INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE SINCELEJO

Plan de área de Matemáticas – Año 2006Núcleo de Ciencia y Tecnología

Jefe de Núcleo: Adolfo Andrés Tirado Hernández

Disciplinas: Matemáticas, Geometría y Estadística

Jefes de Áreas: Albeiro López Cervantes (Matemáticas); Carlos Vélez Arias (Ciencias Naturales); Elkin Peña Coronado (Tecnología e Informática)

Docentes: Ramiro Acevedo Navarro, Elena Benítez, William Corena Pérez, Efraín Jiménez Moreno, Albeiro López Cervantes, Eder Rangel Manchego, Alfredo Reyes Gómez, Amín Ruíz Álvarez, Adolfo Tirado Hernández

Distribución del tiempo:Primer Período: 23 de enero al 7 de abrilSegundo Período: 17 de abril al 16 de junioTercer Período: 10 de junio al 15 de septiembreCuarto Período: 18 de septiembre al 24 de noviembre

1. DIAGNÓSTICO

ANALISIS DE RESULTADOS DE PRUEBAS EXTERNAS

PRUEBAS DE ESTADO (ICFES) AÑO 2005

1.) Resultados en la prueba por competencias específicas en Matemáticas: En la prueba por competencias específicas, los resultados fueron los siguientes:

De acuerdo con los resultados que nos muestra la tabla podemos concluir que:

Los estudiantes de la institución en la competencia interpretativa figuraron en la escala II (MEDIO), con porcentajes de 61.58%. Los estudiantes ubicados en esta escala son capaces de solucionar problemas no rutinarios que requieren interpretaciones, traducciones y/o identificación de simbología propia del lenguaje matemático para matematizar la situación.

Nivel

Matemática

C1Interpretativa

C2Argumentativa

C3Propositiva

 I ( Bajo ) 37.44 24.63 34.48

 II ( Medio ) 61.58 73.89 65.02

 III ( Alto ) 0.99 1.48 0.49

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Por otra parte, en la competencia argumentativa, figuraron también en la escala de MEDIO en un porcentaje de 73.89%. Los estudiantes ubicados en esta escala son capaces de abordar situaciones problema que implican el reconocimiento de estrategias, explicaciones y justificaciones, que permiten realizar una comprobación directa desde la información ofrecida en la situación.

De igual manera, en la competencia propositiva, figuraron en la escala II (MEDIO), en un porcentaje de 65.02%. Los estudiantes ubicados en esta escala capaces de abordar situaciones problema que implican el reconocimiento de ciertas proyecciones ante una situación dada, estas proyecciones pueden ser encontradas a partir del descubrimiento o creación de ciertas regularidades o generalizaciones.

Preocupa sobre manera, que un 37.44% de estudiantes figuren en la escala I (BAJO) en la competencia interpretativa, esto significa que tan solo son capaces de solucionar problemas rutinarios que requieren interpretaciones, traducciones y/o identificación de simbología propia del lenguaje matemático para matematizar la situación.

Preocupa también, que en la competencia argumentativa, un 24.63% de los estudiantes figuren en la escala I (BAJO), esto significa que solo abordan con éxito situaciones que exigen argumentos fundamentados en casos particulares de la situación inicial, los argumentos refieren afirmaciones expuestas en la situación, que buscan ratificarse o contradecirse.

Preocupa también, que en la competencia propositiva, un 34.48% de los estudiantes figuren en la escala I (BAJO), esto significa que sólo pueden enfrentar con éxito situaciones en las que se exige proponer lo que sucedería en una situación dada si algunas de sus condiciones iniciales fueran modificadas.

Es alarmante que tan solo un grupo minúsculo de estudiantes figuren en la escala III (ALTO), con porcentajes de 0.99%, 1.48% y 0.49% en las competencias interpretativa, argumentativa y propositiva, respectivamente.

Recomendaciones:

Es prioritario que los profesores de matemática de la institución revisemos la forma como se viene abordando la enseñanza de la matemática escolar a la luz del desarrollo de competencias.

Es indispensable que los profesores del área se fundamenten más en los procesos y en las estrategias propias de las matemáticas.

Urge que los profesores del área se reúnan para discutir y establecer consensos en torno a cómo se favorece en los estudiantes el desarrollo de competencias en matemáticas.

Contraste con los resultados globales del municipio, departamento y nación.

COMPETENCIA INTERPRETATIVA

NIVEL NORMAL SINCELEJO SUCRE COLOMBIAI (BAJO) 37.44 35.36 36.00 34.12

II (MEDIO) 61.58 62.64 62.12 63.42III (ALTO) 0.99 1.37 1.27 1.51

Comparando los resultados del colegio con los alcanzados a nivel global en Sincelejo, Sucre y Colombia, en la competencia interpretativa, se puede concluir que:

En el nivel I (BAJO) estamos en desventaja con los resultados alcanzados a nivel global por el municipio, el departamento y la nación; especialmente frente a los resultados del municipio y de la nación, ya que tenemos un porcentaje mayor de estudiantes ubicados en este nivel.

En el nivel II (MEDIO) estamos en desventaja con los resultados alcanzados a nivel global por el municipio, el departamento y la nación, púes, tenemos una menor cantidad de estudiantes ubicados en este nivel.

En el nivel III (ALTO) estamos también, en desventaja frente a los resultados globales del municipio, el departamento y la nación, ya que tenemos un porcentaje menor de estudiantes ubicados en este nivel.

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COMPETENCIA ARGUMENTATIVA

NIVEL NORMAL SINCELEJO SUCRE COLOMBIAI ( BAJO ) 24.63 28.33 29.56 29.86II ( MEDIO ) 73.89 69.87 68.64 67.86III ( ALTO ) 1.48 1.16 1.19 1.34

Comparando los resultados del colegio con los alcanzados a nivel global en Sincelejo, Sucre y Colombia, en la competencia argumentativa, se puede concluir que:

En el nivel I (BAJO) los resultados fueron satisfactorios, puesto que tenemos un menor porcentaje de estudiantes ubicados en esta escala, en comparación con los resultados del municipio, el departamento y la nación.

En el nivel II (MEDIO), estamos en ventaja frente a los resultados del municipio, el departamento y la nación, ya que tenemos un porcentaje mayor de estudiantes ubicados en esta escala.

En el nivel III (ALTO) los resultados también fueron satisfactorios, ya que en esta escala ubicamos un porcentaje mayor de estudiantes, en comparación con los resultados del municipio, el departamento y la nación.

COMPETENCIA PROPOSITIVA

NIVEL NORMAL SINCELEJO SUCRE COLOMBIAI ( BAJO ) 34.48 28.15 29.52 29.65II ( MEDIO ) 65.02 69.84 68.92 68.19III ( ALTO ) 0.49 1.37 0.96 1.22

Comparando los resultados del colegio con los alcanzados a nivel global en Sincelejo, Sucre y Colombia, en la competencia propositiva, se puede concluir que:

En el nivel I (BAJO) los resultados nos dejaron en desventaja frente a los resultados del municipio, el departamento y la nación, puesto que ubicamos un mayor porcentaje de estudiantes en esta escala.

En el nivel II (MEDIO), estamos en desventaja frente a los resultados del municipio, el departamento y la nación, ya que ubicamos un porcentaje menor de estudiantes en esta escala.

En el nivel III (ALTO) los resultados también nos dejaron en evidente desventaja frente a los resultados del municipio, el departamento y la nación, ya que en esta escala ubicamos un porcentaje menor de estudiantes.

Recomendaciones:

Urge que los docentes del área de matemáticas nos reunamos para diseñar un plan de acción que permita mejorar los resultados en las pruebas ICFES en el desarrollo de las competencias interpretativa, argumentativa y propositiva.

Es indispensable que los docentes del área de matemáticas se fundamenten más sobre la tipología de problemas que se plantean en las pruebas de estado.

Concienciar a estudiantes, padres de familia y a nosotros mismos docentes del área de matemáticas, en la necesidad de mejorar los resultados por competencias en las pruebas ICFES a corto, mediano y largo plazo.

Metas para mejorar los resultados en la prueba por competencias:

A corto plazo, realizar un buen trabajo de preparación en la prueba de competencias en matemáticas, de tal manera que para el periodo 2006 - 2008:

En la competencia interpretativa: disminuya el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO), al porcentaje global que presentó el Departamento de Sucre en el año 2005, (36.00%); aumente el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), al porcentaje global que

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presentó el Municipio de Sincelejo en el año 2005, (62.64%), y finalmente, aumente el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO), a un 1.36%.En la competencia argumentativa: se mantenga los resultados obtenidos en cada uno de los niveles, es decir, 24.63% en BAJO, 73.89% en MEDIO y 1.48% en ALTO.En la competencia propositiva: se mejoren nuestros resultados en por lo menos a los resultados globales alcanzados por los estudiantes en la nación, es decir, 29.65% en el nivel BAJO, 68.19% en el nivel MEDIO y 1.22% en el nivel ALTO.

A mediano plazo, fortalecer el trabajo de preparación para las pruebas de estado desde el trabajo en el aula, de tal manera que:

Los estudiantes, desde la competencia interpretativa, sean capaces de abordar situaciones problema no rutinarias que le exijan interpretaciones que permitan modelar, por medio de expresiones matemáticas, las situaciones planteadas. Para ello requieren distintas interpretaciones y reinterpretaciones de los datos, relaciones, expresiones y afirmaciones que se presentan en las situaciones de manera explícita o implícita.Los estudiantes, desde la competencia argumentativa, sean capaces de abordar con éxito problemas que implican el establecimiento de condiciones de suficiencia y necesidad para elaborar argumentos.Los estudiantes, desde la competencia propositiva, sean capaces de abordar situaciones problema que impliquen una reorganización de las situaciones para determinar las nuevas condiciones, con las cuales se puedan optimizar procedimientos, métodos o resultados. Estas situaciones pueden exigir también dar razones de por qué surgen esas nuevas condiciones.

Así, para el periodo 2009 - 2012, se espera que:

En la competencia interpretativa: disminuya a un 35.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO); aumente a un 63.40%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), y finalmente, aumente a 1.60%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO).En la competencia argumentativa: mejore los resultados obtenidos en cada uno de los niveles, a los siguientes porcentajes: 23.63% en BAJO, 74.67% en MEDIO y 1.70% en ALTO.En la competencia propositiva: disminuya a un 28.15%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO), aumente a un 70.45%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), y que aumente a un 1.40%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO).

A largo plazo, fortalecer aún más el trabajo de preparación para las pruebas de estado, desde cada una las actividades académicas y científicas que promueva la institución ( olimpiadas, foros, encuentros, congresos y trabajos de investigación en el aula), de tal manera que para el periodo 2013 – 2016:

En la competencia interpretativa, las tendencias sean: a disminuir por debajo del 25.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO); a disminuir por debajo del 70.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), y finalmente, a aumentar por encima del 5.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO).En la competencia argumentativa, las tendencias sean: mejorar los resultados obtenidos en cada uno de los niveles, a los siguientes porcentajes: por debajo del 20.00% en el nivel I (BAJO), por debajo del 70.00% en el nivel II (MEDIO) y por encima del 10.00% en el nivel III (ALTO).En la competencia propositiva, las tendencias sean: a disminuir por debajo del 28.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel I (BAJO), a disminuir por debajo del 65.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel II (MEDIO), y que aumente por encima del 7.00%, el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel III (ALTO).El ideal hacia futuro sería posicionar a la institución, en la prueba por competencias en matemáticas, en la escala de ALTO. Esto se conseguiría con un buen trabajo coordinado de todos los niveles que maneja la escuela.

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2.) Por desempeño en cada uno de los componentes del área de Matemáticas.

El área de matemáticas en las pruebas de estado se distribuye en cuatro grupos: Grupo 1: conteoGrupo 2: mediciónGrupo 3: variaciónGrupo 4: aleatoriedad

Cada grupo de preguntas hace los siguientes énfasis:

CONTEO: Se refiere a los diferentes sentidos en la construcción del concepto de número.Aborda la conceptualización de diferentes sistemas numéricos, con las operaciones, relaciones y

propiedades que han permitido su caracterización y su complejización desde los naturales hasta los reales, a partir de la identificación y uso, utilizando formas de representación propias.

MEDICION: Se refiere a los conceptos de medida, métrica, espacio y las relaciones que entre éstos se pueden generar a partir de las experiencias con la medida, las formas geométricas y las diferentes aplicaciones de la métrica. Consideran el manejo que hace el estudiante de las formas, las mediciones asociadas a ellas, sus movimientos y las condiciones invariantes en ellas.

VARIACION: Se refiere al concepto de variable y los diferentes conceptos y relaciones en los que está involucrada. Se consideran elementos de análisis de la variable teniendo en cuenta su naturaleza, el tipo de regularidad que establece, sus posibilidades de modelación en diferentes contextos, el uso de las variables en las diferentes clases de funciones, el manejo y uso de diferentes formas de representación y su análisis.

ALEATORIEDAD: Se refiere al manejo de datos, el uso de descripciones y representaciones gráfica, el uso de conceptos relacionados con la descripción de datos: medidas de tendencia central (media, mediana y moda).se consideran, además, los diferentes aspectos que caracterizan procesos de conteo como arreglos, permutaciones y combinaciones, y la interpretación y uso de probabilidades asociadas a eventos.

Los resultados por grupos de preguntas se interpretan a partir de las siguientes categorías de desempeño:

SA: Desempeño relativo significativamente alto: El desempeño en este grupo de preguntas es significativamente superior al de los demás grupos de preguntas. Puede considerarse como una fortaleza.

A: Desempeño relativo alto: Se evidencia una tendencia a manejar este grupo con mayor dominio que los otros grupos de preguntas.

M: Desempeño relativo medio: El manejo de este grupo de preguntas es promedio con relación a los demás grupos de preguntas.

B: Desempeño relativo bajo: Se evidencia una tendencia a manejar este grupo de preguntas con menos dominio que los otros grupos de preguntas.

SB: Desempeño relativo significativamente bajo: El desempeño en este grupo de preguntas es significativamente bajo en relación con los demás grupos de preguntas. Puede considerarse una debilidad.

Con base en los elementos expuestos anteriormente, los resultados de la institución fueron los siguientes:

En conteo el desempeño de los estudiantes fue significativamente alto (SA) en comparación con los demás grupos de preguntas, esto quiere decir, que en este grupo de preguntas presentamos algunas fortalezas.

En medición el desempeño de los estudiantes fue promedio (M) en relación con los demás grupos de preguntas, es decir, los resultados no fueron trascendentes de manera general.

PRUEBA COMPONENTESDesempeño en CONTEO MEDICION VARIACION ALEATORIEDADMatemáticas SA M B SB

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En variación y aleatoriedad los desempeños de los estudiantes fuero bajo (B) y significativamente bajo (SB) respectivamente, en contraste con los demás grupos de preguntas, es decir, no hay evidencias de un dominio conceptual en estos grupos de preguntas. Podemos afirmar que en estos grupos de preguntas tenemos debilidades.

Recomendaciones:

Es de gran importancia que los docentes del área se reúnan para revisar la estructural curricular del programa de matemáticas en cada uno de los grupos de grados, especialmente, en lo relacionado con la distribución de cada una de las componentes que se evalúan en las pruebas ICFES.

Es indispensable que los docentes del área realicen jornadas pedagógicas, con invitados especiales, con la intencionalidad de discutir y de establecer consensos, en torno a las siguientes inquietudes: ¿Cuáles son las causas por la que los estudiantes de la escuela fallan al resolver pruebas que involucran grupos de preguntas relacionados con la medición, la variación y la aleatoriedad? ¿Qué acciones de tipo metodológico deben emprenderse para hacia el futuro mejorar los resultados en estos grupos de preguntas?

Es urgente que establezca un programa de capacitación y actualización en matemáticas, que gire en torno a las siguientes temáticas: Fundamentos de Variación en Matemáticas, Aleatoriedad y Procesos Estocásticos, fundamentos de Geometría y Medición y Didáctica de las Matemáticas.

Metas para mejorar estos resultados: frente a los resultados obtenidos se espera que:

Para los años 2006 - 2008, mejorar los niveles de desempeño en variación y aleatoriedad a la categoría de MEDIO (M); en medición subir a la categoría de ALTO (A), y sostener la categoría SIGNIFICATIVAMENTE ALTO (SA) en conteo.Para los años 2009 – 2012, mejorar los niveles de desempeño en medición, variación y aleatoriedad a la categoría de ALTO (A), y seguir sosteniendo la categoría de SIGNIFICATIVAMENTE ALTO (SA) en conteo. Para los años 2013 y siguientes se aspira a tener un equilibrio en los resultados, y mejorar los niveles de desempeño a la categoría de SIGNIFICATIVAMENTE ALTO (SA).

3.) Puntaje en la prueba de núcleo común en matemáticas.

Estos resultados se presentan en una escala que oscila entre 0 y 100 puntos aproximadamente, los cuales representan la competencia en la prueba de Matemática.

De manera general los resultados son valorados con la siguiente escala:

RANGO DE PUNTAJE PUNTAJE DE LA PRUEBA

BAJO ≤ 30

MEDIO 31 – 70

ALTO ≥ 70

Resultados alcanzados por los estudiantes:

TABLA 1.

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Dividiendo el nivel medio en tres subniveles, tal como se muestra en la tabla 2, los resultados específicos fueron:

TABLA 2

Teniendo en cuenta los resultados que se muestran en las tablas 1 y 2, se puede concluir que:

El 97.54% de los estudiantes de la escuela fueron valorados en el nivel MEDIO.

De estos, el 92.61% de los estudiantes obtuvieron puntajes por debajo de la media nacional (55 puntos).

Tan solo un 4.93% de los estudiantes alcanzaron puntajes por encima de la media nacional de 55 puntos.

Los estudiantes que se ubican en el nivel MEDIO, son capaces de desenvolverse competentemente en ciertos contextos, pero no en otros, sólo consiguen abordar algunos aspectos básicos de la matemática escolar. Las situaciones a las que se enfrentan contenían elementos no rutinarios que le exigían relacionar diferente información o condiciones para reorganizarlas, así como el abordaje de diferentes formas de representarla y hacer traducciones entre ellas y, de igual manera, exigía el establecimiento de estrategias en las cuales se encontraban elementos tanto nocionales como conceptuales.

Recomendaciones:

Es indispensable que avancemos a ambientes de aprendizaje que permita en los estudiantes tener la capacidad de desenvolverse adecuadamente en diversos contextos que le posibiliten trabajar los elementos básicos de la matemática escolar.

Para lograr lo anterior es necesario que las situaciones que se aborden sean no rutinarias, requieran relacionar y conectar mayor cantidad de información y/o condiciones, establecer estrategias, como la generalización y la inferencia, que involucren conceptualizaciones más formales.

Metas para mejorar estos resultados:

En el periodo 2006-2008 preparar a los estudiantes para aumentar a un 3.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel ALTO, y aumentar a un 30.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel MEDIO con resultados por encima de la media nacional de 55 puntos.En el periodo 2009 – 2012, realizar un trabajo de preparación mucho más fuerte, ateniente a aumentar a un 5.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel ALTO, y aumentar a un 40.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel MEDIO con resultados por encima de la media nacional de 55 puntos.En los años 2013 y siguientes, mejorar el trabajo de preparación a niveles más altos, tratando de que aumente por encima del 10.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel ALTO, y

INTERVALOS NIVEL PORCENTAJES0 - 30 BAJO 2,46

30 - 70 MEDIO 97,5470 - 100 ALTO 0

NIVEL INTERVALOS PORCENTAJES  30 - 45 50,25

MEDIO 45 - 55 42,36  55 - 70 4,93

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aumentar a un 60.00% el porcentaje de estudiantes valorados en el nivel MEDIO con resultados por encima de la media nacional de 55 puntos.

2. OBJETIVOS DEL ÁREA

2.1 Generales: Son objetivos generales de la educación básica:a) Propiciar una formación general mediante el acceso, de manera crítica y creativa, al conocimiento científico y tecnológico.b) Desarrollar las habilidades comunicativas para leer, comprender, escribir, escuchar, hablar y expresarse correctamente.c) Ampliar y profundizar en el razonamiento lógico y analítico para la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, la tecnología y de la vida cotidiana.

2.2 Específicos: Son objetivos específicos del nivel preescolar:b) El crecimiento armónico y equilibrado del niño, de tal manera que facilite la motricidad, el aprestamiento y la motivación para la lecto-escritura y para las soluciones de problemas que impliquen relaciones y operaciones matemáticas.c) El desarrollo de la creatividad, las habilidades y destrezas propias de la edad, como también de su capacidad de aprendizaje.

Los cinco (5) primeros grados de la educación básica que constituyen el ciclo de primaria, tendrán como objetivos específicos los siguientes:c) El desarrollo de las habilidades comunicativas básicas para leer, comprender, escribir, escuchar, hablar y expresarse correctamente en lengua.d) El desarrollo de la capacidad para apreciar y utilizar la lengua como medio de expresión estética.e) El desarrollo de los conocimientos matemáticos necesarios para manejar y utilizar operaciones simples de cálculo y procedimientos lógicos elementales en diferentes situaciones, así como la capacidad para solucionar problemas que impliquen estos conocimientos.g) La asimilación de conceptos científicos en las áreas de conocimiento que sean objeto de estudio, de acuerdo con el desarrollo intelectual y la edad.

Los cuatro (4) grados subsiguientes de la educación básica que constituyen el ciclo de secundaria, tendrán como objetivos específicos los siguientes:a) El desarrollo de la capacidad para comprender textos c) El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos de operaciones y relaciones, así como para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la vida cotidiana.

Son objetivos específicos de la educación media académica: c) El desarrollo de las habilidades comunicativas básicas para leer, comprender, escribir, escuchar, hablar y expresarse correctamente en lengua castellana. c) El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos de operaciones y relaciones, así como para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la vida cotidiana.

3. JUSTIFICACIÓN

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En este espacio es bueno analizar el por qué la Matemática aparece en los diferentes currículos, desde el nivel básico hasta el universitario; es decir, es necesario hacer un breve análisis que justifique las razones por las cuales se enseña Matemática en los diferentes niveles.

Con frecuencia se dice que la Matemática es la reina de las ciencias ya que todas necesitan de su autoridad para que la de cada una se reconozca. Pero enfocándolo desde otro punto de vista también podemos decir que es su doncella porque a todas sirve en sus desarrollos. Verdaderamente, es la reina de las ciencias porque, una característica que la diferencia del resto es "la posibilidad de vida independiente". Es decir, su sangre azul radica en el hecho de su capacidad de existir en cualquiera de los mundos posibles sin más necesidad que el desarrollo de las habilidades llamadas de orden superior del intelecto humano.

Entre las razones por las cuales en todos los currículos se enseña la Matemática podemos citar las siguientes:

a). Su intrínseca facultad para desarrollar capacidades de razonamiento: Luis Vives, s. XVI, expresó: "es una asignatura para manifestar la agudeza de la mente".

b). Su utilidad, tanto para la vida cotidiana como para el aprendizaje de otras disciplinas necesarias para el desarrollo personal y profesional.

c). La Matemática posee el asombroso poder de explicar cómo funcionan las cosas, por qué son como son: Es realmente asombrosa la capacidad de la Matemática para explicar el mundo que nos rodea, desde las cónicas de Apolonio de Pérgamo (s. III a. C), que asombrosamente describen las órbitas de los planetas alrededor del sol, con éste como uno de los focos de cada una de las cónicas descrita por los planetas, ciertamente Kepler quedó asombrado ante esta coherencia. Los logaritmos creados por John Neper con la única intención de simplificar los cálculos, dieron lugar a la función logaritmo, la cual interviene el la descripción de innumerables fenómenos del mundo objetivo. Como un ejemplo, la curva de la concha de un caracol es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica especialmente perfecta en la naturaleza puede encontrarse en la concha de una jibia primitiva llamada Nautilus. En el caracol, la espiral logarítmica es una expresión pacífica de crecimiento exponencial.

El descubrimiento de Neptuno por John Couch Adams, quien con lápiz y papel, demostró en 1846 su existencia a partir de las alteraciones sufridas en la órbita de Urano. Adams realizó los cálculos adecuados y señaló las coordenadas del objeto que alteraba la órbita de Urano, y a los expertos sólo les quedó enfocar sus telescopios. De forma análoga a los ejemplos citados la Matemática describe tantos y tantos fenómenos del mundo que nos rodea, que nos permite pensar que este mundo está construido matemáticamente, y nos posibilita comprender el por qué del pensamiento místico de René Descartes. La perfección del pensamiento matemático ha llevado a considerarlo en muchas etapas de la historia de la humanidad como instrumento de comunión con la divinidad y con las fuerzas ocultas del mundo.

d). Son necesarias para desarrollar habilidades laborales y dar respuesta a cuestiones científicas y tecnológicas: Existe una razón de orden práctico para su presencia en la formación de personas, a muy distinto nivel, la cual está en el hecho de que es realmente impredecible cuando una persona puede necesitar cierta formación caracterizada por el pensamiento matemático.

e). La potencia de la Matemática como medio de comunicación: Hay un lenguaje común para todas las civilizaciones técnicas, por muy diferentes que sean, y éste es el lenguaje de la ciencia y la Matemática. La razón está en que las leyes de la Naturaleza son idénticas en todas partes. Así, las naves exploratorias Voyager, que desde 1977 buscan vidas inteligentes fuera de nuestro planeta, llevan ejemplos de Matemáticas en la información sobre la vida en la Tierra.

Es indudable que existen diferentes opiniones sobre las razones por las cuales se debe incluir la Matemática en los diferentes niveles de los currículos escolares, aunque a nivel mundial se asumen acuerdos importantes al respecto, como es el caso de la ICMI, Comisión Internacional para la Instrucción Matemática, la cual, en un simposio celebrado en Kuwait en 1986, acordó cuatro razones básicas para enseñar Matemática y sus correspondientes consecuencias curriculares, estas son:

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a) Desarrollo de la potencia crítica que capacita a la gente para manejar la masa de datos con la que constantemente somos bombardeados: Como consecuencia, se deriva la introducción de nociones estadísticas en todos los currículos de los niveles obligatorios.

b) La existencia de una certeza verificable ausente en otros aspectos de la existencia humana: Dos consecuencias se derivan de este hecho:

b.1 Suministra al alumnado las suficientes Matemáticas como para convencerse de que existe algo que es verdad fuera de toda duda.

b.2 La enseñanza debe realizarse de forma que capacite y anime al alumnado a llegar a sus propias convicciones.

c) El placer inherente de la creación matemática: La afirmación de la naturaleza artística de la matemática puede sonar extraña en muchos oídos. Si arte es la producción por parte del hombre de un objeto bello, esperamos que esta afirmación resulte justificada al término de las notas que siguen. Desde que se empezó a analizar lo que es arte y belleza aparece explícito esta aseveración. Para los pitagóricos, la armonía, uno de los ingredientes de la belleza, va unida al número en la constitución ontológica de todo el universo. Aristóteles mismo se expresa así en su Metafísica (Libro XII cap.III, v. 9): "Las formas que mejor expresan la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente".

d) El papel auxiliar de las Matemáticas, en crecimiento continuo y exponencial.

Como se puede apreciar, los puntos a y c de los acuerdos del ICME, aportan otras dos razones para la enseñanza de la Matemática. Lo que quiere decir, que en una forma u otra, no hay duda de la necesidad de la presencia de la Matemática en los currículos escolares, aunque también es una conclusión definitiva, que el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, se debe desarrollar en aras de satisfacer las razones por la que esta materia aparece en el currículo.

4. MARCO TEÓRICO

4.1 HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

4.1.1 Introducción

La matemática representa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica — ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Ya la encontramos en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres (donde se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas). Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos (prestar atención como cuentan los

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niños), lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción ’, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, " era la suma de las fracciones ‚ y ~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado   del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.

4.1.2 Las matemáticas en Grecia  

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares eran iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la

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regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3...), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, Ã, es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.

4.1.3 Las matemáticas aplicadas en Grecia  

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas — las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento de 7°, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de y° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

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Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema — que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría — para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.

Las Matemáticas en la Edad Madia: En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

4.1.4 La Época de Oro: Las matemáticas en el mundo islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

4.1.5 Las Matemáticas en Europa

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

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También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo

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Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle — estudiado por primera vez en el siglo XVIII — fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como "enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

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De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

4.1.6 Las Matemáticas en el Siglo XX

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los

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cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

  4.2 FILOSOFÍA DE LAS MATEMATICAS

¿De dónde provienen las concepciones acerca del conocimiento matemático escolar?

La historia da cuenta de siglos y siglos de diversas posiciones y discusiones sobre el origen y la naturaleza de las matemáticas; es decir, sobre si las matemáticas existen fuera de la mente humana o si son una creación suya; si son exactas e infalibles o si son falibles, corregibles, evolutivas y provistas de significado como las demás ciencias.

4.2.1 El Platonismo

Éste considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido desde siempre e independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas, ya que en cierto sentido está “sometido” a ellas y las tiene que obedecer. Por ejemplo, si construimos un triángulo de catetos c, d y de hipotenusa h, entonces irremediablemente encontraremos que: h2 = c2 + d2.

El Platonismo reconoce que las figuras geométricas, las operaciones y las relaciones aritméticas nos resultan en alguna forma misteriosas; que tienen propiedades que descubrimos sólo a costa de un gran esfuerzo; que tienen otras que nos esforzamos por descubrir pero no lo conseguimos, y que existen otras que ni siquiera sospechamos, ya que las matemáticas trascienden la mente humana, y existen fuera de ella como una “realidad ideal” independiente de nuestra actividad creadora y de nuestros conocimientos previos.

4.2.2 El Logicismo

Esta corriente de pensamiento considera que las matemáticas son una rama de la Lógica, con vida propia, pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos, y reducir los teoremas de las matemáticas, los teoremas de la Lógica, mediante el empleo de deducciones lógicas.

Prueba de lo anterior es la afirmación de que “La Lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias” (DOU, 1970: 59), atribuida a Kurt Gödel (1906) y que coincide, en gran medida, con el pensamiento aristotélico y con el de la escolástica medieval. Claro que hay que tener en cuenta que para los antiguos, la Lógica era más un arte que una ciencia: un arte que cultiva la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones; un juego de preguntas y respuestas; un pasatiempo intelectual que se realizaba en la Academia de Platón y en el Liceo de Aristóteles, en el que los contendientes se enfrentaban entre sí mientras el público aplaudía los ataques y las respuestas.

Esta corriente reconoce la existencia de dos Lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la inductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el mundo real; parte de

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observaciones específicas para llegar a conclusiones generales, siempre provisorias, que va refinando a través de experiencias y contrastaciones empíricas.

Una de las tareas fundamentales del Logicismo es la “logificación” de las matemáticas, es decir, la reducción de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. El primer paso fue la reducción o logificación del concepto de número. En este campo se destaca el trabajo de Gottlob Frege (1848-1925) quien afirma “...espero haber hecho probable que las leyes aritméticas son juicios analíticos y por tanto a priori. Según ello, la aritmética no sería más que una lógica más desarrollada; todo teorema aritmético sería una ley lógica aunque derivada. Las aplicaciones de la aritmética a la explicación de los fenómenos naturales serían un tratamiento lógico de los hechos observados; computación sería inferencia. Las leyes numéricas no necesitan, como pretende Baumann, una confirmación práctica para que sean aplicables al mundo externo, puesto que en el mundo externo, la totalidad del espacio y su contenido, no hay conceptos, ni propiedades de conceptos, ni números. Por tanto las leyes numéricas no son en realidad aplicables al mundo externo: no son leyes de la naturaleza. Son, sin embargo, aplicables a los juicios, los cuales son en verdad cosas de la naturaleza: son leyes de las leyes de la naturaleza...”.

Frege hizo grandes aportes a lo que hoy conocemos como Lógica matemática: cálculo proposicional, reglas para el empleo de los cuantificadores universales y existenciales, y el análisis lógico del método de prueba de inducción matemática. Frege defendía una concepción logicista, según la cual los objetos de las matemáticas son abstractos, eternos e independientes de nuestra mente (por lo tanto a Frege se le considera realista). Él pensaba que tenemos acceso a esos objetos (tales como los números y las colecciones de números) a través de la lógica. Por ejemplo, el cero se puede definir como el conjunto de todos aquellos individuos que no son idénticos a sí mismos. En efecto, para Frege el concepto de identidad es un concepto lógico. El proyecto logicista fracasa debido a la paradoja de las clases que no son miembros de sí mismas R= { C / C es un conjunto y C Ï C }La pregunta es: ¿ R Î R ? Al contestar ya sea de manera afirmativa o negativa nos encontramos en ambos casos frente a una contradicción.

El Logicismo, lo mismo que otras teorías sobre fundamentos de las matemáticas, tiene que afrontar el delicado reto de evitar caer en las paradojas, sin que haya conseguido una solución plenamente satisfactoria, después de un siglo de discusiones y propuestas alternativas. Entre los problemas que reaparecen en la discusión sobre filosofía de las matemáticas, está el de la logificación o aritmetización del continuo de los números reales: ¿Se puede entender lo continuo (los reales) a partir de lo discreto (aritmética de los naturales)?

4.2.3 ¿Puede la matemática reducirse a la lógica?

Según Carnap, la tesis central del logicismo consiste en la idea de que las Matemáticas son reducibles a la Lógica y que en realidad no son más que una parte de la Lógica. Los orígenes del logicismo se encuentran en Leibniz y en su distinción entre las verdades de la razón y las verdades de hecho. Las verdades de la Razón –mismas que las demostraciones matemáticas ponen en juego– están subordinadas al principio de no contradicción, “en virtud del cual juzgamos como falso aquello que encierra una contradicción y como verdadero aquello que se opone a lo falso”. Pero es sobre todo al final del siglo XIX y al principio del siglo XX que el logicismo encontró un mayor apoyo con los trabajos de Russell, Frege Whitehead. Apoyar o refutar la tesis del logicismo requiere comprender que la ciencia matemática se encuentra en un movimiento dialéctico entre las exigencias de la lógica formal y de la psicología (intuición). A su vez, esta comprensión permite evaluar el status como ciencia de lo que hoy es conocido con el nombre de Matemáticas. Es evidente que el logicismo puede compensar la debilidad e incluso la ausencia de ciertos conceptos asociados a representaciones intuitivas. Así por ejemplo, la noción de continuidad permaneció durante más de veinte siglos asociada a la intuición de las magnitudes y, con ella, a ejemplos y consideraciones en física como en el caso de Aristóteles. Sin embargo esto respondía al hecho preciso de que no existía una definición rigurosa de continuidad. Esta aproximación intuitiva produjo errores importantes, principalmente la creencia de que toda función continua es derivable. De esta forma, aquello que permaneció atado al deseo de ver, o de hacer ver, dejó de lado la complejidad de la teoría puramente conceptual que hoy es totalmente aceptada. Leibniz afirmaba ya que “dado que nosotros no podemos conocer intuitivamente las cosas, sólo nos queda calcularlas con la ayuda de un lenguaje bien formado”.

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El conocimiento ciego, enteramente apoyado en la asociación rigurosa de símbolos, permite el control de proposiciones que eventualmente deduciremos, pero es sobre todo una fuente de invención porque extiende los límites de la representación. La Matemática como parte de la Lógica, es entonces el gran lenguaje unificador capaz de describir los fenómenos más complejos; resta saber si este lenguaje tiene perspectivas de ser siempre útil y si no existe un exceso de vocabulario vinculado con la aparición de nuevas teorías matemáticas que parecen ser poco aplicables e incluso irreales. Cierto, la sobreestimación de la lógica alimenta la crítica sobre la importancia científica de algunas teorías matemáticas. La desconfianza engendrada por el logicismo está motivada por el hecho de que esta postura por sí misma no puede garantizar el deslizamiento frecuentemente anhelado: de la verdad formal a la verdad material, de la constatación de la no contradicción de un discurso a la afirmación dela existencia de aquello que se habla. Es precisamente en este punto donde se corre el riesgo de desacreditar nuevas teorías para las cuales no es fácil encontrar en el momento actual una analogía con el mundo real. Ahora bien, el certificado de realidad objetiva que confiere importancia y legitima las teorías matemáticas no se encuentra en la correcta discursiva y es necesario buscarlo de alguna otra forma. Para Brouwer, por ejemplo, las importantes paradojas a las cuales dieron lugar las tentativas de axiomatización de las matemáticas son interpretadas como los síntomas de una corriente formalista que favorece la organización interna de los discursos y menosprecia al espíritu creador del matemático. “Es verdad que las matemáticas son del todo independientes del mundo material, pero existir en matemáticas quiere decir ser construido por la intuición”. Se le puede reprochar a Brouwer su simplismo y su sobrevaloración de la intuición constructiva como único edificador de lo posible. Algunos podrían argumentar que la realidad objetiva va más allá de nuestras simples construcciones mentales y que la misión del matemático no se puede circunscribir a una esfera tan limitada. No obstante, el verdadero valor de la crítica de Brouwer consiste en hacer ver que las Matemáticas deben reposar sobre algún modelo que sirva de testigo a nuestras afirmaciones. La necesidad de este referente es incontestable ante la convicción de que los argumentos y las deducciones formales no surgen por mera aleatoriedad. “Debe existir un sentido común entre los axiomas reunidos el cual permite el razonamiento y que en ausencia del mismo, se cae en proposiciones completamente independientes y encerradas en la dificultad combinatoria leibniziana”.Negar este principio equivale a afirmar que el matemático está desprovisto de voluntad, que es equiparable a un demostrador automático de teoremas cuya única función consiste en yuxtaponer proposiciones y que, en última instancia, su trabajo carece de valor pues no existe una conciencia del mismo. En este sentido podemos afirmar que las Matemáticas no se pueden encerrar en la Lógica y que deben buscar el uso de un lenguaje favorable a aquellos presentimientos que más tarde serán concretizados en forma de teoremas. En un principio, estos presentimientos son vagos pero existen (pues ya han dejado una huella en la mente de quien los intenta expresar) y su vaguedad consiste en la falta de familiaridad con los mismos; la necesidad de actualización psicológica es entonces inevitable. Por tal motivo no es raro observar que la axiomatización tiene siempre un doble referencial: uno exterior del cual toma prestado el nombre de sus objetos y uno interior que consiste en la descripción matemática a través de ciertas propiedades. De esta forma opera no sólo la Geometría (cuyas figuras son todo salvo datos empíricos pero que están perfectamente claros en la mente del geómetra que los usa a la vez como referente lingüístico y punto de apoyo para sus demostraciones) sino la Matemática en general. Como alguien bien dijo: “casi todos los matemáticos son realistas de lunes a viernes y formalistas el fin de semana”.

4.2.4 El Formalismo

Esta corriente reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana y considera que consisten solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a partir de símbolos, que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o convenios preestablecidos. Para el formalista las matemáticas comienzan con la inscripción de símbolos en el papel; la verdad de la matemática formalista radica en la mente humana pero no en las construcciones que ella realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas del juego simbólico respectivo. En la actividad matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas únicamente en las reglas del juego deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con los términos y las relaciones.

Una nueva concepción matemática se expresa a través del formalismo de Hilbert, quien se propuso llevar a cabo un programa que tenía dos objetivos principales. El primero consistía en formalizar todas las

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áreas de las matemáticas, es decir, en elaborar sistemas formales a partir de los cuales se pudieran desarrollar las matemáticas. La estrategia de Hilbert fue la de formalizar primero la aritmética para así poder lograr su segundo objetivo: mostrar que dicho sistema era consistente. De acuerdo al formalismo, el objeto de estudio de las matemáticas lo constituyen los sistemas deductivos, los cuales consisten de símbolos y reglas para su manipulación. En la década de los años treinta, el matemático Kurt Gödel demostró que la aritmética no “puede probar su propia consistencia”, lo cual dio fin al programa de Hilbert.

4.2.5 El Intuicionismo

Considera las matemáticas como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que percibe a través de los sentidos y también como el estudio de esas construcciones mentales cuyo origen o comienzo puede identificarse con la construcción de los números naturales.

Puede decirse que toda la matemática griega, y en particular la aritmética, es espontáneamente intuicionista, y que la manera como Kant concebía la aritmética y la geometría es fundamentalmente intuicionista, por más que el Intuicionismo como escuela de filosofía de las matemáticas se haya conformado sólo a comienzos del siglo XX.

El principio básico del Intuicionismo es que las matemáticas se pueden construir; que han de partir de lo intuitivamente dado, de lo finito, y que sólo existe lo que en ellas haya sido construido mentalmente con ayuda de la intuición.

El fundador del Intuicionismo moderno es Luitzen Brouwer (1881-1968), quien considera que en matemáticas la idea de existencia es sinónimo de constructibilidad y que la idea de verdad es sinónimo de demostrabilidad. Según lo anterior, decir de un enunciado matemático que es verdadero equivale a afirmar que tenemos una prueba constructiva de él. De modo similar, afirmar de un enunciado matemático que es falso significa que si suponemos que el enunciado es verdadero tenemos una prueba constructiva de que caemos en una contradicción como que el uno es el mismo dos.

Los intuicionistas elaboran una nueva concepción de acuerdo a la cual los objetos de estudio de las matemáticas son construcciones mentales y por lo tanto ya no son objetos eternos, pues existen sólo en la medida en que son pensados. Esta escuela admite que existen proposiciones matemáticas que no son ni falsas ni verdaderas, limitando así el alcance del principio del tercero excluido. Como una gran cantidad de demostraciones en matemáticas dependen de la aceptación del principio del tercero excluido, el rechazo de dicho principio reduce en gran medida lo que para los intuicionistas constituyen las matemáticas.

   

 En la concepción "intuicionista" de L.E.J. Brouwer, la matemática debe fundamentarse, en lo posible, al margen de toda consideración filosófica. Pero si uno considera los objetos matemáticos, por ejemplo, los números naturales, como algo dado independientemente de que se les piense o no, tal consideración pre-supone una idea de existencia que es, ella misma, fruto de una concepción filosófica particular. La existencia de una entidad ideal "tres" (algo que como tal no es observable en el mundo real, es algo muy distinto de la existencia de entidades reales como pueden ser "tres naranjas".

Por esta razón, Brouwer cree que los objetos matemáticos son creados (construidos) por la actividad mental del matemático. Si con todo se admitiera la existencia transcendente de las entidades matemáticas, tal presuposición, lo mismo que la de su construcción humana, no debe desempeñar papel alguno en las demostraciones matemáticas.

Brouwer desarrolló esta concepción en estrecho contacto con los trabajos del grupo de G. Mannoury sobre los "significs" (en la red de comunicacación metateórica de Lady Welby). Esto tuvo lugar en los años siguientes a su famoso ataque a la presunta validez universal del principio "tertium non datur" (1908). Y donde radicalizó la crítica a Cantor (1904) - en la misma línea seguida por los miembros de la Escuela de Paris (H. Poincaré; É. Borel; H.L. Lebesque; R.-L. Baire - es decir, los llamados "semiintuicionistas" -, es decir, cuestionando la ingenua teoría de conjuntos según la cual existiría un infinito actual.

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En el modo de ver (observar) del matemático, la matemática no va más allá de los objetos construidos por él; es por tanto algo objetivo, en la medida en que cualquier otro también puede comprender las descripciones de dichas construcciones o puede reconstruirlas él mismo llegando a los mismos resultados. La peculiar "existencia" de los objetos matemáticos con sus particulares propiedades sólo es demostrable a través de la re-construcción de dichos objetos.

Desde la perspectiva "constructivista" de Brouwer, las entidades matemáticas deben ser observadas al margen de la forma habitual de concebir la verdad. Los criterios de verdad a aplicar en esta consideración serán pues distintos de los de la vida cotidiana en que tenemos que admitir ciertos principios, como el de no-contradicción o el del "tertium non datur". La peculiar existencia de una entidad matemática sólo puede ser objeto de inferencia si se indica la forma - reproducible por cualquier otro observador constructor - de su construcción. Dado que las proposiciones matemáticas no se refieren a un reino de la realidad objetiva independiente del observador que las construye-intuye, la negación de una afirmación sólo podrá demostrarse por el hecho de que la construcción presupuesta en tal proposición lleva a una contradicción, diríamos, operativa, es decir, con la misma actividad constructiva. Pero en la medida en que ni se realiza la construcción, ni se deriva de ella una contradicción, no se podrá afirmar nada sobre ella.

Como escribía más tarde Arendt Heyting: "un aserto matemático afirma el hecho de que se ha efectuado una cierta construcción. Es bien claro que la construcción no se había llevado a cabo antes de efectuarse [...] Todos los matemáticos, incluyendo los intuicionistas, abrigan la convicción de que en algún sentido las matemáticas se ocupan de verdades eternas; pero cuando se trata de definir precisamente este sentido, queda uno prendido en un laberinto de dificultades metafísicas. El único modo de evitarlas es desterrarlas de las matemáticas. Es lo que quería (yo) decir al afirmar que estudiamos las construcciones matemáticas como tales y que para este estudio es inadecuada la lógica clásica".

Formulado de otra forma: "En el estudio de las construcciones mentales matemáticas 'existir' debe ser sinónimo de 'ser construido' ".

Brouwer se oponía así radicalmente tanto al Logicismo (de Frege y Russell) como al Formalismo (de Hilbert).

La Lógica no puede decir nada sobre la fundamentación de la matemática, pues ella misma utiliza ya conceptos matemáticos, es, en el fondo, mera aplicación de la matemática.

Y el construccionismo de Brouwer se aparta del Formalismo por la finalidad de su modo de observar: mientras que los formalistas, partiendo de lo cuestionable de muchos métodos de demostración, intentan salvar al menos en su forma el contenido de la matemática, Brouwer intenta elaborar de una forma lo más pura posible las inferencias matemáticas. Para los formalistas, el lenguaje matemático constituye el objeto central de su trabajo; para Brouwer, tal lenguaje formal es un mero medio para su comunicación sobre la realidad última de la matemática. Por esta razón se opuso al intento de formalizar el mismo Intuicionismo en la obra de su discípulo Heyting (1930) que intentó reducir esta concepción que, para él, era al fin y al cabo filosófica, a un mero cálculo lógico.La matemática no era para Brouwer una teoría (un conjunto o sistema de conceptos, teoremas etc.), sino una actividad, un modo de proceder - hoy hubiera probablemente dicho: un "programa" de operaciones mentales - ante todo de dos básicas: la intuición primordial del enumerar (añadir unidad a unidad), y la del medir (que él consideraba como una repetición de la operación de la subdivisión de unidades). Es decir, la matemática no sería sino la forma metódica de proceder en experiencias internas.

El programa de Intuicionismo matemático, por ejemplo, comprenden la Aritmética y el Análisis, no como sistemas axiomáticos (como en el enfoque formalista), sino como teorías quasi-empíricas (de experiencia interna). Y en ese proceder constructivo nunca es posible llegar a un aseguramiento total de la exactitud de lo inferido a partir de los elementos formales del lenguaje matemático. Más que 'en el papel', la certeza matemática se da 'en el espíritu' (de su constructor, del que piensa según el programa de operaciones matemáticas).

Esta idea - diametralmente opuesta a la de los formalistas y logicistas - induce (lo mismo que en el Intuicionismo filosófico) el malentendido de que sería posible una construcción de los objetos matemáticos

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independientemente de las operaciones realizadas en la dimensión sintáctica, en su representación en el lenguaje matemático.

Pero, precisamente a partir del esfuerzo de Heyting por formalizar el Intuicionismo matemático, la concepción intuicionista es ella misma representable en tal sintáctica formalizada.

La realización de este programa intuicionista llevó, por un lado, a cierto empobrecimiento pues abandonaba ciertas formas de demostración, y por otro lado enriqueció la reflexión filosófica sobre la matemática al posibilitar introducir nuevos "conceptos" que no podían antes ser configurados de forma lógica, como es el caso del una sucesión siempre incompleta, pero que puede proseguirse de forma indefinida.

Este intuicionismo ha sido "formalizado" él mismo en lenguaje lógico-matemático

Conviene aclarar que el Intuicionismo no se ocupa de estudiar ni de descubrir las formas como se realizan en la mente las construcciones y las intuiciones matemáticas, sino que supone que cada persona puede hacerse consciente de esos fenómenos. La atención a las formas como ellos ocurren es un rasgo característico de otra corriente de los fundamentos de las matemáticas: el Constructivismo, al cual nos referimos enseguida.

4.2.6 El Constructivismo

Está muy relacionado con el Intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una creación de la mente humana, y que únicamente tienen existencia real aquellos objetos matemáticos que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas constructivistas van muy bien algunos planteamientos de Georg Cantor (1845-1918): “La esencia de las matemáticas es su libertad. Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis” (Davis, Hersh,1988: 290).

El Constructivismo matemático es muy coherente con la Pedagogía Activa y se apoya en la Psicología Genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza la construcción de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede reemplazar.

En matemáticas, muchos enunciados “existenciales” tales como “Existe un número primo mayor que 100 tal que…” sólo se han podido demostrar por lo que se conoce como “prueba por reducción al absurdo” (es decir, la demostración de dichos enunciados consiste en asumir que son falsos y mostrar que esto lleva a una contradicción), la cual depende del principio del tercero excluido. El constructivismo, que es una variante del intuicionismo, admite como demostraciones válidas de enunciados existenciales, únicamente aquellas que exhiben o nos dicen cómo construir el o los objetos cuya existencia afirman dichos enunciados.

 

4.2.7 Constructivismo y Formalismo: dos formas diferentes de ver la Matemática

En las próximas líneas hablaremos de dos tendencias que han coexistido a lo largo de la historia de las Matemáticas y que a lo largo de ella han aparecido enfrentadas la una con la otra, hablamos del constructivismo y del formalismo.

Desde la época de Aristóteles y Platón se ha creído que las matemáticas existen con independencia del conocimiento humano y que son una verdad absoluta, y así, el trabajo de los matemáticos era el descubrir esa verdad, en lo que personalmente estoy de acuerdo. Pero antes de dar ninguna opinión veamos como se desarrolló esta idea a lo largo de la historia.

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El embrollo viene cuando algunos matemáticos niegan esta idea de matemáticas independientes del conocimiento humano. Así, un matemático alemán llamado Leopold Kronecker escribió: "Dios creó los números enteros y todo lo demás es obra del hombre". Según el, el trabajo de los matemáticos ya no es descubrir, sino inventar. Esta es la principal idea de la llamada matemática constructivista, que afirma que para probar la existencia de un objeto matemático existe es necesario mostrar como puede construirse. El filósofo Immanuel Kant afirmó en el s.XVII que la razón última de veracidad en la matemática residía en el hecho de que sus nociones puedan ser construidas por la mente humana.

Sobre todo, la idea matemática que ha producido mayor controversia en la historia de las matemáticas ha sido la noción de infinito.

Ya los griegos procedieron con extrema cautela en lo concerniente al infinito. Euclides, al referirse a rectas se refería a segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos, y esta es la noción de infinito potencial. Podemos pensar también que existen en verdad rectas infinitamente largas que es la noción de infinito actual y es metafísicamente muy distinta a la anterior.

Esta noción de infinito actual no es utilizada por los matemáticos hasta bien entrada la era moderna de la matemática que comienza en el s.XVII cuando René Descartes y Pierre de Fermat introducen las coordenadas cartesianas produciendo un cambio fundamental en el desarrollo de las matemáticas: los objetos empiezan a ser números y no longitudes.

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollan a partir de ese cambio el cálculo diferencial, que maneja números infinitamente pequeños pero distintos de cero.

Pero este descubrimiento produjo serias discusiones con los matemáticos de la época y pasó algún tiempo hasta que estos vieron su innegable utilidad y comenzaron a aceptarlo, aunque dudando de su base filosófica.

Aun así, toda esta controversia produjo a finales del s.XIX una de las teorías más importantes (y porqué no decirlo, más discutidas) de la historia de las matemáticas: la teoría de conjuntos, que fue desarrollada sobre todo por el matemático Georg Cantor.

Cantor definió los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes consecuencias sobre la noción de infinito, ya que hay conjuntos que por su naturaleza son infinitos actuales, como por ejemplo *.

El estudio de estos objetos condujo a Cantor a la conclusión de que igual que varía la cardinalidad de los conjuntos finitos, también varía la de los conjuntos infinitos, por ejemplo, * y * no tienen la misma cardinalidad ya que * es "más infinito" que *. Cantor demostró también que para cada conjunto infinito, existe otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extraño, muchos matemáticos de la época encontraron absurda la noción de conjunto infinito como ente individual.

No obstante, todavía produjo más escándalo las aplicaciones que Cantor dio a los conjuntos infinitos. Una de ellas fue el procedimiento que ideó para demostrar que existen infinitos números transcendentes, esto es, números que no verifican ninguna ecuación de la forma: anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0 con ai" "i

Demostró primero que el conjunto de los números algebraicos (los que si verifican alguna de las ecuaciones anteriores) es infinito numerable y luego supuso que el conjunto de los números trascendentales también es infinito numerable, pero como es infinito no numerable, llegó a una contradicción.

Esta forma de demostración por reducción al absurdo fue criticada por Kronecker y sus seguidores ya que demostraba existencia sin construcción, y según ellos, para establecer la existencia de un objeto era necesaria la construcción de este, es decir, era necesario un procedimiento por el cual el objeto fuese construido al menos en principio, aunque no era necesario que tal procedimiento fuese llevado a la práctica, lo único que pedía era que la construcción fuese llevada a cabo en un número finito de pasos y que en cada paso no hubiese ninguna duda de como se procedería en el paso siguiente. No hace falta decir que Cantor

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no cumplía ninguno de estos requisitos en su demostración ya que no generaba en ella ningún número trascendental.

La demostración que dio Cantor fue la primera de las llamadas demostraciones de pura existencia. El establecía la existencia de los números trascendentales demostrando que la no existencia nos llevaba a una contradicción. Estas demostraciones por reducción al absurdo eran aceptadas por todos los matemáticos si se trataban de conjuntos finitos ya que se podía mostrar cualquier objeto inspeccionando todos los miembros del conjunto, pero esto no es posible para un conjunto infinito como el de los números trascendentales y este es el motivo por el cual muchos matemáticos no aceptaban la demostración de Cantor.

Pero entonces apareció el bueno de David Hilbert y lo hizo todavía más difícil, ya que en 1889 publicó una demostración de pura existencia en la que demostraba la existencia de ciertos objetos que nadie ha visto jamás y de los que no se tiene la menor idea de construirlos.

Tras la muerte del Kronecker en 1891, la teoría de conjuntos fue produciendo valiosos resultados, y la lucha que mantenían los matemáticos constructivistas contra los métodos de Cantor y luego Hilbert se fue haciendo cada vez más débil hasta que apareció en escena el matemático L.E.J. Brouwer. Este opinaba que había que hacer distinción entre la existencia real, constructiva y la existencia pura o de lo contrario las matemáticas llegarían a carecer de significado.

Brouwer no negaba la posibilidad de demostrar la existencia de objetos que no pueden se construidos, el afirmaba que si les damos la misma validez que a los objetos reales, es decir, finitamente construidos, entonces las matemáticas serian inciertas. Según el, no podemos aplicar la ley aristotélica del tercero excluido a los conjuntos infinitos.

A partir de 1900, según se reorganizaba las matemáticas sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos aparecieron algunas paradojas que indicaban que los fundamentos teórico-conjuntistas de las matemáticas debían de tener defectos y, según Brouwer, estos defectos eran debidos a la introducción por parte de Cantor de objetos ideales. Brouwer propuso que todas las matemáticas hasta entonces fuesen reconstruidas según procedimientos constructivistas. A esta corriente se la denominó intuicionismo.

Muchos matemáticos, incluidos algunos seguidores de Brouwer eran susceptibles a esta nueva corriente ya que daba el traste con todo lo descubierto hasta entonces.

Hilbert ideó otro plan llamado formalismo. Según el, aunque los objetos ideales carecieran de significado, de estos se podrían deducir objetos y teoremas que si tuviesen significado. El sistema ideado por Hilbert requería presentar la matemática como un sistema formal axiomático utilizando las reglas de la lógica, así, todo razonamiento que pudiera provocar paradojas quedaría al descubierto. Con todo esto, Hilbert introdujo la llamada teoría de la demostración (o también metamatemática).

Aún así, Brouwer no quedó satisfecho y prosiguió con sus intentos de demostrar que las matemáticas se podían realizar de forma constructivista.

Y aunque en 1931, Kurt Gödel demostrase que el esquema formalista de Hilbert estaba condenado al fracaso, era tal la aceptación que tenía el formalismo que era imposible su rechazo. Hoy en día, la mayoría de los matemáticos prefieren la elegancia del formalismo de Hilbert al intuicionismo de Brouwer.

No obstante, el debate sobre algunos aspectos de la teoría de conjuntos (y en especial sobre el axioma de elección) está produciendo un renacido interés sobre las ideas constructivistas. Este interés ha sido impulsado sobre todo por Errett Bishop, que en 1967 publicó su libro The Foundations of Constructive Mathematics. El trabajo de Bishop pone en relieve que los métodos constructivistas pueden ser tan beneficiosos como los métodos formalistas para el desarrollo de las matemáticas.

La principal diferencia entre Bishop y Brouwer es que el primero no rechaza la teoría de conjuntos de Cantor, sino que intenta modificarla para dotarla de validez constructivista. Según esto, el axioma de

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elección, que fue el más criticado de la teoría de conjuntos de Cantor por Brouwer y sus seguidores, es ahora totalmente aceptado.

Según Bishop, tan pronto se viesen claramente las ventajas de su programa, las matemáticas modernas dejarían de existir y pasarían a ser parte de las matemáticas constructivistas, y la razón es que, a fin de cuentas, en matemática aplicada lo importante es encontrar la solución a cierto problema y no solo saber su existencia.

A mi entender, las matemáticas son como "el lenguaje de la Naturaleza" y esta ha existido siempre, así que por ejemplo, los grupos existían antes de que Galois los descubriera. Pero también pienso que sería un error dejar de lado la matemática constructivista ya que esta intenta darnos una visión más clara de la realidad al intentar mostrarnos los objetos tal y como son. Se tendría que intentar que una vez demostrada la existencia de cierto objeto mediante una demostración de pura existencia (más corta y elegante) se efectuase una construcción del objeto que ya sabemos que existe. Y todo ello sin rechazar, como ya he dicho antes, la existencia de las matemáticas con independencia del conocimiento humano. Puesto que las leyes de la Naturaleza han existido y existirán siempre, con ellas existirá su lenguaje.

 4.2.8 Estructuralismo

  El estructuralismo considera que el objeto de estudio de las matemáticas son estructuras. Los números naturales, por ejemplo, pueden identificarse con cualquiera de las siguientes dos secuencias de conjuntos:

  (1) Æ, }Æ{, {{}Æ}, {{{}Æ}}, . . .(2) Æ, }Æ{, {Æ, }Æ{}, {Æ, }Æ{, Æ{, }Æ{}}, {Æ, }Æ{, Æ{, }Æ{}, Æ{, }Æ{, Æ{, }Æ{}}}, . . .

  Cada identificación por separado brinda una respuesta concreta a la pregunta de qué son los números naturales. En el segundo caso, por ejemplo, se afirmaría que el número cero es el conjunto vacío, el uno el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, y, en general, que el sucesor de un número natural n (es decir, n + 1) es la unión de los conjuntos n y {n}. En contraste, el estructuralismo afirma que ninguna secuencia como las anteriores constituye “el” conjunto de números naturales (y por lo tanto que no hay una respuesta a preguntas tales como qué objeto es, por ejemplo, el número tres). Secuencias como las anteriores son, de acuerdo al estructuralismo, instancias de algo más general: cada una ejemplifica una estructura cuya descripción está dada por ciertos postulados (los axiomas de Peano). Más precisamente, dichos postulados expresan todas aquellas características, y sólo ésas, que tienen en común secuencias como las dos anteriores. Así, una secuencia infinita como la siguiente:

. . . también exhibe “la” estructura que tienen las dos anteriores (pues además de ser infinita, es discreta, es decir, no es continua, y tiene, entre otras características, un primer “elemento” o un comienzo). Las matemáticas estudian, de acuerdo al estructuralismo, las características comunes de secuencias como las anteriores.   Las tradiciones antes mencionadas reflejan algunas de las preocupaciones ontológicas y epistemológicas particulares de los filósofos de las matemáticas, pero la filosofía de las matemáticas no sólo se limita a la clarificación de los conceptos.

 

4.3 Influencia de la Psicología en la Didáctica de las matemáticas.

Una premisa básica que subyace a todo trabajo en didáctica de las matemáticas, y en concreto desde la perspectiva de la ciencia cognitiva, es que las estructuras mentales y los procesos cognitivos son extremadamente ricos y complejos, pero pueden ser entendidas y que tal comprensión producirá importantes avances en nuestro conocimiento sobre las diversas formas en que tienen lugar el aprendizaje.

Durante la mayor parte de este siglo, la investigación en didáctica de las matemáticas ha estado influida por una corriente conocida como asociacionismo, cuya recomendación pedagógica más simple era la práctica educativa de ejercicios bien secuenciados. No se prestó ningún interés en explorar las estructuras cognitivas

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del individuo. En el caso más extremo, Skinner llegó a afirmar que quedaba fuera de lugar en su teoría, por poco útil, cualquier atención a las estructuras mentales.

4.3.1 Una metodología de investigación: el paradigma agrícola

Las metodologías de investigación imperantes desde la década de los cincuenta hasta bien entrada la de los setenta se puede resumir en el paradigma agrícola. Se confió en los métodos estadísticos a gran escala y en el análisis de datos (Schoenfeld, 1987, p. 7). Tales análisis provenían de la asunción de que los patrones obtenidos a partir de datos de un gran número de personas aportaban una información más fiable que los obtenidos a partir de individuos particulares. El problema fundamental era el control de variables. La cantidad de pesticida, agua y la acidez del suelo entre otras, eran más fácilmente controlables en un experimento agrícola que en un experimento educativo. Otra distinción importante era la de grupo experimental y grupo de control. El primero recibía todas las atenciones necesarias contempladas como variables que mejorarían el rendimiento de los alumnos, mientras que el segundo seguiría una enseñanza normal. De esta forma, cualquier mejora en los alumnos del primer grupo, el experimental, se atribuiría a las recomendaciones pedagógicas, metodología o materiales empleados. Un problema fundamental aquí, es que no se controlaban las diferencias individuales de los alumnos, o no se utilizaban en el análisis de los datos obtenidos. Así, si se quería establecer alguna relación entre habilidades visuales espaciales y el sexo de los alumnos, se sometía una amplia muestra de alumnos a un test y, mediante el análisis estadístico, se establecía determinada correlación. Un ejemplo de esto último es el hallazgo de que los alumnos varones poseen mejores habilidades visuales que las alumnas. Otro ejemplo, es que la habilidad verbal es un aspecto importante de la resolución de problemas. Además, el propio test caracterizaba tales habilidades, de forma que poseerlas implicaba obtener determinada puntuación en los tests correspondientes.

Durante los sesenta y los setenta muchas de tales investigaciones proporcionaron un gran número de estudios ambiguos o contradictorios, de tal forma que no se disponía de hallazgos importantes que arrojaran luz sobre la educación. Lo cual muestra la dificultad de aplicar tal paradigma a la educación. Por desgracia para los investigadores los alumnos han demostrado ser mucho más complejos que los campos de cultivo. Algunos investigadores, entre ellos Kilpatrick, propusieron aparcar por un tiempo, las investigaciones estadísticas hasta que se dispusiera de un mejor conocimiento de los procesos mentales que se querían medir.

4.3.2 Aportación del conductismo y neo-conductismo a la didáctica de las matemáticas

Desde la Psicología Educativa ha habido dos contribuciones claras a la didáctica de las matemáticas. Una conforma lo que se ha dado en llamar la corriente conductista o neo-conductista y la otra la corriente cognitiva. Brevemente exponemos ambas contribuciones.

4.3.2.1 El asociacionismo de Thorndike

A comienzos de siglo E.L. Thorndike inició una serie de investigaciones en educación que caracterizarían con el paso del tiempo, a lo que se ha denominado como corriente conductista en educación matemática. Thorndike se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de entrenamiento en el que los vínculos establecidos entre los estímulos y las respuestas quedarían reforzados mediante ejercicios en los que se recompensaba el éxito obtenido.

El propio Thorndike denominó conexionismo (asociacionismo) a este tipo de psicología. El aprendizaje es el producto de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas conexiones o asociaciones de estímulo y respuesta en la mente de los individuos. Por tanto, los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse sobre la base de estímulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este proceso se podrían objetivar en cambios observables de la conducta de los alumnos.

En 1922 publicó su libro The Psychology of Arithmetic. En él presentaba el principio central de su teoría del aprendizaje: todo el conocimiento incluso el más complejo esta formado por relaciones sencillas, vínculos entre estímulos y respuestas. Así, la conducta humana, tanto de pensamiento como de obra, se podría analizar en términos de dos sencillos elementos. Si se reducía la conducta a sus componentes más elementales, se descubría que consistía en estímulos (sucesos exteriores a la persona) y repuestas

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(reacción a los sucesos externos). Si se premiaba una respuesta dada a un estímulo propuesto, se establecía un vínculo fuerte entre estímulo y respuesta. Cuánto más se recompensaba la respuesta más fuerte se hacía el vínculo y por lo tanto, se sugería que uno de los medios más importantes del aprendizaje humano era la práctica seguida de recompensas (ley del efecto).

Thorndike sugirió cómo aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética afirmando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado de vínculos que conformaban la disciplina a enseñar (lo hizo para la aritmética). Una vez formulados todos los vínculos, la práctica sujeta a recompensas, sería el medio para poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos.

La teoría de Thorndike significó un gran paso hacia la aplicación de la psicología a la enseñanza de las matemáticas, siendo su mayor contribución el centrar la atención sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto determinado como es la aritmética.

4.3.2.2 El aprendizaje acumulativo de Gagné

Una teoría psicológica que quisiera dominar la enseñanza debería explicar por qué el aprendizaje sencillo facilitaba el más complejo. La lista de vínculos se establecía desde las tareas más fáciles a las más difíciles, sin embargo, no existía una teoría que explicase la dificultad psicológica de las diferentes tareas y por lo tanto, que explicase por qué si se aprendían primero los problemas más fáciles, se facilitaba el aprendizaje de los más difíciles.

El problema central aquí es la transferencia desde un aprendizaje a otro. Thorndike sugirió que tal transferencia podría ocurrir siempre que ambas tareas contuviesen elementos comunes (teoría de los elementos idénticos). Sin embargo la mayor parte de las investigaciones, en la transferencia, se realizaron en experimentos de laboratorio donde se analizaban, en detalle, una o más tareas. Otra empresa, mucho más compleja, era aplicar la teoría al curriculum escolar.

Robert Gagné, con su teoría del aprendizaje acumulativo dio este paso. En su teoría, las tareas más sencillas funcionan como elementos de las más complejas. Así al estar las tareas más complejas formadas por elementos identificables se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. Gagné propuso analizar las habilidades disgregándolas en sub-habilidades ordenadas, llamadas jerarquías del aprendizaje. De esta manera, para una determinada habilidad matemática, por ejemplo la suma de números enteros, el trabajo del psicólogo consiste en un análisis de las tareas que permite identificar los objetivos o habilidades elementales que constituyen otro más complejo, creando de este modo una jerarquía. Tal jerarquía del aprendizaje permite plantear objetivos perfectamente secuenciados desde una lógica disciplinar.

Sin embargo, una de estas jerarquías no es más que una hipótesis de partida, sobre la manera en que se relacionan entre sí ciertas habilidades matemáticas, y nos lleva a una pregunta importante ¿cómo podemos estar seguros de que tal jerarquía de habilidades es una jerarquía de transferencia que resultará útil para la enseñanza y el aprendizaje? Además, las secuencias de aprendizaje bajo tales jerarquías se manifiestan rígidas y no tienen en cuenta las diferencias individuales entre los alumnos.

La práctica educativa se centra, por lo tanto, en la ejecución y repetición de determinados ejercicios secuenciados, en pequeños pasos, que deben ser realizados individualmente y que más tarde se combinan con otros formando grandes unidades de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemática. No se presta importancia al significado durante la ejecución sino que se espera que sea al final de la secuencia, cuando el aprendiz adquiera la estructura que conforma la habilidad matemática. Se presta importancia principal al producto, respuesta de los alumnos, y no al proceso, cómo y por qué se ha dado la respuesta. En definitiva, existe poco o nulo interés en explorar las estructuras y los procesos cognitivos. La enseñanza programada, las fichas y las secuencias largas de objetivos y sub-objetivos caracterizan la corriente más radical dentro del conductismo.

Entre las críticas más recientes al diseño de instrucción (instructional design), pues con este término se conoce a la tecnología educativa derivada de los trabajos de Gagne, la más clara es la expuesta por A. Arcavi (1995) que pasamos a exponer.

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El diseño de instrucción centra su interés en una descomposición lógica de los contenidos y, por tanto, el diseño puede hacerse a priori por expertos y sin contacto alguno con alumnos. Además, pone el énfasis en los aspectos más conductistas de lo que significa ser competente en matemáticas definiendo "objetivos de conducta". Se presupone que tal diseño debería estar en manos exclusivamente de expertos, quienes son los indicados para establecer los contenidos, los problemas y las secuencias. No parece que de cabida a concepciones alternativas de la actividad matemática y parece implicar que el diseño curricular "riguroso", al tener en cuenta la textura lógica de los contenidos garantiza una trayectoria satisfactoria del aprendizaje.

Un aspecto importante de tales investigaciones es que no se interesaban en qué ocurría durante la realización de determinados problemas, las secuencias de aprendizaje o las cuestiones presentadas en los tests. Si algo miden, tales metodologías, es el producto o resultado del proceso de tales tratamientos. Nunca los procesos de pensamiento involucrados en tales productos. La distinción entre proceso y producto caracteriza, de forma radical, la diferencia entre una metodología conductista o neoconductista y una metodología de tipo cognitivo.

(Para ejemplos sobre jerarquía de habilidades matemáticas y ampliación sobre el contenido de este apartado remitimos a la obra: La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. L.B. Resnick y W.W.Ford. Paidos. Ministerio de Educación y Ciencia. 1990.)

4.3.3 La ciencia cognitiva

La cognición no comienza con los conceptos, sino todo lo contrario, los conceptos son el resultado del proceso cognitivo (Freudenthal 1991, p.18). Las matemáticas, más que ningún otro dominio científico, permiten dar definiciones explícitas desde muy pronto. Por ejemplo, los números pares e impares pueden definirse a partir de los números naturales. Pero la dificultad radica en cómo definir los números naturales. Tales números se generan a partir del proceso de contar, en vez de a partir de una definición. De esta manera pasan a formar parte del sentido común.

El problema central de la ciencia cognitiva es la construcción de los conceptos por los individuos. Qué procesos mentales se activan y cómo tales procesos dan forma al concepto, son preguntas claves en tal metodología de investigación. Lo que le interesa principalmente al investigador cognitivo, es construir un modelo del proceso de comprensión de los alumnos. En tal modelo se debe especificar qué conocimiento particular es accesible a los alumnos, las estrategias de las que se sirven y la naturaleza de la interacción entre el conocimiento y las estrategias desarrolladas.

Un término importante, en ciencia cognitiva, es el de esquema cognitivo o el de esquema conceptual, siendo el primero más general y amplio que el segundo. Para tales términos no existen definiciones precisas, tal y como se entienden en matemáticas. Para hacernos una idea de tal término pensemos en un ejemplo de la matemática elemental. La inclusión, en los curriculum de secundaria, del concepto de función real de variable real es uno de los logros más importantes de la corriente conocida como matemática moderna. Tal concepto se introdujo a partir de las relaciones entre conjuntos, hasta concluir en el par ordenado como definición formal del concepto de función. Así por ejemplo, la función f(x)=x2, se define como {(x,y) RxR/ y = x2}. Sin embargo, pocos profesores experimentados, utilizarían tal definición como introducción a las funciones reales. A pesar de ser un ejemplo sencillo en sí es un ejemplo abstracto. Parecería más oportuno comenzar con la construcción de una tabla de valores y a continuación realizar una gráfica de la función. Tal secuencia, presente en muchos libros de la época e incluso hoy día, señala tres aspectos del concepto de función: la fórmula, la tabla de valores y la gráfica. Es decir, tenemos tres aspectos de tres dominios diferentes: el algebraico, el aritmético y el geométrico. Con ambos pretendemos que, la relación abstracta entre las variables x e y que caracteriza el concepto de función real, quede clara. Sin embargo, investigaciones recientes como la llevada a cabo en el Shell Centre de la Universidad de Nottigham (Reino Unido) han puesto en evidencia las dificultades del concepto de función. Entre los hallazgos más importantes encontramos las dificultades que presentan los alumnos para coordinar la información relativa a las dos variables y los dos ejes, presentando los alumnos dificultades a la hora de calcular incrementos de ordenada correspondientes a incrementos de abscisa dada o viceversa (Shell Centre, 1990).

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4.3.3.1 La teoría desarrollada por Jean Piaget

Piaget denominó epistemología genética a su teoría sobre la construcción del conocimiento por los individuos (Piaget, 1987; García, 1997). Su centro de interés es la descripción del desarrollo de los esquemas cognitivos de los individuos a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales.

El principio central de la teoría de Piaget sobre la construcción del conocimiento es la equilibración (Piaget, 1990; García, 1997). Tal equilibración se lleva a cabo mediante dos procesos, íntimamente relacionados y dependientes, que son la asimilación y la acomodación.

Cuando un individuo se enfrenta a una situación, en particular a un problema matemático, intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos existentes. Es decir, intentar resolver tal problema mediante los conocimientos que ya posee y que se sitúan en esquemas conceptuales existentes. Como resultado de la asimilación, el esquema cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situación.

La asimilación y la acomodación se muestran en la teoría piagetiana como las herramientas cognitivas útiles y fundamentales en el restablecimiento del equilibrio cognitivo en el individuo. El binomio asimilación-acomodación produce en los individuos una reestructuración y reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes. Si los individuos construyen su propio conocimiento, la equilibración expresa el proceso mediante el cual se produce tal construcción, señalándose así el carácter dinámico en la construcción del conocimiento por los individuos, como hipótesis de partida para una teoría del análisis de los procesos cognitivos (García, 1997, p 41).

La abstracción reflexiva o reflectora es un término definido por Piaget y central en su teoría de la construcción del conocimiento. Piaget llama así a la abstracción que parte de las acciones u operaciones y no meramente de los objetos (Beth y Piaget, 1980, p. 212). La abstracción reflexiva conlleva dos momentos indisolubles (Piaget, 1990, p. 40): un proceso de reflexión, ‘reflejamiento’ o proyección que hace pasar lo que es abstraído de un plano inferior a otro superior (por ejemplo de la acción física a la representación mental) y un producto de la reflexión, una ‘reflexión’ en el sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción cognitiva, sobre el nuevo plano de la que ha sido extraído del plano precedente. En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobre objetos concretos, físicos o imaginados, mientras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadas actúan sobre objetos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos. Siendo así que el sujeto reconstruye lo así abstraído en un plano superior nuevo, cuyo funcionamiento es distinto, y que tal reconstrucción conduce a un esquema cognitivo más general (Beth y Piaget, 1980, p. 229).

Piaget señaló su carácter constructivo, por lo tanto no de descubrimiento, pues la abstracción reflexiva consiste en traducir una sucesión de actos materiales en un sistema de operaciones interiorizadas cuyas leyes o estructura se comprenden en un acto simultáneo. La abstracción reflexiva se refiere, por tanto, a las acciones y operaciones del sujeto y a los esquemas que le conduce a construir (Piaget y García, 1982 p. 247) y es, por lo tanto, puramente interna al sujeto. Destaquemos aquí que lo que constituye la génesis del conocimiento y que aporta su cualidad constructiva son las acciones y no la mera observación. Pues por medio de las acciones se desencadena el proceso de abstracción reflexiva en el individuo y su conclusión será la construcción mental de un nuevo ente abstracto, objeto o concepto más general.

La importancia del papel jugado por la abstracción reflexiva en la construcción de los conceptos matemáticos ha dado lugar, recientemente, a dos marcos teóricos, extensiones de la teoría desarrollada por Jean Piaget: La generalización operativa (Dörfler, 1991) y el marco teórico acción-proceso-objeto (Dubinsky, 1991 y 1997). Tales marcos teóricos, que no expondremos aquí, pueden ser consultados por los interesados en las citas bibliográficas señaladas.

4.3.3.2 Procesamiento de la información

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Frente a la teoría de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los conceptos y, a partir de ciertos estudios realizados en el campo de la computación sobre habilidades lingüísticas de los humanos, surge en la década de los setenta la teoría denominada procesamiento de la información.

La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente actúa (procesan) sobre los datos que proceden del entorno interno o externo (información). Toda la información es procesada por una serie de memorias, que procesan y almacenan de forma distinta y que además están sujetas a determinadas limitaciones en su función. La combinación de tales memorias constituye el sistema de procesamiento de la información.

La información entra en el sistema a través de un registro de entrada sensorial, llamado a veces memoria icónica o buffer sensorial. Esta primera memoria, es capaz de recibir información visual, auditiva o táctil directamente del entorno y puede recibir mucha información al mismo tiempo, pero solo puede almacenarla durante una fracción muy pequeña del mismo después del cual se pierde.

La memoria que se encarga de recoger la información situada en el primer componente, la memoria icónica, es la memoria de trabajo o a corto plazo. La memoria de trabajo es aquella en la que se almacena temporalmente la información codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de la información, es decir, donde se realiza el proceso de pensar.

Por último, se encuentra la memoria a largo plazo o semántica. En este componente del sistema es donde se almacena todo el conocimiento, lo que sabe, el individuo de forma permanente.

Cómo se almacena y cómo se utiliza la memoria semántica por el individuo es una cuestión clave en este modelo de construcción del conocimiento por los individuos. Por ejemplo, cómo utiliza el individuo la memoria semántica para desarrollar y poner en práctica determinadas habilidades como lo es comprender, deducir, generalizar, entre otras. La forma más simple que se ha dado es en una lista larga, estructurada y organizada. Los objetos, piezas de información de tal lista, están conectados mediante vínculos o asociaciones significativas, denominadas redes.

Existen varios modelos, dentro de esta teoría, sobre la memoria semántica y las redes para explicar las habilidades propias del conocimiento en los individuos y todos describen el conocimiento humano como estructurado y organizado. Los modelos más recientes se parecen mucho a las concepciones asociacionistas, siendo así que, se ha considerado recientemente al procesamiento de la información, aunque dentro de la ciencia cognitiva, como un heredero del asociacionismo.

4.4 Fines de la educación

De conformidad con el artículo 67 de la Constitución Política, la educación se desarrollará atendiendo a los siguientes fines: 1. El pleno desarrollo de la personalidad sin más limitaciones que las que le imponen los derechos de los demás y el orden jurídico, dentro de un proceso de formación integral, física, psíquica, intelectual, moral, espiritual, social, afectiva, ética, cívica y demás valores humanos. 2. La formación en el respeto a la vida y a los demás derechos humanos, a la paz, a los principios democráticos, de convivencia, pluralismo, justicia, solidaridad y equidad, así como en el ejercicio de la tolerancia y de la libertad. 3. La formación para facilitar la participación de todos en las decisiones que los afectan en la vida económica, política, administrativa y cultural de la Nación. 4. La formación en el respeto a la autoridad legítima y a la ley, a la cultura nacional, a la historia colombiana y a los símbolos patrios. 5. La adquisición y generación de los conocimientos científicos y técnicos más avanzados, humanísticos, históricos, sociales, geográficos y estéticos, mediante la apropiación de hábitos intelectuales adecuados para el desarrollo del saber. 6. El estudio y la comprensión crítica de la cultura nacional y de la diversidad étnica y cultural del país, como fundamento de la unidad nacional y de su identidad. 7. El acceso al conocimiento, la ciencia, la técnica y demás bienes y valores de la cultura, el fomento de la investigación y el estímulo a la creación artística en sus diferentes manifestaciones.

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8. La creación y fomento de una conciencia de la soberanía nacional y para la práctica de la solidaridad y la integración con el mundo, en especial con latinoamérica y el Caribe. 9. El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con prioridad al mejoramiento cultural y de la calidad de la vida de la población, a la participación en la búsqueda de alternativas de solución a los problemas y al progreso social y económico del país. 10. La adquisición de una conciencia para la conservación, protección y mejoramiento del medio ambiente, de la calidad de la vida, del uso racional de los recursos naturales, de la prevención de desastres, dentro de una cultura ecológica y del riesgo y la defensa del patrimonio cultural de la Nación. 11. La formación en la práctica del trabajo, mediante los conocimientos técnicos y habilidades, así como en la valoración del mismo como fundamento del desarrollo individual y social. 12. La formación para la promoción y preservación de la salud y la higiene, la prevención integral de problemas socialmente relevantes, la educación física, la recreación, el deporte y la utilización adecuada del tiempo libre, y 13. La promoción en la persona y en la sociedad de la capacidad para crear, investigar, adoptar la tecnología que se requiere en los procesos de desarrollo del país y le permita al educando ingresar al sector productivo.

5. OBJETO DE LA MATEMÁTICA

La Matemática ha sido y es, en todas las sociedades civilizadas, un instrumento imprescindible para el conocimiento y transformación de la realidad que caracterizan la acción humana, "es considerada como ciencia prototípica del razonamiento″ .

Todas las ramas de la matemática, están unidas por lo general, de su objeto. Este objeto lo constituyen, según F. Engels, las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real. Esas diferentes ramas, tienen por tanto que ver con las formas particulares, individuales de estas relaciones cuantitativas y formas espaciales o se distinguen por la singularidad de sus métodos. Estas relaciones cuantitativas y formas especiales se estudian a partir de las abstracciones, intentando, según Engels; el aislamiento de esas formas y relaciones de su contenido, lo cual es realmente imposible y constituye la contradicción fundamental de la Matemática.

Las matemáticas constituyen hoy un conjunto amplio de modelos y procedimientos de análisis, de cálculo, medida y estimación acerca de las relaciones necesarias entre muy diferentes aspectos de la realidad. A semejanza de otras disciplinas constituyen un campo en continua expansión y creciente complejidad, donde los constantes avances dejan anticuadas las acotaciones y concepciones tradicionales. Es por ello que en el transcurso del desarrollo de las matemáticas se consideran cada vez objetos más abstractos, incluidos en las clases de las relaciones cuantitativas y formas espaciales,… "la matemática es una exploración de la complejidad de ciertas estructuras de la realidad".

Las matemáticas deben mucho de su prestigio académico y social al doble carácter que se les atribuye de ser una ciencia exacta y deductiva. La cualidad de la exactitud, representa la parte más tradicional de la matemática, que en la actualidad comprende también ámbitos tales como la teoría de las probabilidades o de la estimación. Así mismo, la idea tradicional de la matemática como ciencia puramente deductiva, idea ciertamente válida para el conocimiento matemático en cuanto producto desarrollado y ya elaborado ha de analizarse a la luz del proceso inductivo y de construcción a través del cual ha llegado a desarrollarse ese conocimiento. La trascendencia especial que para la educación matemática tiene el proceso, tanto histórico como personal, de construcción empírica e inductiva del conocimiento matemático, y no solo formal o deductiva invita a resaltar dicho proceso de construcción.

Es por ello que en el desarrollo del aprendizaje matemático del escolar, desempeña un papel de primer orden la experiencia y la inducción. A través de operaciones mentales concretas, como contar, ordenar, comparar, clasificar, relacionar, analizar, sintetizar, generalizar, abstraer, entre otras, el niño va adquiriendo representaciones lógicas y matemáticas que más tarde tendrán valor por sí mismas de manera abstracta y

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serán susceptibles de formalización en un sistema plenamente deductivo, independiente ya de la experiencia directa. De ahí que la eficacia de la matemática radica en la precisión de sus formulaciones y sobre todo en la aplicación consecuente del método hipotético- deductivo característico de esta ciencia.

De las reflexiones anteriores se puede inferir que durante el estudio de la Matemática se presentan exigencias para el uso y desarrollo del intelecto, mediante la ejecución de deducciones y la representación mental de relaciones espaciales, por lo que la Matemática hace una contribución esencial al desarrollo del pensamiento de los escolares, se puede plantear que el pensamiento matemático representa, hoy en día un componente muy influyente en prácticamente cada uno de los aspectos de la cultura humana.

El desarrollo intelectual de los alumnos a través de la enseñanza de la Matemática se promueve debido a que:

Los conceptos, las proposiciones y los procedimientos matemáticos poseen un elevado grado de abstracción y su asimilación obliga a los alumnos a realizar una actividad mental rigurosa;

Los conocimientos matemáticos, están estrechamente vinculados, formando un sistema que encuentra aplicación práctica de diversas formas, lo cual permite buscar y encontrar vías de solución distintas, por su brevedad, por los medios utilizados o la ingeniosidad de su representación. Ello ofrece un campo propicio para el desarrollo de la creatividad y pensamiento lógico;

Las formas de trabajo y de pensamiento matemático requieren de los alumnos una constante actividad intelectual, que exige analizar, comparar, fundamentar, demostrar y generalizar, entre otras operaciones mentales

La contribución de la Matemática y su enseñanza al pensamiento en general de los educandos se sustenta a su vez en la contribución a formas específicas del pensamiento matemático, vinculando entre si, en particular a:

El desarrollo del pensamiento numérico y sistemas numéricos El desarrollo del pensamiento espacial y sistemas geométricos El desarrollo del pensamiento métrico y sistemas de medidas El desarrollo del pensamiento aleatorio y sistemas de datos El desarrollo del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Siguiendo la definición de un diccionario vemos cuál es el concepto que se tiene actualmente de la matemática: "Ciencia que trata de la cantidad, ya sea en abstracto (matemáticas puras), ya sea en relación a objetos o fenómenos determinados (matemáticas mixtas o aplicadas)". Sin embargo, atendiendo propiamente a la etimología, vemos que matemática es una palabra que deriva del griego, cuya raíz, máthêma significa "conocimiento", denominando mathematikós al "estudioso", al hombre que conoce a través del estudio.

El diccionario define el objeto de la matemática desde un punto de vista que la deja reducida, como suele hacerlo el pensamiento moderno, exclusivamente al ámbito de la cantidad, a lo cuantitativo, que es solamente su aplicación práctica y exterior y olvida la verdadera dimensión de esta ciencia.

Para los hombres de todas las culturas de la antigüedad la matemática era bien otra cosa: el número se entendía como el símbolo de una idea arquetípica, verdadero vehículo del conocimiento, ordenador y revelador. "Para una sociedad tradicional el concepto de número difiere diametralmente del que acerca de él pudiera tener una sociedad profana como la nuestra. Esto debe subrayarse puesto que fueron las sociedades tradicionales las que crearon los números como conceptos de relación que sus sabios e inspirados obtuvieron por revelación, mientras que la sociedad moderna sólo se ha aprovechado de ellos, tergiversando su sentido y utilizándolos exclusivamente para sus fines materiales, ignorando su auténtico significado, su verdadera esencia. En otras palabras, que los ha denigrado teniendo en cuenta sólo sus valores cuantitativos, negando las cualidades de los números, las ideas y los conceptos que ellos expresan."

"… si hoy día se utilizan los números exclusivamente para medir distancias y superficies o identificar objetos y personas, o contar, sumar, restar, multiplicar y dividir cantidades, no debemos olvidar que para el

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pensamiento tradicional el número contiene también una cualidad mágico teúrgica pues es la representación de una deidad o númen. Que el número está impreso en la trama misma del cosmos y la numerología es un lenguaje universal que puede servir para desentrañarla, para establecer relaciones precisas entre los distintos estados del ser y órdenes de la existencia y para conocernos a nosotros mismos que, en cuanto microcosmos, participamos de esa misma estructura cósmica y hemos sido creados conforme al número

6. DISEÑO

El diseño será elaborado por conjunto de grados; así: 1°, 2° y 3°; 4° y 5°; 6° y 7°; 8° y 9°, 10° y 11°, y contiene el resumen de los aspectos que a continuación se desarrollan:

6.1 PENSAMIENTOS

6.1.1 PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

En la mayor parte de las actividades de la vida diaria de una persona y en la mayoría de profesiones se exige el uso de la aritmética.

El énfasis que se ha hecho en el estudio de los números ha ido cambiando a través de las diferentes propuestas curriculares. El énfasis que ahora hacemos en el estudio de los sistemas numéricos es el desarrollo del pensamiento numérico. Se puede decir que una de las herramientas para desarrollar dicho pensamiento son los sistemas numéricos.

En esta propuesta vamos a hablar del pensamiento numérico como un concepto más general que sentido numérico, el cual incluye no sólo éste, sino el sentido operacional, las habilidades y destrezas numéricas, las comparaciones, las estimaciones, los órdenes de magnitud, etcétera.

En los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática (NCTM, 1989), sentido numérico es “una intuición sobre los números que surge de todos los diversos significados del número” (página 38 ). Los autores de estos estándares afirman que los niños con sentido numérico comprenden los números y sus múltiples relaciones, reconocen las magnitudes relativas de los números y el efecto de las operaciones entre ellos, y han desarrollado puntos de referencia para cantidades y medidas.

En este sentido Mcintosh (1992) amplía este concepto y afirma que “el pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones”. Así se refleja una inclinación y una habilidad para usar números y métodos cuantitativos como medios para comunicar, procesar e interpretar información, y se crea la expectativa de que los números son útiles y de que las matemáticas tienen una cierta regularidad.

El pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos, y se manifiesta de diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. En particular es fundamental la manera como los estudiantes escogen, desarrollan y usan métodos de cálculo, incluyendo cálculo escrito, cálculo mental, calculadoras y estimación, pues el pensamiento numérico juega un papel muy importante en el uso de cada uno de estos métodos. La invención de un algoritmo y su aplicación hace énfasis en aspectos del pensamiento numérico tales como la descomposición y la recomposición, y la comprensión de

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propiedades numéricas. Cuando se usa un algoritmo ya sea utilizando papel y lápiz o calculadora, el pensamiento numérico es importante cuando se reflexiona sobre las respuestas.

Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico hacen referencia a la comprensión del significado de los números, a sus diferentes interpretaciones y representaciones, a la utilización de su poder descriptivo, al reconocimiento del valor (tamaño) absoluto y relativo de los números, a la apreciación del efecto de las distintas operaciones, al desarrollo de puntos de referencia para considerar números. En general estos puntos de referencia son valores que se derivan del contexto y evolucionan a través de la experiencia escolar y extraescolar de los estudiantes. Otro indicador valioso del pensamiento numérico es la utilización de las operaciones y de los números en la formulación y resolución de problemas y la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo necesario, lo que da pistas para determinar si la solución debe ser exacta o aproximada y también si los resultados a la luz de los datos del problema son o no razonables.

El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemáticas es un aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento, por tanto para la adquisición del sentido numérico es necesario proporcionar situaciones ricas y significativas para los alumnos. Claramente, el pensamiento numérico es a veces determinado por el contexto en el cual las matemáticas evolucionan, por ejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 514 sea la suma de 26 + 38, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que se le revise la cuenta si tiene que pagar $5140 por dos artículos cuyos precios son $260 y $380. Para otro estudiante resulta más fácil decir que en 1/2 libra de queso hay más que en 1/4 de libra, que determinar cuál es mayor entre 1/4 1/2.

La manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a la adquisición del pensamiento numérico. Los estudiantes que son muy hábiles para efectuar cálculos con algoritmos de lápiz y papel (éste es el indicador mediante el cual se mide con frecuencia el éxito en las matemáticas) pueden o no estar desarrollando este pensamiento.

Cuando un estudiante de 6º grado dice que 3/4+5/6=8/10, o un estudiante de 2º grado afirma que 40-36=16, están intentando aplicar un algoritmo que han aprendido pero no están manifestando pensamiento numérico.

En realidad toda la importancia que en este momento se está dando al desarrollo del pensamiento numérico en la educación, es una reacción al énfasis tan grande que se le ha dado a los algoritmos para efectuar cálculos, los cuales se tratan a veces de una forma mecánica sin considerar la comprensión de los conceptos que los fundamentan.

El conocimiento de que los números se pueden representar de diferentes maneras, junto con el reconocimiento de que algunas representaciones son más útiles que otras en ciertas situaciones de resolución de problemas, es valioso y esencial para desarrollar pensamiento numérico.

Ejemplos: reconocer que 2+2+2+2 es lo mismo que 4x2 es una conexión conceptual útil entre adición y multiplicación.

Reconocer que $300 son $200 más $100 ó 3 monedas de 100, o reconocer a 30 minutos como 1/2 hora, resultaría útil en ciertas situaciones.

En un grado más avanzado, se puede reflejar el pensamiento numérico si se reconocen diferentes simbolizaciones para un mismo número, tales como 3/4=6/8 ó, 3/4= 0.75 ó 3/4=75%.

Otro aspecto importante del pensamiento numérico es la “comparación con puntos de referencia”; ésta se refiere al uso de puntos fijos comunes en nuestro sistema de numeración que son útiles para hacer juicios. Por ejemplo, cuando se considera la fracción 5/8, uno puede imaginársela gráficamente (como parte de un círculo o sobre una recta numérica) o en una fracción equivalente o en forma decimal. Una representación igualmente importante es darse cuenta que 5/8 es “un poco más que 1/2” o está entre 1/2 y 3/4”. Aquí la mitad sirve como un punto de referencia para representar y comparar otros números.

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A continuación proponemos tres aspectos básicos, sobre los cuales hay acuerdo, que pueden ayudar a desarrollar el pensamiento numérico de los niños y de las niñas a través del sistema de los números naturales y a orientar el trabajo en el aula:

Comprensión de los números y de la numeración Comprensión del concepto de las operaciones Cálculos con números y aplicaciones de números y operaciones

Haremos una breve descripción de cada uno de ellos dando algunos ejemplos de “competencias” o “comprensiones” que se espera que los alumnos muestren o utilicen.

COMPRENSIÓN DE LOS NÚMEROS Y DE LA NUMERACIÓN

La comprensión de conceptos numéricos apropiados se puede iniciar con la construcción por parte de los alumnos de los significados de los números, a partir de sus experiencias en la vida cotidiana, y con la construcción de nuestro sistema de numeración teniendo como base actividades de contar, agrupar y el uso del valor posicional.

Significados de los números: Los números tienen distintos significados para los niños de acuerdo con el contexto en el que se emplean. En la vida real se utilizan de distintas maneras, entre las cuales están las siguientes (Rico, 1987):

Como secuencia verbal Para contar Para expresar una cantidad de objetos o como cardinal Para medir Para marcar una posición o como ordinal Como código o símbolo Como una tecla para pulsar

Como secuencia verbal los números se utilizan en su orden habitual (uno, dos, tres, etc.), sin hacer referencia a ningún objeto externo, a veces con el propósito de recitar la secuencia o de cronometrar la duración de un juego o una carrera (por ejemplo diciendo los números de 1 a 10), etc. Los niños aprenden rápidamente a contar números por repetición de pautas verbales.

Cuando los números se usan para contar, cada uno se asocia a un elemento de un conjunto de objetos discretos. Este contexto conlleva el correcto empleo de la correspondencia biunívoca que a cada número asocia un objeto.

Cuando un número natural describe la cantidad de elementos de un conjunto bien definido de objetos discretos, se está usando el número como cardinal.

Los números se utilizan para medir cuando describen la cantidad de unidades de alguna magnitud continua (como longitud, superficie, volumen, capacidad, peso, etc.), que se supone dividida en múltiplos de la unidad correspondiente y que nos permite contestar a la pregunta ¿cuántas unidades hay?

En un contexto ordinal el número describe la posición relativa de un elemento en un conjunto discreto y totalmente ordenado, en el que se ha tomado uno de los elementos como inicial. Muchas de las actividades y juegos de los niños requieren colocar “puestos” o colocar orden.

En los contextos de código, los números se utilizan para distinguir clases de elementos. Son etiquetas que identifican cada una de las clases. El ejemplo más familiar para los niños lo constituyen los números que llevan los jugadores de un equipo de fútbol. Los números del 1 al 11 representan las posiciones teóricas en las que juegan: portero, defensa lateral izquierdo, central, extremo izquierdo, etc. Otros ejemplos son los números telefónicos, los indicativos para llamadas a larga distancia, las categorías socio-profesionales, etcétera.

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Actualmente, con el uso de las calculadoras y los computadores, el número se emplea como una tecla, en el que está asociado con un resorte diferenciado, que hay que accionar físicamente para su utilización. Solamente están representados los números del 0 al 9, y con ellos se pueden representar los demás, hasta un límite entre 8 y 12 dígitos dependiendo del aparato.

Para que los niños logren entender el significado de los números, además del uso cotidiano, hay que darles la oportunidad de realizar experiencias en las que utilicen materiales físicos y permitirles que expresen sus reflexiones sobre sus acciones y vayan construyendo sus propios significados.

Es de anotar que la construcción misma del concepto de número requiere de un largo proceso en el que uno de sus indicadores se ubica en el momento en que los niños logran integrar los aspectos ordinal y cardinal del número, es decir, cuando al contar asocia a la última palabra número un doble significado: para distinguir un objeto que tiene la misma categoría de los restantes y para representar la cantidad de objetos de la colección. Es pasar, por ejemplo, de “el siete” a “los siete”.

Acerca de cómo se logra esta integración son varias las estrategias didácticas desde las cuales los investigadores en educación matemática hacen sus aportes a los docentes de nivel preescolar; lo mejor es consultar dichas investigaciones y decidir desde el contexto y la experiencia cuál sería la hipótesis de trabajo más adecuada.

La comprensión significativa del sistema de numeración, que incluya una apreciación de su estructura, su organización y su regularidad, es fundamental para comprender conceptos numéricos.

Algunas investigaciones sugieren que “antes de ingresar a la escuela la mayoría de los niños están familiarizados de manera intuitiva con el sistema de ‘unidades y decenas’ para expresar los números en forma oral. Es, sin embargo, poco probable que reconozcan el significado de la representación de los números, por ejemplo, cuarenta y dos (a saber cuatro decenas y dos unidades), ni que tengan la menor idea del aspecto que realmente ofrecían 42 objetos. Así pues, es necesario que en la escuela los alumnos tengan mucha experiencia en la apreciación del tamaño de los números, sin olvidar su tamaño relativo, aparte del trabajo más formal de lectura y escritura de números, antes de poder comenzar a comprender la importancia de la posición de las cifras dentro de los mismos números” (Dickson, 1991).

Se consideran tres actividades o destrezas que al reflexionar sobre ellas y relacionarlas ayudan a los niños a comprender nuestro sistema de numeración, que son: contar, agrupar y el uso del valor posicional.

La destreza de contar es uno de los indicadores de que los niños comprenden conceptos numéricos, es esencial para la ordenación y comparación de números. Contar hacia adelante, contar hacia atrás y contar a saltos son aspectos sucesivos que hay que tener en cuenta en este proceso.

Nuestro sistema de numeración se basa en el principio de agrupación sucesiva, en el cual las unidades son agrupadas en decenas; colecciones de diez decenas se agrupan en centenas; éstas se agrupan en millares y así sucesivamente. Es lo que se conoce como un sistema de base 10.

Por ejemplo, para hallar el tamaño de una colección como la siguiente se agrupan sus objetos, se obtiene:

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Esto nos permite escribir el número 32. El agrupamiento puede hacerse explícitamente mediante material concreto o implícitamente mediante las palabras que designan los números.

La comprensión del valor posicional es otro aspecto esencial en el desarrollo de conceptos numéricos de los niños. “Antes de la enseñanza formal del valor posicional, el significado que los niños le atribuyen a los números mayores se basa normalmente en la cuenta de uno en uno y en la relación ‘uno más que’ que se da entre dos números naturales consecutivos. Ya que el sentido del valor posicional surge a partir de la experiencia de agrupamiento, la adquisición de la destreza de contar debe ser integrada en significados que se basen en el agrupamiento. Los niños serán entonces capaces de usar y comprender procedimientos de comparación, ordenación, redondeo y manejo de números mayores”.

El trabajo sobre el sistema de numeración y en especial sobre el valor posicional siempre se ha considerado importante en la escuela. Se han propuesto diferentes métodos para ayudar a los niños a lograr su comprensión, incluyendo el uso de material concreto y modelos, el estudio de varias bases, etc. Investigadores ingleses propusieron la siguiente secuencia de actividades para desarrollar las nociones de valor posicional como el de decenas y unidades, que pueden ser consideradas para avanzar progresivamente en este aspecto.

1. Agrupar por ejemplo lápices u otros objetos en bolsas de a diez y hablar de “decenas” y de objetos “sueltos” o unidades. Además, colocar los materiales de tal manera que los objetos “sueltos” queden a la derecha de los “grupos de a diez”.

2. Unir los objetos, no sólo agruparlos, por ejemplo ensartando pepitas en un hilo, o utilizando bloques de construcción ensamblados en decenas.

3. Desarrollar actividades con materiales estructurados o prefabricados como los bloques de Dienes Base 10, en los que se distinguen los cubos individuales pero no se pueden desarmar.

4. Pasar a decenas y unidades en las que las decenas no tengan señaladas ni se distingan las unidades individuales, por ejemplo una tira de cartulina.

5. Para representar las decenas y las unidades ahora se pueden utilizar objetos que sólo se distingan por el color o la posición. Por ejemplo, colocar objetos idénticos de izquierda a derecha, separados en columnas para representar “dieces” o “unos”, según la posición.

Ahora puede resultar fácil utilizar un ábaco o un modelo similar como pepitas colocadas en surcos de cartón separados (puede ser por una línea), en donde cada surco representa una “posición” en la representación del número.

Los investigadores afirman que si se le da al niño la oportunidad de pasar por estas etapas puede captar la creciente abstracción que supone el paso de la agrupación de objetos en decenas y unidades a su representación mediante unas mismas entidades, como pepitas, en la cual la posición reviste una gran importancia para determinar si una pepita denota una decena o una unidad.

Teniendo una base como ésta los alumnos pueden apreciar la importancia del valor posicional cuando se utilizan los dígitos de 0 a 9 en vez de colocar pepitas o cuentas de un ábaco.

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6.1.2 PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

El estudio de la geometría intuitiva en los currículos de las matemáticas escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de la “matemática moderna”. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría.

Howard Gardner en su teoría de las múltiples inteligencias considera como una de estas inteligencias la espacial y plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para reprsentar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas. El manejo de información espacial para resolver problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios es peculiar a esas personas que tienen desarrollada su inteligencia espacial. Se estima que la mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física, matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial.

La propuesta de Renovación Curricular avanzó en este proceso enfatizando la geometría activa como una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio.

En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales.

Los sistemas geométricos se construyen a través de la exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio-motor (que se relaciona con la capacidad práctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, cálculos espaciales, etc.), a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los resultados de manipulaciones mentales.

Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y movimientos corporales.

6. 1.2.1 Geometría activa

Para lograr este dominio del espacio se sugiere el enfoque de geometría activa que parte de la actividad del alumno y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones en la comprensión aun de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos. Se trata pues de ‘hacer cosas’, de moverse, dibujar, construir, producir y tomar de estos esquemas operatorios el material para la conceptualización o representación interna. Esta conceptualización va acompañada en un principio por gestos y palabras del lenguaje ordinario, hasta que los conceptos estén incipientemente construidos a un nivel suficientemente estable para que los alumnos mismos puedan proponer y evaluar posibles definiciones y simbolismos formales.

Veamos la diferencia entre mostrar y hacer, entre observar y actuar, entre simbolizar y conceptualizar en algunos ejemplos concretos.

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La geometría activa es una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio.

6.1.2.2 Cuerpos, superficies y líneas

Al pasar las manos por las caras o superficies de objetos, muebles y paredes se aprecia más que con cualquier definición la diferencia entre cuerpos y superficies, y entre superficies planas y curvas. La interrupción del movimiento prepara el concepto de superficie como frontera de un cuerpo, y el movimiento de la mano prepara el concepto de plano, el de región y el de área.

Al pasar el dedo por el borde común de dos superficies se aprecia la diferencia entre superficie y línea y entre línea recta y curva, y se prepara el concepto de longitud y el de prolongación de una línea en la misma dirección y sentido del movimiento del dedo. La interrupción del movimiento prepara el concepto de línea como frontera de una superficie, y el movimiento del dedo prepara el concepto de línea recta, el de segmento y el de longitud.

Al terminar el recorrido de un borde que termina en punta, esa interrupción del movimiento prepara el concepto de punto. Se sugiere la prioridad del cuerpo sobre la superficie, de ésta sobre la línea y de ésta sobre el punto.

Ángulo: los niños de 1°, 2° ó 3° grado han tenido la oportunidad de dar vueltas completas, medias vueltas y cuartos de vueltas en sus juegos. Partiendo de esta experiencia, la aproximación activa al ángulo de giro puede lograrse muy fácilmente al extender el brazo y luego girarlo hasta detenerse en otra posición. Si se deja como señal de la posición inicial un palo o una pita o una marca en la pared, y se barre un ángulo de giro con el propio brazo y se mira la posición en que se detuvo, se puede llegar a una apreciación cualitativa de mayor a menor amplitud o apertura del ángulo de giro. Después de estabilizar la construcción de este concepto, se puede aceptar el ángulo pintado en el cuaderno como la huella de un giro que ya pasó. Así el ángulo orientado aparece primero que el ángulo sin orientación y se puede saber de qué ángulo se trata mientras se recuerde el giro que lo trazó. El giro es activo y el ángulo está pintado estáticamente.

6.1.2.3 Desarrollo del pensamiento geométrico

La moderna investigación sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico indica que éste sigue una evolución muy lenta desde las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales, aunque los niveles finales corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que se dan en la escuela.

El modelo de Van Hiele es la propuesta que parece describir con bastante exactitud esta evolución y que está adquiriendo cada vez mayor aceptación a nivel internacional en lo que se refiere a geometría escolar.

Van Hiele propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento geométrico que muestran un modo de estructurar el aprendizaje de la geometría. Estos niveles son:

El Nivel 1. Es el nivel de la visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por ejemplo, un niño de seis años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo; puede recordar de memoria sus nombres. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo especial de rombo o que el rombo es un paralelogramo particular. Para él son formas distintas y aisladas.

En este nivel, los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de figuras reconocidas visualmente como de “la misma forma”.

El Nivel 2. Es un nivel de análisis, de conocimiento de las componentes de las figuras, de sus propiedades básicas. Estas propiedades van siendo comprendidas a través de observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de modelos, etc. El niño, por ejemplo, ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados

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opuestos también son de la misma longitud. Se reconoce la igualdad de los pares de lados opuestos del paralelogramo general, pero el niño es todavía incapaz de ver el rectángulo como un paralelogramo particular.

En este nivel los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son las clases de figuras, piensan en términos de conjuntos de propiedades que asocian con esas figuras.

El Nivel 3. Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es identificado como un rombo porque puede ser considerado como “un rombo con unas propiedades adicionales”. El cuadrado se ve ya como un caso particular del rectángulo, el cual es caso particular del paralelogramo. Comienzan a establecerse las conexiones lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento.

En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las propiedades de clases de figuras.

El Nivel 4. Es ya de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende suficientemente el significado del rigor de las demostraciones.

Finalmente, el Nivel 5. Es el del rigor; es cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. Los estudiantes razonan formalmente sobre sistemas matemáticos, pueden estudiar geometría sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas.

Las investigaciones de Van Hiele y de los psicólogos soviéticos muestran que el paso de un nivel a otro no es automático y es independiente de la edad. Muchos adultos se encuentran en un nivel 1 porque no han tenido oportunidad de enfrentarse con experiencias que les ayuden a pasar al nivel 2.

Sin embargo, algunos estudios han mostrado que la población estudiantil media no alcanza los dos últimos niveles, especialmente el del rigor, pues exige un nivel de cualificación matemático elevado, y que no hay mucha diferencia entre estos dos niveles.

Parece que los estudiantes deben recorrer un largo trecho entre los tres primeros niveles y los últimos de rigor y formalización, y que ese trecho no ha sido investigado suficientemente para detectar a su vez la existencia de niveles intermedios.

Aunque estos niveles son una aproximación aceptable a las posibles etapas en las que progresa el pensamiento geométrico, los docentes debemos ser críticos con respecto a ellos, pues no parecen dirigidos a lo que parecen ser los logros más importantes del estudio de la geometría: la exploración del espacio, el desarrollo de la imaginación tridimensional, la formulación y discusión de conjeturas, jugar con los diseños y teselaciones del plano y sus grupos de transformaciones. La propuesta de geometría activa, que parte del juego con sistemas concretos, de la experiencia inmediata del espacio y el movimiento, que lleva a la construcción de sistemas conceptuales para la codificación y el dominio del espacio, y a la expresión externa de esos sistemas conceptuales a través de múltiples sistemas simbólicos, no coincide con la descripción de Van Hiele, más orientada a la didáctica clásica de la geometría euclidiana y al ejercicio de las demostraciones en T o a doble columna.

6.1.2.4 Representación bidimensional del espacio tridimensional

Otro aspecto importante del pensamiento espacial es la exploración activa del espacio tridimensional en la realidad externa y en la imaginación, y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio.

Al respecto Lappan y Winter, afirman: A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son bidimensionales. Nos valemos de

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libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños, libros que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales. A no dudar, tal uso de “dibujos” de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de comprensión. Es empero, necesario que los niños aprendan a habérselas con las representaciones bidimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la información seguirá estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones bidimensionales del mundo real”.

Para comunicar y expresar la información espacial que se percibe al observar los objetos tridimensionales es de gran utilidad el uso de representaciones planas de las formas y relaciones tridimensionales. Hay distintos tipos de tales representaciones. Cada una es importante para resaltar un aspecto, pero es necesario utilizar varias a la vez para desarrollar y completar la percepción del espacio.

La representación en el plano de cuerpos sólidos o de objetos de la realidad, puede hacerse mediante dibujos de vista única o dibujos de vista múltiples. Los dibujos de vista única son aquellos en los que se ilustran las tres dimensiones del objeto en una sola vista, con lo cual se logra representar el objeto de una manera muy próxima a la realidad. Hay dos maneras de hacer estos dibujos: mediante axonometrías y mediante perspectivas cónicas.

Los dibujos de vistas múltiples representan los objetos a través de una serie fragmentada de vistas relacionadas”.

El dibujo en perspectiva se puede utilizar con mucho provecho para la educación estética, y para el ejercicio de las proyecciones de objetos tridimensionales en la hoja de papel, y de la hoja de papel al espacio. Para esto último se puede empezar por dibujar cubos y cajas en perspectiva, de manera que unos oculten parcialmente a los otros, y luego tratar de colocar cubos y cajas de cartón sobre una mesa de manera que se vean como en el papel. Aun en el dibujo en perspectiva es difícil dibujar las elipses que representan las distintas maneras como aparece un círculo desde distintos puntos de vista. Por eso puede ser aconsejable limitar la perspectiva a figuras rectilíneas, a menos que los mismos alumnos quieran explorar cómo se dibujan las tapas de las alcantarillas en las calles ya dibujadas en perspectiva.

6.1.2 5 Las transformaciones

En la actualidad, gran parte de la geometría escolar se ha ocupado del movimiento de figuras geométricas desde una posición a otra, y de movimientos que cambian el tamaño o la forma. El estudio de las transformaciones de figuras ha ido progresivamente primando sobre la presentación formal de la geometría, basada en teoremas y demostraciones y en el método deductivo.

La primacía de las figuras muertas y de las relaciones de paralelismo y perpendicularidad de líneas, y las de igualdad o congruencia o semejanza de figuras ocultaron por mucho tiempo el origen activo, dinámico de los conceptos geométricos, y dejaron en la penumbra las transformaciones. Los sistemas geométricos se redujeron a sus componentes, como los puntos, líneas y planos, segmentos de recta y curvas, y figuras compuestas por ellos, con sólo la estructura dada por las relaciones mencionadas.

Esta propuesta intenta devolver la dinámica a los sistemas geométricos, con sus operadores y transformaciones, que resultan de internalizar en forma de esquemas activos en la imaginación, los movimientos, acciones y transformaciones que se ejecutan físicamente. Esto quiere decir que una transformación no puede definirse, ni mucho menos simbolizarse formalmente, antes de que los alumnos hayan hecho algunas transformaciones externas, moviéndose ellos mismos y moviendo hojas, varillas y otros objetos, deformándolos, rotándolos o deslizándolos unos sobre otros de manera física, de tal manera que ya puedan imaginarse esos movimientos sin necesidad de mover o transformar algo material, a lo más acompañando esta imaginación con movimientos del cuerpo o de las manos”.

Cuando se estudien estos sistemas de transformaciones, debe comenzarse por los desplazamientos que pueden hacerse con el propio cuerpo, o deslizando objetos y figuras sobre el plano del piso, del papel o del tablero. Con esto se llega primero a las rotaciones y a las traslaciones. Se trata de ver qué tipo de movimientos conservan la dirección, cuáles la orientación en el plano o en el espacio, cuáles cambian los órdenes cíclicos de los vértices, sin definir verbalmente ninguna de estas transformaciones.

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En los talleres con los maestros hemos comprobado la dificultad que tienen para distinguir esos aspectos activos que los niños captan inmediatamente, y la resistencia que sienten al ver que en realidad no se puede definir con palabras qué es traslación ni qué es rotación. Definirlas por medio de las reflexiones es un engaño, pues tampoco se pueden definir las reflexiones por medio de definiciones verbales.

Las reflexiones no pueden hacerse con figuras de material concreto: o se hacen en el cerebro o no pueden hacerse. La ayuda de espejos, láminas semitransparentes, calcado en papel transparente o de copia, etc., pueden ayudar al cerebro a interiorizar, reversar y coordinar las reflexiones pero no pueden suplantarlo. Por lo tanto, no se debe comenzar por las reflexiones para obtener las rotaciones y las traslaciones.

De esta manera se propone que se trabaje la geometría por medio de aquellas transformaciones que ayuden a esa exploración activa del espacio y a desarrollar sus representaciones en la imaginación y en el plano del dibujo.

6.1.3 PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDA

La interacción dinámica que genera el proceso de medir entre el entorno y los estudiantes, hace que éstos encuentren situaciones de utilidad y aplicaciones prácticas donde una vez más cobran sentido las matemáticas.

Actividades de la vida diaria relacionadas con las compras en el supermercado, con la cocina, con los deportes, con la lectura de mapas, con la construcción, etc., acercan a los estudiantes a la medición y les permiten desarrollar muchos conceptos y destrezas matemáticas.

La desatención de la geometría como materia de estudio en las aulas y el tratamiento de los sistemas métricos desde concepciones epistemológicas y didácticas sesgadas, descuida por un lado el desarrollo histórico de la medición y por otro reduce el proceso de medir a la mera asignación numérica.

No es extraño, en nuestro medio, introducir a los niños y a las niñas en el mundo de la medida con instrumentos refinados y complejos descuidando la construcción de la magnitud objeto de la medición y la comprensión y el desarrollo de procesos de medición cuya culminación sería precisamente aquello que hemos denunciado como prematuro.

No se les ha permitido conocer el desarrollo histórico de la medida, lo que conlleva a que no se den cuenta de la necesidad misma de medir, ni de cómo la medida surgió de una “noción de igualdad socialmente aceptada” al comparar el tamaño, la importancia, el valor, etc., en situaciones comerciales o de trueque.

Algunos investigadores afirman que los niños no tienen conciencia de las sutilezas de la noción de replicación de la unidad, es decir, la repetición de una única unidad de medida, a partir de lo cual el hombre ha llegado al número y al recuento; y que de este hecho nació la necesidad de patrones de medida fijos. Las experiencias de los niños con las medidas comienzan normalmente con el número, y están a menudo restringidas a él, con pocas posibilidades de explorar los principios en los cuales se apoya la medición.

Osborne afirma: (...) en las escuelas actuales, gran parte de lo que se aprende sobre medición es de naturaleza puramente incidental. Los conceptos de medida aparecen en situaciones cuyo propósito es enseñar y aprender sobre el número. Se supone que la medida es intuitiva y está lo suficientemente poseída y comprendida por los alumnos como para servir de marco intuitivo en cuyo seno explicar las operaciones aritméticas. Tal presunción ha de ser puesta en tela de juicio. Además, la naturaleza de la forma en que los niños aprenden a medir y se valen de medidas en el contexto de esta transferencia exige cuidadosa atención. (Osborne, 1976).

Los procesos de medición comienzan “desde las primeras acciones con sus éxitos y fracasos codificados como más o menos, mucho o poco, grande o pequeño, en clasificaciones siempre relacionadas en alguna forma con imágenes espaciales, esto es con modelos geométricos, aún en el caso del tiempo.

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Podremos hablar del segundo como actividad de metrización en el sentido estricto o restrictivo de la palabra, mientras que el sentido amplio o inclusivo de la misma se puede referir también a esas comparaciones y estimaciones llamadas cualitativas previas a la asignación numérica.

Por eso nos referimos separadamente a los sistemas geométricos, que se inician con modelos cualitativos del espacio, y a los sistemas métricos, que pretenden llegar a cuantificar numéricamente las dimensiones o magnitudes que surgen en la construcción de los modelos geométricos y en las reacciones de los objetos externos a nuestras acciones”.

Los logros propuestos para los sistemas métricos van encaminados a acompañar a los estudiantes a desarrollar procesos y conceptos como los siguientes:

La construcción de los conceptos de cada magnitud. La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes. La estimación de magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”. La apreciación del rango de las magnitudes. La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos. La diferencia entre la unidad y el patrón de medición. La asignación numérica. El papel del trasfondo social de la medición.

A continuación haremos una breve referencia a cada uno de los procesos anteriormente mencionados.

6.1.3.1 La construcción de la magnitud

Una primera actividad de quien aprende es la de crear y abstraer en el fenómeno u objeto la magnitud concreta o cantidad susceptible de medición.

Por ejemplo, si se considera una regla, dependiendo de nuestra actividad creadora, la regla puede tener espesor, o ancho, o largo o hasta diámetro. ¿Cuál sería el diámetro de una regla? Podemos decir que es la longitud del segmento de recta más largo que el cerebro puede meter dentro de la regla, que no es precisamente la diagonal de una de las caras. Así como el diámetro de la regla requirió de una actividad creadora de nuestro cerebro, ninguna de esas cantidades como largo, ancho o espesor está simplemente allí como ya dada, sin actividad humana previa.

Hay que tener en cuenta que esa construcción requiere tiempo, todo el necesario para que activamente el niño o la niña en una primera etapa cree en el objeto o en el fenómeno la magnitud concreta como el largo, el ancho, el espesor, etc., o cantidad susceptible de ser medida y posteriormente logre fundir en una sola o abstraer de todas esas magnitudes concretas la magnitud abstracta, como lo sería, por ejemplo, la longitud.

El concepto de magnitud empieza a construirse cuando se sabe que hay algo que es más o menos que otra cosa y se pregunta: más qué o más de qué. Puede darse una etapa intermedia de construcción de magnitudes que después se puedan fundir en una sola, como se ha señalado para la longitud, con las magnitudes intermedias de largo, ancho, espesor, altura, profundidad, etcétera.

Todas ellas se conforman por un proceso relacional activo, que a diferencia de lo que se cree comúnmente, no se basa en una equivalencia, como la equi-longitud, o la equi-realidad, o la equi-masa.

Más bien se nota que primero se logra la comparación en la dirección de menor a mayor, es decir la relación de ser más grande, que es anterior a la de ser más pequeño que, etc. Una vez consolidada esa relación unidireccional se reversibiliza la relación para construir la inversa, y se coordinan ambas. Sólo cuando fracasan los intentos de someter los objetos y fenómenos a esas relaciones de desigualdad se construye la equivalencia respectiva.

6.1.3.2 El desarrollo del proceso de conservación

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Es especialmente importante sobre todo para quienes inician el ciclo de la educación básica primaria, ya que la captación de aquello que permanece invariante a pesar de las alteraciones de tiempo y espacio, es imprescindible en la consolidación de los conceptos de longitud, área, volumen, peso, tiempo, etc.

En estudios acerca de la conservación de la longitud realizados por Musick (1978) en 142 niños de edades comprendidas entre los tres años y medio y los nueve años, encontró que dada una distancia entre dos sitios A y B que se encontraban en lados opuestos de una sala, los comentarios de los niños al juzgar las distancias de ida (A B) y vuelta (B A) en condiciones diferentes fueron de este tipo:

Es más lejos ir a un sitio que volver. Fui más lejos cuando corrí porque eso es más rápido que saltar. Llevar el cesto hizo que el camino fuera más largo. Las carreras son siempre más lejos que los saltos, porque a saltos es más despacio y se tarda más

tiempo. Es la misma distancia cuando la anda la muñeca o cuando la ando yo, pero no es la misma distancia

al correrla o saltarla. Mira, no importa lo que hagas, la habitación es igual de grande. Siempre es el mismo espacio.

Con base en sus hallazgos Musick asevera que es preciso tomar precauciones al recurrir a tareas motoras que puedan distraer al niño o a la niña y obstaculizar su capacidad de asir el concepto y su estructura subyacente.

Es bien conocido el test clásico de conservación de longitud de Piaget (1969), que consiste en presentar dos varillas de la misma longitud, de esta manera

____________________

y luego así__________      __________

En el segundo caso los niños juzgan que ya no tienen la misma longitud porque los extremos no están alineados.

La mayoría de estudios de este tipo han llevado a la conclusión de que los niños entre los seis y los ocho años de edad exhiben conservación de longitudes a pesar de los desplazamientos de las varillas.

Un ejemplo para la conservación de masa consiste en transformar una varita de plastilina en una barrita, y uno para la conservación de volumen es transvasar una cantidad de líquido de un recipiente pando a otro alto.

En ambos casos los niños consideran que en el segundo estado hay más plastilina y más agua respectivamente

6.1.3.3 La estimación de magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto” están íntimamente relacionados con los conceptos de medida y conteo.

A propósito de esta relación, “Brookes (1970) adopta un planteamiento histórico, considerando que la base de todo proceso de medida es la reiteración de una unidad (...)

Sin embargo, los conceptos numéricos asociados al proceso de medida suponen más que el mero contar en sentido ordinario. (...) puede suceder que en el proceso de medida las propias unidades sean indistiguibles unas de otras. De ordinario, el recuento se ocupa de las llamadas variables discretas, es decir, se aplica a situaciones en las que cada una de las unidades individuales que hay que contar es una entidad distinta y separable, con asignación de un número a un conjunto. (...)

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Supongamos, sin embargo, que se pretende dividir una torta física y real en cuatro porciones iguales, ¿cómo medir la cuarta parte de una torta? (...) en este caso cada unidad de volumen o área no es individualmente distinguible, como lo era cuando la situación sólo requería contar. Por lo tanto tal medición sólo puede tener precisión aproximativa, y cuanto más refinado y perfecto es el instrumento de medida, tanto más podremos acercarnos a la exactitud. (...) ¿Cuánto hay?, es en este caso una pregunta muy distinta de ¿cuántos hay?

Siempre que al medir podamos refinar la medida indefinidamente tomando unidades más y más pequeñas estaremos ocupándonos de una variable continua”.

Aunque las magnitudes que nos ocupan son de naturaleza continua, en los primeros ensayos tendientes a encontrar una estimación de sus medidas, la repetición reiterada de patrones susceptibles de ser contados mediante los números naturales parece ocultar el carácter continuo de dichas magnitudes. Podríamos decir que, en este caso, hay un esfuerzo por capturar lo continuo (magnitudes) con lo discreto (números naturales).

Para los niños las unidades de medida son antropocéntricas, y se relacionan con acciones más que con patrones; aparentemente el patrón es el paso, el pie, o la cuarta; pero en realidad es dar el paso, poner el pie o extender la cuarta.

Esa repetición de acciones se deja controlar por los números de contar o números naturales. Sólo el fracaso de tratar de capturar lo continuo con esas acciones repetidas que se pueden enumerar como discretas, fracaso que se debe a que “sobre” o “falte” algo, lleva a reequilibrar el sistema de medición respectivo con la introducción de los fraccionarios (...), y su evolución hasta la coordinación de los continuos de la acción con los continuos operatorios generados por el cerebro humano: los de los números reales.

Cuando se trata del área de superficies, es usual “cuadricular” la representación de éstas y preguntar, por ejemplo, ¿con cuántas baldosas se recubre el piso? La unidad patrón es la baldosa, y el número de ellas es una medida del área de dicha superficie.

Estas actividades conllevan a la noción de recubrimiento por repetición de una unidad y son previas para el proceso de medición del área. Sin embargo es necesario realizar otro tipo de actividades que permitan captar la naturaleza continua y aproximativa de la medida ya que las anteriores tienen la desventaja de promover un carácter discreto y exacto de la medida lo cual no es sino una primera aproximación, que si no se supera oportunamente, obstaculiza el desarrollo interior de los procesos de medición.

Para avanzar en los procesos de medición es importante desarrollar la estimación aproximada de las longitudes/distancias, áreas, volúmenes/capacidades, duraciones, pesos/masas, amplitudes angulares, temperaturas, etc.

Bright (1976) define la estimación de magnitudes como “el proceso de llegar a una medida sin la ayuda de instrumentos de medición. Es un proceso mental, aunque frecuentemente hay aspectos visuales y manipulativos en él”.

6.1.3.4 La apreciación del rango de las magnitudes y la selección de unidades, son habilidades poco desarrolladas en los niños y aún en las personas adultas debido al tratamiento libresco y descontextualizado que se le da a la medición dentro de las matemáticas escolares.

Antes de seleccionar una unidad o un patrón de medida es necesario hacer una estimación perceptual del rango en que se halla una magnitud concreta, por ejemplo, la altura de una puerta, la longitud de un camino, el peso de un objeto, la duración de un evento, etc. Esta primera reflexión está estrechamente ligada al significado y a la familiaridad que tengan las personas con las unidades de medida y con cierta información que “podríamos llamar postes de guía o ejemplos paradigmáticos de procesos y objetos conocidos en los cuales el aspecto seleccionado por la magnitud tenga un valor fácil de recordar (...), colocar los postes de guía es almacenar información como que un jet viaja a 800 km/h, un carro entre 40 y 80 km/h en carretera (...), que una persona puede recorrer hasta 36 km/h, pues el récord de cien metros planos puede recorrer 100 m en 10 segundos, o sea 10 m/s”.

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“Rango es una franja más amplia que orden de magnitud; por ejemplo, la longitud de la carretera de Bogotá a Tunja estaría en el mismo rango que la de la distancia del extremo norte de La Guajira a Leticia, rango en el que son útiles los kilómetros, pero en distinto orden de magnitud: una distancia es del orden de los centenares, y la otra del orden de los miles de kilómetros”.

6.1.3.5 La selección de unidades

No es necesario seleccionar unidades en un proceso de medición. Éste puede terminar con la ubicación de la cantidad respectiva en un rango de magnitudes, y en la afirmación o negación de una comparación con una instancia conocida de la misma magnitud, no necesariamente con la unidad.

Pero si se requiere refinar el resultado de la medición, es necesario seleccionar una unidad de medida apropiada para el rango ya determinado. Tiene que ser la cantidad o instancia de la magnitud que pueda identificarse lo suficientemente bien para poder utilizarla en combinación con un sistema numérico ya previamente construido.

Pero no puede saltarse de inmediato de un objeto o fenómeno que “posea”, o mejor, al que se le pueda atribuir esa instancia de la magnitud, a lo que es la unidad misma. Aun el lenguaje nos ayuda a percibir que no es lo mismo un cuadrado “de” un centímetro de lado, que “un” centímetro cuadrado, que “el” centímetro cuadrado como unidad de área.

Hay una diferencia importante entre la unidad y el patrón de medida. Los libros que dicen que un centímetro cuadrado es un cuadrito de un centímetro de lado, estarían excluyendo que un disco también pueda tener un centímetro cuadrado de área, o que una región del plano se pueda subdividir en triángulos equiláteros de un centímetro cuadrado de área. El patrón es más concreto, la unidad es más abstracta. El patrón debe tener en lo posible una unidad de área. Pero la unidad no tiene por qué estar ligada a un patrón determinado. La influencia de la longitud y del antiguo metro-patrón de París sirven como obstáculos epistemológicos para una conceptualización más completa del proceso de medición.

Los patrones son inicialmente antropocéntricos y no estandarizados. Sólo el desequilibrio producido por dos mediciones con patrones corporales que produzcan el mismo número, pero en las que la cantidad sea perceptiblemente diferente, llevan a captar la necesidad de la fijación convencional de patrones estandarizados. Piénsese por ejemplo en un juego de fútbol en el que el profesor proponga que para medir la distancia entre los postes del arco se utilice el pie de uno de los niños en el arco de su equipo, y el del profesor en el arco del equipo contrario. Los resultados llevarán a los mismos alumnos a proponer la fijación de un pie estándar.

La estimación de medidas ayuda a los niños no sólo a reforzar la comprensión de los atributos y el proceso de medición sino a que adquieran conciencia del tamaño de las unidades.

Llegamos a lo que usualmente se considera como lo más importante de la medición: la asignación numérica. Éste es apenas el último subproceso de un complejo proceso de medición, y uno al que no necesariamente hay que llegar para que se pueda decir que sí hubo medición.

Este proceso de asignación numérica tiene intrínsecamente una incertidumbre, una inexactitud incorporada. La abstracción de la magnitud concreta y de la magnitud abstracta provienen de comparaciones, y la igualdad -de- magnitud, o equivalencia con respecto a la magnitud, es una relación derivada de la desigualdad o inequivalencia, precisamente cuando falla la ordenación por mayor y menor. Y el fracaso de esa ordenación depende de la precisión del aparato o calibrador respectivo (así sea un órgano de nuestro cuerpo como el pulgar y el índice; de todas maneras la última instancia de cualquier calibrador es un órgano de nuestro cuerpo, generalmente el ojo ), y depende además de la habilidad en su utilización.

Una vez que se tiene fijado el contexto, la magnitud física abstracta, la cantidad o instancia concreta de la magnitud, y la unidad de medida, hay todavía que fijar un proceso de medición más o menos indirecto. Piénsese por ejemplo en este acertijo. Tengo una regla graduada en centímetros y milímetros. Quiero medir

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el espesor de esta hoja de papel. ¿Cuál sería el proceso de medición apropiado? Ciertamente no es comparar la hoja de papel con las rayitas de centímetro o milímetro.

Por ahora, lo importante es comprender que aun con todos estos requisitos, todavía es necesario fijar un proceso de medición antes de tener la posibilidad de hacer una asignación numérica. Más aún, es importante saber que distintos procesos de medición pueden llevar a asignar válidamente números distintos a la misma magnitud concreta del mismo objeto concreto. El análisis de esos distintos resultados de procesos diferentes ha hecho progresar mucho nuestro conocimiento sobre la naturaleza, y sobre los procesos mismos de medición” 23.

El auténtico proceso de medida lleva consigo cierta “sensibilidad” a la situación, cierta noción de su tamaño. El proceso exige decidir qué grado de precisión se requiere, y consiguientemente, lo pequeña que ha de ser la unidad de medida y el refinamiento del instrumento de medida, es decir, los juicios sobre estimación, aproximación, etc., no llegan nunca a tomar cuerpo a nivel de clase, porque en ella, lo que preocupa y prima del proceso de medida son los aspectos numéricos y de recuento”.

6.1.3.6 El trasfondo social de la medición

La interacción social y la referencia a un trasfondo significativo e importante para el alumno son absolutamente insustituibles en la construcción de los procesos de la medición en el cerebro de cada uno de los participantes.

¿Cuántas veces hemos tenido que volver a mirar el valor numérico de un año luz, o un barril, o una milla marina?, pues como no somos ni astrónomos, ni petroleros, ni marineros, estas medidas no tienen significado para nosotros. No vale la pena gastarle tiempo a aprenderlas, sino sólo a saber en dónde buscarlas y a quién preguntarle sobre ellas.

Es suficiente saber manejar las conversiones de unidades y las operaciones en unos cuantos contextos diferentes en donde uno domine el trasfondo social y tenga interés en obtener resultados correctos, especialmente cuando se corre un riesgo real si uno se guía por un resultado equivocado.

Es de anotar que antes de la selección de la unidad y la ejecución del proceso particular de asignación numérica, los objetos o procesos ya vistos selectivamente desde el punto de vista de la magnitud, así sea sólo a escala ordinal, pueden considerarse como instancias concretas de la magnitud respectiva, que llamamos “cantidades”. Como lo vimos en el caso de las magnitudes discretas, podemos hablar de “una gran cantidad de lápices”, aún antes de saber cuántos son. Que después resulten ser ciento cuarenta y cuatro o doce docenas, o una gruesa eso es ya una etapa posterior, en la que esa cantidad ya ha sido objeto de un nuevo proceso de asignación numérica, altamente dependiente de la selección de unidad, del proceso de medición, y de todo el trasfondo social en el que ocurre el proceso.

Este último aspecto determina por ejemplo si se detiene el proceso apenas se termine la etapa ordinal (”en este montón de lápices hay más que en este otro”); o que se interrumpa en una etapa estimativa intermedia (”hay unos cien o doscientos”; (“hay por ahí una gruesa”), o si se refina hasta el número más preciso que pueda lograrse en el tiempo disponible y con el material específico de que se trata (piense en contar, en vez de cien o doscientos lápices, cien o doscientas docenas de lápices, o para cambiar de material, cien o doscientas viboritas en un serpentario).

Esta presencia invisible del trasfondo social, lingüístico y utilitario de los procesos de medición debe tenerse muy en cuenta, así como la importancia del proceso inicial de estimación ordinal, pre-numérica o cualitativa, que es crucial aun para seleccionar la unidad y el proceso de medición apropiados a la situación.

Los procesos hasta aquí comentados son los más relevantes del proceso total de medición de cualquier magnitud. La relación didáctica que los docentes establezcan con ellos al momento de preparar sus clases conllevará la adecuada selección de los materiales de manera que faciliten la abstracción de la magnitud que se pretende estudiar y el desarrollo de los procesos aquí tratados.

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Los procesos de medición comienzan “desde las primeras acciones con sus éxitos y fracasos codificados como más o menos, mucho o poco, grande o pequeño, en clasificaciones siempre relacionadas en alguna forma con imágenes espaciales, esto es con modelos geométricos, aún en el caso del tiempo.

6.1.4 PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

Una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio, el cual ha estado presente a lo largo de este siglo, en la ciencia, en la cultura y aún en la forma de pensar cotidiana. La teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios, han construido un andamiaje matemático que de alguna manera logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. Fenómenos que en un comienzo parecen caóticos, regidos por el azar, son ordenados por la estadística mediante leyes aleatorias de una manera semejante a como actúan las leyes determinísticas sobre otros fenómenos de las ciencias. Los dominios de la estadística han favorecido el tratamiento de la incertidumbre en ciencias como la biología, la medicina, la economía, la psicología, la antropología, la lingüística..., y aún más, han permitido desarrollos al interior de la misma matemática.

Las investigaciones de Shanghnessy (1985) le han llevado a establecer que en las matemáticas escolares el desarrollo del pensamiento aleatorio,mediante contenidos de la probabilidad y la estadística debe estar imbuido de un espíritu de exploración y de investigación tanto por parte de los estudiantes como de los docentes. Debe integrar la construcción de modelos de fenómenos físicos y del desarrollo de estrategias como las de simulación de experimentos y de conteos. También han de estar presentes la comparación y evaluación de diferentes formas de aproximación a los problemas con el objeto de monitorear posibles concepciones y representaciones erradas. De esta manera el desarrollo del pensamiento aleatorio significa resolución de problemas.

La búsqueda de respuestas a preguntas que sobre el mundo físico se hacen los niños resulta ser una actividad rica y llena de sentido si se hace a través de recolección y análisis de datos. Decidir la pertinencia de la información necesaria, la forma de recogerla, de representarla y de interpretarla para obtener las respuestas lleva a nuevas hipótesis y a exploraciones muy enriquecedoras para los estudiantes. Estas actividades permiten además encontrar relaciones con otras áreas del currículo y poner en práctica conocimientos sobre los números, las mediciones, la estimación y estrategias de resolución de problemas.

En la tarea de buscar y recoger datos es importante mantener claros los objetivos, las actitudes, los intereses que la indujeron, prever qué tipos de respuestas se pueden encontrar, las dificultades que podrían presentarse, las distintas fuentes como consultas, entrevistas, encuestas, observaciones, la evaluación de su veracidad, distorsiones, sesgos, lagunas, omisiones y la evaluación de la actitud ética de quien recoge los datos y su responsabilidad social.

Cuando se habla de datos, es importante una reflexión sobre su naturaleza. Ellos no serían comprensibles sin considerar que tienen un mínimo de estructura, el formato y seguramente un orden, por ejemplo el estar unos a continuación de otros, el orden alfabético si son palabras, el orden aditivo si se trata de números. En este sentido podría considerarse que no hay datos sino sistemas de datos.

La enseñanza de las matemáticas convencionales ha enfatizado la búsqueda de la respuesta correcta única y los métodos deductivos. La introducción de la estadística y la probabilidad en el currículo de matemáticas crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes posibilidades de ser ciertas. Este carácter no determinista de la probabilidad hace necesario que su enseñanza se aborde en contextos significativos, en donde la presencia de problemas abiertos con cierta carga de indeterminación permitan exponer argumentos estadísticos, encontrar diferentes interpretaciones y tomar decisiones. “Explorar e interpretar los datos, relacionarlos con otros, conjeturar, buscar configuraciones cualitativas, tendencias, oscilaciones, tipos de crecimiento, buscar correlaciones, distinguir correlación de causalidad, calcular correlaciones y su significación, hacer inferencias cualitativas, diseños, pruebas de hipótesis, reinterpretar los datos, criticarlos, leer entre líneas, hacer simulaciones, saber que hay riesgos en las decisiones basadas en inferencias”26 son logros importantes en el aprendizaje de la estadística.

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Entonces habrá de tenerse especial cuidado para que la enseñanza de conceptos, de métodos, de representaciones del mundo estadístico y probabilístico como camino hacia la construcción de una teoría matemática no cause la pérdida de su carácter aleatorio.

Heinz Steinbring, en su artículo “La interacción entre la práctica de la enseñanza y las concepciones teóricas”, presenta un modelo basado en un análisis epistemológico de la naturaleza de la probabilidad, el cual considera tres niveles. El primero tiene que ver con la estructura del contenido, el segundo tiene en cuenta el estudiante que aprende significativamente y el tercero considera al docente quien planifica, organiza, apoya y desarrolla esta forma de aprendizaje. La figura muestra cómo se interrelacionan estos tres niveles.

En el análisis hecho por el autor, la relación entre los dos primeros niveles considerados en el modelo trata de responder a dos preguntas centrales: “¿Cómo es posible introducir los conceptos de aleatoriedad y de indeterminación y utilizarlos con ayuda de conceptos matemáticos de naturaleza determinante?, ¿Cómo pueden hacerse predicciones relativas a situaciones inciertas y aleatorias bajo forma de proposiciones matemáticas y cuál es el carácter específico de estas predicciones?”

Así por ejemplo las proporciones estadísticas como frecuencias relativas, probabilidades, valores esperados, valores medios, entre otras, se dan mediante definiciones formales, reglas de cálculo o funciones matemáticas, pero estos valores exactamente calculados solos no reflejan la naturaleza específica de la aleatoriedad, para ello es necesario un marco de significación que haga posible la comprensión del carácter aleatorio de esos valores, tales como aplicaciones concretas en situaciones de la vida real, encuestas estadísticas. En los cursos de la educación básica las representaciones gráficas como las circulares, histogramas, diagramas de árbol son marcos matemáticos que permiten captar la aleatoriedad y la incertidumbre tanto en forma cuantitativa como cualitativa, sobre los cuales los estudiantes pueden hacer evaluaciones y tomar decisiones, sin recurrir a un esquema único de cálculo que los llevaría a encontrar valores deterministas definidos.

El proyecto del Consejo Escolar de Educación Estadística presenta tres principios que pueden tenerse en cuenta al introducir los conceptos:

Los conceptos y las técnicas deben introducirse dentro de un contexto práctico. No es necesario desarrollar completamente las técnicas en el momento en que se presentan por

primera vez.

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No es necesario ni deseable una justificación teórica completa de todos los temas, algunos de ellos se tratarán dentro de un problema particular, otros se considerarán mediante experiencias y no se justificarán teóricamente.

Los docentes, además de considerar situaciones de aplicación reales para introducir los conceptos aleatorios, deben preparar y utilizar situaciones de enseñanza abiertas, orientadas hacia proyectos y experiencias en el marco aleatorio y estadístico, susceptibles de cambios y de resultados inesperados e imprevisibles. Los proyectos y experiencias estadísticos que resultan interesantes y motivadores para los estudiantes generalmente consideran temas externos a las matemáticas lo cual favorece procesos interdisciplinarios de gran riqueza.

Estas reflexiones acerca de los procesos que se desarrollan mediante contenidos matemáticos que tienen que ver con el pensamiento aleatorio se tuvieron en cuenta al proponer indicadores de logros curriculares para el área de matemáticas, en la resolución 2343 de 1996.

6.1.5 PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas.

En esta forma se amplía la visión de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes.

Una rápida visión a la evolución histórica, desde las matemáticas, del estudio de la variación permite afirmar que ésta se inicia con las tablas babilónicas, con las gráficas de variación (Oresme en la Edad Media) y con las fórmulas algebraicas de origen renacentista. Particularmente, el contexto de la variación proporcional para modelar las situaciones de variación cobra especial relevancia por ser la única teoría matemática con la que se contaba en la Edad Media. Pero es en el contexto del estudio matemático del movimiento donde se alcanza la construcción matemática de la variación, lo que configura el Cálculo.

Esta breve e incompleta presentación histórica de la variación, hace necesario desmenuzar los conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación para poner al descubierto las interpelaciones entre ellos. Un primer acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificar algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación:

Continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia, aproximaciones sucesivas, divisibilidad;

la función como dependencia y modelos de función; las magnitudes; el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica, particularmente la noción

y significado de la variable es determinante en este campo; modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir el cambio

absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad cobra especial significado.

En los contextos de la vida práctica y en los científicos, la variación se encuentra en contextos de dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía (conocida como medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del lenguaje matemático.

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Abordado así el desarrollo del pensamiento variacional se asume por principio que las estructuras conceptuales se desarrollan en el tiempo, que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más sofisticado, y que nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones propias de las matemáticas.

Entre los diferentes sistemas de representación asociados a la variación se encuentran los enunciados verbales, las representaciones tabulares, las gráficas de tipo cartesiano o sagital, las representaciones pictóricas e icónicas, la instruccional (programación), la mecánica (molinos), las fórmulas y las expresiones analíticas.

El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica. La organización de la variación en tablas, puede usarse para iniciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas que involucren procesos aritméticos, inicia también la comprensión de la variable y de las fórmulas. En estos problemas los números usados deben ser controlados y los procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética que se estudia. Igualmente, la aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos usados en la solución de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una herramienta necesaria en la iniciación del estudio de la variación.

Adicionalmente la tabla se constituye en un elemento para iniciar el estudio de la función, pues es un ejemplo concreto de función presentada numéricamente. Y aunque en algunas ocasiones enfatiza la variación numérica discreta, es necesario ir construyendo la variación numérica continua. Así mismo, las situaciones problemáticas deben seleccionarse para enfrentar a los estudiantes con la construcción de expresiones algebraicas o con la construcción de las fórmulas. Tal como lo señala Demana (1990) la exposición repetida de construcciones de fórmulas, como expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas que aparecerán después del estudio del álgebra. La tabla también se constituye en una herramienta necesaria para la comprensión de la variable, pues el uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede tener un número infinito de valores de reemplazo. Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a la escritura de las expresiones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio.

Otra herramienta necesaria para iniciar el estudio de la variación desde la primaria la constituye el estudio de los patrones. Éstos incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías y representaciones pictóricas e icónicas. En las matemáticas los escenarios geométricos o numéricos también deben ser utilizados para reconocer y describir regularidades o patrones presentes en las transformaciones. Estas exploraciones permiten, en una primera instancia, hacer una descripción verbal de la relación que existe entre las cantidades (el argumento y el producto terminado que se lee primero) que intervienen en la transformación. Los contextos de variación deben incluir patrones aditivos y multiplicativos.

Las tablas se pueden usar posteriormente para llevar a los estudiantes a la graficación de situaciones problema de tipo concreto, aunque quede restringida al primer cuadrante. La identificación de la variable independiente y dependiente es más significativa cuando se inicia desde la representación de situaciones concretas. Más adelante se formaliza el sistema cartesiano con el aprendizaje de su sintaxis.

Por su parte, las gráficas cartesianas también pueden ser introducidas tempranamente en el currículo. Ellas hacen posible el estudio dinámico de la variación. La relación explícita entre las variables que determinan una gráfica puede ser iniciada con situaciones de variación cualitativa y con la identificación de nombres para los ejes coordenados.

Los contextos de la variación proporcional integran el estudio y comprensión de variables intensivas con dimensión, así como también ayudan al estudiante a comprender el razonamiento multiplicativo.

Particularmente la gráfica tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia entre variables, gestando la noción de función como dependencia.

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Los contextos donde aparece la noción de función establecen relaciones funcionales entre los mundos que cambian, de esta manera emerge la función como herramienta de conocimiento necesaria para “enlazar” patrones de variación entre variables y para predecir y controlar el cambio. Los modelos más simples de función (lineal, afín, cuadrática, exponencial...) encapsulan modelos de variación como la proporcionalidad.

La introducción de la función en los contextos descritos preparan al estudiante para comprender la naturaleza arbitraria de los conjuntos en que se le define, así como a la relación establecida entre ellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes a situaciones donde la función no exhiba una regularidad, con el fin de alejar la idea de que su existencia o definición está determinada por la existencia de la expresión algebraica. A la conceptualización de la función y los objetos asociados (dominio, rango...) le prosigue el estudio de los modelos elementales, lineal, afín, cuadrático, exponencial, priorizando en éstos el estudio de los patrones que los caracterizan (crecientes, decrecientes). La calculadora gráfica se constituye en una herramienta didáctica necesaria para lograr este propósito.

En lo referente a la construcción del continuo numérico, los escenarios deben ser los numéricos y los geométricos. Particularmente el trabajo con las representaciones decimales, cobra especial relevancia. Los procesos infinitos deben ser introducidos en contextos geométricos.

Una propuesta didáctica para el tratamiento de las funciones está desarrollada en los Programas de la Renovación Curricular.

6.2 ESTÁNDARES: Planeando por conjunto de grados, los docentes describirán los diferentes estándares que desarrollarán con los respectivos ejes temáticos.

Primero a terceroAl terminar tercer grado…

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOS Reconozco

significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros).

Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones.

Describo

Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimensionales.

Dibujo y describo cuerpos o figuras tridimensionales en distintas posiciones y tamaños.

Reconozco nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su

Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa) y, en los eventos su duración.

Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles.

Realizo y describo procesos de medición con

Clasifico y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas.

Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar.

Describo situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos.

Represento datos relativos a su entorno usando

Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros).

Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas.

Reconozco y

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOSsituaciones que requieren el uso de medidas relativas.

Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes.

Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas- para explicar el valor de posición en el sistema de numeración decimal.

Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas- para realizar equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal.

Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar...) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por....) en diferentes contextos.

Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación.

Resuelvo y formulo problemas en

condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia.

Represento el espacio circundante para establecer relaciones espaciales.

Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una figura.

Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño.

Reconozco congruencia y semejanza entre figuras. (ampliar, reducir).

Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y figuras geométricas tridimensionales y dibujos o figuras geométricas bidimensionales.

Desarrollo habilidades para relacionar dirección, distancia y posición en el espacio.

patrones arbitrarios y algunos estandarizados de acuerdo al contexto.

Analizo y explico sobre la pertinencia de patrones e instrumentos en procesos de medición.

Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos particularmente a la vida social, económica y de las ciencias.

Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y multiplicativas.

objetos concretos, pictogramas y diagramas de barras.

Identifico regularidades y tendencias en un conjunto de datos.

Explico - desde mi experiencia - posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos.

Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro.

Resuelvo y formulo preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo.

genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual.

Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las figuras geométricas.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOSsituaciones de variación proporcional.

Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

Identifico, si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no razonables.

Identifico regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras, ábacos, bloques multibase, etc.).

Cuarto a quintoAl terminar quinto grado…

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Interpreto las fracciones en diferentes contextos –situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones-.

Identifico y uso medidas

Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras, lados) y propiedades.

Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo

Diferencio y ordeno, en objetos y eventos, propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes, distancias, áreas de superficies, volúmenes de

Represento datos usando tablas y gráficas (pictogramas, gráficas de barras, diagramas de líneas, diagramas circulares).

Comparo diferentes

Describo e interpreto variaciones representadas en gráficos.

Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

relativas en distintos contextos.

Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes.

Justifico el valor de posición en el sistema de numeración decimal en relación con el conteo recurrente de unidades.

Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones.

Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición, transformación, comparación e igualación.

Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y

con sus componentes (ángulos, vértices) y características.

Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas.

Utilizo sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones espaciales.

Identifico y justifico relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.

Construyo y descompongo figuras y sólidos a partir de condiciones dadas.

Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños.

Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionale

cuerpos sólidos, volúmenes de líquidos y capacidades de recipientes; pesos y masa de cuerpos sólidos; duración de eventos o procesos; amplitud de ángulos).

Selecciono unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para diferentes mediciones.

Utilizo y justifico el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social, económica y de las ciencias, utilizando rangos de variación.

Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superficie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos.

Justifico relaciones de

representaciones del mismo conjunto de datos.

Interpreto información presentada en tablas y gráficas. (pictogramas, gráficas de barras, diagramas de líneas, diagramas circulares).

Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos.

Describo la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos.

Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican.

Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones, consultas o

Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales.

Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones entre distintos datos.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

producto de medidas.

Identifico la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos.

Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa.

Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

Identifico, en el contexto de una situación, la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos.

Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones.

s y puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura.

dependencia del área y volumen, respecto a las dimensiones de figuras y sólidos.

Reconozco el uso de algunas magnitudes (longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa, duración, rapidez, temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas.

Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de figuras diferentes, cuando se fija una de estas medidas.

experimentos.

Sexto a séptimo Al terminar séptimo grado…

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOS Resuelvo y Represento Utilizo técnicas y Comparo e Describo y

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOSformulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.

Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales, utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal.

Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica, transitiva, ...) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa,...) en diferentes contextos.

Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades

objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.

Identifico y describo figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales.

Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.

Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.

Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos.

Identifico características de localización

herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas.

Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas, mapas).

Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos.

Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud.

Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación.

interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación.

Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares..)

Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos.

Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento.

Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad.

Resuelvo y formulo

represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).

Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación).

Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.

Utilizo métodos informales (ensayo – error, complementación) en la solución de ecuaciones.

Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc) en relación con

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOSbásicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.

Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.

de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica.

problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.

Predigo y justifico razonamientos y conclusiones usando información estadística.

la situación que representan.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOS Establezco

conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calculadoras o computadores.

Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas.

Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo.

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Octavo a noveno Al terminar noveno grado…

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOS Utilizo números

reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos.

Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.

Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas.

Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico.

Resuelvo y

Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE

DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y

SISTEMAS ALGEBRAICOS Y

ANALÍTICOSformulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas. (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos. (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia...)

Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan.

Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Décimo a undécimo Al terminar undécimo grado…

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.

Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en

Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión

Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

Interpreto la noción de derivada como

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos.

Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.

Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono.

Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas.

Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras.

Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

específicos. Resuelvo y

formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media.

Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

comunicación. Justifico o refuto

inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar.

Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta.

Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas.

Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos).

Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza,

razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos.

Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y

SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y

SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos.

covarianza y normalidad).

Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.

Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad. (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con reemplazamiento).

Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

Nota. La publicación de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas realizada por el MEN en 2003 salió con algunos errores que se cometieron al momento de diseñar la cartilla. En las tablas anteriores aparece la versión original planteada por los expertos que se encargaron de estructurar los estándares.

6.2.1 La estructura de los estándares básicos de competencias en matemáticas

Los Estándares presentados a continuación no pueden ser entendidos como metas que se puedan delimitar en un tiempo fijo determinado, sino que estos identifican procesos que incluso no son terminales en el nivel donde se proponen. Dicho de otra manera, si en un nivel de grados, para un determinado pensamiento, se proponen, 12 Estándares, entonces estos no pueden dividirse por partes iguales en los grados de nivel (por ejemplo, seis en un grado y seis en otro grado) ni tampoco puede pensarse en una separación por periodos del años escolar claramente delimitados para cada uno de ellos. El conjunto de Estándares debe ser entendido en términos de procesos que se desarrollan gradual e integradamente, a partir de niveles de complejidad creciente, en el desarrollo del proceso educativo.

Se trata entonces de comprender que el diseño curricular de cada institución en coherencia con su PEI, debe buscar el desarrollo de un trabajo integrado en los distintos pensamientos, más que cada uno independiente de los demás. Esto se logra si el desarrollo del trabajo en el aula se piensa desde las situaciones problemas, más que desde los contenidos, y de esta forma aprovechar en cada situación las posibilidades de interrelacionar los Estándares y los diferentes pensamientos

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6.2.2 La manera como está formulado cada estándar

Los estándares básicos de competencias matemáticas que aparecen bajo las cinco columnas mantienen la siguiente estructura:

Procesos conceptos y procedimientos matemáticos contextos

La estructura descrita es evidente en tanto los procesos que se proponen en los Lineamientos para toda actividad matemática, resolución de problemas, razonamiento, comunicación, modelación y procedimientos, tal como se ha descrito en párrafos anteriores (apartado1 : 6) , constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estudiantes alcanzar un grado suficiente en las competencias; de igual manera, tal como se ha descrito, el desarrollo de las competencias es mediado por ambientes de aprendizaje (contextos) en torno a situaciones de aprendizaje de las matemáticas en donde actividades matemáticas como la comunicación y el razonamiento son esenciales.

Los estándares para cada pensamiento están basados en la complejidad conceptual y procedimental. Esta propuesta requiere de reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real se requiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos con las matemáticas formales. La construcción de estos hilos requiere de aceptar, tal como se ha descrito en cada pensamiento, que un concepto matemático admite diversas aproximaciones, como por ejemplo, los distintos significados de las fracciones o los significados de la adición, descritos en la estructura aditiva; del mismo modo las proposiciones o propiedades pueden alcanzarse, usualmente por más de una vía. En cuanto a los procedimientos asociados a cada pensamiento (numérico, métrico, variacional, etc.) si bien es necesario distinguir los asociados a cada pensamiento, por ejemplo para el numérico: lectura y escritura de números, también es necesario reconocer que algunos son transversales como es el caso de los procedimientos asociados a las representaciones y gráficas pues el uso de gráficos incluye la representación de conceptos geométricos, representaciones de relaciones entre dos variables y representación lineal de los números

A medida que los estudiantes avanzan en la educación básica, la complejidad conceptual de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina, sino también, en el tipo de procesos que puede realizar. Pero además, en la medida que los estudiantes disponen de mejores comprensiones conceptuales, y pueden desarrollar procesos de mayor complejidad, entonces se pueden enfrentar al tratamiento de situaciones de mayor nivel de abstracción, esto es, los contextos dentro de los cuales puede desplegar su actividad matemática pueden y deben expresar mayores niveles de complejidad.

6.2.3 Coherencia vertical y horizontal

La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas a la que ya hicimos mención, exigen en los estándares coherencia tanto horizontal como vertical. La primera está dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos, del mismo grupo de grados. La segunda, por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento.

6.3 EJES TEMÁTICOS

Se detallan los nombres de las unidades didácticas que se desarrollaran por grupos de grados

6.4 CONOCIMIENTOS

En el marco anterior de comprensión sobre el conocimiento matemático, los Estándares adoptan el modelo epistemológico para el conocimiento matemático propuesto en Lineamientos Curriculares en el cual este conocimiento se propone constituido tanto por el conocimiento conceptual como por el procedimental. El primero se caracteriza por ser un conocimiento rico en relaciones con otros conocimientos, está asociado al conocimiento declarativo y se relaciona con el saber qué. Al estar más

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relacionado con la noción de concepto y de estructura, el conocimiento conceptual es ante todo relacional. Por su parte, el segundo está relacionado con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y con el razonamiento. El conocimiento procedimental permite el uso flexible y en contexto de los conceptos matemáticos, y por tanto, está en relación con el saber hacer qué. Los procesos matemáticos generales que proponen en los Lineamientos, comunicación, razonamiento, resolución de problemas, modelación pueden las competencias matemáticas generales. En los Lineamientos también se señalan procesos específicos, de comunicación, razonamiento, etc., relacionados a los cinco pensamientos y con los sistemas propios lo que determina el reconocimiento de competencias específicas determinadas por lo contenidos matemáticos de cada pensamiento que estructuran las situaciones de aprendizaje. Tanto procesos como conocimientos se relacionan a través de los contextos de tal forma que los conocimientos básicos son aprendidos a través de los procesos y los procesos son aprendidos sobre la base de los conocimientos básicos.

Igualmente los Estándares asumen la competencia matemática en el binomio saber hacer, saber hacer que, y por tanto ellos determinan el conjunto de competencias resultado de los procesos de aprendizaje que se desarrollan en los diferentes ciclos de grados. La importancia de las competencias por ciclos de grado reside en reconocer que el aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos transcurre en largos periodos de tiempo y asociados a la riqueza de la multiplicidad de situaciones matemáticas que median el aprendizaje

6.5 LOGROS

Son los alcances que se consideran deseables, valiosos y necesarios para la formación integral de los estudiantes. Son logros generales por grupos de grados, de acuerdo a los ejes temáticos elegidos y a los propios estándares.Cognitivos: Son los conocimientos o saberes que deben alcanzar los estudiantes de un grado en un área determinada.Praxiológicos: Son las habilidades que deben alcanzar los estudiantes de un grado en un área determinadaActitudinales: Son las actitudes y demás capacidades que deben alcanzar los estudiantes de un grado en un área determinada.

6.6 METAS DE COMPRENSIÓN LECTORA (Por conjunto de grados)

6.7 COMPETENCIA MATEMÁTICA

La visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos, incorpora también una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático, interpretando los conceptos y estructuras matemáticas como herramientas mediante las cuales se ponen en práctica determinadas competencias.

La importancia de la noción de competencias en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ha venido siendo objeto de interés en muchas de las investigaciones que adelanta la comunidad de investigadores en educación matemática. Una síntesis apretada de los resultados de estas investigaciones permite precisar que el sentido de la expresión ser matemáticamente competente esta relacionado con los fines de la educación matemática del ciclo educativo y con la adopción de un modelo epistemológico sobre la propia matemática. Respecto al modelo epistemológico coherente para dar sentido a la expresión ser matemáticamente competente se requiere que éste, con base en las nuevas tendencias de la filosofía de las matemáticas, adopte supuestos sobre las matemáticas tales como:

Las matemáticas son una actividad humana condicionada por la cultura, pero que al solucionar problemas tanto internos como externos, ayudan a su desarrollo. Es en la búsqueda de soluciones y

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respuestas a estos problemas donde surgen progresivamente técnicas, reglas y sus respectivas justificaciones las cuales son socialmente compartidas.

Las matemáticas son un cuerpo de conocimientos (definiciones, axiomas, teoremas) que están lógicamente estructurados y justificados.

En la actividad matemática se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos que desempeñan un papel comunicativo e instrumental.

Con base en estos supuestos se pueden distinguir tres facetas básicas del conocimiento matemático:

El componente social, que expresa condiciones de relación del hombre con su entorno, su calidad de vida y su lugar como ciudadano.

El componente práctico, que comprende las situaciones, los problemas y las técnicas de solución. El componente formal, constituido por los sistemas matemáticos y sus justificaciones, el cual se

expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas (en sus diversos registros).

Estos supuestos plantean la complejidad del conocimiento matemático y señalan nuevos derroteros para aproximarse a la noción de ser matemáticamente competente. En nuestro sistema educativo la noción de competencia está relacionada con las capacidades que tiene un sujeto para realizar una tarea especifica, lo que implica vincular la competencia exclusivamente a con el saber cómo hacer la tarea (conocimiento procedimental); pero tal como se ha descrito, el conocimiento matemático incluye el conocimiento social y el discursivo/relacional, y por consiguiente, ser matemáticamente competente incluye la capacidad para saber qué hacer y por qué hacer. Esta capacidad pone en juego conocimientos conceptúales, lógicos y argumentativos y se relaciona con la noción cognitiva de comprensión. Por estas razones la precisión del sentido de la expresión ser matemáticamente competente implica una noción de competencia estrechamente ligada al hacer y al comprender, en tanto ambos elementos ponen en juego las facetas del conocimiento matemático (procedimental y conceptual), conocimientos que, en el caso de las matemáticas, están estrechamente relacionados, y si bien es cierto que la sociedad reclama y valora el saber en acción o saber procedimental, también es cierto que la posibilidad de la acción con carácter flexible, adaptable y generalizable, requiere de estar acompañada de comprender qué se hace y porqué se hace.

Estas argumentaciones permiten precisar algunos supuestos generales para conformar un modelo formal de lo que significa ser matemáticamente competente:

Dominio de procedimientos matemáticos, conocer cuándo y cómo usarlos de manera flexible y eficaz. Esta competencia vincula la comprensión conceptual que fundamenta los procedimientos, pues solo esta comprensión hace posible que la aplicación de los procedimientos sea más flexible e incluso ayuda al uso idóneo de los procedimientos como recurso disponible para la resolución de situaciones y problemas;

Domino y fluidez de recursos del lenguaje matemático. Este supone la utilización de diferentes sistemas de notación simbólica los cuales tendrán significación siempre y cuando estén acompañados de la comprensión de las propiedades y relaciones que se representan, esto es, de la capacidad comunicativa. La capacidad de comunicar, explicar y argumentar matemáticamente significa usar el lenguaje matemático (en contextos matemáticos y no matemáticos) para expresar ideas de manera precisa; crear y usar representaciones matemáticas para organizar, registrar, comunicar y sustentar puntos de vista;

la comprensión conceptual como capacidad que relaciona conceptos y que proporciona argumentos y justificaciones del porqué pueden usarse en la solución de situaciones y problemas. Estas capacidades integran lo que se debe saber y lo que se debe hacer para ser consciente de lo que se sabe hacer. Dentro de los procesos que van a permitir a los estudiantes alcanzar un nivel satisfactorio en estas capacidades se encuentra la formulación y resolución de problemas, la comunicación y el razonamiento. De un lado, en la formulación de problemas el estudiante requiere identificar lo relevante, establecer relaciones y representar la situación, pero de otro, la resolución requiere el uso flexible de conceptos y procedimientos. Adicionalmente, a través de la comunicación usa el lenguaje matemático para expresar sus ideas matemáticas y para analizar las estrategias de solución de los demás. La solución integra el razonamiento en tanto el estudiante desarrolla argumentos que justifican los procesos y procedimientos realizados.

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El reconocimiento del binomio comprensión - competencia en la expresión ser matemáticamente competente muestra su complejidad para que la educación matemática se comprometa con el logro del mismo, pues tal como se ha descrito, éste se encuentra asociado a una visión compleja del conocimiento matemático, y por lo tanto, valorar su logro no puede ser desde el estado dicotómico, se tiene o no se tiene, sino que tal valoración debe entenderse como la posibilidad de determinar el grado de desarrollo de un proceso, en progresivo crecimiento y relativo a los contextos institucionales donde se desarrolla. La competencia y la comprensión matemática no se alcanzan por generación espontánea, requieren de ambientes de clase enriquecidos por situaciones significativas de aprendizaje y por la riqueza del discurso, de la comunicación oral y escrita en el aula, de la argumentación y la contra argumentación realizada entre estudiantes y de éstos con los profesores.

6.8 RECURSOS

Los recursos didácticos, entendidos no solo como el conjunto de materiales apropiados para la enseñanza, sino como los soportes materiales sobre los cuales se estructuran las situaciones problema necesarias para el desarrollo de la actividad matemática de los estudiantes, deben ser analizados en términos de los elementos conceptuales y procedimentales que efectivamente permiten construir. Esto es, cada conjunto de recursos, puestos en escena a través de una situación, permiten recrear ciertos elementos estructurales de los conceptos y de los procedimientos que se proponen para que los estudiantes aprendan. En este sentido los recursos, a través de las situaciones, se hacen mediadores en la apropiación de procesos y conocimientos básicos.

Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con fines educativos (regletas, juegos, etc.); o tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los fines que requiera la tarea. Es de destacar entre estos recursos, aquellos configurados desde ambientes informáticos como calculadoras, software especializado, el Internet, etc. Estos ambientes informáticos, que bien pueden estar presentes desde los primeros años de la educación básica, proponen nuevos retos y perspectivas a los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas. Esto, en tanto que permiten reorganizaciones curriculares, pues no solo realizan de manera rápida y eficiente tareas rutinarias, sino que también integran diferentes tipos de representaciones para el tratamiento de los conceptos (tablas, gráficas, ecuaciones, simulaciones, modelaciones, etc.). Todo esto facilita a los alumnos centrarse en los procesos de razonamiento propio de las matemáticas, y además, pone a su alcance problemáticas reservadas a otros niveles de la escolaridad

Pensamiento Estándares Ejes temáticos

Contenidos Logros Metas decomprensión

Competencias Recursos

7. PROYECTO OBLIGATORIO

La enseñanza de la protección del medio ambiente, la ecología y la preservación de los recursos naturales.

Uno de los aspectos más destacados del nuevo sistema educativo es la incorporación en el currículo de las llamadas Líneas Transversales, entre las cuales se encuentra la Educación Ambiental (EA). La inclusión de estos contenidos transversales se justifica, entre otros motivos, por la necesidad de relacionar las vivencias del alumno con sus experiencias escolares, mediante la introducción en los currículos de una serie de temas que están "vivos" en la sociedad y que, por su importancia y trascendencia, en el presente y en el futuro, requieren una respuesta educativa. Además, a pesar de que las Líneas Transversales se presenten separadamente, sus objetivos son convergentes y en ellos subyace un modelo común que debería constituir la base de una educación integral centrada en los valores.

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Se pretende con ello incorporar al currículo una serie de contenidos de enseñanza no contemplados en exclusividad por las diversas disciplinas académicas, sino que pueden estar asociados a todas (o a muchas de ellas), como es el caso de la Educación Ambiental. Este carácter transversal aporta una manera, diferente a la tradicional, de entender las relaciones entre los conocimientos disciplinares y los problemas ambientales. Según esto, los contenidos de las diferentes áreas curriculares han de ser analizados y formulados teniendo en cuenta las finalidades educativas, especialmente de carácter procedimental y actitudinal, derivadas de los grandes problemas ambientales.

Las llamadas ciencias naturales, son consideradas la base “clásica” del tema ambiental. Un papel relevante obvio lo presenta la biología y dentro de ésta, la ecología. Pero aunque las demás ciencias naturales parten también de la naturaleza y tratan sobre fenómenos naturales, no siempre sus expresiones educativas incluyen enfoques ambientales. Por lo tanto, es necesario avanzar un poco más en las diversas formas de acercamiento de las disciplinas científicas naturales en su aporte a la comprensión de las situaciones ambientales.

Son cuatro los enfoques necesarios para que una ciencia natural aborde la temática ambiental de manera integradora:Buscar la comprensión de las interacciones de los componentes naturales, con un abordaje sistémicoUbicar los fenómenos en estudio, en un marco espacio temporalEstudiar las situaciones en forma dinámica, enfatizando en la evolución y las transformacionesAnalizar las relaciones de los componentes sociales y su incidencia en los componentes naturales.

Al referirse a los ecosistemas, se requiere analizar las relaciones que tienen las diversas especies entre sí y con el medio circundante, a través de una visión integral, en la que se consideren los componentes en su mutua influencia, y no como componentes aislados. Para ello, se emplean algunos conceptos integradores, tales como la energía, la materia, las cuencas hidrográficas, el clima, la diversidad biológica, etc.El tema de la diversidad biológica y cultural es uno de los que presentan mayores posibilidades de trabajo, desde el punto de vista de la educación ambiental, ya que permite la articulación de diversas disciplinas, sustentando el proceso en el análisis de Educación Ambiental y la Conservación de la Biodiversidad en los Procesos Educativos

La química, la física, la biología y la ecología, la geología, son ciencias que estudian al mundo natural, desde perspectivas diversas.

La química, como ciencia que estudia la constitución atómica y molecular de la materia, y enfatiza en las interacciones de sus constituyentes, tiene aportes valiosos en el campo de las relaciones sociedad-naturaleza. La rama de la química ambiental, por ejemplo, ha venido desarrollando numerosos estudios sobre los problemas derivados de la aplicación de plaguicidas, los procesos de contaminación del agua y del aire, etc.

La física trata sobre el movimiento de la naturaleza. En cierto modo, se ha olvidado su objeto primordial (la búsqueda de la naturaleza esencial de las cosas, la “physis”) para convertirla en una disciplina eminentemente matematizada, pero sus bases naturales permiten ahondar en muchos procesos donde el movimiento a nivel macro o micro debe ser caracterizado y analizado.

La geología es la ciencia que estudia cómo se ha formado la Tierra, de qué está hecha, su historia y los cambios que han tenido lugar sobre y dentro de ella. La geología ambiental estudia, entre otros, los problemas causados por la contaminación del agua subterránea y del suelo. En particular, trata de las fuentes de sustancias contaminantes y los mecanismos de su transporte en el medio subterráneo, los daños que pueden causar estas contaminaciones a la naturaleza y a los seres humanos, la prevención de la contaminación y la recuperación y protección del agua y el suelo.

La biología por su parte se orienta a trabajar los fenómenos de la vida relativos al desarrollo de los seres, a las condiciones de su existencia y a las relaciones de los organismos vivos entre sí, su reproducción y transformaciones. La ecología enfatiza en las relaciones entre los seres vivos y con su entorno. Tradicionalmente, la biología y la ecología son consideradas la base del estudio de las situaciones ambientales.

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Sin embargo, es importante señalar aquí que no es suficiente estudiar un elemento natural para que efectivamente se trate de un análisis sistémico ambiental. Por ejemplo, existen muchos estudios taxonómicos puntuales que se dedican al estudio de una o más especies, en sí mismas, sin referencias a las interacciones con otras especies, ni con el medio, aportando elementos de trabajo para los estudios ambientales, pero sin una visión integral. Por ello, en los procesos de educación ambiental, cada una de las disciplinas de las ciencias naturales debe reconsiderar los enfoques de su trabajo, para aportar a los estudios sistémicos del ambiente, ampliando y enriqueciendo así su visión y metodologías.

Algunos ejemplos para trabajar:

Estudio sobre los aspectos químicos de la contaminación del aire y del agua en la localidad. Realizar toma de muestras en diversas áreas urbanas y rurales, de agua y de aire. Efectuar los análisis correspondientes para detectar contaminantes. Plantear alternativas de descontaminación.

Visitas y análisis de un área protegida y sus ecosistemas. Estudiar los tipos de áreas protegidas en el país y la región. Examinar las bases legales de la creación de las áreas en la localidad. Analizar las características del área protegida más cercana. Estudiar los humedales como ecosistemas y las necesidades de su conservación. Visitar el área protegida y establecer la situación ambiental en la que se encuentra, los valores sociales y naturales, y definir alternativas de solución de los principales problemas.

Inventario y análisis de interacciones de las especies de fauna y flora de la región. Realización de un inventario básico de las especies de fauna y flora, determinación de interacciones entre ellas, balance del estado de conservación.

Estudio del balance de energías en un área urbana. Determinación de los ingresos y salidas de energía del área urbana cercana al centro educativo, y las modalidades de estas energías. Investigar si existe un balance o desequilibrios notables, así como las características de cada caso.

Potencial de energía eólica y de energía solar en la región. Investigación y medición de las características del viento y de la radiación solar en la región, para concluir en las potencialidades existentes para la aplicación de ambas energías en la localidad. Definición de alternativas, ventajas y costos de cada caso y su relación con la sostenibilidad del desarrollo.

Estudio histórico del agua subterránea en la región. Documentación y estudio sobre los diversos procesos histórico geológicos del agua subterránea en la región. Principales problemas y potencialidades. Formas de manejo sostenible para el futuro.

La matemática estudia, a través del razonamiento deductivo, las propiedades de entes abstractos (como los números, las figuras geométricas, las funciones, etc.) y también las relaciones que se establecen entre ellos. El origen de la matemática es natural y social. Surge a partir de necesidades humanas en relación con la naturaleza, con el conteo de los animales, de los tiempos, de las cosechas. Se relaciona con los dedos humanos (los dígitos) y con la reflexión sobre el tiempo y el espacio. El desarrollo de la matemática ha incluido además temas centrales de la sociedad, tales como la capacidad de razonamiento, de resolución de problemas, de manejo de sistemas de medición y selección de unidades apropiadas, ha dado instrumentos para la comparación de los fenómenos, ha aportado al análisis de situaciones complejas, etc.

Un valioso aporte árabe al pensamiento matemático se manifiesta entre otros hechos en la propuesta de un eminente científico del siglo IX, Muhammed al Jwarizmi, quien diseñó un conjunto de reglas y operaciones para apoyar la resolución de problemas: lo que hoy conocemos como algoritmos. Esta sucesión de operaciones finitas se vincula estrechamente con la posibilidad de estudiar y resolver problemas ambientales. En efecto, sus características centrales (ser finito, definible y generalizable) permiten trabajar con magnitudes de entrada y transformarlas en magnitudes de salida, a partir de conjuntos precisos de instrucciones.

Por otra parte, el manejo estadístico, la recolección de informaciones, su ordenamiento y procesamiento, el trabajo probabilístico y estocástico, la graficación y el diseño de tablas, son aportes importantes al estudio de las situaciones ambientales. La ecología contemporánea emplea diversos acercamientos matemáticos para establecer situaciones de la diversidad biológica y aportar mecanismos para equilibrar los ecosistemas.

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Los trabajos de “modelización” que viene realizado la matemática son referentes importantes en la búsqueda de la clarificación de las relaciones entre variables de entrada y de salida. Los modelos cibernéticos, por su parte, representan de manera abstracta la circulación de las energías y de la información en sistemas vivos o inanimados. En este mismo sentido, la creación de modelos incluye también la creación de lenguajes que aportan al conocimiento de las diversas realidades, ya que a través de ellos se pueden hallar patrones orientadores de la acción humana. Se han realizado modelos, por ejemplo, de la dinámica de los bosques, de la pérdida o crecimiento de las especies, de las formas de la naturaleza, de la dinámica de las cuencas, etc.

Otro tema importante que la matemática puede poner al servicio de los estudios ambientales es la Teoría de Juegos (1944), que hasta el momento ha sido utilizada ampliamente por la economía. Esta teoría incluye un conjunto de métodos matemáticos que permiten la resolución de problemas o situaciones, en las cuales existen reglas conocidas de decisión, y nociones de táctica y estrategia para abordarlos.

Una rama relativamente nueva de la geometría, la Teoría de los Fractales (1975) trabaja sobre unos objetos matemáticos denominados fractales, cuya creación o forma no encuentra regla diferente a la de ser irregular o fragmentada. Contrasta con la geometría euclidiana de los círculos y cuadrados, que no existen en la naturaleza, para pasar a una expresión de las formas naturales, como la denominada Curva de Koch, o copo de nieve. La naturaleza presenta sistemas fractales como por ejemplo la ramificación de una cuenca, las formas de las costas rocosas, el movimiento browniano, la ramificación de bronquios y bronquíolos, etc. Esta teoría matemática plantea el retorno de la matemática como ciencia de la naturaleza, por lo cual representa un enfoque ambiental con grandes potencialidades futuras.

8. DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Didáctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal, la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.

Para Brousseau, la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento. Saber que es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica.

Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situación de enseñanza y aprendizaje, Schoenfeld (1987) postula una hipótesis básica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es, por lo tanto, explicar qué es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos.

Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. Steiner considera que la didáctica de la matemática debe tender hacia lo que Piaget denominó transdisciplinariedad lo que situaría a las investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin olvidar a la propia Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.

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La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes niveles educativos.

8.1 La tendencia curricular llamada Matemática Moderna

Durante las décadas de los años cuarenta y cincuenta se había desarrollado una ingente labor de sistematización de las matemáticas a través del lenguaje de la teoría de conjuntos y de la lógica matemática, liderada por el grupo que escribía con el seudónimo de “Nicolás Bourbaki”. Esta reestructuración bourbakista de las matemáticas sedujo a la comunidad matemática por su elegancia arquitectónica y por la unificación del lenguaje, hasta tal punto que se pensó abolir el plural “matemáticas” para hablar de una sola “matemática”.

El lanzamiento del Sputnik por los soviéticos impulsó a los norteamericanos a iniciar una renovación de la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas en la educación secundaria y media, para preparar los futuros científicos que alcanzaran a los soviéticos en la carrera espacial. Numerosos programas experimentales de matemáticas fueron desarrollados por grupos de expertos, quienes creyeron encontrar en la teoría de conjuntos y la lógica matemática los medios más aptos para lograr que todos los niños tuvieran fácil acceso a las matemáticas más avanzadas 1.

Surge así la llamada “nueva matemática” o “matemática moderna” o “new math” en los años 60 y 70, que produjo una transformación de la enseñanza y cuyas principales características fueron: énfasis en las estructuras abstractas; profundización en el rigor lógico, lo cual condujo al énfasis en la fundamentación a través de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor se alcanza fácilmente; detrimento de la geometría elemental y el pensamiento espacial; ausencia de actividades y problemas interesantes y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautología y reconocimiento de nombres.

Las bases filosóficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de Royamount, celebrado en 1959. En el transcurso del mismo, el famoso matemático francés Jean Diudonné lanzó el grito de "abajo Euclides" y propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter deductivo de la matemática y que partiera de unos axiomas básicos en contraposición a la enseñanza falsamente axiomática de la geometría imperante en aquellos momentos. En ese mismo seminario la intervención de otro matemático francés, G. Choquet va en el mismo sentido: ... disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los números enteros, donde estudiar los principales conceptos del álgebra, como son la relación de orden, la estructura de grupo, la de anillo ...". Estas dos intervenciones se pueden considerar como paradigmáticas del movimiento que se inicia, pues la primera dibuja el enfoque que ha de caracterizar la enseñanza de la matemática y la otra cuál es el contenido más apropiado. La idea en principio parecía bastante lógica y coherente. Por un lado se pretendía transmitir a los alumnos el carácter lógico-deductivo de la matemática y al mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y los conceptos de relación y función de la matemática superior. A finales de los sesenta y principios de los setenta parece claro que la nueva matemática ha sido un fracaso. Surgen entonces algunas voces en contra del enfoque adoptado, como es el caso de R. Thom (Modern Mathematics: does it exist? (1973): " Ellos, los bourbakistas, abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigación: La geometría euclídea, mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la lógica, materiales tan pobres, vacíos y frustrantes para la enseñanza como los que más. El énfasis puesto por los estructuralistas en la axiomática no es sólo una aberración pedagógica sino también matemática."

El fracaso del movimiento conocido como la matemática moderna, pues no se aprenden los conceptos ni las estructuras superiores y además los alumnos siguen sin dominar las rutinas básicas del cálculo, produce nuevos movimientos renovadores. Entre estos movimientos, en lo que sigue, nos referiremos a los conocidos como retorno a lo básico, la resolución de problemas y la matemática como actividad humana.

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El retorno a lo básico (Back to Basic), supuso para las matemáticas escolares retomar la práctica de los algorítmos y procedimientos básicos de cálculo. Después de un tiempo, se hizo evidente que tal retorno a lo básico no era la solución razonable a la enseñanza de las matemáticas. Los alumnos, en el mejor de los casos, aprendían de memoria los procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta empezó a cuestionarse el eslogan "retorno a lo básico". ¿Qué es lo básico? Ya que no parecía posible enseñar matemáticas modernas, ¿habría que enseñar matemáticas básicas? Esta última pregunta nos lleva a otra de forma natural, ¿qué son matemáticas básicas?: ¿la geometría elemental?, ¿la aritmética? Había demasiadas opiniones sobre qué es "lo básico". Esta pregunta impregnó el III Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), celebrado en Berkeley en el verano de 1980. ¿Podría ser la resolución de problemas el foco de atención y respuesta a esa pregunta? Casi como una bienvenida a todos los profesores que asisten al ICME el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) edita su famosa Agenda in Action para toda la década de los ochenta. Así la resolución de problemas, the problem solving approach, se pretende que sea algo más que otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar, a interpretar y a llevar a cabo.

En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial, H. Freudenthal, que interviene en una ponencia bajo el título "Major Problems of Mathematics Education" (Grandes problemas de la educación matemática). Así comenzó H.Freudenthal su intervención: " Perdonadme, no fui yo quién eligió este tema, aunque cuando se me propuso, experimente un gran reto. Un reto, de verdad, pero para ser sinceros no como para emular a D. Hilbert, quién anunció sus famosos 23 problemas de matemáticas en el congreso internacional de matemáticas celebrado en París en 1900, que tanto influyeron el desarrollo y curso de las investigaciones matemáticas a lo largo de este siglo... Para a continuación rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como su centro de interés los problemas que surgen en la educación matemática como una actividad social y no sólo como campo de investigación educativa. Creo que es importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal, pues a continuación entra de lleno en el problema que considera, no más importante, pero sí más urgente: Lo que es un problema es cómo formularlo correctamente y sin errores . ..Why can Johnny not do arithmetic? , parodiando el título de un famoso libro de M.Kline que aquí fue traducido como El Fracaso de la Matemática Moderna, para preguntarse si suena sexista tal cuestión y si no sonará más sexista aún si la formula como Why can Mary not do arithmetic?, pues esta última formulación sugeriría que las niñas son mucho peores que los niños en aritmética. Por último Freudenthal reformula la pregunta de forma más concreta Why can Jennifer not do arithmetic?, Jennnifer no es un ser abstracto, es una alumna que a los ocho años tenía graves fallos en aritmética y que habían desaparecido a la edad de once años, después de una atención particularizada. En contra del planteamiento general que encierra la pregunta Why can Johnny not do arithmetic? Freudenthal opta por un enfoque particular, así, la pregunta Why can Jennifer not do arithmetic? tiende a plantear un problema particular, individual, que permita abordar el problema personal que Jennifer tiene con la aritmética y sobre todo a profundizar en qué aspectos del aprendizaje de Jennifer la han conducido al fracaso. Tanto Polya (que no pudo asistir, pero que envió una nota de excusa en la que planteaba qué puede hacer el profesor para mejorar la mente de sus alumnos) como Freudenthal sitúan en centro de atención sobre el aprendizaje, el primero solicitando de los profesores un compromiso con el aprendizaje de sus alumnos hacia la adquisición y mejora de las capacidades intelectuales; el segundo en concretar, particularizar los problemas derivados de la enseñanza y en investigar los aprendizajes individuales para dar posibles soluciones a los aparentes fracasos, y obtener ejemplos paradigmáticos de diagnosis y prescripción de los mismos. Freudenthal hace una llamada a la conciencia de todos los profesores e investigadores para que estos ejemplos se registren y se transmitan, de tal forma que unos puedan aprender de los otros y se gestione de forma efectiva el conocimiento en educación matemática.

Para atender la reforma introducida por la Matemática Moderna, en nuestro país se promulgó el decreto 1710 de 1963, que establecía los programas para primaria, diseñados con el estilo de objetivos generales y objetivos específicos conductuales, propios de la época, y en ese mismo estilo se diseñó el decreto 080 de 1974 para los programas de secundaria.

Muy pronto, a comienzos de la misma “matemática moderna” y en los años 70, se empezó a percibir que muchos de los cambios introducidos no habían resultado muy acertados, que los problemas e inconvenientes surgidos superaban las supuestas ventajas que se esperaba conseguir como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las estructuras matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática contemporánea.

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Se inició entonces, en los años 70 y 80, el debate entre los partidarios de esta “nueva matemática” y los que querían que se volviera a lo básico: las cuatro operaciones con enteros, fraccionarios y decimales. Este movimiento Back to Basics tuvo muchos defensores entre matemáticos calificados, maestros y padres de familia, quienes decían que los niños aprendían muchas palabras raras, aprendían operaciones entre conjuntos y símbolos lógicos y no podían hacer operaciones entre naturales ni fraccionarios. En nuestro país se decía que a los niños les estaba dando “conjuntivitis”.

Tradicionalmente, las reformas que ocurrían en nuestro país no iban más allá de algunas adiciones, algunas supresiones y de la reorganización de los contenidos.

En 1975, la administración López Michelsen inició una reforma escolar amplia, que se llamó Mejoramiento Cualitativo de la Educación, en la cual se propuso la renovación de programas, la capacitación del magisterio y la disponibilidad de medios educativos, como estrategias para mejorar la calidad de la educación. Para llevar a cabo tal propósito, en 1976 se creó en el Ministerio de Educación la Dirección General de Capacitación y Perfeccionamiento Docente, Currículo y Medios Educativos, la cual diseñó y experimentó en algunas escuelas del país un currículo para los grados primero a tercero.

En 1978, se nombró como asesor del Ministerio para la reestructuración de las matemáticas escolares al doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe, por comisión de la Universidad Nacional, y con un grupo de profesionales de esa dirección se comenzó a revisar los programas de matemáticas de primero a tercero, y se consideró esencial la elaboración de un marco teórico global que permitiera precisar los criterios con los cuales se deberían hacer la revisión y el diseño de los programas de los nueve grados de la educación básica.

El enfoque propuesto para los programas de matemáticas de la Renovación Curricular pretendió superar las limitaciones de las dos escuelas mencionadas, seleccionando los aspectos positivos que tenía el enfoque conceptual de la nueva matemática sin caer en enseñar lógica y conjuntos, y ofrecer esos criterios teóricos que permitieran la toma de decisiones.

Para la preparación de sus clases, el marco teórico del programa de matemáticas propuso al maestro enfocar los diversos aspectos de las matemáticas como sistemas y no como conjuntos. Esto se llamó “enfoque de sistemas” y propuso acercarse a las distintas regiones de las matemáticas, los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la misma lógica y los conjuntos desde una perspectiva sistémica que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus elementos, sus operaciones y sus relaciones.

El enfoque del programa también propuso al docente distinguir cuidadosamente entre el sistema simbólico (que se escribe, se pinta o se habla), el sistema conceptual (que se piensa, se construye, se elabora mentalmente) y los sistemas concretos (de donde los niños pueden sacar los conceptos esperados).

La renovación curricular propuso acercarse a las distintas regiones de las matemáticas, los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la misma lógica y los conjuntos desde una perspectiva sistémica que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus elementos, sus operaciones y sus relaciones.

La sugerencia pedagógica del programa es la de explorar los sistemas concretos que ya utilizan los niños, para partir de ellos hacia la construcción de los sistemas conceptuales respectivos; cuando ya se ha iniciado la construcción de éstos, el mismo alumno puede desarrollar sistemas simbólicos apropiados, aprender los usuales y aún traducir de unos sistemas simbólicos a otros.

La Renovación Curricular, como proyecto de largo aliento, con casi veinte años de diseño, experimentación, revisión y de aplicación gradual, ha sido uno de los programas a largo plazo del Ministerio de Educación. Este programa marcó una etapa de concreción de una propuesta curricular fruto de una búsqueda que se entregó al país no para copiarla y seguirla al pie de la letra, sino para ver formas de trabajar unidades didácticas de manera activa, que permitieran avanzar en la conceptualización y la fundamentación de las propuestas pedagógicas.

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Un análisis crítico de la Renovación Curricular de Matemáticas debe detenerse, entre otros aspectos, en los aportes al incremento de la capacidad de conceptualizar. Los programas extensos con actividades y sugerencias metodológicas tienen el propósito de satisfacer necesidades de actualización sentidas por los docentes.

El análisis de la Ley General de Educación, Ley 115 de 1994, permite identificar los desarrollos pedagógicos obtenidos en los decenios anteriores, que fueron asumidos en las políticas educativas actuales. En particular, el Enfoque de Sistemas que se adoptó para el área de matemáticas en la Renovación Curricular se retoma en los artículos 21 y 22 de la mencionada Ley.

Los Lineamientos Curriculares para el área de Matemáticas aquí propuestos toman como punto de partida los avances logrados en la Renovación Curricular, uno de los cuales es la socialización de un diálogo acerca del Enfoque de Sistemas y el papel que juega su conocimiento en la didáctica.

El enfoque de estos lineamientos está orientado a la conceptualización por parte de los estudiantes, a la comprensión de sus posibilidades y al desarrollo de competencias que les permitan afrontar los retos actuales como son la complejidad de la vida y del trabajo, el tratamiento de conflictos, el manejo de la incertidumbre y el tratamiento de la cultura para conseguir una vida sana.

El trabajo que implica desarrollar la Ley General de Educación incluye la conceptualización de los logros curriculares y de sus indicadores también en el área de matemáticas. Todos los esfuerzos individuales y grupales que puedan hacerse en este sentido deben ser socializados y discutidos ampliamente con el propósito de aprovecharlos en toda su riqueza de modo que se vayan consolidando procedimientos que faciliten un trabajo sistemático, serio y útil para los docentes y estudiantes.

Ubicados en un contexto de descentralización educativa y ejercicio de la autonomía escolar se puede inferir la diferencia entre el currículo nacional que ofrecía el MEN hasta cuatro años y los lineamientos actuales. Los programas por áreas señalaban las temáticas, las metodologías recomendadas y las evaluaciones más viables. Ahora los lineamientos buscan incrementar la formación de quienes hacen currículo y de quienes asesoran a las instituciones educativas para que lleven a cabo sus procesos curriculares dentro del Proyecto Educativo Institucional. Deben servir de orientación pero no reemplazan a los docentes en las decisiones que les corresponde tomar en asuntos como contenidos, metodologías y estrategias para la participación.

En este sentido, los programas de matemáticas de la Renovación Curricular que no tienen el carácter de Currículo Nacional se constituyen en una propuesta que puede ser consultada por los docentes y utilizada para enriquecer el currículo del PEI.

Otro antecedente que ha abierto nuevas posibilidades para pensar los currículos es el surgimiento de organizaciones nacionales e internacionales cuyo propósito es estudiar las características que debe reunir la educación matemática para que cumpla los diversos propósitos que la sociedad espera de ella. Propósitos que van desde el desarrollo de competencias básicas para realizar ejercicios cotidianos de cuentas, hasta el cultivo de las capacidades cognitivas y metacognitivas que puedan ser empleadas en la educación superior y que hagan progresar la ciencia y la tecnología.

Cada vez tiene más fuerza la convicción de que la orientación de la educación matemática se logra más efectivamente cuando se asume en forma compartida. Prueba de ello son el Comité Interamericano de Educación Matemática, la Comisión Internacional de Educación Matemática y las demás asociaciones y organismos que desde hace treinta o cuarenta años llevan a cabo un trabajo continuado para preguntar qué hay que enseñar y aprender en educación matemática tanto en la educación básica como en la media y superior.

Internacionalmente ha habido también interés por la evaluación de los resultados de la educación matemática en los primeros niveles de la educación formal. Por ejemplo, los tres estudios internacionales que han evaluado los logros de los estudiantes: el primer estudio internacional de matemáticas (First International Mathematics Study, FIMS), el segundo estudio internacional de matemáticas (Second International Mathematics Study, SIMS) y el tercer estudio internacional de matemáticas y ciencias (Third

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International Mathematics and Sciences Study, TIMSS). Colombia participó en este último junto con otros cuarenta países, teniendo como marco los programas de la Renovación Curricular.

A propósito de este punto los documentos del TIMSS (Habilidades en ciencias y matemáticas: Una alternativa para desarrollar la creatividad - Ministerio de Educación Nacional, 1997) publican informaciones como la siguiente:

El cronograma del TIMSS planteó el análisis curricular que se concluyó en 1994 con un análisis completo y a fondo de las guías curriculares, textos de estudio y opiniones de expertos, que permitan identificar muy bien las características del currículo oficial, o al menos se conozcan bien sus buenas intenciones. En este aspecto la propuesta curricular de Colombia está a la altura de los demás países e intercepta en más de un 75-80% el Currículo Internacional en Ciencias Matemáticas.

Los documentos publicados sobre el TIMSS contienen información valiosa para Colombia en relación con el currículo y con los factores que favorecen o dificultan los logros de los estudiantes.

Se encuentran evidencias de que el currículo propuesto es bien diferente del que se desarrolla efectivamente en el aula y del que es aprendido por los estudiantes.

También contamos con evaluaciones nacionales sobre la calidad de la educación en matemáticas. Desde 1991 el Servicio Nacional de Pruebas del ICFES, el Grupo de Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional y varias universidades y docentes han adelantado una investigación sobre la calidad de la educación en los grados 3°, 5°, 7°, y 9°:

Esas informaciones están contenidas en diversas publicaciones que el Ministerio de Educación Nacional ha entregado al país para que sean estudiadas y debatidas ampliamente de modo que constituyan una fuente de criterios para la toma de decisiones nacionales, regionales y locales. Las publicaciones mencionadas son las correspondientes a Saber del Sistema Nacional de Evaluación de la Educación, SNE y las del TIMSS ya mencionado. Ellas constituyen un material de consulta necesaria para todos cuantos intervienen en la educación matemática porque presentan estudios muy completos acerca de lo que los alumnos están aprendiendo con más efectividad, sobre dificultades y tendencias erróneas, así como sobre niveles de logro que alcanzan y factores asociados a la enseñanza y el aprendizaje.

Las publicaciones mencionadas incluyen, además, información amplia sobre las preguntas hechas en las evaluaciones de estudiantes y los análisis llevadas a cabo. Tal vez nunca había contado el país con una información similar en la cual hay estudios nacionales que simultáneamente con estudios internacionales pueden orientar el currículo de matemáticas de la educación formal. Al respecto conviene señalar que el TIMSS considera el currículo como una variable central y lo estudia en tres niveles: el propuesto, el desarrollado y el logrado.

Al Ministerio de Educación Nacional en todas sus instancias, a las secretarías de educación, a las universidades, centros de investigación, instituciones educativas, docentes, consejos académicos corresponde comprender la importancia que tienen las evaluaciones de la educación matemática llevadas a cabo en Colombia, y tomar las decisiones que sean necesarias y pertinentes para aprender de la experiencia y orientar el currículo hoy.

Tal vez nunca había contado el país con una información similar en la cual hay estudios nacionales que simultáneamente con estudios internacionales pueden orientar el currículo de matemáticas de la educación formal.

Finalmente, desde hace unos veinte años se han venido creando y desarrollando sociedades de matemáticas, una Sociedad Colombiana de Matemáticas y diversas sociedades departamentales que entre sus propósitos incluyen el de ofrecer espacios de estudio y debate de diversos aspectos curriculares como contenidos, metodologías, evaluación y formación de educadores.

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Son muchos los educadores colombianos que han ampliado su formación y enriquecido su visión de la educación acerca de las ciencias matemáticas. En ellos tiene el país un grupo de apoyo importante para lograr la transformación del currículo de esta área del conocimiento.

8.2 Estilos de enseñanza: La matemática como actividad posee una característica fundamental: La Matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras. Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematización, la matematización horizontal y la matematización vertical.

8.2.1 La matematización horizontal, no lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.

En esta actividad son característicos los siguientes procesos:

   IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales

   ESQUEMATIZAR

   FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras

   DESCUBRIR relaciones y regularidades

   RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas

   TRANSFERIR un problema real a uno matemático

   TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.

8.2.2 La matematización vertical, consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos:

   REPRESENTAR una relación mediante una fórmula

   UTILIZAR diferentes modelos

   REFINAR y AJUSTAR modelos

   COMBINAR e INTEGRAR modelos

   PROBAR regularidades

   FORMULAR un concepto matemático nuevo

   GENERALIZAR

8.2.3 Estos dos componentes de la matematización pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática:

8.2.3.1 Estructuralismo: Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma. El estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclídea y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien

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estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la componente vertical.

8.2.3.2 Mecanicismo: El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un conjunto de reglas. A los alumnos se les enseña las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización.

El ataque más demoledor a este planteamiento de enseñanza proviene de H.Freudenthal (1991):   " De acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es como una computadora, de tal forma que su actuación puede ser programada por medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las operaciones aritméticas y algebraicas (incluso geométricas) y la solución de problemas que se distinguen por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo nivel dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores, donde se sitúa al hombre".

Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores: ¿Por qué enseñar a los alumnos a ejecutar tareas al nivel en el que los ordenadores son mucho más rápidos, económicos y seguros?

8.2.3.3 Empirismo: Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa.

8.2.3.4 Realista: El estilo realista parte así mismo de la realidad, requiere de matematización horizontal, pero al contrario que en le empiricista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc. El principio didáctico es la reconstrucción o invención de la matemática por el alumno, así, las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza orientada básicamente a los procesos. Este estilo surgió en los Países Bajos partiendo de las ideas de Freudenthal.

Los estilos empiricista y realista desarrollan bastante la componente horizontal pero sólo el último presta atención a la componente vertical, que es casi inexistente en el primero.

8.3 La resolución de problemas 

La heurística o ars inveniendi tenía por objeto el estudio de las reglas y de los métodos de descubrimiento y de la invención. La heurística moderna, inaugurada por Polya con la publicación de su obra How to solve it (Polya, 1945), trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones típicamente útiles en este proceso.

¿Qué es un problema? : Polya no definió lo que entendía por problema cuando escribió su libro en 1945. Sin embargo, en su libro Mathematical Discovery (Polya, 1961), se vio obligado a proporcionar una definición. Pero no para empezar su disertación, sino en el capítulo 5, y después de una amplia exposición práctica sobre algunos procesos que intervienen en la resolución de problemas: Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.

Otra definición, parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cuál no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).

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9. METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

Los alumnos que aprenden matemática a través de la resolución de problemas rinden más que los que estudian siguiendo métodos tradicionales. Al menos así lo indica un trabajo elaborado por docentes-investigadores de la Universidad Nacional Litoral. Proponen que el estudiante tenga un "papel activo" en las clases, favoreciendo la intervención del mismo en el descubrimiento de un nuevo concepto. Los resultados se obtuvieron sobre la población estudiada fue la de los alumnos que ingresaron a las carreras de Bioquímica y Licenciatura en Biodiversidad, en 1998 y que regularizaron la materia Matemática General en ese año. Esos alumnos fueron divididos en comisiones: en dos de ellas, un solo docente aplicó la metodología de resolución de problemas; mientras que en las restantes el desarrollo estuvo a cargo de dos docentes, uno de teoría  y otro de práctica, que aplicaron la metodología llamada tradicional, que consiste en clases expositivas y resolución de ejercicios y problemas de los temas desarrollados. Los alumnos que trabajan con el análisis, la discusión y la resolución de problemas matemáticos tienen un mejor rendimiento que los que emplean metodologías tradicionales.

9.1 Resolución de problemas

"La educación matemática ha pasado por muchos cambios, sobre todo desde los años 60, hasta llegar a la concepción de que la enseñanza a través de la resolución de problemas se presenta como el método más efectivo para lograr un aprendizaje activo y transmitir los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas", explica el escrito. "No obstante -continúa-, pese a que la comunidad matemática está convencida que la resolución de problemas ha de jugar un papel fundamental en la enseñanza de esta ciencia, se puede comprobar que las actividades docentes que se proponen, diseñan y realizan no sólo son muy distintas sino en algunos casos contradictorias", agrega el trabajo. La enseñanza a través de la resolución de problemas comprende, según algunos autores, distintos paradigmas, que van desde los denominados teoricistas y tecnicistas (que consideran al alumno una caja vacía que debe llenarse gradualmente) hasta el paradigma de los momentos didácticos, que considera a los problemas de matemática como punto de partida para introducirse en un campo de problemas y donde el proceso de estudio tiene que ver con la producción de técnicas de estudio. Las prácticas docentes -indican las investigadoras- que responden a este nuevo paradigma responden a las siguientes acciones:

· Utilizar problemas motivadores como disparador de un nuevo problema para afianzar un conocimiento o una técnica ya aprendidos o para que el alumno elabore un modelo matemático que describa la situación planteada.

· Favorecer la intervención del alumno en el descubrimiento de un nuevo concepto o en la discusión de sus propiedades a través de los ejemplos o contraejemplos que él pueda encontrar.

· Alentar por un lado la elaboración de una definición, el enunciado de una propiedad o la demostración de la misma, analizando las distintas propuestas para arribar a la formalización, usando la terminología adecuada; y por el otro el uso de estrategias propias en la resolución de problemas para luego discutir cuál puede considerarse más adecuada y en función de qué es más adecuada.

De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes:

1) Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.

 2) Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.

 3) Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.

También ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un auténtico problema.

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Lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos específicos sobre el dominio de métodos o algoritmos de solución, para los que sí los tienen es un ejercicio. Esta cuestión aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino para profundizar sobre la resolución de problemas.

R. Borasi (1986), en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas:

El contexto del problema, la situación en la cuál se enmarca el problema mismo. La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar. El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema. El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.

9.1.1 Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación:

Tipo

Contexto Formulación Soluciones Método

Ejercicio inexistente

Única y explícita

Única y exacta Combinación de algoritmos conocidos

Problema con texto

Explícito en el texto

Única y explícita

Única y exacta Combinación de algoritmos conocidos

Puzzle Explícito en el texto

Única y explícita

Única y exacta

Elaboración de un nuevo algoritmo

Acto de ingenio.

Prueba de una conjetura

En el texto y sólo de forma parcial

Única y explícita

Por lo general única, pero no necesariamente

Exploración del contexto, reformulación, elaboración de nuevos algoritmos.

Problemas de la vida real

Sólo de forma parcial en el texto

Parcialmente dada.

Algunas alternativas posibles.

Muchas posibles, de forma aproximada.

Exploración del contexto, reformulación, creación de un modelo

Situación problemática

Sólo parcial en el texto

Implícita, se sugieren varias, problemática

Varias. Puede darse una explícita

Exploración del contexto, reformulación, plantear el problema.

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Situación Sólo parcial en el texto

Inexistente, ni siquiera implícita

Creación del problema

Formulación del problema.

Ejemplos

Problema con texto: María ha merendado una hamburguesa y una coca-cola y para pagar su consumición entrega al camarero una moneda de 500 pts. La hamburguesa cuesta 250 pts y la coca-cola 125. ¿Cuánto le devolverá?

Ejercicio: Calcular 4 2+6 3.

Puzzle: A partir de seis cerillas construir cuatro triángulos equiláteros.

Prueba de una conjetura: Demostrar que si a, b y c son enteros impares, entonces las raíces de la ecuación ax2+bx+c no son racionales.

Problemas de la vida real: Queremos enmoquetar una habitación cuya forma es irregular. Deseamos estimar la cantidad de metros cuadrados de moqueta que debemos adquirir.

Situación problemática: Un teorema fundamental establece que la descomposición de un número natural en producto de números primos es única. ¿Qué ocurre si cambiamos en dicho enunciado la palabra producto por la palabra suma?

Situación: Considere las siguientes parejas de números primos gemelos (3,5) (5,7) (11,13), (17,19) (29,31) (41,43) (71,73).

A partir de tal estudio, Borasi considera que, para ser un buen resolutor de problemas, un alumno debería intentar resolver no sólo muchos problemas, sino una gran variedad de los mismos. Además tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que requieren una formulación precisa de los mismos.

9.1.2 El proceso de resolución de un problema

Para George Polya (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:

Comprender el problema: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?

Concebir un plan: ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Conoce un problema relacionado con este? ¿Podría enunciar el problema de otra forma? ¿Ha empleado todos los datos?

Ejecutar el plan: ¿Son correctos los pasos dados?

Examinar la solución obtenida: ¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?

Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía para la acción. Los

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trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.

Una pregunta, ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas?

Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.

Recursos congnitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.

Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.

Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.

Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella.

Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito en la resolución de problemas de los resolutores reales. Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución.

Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teórico, las creencias.

Por último están las heurísticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución.

Las heurísticas son las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución.

Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurísticas. Entre las más importantes cabría citar:

Buscar un problema relacionado.

Resolver un problema similar más sencillo.

Dividir el problema en partes.

Considerar un caso particular.

Hacer una tabla.

Buscar regularidades.

Empezar el problema desde atrás.

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Variar las condiciones del problema.

Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis.

Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurística pues se señala una dirección de trabajo, y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.

Considerar un caso sí se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado, formular un problema relacionado con él. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurísticas. (Tal observación parte de una nota marginal de Polya (Polya, 1962, vol 2. p.84))

Por último, hacer una tabla se podría considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurísticas.

La característica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un proceso paso-a-paso sino más bien un proceso titubeante.

En el proceso de resolución, Schoenfeld ha señalado que tan importante como las heurísticas es el control de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema. La característica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema.

Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolución del problema.

Son decisiones ejecutivas:

   - Hacer un plan.

   - Seleccionar objetivos centrales y sub-objetivos.

   - Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el problema.

   - Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona.

   - Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.

Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese término en Inteligencia Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y estrategia en el campo militar. El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica en la discusión de fenómenos relacionados con el que aquí tratamos.

Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar.

Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas    ¿Qué estoy haciendo?;    ¿Por qué lo hago?; ¿Para qué lo hago?;    ¿Cómo lo usaré después?, mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.

 La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolución de un problema es debido a que, la persona que afronta el problema, no dispone de un plan de solución.

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Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. Entre ellas cabe destacar:

   - Inflexibilidad para considerar alternativas:    Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo.

   - Rigidez en la ejecución de procedimientos:    Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable. Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situación, aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.

   - Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción:    Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema?

   - El efecto "túnel": Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energías disponibles para la evaluación de lo que se esta realizando. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se está en la ejecución de una acción.

Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heurísticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo.

Familiarízate con el problema:

Trata de entender a fondo la situación

Con paz, con tranquilidad a tu ritmo

Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo

Búsqueda de estrategias:

Empieza por lo fácil

Experimenta

Hazte un esquema, una figura, un diagrama

Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada

Busca un problema semejante

Inducción

Supongamos el problema resuelto

Supongamos que no

Lleva adelante tu estrategia:

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Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.

¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

Revisa el proceso y saca consecuencias de él:

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?

Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.

Mira si encuentras un camino más simple

Mira hasta dónde llega el método

Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro

9.1.3 La resolución de problemas como propuesta didáctica

El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la década de los pasados ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la matemática escolar: En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.

¿Qué significa poner el enfoque en la resolución de problemas?

Caben al menos tres interpretaciones:

Enseñar para resolver problemas:

Proponer a los alumnos más problemas.

Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.

No proponer sólo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la investigación por los alumnos.

Ejemplos de esta última interpretación se pueden hallar en Callejo (1994), Mason et al. (1988) y Guzmán (1991), Bagazgoitia et al. (1997).

Enseñar sobre la resolución de problemas:

Enseñanza de la heurística. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas.

Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente. Sin embargo, parece ser que las destrezas heurísticas son las más apropiadas para tal fin.

Enseñar vía la resolución de problemas:

Enseñar la matemática a través de problemas.

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En un seminario celebrado en La Laguna en 1982 e impartido por el profesor Gaulin (M. Fernández 1982), al ser preguntados por objetivos de la resolución de problemas, los profesores asistentes enumeran los siguientes:

Desarrollo de la capacidad de razonamiento

Aplicación de la teoría previamente expuesta.

Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea.

La primera propuesta, aunque durante mucho tiempo fue un argumento aceptado generalmente sobre las virtudes de la educación matemática, con el paso del tiempo se ha convertido en un mito. Las dos últimas caen dentro de la primera interpretación anterior. En el mismo artículo, el autor M. Fernández que actuó como informador del seminario, concluye con la siguiente redacción: Al final, pareciéndome que el profesor buscaba algo más, me aventuré a indicar lo que creo suele olvidarse: la propuesta de problemas con el fin de elaborar una teoría, esto es, para explorar y aprender nuevos conceptos. En efecto, comentó, pese a ser eminentemente formativa, no es frecuente que se tenga en cuenta por el profesorado.

Esta es claramente la interpretación tercera de las enumeradas más arriba. Sin embargo, el comentario del Profesor Gaulin deja las cosas de nuevo en su sitio. ¿Por qué no se tiene en cuenta por el profesorado?

 

9.1.4 ¿Existe algún patrón que caracterice la práctica educativa?

Lo más característico en la práctica educativa de la Matemática, es el énfasis en enseñar procedimientos, en especial procedimientos de cálculo. Se presta poca atención a ayudar a los alumnos a desarrollar ideas conceptuales, o incluso a conectar los procedimientos que están aprendiendo con los conceptos que muestran por qué aquellos funcionan.

El currículo de matemáticas en USA suministra pocas oportunidades a los alumnos de resolver problemas retadores y de participar en el razonamiento, la comunicación, la conjetura, la justificación y la demostración (Hiebert, 1999).

Podemos concluir con Dossey (Dossey et al. 1988) que la instrucción matemática en las aulas de secundaria puede caracterizarse con ligeras variaciones, como la actividad que consiste en la explicación del contenido por el profesor, trabajo individual de los alumnos sobre las tareas propuestas y corrección de las mismas, dirigidas al gran grupo, en la pizarra. La mayoría de las veces, y debido a la dificultad del contenido o al tiempo disponible, la explicación se dirige hacia un nivel medio de la clase, cuando no al más alto, y hacia el aprendizaje directo de determinados algoritmos o definiciones. Los informes preliminares del TIMSS sugieren incluso un enfoque mucho más formalista para nuestro país (Beaton et al. 1996, página 155). El resultado de tal práctica es, por lo general, una prevalencia de aprendizajes rutinarios, carentes de significado, y la construcción de esquemas conceptuales débiles por los alumnos, que se manifiestan en una pobre actuación, sobre contenidos supuestamente aprendidos, después de un cierto tiempo.

Los maestros y los profesores enseñan de la misma forma en que fueron enseñados en la escuela.

Lo expuesto, creo que explica en parte por qué no se enseña matemáticas a través de la resolución de problemas.

 

9.1.5 La propuesta didáctica

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Nuestras creencias sobre qué es matemática, influye en la forma en que la enseñamos. Además, nuestras creencias pueden ser un obstáculo. Un obstáculo insalvable.

Los profesores que ven su tarea como la transmisión de un conocimiento acabado y abstracto tienden a adoptar un estilo expositivo. Su enseñanza está plagada de definiciones, en abstracto, y de procedimientos algorítmicos. Solo al final, en contados casos, aparece un problema contextualizado como aplicación de lo que supuestamente se ha aprendido en clase. La resolución de problemas se queda para el Taller de Matemáticas, en clase hacemos cosas más serias, las auténticas matemáticas.

Esta forma de entender la enseñanza tiene nombre, se conoce como mecanicismo. De acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es un instrumento parecido al ordenador, cuya actuación al más bajo nivel puede ser programada por medio de la práctica repetitiva, sobre todo en aritmética y en álgebra, incluso en geometría, para resolver problemas distinguibles por medio de patrones reconocibles que son procesados por la continua repetición. Es en este nivel más bajo, dentro de la jerarquía de los más hábiles ordenadores, donde se sitúa al hombre. (Freudenthal, 1991, p.134). En Psicología esta tendencia se conoce como Conductismo.

Si por el contrario, consideramos que el conocimiento matemático no es algo totalmente acabado sino en plena creación, que más que conceptos que se aprenden existen estructuras conceptuales que se amplían y enriquecen a lo largo de toda la vida, entonces ya no bastará con la exposición. Habrá que hacer partícipe a los alumnos del propio aprendizaje. Y sólo hay una forma de hacer partícipe a los alumnos: dar significado a todo lo que se enseña.

Para desarrollar los hábitos de pensar sólo hay un camino, pensar uno mismo. Permitir que los alumnos participen en la construcción del conocimiento es tan importante a más que exponerlo. Hay que convencer a los estudiantes que la matemática es interesante y no sólo un juego para los más aventajados. Por lo tanto, los problemas y la teoría deben mostrarse a los estudiantes como relevante y llena de significado.

Tales creencias son, posiblemente, la causa de que una propuesta que se formuló hace más de 50 años y que ha merecido la atención de ilustres personas, todavía sea hoy tema de debate y clarificación.

Si aceptamos cualquiera de las tres formas de enfoque en resolución de problemas, la primera pregunta que nos viene a la cabeza es qué estamos enseñando. Una pregunta relacionada: ¿qué aprenden los alumnos?

Formulemos la pregunta de otra forma: ¿Cómo enseñamos? ¿Cómo aprenden los alumnos?

Todas las propuestas que se han hecho, establecen qué enseñar. Ninguna cómo enseñar.

Si queremos que nuestros alumnos aprendan a resolver problemas, entendiendo el término bajo las tres acepciones anteriores, hemos de diseñar y desarrollar nuestra enseñanza según tales términos.

Tenemos que convencernos que es posible articular un currículo cuya metodología sea la resolución de problemas y que con tal currículo se pueden cubrir aspectos profundos de los conceptos matemáticos. Pero a costa de eliminar muchos procedimientos de tipo algorítmico, cuya presencia en los libros de texto y en los currículos constituyen hoy un puro anacronismo.

Terminemos este aspecto completando la cita de Polya: Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

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10. LA EVALUACIÓN

EL PROCESO DE EVALUACIÓN

10.1 Tres procesos inseparables: enseñar, aprender y evaluar. La evaluación está ligada indisolublemente a la enseñanza y al aprendizaje.

10.2 Sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación: La enseñanza, tal como se ha descrito en párrafos anteriores, es entendida como el proceso mediante el cual el profesor gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemático significativas para los alumnos, y así permitir que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros y maestros para validar y construir colectivamente el saber matemático. Para comprender de forma más detallada cómo y qué aspectos del aprendizaje de las matemáticas deben impulsarse, a continuación se describen y analizan algunos de los principios y cuestiones más importantes que dinamizan los procesos de aprendizaje de las matemáticas.

10.3 Situaciones de Aprendizaje Significativo de las Matemáticas

Las situaciones de aprendizaje significativas de las matemáticas son situaciones que superan el aprendizaje pasivo, gracias a que generan contextos accesibles al intelecto de los estudiantes, y por tanto, les permiten buscar y definir estrategias de solución, uso de materiales manipulativos, tecnológicos, representativos y problemas contextualizados, entre otros. En la comunidad de educadores matemáticos se distingue hoy claramente entre situación y actividad; por situación se entiende el conjunto de problemas, proyectos, investigaciones, construcciones, y relatos que se elaboran basados en las matemáticas y que en el tratamiento generan el aprendizaje de los estudiantes, y por tanto, el conocimiento surge como la herramienta más eficaz en la solución de las mismas. En este sentido la situación desarrolla la comprensión, las competencias y las actitudes de los estudiantes. La situación apunta siempre a contenidos o hacia diversas estructuras matemáticas, pero estos no son evidentes en si mismos, tienen que ser interpretados por los estudiantes. En esta interpretación intervienen tanto factores sociales y culturales propios de la clase de matemáticas, como los que median a través del ambiente de aprendizaje. Es importante señalar que un mismo contenido matemático puede, y en ocasiones debe, ser presentado en diversas situaciones, como es el caso de las fracciones y sus diversos significados.

Por su parte la actividad se refiere a los procesos intelectuales de los estudiantes tales como definir estrategias, explicar, justificar, demostrar, utilizar materiales manipulativos, representaciones (tablas y gráficos, por ejemplo), emplear hojas de cálculo, comparar resultados con o sin computador, redactar informes, etc.

La importancia de la naturaleza y la variedad de situaciones es un aspecto determinante para la calidad de las actividades de los estudiantes. Es necesario señalar que las actividades de los estudiantes están influenciadas por el tipo de instrucciones con que se presentan las situaciones (tipo de preguntas que se proponen en las situaciones) y por el tipo de instrucción que media en la solución de la misma.

El contexto del aprendizaje es el lugar desde donde se construye sentido y significado para los contenidos matemáticos, y por lo tanto, desde donde se establecen conexiones con las ciencias, con la vida sociocultural y con otros ámbitos de la matemática misma. La expresión contexto, tal como se expresa en los Lineamientos Curriculares, no refiere exclusivamente a la recreación ficticia, en el espacio escolar, de situaciones relativas al entorno social y cultural que rodean a la institución educativa, sino que ante todo, hace referencia a la creación de situaciones tanto referidas a las matemáticas, otras ciencias, el entorno social y cultural, etc., como a situaciones hipotéticas a partir de los cuales los alumnos puedan pensar, formular, discutir, argumentar, construir conocimiento. Así pues, la contextualización de los conceptos matemáticos debe ser entendida como el uso de escenarios de las ciencias (naturales y humanísticas), de la vida diaria y de las matemáticas, para permitir el desarrollo significativo de la actividad intelectual del alumno.

Procesos de aprendizaje mediados por escenarios culturales y sociales

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El aprendizaje se propone como un proceso resultado de las interacciones entre estudiantes y estudiantes – profesor, con el conjunto de situaciones matemáticas. Estas formas de interacción tienen importancia capital para la comunicación y la negociación de significados. Por ello se enfatiza en fomentar situaciones matemáticas que posibiliten a los estudiantes tomar decisiones; exponer sus opiniones y ser receptivo a las de los demás; generar la discusión y desarrollar la capacidad de justificar con argumentos las actuaciones. Todo ello conlleva a incluir en la organización del aprendizaje matemático el trabajo en equipo y la cooperación.

Desarrollo de actitudes y confianza matemática en los estudiantes

El reconocimiento de las nociones y conocimientos de los estudiantes pone de manifiesto (entre otras) dos cuestiones importantes. De un lado, el reconocimiento de que el estudiante nunca parte de cero para desarrollar sus procesos de aprendizaje, y de otro, el reconocimiento del papel activo de los estudiantes cuando se enfrentan a las situaciones propuestas en el aula de clase. Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto, lo que el estudiante ya sabe sobre las matemáticas (formal o informalmente), es la base del proceso. Este conocimiento, en ocasiones debe ser ampliado a redes conceptuales más generales, ser reconstruido, o incluso olvidado. Esta construcción y reconstrucción de sentidos y significados matemáticos genera una posición activa y una actitud de confianza del estudiante para enfrentar el aprendizaje de las matemáticas. Ello implica, por demás, reconocer las potencialidades del estudiante y explotarlas al máximo. Si bien esta consideración es característica de una posición constructivista del aprendizaje, también es necesario reconocer que es una característica distintiva de las matemáticas.

Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza.

Como se mencionó antes, los estándares presentan nuevos elementos sobre los cuales estructurar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas. Esto obliga al desarrollo de estructuras curriculares dinámicas contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático, centradas en los procesos y en el desarrollo de las competencias matemáticas, orientadas a alcanzar las dimensiones políticas, culturales y sociales de la educación matemática. Estos elementos dan a las las prácticas escolares sobre la enseñanza de las matemáticas dinámicas nueva sobre las cuales estructurar sus procesos.

De igual modo, es necesario ampliar la visión sobre los textos escolares y ministeriales como los únicos medios para hacer explicitas las exigencias del cambio. Se trata de generar la necesidad de mirar críticamente la amplia oferta de textos escolares que se encuentra en el mercado, de tal forma que se tenga una vigilancia sobre la pertinencia, concordancia y coherencia de éstos con las políticas del sistema educativo, en particular con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Curriculares. Pero además, también mostrar la necesidad de ampliar, profundizar, y por que no, trascender los documentos oficiales Ministeriales, a través de una amplia documentación bibliográfica, disponible hoy en día en múltiples formatos (impresos y digitales) que se pueden obtener a través del Ministerio de Educación Nacional, de las Secretarías de Educación Departamental y Municipal, Bibliotecas, Universidades, Internet, etc.

3. Idea general sobre evaluación: Recoger información, analizar la información recogida y emitir un juicio, y tomar decisiones de acuerdo con el juicio emitido

4. Funciones de la evaluación: Social: Tiene por finalidad clasificar, seleccionar y orientar al alumnado. Pedagógica: Regular el proceso de enseñanza – aprendizaje para que el alumno aprenda. Los enfoques tradicionales sólo han dado importancia a la función social de la educación.

Basado en la función social, el profesor da un informe de los progresos del estudiante, a él mismo y a la sociedad, generalmente al final de un período escolar. La evaluación sirve además para seleccionar y clasificar a los estudiantes. También determinar si el alumno es merecedor del título que la sociedad exige al finalizar una etapa educativa, para ejercer alguna profesión. Esta evaluación es de tipo sumativo. Esta es la concepción de evaluación más aplicada por la mayoría de docentes.

La función pedagógica hace posible utilizar la evaluación como un dispositivo que permite al profesor y al alumno, recoger información sobre cómo va el proceso de enseñanza – aprendizaje y de ese modo, introducir a tiempo los mecanismos necesarios para obtener mejores resultados al final del proceso.

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5. Evaluación diagnóstica: Es aquella cuyo objetivo es determinar el estado de los conocimientos del estudiante sobre unos contenidos específicos, y se aplica al comenzar el proceso de enseñanza – aprendizaje, habitualmente al inicio de cada unidad didáctica. También se conoce como evaluación inicial y se lleva a cabo con el fin de acondicionar las actividades a las necesidades de los estudiantes. Su función es informar al profesor – formador y al alumno, sobre cuáles son los conocimientos de este último sobre determinados contenidos. Si esta evaluación aporta información de un grupo de alumnos se le denomina prognosis y si corresponde a un alumno en especial, se le llama diagnosis.

6. Evaluación formativa: Es la que se usa durante el proceso de enseñanza - aprendizaje para reconocer los conocimientos que el alumno ha construido y que serán la base de nuevos aprendizajes o para identificar los que habrá que modificar. Su función reguladora es solamente responsabilidad del profesor. 7. Evaluación formadora: Durante el proceso de enseñanza – aprendizaje el profesor pone en juego distintas estrategias para que su acción se dinámica y evolucione de acuerdo con los éxitos y las dificultades de sus alumnos al aprender un modelo científico que es nuevo para ellos (los mecanismos que utiliza el profesor con el fin de adaptarse a las necesidades y desarrollos de sus alumnos). Esta evaluación es formadora para ambos (docente – alumno) y tiene carácter regulador para el estudiante. Aquí el estudiante puede hacerse cargo de regularse. Ambas tienen función reguladora, porque aportan información sobre el desarrollo del aprendizaje, lo cual permite hacer ajustes en la enseñanza de los conocimientos científicos. La característica de la evaluación formadora es aportarle información al profesor y al alumno, sobre cómo va el proceso de aprendizaje de ese nuevo modelo científico

8. Autoevaluación: Viene a ser la meta en el desarrollo de la capacidad de evaluar. Es raro que un alumno se autoevalúe de manera innata. Es algo que hay que aprender a hacer y su aprendizaje comienza con la evaluación que tiene lugar en la interacción social. La meta de la evaluación formadora es la autoevaluación, una capacidad difícil de desarrollar, pero de extrema importancia, ya que cuando el alumno es capaz de evaluarse a sí mismo, a la realización de sus propias tareas y sabe reconocer en qué acertó con ellas, en qué falló y cómo puede corregirse para tener más éxito, se está autorregulando.

9. Evaluación sumativa: Tiene lugar al finalizar una etapa del proceso enseñanza – aprendizaje. Su función es la tradicionalmente conocida, de informar al mismo estudiante, a la escuela y a la sociedad, sobre que tanto aprendió durante su período de formación inicial. Es la evaluación que sirve para aprobar o desaprobar.

10. Papel esencial de la evaluación formadora: Juega un papel esencial en las actividades de enseñanza – aprendizaje. Bajo su implementación cambian las características de las actividades de enseñanza – aprendizaje. Algunas tienen lugar dentro de un grupo de trabajo, con el cual se pretende que los alumnos compartan sus ideas y las contrasten con las de sus compañeros. En este proceso ocurre la evaluación mutua, ya que los miembros del grupo entran en una dinámica de argumentar a favor o en contra de una idea o de pedir aclaraciones, de manera que se crea un clima de crítica que favorece el aprendizaje del nuevo modelo científico.

11. Coevaluación: Hay actividades cuya evaluación se hace entre profesor y alumno(s) y se le denomina coevaluación y consiste en que el profesor, lejos de ser un juez que decide si la actividad realizada por el alumno está bien o mal, se convierte en un guía que le orienta con preguntas y comentarios, para que el alumno (o el grupo), se apropie del control de su propio aprendizaje, pidiéndole que contraste el objetivo de la actividad, con su diseño o con los resultados a obtener. Esta dinámica es distinta a la evaluación mutua, porque los compañeros de grupo, al ser “novatos” como el alumno en lo que se refiere a los contenidos que están aprendiendo, no siempre pueden ayudarle a su compañero(a), a tomar las decisiones más adecuadas especto a la actividad que se está evaluando. De ahí la importancia de alternar evaluación mutua con coevaluación. Estos procedimientos de evaluación proveen una retroalimentación orientada a asistir a los alumnos en la elaboración de juicios (criterios) acerca del éxito en la realización de una tarea. Una vez el alumno llega a regular sus propios aprendizajes, se sitúa en el lugar de su propio evaluador. De este modo, la autoevaluación se convierte en una necesidad y un requerimiento para mejorar la calidad de sus aprendizajes.

12. Carácter continuo: La evaluación está presente a lo largo de todo el proceso de enseñanza – aprendizaje y no solamente en un momento específico. La evaluación va aportando información al profesor y al alumno, para que el primero vaya ajustando sus estrategias de enseñanza a las condiciones de

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aprendizaje del segundo y a éste, le permita darse cuenta de cómo es su propia explicación frente a la ciencia o frente a los fenómenos científicos. O sea, qué lo diferencia de la que se propone y por qué esta última resulta más adecuada para tomar decisiones sobre las situaciones de la vida cotidiana. Esta es la función reguladora de la evaluación.

13. Etapas para llegar a la autorregulación: En principio la regulación es responsabilidad del maestro. O sea, la evaluación comienza siendo formativa. El maestro tiene que organizar su aula de ciencias, de modo que empiece a dejar la responsabilidad de la regulación en los alumnos. Esto significa, aprovechar los grupos de trabajo para que ellos se evalúen mutuamente a partir de unos criterios previamente negociados y habiendo compartido con ellos, los objetivos a alcanzar. De este modo, el profesor puede dedicarse a atender las dificultades específicas que van surgiendo, interactuando con sus alumnos (coevaluación), hasta que finalmente, ellos puedan autoevaluarse.

14. Funciones de la evaluación desde diferentes modelos de enseñanza

Modelos deTransmisión

Modelos deDescubrimiento

Modelos constructivistas

ConcepcionesSobre la ciencia

Ciencia comoVerdad

Ciencia como conocimientoconstruido racionalmente

Ciencia como construcciónsocial moderadamente racional

Cómo seAprende

El alumno no tieneningún conocimien-

to del tema

No son importantes losposibles conocimientos

previos

El alumno construye modelosexplicativos sobre los

fenómenos

CómoEnseñarla

Enseñar requieredar a conocer, paso

a paso, el nuevoconocimiento

El nuevo conocimiento sepuede redescubrir a través

de la experimentación

Enseñar implica promover laevolución de dichos modelos

Funciones de la evaluación a lo largo del aprendizaje

InicialNo tiene ningún

objetivo (sólo po-sibles prerrequisi-os de aprendizaje)

No tiene ningún objetivo(sólo posibles prerrequisi-

tos de aprendizaje)

Auto identificar los modelosiniciales, valores y otros

puntos de partida

Durante elproceso deevaluación

Comprobar si elalumnado va apren

diendo cada partedel concepto/ mode

lo que se vaintroduciendo

Comprobar en qué aspectosel alumnado se desvía del

razonamiento previstocomo lógico

Auto identificar las razonesde las posibles incoherencias

entre las propias ideas, losnuevos modelos introducidos

y los datos experimentales

SumativaComprobar si elalumnado ha sin-tetizado el modeloobjeto de enseñanza

Comprobar si el alumnado ha redescubierto el modelo

objeto de enseñanza

Reconocer el grado de evolu-ción/construcción del modeloobjeto de estudio, respectoal inicial

15. Actividades de enseñanza – aprendizaje – evaluación: A veces es difícil discriminar si una actividad es de enseñanza – aprendizaje, o es de evaluación, por ello hay que pensar en actividades propuestas por el profesor, como actividades de enseñanza – aprendizaje – evaluación. Poco importan las innovaciones que se introduzcan en el aula de ciencias, si la evaluación sigue significando exclusivamente la constatación de qué tanto sabe un alumno después de un período de enseñanza

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El quehacer de la matemática escolarEl quehacer de esta matemática, de acuerdo con los planteamientos de Pólya (citado en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, 1998), se centra en actividades como el desarrollo de demostraciones rigurosas, la construcción de sistemas axiomáticos, el reconocimiento de conceptos matemáticos que permiten analizar situaciones concretas, la inferencia de resultados, el planteamiento de líneas de demostración y generalizaciones, entre muchas otras. Otros autores plantean que el hacer matemático implica interpretar situaciones matemáticamente, matematizar (cuantificar, visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes y utilizar un lenguaje especializado, símbolos, esquemas, gráficos, modelos concretos u otros sistemas de representación para desarrollar descripciones matemáticas, o explicaciones, o construcciones que permitan plantear predicciones útiles acerca de tales sistemas.

El conocimiento matemático“El conocimiento matemático en la escuela es considerado hoy como una actividad social que debe tener en cuenta los intereses y la afectividad del estudiante y del joven. Como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente surgen y se entrecruzan en el mundo actual. Su valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas, a cuyo domino hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. La tarea del educador matemático conlleva entonces una gran responsabilidad, puesto que la matemática es una herramienta intelectual potente, cuyo dominio proporciona privilegios y ventajas”. (MEN, 1998)

Construir conocimiento matemáticoAhora bien, desde la educación matemática se plantea que en el contexto escolar el estudiante debe acercarse al quehacer del matemático, el estudiante debe construir conocimiento significativamente alrededor de los conceptos que han configurado la matemática, y debe generar formas de interpretación y de construcción de situaciones desde los avances de la matemática. En este sentido, es indispensable pensar que los conceptos matemáticos están conectados con la actividad mental de los estudiantes.

Desarrollar pensamiento matemáticoDesde esta perspectiva y de acuerdo con los Lineamientos Curriculares del MEN, la matemática escolar debe promover el desarrollo del pensamiento matemático, el cual posibilita al estudiante describir, organizar, interpretar y relacionarse con determinadas situaciones a través de la matemática; en otras palabras, un pensamiento que facilita matematizar la realidad. Este planteamiento es acorde con lo planteado por educadores matemáticos, cuando se afirma que:

Fines de la educación matemática"Los fines que nosotros consideramos prioritarios en la educación matemática son los siguientes: 1) desarrollar la capacidad del pensamiento del alumno, permitiéndole determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva, potenciar su razonamiento y su capacidad de acción. 2) Promover la expresión, elaboración y apreciación de patrones y regularidades, así como su combinación para obtener eficacia o belleza... 3) Lograr que cada alumno participe en la construcción de su conocimiento matemático... 4) Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas..." (Rico, L. Consideraciones sobre el currículo escolar de matemáticas. En: Revista EMA. No 1)

El enfoque de formulación y resolución de problemasPromover el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes implica abordar un enfoque de formulación y resolución de problemas1 como eje orientador de la actividad pedagógica, incluyendo en ella la evaluación. Diferentes investigaciones2 han demostrado que este enfoque contribuye al desarrollo del pensamiento matemático, pues los problemas se conciben como situaciones en las que los estudiantes identifican, seleccionan y usan estrategias pertinentes y adecuadas para obtener soluciones válidas en el contexto matemático; así, estas distintas acciones que posibilitan los problemas se consideran como una aproximación al quehacer del matemático.

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Dos concepciones en la solución de problemasCabe anotar que los problemas siempre han ocupado un lugar en el currículo de matemática, pero las perspectivas bajo las cuales se han pensado los problemas han sido distintas. Así, el papel de la solución de problemas en la matemática de la escuela ha crecido bajo dos concepciones: la solución de problemas vista como una herramienta básica para todos los estudiantes, y la solución de problemas vista como una actividad mental compleja.

La solución de problemas vista como herramienta básica, ha llevado a que los problemas sean usados después de teorizar, como la aplicación de un concepto matemático a una tarea específica, en donde el estudiante mecaniza una serie de algoritmos. Son problemas que provocan o condicionan al estudiante para dar una respuesta de forma mecánica, lo que implica limitar las posibilidades de creación de nuevas estrategias.

La segunda concepción, considera los problemas como una actividad compleja, es decir, una actividad que involucra procesos cognitivos superiores como la visualización, la asociación, la abstracción, la comprensión, la manipulación, el razonamiento, el análisis, la síntesis y la generalización. Al respecto, algunos estudios sobre la forma en que los estudiantes resuelven problemas, han demostrado que la reflexión que éste hace de sus propias acciones ligadas a este proceso, posibilita la modificación de sus estructuras cognitivas.

Las situaciones que se plantean para las pruebas de matemáticas asumen la segunda concepción, pues el problema se constituye en una situación que lleva a que el “resolutor“ (en este caso el estudiante) ponga en juego diferentes procesos para su resolución. Así, el resolver un problema implica la conjugación de la experiencia previa, el conocimiento y la intuición, que permitirán la re-elaboración de hechos, conceptos y relaciones, pues no puede ser resuelto de forma mecánica. Shoenfeld al respecto, explica que en la resolución de problemas intervienen, por lo menos, aspectos como los recursos matemáticos, las estrategias heurísticas, la autorregulación o monitoreo, el control del proceso de solución, y las ideas y creencias acerca de la matemática; es decir, resolver un problema requiere poner en acción el sentido construido alrededor de los conceptos matemáticos, “poner en uso la matemática”; en dicha relación, se construyen una o varias soluciones, en las que son válidas diferentes estrategias o planes de acción.

En el desarrollo de la resolución de problemas en matemáticas, se consideran diferentes tipos de problemas e inclusive diversas formas de clasificarlos. Por ejemplo, Pólya propone una clasificación de los problemas como de rutina y de no-rutina. Los primeros pueden ser resueltos aplicando directa y mecánicamente una regla que el alumno no tiene dificultad para encontrar. También pertenecen a este tipo, los que demandan la utilización correcta de un término o símbolo del vocabulario matemático pero no hay en ellos invención alguna, ni desafío a la inteligencia. Los segundos, son aquellos que requieren del alumno un cierto grado de creatividad y de originalidad, son problemas para los cuales no se puede identificar en forma directa un modelo de solución pues requieren de estrategias como adivinar, chequear, trabajar hacia atrás, explorar patrones, argumentar, […]

Clasificación de los problemas- Problemas de traducción simple o compleja, los cuales implican una traducción del enunciado a una

expresión matemática. Esta traducción moviliza conocimientos conceptuales y procedimentales en el estudiante para su resolución.

- Problemas de procesos, en lo cuales la traducción a expresiones matemáticas no está explícita en su estructura por lo que se requiere buscar diversas estrategias de solución

- Problemas sobre situaciones reales que se requieren matematizar para encontrarles solución. Esta matematización es de por sí un proceso complejo que involucra aspectos no solamente de contenido matemático sino de decisión sobre aspectos de la vida real.

- Problemas de investigación matemática, relacionados directamente con contenidos matemáticos, sugieren la búsqueda o "descubrimiento" de algún modelo para solucionarlo.

- Problemas de puzzles son aquellos que acuden al ingenio del resolutor para solucionarlos, sin que necesariamente medien procesos matemáticos.

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- Historias matemáticas, se conciben como libros de cuentos que proyectan ciertas cuestiones matemáticas que incitan la curiosidad y la participación del lector.

Resolver un problemaCuando hablamos de problema, además de los planteamientos anteriores, pensamos que resolverlo no es sólo llegar a la respuesta, lo cual es importante, sino que para llegar a ella se requieren diferentes procesos que se cruzan constantemente como la comprensión, el planteamiento y elección de estrategias, y la verificación. Rico (1990) al respecto señala:

“Resolver problemas no se reduce a usar la matemática conocida, requiere de una gran dosis de creatividad y reelaboración de hechos, conceptos y relaciones, en el sentido más real del término, RESOLUCION DE PROBLEMAS es CREAR Y CONSTRUIR matemática. Memorizar y repetir todas las reglas deductivas que operan en un sistema formal fuertemente estructurado constituye a veces una derivación del comportamiento real del matemático. Confundir los procesos de producción y elaboración del conocimiento matemático con sus resultados cristalizados es un error frecuente en nuestra enseñanza; por ello, la reso-lución de problemas constituye no sólo una buena estrategia metodológica sino que supone una forma de aproximación más real al trabajo en matemática. (Rico, 1990. Investigación sobre errores de aprendizaje. En: Educación matemática. España: Universidad de Granada).

El currículo en matemáticasDesde esta concepción sería importante pensar que la formulación y resolución de problemas debiera ser la directriz del currículo en matemática, como lo han planteado los lineamientos curriculares de Colombia y como ocurre para los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática en otros países del mundo.

“La resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas, como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática. Pero, esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo, mas bien deberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprehendidos".

Ahora bien, se considera que el trabajo orientado por este enfoque, facilita que el estudiante construya significados sobre y desde la matemática, en la medida que la usa y la puede relacionar con su cotidianidad; además, promueve el desarrollo de procesos cognitivos de orden superior, los cuales son necesarios en una formación autónoma. Por ello planteamos que la matemática escolar, pensada desde la formulación y resolución de problemas, puede contribuir a la consecución de los fines de la educación en Colombia al desarrollar un pensamiento crítico, reflexivo y analítico, necesario para crear disciplina y habilidades de trabajo, promover el desarrollo de la autonomía, facilitar los procesos de participación y promover el pensamiento científico.

Así, el enfoque de formulación y resolución de problemas se preocupa no solamente por el conocimiento matemático que estructura el estudiante, sino por todos los procesos que intervienen en la construcción del pensamiento matemático. A partir de esto, se considera este enfoque como determinante en el diseño de los problemas de las pruebas y la caracterización de los niveles de logro de las competencias en matemáticas, pues la evaluación basada en éste, permite acercar la matemática a situaciones cotidianas, a la vez que permite al estudiante contextualizar, modelar y matematizar situaciones del mundo real.

Para evaluar el pensamiento matemáticoA partir de la formulación y resolución de problemas, puede hacerse una aproximación al estado del pensamiento matemático de los estudiantes y, por ende, al establecimiento del estado de la calidad de la educación matemática en este aspecto específico. Es claro que reconocer el estado de pensamiento matemático es un proceso posible, sólo a partir de ciertos indicadores. Uno de tales indicadores son las competencias en matemáticas, vistas como manifestación del saber/hacer del estudiante en el contexto matemático. Este saber/hacer implica que el estudiante ponga en juego tres aspectos que están integrados y que configuran la competencia como tal; éstos se refieren al conocimiento matemático, a la comunicación y a las situaciones problema. Así, para poder dar cuenta de la competencia de un estudiante, se ve como

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necesario que al enfrentarse a una situación problema, logre matematizarla modelándola a partir de las diferentes relaciones que establezca entre los conceptos que le subyacen. A continuación se hace una breve descripción de los aspectos antes mencionados.

Elementos del saber hacer: competencia matemáticaEl conocimiento matemático: Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se partió de una concepción en la cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental.

a) El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante

múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual. Rico reconoce tres niveles en el campo conceptual:

Los hechos: son unidades de información que sirven como registro de acontecimientos. Conviene tener en cuenta que tomados aisladamente los hechos carecen de significado, el cual se da al interior de una estructura matemática.

Los conceptos: se consideran como una serie de unidades de información (hechos) conectadas entre sí por medio de relaciones. Los conceptos se representan mediante sistemas simbólicos y gráficos.

Las estructuras conceptuales: en ellas los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo en ocasiones, conceptos de orden superior. Así, el manejo significativo de la estructura conceptual va más allá de la memorización de definiciones, y permite establecer propiedades e inferir conclusiones a partir de los conceptos básicos de cada estructura. “Son los conceptos y las estructuras conceptuales los que constituyen la esencia del conocimiento matemático organizado” (Rico, 1990).

De esta forma, el conocimiento conceptual, evidenciado por el dominio de los hechos y de los conceptos matemáticos, adquiere significado dentro de una estructura, y es precisamente en ella que desempeña su papel.

b) El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles:

Destrezas: suponen el dominio de los hechos; tienen significado para quien las utiliza y su ejecución debe darse al interior de una estructura conceptual. Según el campo de la matemática escolar donde operen, se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas, y de representación.

Razonamientos en matemáticas: un razonamiento es un conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. En la construcción de las pruebas se toman en consideración algunos razonamientos matemáticos que se pueden caracterizar así:

i. Pretende descubrir o explicitar generalidades mediante la observación y la combinación de casos particulares, tratando de encontrar regularidades y patrones.

ii. Llevan a establecer relaciones y sentido espacial.

Estrategias: consideradas como formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual. Dado que el conocimiento matemático es dinámico, hablar de estrategias implica ser creativo para elegir entre varias vías la más adecuada o inventar otras nuevas para responder a una situación. El uso de una estrategia implica el dominio de la estructura conceptual, así como grandes dosis de creatividad e imaginación, que permitan descubrir nuevas relaciones o nuevos sentidos en relaciones ya conocidas. Entre las estrategias más utilizadas por los estudiantes en la educación básica se encuentran la estimación, la aproximación, la elaboración de modelos, la construcción de tablas, la búsqueda de patrones y regularidades, la simplificación de tareas difíciles, la comprobación y el establecimiento de conjeturas.

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Aunque los procedimientos constituyen una herramienta que permite encontrar un resultado, no se consideran de manera aislada de las estructuras conceptuales subyacentes a las situaciones problema, ya que éstas permiten elegir, modificar o generar procedimientos que se adecuen a las situaciones en las que sea presentado el concepto.

La comunicación: Se refiere a la posibilidad del estudiante para leer y escribir matemática; implica que pueda interpretar, traducir y simbolizar desde y hacia un lenguaje matemático. Así, los problemas que se incluyen en las pruebas requieren de la traducción y simbolización en diferentes formas de representación usadas en la matemática escolar. Siguiendo a Castro, Rico y otros, la noción de representación "debe tener la dualidad del concepto, para pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas, se hace necesario representarlas de algún modo. La comunicación requiere que las representaciones sean externas, tomando la forma de lenguaje oral, símbolos escritos, dibujos u objetos físicos".

Formas de representaciónComo ha sido reconocido, las formas de representación en matemáticas son cruciales para la comprensión de los objetos matemáticos. Algunos autores plantean aspectos relevantes de la representación en la resolución de problemas, como que "no hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación" y que “hacer matemáticas implica más que la simple manipulación de símbolos matemáticos; implica interpretar situaciones matemáticamente; implica matematizar (o sea, cuantificar, visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes; implica utilizar un lenguaje especializado, símbolos, esquemas gráficos, modelos concretos u otros sistemas de representación para desarrollar descripciones matemáticas o explicaciones, o construcciones que permitan plantear predicciones útiles de tales sistemas”.

De esta manera, se plantea que el significado de las estructuras matemáticas que se trabajan en el aula se pueden rastrear o caracterizar a través de diferentes sistemas de representación que les son propios, pero en cada uno de los cuales se privilegian características diferentes sobre esa estructura matemática. Cuando un estudiante se enfrenta a resolver un problema que se le plantea, está implícita o explícitamente reconociendo elementos de los sistemas de representación, asumiendo con ellos descripciones que implican presunciones acerca de las relaciones matemáticas que subyacen a la situación problema.

Asumiendo lo anterior, las tareas que se proponen a los estudiantes a través de estas pruebas, les exigen el reconocimiento, no solamente del objeto matemático, sino también desde qué perspectiva el tipo de representación que se plantea, le permite analizar la información. Como lo menciona Di Sessa "Las capacidades matemáticas en las que se hace hincapié, a menudo, insisten en la comunicación, la planificación, el seguimiento y otros tipos de pensamiento de alto rango que reclaman capacidades de representación; es decir, que los estudiantes tienen que ir más allá de pensar con una representación matemática dada para pensar además acerca de la potencia o debilidad relativa de las representaciones alternativas".

Las formas de representación consideradas para estas pruebas son de tipo verbal (en las que se incluyen los lenguajes natural y simbólico), gráfico (pictogramas, diagramas, gráficas) y tabular. Estas formas de representación se consideran tanto para el enunciado del problema como para las opciones de respuesta presentadas. Las Situaciones: Las situaciones se refieren a unidades de significado a través de las cuales puede atribuírsele determinado sentido matemático a un problema, es decir, son instrumentos para la matematización, ofreciendo la posibilidad de modelar conceptos matemáticos; por ende, los problemas deben referirse a situaciones cercanas al estudiante, situaciones cotidianas, situaciones ficticias o hipotéticas, juegos y situaciones matemáticas.

Las situaciones problemaExisten varios criterios para clasificar los tipos de situaciones que se pueden proponer, entre ellos, la presentación de los problemas mediante dibujos o grabados, el manipulativo, el pictorial, el simbólico, el verbal, o una combinación de varios de estos modos y el de escenario-marco, que se puede distinguir entre familiar y no familiar, aplicado y teórico, concreto y abstracto, hipotético y de hecho, convencional o

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imaginario. De hecho, el uso de diversas representaciones hace que las situaciones sean significativas o modeladoras, que apunten al desarrollo de un concepto en particular o a la aprehensión de significados que son utilizados dentro de la situación.

En los problemas que se plantean a los estudiantes en estas pruebas, se pretende que las situaciones sean de diverso tipo, aunque generalmente se reconoce el uso solamente de problemas tipo texto en los cuales sólo se exige una modelación de un concepto y el estudiante trata de aplicar únicamente conocimientos ignorando lo nuevo que le puede aportar la situación cuando la está desarrollando. Al respecto, Santos Trigo plantea que "cuando los problemas se establecen en contextos específicos como los que se encuentran en los libros de texto, parece que el conocimiento específico de la materia relacionada juega un papel determinante, sin embargo, cuando el problema es no familiar, la presencia de estrategias generales se hace más notable en el proceso de solución".

11. BIBLIOGRAFÍA

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