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ELSEVIER

Journal o f C ompu ta t iona l and App l ied Mathemat ics 63 (1995 ) 403 -4 09

JOURN L OF

COMPUT TION L N D

PPUED M THEM TICS

N u m e r i ca l e x p e r ie n c e w i t h t h e t h r ee b o d y p r o b l e m 1

M i c h a l K f i ~. ek *

Mathematical Institute of the Academy of Sciences, ~itnd 25, CZ-11567 P rague 1, Czech Republic

Received 15 September 1994; revised 20 March 1995

bs t rac t

W e discuss the num erical so lu t ion of a sys tem o f ord inary d if ferential equations that describe the m utual gravitat ional

inf luence between three bodies . Several pract ical examples and some open problems are presented .

Keywords:

Runge-Kutta methods; Celest ial mechanics; Peculiar orb its

C o n s i d e r a c l a s s ic a l f o r m u l a t i o n o f t h e th r e e - b o d y p r o b l e m b a s e d o n t h e N e w t o n i a n t h e o r y , i n

w h i c h t h e g r a v i t a ti o n a l f o r c e s b e t w e e n b o d i e s d e p e n d o n t h e i r i m m e d i a t e p o s i ti o n s a n d m a s s e s , i .e .,

a n i n f in i t e s p e e d o f g r a v i t a t i o n a l i n f l u e n c e i s a s s u m e d . I n n o n e x t r e m a l c a s e s , s u c h a f o r m u l a t i o n

y i e l d s q u i t e r e a li s ti c r e s u l t s t h a t a r e c o m p a r a b l e t o th o s e o b t a i n e d f r o m E i n s t e i n ' s t h e o r y o f r e la t i v i ty

( s e e [ 5 ] ) .

L e t r i =

r i ( t ) ,

i = 1 , 2 , 3 , b e t h e s o - c a l l e d r a d i u s - v e c t o r i n • 3 d e s c r i b i n g t h e p o s i t i o n o f th e i t h

b o d y w i t h t h e m a s s

m i

i n ti m e t t > 0. B y N e w t o n ' s l a w o f g r a v it a ti o n ,

m im j r j - - r i )

F i j = z

Irj ril3

i s t h e f o r c e o f t h e j t h b o d y a c t i n g o n t h e i t h b o d y , w h e r e l I i s t h e E u c l i d e a n n o r m i n R 3 a n d

x = 6 . 6 7 - 10 -1 1 k g - l m 3 s - 2 i s th e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t . A s i m i l a r r e l a t io n h o l d s f o r t h e g r a v i t a t io n a l

f o r c e o f t h e i t h b o d y o n t h e k t h b o d y . H e r e

i , j , k E

{ 1 , 2 , 3 } a n d i # j # k ~ i . M o r e o v e r , b y

N e w t o n ' s s e c o n d l aw ,

m i r ~ ( t )

i s t h e r e a c t i o n f o r c e a c t i n g u p o n t h e i t h b o d y a t t i m e t . T h e t h r e e -

b o d y p r o b l e m i s th u s c l a s s i c al ly d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f o r d i n a r y d i ff e re n t ia l e q u a t io n s

f o r u n k n o w n t r a j e c t o r i e s r l , r 2 , r 3 ,

r / ' = x ( m j ( r Z : r -i )

m k ( r L : r i ) ~

f o r i = 1 , 2 , 3 , ( 1 )

\ I r j - r i [ 3 q - I r k - r i [ 3

]

E-mail: krizek@earn.cvut.cz.

t This work was suppor ted by the G rant Agency of the Academy of Sciences of the C zec h Rep ubl ic under grant

No. 119101.

0377-0427/95/ 09 .50 (~) 1995 Elsevier Science B.V. All r ights reserved

S S D I

0 3 7 7 - 0 4 2 7 ( 9 5 ) 0 0 0 6 7 - 4

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w h e r e i # j < k # i , a n d f o r t = 0 i n i t i a l p o s i t i o n s Pl P2 P3 Pt a n d v e l o c i t i e s Vl [2 V3 o f

t h e t h r e e b o d i e s a r e p r e s c r i b e d , i . e . ,

r i( O ) = p , , r [ ( O ) = v , f o r i = 1 , 2 , 3 . ( 2 )

I s aa c N e w t o n i n h i s P ri n c i p ia ( 1 6 8 7 ) w r i te s : A n e x a c t s o l u t io n e x c e e d s , if I a m n o t m i s ta k e n ,

t h e f o rc e o f a n y h u m a n m i n d ( s e e [ 1 2 ]) . I n d e e d , a n a n a ly t ic a l s o l u ti o n o f ( 1 ) a n d ( 2 ) i s k n o w n

o n l y i n a f e w s p e c i a l c a s e s , i n w h i c h p a r t i c u l a r i n t e g r a l s c a n b e c o m p u t e d ( s e e , e . g ., [ 4 , 8 ] ). I n 1 8 8 9 ,

P o i n c a r6 p r o v e d ( s e e [ 9 ] ) t h a t th e s o l u t io n o f t h e t h r e e - b o d y p r o b l e m c a n n o t b e e x p l ic i tl y e x p r e s s e d

i n t e r m s o f k n o w n e l e m e n t a r y f u n c t i o n s , i n g en e r a l. T h a t i s w h y n u m e r i c a l m e t h o d s a re u s u a l l y

e m p l o y e d .

W e o b s e r v e t h a t th e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 1 ) i s n o t L i p s c h i t z c o n t i n u o u s ( w h e n t h e i th b o d y i s n e a r

t o th e j t h o r k t h o n e ) , w h i c h i s o n e o f th e m a i n s o u r c e s o f n u m e r i c a l tr o u b le s . T h e s o l u t io n o f

( 1 ) a n d ( 2 ) r e m a i n s u n i q u e l y d e f i n e d ( a n d i s r e g u l a r ) a s l o n g a s a l l t h r e e m u t u a l d i s t a n c e s r e m a i n

b o u n d e d a w a y f r o m z e r o , i . e ., t h e s o l u t i o n e x is t s lo c a l l y . H o w e v e r , a g l o b a l s o l u t i o n o f ( 1 ) a n d ( 2 )

n e e d n o t e x i s t , s i n c e th e b o d i e s c a n c o l l i d e ( c f . [ 6 , p . 1 0 6 ] ). T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o d i s c u s s

n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f s e v e r a l i n t e r e st in g e x a m p l e s .

N o t e t h a t s t a r s , p l a n e t s , a s t e r o i d s e t c . i n t h e t h r e e - b o d y p r o b l e m a r e r e p l a c e d b y m a s s p o i n t s .

W e d o t h is b e c a u s e t h e g r a v i ta t io n a l f i e ld o u t s i d e a ( s p h e r ic a l l y ) h o m o g e n e o u s s p h e r e i s e q u a l t o

t h e g r a v i t a t i o n a l f i e ld o f a m a s s p o i n t t h a t h a s t h e s a m e m a s s a n d i s p l a c e d i n t h e c e n t r e o f t h e

s p h e r e .

1 . P lu to s s t range or b i t

I f [ r i ( t ) - r j t ) [ > > 0 f o r a n y i y 6 j , t h e n t h e s t a n d a r d n u m e r i c a l m e t h o d s f o r s o l v i n g i n i ti a l

p r o b l e m s f o r o r d i n a r y d i f fe r e n t ia l e q u a t i o n s ( s e e , e . g . , [ 1 1 ] ) y i e l d q u i te g o o d r e s u l ts . S u c h a s i t u a t i o n

c o r r e s p o n d s , e . g ., t o th e S u n a n d t w o p l a n e t s . I n t h i s c a s e w e h a v e m l > > m k > 0 f o r k - - 2 , 3 . T h e

c h o i c e

Pl = v j = 0 , Pk = (Rk, 0 , 0 ) r , vk = (0 ,

~ / R k ,

0 ) 7 fo r k = 2 , 3

( 3 )

u s u a l l y p r o d u c e s a l m o s t c i r c u l a r o r b i t s . ( F o r t h e l i m i t c a s e

m = m 3 =

0 w e w o u l d g e t e x a c t l y

c i r c u l a r o r b i t s. ) H o w e v e r , i f t h e r a t io o f p e r i o d s o f t h e t w o p l a n e t s i s a f ra c t i o n o f t w o s m a l l

i n t e g e r s , t h e n a l m o s t c i r c u l a r o r b i t s m a y d i s a p p e a r d u e t o r e s o n a n c e . W e w i l l d e m o n s t r a t e t h i s i n

t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .

P l u t o ' s o r b i t i s a n e l l i p s e ( w i t h e c c e n t r i c i t y 0 . 2 5 0 ) w h i c h o v e r l a p s w i t h N e p t u n e ' s a l m o s t c i r c u l a r

o r b i t ( w i t h e c c e n t r i c i ty 0 . 0 0 9 ) . T h e r e i s a n o l d h y p o t h e s i s th a t P l u t o w a s a s a t e l li t e o f N e p t u n e t h a t

e s c a p e d i n a c l o se e n c o u n t e r w i t h N e p t u n e ' s l a r ge s t s a te l li te T r i t o n . R e c e n t l y a n o t h e r h y p o t h e s i s

w a s e s t a b l i s h e d . P l u t o ' s o r b i t a l p e r i o d i s a l m o s t e x a c t l y 3 t h a t o f N e p t u n e a n d t h u s P l u t o ' s e l l i p ti c a l

o r b i t w a s c a u s e d b y t h i s r e s o n a n c e . N o t e t h a t s u c h a ra t i o i s n o t v a l i d f o r a n y o t h e r p a i r o f p l a n e t s .

A c c o r d i n g t o c o m p u t a t i o n s b y M a l h o t r a [ 7 ], o n l y 5 m i l li o n s y e a r s is e n o u g h t o a c h ie v e P l u t o ' s t ru e

e c c e n t r i c i ty o f 0 .2 5 , s t a r t in g f r o m t h e z e r o e c c e n t r i c i t y . T h i s i n c l u d e d b o t h a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l

m e t h o d s p r o p o s e d i n [ 1 3 ].

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4 0 5

0 . 2 5 ~ . . . . . . . . . . . . . . t r u e _ _ _

P l u t o ' s . [

e c c e n t r i c i t y ~

. c o m p u t e d

0 . 03 0 . . . . - - -

6

1 0 0 0 0 0

y e a r s

F i g . 1 .

W e h a v e r e t e s t e d t h e s e c o n d h y p o t h e s i s o n t h e w o r k s t a t i o n H P 7 2 0 . H o w e v e r , i t s v a l i d i t y w a s

n o t c o n f i r m e d . W e c o n s i d e r e d t h e s y s t e m ( 1 ) , w i t h t h e i n it ia l c o n d i t i o n s (2 ) a n d ( 3 ) , w h e r e m ~ =

1 . 9 9 .1 0 3 0 k g ( S u n ) , m 2 = 1 . 0 3 .1 0 2 6 k g ( N e p t u n e ) ,

m 3

1 . 4 .1 0 2 2 k g ( P l u t o ) , R 2 - - 4 . 4 9 6 7 . 1 0 1 2 m

[[

3 ~ 2 D 3 ~ 1 / 3

a n d b y K e p l e r ' s t h i r d l a w

R3 =

~ j ' 2 J

.

T h e g r a v i t a t io n a l i n f l u e n c e o f o t h e r p l a n e t s w a s n o t

c o n s i d e r e d . T h e p r o b l e m h a s b e e n s o l v e d b y th e f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d i n d o u b l e p r e -

c i s i o n w i t h a f i x e d t i m e i n t e g r a t i o n s t e p A t = 3 m o n t h s . I n t h i s c a s e P l u t o ' s e c c e n t r i c i t y w a s

a n o s c i l la t in g f u n c t i o n w i t h a p e r i o d a b o u t 2 2 5 0 0 y r . I ts m a x i m u m w a s o n l y 0 . 0 35 ( s e e F i g . 1 )

a n d t h e o r b i t s o f P l u t o a n d N e p t u n e d i d n o t i n te r s e c t . S i m i l a r re s u l t s w e r e o b t a i n e d a l s o f o r s e v -

e r a l o t h e r f i x e d i n t e g r a t i o n s t e p s . T h e p e r i h e l i o n o f v a r ia b l e e l l i p t ic a l P l u t o ' s o r b i t s l o w l y r o t a te d .

T h e i n t e g ra t i o n o v e r 1 0 s y r t o o k s e v e r al d a y s o f c o m p u t e r t i m e . N o t e t h a t th e s e c o n d h y p o t h e s i s

d o e s n o t e x p l a i n w h y t h e i n c l i n a t i o n o f P l u t o ' s r e a l o r b i t t o th e e c l i p t ic p l a n e i s a p p r o x i m a t e l y 1 7

d e g r e e s .

2 M o t i o n s o f c o m e t s

W h e n s i m u l a t i n g th e g r a v i t a ti o n a l i n f lu e n c e o f a p la n e t w i t h m a s s m 2 o n t h e m o t i o n o f a c o m e t

w i t h m a s s m 3 , w e h a v e m~>>m2>>m3,w h e r e m l i s m a s s o f t h e S u n . T h u s t h e c o m e t i n fl u e n c e u p o n

t h e p l a n e t a n d t h e S u n i s a l m o s t n e g l i g ib l e . A s i m p l e v e r s io n o f t h e c o r r e s p o n d i n g P a s c a l p r o g r a m m e

( w h i c h d r a w s t r a j e c to r i e s o f b o d i e s d i r e c tl y o n t h e s c r e e n o f u s u a l P C - c o m p u t e r s ) i s a v a i la b l e i n

[ 6] . T h e s t a n d a r d R u n g e - K u t t a m e t h o d s a r e v e r y s t a b le e v e n f o r a fi x e d t i m e i n t e g r a ti o n s te p a n d a

l a r g e t i m e i n t e r v a l i f

[ r i t ) - r j t ) [

> > 0 f o r a n y

i ~ j .

T h e m a i n d i f f ic u l ty i n th e p r e c i s e p r e d i c t i o n o f t h e t r a je c t o r y o f a n y c o m e t i s n o t c a u s e d b y n u -

m e r i c a l m e t h o d s b u t b y o u r i n a b i l i t y t o e s t a b l i s h e x a c t l y t h e i n i t i a l p o s i t i o n s a n d v e l o c i t i e s ( s e e ( 2 ) ) .

M o r e o v e r , n o n g r a v i t a t i o n a l f o r c e s a f f e c t c o m e t ' s m o v e m e n t . T h e y c o m e f r o m g a s e m a n a t i o n , c o l l i -

s i o n s w i t h m e t e o r s a n d d u s t , e l e c t r i c a l f i e l d s e t c . T h e s e f o r c e s a r e t h u s u n k n o w n . S m a l l c h a n g e s i n

c o m e t v e l o c i t y t h e n m a y c a u s e b i g d i f f e r e n c e s i n it s t r a j e c t o r y a f te r a l o n g t i m e ( c f . [ 2 ] ). F o r i n s ta n c e ,

i n t h e m i d d l e o f t h e y e a r 1 9 9 3, a s t r o n o m e r s c a l c u l a t e d th a t th e d i s i n te g r a t e d c o m e t S h o e m a k e r - L e v y

9 w o u l d c o l l i d e w i t h J u p i t e r a b o u t 2 3 J u l y , 1 9 9 4 . B u t w e o b s e r v e d c o l l i si o n s o f it s s e v e r a l p i e c e s

f r o m 1 6 t o 2 2 J u l y . T h e r e f o r e , i t i s a l m o s t i m p o s s i b l e t o p r e d i c t a c l a s h o f a c o m e t w i t h t h e E a r t h

m a n y y e a r s i n a d v a n c e , e v e n t h o u g h t h i s i s o f t e n d o n e . T o c a l c u l a t e s u c h a c l a s h m o r e e x a c t l y ,

m a n k i n d n e e d s b e t t e r o b s e r v a t i o n t e c h n i q u e s t o e s t a b l i s h p r e c i s e l y t h e i n it ia l c o n d i t i o n s ( 2 ) , e s p e -

c i a l l y t h e i r r a d i a l c o m p o n e n t .

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W e g i v e an o t h e r s i m p l e ex am p l e t o d em o n s t r a t e a h i g h s en s i t i v it y o f t h e t r a j e c t o r y w i t h r e s p ec t

to the in i t i a l condi t ions . Se t ml = 1 .99 .

1030

k g ( S u n ) , m 2 = 1 01 ° k g ( c o m e t ) an d s u p p o s e t h a t t h e

v e l o c i t y o f a co m e t i n th e a f e l i o n i s v = 5 k m s- 1 a t t im e t - - 0 . L e t i ts d i s t an ce f r o m t h e S u n b e

p = 1 . 5 .1 0 1 2 m ( ~ 10 A U ) an d l e t T b e t h e a s so c i a t ed p e ri o d . S o w e h av e

Pl = vl = 0, P2 = (P, 0, 0) T, I )2 = 0 , V , 0 ) T ,

F o r t = 0 w e s h a ll s t il l co n s i d e r th e p e r t u r b ed v e l o c i t y

~ = v + 6 v ,

w h er e 1 6 v l -- 1 cm s - l o n l y .

D en o t e b y r z t h e co r r e s p o n d i n g p e r t u r b ed t r a j e c t o r y . T h en f o r d n ) = I r z n T ) - Y2(nT)[ , where n

i s t h e n u m b e r o f re v o l u ti o n s , w e o b t ai n r e la t i v e ly b i g d i st a n c es d ( 1 ) = 1 86 7 k in , d ( 2 ) = 3 6 7 5 k in ,

d ( 3 ) = 5 6 2 5 k m e t c .

3 T r a j e c t o r y o f a r o c k e t t o t h e S u n

T h e n u m er i ca l s o l u t io n i s v e r y s en s i t i v e to t h e i n i ti a l d a t a ( 2 ) an d t o t h e ch o i ce o f t i m e i n t e -

g r a t i o n s t ep , w h en r i t ) ~ r j t ) f o r s o m e t > 0 . W e o f t en m ee t t h is p r o b l em i n co s m o n au t i c s ; f o r

i n s t an ce , i n t h e co m p u t a t i o n o f a t r a j e c t o r y o f a r o ck e t t h a t u t il i z es J u p i t e r s g r av i t y t o r e ach t h e

Sun .

L e t u s b r i e f l y o u t l i n e w h y i t i s co n v en i en t t o s en d t h e r o ck e t t o t h e S u n v i a J u p i t e r . T h e E a r t h

r ev o l v e s a r o u n d t h e S u n w i t h s p eed 2 9 8 0 0 m / s . T o s en d t h e r o ck e t d i r ec t l y t o t h e S u n w o u l d m ean

g i v i n g i t t h e s am e s p eed b u t i n t h e o p p o s i t e d i r ec t i o n . T h en t h e r o ck e t w o u l d f a l l f r e e l y d i r ec t l y t o

t h e S u n . S i n ce k i n e t i c en e r g y i s p r o p o r t io n a l t o t h e s q u a r e o f sp eed , i t i s m u ch m o r e eco n o m i ca l t o

s en d t h e r o ck e t t o J u p i t e r f i r s t . T h i s r eq u i r e s o n l y t h e s eco n d co s m i c s p eed 1 1 1 6 0 m / s . T h e s t r o n g

g r av i t a ti o n a l f i e ld o f J u p i te r c an t h en d i r ec t t h e r o ck e t to w a r d s t h e S u n , s ee F i g . 2. T h e co r r e s p o n d i n g

d em o n s t r a t i o n p r o g r am can b e f o u n d i n [ 6 ] .

W h en t h e r o ck e t i s n ea r J u p it e r, t h en t h e i r m u t u a l s ep a r a t io n i s v e r y s m a l l co m p a r ed t o t h e d i s t an ce

f r o m t h e S u n . I n t h i s c a s e a l l n u m er i ca l m e t h o d s a r e s en s i t iv e t o t h e ch o i ce o f ti m e i n t eg r a t i o n s t ep ,

w h i ch s h o u l d b e v a r i ab l e an d co n t r o l l ed au t o m a t i ca l l y ( s ee [ 1 1 ] ) .

a t

the

s t r t f r o m

t i m e o f

s t r t

t h

a r t h

Fig 2

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5/7

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4 B e h a v i o u r o f a s t a r i n s i d e a g l o b u l a r c l u s t e r

G l o b u l a r c l u s t e r s a r e o b j e c t s th a t c o n t a i n m i l l i o n s o f s ta r s i n a r e l a ti v e l y s m a l l r e g i o n o f a b o u t

1 0 0 l i g h t y e a r s i n d i a m e t e r . T h e y e x i s t a l r e a d y 1 0 ~° y r a n d i t is s t il l n o t k n o w n w h y t h e y a r e s o

s t a b l e ( c f . [ 1 ] ). I t h a s b e e n o b s e r v e d ( s e e , e . g ., [ 3 , p . 9 5 0 ] ) t h a t t h e d e n s i t y o f s ta r s i n a g l o b u l a r

c l u s t e r i s p r o p o r t i o n a l

t o r - a

w h e r e r i s t h e d i s ta n c e f r o m c l u s t e r 's c e n t re o f g r a v it y . W e a s s u m e

t h a t t h i s o b s e r v a t i o n is t r u e f o r s o m e r e a s o n a b l e b o u n d s 0 < ~ l < r < 7 2. U s i n g t h e s t a n d a r d

s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s

x = r s in 0 cos q~ ,

y = r s in 0 sin ~o,

Z ~ r C O S 0

w e f i n d t h a t t h e c l u s t e r g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l q / ( r ) = q / ( r , 0 , q~ ) i s i n d e p e n d e n t o f a n g l e s 0 E [0 , 7z]

a n d q> E [0 , 2 rt ) . T h e n q / = q / ( r ) i s d e s c r i b e d b y t h e e q u a t io n

~32q/ 2 0 q / C

O r- - i - + r O r - - r 4

i n ( r l , r 2 ) . ( 4 )

T h e l e f t - h a n d s i d e c o r r e s p o n d s t o t h e L a p l a c e o p e r a t o r i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s w h i l e t h e r i g h t - h a n d

s i d e r e p r e s e n t s t h e d e n s i t y o f g r a v i t a ti o n a l s o u r c e s ( t h e m a g n i t u d e o f t h e c o n s t a n t C ~> 0 d e p e n d s

u p o n t h e t o ta l m a s s o f t h e c l u st e r ). T h e E q . ( 4 ) c a n b e r e w r i t te n a s

0 2 C

~ r i r ° l l ) = - ~ .

F r o m h e r e w e s e e t h a t

~ / ~ r ) r q l ) = 1 - 2

i C r + C 0 a n d t hu s

C C~

q / ( r ) = ~ r 2 + - - r + C o ( 5 )

i s a g e n e r a l f o r m o f t h e s o l u t i o n o f ( 4 ) , w h e r e C o a n d C ~ a r e a r b i tr a r y c o n s t a n t s . T h e g r a v i t a t i o n a l

f o r c e a c t in g o n a m a s s p o i n t ( st a r ) w i t h m a s s m i s F = - m g r a d q /. H e n c e , a c c o r d i n g to ( 5 ) a n d

N e w t o n ' s s e c o n d l a w , t h e r a d i u s - v e c t o r r =

r t )

o f t h e m a s s p o i n t s a t is f ie s ( c f . ( 1 ) )

r F

r = - C 7 - C ,

[r3---~

W e a g a i n s o l v e d th i s m o d e l e q u a t i o n n u m e r i c a l ly . T h e t r a je c t o r y c o r r e s p o n d i n g to C~ > 0 a n d

C = 0 i s a n e x a c t e l l i p s e f o r a p p r o p r i a t e in i t ia l c o n d i t i o n s . F o r s m a l l p o s i t i v e C , h o w e v e r , t h e

c o m p u t e d o r b i t w a s n e a r l y e l l ip t ic a n d w e o b s e r v e d i ts p e r if o c u s r o t a ti o n ( i n t h e s a m e d i r e c ti o n a s

t h a t i m p l i e d b y t h e t h e o r y o f r e l a t iv i t y f o r C = 0 ) .

T o e x p l a i n t h e o b s e r v e d r o t a t i o n o f t h e p e r i f o c u s , w e r e c a l l th a t t h e g r a v i t a ti o n a l i n t e n s i t y i n s id e

a h o l l o w b a l l i s z e r o ( a s t h e p o t e n t i a l i s c o n s t a n t th e r e ) . H e n c e , t h e t r a j e c t o r y o f a s ta r d e p e n d s

o n l y o n t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e m a s s w h i c h i s i n s i d e a b a l l w i t h r a d i u s r ( s e e

F i g . 3 ) . S i n c e r =

r t )

i s v a r i a b l e , t h e t r a j e c t o r y f o r C ¢ 0 i s n o t a n e x a c t e l l i p s e , i n g e n e r a l .

T o e m p h a s i z e i t s s h a p e , w e h a v e c h o s e n ( i n F i g . 3 ) u n r e a l i s t i c i n i t i a l c o n d i t i o n s , w h i c h p u r p o s e l y

p r o d u c e t o o l a r g e e c c e n t r i c i t y .

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Fig. 3.

5 Open problems

C o n s i d e r n o w t h e N - b o d y p r o b l e m . I t s f o r m u l a t i o n i s s i m i l a r t o ( 1 ) a n d ( 2 ) . W e t o o k m l = 1 0 0 ,

m . . . . . ms = 1 f o r N = 1 0. T h e i n i ti a l c o n d i t i o n s o f t h e fi rs t N - 1 b o d i e s w e r e o f t h e f o r m ( 3 ) ,

w h e r e t h e R k w e r e c h o s e n r a n d o m l y . A s a l l t h i r d c o m p o n e n t s a r e z e r o , t h i s c o r r e s p o n d s t o a p l a n e

p r o b l e m . A n o n z e r o t h i r d c o m p o n e n t w a s p r e s e n t o n l y i n t h e i ni ti al c o n d i t io n s o f t h e N t h b o d y .

T h i s c a u s e d a n o n z e r o t h i rd c o m p o n e n t i n t h e o t h e r b o d i e s f o r t > 0 , i n g e n e r a l . A f t e r a v e r y l o n g

t i m e , a l l t h e b o d i e s m o v e d c h a o t i c a l l y i n s i d e a s p h e r e l i k e s t a r s i n a g l o b u l a r c l u s t e r . T h e b i g g e r t h e

m a s s o f t h e c e n t r a l b o d y , t h e h i g h e r t h e d e n s i t y o f s t a rs w i t h n o c o l l is i o n s i s p o ss i b l e. W h e t h e r th e

l i m i t b e h a v i o u r o f t h e a b o v e N b o d i e s t e n d s t o a s p h e r i c a l c lu s t e r i s a n o p e n p r o b l e m .

A n o t h e r n i c e o p e n p r o b l e m c o n c e r n s t h e s t r uc t u re o f N e p t u n e ' s r in g s . T h e y m u t u a l l y i n t e rt w i n e

( s e e p h o t o t a k e n b y V o y a g e r 2 i n [ 1 0 , p . 2 7 ] ) . T h e m e c h a n i s m o f th i s p e c u l i a r b e h a v i o u r i s n o t

k n o w n . T h e N - b o d y p r o b l e m w i t h N ~ < 2 0 a p p e a r e d t o b e a b s o l u t e l y i n s u f f ic i e n t t o s i m u l a t e th e

i n t e r tw i n i n g . I n t h e a u t h o r ' s o p i n i o n , t h e o b s e r v e d b e h a v i o u r o f t h e r in g s c a n n o t b e m o d e l l e d a s t h e

N - b o d y p r o b l e m f o r v e r y l a r g e N w i t h t h e a d v e n t o f s u p e r c o m p u t e r s e i t h e r . I t r e q u i r e s t o d e v e l o p

a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t m o d e l .

Acknowledgements

T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k J a n a D a f i k o v f i f o r v a l u a b l e s u g g e s t i o n s .

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