uu 5 an L UJ UJJJJJJJ lUI JjJt UnCI tJJVllle

1shy~ I ) l c x=a(t-sint) J

e) f( 2a - y dx +Wiyen y = a (1 _ cos t) t E lO2r

C

f) J2rydc - x 2dy uncle 0(00) A(2 I) fn doull situatii 1 pe segmentul

OA [OAJ 2 pe drumul [OB] U [BA] B(20)

2 e lIb) 1lt ) P x = cos tR a ) - - e- - - 2 + 1 c arametrIzarea curbel cste 3 t E

2 2 Y = Sll) t [O~] 9i 1= 53deg daca arcul de curbli este parcurs in sens trigonometric

d) J= I+1 + J unde A(2 1) B(l 2) OA are ecuatia y = ~ x E [O 2J C+ OA AE BO

BA y =~ xE [12) JOB y = 2xr E [01] Oblinem -21112 -1f 27r

e) 1= a 2 tsin tdt = -2azll a

f) 1 Parametrizarea lui [~Al y = ~ x E [0 2J I = ~

2 [OBJ ~ t E [02] [BAJ == t E [0 IJ i= --1

5 Constatand In prealabil di valoarea integralei nu depinde de drum sa se calculeze integralele curbilinii pe orice curba ce une~te pUl1cteJe date

B

Ia) J(y2 e dx + 2yeX dy) A (0 2) B (20)

A (2-1)

b) J r(l+x)dx-y(l+y)dy

(-11) B

c) Jx 2dx + jYdy - zidz A (000) B (-215)

A

R a) --1b) ~l c)-2 -105 6 Sa se erifice eli urmatoarele cAmpuri sunt conservative ~i s1t se determine potentialul earnpului

a) 11 (r y) = (3x 2 - 2xy + y2) 7 - (x 2 - 2xy + 3y2) 7 b) 11 (c y z) = xyz (~z7- zx1 +xyk)

2R a)~ = ~=-2x + 2y (xy)= x3 - x y + xy2 - y3 +c 1 2 22middotmiddotmiddot b) f(xyz) = 21 y z +C

Capitolul II

Integrale duble secti triple

111 Multimi masurabile functii illtegrabile Lebesgue

Definitia 1 Masum u71ui i71tenal m(L1-ginit este lUllgimea sa Daca P = 11 X

h- x III C R este p1Odusui em-tezian a n inte71ale ma7ginite miisura notatii II (P) a pamlelipipedului Peste p1Odusul lungimilo) intenalelOI componente

Cai particular In ]Rz Peste dreptunghi (eu laturile paralele cu axele) secti IL (P) este aria sa fn R3 ItCP) este volumul lui P

Definitia 2 Reuniunile finite de pamlelipipede disjuncte se 7 U71l esc mul~imi

R neiementare Pentru D C marginita se numesectte masurli exterioarl1

fL (D) = infLIL(Ell)jD C UEll bull En mul~ime elementarii Spunem co un secti7shy

de mul~imi (All)

C ]R e07He7-gen

ciit7e A C Rn daca lim fL laquoAn U 4) (An n A)) n--DQ

= 0 Prin defini~ie 0 mul~i71le D C ]R este mosumbila Lebesgue dacii este 7eunimiddot Tme flaiM sau numambila de mul~imi care sunt limitee Ullor secti7tJri de 71lUl~i717i

ele711entare Masum Lebesgue a T1lul~imii D este JL (D) = IL CD)

Propozitia 3 Daea D ~i D mulimi marginite sunt masurabile aunci D u D D n D D D sunt masumbile

Teorema 4 07iee mul~ime compacta sau deschisii mm9initl1 din ]Rll este milmiddot sumbila Lebesgmiddotue

Definitia 5 0 ulletie f D - RD C Ji(n masumbilli senumesectte funqie rn scarii (constanta pe p071iuni) dadi existii mulimile llhhElC C D 7nasumbile disju71cte f2 eate2 ai fLfk = Ck secti cste nula 1n aam 7euniunii UAh

k

Definitia 6 Daea f D -gt lR (D c IRn masumbila) este func~ie fn scarl1 spunem eli f este illtegrabiUi LebcsglJe pe D daca se7ia urmlitoQ7e este ab~olUt

00 not C0711crge71ta L CkL (Mk) = fdlL

~=o D

~

J

J j

t

~ I ~ I _

I 104 Integrale dubJe secti triple

t (I Definitia 7 DJed ~r D - JR este marginitl1 (D C JR ml1sumbill1) spU1lfm ell f este i71tegmbilli p~ D dacli 3 (fn)nEN un sectir de func~ii in scarli integrabile Lebesgue pe D sectir ca7e c07we7ye unifonn la f In atest caz 7lumlhu[ real notai

r P r f dp = lim J fndp se numesectte integraa lui f pe D D -= D

loraIii In cazul 71 = 2 integrala lui f pe D C JR2 l1lasurabil~ se noteaza IJf (x y) dxdy secti se llllmEsectte integral~ dubla sat de arie pent ru n = 3 secti V C ]R3 V

masurabiJi integraJa Lebesgue se noteaz~ JJI f (x y z) dxdydz secti se J1um~te v [shy integuiliLLri JA s u de volum

Proprietati 1) Linearitate IU + )g)dJL = I fdJl +) J gdp ) E R ( D D D

I 2) Adithitate r fdJL = I Jdll + 1 JdfL DIID2 masurabilef D J UD 2 Dl IJ 3) fonotonie Dacli fg D - IR sunt integrabile f g pe D atullci

r f dJI r gdtLbulll-- D D 4) Iasura ullci lllultimi marginite masurabile M C lR este IL (JiJ) = r IdjJ

M In particular aria lui 111 C ]R2 este Aria(llJ) = II dxdy iar volul11ullui Me i(3

III

este 01(-1) = rtI dxdydz 1

5) Dad D este multime neglijabila (adica masura sa Il (D) 0) atul1ci r f dJI- = 0 Vf integrabiltt pe D Dr

Exemplu InlR2 orice curba netooa pe portiuni este mul~i1lJe negJijabiltt (adie1 are aria nula) = Integrala Lebesgue este 111]la Aceasta afirmalie este echhalenta [f eu faptul ca r fdfl = I fdfL pentru orice functie integrabila pe 0 multime

D fnlD masurabila D

6) Dadi D este masurabilil f 9 D - iR sunt integrabile secti f = 9 aproapeur peste tot (adica f (x) = g (x) 0 Vx E D MjL (M) = 0) atunci I fdjJ = I gdp D D

7) Orice functie continua f K -t JR K C ]R multimeuro compacta este

T integrabiHL

112 Calculul integralelor dubleL~ Teorema 8 (a lui Fubilli pe ]R2 ) Fie D ~ [a bj x [e dJ un dlepfllnghi [11 ~2

q

secti f D--+ R continud ~-Xtunci-If f (-~) ddy--jTt i (x Y)dY) tb = ---- D (I C

lll(rY)dx)y_ - --shy

or J

112 Calculu integraeor dubJe 10~----- shyr -shy b d

Alta nota~ie utilizata 1dx 1f (x y) dy G e

__ _ _ _ _ ~ 2 3

Exemplu Fie D = [021 x [13jCalcullim II (x + 3y2) d7dy = I dx I(x + DOl

2 =3 ~ 2 3y2)dy = I (xy + y3) I~= dx = j (3x + 27 - x-I) dx = (x2 + 2617) 10 = 56

o 0

Definitia 9 Fie

~ D = (J y)1 a5 x S b CPl (x) 5 y 5 CP2 (x) ~ -(lLl)_ -

ullde ltPI 0 92 sun douii fune~ii continue pe [a bJ Spunem ca D este domeniu ( intc1grnfic plOiectabil pe Ox (tOW fig 111)

-_ - ----- - - - ---_-_ - shy

~-

d~-~ lt-~~-

L i I

Yj

j

I r lt lt lt_c-shyi

a x b I

_

Figura ILl Figura 112

COlllcntariu D este limitat superior de eurba y = P) (x) si inferior de y = 2 (x) ~i dreptele ertieale x = a x = b adica D este gandit ca reuniune

de segmente wrticale de abscisa x secti ordonata apartinand lui [P (x) 92 (x)l ix F [abj _~--__ ------- - -- ~- -~ - ~- -----------~------

bull amp

Teorema 10 Dacl1 D este domeniu intergmfic proiectabi pe Ox ii f D - ~ ( b ~W I continua at u11ci If f (x y) dxdy = Jdx 1 f (x y) dy (nu mita ill tegmla duba

f a -D YJ () It eratl1) _ _ -~-- ~ shyL

- -~ --------------_ -------

Teorema11 Analog pent1U D domcniu illtergmfic p1Oiectabii pe Oy

D == (xy)1 c y d1J) (y) x 12 (y) ( 112) i i 1I J2 functii continue pe [c dj (vezi fig 112) atunci

d J2Y) ~11 f(r y)drdv=j dy f (xy)dx - - -

n r I bullbull )

r l

I

UU lntegraJe dubJe secti tripJe

tmiddot Exemplu ~~lc~~m aria domeniul D limitat de curbele y = x y = r = 2 I

Rezolvare D este domeniul h~urat din Figura 113

~

15

f

l

D t(I II ~ 15

Figura 113

D este domeniu proiectabil pe Ox Va trebui s~ detenuinam illtenalul [a b] peltru x curba care marginesectte inferior domeniul de ecuatie y = PI (x) secti cea care

marginesectte superior domeniul y = 12 (x) Intervalul [a b] este proiectia lui D pc

Ox deci [12] 91 (x) = ~P2 (x) = x

2

Aria (D) = 11dXdy=1 dx 1dy = D

=1 r2YIY~ dx = r 2(x -) dx = (X2 -lnx) 12 = ~ -ln2 1 II s J1 x 2 1 2

Exemplu Calculam I = II (1 + xy) dxdy unde D este domeniul marginit de D

LlABC A (-10) B (10) C(O 1) Reiolvare Consideram D domeniu proicctabil pe Oy (Fig 114) de fo~ma (112)

AC y= x + 1 = X = Y - 1 = 11 (y)

CB y ~-x +1 = x =1 - Y =112 (y)

lUI 1 11 La( UJ lIJ JjJLt~l i1JClUl U U UlC

I

A( I ~ r v f

f(

Figura 114

- I prO D = [01] deci

li I

[I 1-yen [1 ( =I-Y [IJ = dy (1 + ry) d1 = x + yen2 )

x=y-l dy = 2 (1 - y) dy = 1

o y-l 0 0 J ~ ----- shy

~eore~a 12 (schimbare de tariabill1) Fie ~~~~ 0 schimbare de ta~ J la (xy) ED la (u v) E DI mul~imi compacte ~adar Jacobianul detJ = g~~ =1= ~

a pe IntO Atunci dacii f D -+ lR este func~ie continua If f (X y) d7dy = I D I 11

U f (x (II v) Y (u v)) Idet JI dudv V ~- - ------------ j I

Obsenatie Pentru domenii marginite de portiuni de cere se folosesc coordoshynatele polare Jacobianul trecerii la cooroonatele polare (pO) este detJ = p JExercitii 1) Efectuati schimbarea de variabila de la coordonate carteziene Ia

2coordonate polare ~i calculali I = I[ J--c2 + y dxdy pentru I(

_ D lD == Cr Y)I (L2 x2 + r b2 Y2 x 0 lt a lt b (ezi fig 115)

Rezolvare IntrodlIcem toordOlatele polare fn inecuatii1e care il deflnesc pe D secti

obtinem f

=

ll 11

I

P E [a b]PE [ab]

a2 ~ p2 ~ ~

sin 02 cosO =

sin (0- ) 20 oE [~ 57T1 1 4 1 ~ q

108

109 r

Integrale duble ~i triple

~~ ~

Acesta este noul domeniu D_

Deci pt f(ry) == Jx2 +y2r I == pf(pcosBpsinB) dpdB ==

D yen b

I J bl~ 31b 3 == dB p-dp == 7T T a == 7T 3deg

E al l

22

2) Cakulat i wia dOlllcniului limitat de eliPsa2 - ~2 1 a b gt O[ T x = ap cos B

Rezolvare Folosim coordonatele polare generalizate b B P ~ 0y = pSJIJ

xl y2- jr 8 E [0 ~71 ~i introducandu-Ie fn inecuat ia domeniului D a 2 + b2 ~ 1 ob~inem

p2 s 1 deci p E [0 1J

[ Jacobiaul ansforn~ -- _____~L---~-- _______ l

detJ= D(xy) = I acos8 -apsin81 =ab 60 D(pB) bS1l18 bpcos8 P ~ - - ~-~---11 pe interiorul domeniului D = 10-1J x [0 27TJ

r j~ 121lt t 211Aria D = II dxdy == abpdpde = de In abpdp = 27iab~ = ab bull D D 0 middot 0 0

j l 113 Calculul iI)tegralelor triple ~----- ---1---shy~~~_~------------ 3

pamlelipipcd poundn R3 secti Teorema 13 (l~ IUi Fubini pe R3 ) Fie D == IIl[aj b] un

bl ~ bJ

_~ f D-+ ~ C01lt in~diAtUlci fir f (x y z ) dxdydz == l dx i dyLf (r y z ) dz

r 5(2 Umtegrnla l temta fn once alta olYm e _----~-- -----------------_ ---shyOb~elvatie 1) Ecuaiia z = f(r y) f D C R2 -+ JR ( D masurabila)

1 replezilltii ecuatia explicitli a unei suprafetc ill spa~iu proiectabil~ pe planul

rOy 2) 1n general ecuaia implicita F (x y 2) = 0 define~te 0 suprafata In spatit

Exemplu (1 - ro)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2 = R2 este eeuatia carteziana a

(rri de ~an R i r rntru (TO middot Yo 0)

113 Calcuiui i lltegraielor triple

Definit ia 14 0 7llul(ime mlisurabil6 V C R3 sc nll1nqte intc7ymjic p oiectubil pe plallul rOy limitat de suprafe~ele Z = (x y) z == 1 (r y) 111Ide ltp~ D C ]R2 -+ ~ sliM fUlIc(ii C07lt1nue ( D ml1sumllillS) dacl1 V = (T y z)1(r y) E D

cp(xy)S z ~ lj1(xy)(t1ezifigmiddot 116

z

o I ~~ - i y( D j

-___-_- -_bull

x

Figura 116

Obseratie V este intergrafic proiectabil pe xOy dad orice paraleHi la Oz care intersecteaza domeniul il taie dupa un segment

Teorema 15 Doeli f V ~- -e-~ functie contillul1 i~~mfic pmiect~nbil v(xy)

pe xOy at~cl JII J (x y z) dxdydz = JJdxdy I (x y )dz~J ----- D (xy) r middot

- -_-bull_--_ ---- ------- ~--------------- shyObsena~ i i Sc ext inde formula de sehimbare de variabila la int egralele triple

X = x(u v w) Teorema 16 Fie transfo11narea middot Y = y(u V w) ca1e satisfacc condfiile

z=z(uvw)

a) sllnt fU11c~ii de clasii C1

b) stabilesc 0 c01middotesp011 del1 ~6 bijectivo secti bicontinul1 fnt7e pUllc tcle domeniului n d

) b D(xyz) JOmiddot I middottV)

Jaco ia7lul tra7ls onnlifii det J= D(uvu) r pe 71tllf middot

4tullci

ill $paltII Ory secti pUl1ctele domeniullli n din spa~iul Ouvu

c

In problcmcle eu simctrie axialit snu centrala se pot folosi cooidonate cilinshy

1 H rt r( ~

~ ~ b bull ~ J ~ jjJJ ~~ -

X = psinBeosop111

y = psin Bsin P eu p 2 0 B E [0 r ] coordonatele sferiee (p B cp) unde z = peosB

cp E [0 27rJ ~i detJ = p2 sin B

x = apsinOeosy y =bull coodonate] r gmliat (p 9 ) und bpsinBsin y eu

z = epeos 0

p 2 OB E [O7r) cp E [0 27rJ secti detJ =abc~ sin B

X = peos y

coordonatcle cilindriee (pcpz) unde y=psinp eu p 2 0 rp E [0 27T] z = z

z E R secti detJ = p

114 Integrale duble secti triple - Exerciti i rezolvate

1) CalculaIi If xydxdy unde D este domeniul margin it de Ty = 1 x + y = ~ 1

D Rezolvare Aflam punctele de intersee~ie ale eurbelor rezolyftlld sistemul

ry = 1 2 5 1 1 bull _ j Ob1 Il1cm 7 - 2x + 1 = degeu XI = 2X2 = 2 deel Yl = 2Y2 = 2

x~y-5 - D este domeniu intergrafic proieetabil pe ambele axe (Figura 11 7) Lual11

D proiectabil pe Ox Proieelia pe Ox este [~ 2] D este marginit inferior de

y = 01 (x) = ~ secti superior de y = IP2 (1) = ~ - x Atunei

2 5 )2 --5 ( 2 Y=j-r

= rdx r xydy =J x~ I dxJrydrdy 2 = h h w y=l ~ ~ 1 x

D 2

2 [7 (5 )2 ~ 1 1 465 = 2 2 - x 2 x2 dx= 64 -In 2 II

2

2~

r ~

I) ~

I5 I 15- 5

Figura 117

I

I -Tshy

Jpounda 0middot-

3 2 2) If jXydxdy unde D Y 2 x bull y $ 3 X 2 O r

Rezol D Luam D domeniu intergrrafie proieetabil pe Ox Ateniie Pc intcrshyvare 3 2

valul (01) yem x3 lt x2 (Figura 118) D= x E [0 IJ Ix $ y $ 1 Deci

1r2 1 ~

I = fXydxdy =Jdx fXydF (Jx ~ y2) [ dx = D 0 xl 0 shy J I

= JjX (~x3 - ~x9j2) dx = ~ bull3 3 27 o

-IV

il ~~1 I ~

I--shy) iJ)

-shyU 7~

-- i -

L

i l ~ l I ~

r ~ III) ~) (I (175 1(

~

Figura 119Figura 118

I I23) If (x2 + y2) dxdy D este dOllleniul mihginit de y - x = 0 X - y2 = 0

RezohD and sistemul eu cele doua ecuaiii afi am punctele de i ntersec~ie deci 1

luand D proiectabil pe Ox avem x E [0 1J Y = x2 margillesectte inferior secti x = y2 marginesectte superior domeniul (Figura 1~ 9) Ecuat iile lor se rescriu aMnd pe y

2111 fUJ1ctie de XPl (x) = X P2 (x) =xDeci J 1 fi 1 fi

If(x2 + y2) dxdy dc (x2 + y2) dy = f (x2y + y) dx = 112o x2 0 xD

middotfl ( i middot middot middot176

) 6 = x2VX+ -x-X- x4 - - dC = - bull

3 3 35 middot I o

4) Sit se transforme in i11tegralii iterata I =If f (r y) dxdy uncle ~ 1 D

D x2 + y2 ~ 4 J2 + h2 2 1 x ~ 0 (Figura 1110) 1

r l

I

UU lntegraJe dubJe secti tripJe

tmiddot Exemplu ~~lc~~m aria domeniul D limitat de curbele y = x y = r = 2 I

Rezolvare D este domeniul h~urat din Figura 113

~

15

f

l

D t(I II ~ 15

Figura 113

D este domeniu proiectabil pe Ox Va trebui s~ detenuinam illtenalul [a b] peltru x curba care marginesectte inferior domeniul de ecuatie y = PI (x) secti cea care

marginesectte superior domeniul y = 12 (x) Intervalul [a b] este proiectia lui D pc

Ox deci [12] 91 (x) = ~P2 (x) = x

2

Aria (D) = 11dXdy=1 dx 1dy = D

=1 r2YIY~ dx = r 2(x -) dx = (X2 -lnx) 12 = ~ -ln2 1 II s J1 x 2 1 2

Exemplu Calculam I = II (1 + xy) dxdy unde D este domeniul marginit de D

LlABC A (-10) B (10) C(O 1) Reiolvare Consideram D domeniu proicctabil pe Oy (Fig 114) de fo~ma (112)

AC y= x + 1 = X = Y - 1 = 11 (y)

CB y ~-x +1 = x =1 - Y =112 (y)

lUI 1 11 La( UJ lIJ JjJLt~l i1JClUl U U UlC

I

A( I ~ r v f

f(

Figura 114

- I prO D = [01] deci

li I

[I 1-yen [1 ( =I-Y [IJ = dy (1 + ry) d1 = x + yen2 )

x=y-l dy = 2 (1 - y) dy = 1

o y-l 0 0 J ~ ----- shy

~eore~a 12 (schimbare de tariabill1) Fie ~~~~ 0 schimbare de ta~ J la (xy) ED la (u v) E DI mul~imi compacte ~adar Jacobianul detJ = g~~ =1= ~

a pe IntO Atunci dacii f D -+ lR este func~ie continua If f (X y) d7dy = I D I 11

U f (x (II v) Y (u v)) Idet JI dudv V ~- - ------------ j I

Obsenatie Pentru domenii marginite de portiuni de cere se folosesc coordoshynatele polare Jacobianul trecerii la cooroonatele polare (pO) este detJ = p JExercitii 1) Efectuati schimbarea de variabila de la coordonate carteziene Ia

2coordonate polare ~i calculali I = I[ J--c2 + y dxdy pentru I(

_ D lD == Cr Y)I (L2 x2 + r b2 Y2 x 0 lt a lt b (ezi fig 115)

Rezolvare IntrodlIcem toordOlatele polare fn inecuatii1e care il deflnesc pe D secti

obtinem f

=

ll 11

I

P E [a b]PE [ab]

a2 ~ p2 ~ ~

sin 02 cosO =

sin (0- ) 20 oE [~ 57T1 1 4 1 ~ q

108

109 r

Integrale duble ~i triple

~~ ~

Acesta este noul domeniu D_

Deci pt f(ry) == Jx2 +y2r I == pf(pcosBpsinB) dpdB ==

D yen b

I J bl~ 31b 3 == dB p-dp == 7T T a == 7T 3deg

E al l

22

2) Cakulat i wia dOlllcniului limitat de eliPsa2 - ~2 1 a b gt O[ T x = ap cos B

Rezolvare Folosim coordonatele polare generalizate b B P ~ 0y = pSJIJ

xl y2- jr 8 E [0 ~71 ~i introducandu-Ie fn inecuat ia domeniului D a 2 + b2 ~ 1 ob~inem

p2 s 1 deci p E [0 1J

[ Jacobiaul ansforn~ -- _____~L---~-- _______ l

detJ= D(xy) = I acos8 -apsin81 =ab 60 D(pB) bS1l18 bpcos8 P ~ - - ~-~---11 pe interiorul domeniului D = 10-1J x [0 27TJ

r j~ 121lt t 211Aria D = II dxdy == abpdpde = de In abpdp = 27iab~ = ab bull D D 0 middot 0 0

j l 113 Calculul iI)tegralelor triple ~----- ---1---shy~~~_~------------ 3

pamlelipipcd poundn R3 secti Teorema 13 (l~ IUi Fubini pe R3 ) Fie D == IIl[aj b] un

bl ~ bJ

_~ f D-+ ~ C01lt in~diAtUlci fir f (x y z ) dxdydz == l dx i dyLf (r y z ) dz

r 5(2 Umtegrnla l temta fn once alta olYm e _----~-- -----------------_ ---shyOb~elvatie 1) Ecuaiia z = f(r y) f D C R2 -+ JR ( D masurabila)

1 replezilltii ecuatia explicitli a unei suprafetc ill spa~iu proiectabil~ pe planul

rOy 2) 1n general ecuaia implicita F (x y 2) = 0 define~te 0 suprafata In spatit

Exemplu (1 - ro)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2 = R2 este eeuatia carteziana a

(rri de ~an R i r rntru (TO middot Yo 0)

113 Calcuiui i lltegraielor triple

Definit ia 14 0 7llul(ime mlisurabil6 V C R3 sc nll1nqte intc7ymjic p oiectubil pe plallul rOy limitat de suprafe~ele Z = (x y) z == 1 (r y) 111Ide ltp~ D C ]R2 -+ ~ sliM fUlIc(ii C07lt1nue ( D ml1sumllillS) dacl1 V = (T y z)1(r y) E D

cp(xy)S z ~ lj1(xy)(t1ezifigmiddot 116

z

o I ~~ - i y( D j

-___-_- -_bull

x

Figura 116

Obseratie V este intergrafic proiectabil pe xOy dad orice paraleHi la Oz care intersecteaza domeniul il taie dupa un segment

Teorema 15 Doeli f V ~- -e-~ functie contillul1 i~~mfic pmiect~nbil v(xy)

pe xOy at~cl JII J (x y z) dxdydz = JJdxdy I (x y )dz~J ----- D (xy) r middot

- -_-bull_--_ ---- ------- ~--------------- shyObsena~ i i Sc ext inde formula de sehimbare de variabila la int egralele triple

X = x(u v w) Teorema 16 Fie transfo11narea middot Y = y(u V w) ca1e satisfacc condfiile

z=z(uvw)

a) sllnt fU11c~ii de clasii C1

b) stabilesc 0 c01middotesp011 del1 ~6 bijectivo secti bicontinul1 fnt7e pUllc tcle domeniului n d

) b D(xyz) JOmiddot I middottV)

Jaco ia7lul tra7ls onnlifii det J= D(uvu) r pe 71tllf middot

4tullci

ill $paltII Ory secti pUl1ctele domeniullli n din spa~iul Ouvu

c

In problcmcle eu simctrie axialit snu centrala se pot folosi cooidonate cilinshy

1 H rt r( ~

~ ~ b bull ~ J ~ jjJJ ~~ -

X = psinBeosop111

y = psin Bsin P eu p 2 0 B E [0 r ] coordonatele sferiee (p B cp) unde z = peosB

cp E [0 27rJ ~i detJ = p2 sin B

x = apsinOeosy y =bull coodonate] r gmliat (p 9 ) und bpsinBsin y eu

z = epeos 0

p 2 OB E [O7r) cp E [0 27rJ secti detJ =abc~ sin B

X = peos y

coordonatcle cilindriee (pcpz) unde y=psinp eu p 2 0 rp E [0 27T] z = z

z E R secti detJ = p

114 Integrale duble secti triple - Exerciti i rezolvate

1) CalculaIi If xydxdy unde D este domeniul margin it de Ty = 1 x + y = ~ 1

D Rezolvare Aflam punctele de intersee~ie ale eurbelor rezolyftlld sistemul

ry = 1 2 5 1 1 bull _ j Ob1 Il1cm 7 - 2x + 1 = degeu XI = 2X2 = 2 deel Yl = 2Y2 = 2

x~y-5 - D este domeniu intergrafic proieetabil pe ambele axe (Figura 11 7) Lual11

D proiectabil pe Ox Proieelia pe Ox este [~ 2] D este marginit inferior de

y = 01 (x) = ~ secti superior de y = IP2 (1) = ~ - x Atunei

2 5 )2 --5 ( 2 Y=j-r

= rdx r xydy =J x~ I dxJrydrdy 2 = h h w y=l ~ ~ 1 x

D 2

2 [7 (5 )2 ~ 1 1 465 = 2 2 - x 2 x2 dx= 64 -In 2 II

2

2~

r ~

I) ~

I5 I 15- 5

Figura 117

I

I -Tshy

Jpounda 0middot-

3 2 2) If jXydxdy unde D Y 2 x bull y $ 3 X 2 O r

Rezol D Luam D domeniu intergrrafie proieetabil pe Ox Ateniie Pc intcrshyvare 3 2

valul (01) yem x3 lt x2 (Figura 118) D= x E [0 IJ Ix $ y $ 1 Deci

1r2 1 ~

I = fXydxdy =Jdx fXydF (Jx ~ y2) [ dx = D 0 xl 0 shy J I

= JjX (~x3 - ~x9j2) dx = ~ bull3 3 27 o

-IV

il ~~1 I ~

I--shy) iJ)

-shyU 7~

-- i -

L

i l ~ l I ~

r ~ III) ~) (I (175 1(

~

Figura 119Figura 118

I I23) If (x2 + y2) dxdy D este dOllleniul mihginit de y - x = 0 X - y2 = 0

RezohD and sistemul eu cele doua ecuaiii afi am punctele de i ntersec~ie deci 1

luand D proiectabil pe Ox avem x E [0 1J Y = x2 margillesectte inferior secti x = y2 marginesectte superior domeniul (Figura 1~ 9) Ecuat iile lor se rescriu aMnd pe y

2111 fUJ1ctie de XPl (x) = X P2 (x) =xDeci J 1 fi 1 fi

If(x2 + y2) dxdy dc (x2 + y2) dy = f (x2y + y) dx = 112o x2 0 xD

middotfl ( i middot middot middot176

) 6 = x2VX+ -x-X- x4 - - dC = - bull

3 3 35 middot I o

4) Sit se transforme in i11tegralii iterata I =If f (r y) dxdy uncle ~ 1 D

D x2 + y2 ~ 4 J2 + h2 2 1 x ~ 0 (Figura 1110) 1

108

109 r

Integrale duble ~i triple

~~ ~

Acesta este noul domeniu D_

Deci pt f(ry) == Jx2 +y2r I == pf(pcosBpsinB) dpdB ==

D yen b

I J bl~ 31b 3 == dB p-dp == 7T T a == 7T 3deg

E al l

22

2) Cakulat i wia dOlllcniului limitat de eliPsa2 - ~2 1 a b gt O[ T x = ap cos B

Rezolvare Folosim coordonatele polare generalizate b B P ~ 0y = pSJIJ

xl y2- jr 8 E [0 ~71 ~i introducandu-Ie fn inecuat ia domeniului D a 2 + b2 ~ 1 ob~inem

p2 s 1 deci p E [0 1J

[ Jacobiaul ansforn~ -- _____~L---~-- _______ l

detJ= D(xy) = I acos8 -apsin81 =ab 60 D(pB) bS1l18 bpcos8 P ~ - - ~-~---11 pe interiorul domeniului D = 10-1J x [0 27TJ

r j~ 121lt t 211Aria D = II dxdy == abpdpde = de In abpdp = 27iab~ = ab bull D D 0 middot 0 0

j l 113 Calculul iI)tegralelor triple ~----- ---1---shy~~~_~------------ 3

pamlelipipcd poundn R3 secti Teorema 13 (l~ IUi Fubini pe R3 ) Fie D == IIl[aj b] un

bl ~ bJ

_~ f D-+ ~ C01lt in~diAtUlci fir f (x y z ) dxdydz == l dx i dyLf (r y z ) dz

r 5(2 Umtegrnla l temta fn once alta olYm e _----~-- -----------------_ ---shyOb~elvatie 1) Ecuaiia z = f(r y) f D C R2 -+ JR ( D masurabila)

1 replezilltii ecuatia explicitli a unei suprafetc ill spa~iu proiectabil~ pe planul

rOy 2) 1n general ecuaia implicita F (x y 2) = 0 define~te 0 suprafata In spatit

Exemplu (1 - ro)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2 = R2 este eeuatia carteziana a

(rri de ~an R i r rntru (TO middot Yo 0)

113 Calcuiui i lltegraielor triple

Definit ia 14 0 7llul(ime mlisurabil6 V C R3 sc nll1nqte intc7ymjic p oiectubil pe plallul rOy limitat de suprafe~ele Z = (x y) z == 1 (r y) 111Ide ltp~ D C ]R2 -+ ~ sliM fUlIc(ii C07lt1nue ( D ml1sumllillS) dacl1 V = (T y z)1(r y) E D

cp(xy)S z ~ lj1(xy)(t1ezifigmiddot 116

z

o I ~~ - i y( D j

-___-_- -_bull

x

Figura 116

Obseratie V este intergrafic proiectabil pe xOy dad orice paraleHi la Oz care intersecteaza domeniul il taie dupa un segment

Teorema 15 Doeli f V ~- -e-~ functie contillul1 i~~mfic pmiect~nbil v(xy)

pe xOy at~cl JII J (x y z) dxdydz = JJdxdy I (x y )dz~J ----- D (xy) r middot

- -_-bull_--_ ---- ------- ~--------------- shyObsena~ i i Sc ext inde formula de sehimbare de variabila la int egralele triple

X = x(u v w) Teorema 16 Fie transfo11narea middot Y = y(u V w) ca1e satisfacc condfiile

z=z(uvw)

a) sllnt fU11c~ii de clasii C1

b) stabilesc 0 c01middotesp011 del1 ~6 bijectivo secti bicontinul1 fnt7e pUllc tcle domeniului n d

) b D(xyz) JOmiddot I middottV)

Jaco ia7lul tra7ls onnlifii det J= D(uvu) r pe 71tllf middot

4tullci

ill $paltII Ory secti pUl1ctele domeniullli n din spa~iul Ouvu

c

In problcmcle eu simctrie axialit snu centrala se pot folosi cooidonate cilinshy

1 H rt r( ~

~ ~ b bull ~ J ~ jjJJ ~~ -

X = psinBeosop111

y = psin Bsin P eu p 2 0 B E [0 r ] coordonatele sferiee (p B cp) unde z = peosB

cp E [0 27rJ ~i detJ = p2 sin B

x = apsinOeosy y =bull coodonate] r gmliat (p 9 ) und bpsinBsin y eu

z = epeos 0

p 2 OB E [O7r) cp E [0 27rJ secti detJ =abc~ sin B

X = peos y

coordonatcle cilindriee (pcpz) unde y=psinp eu p 2 0 rp E [0 27T] z = z

z E R secti detJ = p

114 Integrale duble secti triple - Exerciti i rezolvate

1) CalculaIi If xydxdy unde D este domeniul margin it de Ty = 1 x + y = ~ 1

D Rezolvare Aflam punctele de intersee~ie ale eurbelor rezolyftlld sistemul

ry = 1 2 5 1 1 bull _ j Ob1 Il1cm 7 - 2x + 1 = degeu XI = 2X2 = 2 deel Yl = 2Y2 = 2

x~y-5 - D este domeniu intergrafic proieetabil pe ambele axe (Figura 11 7) Lual11

D proiectabil pe Ox Proieelia pe Ox este [~ 2] D este marginit inferior de

y = 01 (x) = ~ secti superior de y = IP2 (1) = ~ - x Atunei

2 5 )2 --5 ( 2 Y=j-r

= rdx r xydy =J x~ I dxJrydrdy 2 = h h w y=l ~ ~ 1 x

D 2

2 [7 (5 )2 ~ 1 1 465 = 2 2 - x 2 x2 dx= 64 -In 2 II

2

2~

r ~

I) ~

I5 I 15- 5

Figura 117

I

I -Tshy

Jpounda 0middot-

3 2 2) If jXydxdy unde D Y 2 x bull y $ 3 X 2 O r

Rezol D Luam D domeniu intergrrafie proieetabil pe Ox Ateniie Pc intcrshyvare 3 2

valul (01) yem x3 lt x2 (Figura 118) D= x E [0 IJ Ix $ y $ 1 Deci

1r2 1 ~

I = fXydxdy =Jdx fXydF (Jx ~ y2) [ dx = D 0 xl 0 shy J I

= JjX (~x3 - ~x9j2) dx = ~ bull3 3 27 o

-IV

il ~~1 I ~

I--shy) iJ)

-shyU 7~

-- i -

L

i l ~ l I ~

r ~ III) ~) (I (175 1(

~

Figura 119Figura 118

I I23) If (x2 + y2) dxdy D este dOllleniul mihginit de y - x = 0 X - y2 = 0

RezohD and sistemul eu cele doua ecuaiii afi am punctele de i ntersec~ie deci 1

luand D proiectabil pe Ox avem x E [0 1J Y = x2 margillesectte inferior secti x = y2 marginesectte superior domeniul (Figura 1~ 9) Ecuat iile lor se rescriu aMnd pe y

2111 fUJ1ctie de XPl (x) = X P2 (x) =xDeci J 1 fi 1 fi

If(x2 + y2) dxdy dc (x2 + y2) dy = f (x2y + y) dx = 112o x2 0 xD

middotfl ( i middot middot middot176

) 6 = x2VX+ -x-X- x4 - - dC = - bull

3 3 35 middot I o

4) Sit se transforme in i11tegralii iterata I =If f (r y) dxdy uncle ~ 1 D

D x2 + y2 ~ 4 J2 + h2 2 1 x ~ 0 (Figura 1110) 1

~ ~ b bull ~ J ~ jjJJ ~~ -

X = psinBeosop111

y = psin Bsin P eu p 2 0 B E [0 r ] coordonatele sferiee (p B cp) unde z = peosB

cp E [0 27rJ ~i detJ = p2 sin B

x = apsinOeosy y =bull coodonate] r gmliat (p 9 ) und bpsinBsin y eu

z = epeos 0

p 2 OB E [O7r) cp E [0 27rJ secti detJ =abc~ sin B

X = peos y

coordonatcle cilindriee (pcpz) unde y=psinp eu p 2 0 rp E [0 27T] z = z

z E R secti detJ = p

114 Integrale duble secti triple - Exerciti i rezolvate

1) CalculaIi If xydxdy unde D este domeniul margin it de Ty = 1 x + y = ~ 1

D Rezolvare Aflam punctele de intersee~ie ale eurbelor rezolyftlld sistemul

ry = 1 2 5 1 1 bull _ j Ob1 Il1cm 7 - 2x + 1 = degeu XI = 2X2 = 2 deel Yl = 2Y2 = 2

x~y-5 - D este domeniu intergrafic proieetabil pe ambele axe (Figura 11 7) Lual11

D proiectabil pe Ox Proieelia pe Ox este [~ 2] D este marginit inferior de

y = 01 (x) = ~ secti superior de y = IP2 (1) = ~ - x Atunei

2 5 )2 --5 ( 2 Y=j-r

= rdx r xydy =J x~ I dxJrydrdy 2 = h h w y=l ~ ~ 1 x

D 2

2 [7 (5 )2 ~ 1 1 465 = 2 2 - x 2 x2 dx= 64 -In 2 II

2

2~

r ~

I) ~

I5 I 15- 5

Figura 117

I

I -Tshy

Jpounda 0middot-

3 2 2) If jXydxdy unde D Y 2 x bull y $ 3 X 2 O r

Rezol D Luam D domeniu intergrrafie proieetabil pe Ox Ateniie Pc intcrshyvare 3 2

valul (01) yem x3 lt x2 (Figura 118) D= x E [0 IJ Ix $ y $ 1 Deci

1r2 1 ~

I = fXydxdy =Jdx fXydF (Jx ~ y2) [ dx = D 0 xl 0 shy J I

= JjX (~x3 - ~x9j2) dx = ~ bull3 3 27 o

-IV

il ~~1 I ~

I--shy) iJ)

-shyU 7~

-- i -

L

i l ~ l I ~

r ~ III) ~) (I (175 1(

~

Figura 119Figura 118

I I23) If (x2 + y2) dxdy D este dOllleniul mihginit de y - x = 0 X - y2 = 0

RezohD and sistemul eu cele doua ecuaiii afi am punctele de i ntersec~ie deci 1

luand D proiectabil pe Ox avem x E [0 1J Y = x2 margillesectte inferior secti x = y2 marginesectte superior domeniul (Figura 1~ 9) Ecuat iile lor se rescriu aMnd pe y

2111 fUJ1ctie de XPl (x) = X P2 (x) =xDeci J 1 fi 1 fi

If(x2 + y2) dxdy dc (x2 + y2) dy = f (x2y + y) dx = 112o x2 0 xD

middotfl ( i middot middot middot176

) 6 = x2VX+ -x-X- x4 - - dC = - bull

3 3 35 middot I o

4) Sit se transforme in i11tegralii iterata I =If f (r y) dxdy uncle ~ 1 D

D x2 + y2 ~ 4 J2 + h2 2 1 x ~ 0 (Figura 1110) 1

___

I

113 112 IJltegrale duble secti triple

I

Rezolvare DOI~enAtv D este interior cereului C de razli 2 eu eentrul fn origine ~i exterior eJipsei pound eu centrul fn origine avand semiaxele a =1 b = 2 fiind

domeniu intergrafie proiectabiJ numai pe Oy

C x 2 + y2 = 4 x ~ 0 ~ x = J4 - y2 = tIl (y)

1 r-Tpound x 2 + 4y2 = 1 x ~ 0 ~ x = V1 - 4y2 = 1)2 (y)

prOy D = [-22J deci

2 ~ I ~1 d jY4-Y2

- -2 Y Jl-h (xy) dx bull

1

I I

1

I I

Figura 1110

5) Sa se ealculeze trecand la coordonate polare

x2flo e +y2 dxdy unde D x 2 + y2 R2 Rgt O

X = p eosB Rezolvare e eu p ~ 0 B E [O27iJ face trecerea de la coordonatele y = PSll1

polarela cele cartezienesecti

J = D (x y) = I cos e - p sin B I= D (p B) sin f) pcos f) p

-1 Pentru a afia domeniul D introduccm coordonatele pol are fn ecuat ia domeshy

niului D

ri cos2 B+ p2 sin2 e~ R2 lt=gt J2 s 112 ~ LEJO Rl

-

1] 4 Jntegrale duble secti triple - Exerci1ii rezollate

Deei D = [0 RJ X [O27rJ secti det J 0 pe int D Integrala devine

2 2 21r N P2 P2tR 7r (e

R2 I = JrD eP2 (cus O+sin 0) pdpdB = Jo dB Jo e pdp = 27f e2 = - 1) J 0

6) Folosind 0 schimbare de variabila adeeyatl1 sa se eaJculeze 1 x + y 4 (x + y) dxdy unde D x y 5x 1

D

RezolareDin 1 x + y secti y 5x rezulta x ~ ~ gt 0 deei D este definit de

1

1x+y S 4

1 lt ~ lt 5 - r shy

eeea ce 5ugEreaza schimbarea de ariabiJe

I

1l

xt~=u cent x= 1+v - - v uv z y=-~-

1 +v Figura ILl 1

RezulUt (u v) ED = [14] x [15J

Deoarece

I_1_ _ u

(Hv)2D (xy) = 1+ uI] = D (tt v) lTv (Hv)i

1= (1v)2 0

obt inem

5 2 1___L2_ )dudv = t du r u 2 dv = l 4 u 2dumiddot (- _d_v_2 = I (l+vt JI Jl (1+v) 1 1 (1+ 1 ) a

11 31 -1 ( =i1) ~ 3 i 1 + V 1

If dxdydoy 7) Cakula ~j I - n = [01] x [01] x [01] i

bull bull _ _ X T Y + z + 1

J JI Jll OJC JL UUIJJ J4 Lmiddot~~4 _ middotlmiddot --_ - ~ -

II

i

I

jU~ttjajt UUlnt i1 HlJJe ~ ~

I Rezolvare Tra1sf~1~m integrala In integrale iterate

~

fr dxdydz t t t dzJJ 27 + y + z + 1 =0 dx Jo dy Jo 2Jx + y + z + 1 n

tdx tlIX+Y+Z+IIZ=ldY= Jo Jo 2=0

=11 dxll (Ix + Y+ 2- VX + Y + 1) dy =

) cI [(x -+ y + 2) 23 - (x + y + 1)i3] 1=1 dx == 3 0 y=Omiddot

2 rl [ 3 3 3] 4 ( )= 3 Jo (x + 3)2 - 2 (x + 22 + (x + 1)2 dx == 15 31 - 27)3 + 12V2

q 8) Sa setransfonne integrala tripl~ lfl f (x y z) dxdydz in integrala iterata n

2daci l2 este cilindrullimitat de x 2 + y2 = a z = 0 z = h h gt O

Rezolvare n este domeniu intergrafic proiectabil pe xOy D = prrOy n == (x y) 72 + y2 ~ a2

Cilindrul este marginit inferior de planul z == PI (x y) a secti superior de

z = Y2 (7 y) == h AstfeI

I == llf f(xyz)dxdydz= II drdy lhf(XYZ)dZ~

Ia

n

j~ loil D

dx dy f (x y z) dz bull -a -~ 0

1

fff 2dJdydz = 3 unde n (ste tetraedru delimitlt1t de9) Calculati I (l+x+y+z)

~ n planele x =0 y = 0 Z =deg~i x + y + z =1

Rezolvare 1 cste domeniu intergrafic proiectabil pe xOy (Figura 1112)

D = (ty) Ir E [01)05 Y 51- 7 = prxOy n secti n este marginit illftrior

lde fata AOB z = 0 iar superior de ABC z = 1 - x - y Deci

I-X-Y 2d Jj -d dmiddot I-=l-X-llI dd z xy = jjD x Y o (l+x+y+z)3= D (1+x+y+z)2=0

11 [-(1-+--+-y~)2 -~] dxdy = o1 dx ol-X [(1 ++ y)2 - ~ ] dy = D bull

lr1 [ 1 ] IY=I-X r (1 1 1) = Jo 1 + x + y - ~ y=o dx = - fo 2 - 1 +-x + x dr =

5 == In2 - S

B

x

y

Figura-l112 Figura 1113 2 R2 z2J 10) Calculai fJ)

r rzdrdydz V = (x y z)1 x + y ~ --- z 5 a R a gt

V O 2aRezoJvare Suprafaa z2 = R2 (x2 + y2) z 0 este un con (reprezentat in

Figura 1113) Baza conului situata in planuI z = a cste discul r2 -+ y2 R2 deci prIo V = D = (x y)1 x2 + y2 5 R2 V este mihginit inferior de suprafata

y alateraJa a conului z== if (x y) = RJx 2 + y2 superi~r de planul z = 1 (r y) = a

Decij) I 2 2

i I = j dxdy I zdz = ~ Jf [a - ~ (x + y2)Jdxdy

D lJr2+y2 DR

~i tr~CC111 la coordOllate polare Obtinem

2 a2 2[11 fR ( p2) 1fu R2

=2 de 1- R2 pdp = -4-middot o 0

2 11) Calculal i wlUl11u) C0I111111 V ( paraboloiduui z = x

2 + y2 secti sferei x +

y2 + z2 = 6 z 2 o

middot 1

middot

J

j

U

I )

middot ~ 11

J JI Jll OJC JL UUIJJ J4 Lmiddot~~4 _ middotlmiddot --_ - ~ -

II

i

I

jU~ttjajt UUlnt i1 HlJJe ~ ~

I Rezolvare Tra1sf~1~m integrala In integrale iterate

~

fr dxdydz t t t dzJJ 27 + y + z + 1 =0 dx Jo dy Jo 2Jx + y + z + 1 n

tdx tlIX+Y+Z+IIZ=ldY= Jo Jo 2=0

=11 dxll (Ix + Y+ 2- VX + Y + 1) dy =

) cI [(x -+ y + 2) 23 - (x + y + 1)i3] 1=1 dx == 3 0 y=Omiddot

2 rl [ 3 3 3] 4 ( )= 3 Jo (x + 3)2 - 2 (x + 22 + (x + 1)2 dx == 15 31 - 27)3 + 12V2

q 8) Sa setransfonne integrala tripl~ lfl f (x y z) dxdydz in integrala iterata n

2daci l2 este cilindrullimitat de x 2 + y2 = a z = 0 z = h h gt O

Rezolvare n este domeniu intergrafic proiectabil pe xOy D = prrOy n == (x y) 72 + y2 ~ a2

Cilindrul este marginit inferior de planul z == PI (x y) a secti superior de

z = Y2 (7 y) == h AstfeI

I == llf f(xyz)dxdydz= II drdy lhf(XYZ)dZ~

Ia

n

j~ loil D

dx dy f (x y z) dz bull -a -~ 0

1

fff 2dJdydz = 3 unde n (ste tetraedru delimitlt1t de9) Calculati I (l+x+y+z)

~ n planele x =0 y = 0 Z =deg~i x + y + z =1

Rezolvare 1 cste domeniu intergrafic proiectabil pe xOy (Figura 1112)

D = (ty) Ir E [01)05 Y 51- 7 = prxOy n secti n este marginit illftrior

lde fata AOB z = 0 iar superior de ABC z = 1 - x - y Deci

I-X-Y 2d Jj -d dmiddot I-=l-X-llI dd z xy = jjD x Y o (l+x+y+z)3= D (1+x+y+z)2=0

11 [-(1-+--+-y~)2 -~] dxdy = o1 dx ol-X [(1 ++ y)2 - ~ ] dy = D bull

lr1 [ 1 ] IY=I-X r (1 1 1) = Jo 1 + x + y - ~ y=o dx = - fo 2 - 1 +-x + x dr =

5 == In2 - S

B

x

y

Figura-l112 Figura 1113 2 R2 z2J 10) Calculai fJ)

r rzdrdydz V = (x y z)1 x + y ~ --- z 5 a R a gt

V O 2aRezoJvare Suprafaa z2 = R2 (x2 + y2) z 0 este un con (reprezentat in

Figura 1113) Baza conului situata in planuI z = a cste discul r2 -+ y2 R2 deci prIo V = D = (x y)1 x2 + y2 5 R2 V este mihginit inferior de suprafata

y alateraJa a conului z== if (x y) = RJx 2 + y2 superi~r de planul z = 1 (r y) = a

Decij) I 2 2

i I = j dxdy I zdz = ~ Jf [a - ~ (x + y2)Jdxdy

D lJr2+y2 DR

~i tr~CC111 la coordOllate polare Obtinem

2 a2 2[11 fR ( p2) 1fu R2

=2 de 1- R2 pdp = -4-middot o 0

2 11) Calculal i wlUl11u) C0I111111 V ( paraboloiduui z = x

2 + y2 secti sferei x +

y2 + z2 = 6 z 2 o

middot 1

middot

J

j

U

I )

middot ~ 11

117 I IntegraJe dubJe secti tripJe

I( l 116

z2 + z 6 0 z ~Rezolvare Illtese~ paraboloidului eu sfera ne dlt - = 0 secti obt inem cereul de eeuaii z = 2 x 2 + y2 = 2

A~adar prrOy V = D = x2+ y2 5 2 Domeniul este proiectabil pe plallul rOy (Figura 1114) V fiind miirginit inferior de z = ltp (x y) = x

2 +y2 secti superior I

l de z = (T y) = J6 - x2 - y2 Ob1inem

j6_r2_ y2

Vol (1) = 1 dxdy 1 dz =

rl D r2y2

= 11 [J6 - x2 - y2 - (x 2 + y2) J dxdy y D I-I 271 V

= clO (p~_p3)dp=2J6-131 0 0 Figural114 [- ~ 12) Efeetuand 0 sehimbare eonvenabila de yariabile calcula1i

a)] = 111 (x2 + y2 + z2) dxdydz unde 0 = (x~ yz) Ix2 + y2 + z2 5 I

1Rezolvare n fiilld sfera eu eentrul in 0 putem utiliza coordonatele sferice

(pOP) X = psinBcos y = p sin Bsin P p ~ 00 E [0 1T] ltp E [021T]

z = peosO

care introduse In inecuatia domeniului condue Ja eoncli~ia p2 5 1 cent P E [0 I]

L Jacobi anul tra11sformarii

81 81 81 88 8

D(xyz) ~ I~ ll 0J I= p2 sin 0 =I 0 pe lnt (0 ) - 8 88 8D( tt V ir) 8~ 8 8 8p 89 8

uncle 0 = Hp 0 P) Ip E [0 1] () E to 1T] cp E [a 21T] Obtinem

1 = ffJ p2p2sin BdpdBdp = t p4dp fsin BiB (271 dltp = ~L bull In io lo lo middotmiddot 5

b) ] = IfI Jx2 +y2dxdydz unde V = (x y z) Ix + y2 5 z2 05 z5 h

l c Rezolvar~ Domenilll V este interiorul unui con circular deci intersec1ia cu ~ fiecare plan z = canst este cere ceca ee ne c1etermina slt folosim coardonatele

-1 ( 2lt 2 cilindrice (p ltp z) Inccuatiile domeniului V ne eondue la ~ c Tn z11 cent

115 Exercitij propuse

O5p5z V intergrafic proiect abil pe planul-P E [0 2~] care definese un domeniu z E [011] variabiJelor (p z)

V = (p ltp z)l (1 z) ED 0 $ p 5 z

unde D = 10 21i] X [0 hI Deci

2 dz ] jl p2dpdpdz = 1fv dltpdz 10 p dp == ffv dP =

1 27 1 (~7f r 3 1 121r z41 1 1Th433 0 d9 z dz = 3 lo dtpmiddot lo z dz = 3tp ~ 0 4 0= 6 bull 0

115 Exercitii propuse

1) Sa se (aculcze

a) 1f (1 - x) (1 - xy) dxdy D 0 5 x 5 1 0 5 y 5 Ij

D

b) II -y-dJcly D = [01] x [01] 1 +xy

D

jfic)

1 elx yJydyj

[ 0 r2

d) II jTfidxdy D este mfuginit de dreaptele x + y -1 = 0 Y = 0 x = OJ

D 2e)Jf[ ydTdy D este marginit de dreapta y = 1 secti parabola y = X j

D

f) II Jxy - y2 ddy D este patrulaterul eu Arfurile A (1 1) B (51) (10 2)

D D (22)

g) II dxdy unde D ($te dat dex2 +y2 -2y5 0 x ~O D Y

1)) II arcsin 7 + ydxdy unde D cpte 1larginitd~ x +y = O x+ Y = 1

D Y = -1 Y = 1

4 1 dx 1-1 JiYdy = R a) i b) I = 22 - J3 - 1 c) I = 27 d) I = 0 0

1

~ Io x1 2 (1 _ = j~ (~~) = 21 e) I = ~ 1)3 2 dx

f) Domeniu proiectabil pe OyJ = 1~2