1Abstract— This work presents a methodology to determine the behavior of the power through the networks of the Electric Power Systems (SEP) based on the load behavior that can be characterized by the static model ZIP, which has components of constant impedance, constant current and constant power, which are estimated by the method of least squares that are considered as a problem of nonlinear optimization (NLP). The problem approach begins with the location of phasor measurement units (PMUs) within the SEP, posing an optimization problem that is solved by mixed linear programming (MILP) subject to observability constraints. Then an AC power flow is proposed, which is solved by the Newton Raphson approximation algorithm, to determine the initial operating conditions in the bars, where the PMUs are to be installed. Finally, the problem of optimization with least squares is proposed to estimate the coefficients of impedance, current and constant power, which together with the synchrophasor data presented by the PMUs allow to characterize the load in the installation bars and through the characteristics of the load I was able to study the behavior of the power flow through the SEP networks. As a practical case, this methodology is developed in the 9-bar system of the IEEE.

Keywords—Load characterization, PMUs, ZIP model.

I. INTRODUCCIÓN L análisis del flujo de potencia (FP), dentro de los sistemas eléctricos de potencia (SEP), es una herramienta

fundamental para realizar modelación, análisis, control y operación de sistemas de transmisión y distribución [1], [2]. Al ser un eje principal en los estudios del sistema eléctrico, es fundamental para resolver condiciones en estado estacionario y planificación de corto y largo plazo de los SEP [3]–[5]. En [6], por ejemplo se propone una planificación de las redes de transmisión basándose en estudios de flujo de potencia AC. La mejor forma para analizar los flujos de potencia es modelar el sistema eléctrico con ecuaciones de flujo de potencia clásicas (modelo AC y DC) [4]. El modelo AC es un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales, basadas en las leyes de Kirchhoff de redes eléctricas, que representan la inyección de potencia real y reactiva en cada nodo [4], [5]. Algoritmos iterativos son utilizados para resolver las ecuaciones no lineales del modelo AC, sin embargo, debido a las características inherentes de las mismas, su convergencia se dificulta consumiendo demasiado tiempo para encontrar una solución lo que limita su aplicación en sistemas a gran escala

A. Sánchez, Universidade Politécnica Salesiana, Pichincha, Quito, Ecuador, asanchezc2@est.ups.edu.ec

D. Carrión, Universidade Politécnica Salesiana, Pichincha, Quito, Ecuador, dcarrion@.ups.edu.ec

[3], [4]. Los algoritmos que permiten el cálculo de flujos de potencia se dividen en dos clases, el método unificado y el método secuencial [7]. El método unificado resuelve los flujos de potencia AC y DC al mismo instante, al contrario el método secuencial lo realiza en cada iteración [7]. Por otro lado el modelo DC de flujo de potencia se plantea como un problema lineal, descuidando los flujos de potencia reactiva y asumiendo que las magnitudes de voltaje en las barras son planas [5]. El modelo DC es ampliamente utilizado en análisis de sistemas de potencia debido a que sus características de linealidad permiten una solución más rápida que el modelo de flujo AC [3], [5]. Muchos estudios consideran una combinación del modelo AC y DC en la solución de un problema; por ejemplo en [8], a partir del modelo de Flujo AC se simplifica el análisis de capacidad de transferencia disponible y luego se compara el comportamiento que se presenta realizando el cálculo mediante el Flujo DC. Por otro lado en [5], mediante un enfoque hibrido entre los dos modelos, se reduce los requerimientos de tiempo del modelo AC y las imperfecciones del modelo DC.

En el funcionamiento seguro de los SEP es necesario el monitoreo adecuado de las magnitudes de voltaje, corriente y frecuencia [9], [10]. Unidades de medición fasorial (PMUs) se despliegan en los diferentes nodos de los SEP para obtener mediciones en tiempo real de varios puntos remotos de los sistemas eléctricos [11], [12]. Las PMUs son dispositivos que proporcionan mediciones sincronizadas de los fasores de tensión y corriente dentro los SEP [13]–[15]. Mediante el sistema de posicionamiento global (GPS) se puede sincronizar las mediciones en redes de área amplia con una precisión en el orden de los microsegundos, permitiendo el monitoreo dinámico de los estados del sistema [10], [16]–[19]. Las mediciones deben ser suficientes para permitir que el sistema sea completamente observable con la mínima cantidad de PMUs debido a que su implementación en cada nodo de la red se presentaría como un costo muy elevado [13], [14], [20]. Un sistema es observable cuando existe la cantidad suficiente de datos para determinar su estado [20]. En varios estudios que se han realizado sobre ubicación óptima de PMUs se ha considerado diferentes restricciones como: límites de propagación de incertidumbre [18], número de canales de medición [17], interrupciones [9], fiabilidad de la observabilidad [16]. El despliegue de las PMUs, para obtener la mayor observabilidad de los SEP, se formula como un problema de optimización que puede resolverse por medio de varios métodos [21], [22], por ejemplo: programación lineal entera mixta (MILP) [18], [16], [21], enjambre de partículas binarias (BPSO) [23], enjambre de gato binario (BCSO) [24],

Modeling of the Behavior Power Flow on Transmission Lines Based on Voltage and

Current Synchronopasors A. Sánchez, D. Carrión

E

1142 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 4, APRIL 2018

algoritmo binario de murciélagos de Taguchi (TBBA) [25], Búsqueda Tabú recursiva (RTS) [26].

En el estudio de los SEP, el modelado de la carga tiene gran importancia al igual que los otros modelos del sistema eléctrico, por lo que es importante conocer su comportamiento a partir de los de datos de sincrofasores [27], [28]. Un modelo de carga es un representación matemática que relaciona la magnitud y frecuencia de voltaje de una barra con respecto a la potencia o corriente que circula hacia la carga de la misma barra [29], [30]. Los estudios de carga han considerado dos enfoques básicos para su modelado: modelos basados en medición y modelos basados en componentes [31], [32]. En el enfoque basado en medición se dispone de datos reales del sistema en estudio permitiendo una supervisión dinámica directa, mientras que el enfoque basado en componentes no requiere mediciones de campo y utiliza información analítica para describir las características de carga del sistema [32]. En la literatura se proponen dos modelos de carga bien desarrollados y aplicados; el modelo de carga estática y el modelo de carga dinámica [30], [33]. Los modelos de carga estática representan, mediante funciones algebraicas, las características de dependencia de tensión de una carga de los sistemas eléctricos en un instante de tiempo, mientras que los modelos de carga dinámica se utilizan para representar el comportamiento dinámico del sistema, mediante ecuaciones diferenciales [30], [31], [33]. Para los análisis de flujo de potencia el modelo ZIP de carga estática, representado como una función polinómica que combina las características de impedancia, corriente y potencia constante, es el más recomendado [33], [34]. Adicionalmente en modelo de carga ZIP es necesario estimar los parámetros de impedancia, corriente y potencia del modelo por medio de un problema de optimización pero el método de mínimos cuadrados es el más utilizado por su sencillez en la aplicación [31].

En este trabajo se propone un problema de optimización basado en programación lineal entera mixta para determinar la cantidad y ubicación optima de PMUs dentro del SEP de modelo de 14 barras de la IEEE, considerando las reglas de observabilidad, para obtener los datos de los sincrofasores de tensión y corriente brindados por las PMUs. Posteriormente se plantea el modelo ZIP para realizar la caracterización de las cargas, como un modelo de impedancia constante, corriente constante y potencia constante, en las diferentes barras del sistema. Por último, con los datos obtenidos de las PMUs y las cargas previamente caracterizadas se procede a calcular los FP a través de las líneas de trasmisión, planteando un problema de flujo de potencia AC.

Este artículo se encuentra organizado de la siguiente manera: La sección II presenta el estado del arte de los temas abordados en el artículo: Flujos de potencia AC/DC, reglas de observabilidad y modelado de carga. La formulación del problema, seudocódigo de los algoritmos utilizados, función objetivo y restricciones se presenta en la sección III. En la sección IV, se desarrolla las simulaciones y los casos de estudio. Finalmente, en la sección V se presentan conclusiones.

II. UBICACIÓN DE PMUS La ubicación de las PMUs en los buses del SEP permite

obtener datos de la tensión fasorial en el bus y las corrientes fasoriales de las ramas salientes [14], [20]. La instalación de PMUs debe obedecer a cuatro reglas de observabilidad derivadas de la ley de ohm.

Regla 1: todas las barras conectadas a la barra observable, se vuelven observables [14], [35].

Regla 2: la corriente de una rama se puede calcular, si se conoce el fasor de voltaje en sus dos extremos [14], [35].

Regla 3: una barra, que no se encuentre conectada a las barras observables, puede ser calculada [14], [35].

Regla 4: una barra no observable con inyección cero, al ser conectada en una barra observable, se vuelve observable [14], [35].

Figura 1. Gráfico conceptual de modelación del flujo de potencia basado en sincrofasores

El problema de ubicación de PMUs se formula mediante programación lineal entera mixta, donde las variables de decisión (0,1) determinan si el bus es adecuado para la instalación de la PMU, conservando en todo momento observabilidad y economía del sistema [35], [36], [19].

El objetivo del problema es encontrar el menor número de PMUs que deben ser instalados conservando la observabilidad del sistema. De esta manera la función objetivo viene planteada en la ecuación (1).

(1)

III. CARACTERIZACIÓN DE LA CARGA El modelo de carga estática es un factor importante en el

diseño de los SEP para obtener el comportamiento adecuado del funcionamiento del sistema [37]. Las cargas de potencia activa y reactiva se utilizan constantemente en las modelaciones de flujo de potencia de los SEP, considerando que los valores de corriente, voltaje e impedancia de las cargas no son constantes en el tiempo, es necesario utilizar un

SÁNCHEZ AND CARRIÓN : MODELING OF THE BEHAVIOR POWER FLOW 1143

modelo que presente simplicidad en su estimación [28], [37]. El modelo comúnmente utilizado en las simulaciones es el modelo ZIP [28].

A. Modelo ZIP Este modelo representa la potencia de carga de un sistema

como una función polinómica de los voltajes mediante una suma que combina impedancia constante (Z), corriente constante (I) y potencia constante (P). Sin embargo, debido a que en una simulación real la potencia activa y reactiva depende del voltaje y la frecuencia se agrega un término que hace referencia a la variación de frecuencia dentro del sistema como se muestra en (2) y (3).

(2)

(3)

Donde:

; Potencias activas, reactivas y voltaje en estado estacionario.

; Potencia activa, reactiva y voltaje. ; Parámetros de carga de impedancia constante. ; Parámetros de carga de corriente constante. ; Parámetros de carga de potencia constante. ; Parámetros de sensibilidad de frecuencia.

En este trabajo la dependencia de la carga de las

variaciones de frecuencia no es tomada en cuenta, ajustando las dos últimas constantes . De esta manera el modelo de carga se reduce a las ecuaciones (4) y (5).

(4)

(5)

Sujeto a: (6) (7)

B. Estimación de los coeficientes del modelo ZIP

Los coeficientes del modelo ZIP se puede extraer por diferentes métodos, sin embargo, el método de mínimos cuadrados restringido es comúnmente utilizado debido a su simplicidad en el proceso de estimación. En [32], se propone el cálculo de los coeficientes del modelo ZIP planteando la ecuación (8) como función objetivo que debe ser minimizada.

(8)

Donde: Son los voltajes y potencias consumidos

correspondientes a una barra del sistema. Asumiendo que los valores de se encuentran en p.u. se puede simplificar obteniendo la ecuación (9).

(9)

Derivando la ecuación (9) con respecto a cada uno de los parámetros del modelo ZIP ( ) e igualando a cero se obtiene un sistema de 3 incógnitas y 3 variables, que debe ser resuelto.

(10)

(11)

(12)

Simplificando cada una de las ecuaciones se puede desarrollar ecuación matricial (13). Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (13) se puede extraer los coeficientes ZIP para el modelo de carga estática.

(13)

IV. FLUJO DE POTENCIA AC Los componentes de un SEP muestran un comportamiento

AC donde la potencia activa y reactiva en cada nodo de la red viene denotada por las ecuaciones (14) y (15).

(14)

(15)

Donde: ; Magnitud de voltaje en el bus .

); Componentes real e imaginario de la matriz de admitancia ( ) correspondiente a la reactancia y conductancia de la línea de transmisión que conecta el con el .

; Angulo de voltaje en el . En cada bus se conocen dos de las cuatro variables

dependiendo del tipo de bus y las variables restantes se pueden obtener resolviendo un sistema no lineal de ecuaciones. Debe haber el mismo número de ecuaciones y de incógnitas para

1144 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 4, APRIL 2018

resolver el conjunto de ecuaciones, estas ecuaciones se pueden se formulan dependiendo del tipo de bus.

Bus de carga (bus PQ)

(16)

(17)

Bus del generador (bus PV)

(18)

V. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este trabajo se propone como caso de estudio el sistema de 9 barras de la IEEE de la fig. 2, donde se plantea en primer lugar la ubicación de PMUs, basado en las cuatro reglas de observabilidad, mediante un problema de optimización entera lineal mixta (MILP).

Como segundo punto se plantea realizar el flujo de potencia del sistema presentado en la fig. 2, para determinar condiciones iniciales de voltaje, corriente y potencia, en cada una de las barras del sistema.

Con los parámetros iniciales de voltaje, potencia y corriente en las barras determinadas óptimas para la ubicación de las PMUs se procede a determinar los del modelo ZIP, a través del método de mínimos cuadrados presentado en la ecuación (9). Por medio de los coeficientes , , es posible caracterizar la carga, en las barras de observación. Las potencias activa y reactiva de las ecuaciones (4) y (5) permiten observar el comportamiento del flujo de potencia a través de las líneas de transmisión ya que en ellas se encuentran las características de la carga de las barras que observa cada una de las PMU.

Figura 2. Modelo IEEE de 9 barras

Los parámetros estándar del sistema presentado en la figura

2 se muestran en la tabla 1 y 2. Teniendo en cuenta lo descrito anteriormente se inicia con la ubicación de la cantidad mínima de PMUs mediante la ecuación (1), sujeto a las restricciones de observabilidad que se presentan dentro del sistema.

(19)

Sujeto a:

(20)

Donde: ; Es el costo de instalación de la PMU en el bus i. Asumiendo que

=1, si la PMU es instalada en el bus i 0, caso contrario.

; Representa las funciones que contienen las restricciones de observabilidad.

TABLA I

VALORES INICIALES EN LAS BARRAS DEL MODELO IEEE DE 9 BARRAS

Barra No.

PG (MW) QG (Mvar) PL

(MW) QL

(Mvar) V (p.u.)

1 0.0 - 0.0 0.0 1.04 2 163 0.0 0.0 0.0 1.025 3 85 0.0 0.0 0.0 1.026 4 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 5 0.0 0.0 125 50 1.0 6 0.0 0.0 90 30 1.0 7 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 8 0.0 0.0 10 350 1.0 9 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

TABLA II

IMPEDANCIAS ENTRE NODOS DEL MODELO IEEE DE 9 BARRAS

Algoritmo 1: Ubicación de PMUs Paso 1: Ingreso de datos Matriz de conectividad. Paso 2: Función objetivo. for i=1 → # barras costo de instalación end Paso 3: Restricción de observabilidad para cada nodo. for i=1 → # barras máxima observabilidad end Paso 4: Representar barras de ubicación de PMUs

Barra No. Resistencia Reactancia Admitancia de

mitad de Barra i Barra j (p.u) (p.u) línea

1 4 0.0 0.0576 0.0

4 6 0.017 0.092 0.079

4 5 0.01 0.085 0.079

5 7 0.032 0.161 0.152

7 8 0.0085 0.072 0.0745

8 9 0.0119 0.1008 0.1045

6 9 0.039 0.17 0.179

2 7 0.0 0.0625 0.0

3 9 0.0 0.0586 0.0

SÁNCHEZ AND CARRIÓN : MODELING OF THE BEHAVIOR POWER FLOW 1145

El segundo problema considera la determinación de las condiciones iniciales del sistema, corrientes, voltajes y ángulos en cada barra. Mediante (14) y (15) se procede a plantear un modelo de flujo de potencia AC con un sistema de ecuaciones no lineales que puede ser desarrollado por el método de Newton Raphson (NR).

Algoritmo 2: Flujo de Potencia de Newton Raphson Paso 1: Ingreso de datos Datos de P y Q en las barras. Datos de líneas. Ordenamiento de las barras Error de tolerancia. Paso 2: Valores iniciales Voltajes iniciales en las barras Cálculo de Paso 3: Cálculo diagonal matriz Jacobiana

Paso 4: Cálculo elementos fuera de la matriz Jacobiana

Paso 5: Cálculo P y Q a través de la matriz Jacobiana

Paso 6: Obtener correcciones

Paso 8: Actualizar valores de variables de estado.

Paso 9: Si ( regrese al paso 3 Paso 10: Presentar resultados

El tercer problema que se presenta es la estimación de los parámetros y , presentados en (6) y (7) para realizar la caracterización de la carga en los nodos localizados como óptimos para la instalación de las PMUs. Estos parámetros corresponden a los coeficientes de impedancia constante, corriente constante y potencia constante de los

cuales depende el modelo (4) y (5) para la caracterización de la carga en los nodos que son observados por las PMUs. Posteriormente por medio de la potencia activa y reactiva caracterizada se puede observar el comportamiento del flujo de potencia en las redes del sistema.

La estimación de los parámetros de impedancia, corriente y potencia constante viene se puede plantear como un problema de optimización que se presenta en (9), que puede ser resuelto por medio del método de mínimos cuadrados.

Algoritmo 3: Parámetros del modelo ZIP Paso 1: Ingreso de datos Parámetros de condiciones iniciales P, V. Voltajes de una determinada muestra. Paso 2: Función objetivo. for i=1 → # datos Cuadrado de la sumatoria de los voltajes obtenidos end Paso 3: Restricción de observabilidad para cada nodo. Sumatoria de coeficientes = 1 Paso 4: Presentar los coeficientes de impedancia, corriente y potencia constante. Los datos de condiciones iniciales de operación se obtienen del flujo de potencia AC resuelto mediante el algoritmo 2 mientras que para obtener la muestra para el caso de estudio se realiza mediante datos aleatorios de voltajes y corrientes, dentro de un rango de tolerancia de variación en cada una de las barras que son observadas por las PMUs.

VI. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS En el sistema de la IEEE de 9 barras mostrado en la figura

2, mediante el problema de optimización y las condiciones respectivas de observabilidad se resuelve instalar en total 3 PMUs en total para garantizar la observación total del sistema, mismas que deben ser instaladas en las barras 3, 4 y 7 respectivamente.

Mediante la instalación de las PMUs se puede obtener información de los fasores de tensión, corriente y ángulos de desfase, los mismos que pueden ser guardados en una base de datos para realizar estudios del sistema en cualquier instante de tiempo.

Posteriormente, se procede a calcular las condiciones iniciales del sistema, planteando un problema de flujo de potencia AC que puede ser resuelto por medio del algoritmo de aproximación de NR para determinar las magnitudes de voltaje, corriente, potencia activa y reactiva en todo el sistema.

En la figura 3 se presenta los resultados del flujo de potencia AC resuelto mediante el algoritmo de aproximación de NR. Asumiendo al sistema las bases de 230kV en la parte central del sistema y una potencia aparente de 100 MVA, es posible determinar los valores reales para las corrientes en los diferentes ramales y los voltajes en las diferentes barras. Se presenta además las barras en las que se encuentran ubicadas las PMU mediante las cuales se puede obtener los datos de los sincrofasores para realizar el estudio del comportamiento del

1146 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 4, APRIL 2018

flujo de potencia mediante las características de impedancia corriente y potencia de la carga que se puede modelar en cada una de las barras donde se encuentran ubicadas.

Los parámetros de tensión y corriente en las barras 3, 4, y 7 permiten obtener las condiciones iniciales para resolver el problema de estimación de los coeficientes , teniendo en cuenta que los voltajes nominales en la barras son: 230kV en las barras 4, 7 y 13.8 kv en la barra 3.

Figura 3. Flujo de Potencia Resuelto

Algoritmo 4: Caracterización de la Carga Eléctrica Paso 1: Valores iniciales del flujo de potencia

Paso 2: Datos de y en tiempo.

Paso 3: Estimación de coeficientes.

Paso 4: Calculo de for i=1 → # barras

end

Paso 3: Repetir el paso 2 para cada barra Paso 4: Representar el comportamiento de la carga

Los coeficientes de impedancia, corriente y potencia varían en cada barra debido a las diferentes características de las cargas en las barras en las que se encuentran conectadas. Teniendo en cuenta esto se tiene los siguientes coeficientes para cada barra:

Barra 3:

Barra 4:

Barra 7:

La caracterización de la carga según (4) y (5) se procede a realizar completar con los coeficientes estimados de que representan a la carga con componentes de impedancia, corriente y potencia constante del 20%, 43.7% y 44.3% respectivamente para la barra 3. Del mismo modo en la barra 4 se presenta coeficientes en las barras 4 y 7, con 14.6%, 42.3%, 43.1% y 15%, 42.2%, 42.9% respectivamente.

Asumiendo valores aleatorios de tensión y corriente en las barras se estima un posible comportamiento del SEP y estudiar el comportamiento del flujo de potencia mediante la caracterización de la carga.

Figura 4. Comportamiento de la Potencia Reactiva en las barras medidas

Figura 5. Comportamiento de la Potencia Reactiva en las barras medidas

SÁNCHEZ AND CARRIÓN : MODELING OF THE BEHAVIOR POWER FLOW 1147

VII. CONCLUSIONES En este trabajo se desarrolla una metodología para modelar

el comportamiento del flujo de potencia en las líneas de transmisión, planteando un problema de ubicación de PMUs para desplegar los dispositivos de forma óptima en todo el SEP, de forma que se obtenga una observabilidad completa del mismo y la solución se presenta mediante programación lineal entera mixta (MILP). Mediante el algoritmo de Newton Raphson se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales del modelo de flujo de potencia AC planteado para obtener las características de tensión, corriente y ángulo, en las barras donde se implementan las PMUs. Por último se realiza la caracterización de la carga por medio de un modelo ZIP de carga estática, planteando en primer lugar un problema de mínimos cuadrados para estimar los coeficientes de impedancia, corriente y potencia del modelo.

La metodología presentada se pone a prueba en el modelo IEEE de 9 barras para ubicar las PMUs de forma óptima y, por medio de datos aleatorio de tensión, estimar los coeficientes del modelo ZIP, que permite caracterizar la carga, donde mediante las componentes de potencia activa y reactiva, se obtiene la información del flujo de potencia a través de las líneas de transmisión.

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1148 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 4, APRIL 2018

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Alex Javier Sánchez (Y’ 1993- M’08). He received the B.S.in Electrical Engineering in Universidad Politécnica Salesiana and He is menber of GIREI research group. His major research interet include transmission expansion planning and smart grids. (e-amil: asanchezc2@est.ups.edu.ec)

Diego Francisco Carrión (Y’ 1981- M’09). He received the B.S. in Electrical Engineering in Universidad Politécnica Salesiana. He currently working toward his PhD degree in Engineering with the Universidad Pontificia Bolivariana – Medellín – Colombia and He is member of GIREI research group. His major interest include fault diagnosis on electrical

transmission systems, smart grids, renewable energy systems and energy efficiency. He is a professor of Universidad Politécnica Salesiana – Ecuador. (e-mail: dcarrion@ups.edu.ec)

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