1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  1    

SURDS  

RATIONALIZING  THE  DENOMINATOR  

INDICES  &  EXPONENTIAL  

REDUCIBLE  

COMPLETING  THE  SQUARE  

INEQUALITIES  

NATURE  OF  ROOTS  (DISCRIMINANT)  

SIMULTANEOUS  EQUATION  

SURDS    

25 = 5  

121 = 11     Rational  number  

8! = 2  

 

5  

17!        Surds,  Irrational  number  (  𝜋, ℮  )  

32  

Rules:    

𝑎  ×   𝑏 =   𝑎𝑏            𝑒.𝑔. 3  ×   2  =   6  

𝑎  ÷   𝑏 =  𝑎𝑏              𝑒.𝑔. 8 ÷ 6 =

86  

1𝑎=

𝑎𝑎                                            𝑒.𝑔.

32=

32×

22=3 22

 

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  2    

 

Examples:  

a. 54  b. 98  c. 32 − 18  d. 75 + 48  e. 32× 15 ÷ 24  f. 112 − 63 − 28  g. !

!  

Rationalize    

a. !!           d.   !! !

!!! !  

 

b. !!! !

 

 

c. !! !!! !

 

Indices    

                       

1. am x an = am + n e.g. 75 x 73 = 78 2. am ÷ an = am – n e.g. 96 ÷ 92 = 94 3. (am)n = amn e.g. (23)4 = 212 4. a-m = !

!! e.g. 4-3 = !

!!= !

!"

5. 𝑎!! = 𝑎!! = ( 𝑎! )! e.g. 8

!! = ( 8! )! = 2! = 16

6. a0 = 1

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  3    

     

Examples:  Simplify  

a. 22  x  24         c.  !!!

!!!  

 

b. !"×!!

!!×!               d.  3x3y  ×4𝑥𝑦!  

 

 

Examples:  Evaluate  

a. 16!!!  

 

b. 144! !  

 

c. 27!!  

   

d. (!!)!!  

 

Examples:  Solve  the  following  equation  

a. 2x  =  32  b. 2x  =  0.5  c. 24  x  27  =  2x  d. 78  ÷  7x  =  49  

e. 𝑥!!! = 8  

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  4    

f. 8! = !!"#

 

Exponential  Equations    

If  u  =  2x  then  

a. 22x  b. 2x  +  2  c. 2-­‐x  d. 4x  e. 16-­‐x  

Reducible  to  quadratic  equations  Solving  exponential  equations    

a. 22x  –  2x  –  2  =  0             c.  16x  –  5(22x-­‐1)  +  1  =  0    

 

 

 

 

 

b. 3x+1  +  32-­‐x  –  28  =  0  

 

 

 

 

 

 

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  5    

1. x4  –  5x2  +  4  =  0             4)  2 𝑥 = 8 − 𝑥    

 

 

 

 

 

2. x4  –  9x2  –  10  =  0  

 

 

 

 

 

 

3. x6  –  9x3  +  8  =  0             5)  t  -­‐  5 𝑡 − 14 = 0    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  6    

Completing  the  square    

ax2  +  bx  +  c  =  0  

To  solve  quadratic  equation  using  completing  the  square  method:    

a[(𝑥 + !!!)! − ( !

!!)!] + 𝑐  

 

Examples:  

a. x2  –  4x               d.  2x2  +  6x  –  1    

 

 

 

 

b. x2  +  4x  +  6           e.  3x2  –  x  -­‐  7    

 

 

 

 

c. x2  –  6x  –  3           f.  5  –  3x  –  x2      

 

 

 

 

 

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  7    

Solving  quadratic  equations  (Find  x)  Using  completing  the  square  to  solve  quadratic  equations  (to  find  value  of  x)  

Examples:  

a. 3x2  –  6x  –  1  =  0  

 

 

b. x2  +  4x  –  7  =  0  

 

 

c. 2x2  –  5x  –  1  =  0  

 

 

Maximum/  minimum  values   y    

f(x)  =  2x2  –  4x  –  1    

               =  2[(x  –  1)2  –  1  -­‐  !!  ]  

               =  2[(x  –  1)2  -­‐  !!  ]   x  

               =  2(x  –  1)2  -­‐  3   (1,-­‐3)  

    y  =  -­‐3  (minimum  value)   stationary/turning  point                      x  =  1                                                                                                                                                                                                                                

minimum  value  =  -­‐3  when  x  =  1.  Range  is  f(x)  ≥ −3  

 

1. Given  that  f(x)  =  5  –  3x  –  x2.  Find  the  minimum  value  and  the  value  of  x.  

 

 

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  8    

2.  Find  the  stationary  point  of  the  following  quadratic  equations  

a) y  =  x2  +  4x  

 

 

b) y  =  (  x  +  4)  (3  –  x)  

 

 

Quadratic  Inequalities  1. x2  +  x  –  2  <  0  

(x  +  2)  (  x  –  1)  <  0  x  =  -­‐2  and  1  

                                         -­‐2   1  

∴ −2 < 𝑥 < 1  

  -­‐2  <  x  <  1  

 

 

 

2. x2  +  3x  +  1  ≥ 0  

 

 

 

3. -­‐2  +  3x  –  x2  <  0  

 

 

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  9    

Nature  of  Roots  (x)  

x  =  !!± !!!!!"!!

 

when  you  use  this  formula,  3  results  can  happen:  

1. b2  –  4ac  >  0  and  you  will  get  two  different  (distinct)  answers  for  x  or  two  distinct  real  roots.  

2. b2  –  4ac  =  0  and  you  will  get  the  repeated  root  (i.e.  same  answer  twice).  e.g.  x2  –  6x  +  9  =  0     b2  –  4ac  =  (-­‐6)2  –  4(1)(9)  =  0              (x  –  3)  (x  –  3)  =  0                x  =  3  

3. b2  –  4ac  <  0  then  there  are  No  Real  Roots  to  the  equation  e.g.  x2  +  x  +  2  =  0                      

 b2  –  4ac  =  (1)2  –  4  (1)(2)  =  -­‐7                          solve  using  quadratic  formula:  !!± !!!

                   not  valid  

The  answers  to  equations  are  called  the  Roots  and  b2  –  4ac  is  called  the  discriminant  

b2  –  4ac  >  0  is  Two  Real  Distinct  Roots  

b2  –  4ac  =  0  is  Equal/same  Roots  (Repeated  roots)  

b2  –  4ac  <  0  is  No  Real  Root  (Complex  root)  

 

 

 

 

 

 

                     b2  –  4ac  >  0         b2  –  4ac  =  0         b2  –  4ac  <  0                (Intersect)  2  distinct  real  roots        (Tangent  to  the  curve)                          (Does  not  intersect)                                                                                                                      Equal  root/same  root                      No  real  root/lies  above  x-­‐axis        

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  10    

Examples:    A. Use  the  discriminant  to  determine  the  nature  of  the  roots  of  the  following  equations  1. x2  –  6x  +  9  =  0  2. 2x2  –  5x  +  3  =  0  3. 1 2x

2  +  1 3 𝑥 +14=  0  

           

B. The  equation  x(x  –  2)  +  k2  =  k(2x  –  1)  is  satisfied  by  two  distinct  real  values  of  x.  Find  the  range  of  values  of  k.          

C. Find  the  set  of  values  of  k  for  which  the  line  y  =  kx  –  4  intersects  the  curve  y  =  x2  –  2x  at  two  distinct  points.        

 D. The  equation  of  a  curve  is  y  =  x2  –  3x  +  4.  Show  that  the  whole  of  the  curve  lies  above  

the  x-­‐axis.        

E. The  equation  of  a  curve  is  xy  =  12  and  the  equation  of  a  line  l  is  2x  +  y  =  k,  where  k  is  a  constant.  Find  the  set  of  values  of  k  for  which  l  does  not  intersect  the  curve.  

       

F. Find  the  set  of  values  of  k  for  which  the  equation  2x2  –  10x  +  8  =  kx  has  no  real  roots.          

G. Find  the  value  of  constant  c  for  which  the  line  y  =  2x  +  c  is  a  tangent  to  the  curve  y2  =  4x.      

1. QUADRATICS   P1    

PEIPEI   Page  11    

H. Find  the  value  of  p  in  each  of  the  following  equations  given  that  they  have  EQUAL  ROOTS.    i) x2  +  (p  –  1)x  +  64  =  0  ii) 3x2  –  (p  –  4)x  –  (2p  +  1)  =  0      

             

Simultaneous  Equations  Involving  Quadratics  1.  

y  =  3  –  x2  y  =  7  –  4x  

 

 

 

2. y  =  2x  –  7  2xy  +  3y  +  5x  +  11  =  0  

 

   

3. Find  the  point  of  intersection  between  the  line  y  =  3x  –  1  and  2y  –  5x  +  7  =  0  4. The  equation  of  a  curve  xy  =  12  and  the  equation  of  a  line  l  is  2x  +  y  =  k,  where  k  is  a  constant.  In  

the  case  where  k  =  11,  find  the  coordinates  of  the  points  of  intersection  of  l  and  the  curve.  5. The  curve  y  =  9  –  6/x  and  the  line  y  +  x  =  8  intersect  at  two  points.  Find  the  coordinates  of  the  

two  points.