1 Tensao Normal

8/6/2019 1 Tensao Normal

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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II CIVIL UGB NOVA IGUAUPROF : FRANCISCO ABREU

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2.0 TRAO/COMPRESSO PURANeste captulo estudaremos o comportamento das peas prismticas (barra

retas) submetidas a um estado de trao (ou compresso) pura, onde o nico esforsolicitante presente a fora normalN.

2.1 FORA NORMALA fora normal N a resultante dos esforos locais atuantes sobre a seo, na

direo que lhe perpendicular (Fig. 21-a). Segundo a conveno de sinais adotada, atenso ser (+) no caso de trao, e (-) no caso de compresso.

A Fig. 21-c apresenta, para a pea esquematizada em b, o diagrama de esforosolicitantes que informa o valor da fora normal em cada seo, em funo de suposio na pea (o efeito do preso prprio foi levado em considerao).

O caso comum de peas em equilbrio, submetidas, nica e exclusivamente, ao de apenas 2 foras, implica necessariamente em que essas duas foras sejadiretamente opostas. Assim que sistemas compostos de barras articuladas, cocargas externas aplicadas nas articulaes(ns) so estruturas (trelias) nos quais seuselementos so submetidos, exclusivamente, trao ou compresso.

Os mtodos de determinao dos esforos nas barras de uma trelia sapresentados nos cursos de Mecnica Geral (Isosttica mtodo das sees e mtododos ns)

T1=30 kN

P1 = 5 kN

C1 = 20 kN

P2 = 10 kN

C2 = 20 kN

+

_

Nem kN 30

2515

25

(a) (b) (c)

Fig. 21 Trao (ou compresso). Fora Normal. Diagrama de Fora Normal.


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2

P P P

P/2 P/2

2P 2P

O conhecimento do sentido do esforo (se de trao ou compresso) fundamental levando-se em conta que, enquantopeas esbeltas de ao comprimidaspelos topos correm o risco de uma instabilidade elstica (flambagem),por outro lado,peas de concreto so pouco resistentes trao (necessitando da presena de armadurade ao).

Muitos so os exemplos deelementos estruturaisque trabalham sobtrao oucompresso pura, como ospilares(compresso ), os cabos flexveis ou tirantes (trao),parafusos, reservatrios sob presso, etc.

2.2 TENSO NORMALNa determinao da distribuio das tenses normais ao longo dos pontos d

seo transversal de uma barra reta submetida a esforo normal, faremos ahiptesesimplificadora de que a seo reta permanece plana aps a deformao (hiptese deBernoulli). Isto implica em que asdeformaes especficasdas fibras longitudinaisda barra sejam uniformes e,levando em conta a proporcionalidade entre as tensese deformaes(Lei de Hooke, = E ) para oregime elstico, conclui-se que astenses se distribuiro uniformemente ao longo dos diversos pontos da seo.

X(a) (b)

YZ

Fig. 22 Trelia Simples. a) mtodo das Sees; b) mtodo dos ns


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3

z

L0 yL0 = comprimento inicial

L0

L = L0 + L = comprimento final, deformao especfica y

Da definio de Fora Normal, podemos escrever:

e como foi suposto constante, obtemos: L0

sendo N a resultante desses esforosuniformementedistribudos aplicada nocentrideda rea da seo, j que, sendo o momento fletor nulo nos casos detrao/compresso pura (tanto em relao ao eixo y como ao eixo z), ser correto

escrever:Mz = N . y , My = N . z; masN = dA. como a carga N centrada no hmomentos fletores em relao ao eixos y e z , Mz = 0 e My = 0

Mz = dA . y = 0 e My = dA . z = 0, cte portanto, y dA = 0 e z dA = 0.

A observao experimental confirma os resultados obtidos pela aplicao desmodelo simplificado para o clculo dastenses em sees suficientemente afastadas dospontos de aplicao das cargas externas (Princpio de SaintVenant)ou em regies onde

z alongamento

Nx

L0 = E lei de Hooke

dA

N

Fig. 23 Trao ou Compresso. Tenso Normal no regime elstico(lei de Hooke = tensesproporcionais s deformaes = E ). E =mdulo de elasticidade longitudinal

N = dA

N / A

N = dA N = A


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no haja descontinuidades bruscas nas dimenses da seo transversal ao longo barra (como furos, escalonamentos, etc), que provocam concentrao de tenses.

Como exemplo, analisaremos a estrutura esquematizada na Fig. 24 (aparelho dcarga) composto de uma barra de madeira AB, articulada em A e estaiada em B pum tirante de ao BC, dimensionada para iar uma carga de 1,0 tonelada.

1,00m

300

70 x 70mm 2

d = 15 mm

1 ton

B

A

C

Fig. 24 Pau de Carga.

Na estrutura em anlise (uma trelia simples), abarra AB estar comprimida enquanto o tirante de ao

ficar tracionado.A carga ativa de 1,00 tonelada, aplicada em B,(correspondente a uma fora de 9,81 kN), quandodecomposta nas direes da barra e do tirante (ateno,no confundir o conceito de componente com o deprojeo!) fornece os seguintes valores para os esforosnos dois elementos da estrutura (em kN):

Nbarra = 2 x 9,81 = 19,62; N tirante = 1,732 x 9,81 =16,99.

Para as tenses obtemos:

barra = (19,62x103

) / (70x70x10-6

) = 4,00 MPatirante = (16,99x10 3) / ( x 15 2 x 10 -6 / 4) = 96,14 MPa

16,99 kN

9,81 kN19,62 kN

30

Se adotarmos como tenses limites os valores 230 MPa (trao) para o tirante de aoe 48 MPa (compresso) para a barra de madeira (Tabela 1), avaliaramos os coeficientes desegurana adotados como sendo: (CS) ao = 230 / 96,14 = 2,39; (C/S) madeira = 48 / 4,00 = 12 . Paraa estrutura como um todo, o coeficiente de segurana teria o valor 2,39 ( obviamente o menor ).

Na realidade, a barra de madeira comprimida, por ser longa e esbelta ? , poder estarsujeita, no s ao esmagamento do material (como calculado), mas tambm uma instabilidadeelstica (flambagem). Como veremos adiante, a carga crtica para flambagem de uma barraarticulada nas extremidades, de seo quadrada de lado a , de comprimento l e mdulo de

elasticidade longitudinal E dada pela frmula de Euler : P crtico =2

E a4

/ 12 L2

No caso em anlise P crtico = 2 x 13 x 10 9 x (0,070) 4 / (12 x 2 2 ) = 64,18 kN O (CS) flambagem valeria (CS) flambagem = P crtico / P barra = 64,18 / 19,62 = 3,3 (e no o valor 12, calculadopara o esmagamento).

Foras sobre o n B ( )


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O efeito do peso prprio no caso em anlise (provocando flexo na barra) desprezvel j que, tendo 2,0 m de comprimento e seo 70 x 70 mm2, com um volume de 2x 0,072 = 0,0098 m3 , (isto adotando-se uma densidade 0,69t/m3 Tabela 1).=690kg/m3=m / V, m=6,762 kg que corresponde 6,8 kgf mas como1kgf=9,81Ntem-se 6,8 kgf=66N

No caso de colunas de grande altura, o efeito do peso prprio deve ser levado emconta.Se houvesse variao da fora normal ou da rea da seo transversal, est

variao provocaria modificaes no valor da tenso normal ao longo da coluna qso determinadas pela anlise esttica da pea.

A Fig. 25 a mostra o diagrama de tenses normais para uma coluna em formade troncode cone.No topo, a tenso vale P0 / A0. Na base a tenso ser dada por :

= P 0/A0 + [(A0 + Ah)x h x ] / 2A h], sendo o peso especfico do material.

A Fig. 25 b indica o formato do chamado pilar de igual resistncia (aqueno qual o valor da tenso uniforme ao longo da extenso do pilar).

O equilbrio de foras agindo no elemento de espessura dx nos permite escreveN + A dx = N + dNe portanto,(dN / dx) = A. Como, por hiptese, = N/A

uma constante( * ), dN = * dA e, portanto,( * dA / dx) = A. Separando as variveis,teremos:

(dA / A) = dx, que integrada fornece: A = A0 e x = (P0 / A0) e x

P0P0A0 A0

h h

x

dx

Ah

Fig. 25 a) Pilar em forma de tronco de cone. b) Pilar de igual resistncia (= constante = P0 / A0 )

NA

N + dN


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2.3 DEFORMAESA deformao elstica sofrida por uma barra reta tracionada ou comprimida pode ser calculada, levando em

conta a equao 1.15 aplicada a um elemento infinitesimal, escrevendo-se:

No caso simples de barras de seo uniforme (A constante), submetida a uma fornormal N constante e constituda de um mesmo material, a equao 2.1 se converte eL = N Lo / E A = Lo / E.

Como um primeiro exemplo de aplicao, calculemos o deslocamento sofridpela extremidade B da barra do pau de carga da figura 24, sob a ao da carga de 1tf.

O clculo efetuado poderia ser desenvolvido por consideraes de energia.

(dx) / dx = / E = N / E A,

que fornece a variao da dimensodx representativa da distncia entreduas sees contguas.

Portanto, no clculo daelongao total de uma barra retasubmetida trao/compressoteremos:

Lo

L= (N / E A) dx ..............(2.1)0

O conhecimento de comovariam N, A e E, em funo daposio x de cada seo, permitir adeterminao da elongao totalatravs da integrao definida para

os limites da extenso da barra.

x

dx

N

A

Lo

Fig. 26 Elongao de uma barra reta tracionadaou comprimida.

0,793

A barra AB diminuir seu comprimento em:

Lbarra = (19,62 x 10 3 x 2) / 13 x 10 9 x (70x70)x10 -6 = =0,0006160 m = 0,616 mm;O tirante CB aumentar seu comprimento em:

Ltirante = (16,99 x 10 3 x 1,732)/ 210x10 9 ( x15 2x10 -6 /4) == 0,0007929 m = 0,793 mm.Diante das pequenas deformaes podemos supor amanuteno da geometria quanto aos ngulos (porexemplo, o de 30) e escrever:h =0,793 / tg30 + 0,616 / sen30 = 2,605 mm.

0,616

30

h


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Realmente : o trabalho realizado pela fora-peso da carga, ao deslocar seuponto de aplicao de uma distnciah, para baixo, ficar armazenado, sob a forma deenergia potencial elstica, nas peas deformadas (a barra comprimida e o tirantracionado).

Assim, pode-se escrever: P x h = Nb2 Lb / Eb Ab + Nt2 Lt / Et At

(o fator que aparece nas trs parcelas representa o fato de que as foras so aplicadas estaticamente, crescendolinearmente, do valor zero at o seu valor final).

No caso: 9,81 x 10 3 x h == (-19,62 x 10 3)2 x 2,0 / 13 x 10 9 x (70x70x10 -6) + (16,99 x 10 3)2 x 1,732 / 210x10 9x( 15 2x10 -3 /4)

e, h = 2,605mm.

No presente caso, o efeito do peso prprio da barra (flexionando-a) desprezvel, em presena da intensidade da carga (segundo a tabela 1, o peso da barpoderia ser estimado como: 0,60 x 103 kg/m3 x 9,81m/s2 x 2,0 x (0,070)2m3 = 57,68N).

Deixa-se como exerccio, demonstrar que, para uma

barra prismtica, suspensa por uma das extremidades e

pendendo na vertical sob a ao de seu prprio peso, a tenso

mxima, ocorrente na parte superior onde fixada, independe

das dimenses da seo, sendo diretamente proporcional a seucomprimento. Alm disso, a elongao total sofrida equivale

metade daquela a que uma barra de mesmas dimenses

sofreria se lhe fosse aplicada uma fora igual a seu peso na

extremidade livre.

Fica tambm como exerccio calcular, porintegrao, a elongao sofrida por uma barra em

lo

L Fig. 27 Ao do peso prprio (exemplos)


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2.4 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOSA possibilidade de se determinar as deformaes sofridas pelas barra

carregadas axialmente permitir a soluo de problemas que, por redundncia dvinculao, se tornam hiperestticos (ou seja, aqueles para os quais as equaes dEsttica so numericamente insuficientes para a determinao dos esforovinculares).

Assim que, por exemplo, para a barra bi-engastada representada na Fig. 28, a equao dEsttica disponvel nos fornece, to somente:

R1 + R 2 = P ...................................................... (a),podendo-se presumir que o trecho (1) estar comprimido, e o trecho (2) tracionado.

O levantamento da indeterminao pode ser feito de duas maneiras:A) pela compatibilidade das deslocamentos (deformaes): | 1 |=| 2 |, = RL/EA Como a manuteno da integridade da barra implica em que a diminuio do

comprimento do trecho (1) deva ser exatamente igual ao aumento do comprimento dotrecho (2), poderemos escrever:

R2 x L 2 / E 2 x A2 = R 1 x L1 / E1 x A1 ............................................................( b),que, combinada com (a), forma um sistema de equaes que permite calcular os valores de R1 e R2.

B) pela superposio dos efeitos:Supondo que o apoio da direita fosse retirado, a barra (1) ficaria submetida a um esforo d

compresso de valor P, diminuindo seu comprimento no valor 1 = P L1 / E1 A1. A barra (2) seriaarrastada, deslocando-se por translao, em igual valor. A fora R2 necessria para tracionar a barra(2), para que a sua extremidade da direita volte a tocar o apoio da direita (retornando ao status reateria que ser tal que o deslocamento para a esquerda 1 = P L1 / E1 A1teria quer ser compensado porum deslocamento para a direita 2 = 1,2+ 2,2 tal que 1,2 o deslocamento em 1 provocado pelareao 2 e2,2 o deslocamento em 2 provocado pela reao 2. Assim:

- 1 + 1,2+ 2,2= 0 e 1,2+ 2,2= 1 e como = RL/EA

R2 x L1 / E1 x A1 + R2 x L2 / E2 x A2 = P L1 / E1 A1....................................... .......(b) Nas duas alternativas para soluo obteremos:

A1 ; E1 A2 ; E2

P/2

P/2

R1 R2

Fig. 28 Barra bi-engastada. Problema estaticamente indeterminado.

-

+

R1

R2

L2L1


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R1 = [E1 A1 L2 / (E2 A2 L1 + E1 A1 L2 )] P e R2 = [E2 A2 L1 / (E1 A1 L2 + E2 A2 L1)] Pque, para o caso especial emque E1 = E2, L1 = L2 e A1 = A2, (simetria completa) se converteemR1 = R2 = P/2.

Observao: inicialmente, pode parecer que a segunda maneira de raciocinar seja mais complicada

que a primeira. Isto realmente ocorre neste exemplo. H casos, ao contrrio, em que o uso da superposiodos efeitos se mostra mais apropriado que o da compatibilidade de deslocamentos.

Como segundo exemplo de aplicao, seja determinar as tenses de trao nocabos de sustentao da barra rgida ABC esquematizada na figura 29.

Ax B C

Ay

2,0m 1,0m 1,0m

2,0m

3,5m

12 kN300mm270GPa

200mm2210GPa

A B C

1,2 kN3

54

CB

SoluoAs equaes da Esttica nos do:

Fx = 0 (3/5) C = A x Fy = 0 Ay + B + (4/5) C = 12 (kN)MA = 0 12 x 3 =B x 2 + (4/5)Cx4

e, portanto, trata-se de um problemahiperesttico (o n de incgnitas maiorque o n de equaes da Estticadisponveis), podendo-se escrever:

5B + 8C = 90 (kN) .................... (a)

A suposio de que a barra ABCpermanece rgida enquanto os cabos desustentao se alongam, nos permiteescrever (pela compatibilidade dospequenos deslocamentos ocorrentes):

B/ 2 = C / 4 e C = 2 B

Mas o deslocamento vertical do ponto B( B) a prpria elongao do tirante B( LB) enquanto que o deslocamento verticalda extremidade C da barra pode serdecomposto: numa parte que alonga otirante C (o LC) e outra que o faz girar.Como, pelo ngulo de inclinao do cabo,se tem ( LC = (4/5) C, podemos escrever:

2 LB = (5/4) LC e portanto:

2[(B x 2,0)/70x10 9 x 300x10 -6 ] =

= (5/4)[ (C x 2,5)/210x109

x 200x10-6

]

CLC


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10

Obtendo-se: C =2,56 B, o que, combinado com (a), nos permite calcular:B = 4,190 kN e C = 10,73kN.Ax = (3/5) x 10,73 = 6,436 kN e Ay = - 0,774 kN e [A] = [(6,436)2 + (-0,774)2]1/2= 6,48 kN (forano pino A). As tenses pedidas valero:B = 4,19x10 3/300x10 -6 = 14,0 MPa e C =

10,73x103

/200x10-6

= 53,7 MPa.2.5 INFLUNCIA DA TEMPERATURA Tenses trmicas e de montagem.Como sabido, as dimenses dos corpos sofrem alteraes em funo da variao dtemperatura. A propriedade fsica que estabelece a relao de proporcionalidade, observaexperimentalmente, entre a variao da dimenso longitudinal de uma pea e a variao temperatura correspondente o denominado coeficiente de dilatao trmica linear ( dadopela expresso:

LT = Lo T ..................... (2.2) sendomedido em C-1.

A tabela 1 anteriormente apresentada relaciona os valores docoeficiente de dilataotrmica dos materiaisl listados, destacando-se que, para o ao,ao= 12 x 10-6 C-1.

O espaamento entre os trilhos das ferrovias, ou entre os tabuleiros das ponterodovirias, como tambm a colocao de juntas de expanso em canalizaes de instalaa vapor, so exemplos de providncias adotadas na construo civil e mecnica objetivandeliminar as chamadas tenses trmicas decorrentes de um impedimento para a expanso dosmateriais, decorrentes de variaes de temperatura a que foram submetidos. So tambfreqentes os casos nos quais, para a montagem de peas com interferncia (como luvas eeixos, revestimentos, mancais etc) provocada uma alterao de temperatura parcompatibilizar as dimenses e viabilizar o acoplamento das partes, aps o que, com o retor temperatura original, aparecem as chamadas tenses de montagem .

Exemplo 1 -Imagine uma barra reta, de comprimentoLo, rea de seoAo, materialcom mdulo de elasticidade longitudinal Ee coeficiente de dilatao trmica montada, sem interferncia, em um reparo fixo, indeformvel, com a mesma extenso Lo.Suponha que tal pea, depois de montada, sofresse umacrscimo de temperatura T. Apea, impedida de se expandir, ficar submetida a esforos de compresso. A equao dEsttica disponvel para a anlise do caso apenas nos indicar que a fora normal N qucomprime uma das extremidades ser igual e oposta quela que atua na outra. Trata-se de u

problema hiperesttico. Supondo que a barra fosse liberada de seus vnculos e submetida uma variao de temperatura T, aumentaria o seu comprimentoem LT = Lo T. Supondo agora que a barra dilatada fossecomprimida mecanicamente pelas extremidades, de forma a retornar aseu comprimento original teramos: LM = N Lo / E Ao , o quepermitiria refazer a montagem.Igualando as elongaes (trmica emecnica) obtemos: = N/A = E T (independe das dimensesda barra). Uma pea de ao, impedida de se deformar e sofrendoum acrscimo de 100C, apresentar tenses trmicas de valor = 12x 10-6 x 210x109 x 100 = 252 x 106 N/m2 = 252 MPa(ver tabela1~tenso de escoamento.

N L

Fig. 30 Exemplo 1 Tenses trmicas.


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Soluo (a) Ao ser promovido o acrscimo de 160C na temperatura do conjunto, asduas peas tero tendncia a aumentar seus comprimentos. Se estivessem livres para se

expandir, ao final, ficariam com seus comprimentos diferentes(Ltubo > Lparafuso ). Paraa montagem, o tubo ficar comprimido enquanto o parafuso tracionado. O princpio daao e reao, combinado com o equilbrio de foras nas arruelas, implicar em que afora normal N de compresso no tubo ser igual fora normal N de trao noparafuso (como se v, trata-se de um problema hiperesttico). O levantamento daindeterminao ser feito pela anlise da compatibilidade de deslocamentos(deformaes).

400 mm

d=12

D=18mm

= 10

Tubo deAlumnio

Parafuso deLato

PorcaPasso = 2 mm

Arruela

Exemplo 2 O parafuso de Lato (E = 105 GPa

e = 20 x 10-6 C-1) colocado

dentro de um tubo de alumnio (E =70 GPa e = 24 x 10-6 C-1) com asdimenses assinaladas e montadosem tenses prvias.

Calculeas tenses normaisdespertadas no parafuso e notubo considerando:

a) ;que se d um acrscimo de160C na temperatura do conjunto

b) que se d um aperto porca,com um quarto de volta;c) que as duas condies anterioressejam promovidasconcomitantemente.

Fig. 31 Tenses trmicas e de montagem

LTtubo

LTparaf

LMparaf LMtubo


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(b) Imaginando que o aperto dado porca fosse feito com o tubo desmontado, o

comprimento do parafuso seria reduzido de (1/4) x 2 = 0,5mm. Para a montagem, o

parafuso teria que ser tracionado , enquanto o tubo comprimido(como no caso anterior).

Da mesma forma poderemos escrever:

Lparafuso]trao+ [ LTubo]compresso= 0,5 mme

N(0,4)/105x10 9x( /4)(10) 2 x10 -6 + N(0,4)/70x10 9x( /4)(18 2 12 2)x10 -6 =

0,5 x 10 -3.

N = 5.623N; Tubo 5623 /4)(182 122)x10-6 = 39,8 MPa (C)

Paraf = 5623/( /4)(10)2x10-6 = 71,7 MPa (T)

(c) Por simples superposio dos efeitos teremos:

Tubo 60,2 MPa(C) e : Parafuso 108 MPa(T)

A figura acima mostra que tal compatibilidade de deslocamentos fica configurada no

fato de que, ao final, os comprimentos das duas peas ser o mesmo, tal que:

[( L)Trmico]parafuso

+ [( L)Mecnico]parafuso

= [( L)Trmico]Tubo

- [( L)Mecnico]Tubo

.

Portanto: 20x10 -6 x0,4x160 + N(0,4)/105x10 9x( (10) 2x10 -6=

= 24x10 -6x0,4x160 N(0,4)/70x10 9x( /4)(18 2-12 2)x10 -6

e N = 2.879N.As tenses pedidas valero:

Tubo 2.879 /4)(18 2 12 2)x10 -6 = 20,4 MPa (C)

Paraf = 2.879/( /4)(10) 2x10 -6 = 36,7 MPa (T)

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