

OO

Eáå é~ê~ãÉíêáÅ ÑçêãFK

1133. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ táêÉ

ã

jñ

óò= Iã

j ó ñò= I

ã

jò

ñó = I

ïÜÉêÉ

( )∫ ρ=`

óò ÇëòI ó Iñ ñ j I

( )∫ ρ=`

ñò ÇëòI ó Iñ ó j I

( )∫ ρ=`

ñó ÇëòI ó Iñ òj K

1134. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~qÜÉ ãçãÉåíë çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë~êÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Ñçêãìä~ë

( ) ( )∫ ρ+=`

OOñ ÇëòI ó Iñ ò ó f I

( ) ( )∫ ρ+=`

OO ó ÇëòI ó Iñ òñ f I

( ) ( )∫ ρ+=`

OOò ÇëòI ó Iñ ó ñ f K




282

1135. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ

∫∫∫ −=−==```

óÇñ ñÇó O

N óÇñ ñÇó p K

Figure 205.

fÑ íÜÉ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã( ) ( ) ( )í ó Iíñ íê =r

I íÜÉå íÜÉ ~êÉ~ Å~å ÄÉ Å~äÅìä~íÉÇ Äó íÜÉ Ñçê-

ãìä~

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫β

α

β

α

β

α

−=−== ÇíÇí

Çñ í ó

Çí

Çó íñ

O

NÇí

Çí

Çñ í ó Çí

Çí

Çó íñ p K

1136. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ cçêãÉÇ Äó oçí~íáåÖ ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë

∫∫∫ +π

−=π−=π−=`

O

``

O Çñ ó ñóÇó OO

ñóÇó OÇñ ó s




284

fÑ íÜÉ çÄàÉÅí áë ãçîÉÇ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áå íÜÉ ñó -éä~åÉI íÜÉå

∫∫ +=⋅=``

nÇó mÇñ êÇct rr

I

fÑ ~ é~íÜ ` áë ëéÉÅáÑáÉÇ Äó ~ é~ê~ãÉíÉê í Eí çÑíÉå ãÉ~åëíáãÉFI íÜÉ Ñçêãìä~ Ñçê Å~äÅìä~íáåÖ ïçêâ ÄÉÅçãÉë

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) IÇíÇí

ÇòíòIí ó Iíñ o

Çí

Çó íòIí ó Iíñ n

Çí

Çñ íòIí ó Iíñ mt ∫

β

α

++=

ïÜÉêÉ í ÖçÉë Ñêçã α íç β K

fÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c

r

áë ÅçåëÉêî~íáîÉ ~åÇ ( )òI ó Iñ ì áë ~ ëÅ~ä~êéçíÉåíá~ä çÑ íÜÉ ÑáÉäÇI íÜÉå íÜÉ ïçêâ çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖÑêçã ^ íç _ Å~å ÄÉ ÑçìåÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~

( ) ( )^ì_ìt −= K

1138. ^ãéÉêÉ∞ë i~ï

fêÇ_ M

`

µ=⋅∫ rr

K

qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ã~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇ _r

~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ é~íÜ` áë Éèì~ä íç íÜÉ íçí~ä ÅìêêÉåí f ÑäçïáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ ~êÉ~

ÄçìåÇÉÇ Äó íÜÉ é~íÜK

Figure 208.




285

1139. c~ê~Ç~ó ∞ë i~ï

Çí

ÇêÇb

`

ψ−=⋅=ε ∫

rr

qÜÉ ÉäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉ EÉãÑF ε áåÇìÅÉÇ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇäççé ` áë Éèì~ä íç íÜÉ ê~íÉ çÑ íÜÉ ÅÜ~åÖÉ çÑ ã~ÖåÉíáÅ Ñäìñ ψ

é~ëëáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ äççéK

Figure 209.

9.13 Surface Integral

pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òI ó Iñ Ñ I ( ) ó Iñ ò

mçëáíáçå îÉÅíçêëW ( ) î Iìêr

I ( )òI ó Iñ êr

råáí îÉÅíçêëW ár

I àr

I â r

pìêÑ~ÅÉW p

sÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )o InImcr

aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÇáî rr

⋅∇=




286

`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÅìêärr

×∇=

sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW pÇr

kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW å

r

pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ãaÉåëáíóW ( )òI ó Iñ µ


cáêëí ãçãÉåíëW ñó j I óòj I ñòj

jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñó f I óòf I ñòf I ñ f I ó f I òf

sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s

cçêÅÉW cr dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW dcäìáÇ îÉäçÅáíóW ( )ê î

rr

cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρ

mêÉëëìêÉW ( )êé r

j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW Φ pìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( ) ó Iñ σ

j~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇW br

1140. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê

( ) ( ) ( ) ( )â î Iìò à î Iì ó á î Iìñ î Iìêrrrr

++= I

ïÜÉêÉ ( ) î Iì ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå ( ) î Iìa çÑ íÜÉ ìî -

éä~åÉKqÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå ( )òI ó Iñ Ñ çîÉê

íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë

( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫∫∫∫ ∂

∂×

∂∂

= î Iìap

ÇìÇî î

ê

ì

ê î IìòI î Iì ó I î Iìñ Ñ ÇpòI ó Iñ Ñ

rr

I

ïÜÉêÉ íÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëìê

∂∂

r

~åÇ î ê

∂∂

r

~êÉ ÖáîÉå Äó




287

( ) ( ) ( )â î Iìì

ò à î Iì

ì

ó á î Iì

ì

ñ

ì

ê rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

I

( ) ( ) ( )â î Iì î

ò à î Iì

î

ó á î Iì

î

ñ

î

ê rrrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

~åÇ î

ê

ì

ê

∂∂

×∂∂

rr

áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK

1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( ) ó Iñ òò = ïÜÉêÉ

( ) ó Iñ ò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( ) ó Iñ a I

íÜÉå

( ) ( )( )( )∫∫∫∫

∂∂

+

∂∂

+= ó Iñ a

OO

p

ÇñÇó ó

ò

ñ

òN ó Iñ òI ó Iñ Ñ ÇpòI ó Iñ Ñ K

1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ cr

çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅

pp

ÇpåòI ó Iñ cpÇòI ó Iñ c rrrr

( ) ( ) ( )( )( )∫∫

∂∂

×∂∂

⋅= î Iìa

ÇìÇî î

ê

ì

ê î IìòI î Iì ó I î Iìñ c

rrr

K

• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp


( ) ( ) ( )( )( )∫∫

∂∂×

∂∂⋅=

î Iìa

ÇìÇî ìê

î ê î IìòI î Iì ó I î Iìñ c

rr

r K

ÇpåpÇ rr= áë Å~ääÉÇ íÜÉ îÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉK açí

ãÉ~åë íÜÉ ëÅ~ä~ê éêçÇìÅí çÑ íÜÉ ~ééêçéêá~íÉ îÉÅíçêëK

qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëì

ê

∂∂r

~åÇ î

ê

∂∂r

~êÉ ÖáîÉå Äó




288

( ) ( ) ( ) â î Iìì

ò à î Iì

ì

ó á î Iì

ì

ñ

ì

ê rrrr

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

I

( ) ( ) ( ) â î Iì î

ò à î Iì

î

ó á î Iì

î

ñ

î

ê rrrr

⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

∂

∂K

1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( ) ó Iñ òò = I ïÜÉêÉ

( ) ó Iñ ò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( ) ó Iñ a I

íÜÉå• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â -íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ

åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp


( )( )∫∫

+

∂∂

−∂∂

−⋅= ó Iñ a

ÇñÇó â à ó

òá

ñ

òòI ó Iñ c

rrrrI

• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â -íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉåçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp


( )( )∫∫

−

∂∂

+∂∂

⋅= ó Iñ a

ÇñÇó â à ó

òá

ñ

òòI ó Iñ c

rrrrK

1144. ( ) ∫∫∫∫ ++=⋅pp

oÇñÇó nÇòÇñ mÇóÇòÇpåc rr

( )∫∫ γ+β+α=p

ÇpÅçëo ÅçënÅçëm I

ïÜÉêÉ ( )òI ó Iñ m I ( )òI ó Iñ n I ( )òI ó Iñ o ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ

íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr

KαÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí

åçêã~ä îÉÅíçê år

~åÇ íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅí-áîÉäóK




290

ïÜÉêÉ

( ) ( ) ( ) ( )òI ó Iñ o IòI ó Iñ nIòI ó Iñ mòI ó Iñ c =r

áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ

Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI

â ó

m

ñ

n à

ñ

o

ò

má

ò

n

ó

o

o nmñ ñ ñ

â àá

crrr

rrr

r

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

áë íÜÉ Åìêä çÑ cr

I ~äëç ÇÉåçíÉÇ cÅìêär

K

qÜÉ ëóãÄçä ∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê~ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉK

1149. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã

∫ ++`

oÇònÇó mÇñ

∫∫

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

p

ÇñÇó ó

m

ñ

nÇòÇñ

ñ

o

ò

mÇóÇò

ò

n

ó

o

1150. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~

∫∫=p

Çp^

1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê

( ) ( ) ( ) ( )â î Iìò à î Iì ó á î Iìñ î Iìêrrrr

++= IíÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë

( )∫∫ ∂

∂×

∂∂

= î Iìa

ÇìÇî î

ê

ì

ê^

rr

I

ïÜÉêÉ ( ) î Iìa áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( ) î Iìêr

áë

ÇÉÑáåÉÇK




291

1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ( ) ó Iñ ò I íÜÉå íÜÉ ëìê-

Ñ~ÅÉ ~êÉ~ áë

( )∫∫

∂∂

+

∂∂

+= ó Iñ a

OO

ÇñÇó ó

ò

ñ

òN^ I

ïÜÉêÉ ( ) ó Iñ a áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñó -

éä~åÉK

1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ

( )∫∫µ=

p

ÇpòI ó Iñ ã I

ïÜÉêÉ ( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅ-

íáçåFK

1154. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää

ã

jñ

óò= Iã

j ó ñò= I

ã

jò

ñó = I

ïÜÉêÉ

( )∫∫ µ=p

óò ÇpòI ó Iñ ñ j I

( )∫∫ µ=p

ñò ÇpòI ó Iñ ó j I

( )∫∫ µ=p

ñó ÇpòI ó Iñ òj

~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë M= I

M ó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóK ( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK

1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó -éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE M= FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E M ó = F

( )∫∫ µ=p

Oñó ÇpòI ó Iñ òf I

( )∫∫ µ=p

O óò ÇpòI ó Iñ ñ f I




292

( )∫∫ µ=p

Oñò ÇpòI ó Iñ ó f K

1156. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáëI ó

-~ñáëI ~åÇ ò

-~ñáë

( ) ( )∫∫ µ+=p

OOñ ÇpòI ó Iñ ò ó f I

( ) ( )∫∫ µ+=p

OO ó ÇpòI ó Iñ òñ f I

( ) ( )∫∫ µ+=p

OOò ÇpòI ó Iñ ó ñ f K

1157. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ pìêÑ~ÅÉ

∫∫ ++=p

òÇñÇó óÇñÇòñÇóÇòP

Ns

1158. dê~îáí~íáçå~ä cçêÅÉ

( )

∫∫µ=

p P

Çpê

êòI ó Iñ dãc

rr

I

ïÜÉêÉ ã áë ~ ã~ëë ~í ~ éçáåí MMM òI ó Iñ çìíëáÇÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉI

MMM òòI ó ó Iñ ñ ê −−−=r

I

( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåI

~åÇ d áë Öê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíK

1159. mêÉëëìêÉ cçêÅÉ( )∫∫=p

pÇêécrrr

I

ïÜÉêÉ íÜÉ éêÉëëìêÉ ( )êé r

~Åíë çå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p ÖáîÉå Äó

íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê êr

K

1160. cäìáÇ cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF

( )

∫∫ ⋅=Φ

p

pÇê î rrr

I




293

ïÜÉêÉ ( )ê î rr

áë íÜÉ ÑäìáÇ îÉäçÅáíóK

1161. j~ëë cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF

( )∫∫ ⋅ρ=Φp

pÇê î rrr

I

ïÜÉêÉ î c rrρ= áë íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇI ρ áë íÜÉ ÑäìáÇ ÇÉåëáíóK

1162. pìêÑ~ÅÉ `Ü~êÖÉ

( )∫∫σ=p

Çp ó Iñ n I

ïÜÉêÉ ( ) ó Iñ σ áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK

1163. d~ìëë∞ i~ïqÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~äíç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ

Mp

npÇb

ε=⋅=Φ ∫∫

rrI

ïÜÉêÉΦ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI

br

áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI

ã

cNMURIU NO

M−×=ε áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK



294

Chapter 10

Differential Equations

cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ócìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( ) ó Iñ Ñ I ( ) ó Iñ j I ( ) ó Iñ k

cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó ′ I ì′ I ó & IÇí

Çó I £

pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó ′′ I ó && IO

O

Çí

fÇI £

m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëWí

ì

∂∂

IO

Oì

∂∂

I £

k~íìê~ä åìãÄÉêW åm~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW N ó I é ó

oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I N` I O` I éI èI α I β

oççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW Nλ I Oλ

qáãÉW íqÉãéÉê~íìêÉW qI pmçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW ( )ím

j~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ãpíáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW âaáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^cêÉèìÉåÅóW ω a~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γ

mÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ ^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θ

mÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i



CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

295

^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö`ìêêÉåíW foÉëáëí~åÅÉW o

fåÇìÅí~åÅÉW i`~é~Åáí~åÅÉW `

10.1 First Order Ordinary DifferentialEquations

1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë

( ) ( )ñ è ó ñ éÇñ

Çó =+ K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( ) ( )

( )ñ ì

`Çñ ñ èñ ì ó

+= ∫

I

ïÜÉêÉ

( ) ( )∫= Çñ ñ éÉñéñ ì K

1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë

( ) ( ) ( ) ó Üñ Ö ó Iñ Ñ Çñ

Çó ==

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó

( ) ( ) `Çñ ñ Ö

ó Ü

Çó += ∫∫ I

çê( ) ( ) `ñ d ó e += K




296

1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë

qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå ( ) ó Iñ Ñ Çñ

Çó = áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ

íÜÉ ÑìåÅíáçå ( ) ó Iñ Ñ áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë( ) ( ) ó Iñ Ñ íó Iíñ Ñ = K

qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ó

ò = EíÜÉå òñ ó = F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ

Éèì~íáçå

( )òINÑ òÇñ

Çòñ =+ K

1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå

( ) ( ) å ó ñ è ó ñ éÇñ

Çó =+ K

qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå åN ó ò −= äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå

( ) ( ) ( ) ( )ñ èåNòñ éåNÇñ Çò −=−+ K

1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå

( ) ( ) ( ) O ó ñ ê ó ñ èñ éÇñ

Çó ++=

fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå N ó áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäì-

íáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå

N ó ó

Nò

−= I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå

( ) ( )[ ] ( )ñ êòñ ê ó Oñ èÇñ

ÇòN −+−= K




297

1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåëqÜÉ Éèì~íáçå

( ) ( ) MÇó ó Iñ kÇñ ó Iñ j =+

áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ

ñ

k

ó

j

∂∂

=∂∂

I

~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( ) ( ) `Çó ó Iñ kÇñ ó Iñ j =+ ∫∫ K

1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó

âó Çí

Çó −= I

ïÜÉêÉ ( )í ó áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI â

áë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK

qÜÉ ëçäìíáçå áë( ) âí

MÉ ó í ó −= I ïÜÉêÉ ( )M ó ó M = áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK

1171. kÉïíçå∞ë i~ï çÑ `ççäáåÖ

( )pqâ Çí

Çq−−= I

ïÜÉêÉ ( )íq áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ

íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëá-íáîÉ Åçåëí~åíK

qÜÉ ëçäìíáçå áë

( ) ( ) âíM Épqpíq −−+= I

ïÜÉêÉ ( )MqqM = áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í

íáãÉ Mí = K




298

1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF

−=

j

mNâm

Çí

ÇmI

ïÜÉêÉ ( )ím áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíIj áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK

qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë

( )( ) âí

MM

M

Émjm

jmím

−−+= I ïÜÉêÉ ( )MmmM = áë íÜÉ áåáíá~ä éçéì-

ä~íáçå ~í íáãÉ Mí = K

10.2 Second Order Ordinary DifferentialEquations

1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíëMèó ó é ó =+′+′′ K

qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áë

MèéO =+λ+λ K

fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ

Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áëñ

O

ñ

N

ON

É`É` ó

λλ

+= I ïÜÉêÉN` ~åÇ O` ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK

fÑO

éON −=λ=λ I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( ) ñ

O

é

ON Éñ `` ó −

+= K

fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW




299

áN β+α=λ I áO β−α=λ I ïÜÉêÉ

O

é−=α I

O

éèQ O−=β I

íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë

( )ñ ëáå`ñ Åçë`É ó ONñ β+β= α K

1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí`çÉÑÑáÅáÉåíë

( )ñ Ñ èó ó é ó =+′+′′ K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå ÄóÜé ó ó ó += I ïÜÉêÉ

é ó áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå

~åÇ Ü ó áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉ-

çìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK

fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã

( ) ( ) ( )( )ñ ëáåñ mñ Åçëñ mÉñ Ñ NNñ β+β= α I

íÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå é ó áë ÖáîÉå Äó

( ) ( )( )ñ ëáåñ o ñ Åçëñ o Éñ ó ONñ â

é β+β= α I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë ( )ñ o N ~åÇ ( )ñ o O Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇ

Äó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK• fÑ áβ+α áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå

íÜÉ éçïÉê Mâ = I• fÑ áβ+α áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå Nâ = I

• fÑ áβ+α áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå Oâ = K

1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ( ) ó Iñ Ñ ó ′=′′ K

pÉí ó ì ′= K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë

( )ìIñ Ñ ì =′ I ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK




300

1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ( ) ó I ó Ñ ó ′=′′ K

pÉí ó ì ′= K páåÅÉ

Çó Çìì

Çñ Çó

Çó Çì

Çñ Çì ó ===′′ I

ïÉ Ü~îÉ

( )ìI ó Ñ Çó

Çìì = I

ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK

1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëqÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~-

íáçåMâó ó ã =+&& I

ïÜÉêÉã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíIâ áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖI

ó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( )δ−ω= íÅçë^ ó M I

ïÜÉêÉ^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI

Mω áë íÜÉ ÑìåÇ~ãÉåí~ä ÑêÉèìÉåÅóI íÜÉ éÉêáçÇ áëM

Oq

ωπ

= I

δ áë éÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíKqÜáë áë ~å Éñ~ãéäÉ çÑ ëáãéäÉ Ü~êãçåáÅ ãçíáçåK

1178. cêÉÉ a~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëMâó ó ó ã =+γ+ &&& I ïÜÉêÉ

γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíK

qÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW

301

`~ëÉ NK âãQO >γ EçîÉêÇ~ãéÉÇF

( ) íí ON _É^Éí ó λλ += I

ïÜÉêÉ

ãO

âãQO

N

−γ−γ−=λ I

ãO

âãQO

O

−γ+γ−=λ K

`~ëÉ OK âãQO =γ EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF

( ) ( ) íÉ_í^í ó λ+= I

ïÜÉêÉ

ãOγ−=λ K

`~ëÉ PK âãQO <γ EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF

( ) ( )δ−ω=γ

−íÅçë^Éí ó

íãO I ïÜÉêÉ

OâãQ γ−=ω K

1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã

Mi

Ö

Çí

ÇO

O

=θ+θ

I

ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìãäÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë( ) í

i

Ö ëáåí ã~ñ θ=θ I íÜÉ éÉêáçÇ áë

Ö

iOq π= K

1180. oi` `áêÅìáí

( ) ( )íÅçëbísf`

N

Çí

Çfo

Çí

fÇi MO

O

ωω=′=++ I




302

ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉëçìêÅÉ ( ) ( )íëáåbís M ω= K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( ) ( )ϕ−ω++= íëáå^É`É`íf íê

Oíê

NON I

ïÜÉêÉ

iO`

iQo o

ê

O

OIN

−±−= I

OOO

O

M

o `

Ni

b^

ω+

−ω

ω= I

ω−

ω=ϕ

o`

N

o

i~êÅí~å I

N` I O` ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK

10.3. Some Partial Differential Equations

1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå

M ó

ì

ñ

ìO

O

O

O

=∂∂

+∂∂

~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ( ) ó Iñ ì Ñçê ~ ÅçåëÉê-

î~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó -éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~-

íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK

1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå

í

ì

ó

ì

ñ

ìO

O

O

O

∂∂

=∂∂

+∂∂



304

Chapter 11

Series

11.1 Arithmetic Series

fåáíá~ä íÉêãW N~

kíÜ íÉêãW å~

aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW ÇkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åp

1184. ( )ÇNå~ÇO~Ç~~ NOåNåå −+==+=+= −− K

1185. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− +==+=+ K

1186.O

~~~ NáNá

á+− +

=

1187. ( ) åO

ÇNå~OåO

~~p NåNå ⋅−+=⋅+=

CHAPTER 11. SERIES

305

11.2 Geometric Series

fåáíá~ä íÉêãW N~ kíÜ íÉêãW å~

`çããçå ê~íáçW èkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åp

pìã íç áåÑáåáíóW p

1188. NåNNåå è~è~~ −

− ==

1189. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− ⋅==⋅=⋅ K

1190. NáNáá ~~~ +− ⋅=

1191. ( )NèNè~

Nè~è~p

å

NNåå −−=−−=

1192.èN

~päáãp N

åå −

==∞→

cçê Nè < I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë ∞→å K

11.3 Some Finite Series

kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å



CHAPTER 11. SERIES

306

1193.( )

O

NåååPON

+=++++ K

1194. ( )NåååOSQO +=++++ K

1195. ( ) OåNåORPN =−++++ K

1196. ( ) ( ) ( ) ( )

O

Nåâ OåNåâ Oâ Nâ â

−+=−+++++++ K

1197. ( )( )S

NåONåååPON OOOO ++=++++ K

1198.( ) O

PPPP

O

NåååPON

+

=++++ K

1199. ( )

( )P

NåQå

NåORPN

OOOOO −

=−++++ K

1200. ( ) ( )NåOåNåORPN OOPPPP −=−++++ K

1201. OO

N

U

N

Q

N

O

NN

å =++++++ KK

1202.( )

NNåå

NQP

NPO

NON

N =++

++⋅

+⋅

+⋅

KK

1203.( )

É>Nå

N

>P

N

>O

N

>N

NN =+

−+++++ KK



CHAPTER 11. SERIES

307

11.4 Infinite Series

pÉèìÉåÅÉW { }å~ cáêëí íÉêãW N~

kíÜ íÉêãW å~

1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë

KK ++++=∑∞

=

åON

Nå

å ~~~~

1205. kíÜ m~êíá~ä pìã

åON

å

Nååå ~~~~p +++== ∑

=

K

1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë

i~Nå

å =∑∞

=I áÑ ipäáã å

å =∞→

1207. kíÜ qÉêã qÉëí

• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå M~äáã å

å=

∞→K

• fÑ M~äáã åå

≠∞→

I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK

11.5 Properties of Convergent Series

`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW ^~Nå

å =∑∞

=

I _ ÄNå

å =∑∞

=

oÉ~ä åìãÄÉêW Å

CHAPTER 11. SERIES

308

1208. ( ) _^ Ä~ Ä~Nå

åNå

åNå

åå +=+=+ ∑∑∑ ∞

=

∞

=

∞

=

1209. Å^~ÅÅ~Nå

åNå

å == ∑∑ ∞

=

∞

=

K

11.6 Convergence Tests

1210. qÜÉ `çãé~êáëçå qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ~åÇ ∑

∞

=Nåå Ä ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í åå Ä~M ≤< Ñçê ~ää åK

• fÑ ∑∞

=Nåå Ä áë ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK

•

fÑ ∑

∞

=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåí íÜÉå ∑

∞

=Nåå Ä áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1211. qÜÉ iáãáí `çãé~êáëçå qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ~åÇ ∑

∞

=Nåå Ä ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í å~ ~åÇ å Ä ~êÉ éçëá-

íáîÉ Ñçê ~ää åK

• fÑ ∞<< ∞→å

å

å Ä

~

äáãM íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ ~åÇ ∑

∞

=Nåå Ä ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ

ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK

• fÑ M Ä

~äáã

å

å

å=

∞→ íÜÉå ∑

∞

=Nåå Ä ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑

∞

=Nåå~ áë

~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK

CHAPTER 11. SERIES

309

• fÑ ∞=∞→

å

å

å Ä

~äáã íÜÉå ∑

∞

=Nåå Ä ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑

∞

=Nåå~ áë

~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1212. é-ëÉêáÉë

é-ëÉêáÉë ∑∞

=Nåéå

N ÅçåîÉêÖÉë Ñçê Né > ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê

NéM ≤< K

1213. qÜÉ fåíÉÖê~ä qÉëí

iÉí ( )ñ Ñ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë ÅçåíáåìçìëI éçëáíáîÉI ~åÇÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää N≥ K qÜÉ ëÉêáÉë

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++=∑∞

=

åÑ PÑ OÑ NÑ åÑ Nå

ÅçåîÉêÖÉë áÑ ( )∫∞

N

Çñ ñ Ñ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ

( ) ∞→∫å

N

Çñ ñ Ñ ~ë ∞→å K

1214. qÜÉ o~íáç qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK

• fÑ N~

~äáã

å

Nå

å<+

∞→ íÜÉå

∑

∞

=Nå å~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK

• fÑ N~

~äáã

å

Nå

å>+

∞→ íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK

• fÑ N~

~äáã

å

Nå

å=+

∞→ íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ

íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉ

ìëÉÇK

CHAPTER 11. SERIES

310

1215. qÜÉ oççí qÉëí

iÉí ∑∞

=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK

• fÑ N~äáã åå

å<

∞→ íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK


å>

∞→ íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK


å=

∞→ íÜÉå ∑

∞

=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉI Äìí

åç ÅçåÅäìëáçå Å~å ÄÉ Çê~ïå Ñêçã íÜáë íÉëíK

11.7 Alternating Series

1216. qÜÉ ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë qÉëí EiÉáÄåáò∞ë qÜÉçêÉãF

iÉí { }å~ ÄÉ ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ éçëáíáîÉ åìãÄÉêë ëìÅÜ íÜ~í

åNå ~~ <+ Ñçê ~ää åK

M~äáã åå

=∞→

K

qÜÉå íÜÉ ~äíÉêå~íáåÖ ëÉêáÉë ( )∑∞

=

−Nå

å

å~N ~åÇ ( )∑

∞

=

−−Nå

å

Nå~N

ÄçíÜ ÅçåîÉêÖÉK

1217. ^ÄëçäìíÉ ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ

• ^ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë

∑∞

=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK



CHAPTER 11. SERIES

311

• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå áí áë Åçå-

îÉêÖÉåíK

1218. `çåÇáíáçå~ä ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ

^ ëÉêáÉë ∑∞

=Nåå~ áë ÅçåÇáíáçå~ääó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë

ÅçåîÉêÖÉåí Äìí áë åçí ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK

11.8 Power Series

oÉ~ä åìãÄÉêëW ñI Mñ

mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞

=Må

ååñ ~ I ( )∑

∞

=

−Må

å

Må ñ ñ ~

tÜçäÉ åìãÄÉêW åo~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o

1219. mçïÉê pÉêáÉë áå ñ

KK +++++=∑∞

=

åå

OONM

Må

åå ñ ~ñ ~ñ ~~ñ ~

1220. mçïÉê pÉêáÉë áå ( )M

ñ ñ −

( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−∑∞

=

å

Må

O

MOMNMMå

å

Må ñ ñ ~ñ ñ ~ñ ñ ~~ñ ñ ~

1221. fåíÉêî~ä çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ

qÜÉ ëÉí çÑ íÜçëÉ î~äìÉë çÑ ñ Ñçê ïÜáÅÜ íÜÉ ÑìåÅíáçå

( ) ( )∑∞

=

−=Må

å

Må ñ ñ ~ñ Ñ áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ

ÅçåîÉêÖÉåÅÉK

CHAPTER 11. SERIES

312

1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉfÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë ( )o ñ Io ñ MM +− Ñçê ëçãÉ

Mo ≥ I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå

~ë

åå

å ~

Näáão

∞→= çê

Nå

å

å ~

~äáão

+∞→

= K

11.9 Differentiation and Integration of PowerSeries

`çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW ( )ñ Ñ

mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞

=Må

ååñ ~


o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o

1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë

iÉí ( ) K+++== ∑∞

=

OONM

Må

åå ñ ~ñ ~~ñ ~ñ Ñ Ñçê o ñ < K

qÜÉåI Ñçê o ñ < I ( )ñ Ñ áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ( )ñ Ñ ′

Éñáëíë ~åÇ

( ) K+++=′ OONM ñ ~

Çñ

Çñ ~

Çñ

Ç~

Çñ

Çñ Ñ

∑∞

=

−=+++=Nå

Nåå

OPON ñ å~ñ ~Pñ ~O~ K K

CHAPTER 11. SERIES

313

1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë

iÉí ( ) K+++== ∑∞

=

OONM

Må

åå ñ ~ñ ~~ñ ~ñ Ñ Ñçê o ñ < K

qÜÉåI Ñçê o ñ < I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫ Çñ ñ Ñ Éñáëíë ~åÇ

( ) K+++= ∫∫∫∫ Çñ ñ ~ñÇñ ~Çñ ~Çñ ñ Ñ OONM

`Nå

ñ ~

P

ñ ~

O

ñ ~ñ ~

Må

Nå

å

P

O

O

NM ++

=+++= ∑∞

=

+

K K

11.10 Taylor and Maclaurin Series

tÜçäÉ åìãÄÉêW åaáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñ Ñ

oÉã~áåÇÉê íÉêãW åo

1225. q~óäçê pÉêáÉë

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

K+−′′

+−′+=−

= ∑∞

= >O

~ñ ~Ñ ~ñ ~Ñ ~Ñ

>å

~ñ ~Ñ ñ Ñ

O

Må

åå

( )( )( )

å

åå

o >å

~ñ ~Ñ +

−+ K

1226. qÜÉ oÉã~áåÇÉê ^ÑíÉê åHN qÉêãë áë ÖáîÉå Äó( )( )( )

( )>Nå

~ñ Ñ o

NåNå

å +−ξ

=++

I ñ ~ <ξ< K

1227. j~Åä~ìêáå pÉêáÉë

CHAPTER 11. SERIES

314

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

å

ååO

Må

åå o

>å

ñ MÑ

>O

ñ MÑ ñ MÑ MÑ

>å

ñ MÑ ñ Ñ +++

′′+′+== ∑

∞

=

K

11.11 Power Series Expansions for SomeFunctions

tÜçäÉ åìãÄÉêW åoÉ~ä åìãÄÉêW ñ

1228. KK ++++++=>å

ñ

>P

ñ

>O

ñ ñ NÉ

åPOñ

1229. ( ) ( ) ( ) KK ++++++= >å ~äåñ >P ~äåñ >O ~äåñ >N ~äåñ N~

åPO

ñ

1230. ( ) ( )

KK ±+

−++−+−=+

+

Nå

ñ N

Q

ñ

P

ñ

O

ñ ñ ñ Näå

NååQPO

I NN ≤<− K

1231.

++++=

−

+K

T

ñ

R

ñ

P

ñ ñ O

ñ N

ñ Näå

TRP

I Nñ < K

1232.

+−

+

+−

++−

= K

RP

Nñ

Nñ

R

N

Nñ

Nñ

P

N

Nñ

Nñ Oñ äå I M> K

1233.( )

( )

KK ±−

++−+−=

>åO

ñ N

>S

ñ

>Q

ñ

>O

ñ Nñ Åçë

åOåSQO

CHAPTER 11. SERIES

316

11.12 Binomial Series

tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ãoÉ~ä åìãÄÉêW ñ

`çãÄáå~íáçåëW ãå `

1242. ( ) åãå

ãOO

åN

ååñ ñ `ñ `ñ `Nñ N ++++++=+ KK

1243. ( ) ( )[ ]>ã NãåNåå`ãå −−−= K

I Nñ < K

1244. K+−+−=+

PO ñ ñ ñ NN

NI Nñ < K

1245. K++++=−

PO ñ ñ ñ N

N

NI Nñ < K

1246. K+⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅

+⋅

−+=+USQO

ñ RPN

SQO

ñ PN

QO

ñ

O

ñ Nñ N

QPO

I Nñ ≤ K

1247. K+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅

+⋅

⋅−+=+

NOVSP

ñ URON

VSP

ñ RON

SP

ñ ON

P

ñ Nñ N

QPOP I Nñ ≤ K

11.13 Fourier Series

fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñ Ñ

cçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW M~ I å~ I å Ä



CHAPTER 11. SERIES

317

1248. ( ) ( )∑∞

=

++=Nå

ååM åñ ëáå Äåñ Åçë~

O

~ñ Ñ

1249. ( )∫π

π−π= Çñ åñ Åçëñ Ñ

N~å

1250. ( )∫π

π−π= Çñ åñ ëáåñ Ñ

N Äå



318

Chapter 12

Probability

12.1 Permutations and Combinations

mÉêãìí~íáçåëWã

åm

`çãÄáå~íáçåëWã

å`

tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã

1251. c~Åíçêá~ä

( )( )åNåOåPON>å −−⋅⋅= K

N>M =

1252. >åmå

å =

1253.( )>ãå

>åm

ã

å

−=

1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí

( )>ãå>ã

>å

ã

å`

ã

å

−=

=

1255.ãå

å

ã

å`` −=

1256. Nã

Nå

Nã

å

ã

å

``` +

+

+ =+



CHAPTER 12. PROBABILITY

319

1257. åå

åO

åN

åM

å O```` =++++ K

1258. m~ëÅ~ä∞ë qêá~åÖäÉ

oçï M Noçï N N Noçï O N O Noçï P N P P Noçï Q N Q S Q Noçï R N R NM NM R Noçï S N S NR OM NR S N

12.2 Probability Formulas

bîÉåíëW ^I _

mêçÄ~ÄáäáíóW mo~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI ws~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI òbñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ

^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW ε pí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σ

s~êá~åÅÉW Oσ aÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW ( )ñ Ñ I ( )íÑ

1259. mêçÄ~Äáäáíó çÑ ~å bîÉåí

( )å

ã^m = I

ïÜÉêÉã áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëI

å áë íÜÉ íçí~ä åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK




320

1260. o~åÖÉ çÑ mêçÄ~Äáäáíó s~äìÉë( ) N^mM ≤≤

1261. `Éêí~áå bîÉåí( ) N^m =

1262. fãéçëëáÄäÉ bîÉåí( ) M^m =

1263. `çãéäÉãÉåí

( ) ( )^mN^m −=

1264. fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( )^m_L^m = I

( ) ( )_m^L_m =

1265. ^ÇÇáíáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m +=∪

1266. jìäíáéäáÅ~íáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m ⋅=∩

1267. dÉåÉê~ä ^ÇÇáíáçå oìäÉ( ) ( ) ( ) ( )_^m_m^m_^m ∩−+=∪ I

ïÜÉêÉ

_^ ∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _I_^ ∩ áë íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _K

1268. `çåÇáíáçå~ä mêçÄ~Äáäáíó

( ) ( )

( )_m

_^m_L^m

∩=

1269. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^L_m^m_L^m_m_^m ⋅=⋅=∩

321

1270. i~ï çÑ qçí~ä mêçÄ~Äáäáíó

( ) ( ) ( )∑=

=ã

Nááá _L^m_m^m I

ïÜÉêÉ á_ áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíëK

1271. _~óÉë∞ qÜÉçêÉã

( ) ( ) ( )

( )^m

_m_L^m^L_m

⋅=

1272. _~óÉë∞ cçêãìä~

( ) ( ) ( )( ) ( )∑

=

⋅⋅=

ã

Nâ áá

ááá

_L^m_m

_L^m_m^L_m I

ïÜÉêÉ

á_ áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI

^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI( )á_m ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI

( )^L_m á ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK

1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë

Må

pm å →

ε≥µ− ~ë ∞→å I

Nå

pm å →

ε<µ− ~ë ∞→å I

ïÜÉêÉ

åp áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëI

å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK

1274. `ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó

( ) ( )O

usum

ε≤ε≥µ− I

ïÜÉêÉ ( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uK




322

1275. kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå

( )( )

O

O

O

ñ

ÉO

Nñ σ

µ−−

πσ=ϕ I

ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉK

1276. pí~åÇ~êÇ kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå

( ) O

ò O

ÉO

Nò

−

π=ϕ

^îÉê~ÖÉ î~äìÉ M=µ I ÇÉîá~íáçå N=σ K

Figure 210.

1277. pí~åÇ~êÇ w s~äìÉ

σµ−

= u

w

1278. `ìãìä~íáîÉ kçêã~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( )( )

∫∞−

σ

µ−−

πσ

=ñ

O

í

ÇíÉ

O

Nñ c

O

O

I

323

ïÜÉêÉñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉIí áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK

1279. ( )

σµ−β

−

σµ−α

=β<<α ccum I

ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåI

( )β<<α um áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK

1280. ( )

σε

=ε<µ− cOum I

ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåK

1281. `ìãìä~íáîÉ aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( ) ( ) ( )∫∞−

=<=ñ

ÇííÑ ñ umñ c I

ïÜÉêÉ í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK

1282. _Éêåçìääá qêá~äë mêçÅÉëë

åé=µ I åéèO =σ I

ïÜÉêÉå áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëI

è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K

1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( ) â åâ èéâ

åèIéIå Ä −

= I




324

åé=µ I åéèO =σ I

( ) ( )åñ éÉèñ Ñ += I

ïÜÉêÉå áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K

1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå

( ) éè àqm N à−== I

é

N

=µ I O

O

é

è

=σ I

ïÜÉêÉq áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëI

à áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K

1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå

( ) λ−λ≈= É

>â â um

â

I åé=λ I

λ=µ I λ=σO I

ïÜÉêÉλ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉIâ áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK

1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå

( ) ( )∫=≤≤ Ä

~

Çñ ñ Ñ Äu~m

1287. `çåíáåìçìë råáÑçêã aÉåëáíó

~

NÑ

−= I

O

Ä~ +=µ I




325

ïÜÉêÉ Ñ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK

1288. bñéçåÉåíá~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå

( ) í

ÉíÑ λ−

λ= I λ=µ IOO

λ=σ ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK

1289. bñéçåÉåíá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå

( ) íÉNíc λ−−= I

ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK

1290. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë( ) ∑

=

==µå

Náááéñ ub I

ïÜÉêÉ áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK

1291. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ( )

∫

∞

∞−

==µ Çñ ñ ñÑ ub

1292. mêçéÉêíáÉë çÑ bñéÉÅí~íáçåë( ) ( ) ( )vbubvub +=+ I

( ) ( ) ( )vbubvub −=− I

( ) ( )uÅbÅub = I

( ) ( ) ( )vbubuvb ⋅= I

ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK

1293. ( ) ( ) OO usub µ+= I

ïÜÉêÉ( )ub=µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉI

( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉK




326

1294. j~êâçî fåÉèì~äáíó

( ) ( )

â

ubâ um ≤> I

ïÜÉêÉ â áë ëçãÉ Åçåëí~åíK

1295. s~êá~åÅÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ( )[ ] ( )∑=

µ−=µ−==σå

Náá

O

á

OO éñ ubus I

ïÜÉêÉ

áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI

áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK

1296. s~êá~åÅÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∞

∞−

µ−=µ−==σ Çñ ñ Ñ ñ ubus OOO

1297. mêçéÉêíáÉë çÑ s~êá~åÅÉ

( ) ( ) ( )vsusvus +=+ I( ) ( ) ( )vsusvus +=− I

( ) ( )usÅus =+ I

( ) ( )usÅÅus O= I

ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK

1298. pí~åÇ~êÇ aÉîá~íáçå

( ) ( ) ( )[ ]Oubusua µ−==

1299. `çî~êá~åÅÉ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )vuuvbvvuubvIuÅçî µµ−=µ−µ−= I

ïÜÉêÉu áë ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI

( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI

µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ u çê vK

1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com

Documents

Transcript of 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com