1-Tamsayılı Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
-
Upload
cueneyt-karadag -
Category
Documents
-
view
226 -
download
0
Transcript of 1-Tamsayılı Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
1/20
1
Seluk niversitesi
Mhendislik Mimarlk Fakltesi - Endstri Mhendislii Blm
HazrlayanYrd. Do. Dr. smail Karaolan
YNEYLEM ARATIRMASI-2-Tamsayl Optimizasyon-
(Modelleme)
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sermaye Bteleme Problemi)
Bu problemin bir dier ad iseSrt antas Problemidir.
Belirli bir miktar para, igc, enerji, mekan vb.kaynaklarn, bir dnem veya belirli sayda dnemler
iin; hisse senedi, tahvil, yatrm, aratrma-gelitirmetekliflerinin ya da belirli projelerin deerlendirilmesi veseimi gibi benzeri faaliyetlere paylatrlmasna ilikinkarar problemleri, genel olarak sermaye btelemeproblemi olarak adlandrlr.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 2/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
2/20
2
Matematiksel Model
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sermaye Bteleme Problemi)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Karar Deikenleri
1 1 2 3 4
0jj yatrm yaplrsa j , , ,
xdier durumda
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
16 22 12 8
5 7 4 3 14
0 12
Maks Z x x x x
S .T . x x x x
x ,x ,x ,x ,
rnek: Bir firmann yatrm yapabilecei 4 alternatifi vardr, bu yatrmlardanelde edilecek gelirlerin net imdiki deerleri srasyla 16, 22, 12 ve 8 birimdir.Yatrmlar iin u an yaplmas gereken birim harcamalar ise sras ile 5, 7, 4 ve 3birimdir. Firmann yatrmlar iin ayrd toplam para miktar 14 birim olduunagre yatrmlardan elde edilecek net imdiki deeri maksimize edecek tamsaylprogramlama modelini kurunuz.
3/40
Matematiksel Model
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sermaye Bteleme Problemi)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
2 4
1 3
1 2 3 4
16 22 12 8
5 7 4 3 14
2
0
1
0 1
2
Maks Z x x x x
S .T . x x x x
x x x x
x x
x x
x ,x ,x ,x ,
Ek Kst 1: Firma en fazla iki yatrmyapmak istemektedir.Ek Kst 2: Firma drdnc yatrmyaptnda ikinci yatrm da yapmaytercih etmektedir.Ek Kst 3: Firma birinci ve nc
yatrmlar ayn zamanda yapamamaktadr.
1 2 3 4 2x x x x
4 2x x
1 3 1x x
Optimal zm
1 2
3 4
1
0
38
x x
x x
Z
4/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
3/20
3
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Herhangi bir faaliyeti gerekletirebilmek iin, bufaaliyetin seviyesine bal olmakszn bir maliyetekatlanlmasn gerektiren problemlere sabit maliyetproblemi denir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 5/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
retim Problemi:Bir tekstil firmas 3 tip giyecek (gmlek, ort ve pantolon) retmektedir.Her tip giyecein retimi uygun tip tezgahlar gerektirmektedir.Gmlek, ort ve pantolon retimi iin gerekli tezgahlar haftal srasyla200, 150 ve 100 birim karlnda kiralanmaktadr.
Her tip rnn 1 adetinin gerektirdii kuma ve iilik miktarlar ile birimdeiken maliyeti ve birim sat fiyat aadaki tabloda verilmitir.Her hafta 150 saat iilik ve 160 metrekare kuma mevcut olduuna grefirmann haftalk karn maksimum yapacak tamsayl programlamamodelini kurunuz.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
rn ilik (saat) Kuma Sat Fiyat Deiken Maliyet
Gmlek 3 4 12 6
ort 2 3 8 4
Pantolon 6 4 15 8
6/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
4/20
4
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Ayrca tezgahlarn kiralanmas,rnlerin retim miktarndan bamszolmakta ve sadece ilgili rnn retilipretilmemesi kararna bakmaktadr.
yleyse modelde kullanlmak zereaadaki deikenlerin de tanmlanmasgerekir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Karar Deikenleri
1
2
3
1
1
1
x haftada retilecek gmlek miktar
x haftada retilecek ort miktar
x haftada retilecek pantolon miktar
Karar Deikenleri
1
1
0
gmlek retilirsey
dd
21
0
ort retilirse
y dd
3
1
0
pantolon retilirsey
dd
7/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Ama Fonksiyonu:Firmann amac haftalk sat karn maksimum yapmaktr. Firmann haftalkkar; rnlerin satndan elde edilecek haftalk gelirden toplam haftalkmaliyetlerin (haftalk deiken maliyet ile haftalk tezgah kiralama maliyetitoplamnn) karlmas ile bulunur.
= + + + +
= + + + +
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
rn ilik (saat) Kuma Sat Fiyat Deiken Maliyet
Gmlek 3 4 12 6ort 2 3 8 4
Pantolon 6 4 15 8Kapasite 150 160
8/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
5/20
5
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Kapasite Kstlar:3 + 2 + 6 150 (iilik kst)
4 + 3 + 4 160 (kuma kst)
retim gerekletiinde kiralama durumunu ifade eden kstlar
burada Mbyk bir say
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
rn ilik (saat) Kuma Sat Fiyat Deiken MaliyetGmlek 3 4 12 6
ort 2 3 8 4Pantolon 6 4 15 8Kapasite 150 160
9/40
Matematiksel Model
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
rn ilik (saat) Kuma Sat Fiyat Deiken Maliyet
Gmlek 3 4 12 6ort 2 3 8 4
Pantolon 6 4 15 8Kapasite 150 160
= 6
+ 4
+ 7
200
150
100
ST.
3 + 2 + 6 150
4 + 3 + 4 160
, , 0
, , 0,1
Optimal zm
= 25, = 1, = 75
= = = = 0
10/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
6/20
6
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Depo Yer Seimi Problemi:Bir firma, sat politikas olarak, rnlerini belirli yerlerdeki depolar kanalylamterilerine teslim ederek pazarlamak istemektedir.Alabilir depo yerleri, bunlarn kapasiteleri, bu yerlerden mterilere birimtama maliyetleri, mterilerin talepleri ve belirlenen yerlerde depo amamasraflar aadaki tabloda verilmitir.Firma yneticisi, talebi karlamak zere, hangi yerlerde depo amas, hangidepodan hangi mteriye ne kadar tama yaplmas gerektiini bilmekistemektedir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Depolar(I)
Birim Tama Maliyetleri DepoKapasitesi
Depo AmaMaliyeti
Mteriler (J)M1 M2 M3 M4
D1 4 5 4 3 140 7500D2 1 2 3 1 150 6200D3 2 2 2 3 170 7100
Talep 50 70 40 50
11/40
Matematiksel Model (Kapal Form)
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Depolar(I)
Birim Tama Maliyetleri DepoKapasitesi
Depo AmaMaliyeti
Mteriler (J)
M1 M2 M3 M4
D1 4 5 4 3 140 7500D2 1 2 3 1 150 6200D3 2 2 2 3 170 7100
Talep 50 70 40 50
Karar Deikenleri
1
0
ij
i
i deposundan j mterisinde gnderilecekx
rn miktar i I j J
i deposu alrsa i I y
dd
0
0 1
ij ij i ii I j J i I
ij ji I
ij i ij J
ij
i
Min Z c x f y
S.T.
x d j J Talep Kstlar
x s y i I Arz Kstlar
x i I , j J aret Kstlar
y , i I aret Kstlar
12/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
7/20
7
Matematiksel Model (Ak Form)
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34
1 2 3
11 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 3
4 5 4 3 2 3 2 2 2 3
7500 6200 7100
50
70
40
50
140
150
Min Z x x x x x x x x x x x x
y y y
S.T.
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x y
x x x x y
x x x x
4 3170
0
0 1
ij
i
y
x ve tms i I , j J
y , i I
2 3
21
22
24
32
33
13620
1
50
50
50
20
40
Optimal Sonu
Z
y y
x
x
x
x
x
13/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Sabit Maliyetli Ulatrma Problemi:Bir firma, mteri taleplerini deiik noktalarda bulunan depolar araclyla karlamakistemektedir.Her depodan her mteriye tamaclk gerekletirilebilmektedir. Ancak, eer bir depodanbir mteriye tamaclk gerekletiriliyorsa ilgili hattn kullanmndan doan bir sabitmaliyete katlanlmak zorundadr.Problem ile ilgili bilgiler aadaki tabloda verilmitir.
Firma yneticisi, talebi karlamak zere, hangi depodan hangi mteriye ne miktarda rngnderileceini bilmek istemektedir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Depolar(I)
Sabit (Birim Tama) Maliyetleri DepoKapasitesi
Mteriler (J)
M1 M2 M3 M4
D1 250(4) 150(5) 125(4) 220(3) 140
D2 500(1) 250(2) 100(3) 450(1) 150
D3 400(2) 300(2) 250(2) 300(3) 170
Talep 50 70 40 50
14/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
8/20
8
Matematiksel Model (Kapal Form)
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Karar Deikenleri
1 0
0
ij
ijij
i deposundan j mterisinde gnderilecekx
rn miktar i I j J
eer x ise i I j J y
dd
0
0 1
ij ij ij ij i I j J
ij ji I
ij ij J
ij ij
ij
i
Min Z c x f y
S.T.
x d j J Talep Kstlar
x s i I Arz Kstlar
x My i I , j J Hat Kullanm Kstlar
x i I , j J aret Kstlar
y , i I aret Kstlar
Depolar(I)
Sabit (Birim Tama) Maliyetleri DepoKapasitesi
Mteriler (J)M1 M2 M3 M4
D1 250(4) 150(5) 125(4) 220(3) 100D2 500(1) 250(2) 100(3) 450(1) 50D3 400(2) 300(2) 250(2) 300(3) 60
Talep 50 70 40 50
15/40
Matematiksel Model (Ak Form)
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
11 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24
4 5 4 3 2 3 2 2 2 3
250 150 125 220
500 250 100 450
400 300 250 300
50
70
40
Min Z x x x x x x x x x x x x
y y y y
y y y y
y y y y
S.T.x x x
x x x
x x x
x x
31 3111 11 21 2111 12 13 14
32 3212 12 22 2221 22 23 24
33 3313 13 23 2331 32 33 34
34 34 3414 14 24 24
100
50
6050
0
0 1
ij
ij
x Myx My x Myx x x x
x Myx My x Myx x x x
x Myx My x Myx x x x
x x Myx My x My
x ve tms i I , j J
y , i I , j J
11 14 22 23 32
11 14 22 23 32
1
50 50 10 40 60
Optimal Sonu
Z=1730
y y y y y
x ,x ,x ,x ,x
16/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
9/20
9
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ya-Ya da (Either-or) Kstlar)
ki kst aadaki ekilde verilmi olsun.
, , , ,
, , , ,
(1) ve (2) numaral kstlardan en fazla bir tanesininsalanmas ya-ya da eklinde kstlar olarakadlandrlr. Formlasyona (3) ve (4) eklinde iki kstnilave edilmesi (1) ve (2) numaral kstlarn en fazla
birinin salanmasn temin eder. , , , ,
, , , , ( )
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 17/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ya-Ya da (Either-or) Kstlar)
rnek: Araba retimi ProblemiBir otomobil firmas spor, sedan ve lks olmak zere 3 tipotomobil retmeyi dnmektedir. Herhangi bir tip otomobilinretiminin ekonomik olarak uygun olmas iin en az 1000 adetretilmesi gerekmektedir. Fabrikann elinde kaynak olarak 6.000
ton elik ve 60.000 saat iilik mevcuttur. Her tip otomobil iingerekli kaynak miktarlar ve elde edilecek karlar aadaki tablodaverilmitir. Fabrikann toplam karn maksimum yapacak tamsaylprogramlama modelini kurunuz.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Araba TipleriKapasite
Spor Sedan Lks
Gerekli elik (ton) 1.5 3 5 6000
Gerekli ilik (saat) 30 25 40 60000
Birim Kr (TL) 2000 3000 4000
18/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
10/20
10
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ya-Ya da (Either-or) Kstlar)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model
Karar Deikenleri
1 2 3jx j. tip arabadan retilecek miktar j , ,
1 2 3
1 3
1 2 3
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
1 2 3
1 2 3
2000 3000 4000
1 5 3 5 6000
30 25 40 60000
1000 1
1000 1
1000 1
0
0 1
2
Maks Z x x x
S .T . . x x x elik Kst
x x x ilik Kst
x My
x M y
x My
x M y
x Myx M y
x ,x ,x
y ,y ,y ,
2 2
1 3 1 3
2 000 1
0 0
Optimal Sonu
Z=6.000.000
x . , y
x x , y y
Araba TipleriKapasite
Spor Sedan LksGerekli elik (ton) 1.5 3 5 6000
Gerekli ilik (saat) 30 25 40 60000Birim Kr (TL) 2000 3000 4000
19/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Eer-yleyse (If-Then) Kstlar)
Baz modellerde aadaki durumlar ilekarlalabilmektedir.
, , , , kst salanyorsa , , , , kstdasalanmakzorunda
, , , , kst salanmyorsa , , , , kst salansadaolursalanmasada
Bu durumda modelde aadaki deiiklikleri yapmakgerekir.
, , , ,
, , , ,
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 20/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
11/20
11
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Eer-yleyse (If-Then) Kstlar)
rnek: Depo Yer Seimi ProblemiDepo yeri seimi probleminde rnein, eer nc depodanikinci mteriye rn gnderilirse, bir ve nc mterilerebu depodan rn gnderilmesin. Bu durum aada verilenkstlarn modele ilave edilmesi ile salanabilir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Ek Kstlar
31 33
32 10 1
x x Mw
x M ww ,
2 3
21
22
24
32
33
13620
1
50
5050
20
40
*Z
y y
x
xx
x
x
2 3
21
22
24
31
33
13640
1
30
7050
20
40
*Z
y y w
x
xx
x
x
21/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Bir kstn N farkl deerden birisini almas)
Aadaki gsterim, bir kstn sa taraf deerininalabilecei n farkl deeri ifade etmektedir.
, , , , =
Sa taraf deerlerinden sadece bir tanesininkullanlmas durumu, modele eklenecek aadakikstlar ile salanabilir.
, , , , =
=
, = , , ,
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 22/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
12/20
12
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Bir kstn N farkl deerden birisini almas)
rnein, yatrm alternatiflerinin deerlendirilmesi probleminde(sermaye bteleme problemi), firmann yatrmlar iin ayrabileceikaynak miktarnn 14, 18 ya da 23 olacan ve kaynak miktarndaki bufarkllamann firmann yrtt dier yatrmlardan gelebilecekkaynaklar dikkate almas sonucu olduunu varsayalm. Bu durumda sataraf deerlerinin sadece 1 tanesinin kullanlmas iin modele aadakikstlarn ilave edilmesi gerekir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model
1 2 3 4
1 3 4 1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3
16 22 12 8
5 7 4 3 14 18 23
1
0 1
0 1
2
Maks Z x x x x
S .T . x x x x y y y
y y y
x ,x ,x ,x ,
y , y , y ,
1 2 3 4
3
58
1
1
*Z
x x x x
y
23/40
Dorusallatrma (Linearization)
Modellemede dorusal olmayan fonksiyonlar ile sklklakarlalmaktadr.Bunlardan en yaygn olanlar;
Paral dorusal fonksiyonlar (Piecewise Linear Functions)MaxiMin (En byk olann en kklenmesi) / Minimax(En kk olann
en byklenmesi)Mutlak deerli (Absolute Value) ifadeler
Bu fonksiyonlar dorusal olmad iin dorusal optimizasyonteknikleriile zlemezler.Bu durumda iki yol vardr. Bunlar;
Dorusal olmayan modeller iin gelitirilmi zm yntemlerinikullanmak.Modeli dorusallatrp dorusal optimizasyon tekniklerinden birisi ilezmek.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 24/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
13/20
13
Dorusallatrma (Ek Karar Deikenleri ve Kstlar)
Dorusallatrma (Linearization)(Paral dorusal fonksiyonlar)
Bilindii gibi paral dorusal fonksiyonlar tam manas iledorusallk artlarn salamad iin bu tr fonksiyonlarnmodellenmesi iin tamsayl deikenlere ihtiyaduyulmaktadr. Genel bir paral dorusal fonksiyon uekildedir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
1
0
1
i
ii
i i i i i
Ek Karar Deikeni
eer paral fonksiyonun i. aral seilirsey
dd
y
AS y x S y
25/40
Orijinal Model
Dorusallatrma (Linearization)(MaxiMin-En byk olann en kklenmesi)
Ama fonksiyonunda baz deerlerin en bynn enkklenmesi gerektii durumlarda karlalmaktadr(rnein Montaj Hatt Dengeleme Problemi).
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
1 2 nMinZ Max f x , f x , , f x
Kstlar
Ax b
Dorusallatrma (Ek Karar Deikenleri ve Kstlar)
i
Ek Karar De ikeni
C: Ama fonksiyonunun en byk bileeni
MinZ C
Kstlar
Ax b
C f x i , , ...,n1 2
26/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
14/20
14
Orijinal Model
Dorusallatrma (Linearization)(Mutlak deerli (Absolute Value) ifadeler)
Ama fonksiyonunda karardeikenleri arasndakifarkn mutlak deerininbulunduu durumlardakarlalmaktadr (rneinTesis i Yerleim Problemi)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Dorusallatrma (Ek KD ve Kstlar)
ij i j i jMinZ a x x Kstlar
Ax b
27/40
ij i j i j
ij j i j i
ij ij ij i j
i j ij ij
ij ij
Ek Karar Deikenleri
x x x eer x x ise
x x x eer x x ise
MinZ a x x
Kstlar
Ax b
x x x x i , jx ,x i , j
0
0
0
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Gezgin Satc Problemi-Traveling Salesman Problem)
G(N,A) tam bal bir ebeke olsun. Burada, Ndmler kmesi veA ise dmlerarasnda tanmlanan ayrt kmesidir. = , |, .
ebekedeki tm dm iftleri arasnda : , ile tanml ilgili hattn
kullanmndan kaynaklanan bir maliyeti sz konusudur.
GSPde ama, her mteriye bir kez urayarak ve alt turlarn oluumuna izin
vermeyerek tura balanlan noktada son bulan en kk maliyetli kapal dngybulmaktr.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 28/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
15/20
15
Matematiksel Model
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Gezgin Satc Problemi-Traveling Salesman Problem)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Karar Deikenleri
1
0
:
ij
i
eer i dmnde j dmne gidilirse i, N : i jx
dd
u Alt-tur oluumunu engelleyen yardmc deiken i N
1
1
1 2 3
0
ij ij i,j N
ijj N
iji N
i j ij
i
i
Min Z c x
S.T.
x i N Her D mden Bir k Olacak
x j N Her Dme Bir Giri Olacak
u u N x N i , j , , ..., N : i j Alt-Tur Eleme Kstlaru N i,j N Alt-Tur Eleme Kstlar
u i,j N
0 1ij
aret Kstlar
x , i,j N aret Kstlar
29/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ara Rotalama Problemi-Vehicle Routing Problem)
G(N,A) tam bal bir ebeke olsun. Burada, Ndmler kmesi veA isedmler arasnda tanmlanan ayrt kmesidir. = , |, . Dmkmesinde 0 dm depoyu, = , , , dmleri ise mterileritemsil etmektedir.
ebekedeki tm dm iftleri arasnda : , ile tanml ilgili hattn
kullanmndan kaynaklanan bir maliyeti sz konusudur.ebekedeki tm mteriler iin : ile tanml bir talep sz konusudur.
Depoda hazr bekleyen, homojen zelliklere sahip, Q ile gsterilen birkapasitesi olan Madet ara bulunmaktadr.ARP tanmlanan bu ebeke zerinde aadaki kstlarn salayan en kkmaliyetli rotalarn tespiti problemidir.
Her mteriye kesinlikle bir kez uranmal,
Bir rota depodan balamal ve tekrar depoda son bulmal,
Rota zerindeki mterilerin talepleri toplam ara kapasitesini gememeli
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 30/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
16/20
16
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ara Rotalama Problemi-Vehicle Routing Problem)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 31/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ara Rotalama Problemi-Vehicle Routing Problem)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model:
ij
i
ij ij i , j J
ij Ci N
ij Cj N
i ji N j N
i j
ara i dmnden j dmne geiyorsa i,j Nx
d.d.
u : Alt tur eleme ve kapasite kstlar iin kullanlan geici deiken
MinZ c x
STx j N
x i N
x x M
u u
0 0
1
0
1 1
1 2
3
ij j C
i i C
ij
Qx Q d i , j N ,i j
d u Q i N
x , i , j N
4
5
0 1 6
32/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
17/20
17
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Kutu Paketleme Problemi-Bin Packing Problem)
Herbiri farkl arla sahip Madet parann, kapasitesi Wolan en az sayda kutuya nasl paketleneceinin belirlenmesiproblemidir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 33/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Kutu Paketleme Problemi-Bin Packing Problem)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model:
ik
k
kk K
ikk K
i ij k i M
ik
k
i rn k kutusuna atanrsa i M , k K x
d.d.
k kutusu kullanlrsa k Ky
d.d.
MinZ y
ST
x i M
w x Wy k K
x , i M k K
y , k K
1
0
1
0
1 1
2
0 1 3
0 1 4
34/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
18/20
18
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Montaj Hatt Dengeleme-Assembly Line Balancing)
Aralarnda ncelik ilikisi bulunan ilerin, belirli bir evrimzaman iin en az istasyon saysnn (ya da belirli bir istasyonsays iin evrim zamannn) en kklenmesini salayacakekilde istasyonlara atanmas problemidir.
Gerekli Veriler:N: ler Kmesi
K: stasyonlar Kmesi
: i iinin ilem sresi
: i iinden hemen nce yaplmas gereken iler kmesi
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 35/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Montaj Hatt Dengeleme-Assembly Line Balancing)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 36/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
19/20
19
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Montaj Hatt Dengeleme-Assembly Line Balancing)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Dorusallatrlm Model:Dorusal Olmayan Model:
1
0
1 1
0 2
0 1 3
jk
k K j jk j N
jkk K
ik jk j k K k K
jk
j ii k istasyonuna
x atanrsa j N k K
d.d.
MinZ Max t X
ST
x j N
kx kx i , j N : i P
x , j N k K
1 1
0 2
3
0 40 1 5
jkk K
ik jk j k K k K
j jkj N
jk
C : evrim zaman
MinZ C
ST
x j N
kx kx i , j N : i P
t x C k K
Cx , j N k K
37/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Konkav Maliyetli Ulatrma Problemi)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Konkav MaliyetliUlatrma Problemi(Concave CostTransportation Problem):
Bu problemde, klasik ulatrmaprobleminden farkl olarak skalaekonomisi (scale economy)kavram dikkate alnmaktadr.Skala ekonomisinde tananrn miktar arttka birimtama maliyeti dmektedir.Birka rnei aadaki gibidir.Klasik ulatrma problemindenfarkl olarak birim tamamaliyeti tanan miktara balolarak deimektedir.
38/40
-
7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)
20/20
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Konkav Maliyetli Ulatrma Problemi)
rnek:3 depodan 4 mteriye rn datm planlamaktadr.Depo kapasiteleri, bu yerlerden mterilere tama miktarna balolarak birim tama maliyetleri ve mterilerin talepleri aadakitabloda verilmitir.Firma yneticisi, talebi karlamak zere, hangi depodan hangimteriye ne kadar tama yaplmas gerektiini bilmek istemektedir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Depolar(M)
Mteriler (N) DepoKapasitesi
1 2 3 4
1 20(4), 50(3), 80(2) 20(5), 50(4), 80(3) 20(4), 50(3), 80(2) 20(3), 50(2.5), 80(2) 80
2 20(2), 40(1.5), 70(1) 20(2), 40(1.5), 70(1) 20(3), 40(2.5), 70(2) 20(1), 40(0.8), 70(0.6) 70
3 20(2), 40(1.5), 60(1) 20(2), 40(1.5), 70(1) 20(2), 40(1.5), 60(1) 20(3), 40(2.5), 60(2) 60
Talep 50 70 40 50
39/40
Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Konkav Maliyetli Ulatrma Problemi)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model (Kapal Form)
Karar Deikenleri
1
0
ijk
ijk
x i deposundan j mterisinde k aralktan gnderilecek rn miktar i I j J k K
i deposundan j mterisinde k aralktan rn gnderilecekse i I j J k Ky
dd
1
ijk ijk i I j J k K
ijk j i I k K
ijk ij J k K
ijkk K
ijk ijk ijk
Min Z c x S.T.
x d j J Talep Kstlar
x s i I Arz Kstlar
y i I , j J Sadece bir aralk seilebilir
x AS y i I , j J , k K Miktar seilen alt snrdan b
0
0 1
ijk ijk ijk
ijk
ijk
yk olmal
x S y i I , j J , k K Miktar seilen st snrdan byk olmal
x i I , j J , k K aret Kstlar
y , i I , j J , k K aret Kstlar
40/40