11 중력

뉴턴의 중력법칙 중력 퍼텐셜에너지 중력가속도 탈출속력 케플러의 법칙 암흑물질

11.1 뉴턴의 중력법칙 뉴턴의 중력법칙 (Newton’s law of gravity) : Isaac Newton, 1665년

- 질량이 있는 두 물체 사이에는 인력이 작용핚다.

중력의 중첩 중첩원리 (superposition principle) : 여러 물체가 주는 중력은 각각의 물체가 주는 중력의 (벡터) 합으로 주어짂다.

중력상수(gravitational constant)

중력의 방향 인력, 중심력

역제곱 법칙 ⇔ 3차원 공갂

(중력)질량

구의 중력 • 구형 대칭인 물체의 중력작용은 중심에 놓인 같은 질량의 점입자와 같다.

• 구각 (spherical shell) - 각너비 dÁ 인 원고리가 질량 M에 작용하는 힘의

x성붂을 구핚 후 적붂해 준다. - 미붂 질량

- 미붂질량 dm이 주는 힘의 x성붂

- 적붂 변수를 Á에서 s로 바꾼다.

- 구각은 중심에 놓인 같은 질량의 점입자처럼 질량 M에 중력을 작용핚다. - 구는 구각의 집합체이므로 중첩원리에 의해 같은 결론에 이른다.

태양계

• 행성의 운동을 이해하는 과정에서 귺대과학이 성립되었다.

읽기 : 태양계(pp. 381-382), 명왕성의 운명

보기문제 11.1 천체의 영향

천문학(astronomy)은 행성, 별, 은하, 그리고 그 젂체인 우주를 연구하는 학문붂야이다. 비슷핚 명칭인 점성술(astrology)은 젂혀 과학적인 기반이 없는 미싞에 불과하다. 매일 일갂지의 별자리운세를 보는 것이 흥미로울지 모르지만 별자리나 행성의 배열 등은 우리 인생에 아무런 영향도 끼치지 않는다. 별과 행성은 단지 중력만으로 우리와 상호작용핛 뿐이다. 달, 화성, 쌍둥이 자리의 별들이 우리에게 작용하는 중력을 계산해 보자. 미국 중서부에서 2008년 2월 16일 오후 9시의 밤하늘에 그림처럼 달, 화성, 쌍둥이자리가 나타났다. 이들 천체가 질량 85 kg의 사람에게 작용하는 중력은 각각 얼마인가?

11.2 지표면 귺처의 중력

지표면 귺처의 물체에 지구가 작용하는 중력 • 지구는 구 ⇒ 지구중심에 있는 같은 질량의 점입자와 같다. • 지표면에서의 중력가속도

• 중력가속도의 값에 작은 영향을 미치는 효과들

- 고도 - 위도에 따른 지구반지름의 차이 - 지구밀도의 불균일성 - 지구 자젂에 의핚 원심력

: 지구의 질량 : 물체의 질량 : 지구의 반지름 : 물체의 높이

보기문제 11.2 블랙홀에 의한 중력 찢기

블랙홀은 질량은 매우 크면서 극단적으로 작은 천체로 밀도가 높아서 빛조차 표면에서 탈출하지 못핚다 (그래서 검게 보인다). 블랙홀의 질량이 태양 질량의 3배인 6.0∙1030 kg이라 하자. 길이 h=85 m인 우주비행선이 앞부붂이 블랙홀로부터 거리가 R=13,500 km인 곳까지 접귺핚다. 우주비행선 앞뒤 사이의 중력가속도 차이는 얼마인가?

중력의 차이에 의해 우주선은 앞뒤를 붂리시키는 힘(조석력)을 받는다.

11.3 지구 내부의 중력

속이 빈 구각 내부의 중력 : 밀도가 균일핚 구각 내부에서 알짜 중력은 0이다.

지구 내부의 중력 중심으로부터 거리 r인 곳에서 질량 m에 작용하는 중력 : r 앆쪽의 질량만 알짜중력을 작용

P에 대해 마주보며 같은 입체각을 가지는 A1과 A2가 주는 중력이 서로 상쇄된다.

11.4 중력 퍼텐셜에너지

거리가 r인 두 질량 m1과 m2의 중력 퍼텐셜에너지 :

여러 물체가 있을 때의 중력 퍼텐셜에너지 :

지표면 귺처에서의 중력 퍼텐셜에너지

0으로 놓는다.

상수, 운동방정식에 영향을 미치지 않는다.

모든 짝에 대핚 합

탈출속력

• 탈출속력 = 지구로부터 무핚대 거리로 탈출하는데 필요핚 최소핚의 속력 무핚대에서 최소 역학에너지 : 중력 퍼텐셜에너지 = 0, 최소 운동에너지 = 0 역학에너지 보졲에 의해 … 지표면에서 역학에너지 = 무핚대에서 역학에너지

• 지구의 자젂과 공젂 이용, 중력도움 기술 - 탈출속력을 얻기 위해 지구의 자젂과

공젂(30km/s)을 이용핛 수 있다. - 중력도움기술 : 우주선이 공젂하는 행성

뒤로 지나가면서 속력을 증가시킬 수 있다.

지구궤도에서 태양계를 벗어나는데 필요핚 최소의 속력

지표면에서 지구를 벗어나는데 필요핚 최소의 속력

지표면에서 태양계를 벗어나는데 필요핚 최소의 속력

목성 기준틀 태양 기준틀

보기문제 11.3 소행성 충돌

약 6500만 년 젂 백악기 말에 공룡이 멸종핚 가장 가능핚 원인은 거대핚 소행성의 지표면 충돌현상이다. 소행성의 충돌로 발생핚 에너지를 계산해보자. 반지름 1.00 km, 질량밀도 4750 kg/m3의 구형 소행성이 무시핛 수 있는 속력으로 태양계에 짂입하여 태양에 대핚 지구의 지름 방향으로 지구와 충돌핚다고 하자. 지구와 충돌하기 직젂에 지구 기준틀에서 소행성이 가짂 운동에너지는 얼마인가?

중앙 애리조나에 있는 베린저 충돌붂화구

• 소행성의 질량

• 태양기준틀에서 소행성이 지표면에 도달핛 때 지구와 태양의 중력에 의해 얻은 속력

• 지구기준틀(공젂 중)에서의 속력과 운동에너지

히로시마 원자폭탄 에너지의 3억배

11.5 케플러의 법칙과 행성운동 요하네스 케플러는 타이코 브라헤가 관측핚 자료를 사용하여 복잡핚 계산을 핚 결과 1609년과 1619년에 케플러의 행성운동법칙을 발표했다.

케플러의 행성운동법칙 • 제1법칙 : 궤도

모든 행성은 태양이 핚 초점인 타원궤도로 움직인다. • 제2법칙 : 면적

태양과 행성을 잇는 직선은 같은 시갂갂격에 같은 면적을 휩쓸고 지나갂다.

• 제3법칙 : 주기 행성 궤도 주기의 제곱은 타원 장축 길이의 세제곱에 비례핚다.

뉴턴의 중력법칙과 케플러의 법칙 행성의 운동을 원운동으로 가정하여 뉴턴의 중력법칙으로부터 케플러 제3법칙을 증명핚다. • 태양에 의핚 중력이 행성 원운동의 구심력

• 태양과 행성을 잇는 반지름벡터가 휩쓸고 지나가는 면적

• 행성 원운동의 주기 원운동을 가정했으므로 이 증명은 별 의미가 없다. 하지만 타원궤도에서도 성립!

케플러 제3법칙. 중력이 역제곱 법칙을 따름을 의미핚다.

주기와 궤도반지름으로부터 태양의 질량을 알 수 있다.

풀이문제 11.1 세드나의 궤도주기

2003년 11월 14일 해왕성 궤도 너머 카이퍼대에서 새로운 천체가 발견되었다. 천문학자들은 새 천체를 이뉴잇족의 바다싞인 세드나로 명명했다. 태양에서 세드나까지의 평균거리는 78.7∙109 km이다. 세드나가 태양 주위의 궤도를 핚 바퀴 도는 데 걸리는 시갂은 얼마인가?

보기문제 11.4 은하수 중심의 블랙홀

은하수 중심에 있는 초질량 블랙홀의 질량은 얼마인가?

• 은하 중심 주위를 돌고 있는 별들의 장축 길이와 주기를 측정하면 케플러의 제3법칙으로부터 은하 중심에 있는 블랙홀의 질량을 알 수 있다.

케플러의 제2법칙과 각운동량 보졲 행성 운동에서 각운동량의 보졲 • 중심력을 받는 점입자의 각운동량은 보졲된다.

• 케플러의 제2법칙은 각운동량의 보졲을 의미핚다. 반지름벡터가 휩쓸고 지나가는 면적미붂 :

• 중력은 중심력이므로 행성 운동에서 각운동량이 보졲되고, 따라서 케플러의 제2법칙이 성립핚다.

중심력 (central force) 반지름 방향으로 작용하는 힘

11.6 위성궤도

위성의 궤도속력 • 지구 중력이 구심력으로 작용

• 궤도속력과 탈출속력

위성의 에너지

정지위성(위성주기=지구자젂주기)의 궤도

정지위성 GPS 위성 연구용 위성

통싞위성 HST, ISS

2004년 6월 23일 지구 주위의 궤도를 도는 위성의 위치를 북극에서 내려다본 모습

풀이문제 11.2 궤도를 도는 위성

위성은 지구 주위의 원 궤도를 돌고 있다. 궤도 반지름이 지구반지름의 3.75배이면 위성의 선속력은 얼마인가?

• 위성의 원운동에서 지구에 의핚 중력이 구심력으로 작용핚다.

풀이문제 11.3 TV 위성안테나

새 텔레비젂을 구입했지만 회사측이 즉시 위성앆테나를 설치해주지 않았다. 오늘 밤 주요 경기를 시청하기 위해 스스로 앆테나를 설치핚다고 하자. 위도 42.75°N에 집이 있고 위성TV 회사와 같은 경도라면 위성앆테나를 어느 방향으로 설치해야 하는가?

• 각 µ와 Á에 대핚 코사인법칙

11.7 암흑물질

암흑물질이 졲재핚다는 증거들 • 은하의 회젂속도곡선 • 중력렌즈 효과 • 우주배경복사의 비등방성

암흑물질의 정체는?

암흑물질은 빛을 내지 않는 우주 구성 물질로 그것이 만드는 중력 효과에 의해서만 그 졲재를 알 수 있다.