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NOTIONS DE
MECANIQUE DES
FLUIDES
CCCooouuurrrssseeetttEEExxxeeerrrccciiiccceeesssCCCooorrrrrriiigggsss
Riadh BEN HAMOUDA
Centre de Publication Universitaire
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AVANT-PROPOS
Ltude de la mcanique des fluides remonte au moins lpoque de la Grce
antique avec le clbre savon Archimde, connu par son principe qui fut loriginede la statique des fluides. Aujourdhui, la dynamique des fluides est un domaine
actif de la recherche avec de nombreux problmes non rsolus ou partiellement
rsolus.
Dans cet ouvrage se trouve expos lessentiel de ce quun tudiant des Instituts
Suprieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes
hydrauliques et pneumatiques sont actuellement trs utiliss en industrie. Donc, un
technicien quelque soit sa spcialit doit acqurir les notions fondamentales en
mcanique des fluides. Nous avons cherch viter les dveloppements
mathmatiques trop abondants et pas toujours correctement matriss par la
plupart des techniciens suprieurs et insist trs largement sur les applications
industrielles et les problmes de dimensionnement. Ainsi, ltude de la mcanique
des fluides sera limite dans cet ouvrage celle des fluides homognes. Les lois
et modles simplifis seront utiliss pour des fluides continus dans une description
macroscopique. Egalement, nous limiterons notre tude celle des fluides parfaits
et rels. Dans ltude dynamique nous serons amens distinguer les fluides
incompressibles et les fluides compressibles.
Le chapitre 1 constitue une introduction la mcanique des fluides dans
laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides rels, les fluides incompressibles
et les fluides compressibles et on dfinit les principales proprits qui seront
utilises ultrieurement.
Le chapitre 2 est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes
fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, lethorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de
lhydrostatique sont expliqus.
Dans le chapitre 3 sont traites les quations fondamentales qui rgissent la
dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, lquation de
continuit et le thorme de Bernoulli. Elles sont considres trs importantes
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dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des
instruments de mesures de pressions et de dbits quon peut rencontrer dans
beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout.
Dans le chapitre 4 sont dmontrs les quations et les thormes relatifs la
dynamique des fluides incompressibles rels. Une mthode simplifie de calcul
des pertes de charge base sur ces quations est propose. Elle est indispensable
pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problmes de
pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles
est vhicul un fluide etc.)
Le chapitre 5 est consacr ltude des fluides compressibles. Les lois et les
quations fondamentales de la dynamique ainsi que le thorme de Saint-Venant
ncessaires pour traiter un problme dcoulement de gaz sont dmontrs.Certaines notions de thermodynamique, juges indispensables pour introduire
quelques paramtres, sont ajoutes.
La dernire partie de chaque chapitre est consacre des exercices corrigs.
Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveills que jai propos
lInstitut Suprieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour
leur intrt pratique et pour leur diversit. Chaque exercice traite un domaine
particulier dapplication quun technicien suprieur pourrait rencontrer aussi bien
dans le cadre des travaux pratiques lISET quen industrie dans sa vie active. Les
solutions avec beaucoup de dtail, devraient permettre ltudiant dacqurir, en
peu de temps, la matrise ncessaire des concepts utiliss. Ces exercices
permettront galement de tester lavancement de leurs connaissances.
En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mmes
notations dans la partie exercices corrigs et dans la partie cours. Les points
importants sont crits en caractre gras et les rsultats sont encadrs.
Cet ouvrage constitue une premire version. Il sera certainement rvis. Les
critiques, les remarques et les conseils de tous les comptents du domaine qui
veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et
remerciement.
Riadh BEN HAMOUDA Octobre 2008
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TABLE DES MATIERES
Chapitre 1 : Introduction la Mcanique des Fluides ......................................... 1
1 Introduction ........................................................................................................... 12 Dfinitions ............................................................................................................. 12.1 Fluide parfait .................................................................................................. 22.2 Fluide rel ...................................................................................................... 32.3 Fluide incompressible .................................................................................... 32.4 Fluide compressible ....................................................................................... 3
3 Caractristiques physiques ................................................................................... 43.1 Masse volumique ........................................................................................... 43.2 Poids volumique ............................................................................................ 43.3 Densit .......................................................................................................... 43.4 Viscosit ........................................................................................................ 5
4 Conclusion ............................................................................................................ 75 Exercices dapplication ......................................................................................... 8Chapitre 2 : Statique des fluides ......................................................................... 10
1 Introduction ......................................................................................................... 102 Notion de pression en un point dun fluide ..........................................................103 Relation fondamentale de lhydrostatique ...........................................................124 Thorme de Pascal ........................................................................................... 14
4.1 Enonc ........................................................................................................ 144.2 Dmonstration ............................................................................................. 14
5 Pousse dun fluide sur une paroi verticale ........................................................155.1 Hypothses .................................................................................................. 15
5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression ........................... 155.2.1 Rsultante ............................................................................................ 165.2.2 Moment................................................................................................. 16
5.3 Centre de pousse ...................................................................................... 176 Thorme dArchimde ....................................................................................... 17
6.1 nonc ........................................................................................................ 176.2 Dmonstration ............................................................................................. 18
7 Conclusion .......................................................................................................... 208 Exercices daplication ......................................................................................... 21
Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................52
1 Introduction ......................................................................................................... 52
2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 523 Equation de Continuit ........................................................................................ 524 Notion de Dbit ................................................................................................... 54
4.1 Dbit massique ............................................................................................ 544.2 Dbit volumique ........................................................................................... 554.3 Relation entre dbit massique et dbit volumique ....................................... 55
5 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement sans change de travail ........... 566 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement avec change de travail .......... 57
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7 Thorme dEuler : ............................................................................................. 598 Conclusion .......................................................................................................... 619 Exercices dapplication ....................................................................................... 61
Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88
1 Introduction ......................................................................................................... 88
2 Fluide Rel .......................................................................................................... 883 Rgimes dcoulement - nombre de Reynolds ...................................................884 Pertes de charges ............................................................................................... 90
4.1 Dfinition ...................................................................................................... 904.2 Pertes de charge singulires .......................................................................944.3 Pertes de charges linaires : ....................................................................... 94
5 Thorme de Bernoulli appliqu un fluide reel ................................................. 956 Conclusion .......................................................................................................... 967 Exercices dapplication ....................................................................................... 96
Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120
1 Introduction ....................................................................................................... 1202 Equations detat dun gaz parfait ....................................................................... 120
2.1 Lois des gaz parfaits .................................................................................. 1202.2 Transformations thermodynamiques .........................................................120
3 Classification des coulements ......................................................................... 1223.1 Clrit du son........................................................................................... 1223.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 1223.3 Ecoulement subsonique ............................................................................ 1223.4 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122
4 Equation de continuite ...................................................................................... 1225 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 1236 Etat gnrateur : ............................................................................................... 1247 Conclusion ........................................................................................................ 1258 Exercices dapplication ..................................................................................... 125
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CChhaappiittrree11:: INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES
FLUIDES
1 INTRODUCTION
La mcanique des fluidesest la science des lois de I'coulement des fluides. Elle
est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mcanismes de
transfert des fluides. Cest une branche de la physiquequi tudie les coulements
de fluides c'est--dire des liquides et des gazlorsque ceux-ci subissent des forces
ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:
- la statique des fluides, ou hydrostatique qui tudie les fluides au repos. C'est
historiquement le dbut de la mcanique des fluides, avec la pousse d'Archimde
et l'tude de la pression.
- la dynamique des fluides qui tudie les fluides en mouvement. Comme autres
branches de la mcanique des fluides.
On distingue galement dautres branches lies la mcanique des fluides :
l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'arodynamique, Une nouvelle approche a vu
lejourdepuis quelques dcennies: la mcanique des fluides numrique (CFD ou
Computational Fluid Dynamicsen anglais), qui simule l'coulement des fluides en
rsolvant les quations qui les rgissent l'aide d'ordinateurs trs puissants : les
supercalculateurs.
La mcanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines
comme l'ingnierie navale, l'aronautique, mais aussi la mtorologie, la
climatologie ou encore l'ocanographie.
2 DEFINITIONSUn fluide peut tre considr comme tant une substance form d'un grand
nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par
rapport aux autres. Cest donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit
et qui peut s'couler. Les forces de cohsion entres particules lmentaires sont
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2886http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5146http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1821http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1736http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1647http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5745http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1627http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1509http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=4932http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1121http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1121http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=4932http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1509http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1627http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5745http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1647http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1736http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1821http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5146http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2886 -
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 2
trs faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la
forme du rcipient qui le contient, par exemple: les mtaux en fusion sont des
fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pices brutes de formes
complexes.
On insiste sur le fait quun fluide est suppos tre un milieu continu : mme si l'on
choisit un trs petit lment de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la
dimension des molcules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de
brouillard, aussi petite soit-elle notre chelle, est toujours immense l'chelle
molculaire. Elle sera toujours considre comme un milieu continu. Parmi les
fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.
Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur
viscosit. La viscosit est une de leur caractristique physico-chimique qui seradfinie dans la suite du cours et qui dfinit le frottement interne des fluides. Les
fluides peuvent tre classs en deux grande familles : La famille des fluides
"newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non
newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les ptes, les
suspensions, les mulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosit
constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la temprature. La deuxime
famille est constitue par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularit d'avoir
leur viscosit qui varie en fonction de la vitesseet des contraintes qu'ils subissent
lorsque ceux-ci s'coulent. Ce cours est limit uniquement des fluides
newtoniens qui seront classs comme suit.
2.1 Fluide parfait
Soit un systme fluide, c'est--dire un volume dlimit par une surface ferme
fictive ou non.nr
Fdr
NFdr
TFdr
dS
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5754http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1743http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1746http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1746http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1743http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5754 -
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 3
Considrons Fdr
la force dinteraction au niveau de la surface lmentaire dS de
normale nr
entre le fluide et le milieu extrieur.
On peut toujours dcomposer Fd
r
en deux composantes:- une composante TFd
r
tangentielle dS.
- une composante NFdr
normale dS.
En mcaniquedes fluides, un fluideest dit parfait s'il est possible de dcrire son
mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Cest dire quand la
composante TFdr
est nulle. Autrement dit, la force Fdr
est normale l'lment de
surface dS.
2.2 Fluide relContrairement un fluide parfait, qui nest quun modle pour simplifier les calculs,
pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide rel les forces tangentielles
de frottement interne qui sopposent au glissement relatif des couches fluides sont
prise en considration. Ce phnomne de frottement visqueux apparat lors du
mouvement du fluide.
Cest uniquement au repos, quon admettra que le fluide rel se comporte comme
un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires auxlments de surface sur lesquels elles sexercent. La statique des fluides rels se
confond avec la statique des fluides parfaits.
2.3 Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occup par une masse donn ne
varie pas en fonction de la pression extrieure. Les liquides peuvent tre
considrs comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)
2.4 Fluide compressibleUn fluide est dit compressible lorsque le volume occup par une masse donne
varie en fonction de la pression extrieure. Les gaz sont des fluides compressibles.
Par exemple, lair, lhydrogne, le mthane ltat gazeux, sont considrs comme
des fluides compressibles.
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5755http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5755http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=1705 -
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
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3 CARACTERISTIQUES PHYSIQUES
3.1 Masse volumique
V
m=
o :
: Masse volumique en (kg/m3),
m : masse en (kg),
V : volume en (m3).
Exemples :
Fluide Masse volumique (kg/m3) Type de fluide
Benzne 0,880. 103
IncompressibleChloroforme 1,489. 103Eau 103Huile dolive 0,918. 103Mercure 13,546. 103Air 0,001205. 103
compressible1Hydrogne 0,000085. 103Mthane 0,000717. 103
3.2 Poids volumique
gV
gm
.
.
==
: Poids volumique en (N/m3).
m : masse en (kg),
g : acclration de la pesanteur en (m/s2),
V : volume en (m3).
3.3 Densit
ref
d
==
rfrencedefluideund'volumiquemasse
fluideduvolumiquemasse
Dans le cas des liquides en prendra leau comme fluide de rfrence. Dans le cas
des gaz on prendra lair comme fluide de rfrence.
1Ces valeurs sont prise titre indicatif dans les conditions normales de pression et de temprature.
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 5
3.4 Viscosit
Cest une grandeur qui caractrise les frottements internes du fluide, autrement dit
sa capacit scouler. Elle caractrise la rsistance d'un fluide son coulement
lorsqu'il est soumis l'application d'une force. Cest dire, les fluides de grande
viscosit rsistent l'coulement et les fluides de faible viscosit s'coulent
facilement. Elle peut tre mesure par un viscosimtre chute de bille, dans lequel
en mesure le temps coul pour la chute dune bille dans le fluide. Elle peut
galement tre mesure par un rcipient dont le fond comporte un orifice de taille
standardise. La vitesse laquelle le fluide s'coule par cet orifice permet de
dterminer la viscosit du fluide.
La viscosit est dtermine par la capacit d'entranement que possde une
couche en mouvement sur les autres couches adjacentes.
Par exemple, si on considre un fluide visqueux plac entre deux plaques P1et P2,
tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2est anime dune vitesse 2V .
Si on reprsente par un vecteur, la vitesse de chaque particule situe dans une
section droite perpendiculaire l'coulement, la courbe lieu des extrmits de cesvecteurs reprsente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut tre
considr comme rsultant du glissement des couches de fluide les unes sur les
autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On
distingue la viscosit dynamique et la viscosit cinmatique.
Plaque P1 fixe
Plaque P2 2V Z
Z F
V
VV +
http://aleph2at.free.fr/glossaire/viscosimetre.htmhttp://aleph2at.free.fr/glossaire/viscosimetre.htm -
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 6
Viscosit dynamique
La viscosit dynamique exprime la proportionnalit entre la force qu'il faut exercer
sur une plaque lorsqu'elle est plonge dans un courant et la variation de vitesse
des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprime par un
coefficient reprsentant la contrainte de cisaillement ncessaire pour produire un
gradient de vitesse d'coulement d'une unit dans la matire.
Considrons deux couches de fluide adjacentes distantes de z. La force de
frottement F qui s'exerce la surface de sparation de ces deux couches s'oppose
au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle la diffrence de
vitesse des couches soit v, leur surface S et inversement proportionnelle z :
Le facteur de proportionnalit est le coefficient de viscosit dynamique du fluide.
Z
VSF
= .. *
o :
F : force de glissement entre les couches en (N),
: Viscosit dynamique en (kg/m.s),
S : surface de contact entre deux couches en (m2),
V : cart de vitesse entre deux couches en (m/s),
Z : Distance entre deux couches en (m).Remarque : Dans le systme international (SI), l'unit de la viscosit dynamique
est le Pascal seconde (Pas) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pas = 1 Pl = 1 kg/ms
Exemple :
Fluide (Pas)
eau (0 C) 1,787103eau (20 C) 1,002103eau (100 C) 0,2818103
Huile d'olive (20 C) 100103
glycrol (20 C) 1000103Hydrogne (20 C) 0,86105Oxygne (20 C) 1,95105
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 7
Viscosit cinmatique
=
L'unit de la viscosit cinmatique est le (m2/s).
Remarque 1 (unit):
On utilise souvent le Stokes (St) comme unit de mesure de la viscosit
cinmatique.
1 St= 10-4m2/sRemarque 2 (Influence de la temprature) :
Lorsque la temprature augmente, la viscosit d'un fluide dcrot car sa densit
diminue.
Remarque 3 (diffrence entre viscosit dynamique et viscosit cinmatique)La viscosit cinmatique caractrise le temps d'coulement dun liquide. Par
contre, la viscosit dynamique correspond la ralit physique du comportement
dun fluide soumis une sollicitation (effort). En dautre terme, cette dernire
exprime la rigidit dun fluide une vitesse de dformation en cisaillement (voir
la relation * la page 6).
4 CONCLUSION
Les fluides peuvent tre classs en fluides parfaits (sans frottement), fluidesrels (avec frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides
compressibles(gaz). Les fluides sont caractriss par les proprits suivantes: la
masse volumique, le poids volumique, la densit et la viscosit. Ces proprits
seront utilises ultrieurement.
Le comportement mcanique et les proprits physiques des fluides
compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diffrents. En effet, les lois
de la mcanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables
uniquement pour une classe de fluides donne. Conformment la classification
qui a t faite, les lois relatives chaque type de fluides seront exposes dans la
suite du cours dune faon indpendante.
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 8
5 EXERCICES DAPPLICATION
EExxeerrcciicceeNN11::
11 ENONCE
Dterminer le poids volumique de lessence sachant que sa densit d=0,7.On donne :
- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2
- la masse volumique de leau 3/1000 mkg=
22 REPONSE
gd ..= A.N. 3/686781,9.1000.7,0 mN==
EExxeerrcciicceeNN22::
11 ENONCECalculer le poids P0 dun volume V=3 litres dhuile dolive ayant une densit
d=0,918.
22 REPONSE
gVdPo ...= A.N. NPo 2781,9.10.3.1000.918,03 ==
EExxeerrcciicceeNN33:: EEXXTTRRAAIITTDDEELLEEXXAAMMEENNDDUU2233--0066--22000033
11 ENONCE
Quelle est linfluence de la temprature sur la viscosit ?22 REPONSE
Si la temprature augmente la viscosit diminue, et inversement.
EExxeerrcciicceeNN44:: EEXXTTRRAAIITTDDEELLEEXXAAMMEENNDDUU1155--0011--22000044
11 ENONCE
Convertir le stockes en m2/s.
22 REPONSE
Conversion du stockes : smStockes /101 24=
EExxeerrcciicceeNN55:: EEXXTTRRAAIITTDDEELLEEXXAAMMEENNDDUU2244--0066--22000044
11 ENONCE
Expliquer le principe de mesure d'un viscosimtre chute de bille.
22 REPONSE
-
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Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 9
La viscosit cinmatique est proportionnelle au temps mis par une bille sphrique
en chute pour descendre au fond dun tube contenant un fluide de viscosit
inconnue.
EExxeerrcciicceeNN66:: EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU2211--0044--22000033
11 ENONCE
Dterminer la viscosit dynamique de lhuile dolive sachant que sa densit est
0,918 et sa viscosit cinmatique est 1,089 Stockes.
22 REPONSE
.= A.N. sPa.1,010.089,1.918 4 ==
EExxeerrcciicceeNN77::
11 ENONCE
Du fuel port une temprature T=20C a une viscosit
dynamique sPa.10.95 3= . Calculer sa viscosit cinmatique en stockes
sachant que sa densit est d=0,95.
On donne la masse volumique de leau est 3/1000 mkgeau=
22 REPONSE
deau .= A.N. stockessm 1/10.1
95,0.1000
10.95 243
===
-
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CChhaappiittrree22:: STATIQUE DES FLUIDES
1 INTRODUCTIONLors dune plonge sous marine, on constate que la pression de leau augmente
avec la profondeur. La pression deau exerce sur un sous-marin au fond de
locan est considrable. De mme, la pression de leau au fond dun barrage est
nettement plus grande quau voisinage de la surface. Les effets de la pression
doivent tre pris en considration lors du dimensionnement des structures tels que
les barrages, les sous marins, les rservoirs etc. Les ingnieurs doivent calculer
les forces exerces par les fluides avant de concevoir de telles structures.
Ce chapitre est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes
fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le
thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de
lhydrostatique y sont expliqus.
Le calcul des presses hydrauliques, la dtermination de la distribution de la
pression dans un rservoiretc., sont bass sur les lois et thormes
fondamentaux de la statique des fluides.
2 NOTION DE PRESSION EN UN POINT DUN FLUIDE
La pression est une grandeur scalaire. Cest lintensit de la composante normale
de la force quexerce le fluide sur lunit de surface.
Elle est dfinie en un point A dun fluide par lexpression suivante :
A
dS
nr
NFd
r
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 11
dS
dFP
N
A=
o :
dS : Surface lmentaire de la facette de centre A (en mtre carr),n : Vecteur unitaire en A de la normale extrieure la surface,
NdF : Composante normale de la force lmentaire de pression qui sexerce sur la
surface (en Newton),
PA: pression en A (en Pascal),
Sur la surface de centre A, daire dS, oriente par sa normale extrieure n , la force
de pression lmentaire dFsexprime par :
ndSPdF AN ..=
Exemple : Chaque cm2 de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force)
reprsentant le poids de l'atmosphre. C'est la pression atmosphrique au niveau
de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses
cavits (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air la mme pression.
Si on s'lve de 5 000 m, la pression atmosphrique est deux fois plus faible qu'au
niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tte est alors moitimoindre. Do la ncessit dune pressurisation des avions.
En plonge sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le
bar: 1 bar = 1 kg / cm2.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 12
Plus on descend en profondeur, plus la pression est leve car il faut tenir compte
du poids de l'eau au-dessus de nous : 10 mtres de profondeur, chaque cm2de
notre peau supportera un poids gal :
1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = lquivalent du poids
d1 litre deau. Le poids dun litre deau douce est gal 1kg. Le poids dun litre
deau de mer est un plus important ( cause du sel quelle contient) : 1,026 kg.
En ngligeant cette diffrence, on considrera que de manire gnrale un litre
d'eau pse 1 kg.
Par consquent, la pression due l'eau 10 m de profondeur est donc de 1 kg /
cm2, c'est--dire 1 bar. Si on descend nouveau de -10 m, la pression augmentera
nouveau de 1 bar. Cest ce quon appelle la pression hydrostatique (pression due
l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport lasurface.
La pression hydrostatique (comme la pression atmosphrique) sexerce dans
toutes les directions (et pas simplement de haut en bas).
Remarque :
Lunit internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m. Cette unit est
trs petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mcanique,
rsistance des matriaux , etc.,lunit utilise est le mga pascal :
1 MPa= 1 N/mm2=106Pa
En mcanique des fluides on utilise encore trs souvent le bar. Le bar est gal
peu prs la pression atmosphrique moyenne :
1 bar = 105Pa.
3 RELATION FONDAMENTALE DE LHYDROSTATIQUE
Considrons un lment de volume dun fluide incompressible (liquide homogne
de poids volumique ). Cet lment de volume a la forme dun cylindre daxe (G,u ) qui fait un angle avec laxe vertical (O,Z ) dun repre R(O,X
r
,Yr
,Zr
). Soit l la
longueur du cylindre et soit dS sa section droite.
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 13
Soit G1daltitude Z1et G2daltitude Z2, les centres des sections droites extrmes.
Etudions lquilibre du cylindre lmentaire, celui-ci est soumis aux :
- actions distance : son poids : ZdSldPO =
- actions de contact : forces de pression sexerant sur :
o la surface latrale : idF .
o les deux surfaces planes extrmes : udSPudSPdF ..).(. 111 == et
udSPdF ..22 = .avec P1et P2 les pressions du fluide respectivement en G1
et en G2.
Le cylindre lmentaire tant en quilibre dans le fluide, crivons que la rsultantedes forces extrieures qui lui sont appliques est nulle :
021 =+++ dFdFdFdP iO
En projection sur laxe de symtrie (G,u ) du cylindre,
0..cos... 21 =+ dSPdSPdSl
Z
u
2Fd
r
1Fdr
iFdr
l
G1
G2
oPdr
dSZ2
Z1
G
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Chapitre 2 : Statique des fluides
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Exprimons la diffrence de pression P1 P2aprs avoir divis par dS et remarqu
que 12cos ZZl =
)().( 121221 ZZgZZPP == : Relation fondamentale de lhydrostatique.
Autre forme plus gnrale :En divisant les deux membres de la relation prcdente par :
22
11 Z
PZ
P+=+ . Ou encore 2
21
1 Zg
PZ
g
P+=+
Comme G1et G2ont t choisis de faon arbitraire lintrieur dun fluide de poids
volumique , on peut crire en un point quelconque daltitude Z, ou rgne la
pression p :
CteZg
P
Z
P
=+=+
4 THEOREME DE PASCAL
4.1 Enonc
Dans un fluide incompressible en quilibre, toute variation de pression en un
point entrane la mme variation de pression en tout autre point.
4.2 Dmonstration
Supposons quau point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-cidevienne 11 PP + . 1P tant un nombre algbrique. Calculons la variation de
pression 2P qui en rsulte en G1.
Appliquons la relation fondamentale de lhydrostatique entre G1et G2pour le fluide
o ltat initial: )( 1221 ZZPP = (1)
o ltat final : ).()()( 122211 ZZPPPP =++ (2)
En faisant la diffrence entre les quations (2) et (1) on obtient :
021 = PP .
Do 21 PP =
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5 POUSSEE DUN FLUIDE SUR UNE PAROI VERTICALE
5.1 Hypothses
La paroi verticale possde un axe de symtrie (G,Yr
). G est son centre de surface.
Dun cot de la paroi il y a un fluide de poids volumique , de lautre cot, il y a de
lair la pression atmosphrique Patm. On dsigne par PGla pression au centre de
surface G du cot fluide.
5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pressionConnaissant la pression PGau point G, la pression PM au point M est dtermine
en appliquant la relation fondamentale de lhydrostatique : ).( MGGM YYPP =
Dans le repre (G,Xr
, Yr
,Zr
) dfini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc
yPP GM .=
Exprimons la force de pression en M : XdSyPdF Gr
.)..( =
Soit pousse le torseur associ aux forces de pression relative :
{ }
Gs
G
Spousse
dFGMM
dFR
=
=
=
)(
Xr
Yr
G
dFdS
M
y
Goyo
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5.2.1 Rsultante
XdSyPRS
G
r
..).()(
=
que lon peut crire en mettant en facteur les termes constants :
XdSydSPRSS
G
r
....)()(
=
On note que SdSS
=)(
(aire de la paroi),
0..)(
== SydSy Gs
: Moment statique de la surface S par rapport laxe (G,Z ), donc
XSPR G ..=
5.2.2 Moment
= dFGMMG
Dans le repre (G,X , Y ,Z ) on peut crire:
YyGMr
.= et XdSyPdF G .)..( = ,
donc =)(
.)..(.S
GG XdSyPYyM r
Sachant que ZXY = donc ).(....)(
2
)(
ZdSydSyPMSS
GG
=
On sait que 0..)(
== SydSy GS
et),(
)(
2.
ZG
S
IdSy r= : Moment quadratique de la
surface S par rapport laxe (G,Z ) passant par le centre de surface G. Donc
ZIMZGG..
),(r=
En rsum :
{ }G
ZG
G
pousseeZI
XSP
=..
..
),(r
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5.3 Centre de pousse
On cherche dterminer un point G0 o le moment rsultant des forces de
pression est nul.
Compte tenu de lhypothse de symtrie, si ce point existe il appartient laxe
(G,Y) et il est tel que :
000 =+= RGGMM GG .
Ecrivons alors que : GMRGG =0
Avec les rsultats prcdents, on obtient : ZIXSPYyZGG.....),(0
s= ,
ce qui conduit
SPIyG
ZG
.. ),(
0
r
=
Goexiste, il sappelle le centre de pousse de la paroi.
Remarque : Le centre de pousse est toujours au-dessous du centre de surface G.
6 THEOREME DARCHIMEDE
6.1 nonc
Tout corps plong dans un fluide reoit de la part de ce fluide une force
(pousse) verticale, vers le haut dont l'intensit est gale au poids du volume
de fluide dplac (ce volume est donc gal au volume immerg du corps).
PARCH=fluide.Vimm.g
ARCHPr
Fluide
Solide immerg S
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6.2 Dmonstration
Dans un fluide (E) de poids volumique , imaginons un certain volume de fluide
(E1) dlimit par un contour ferm (S) :
Si le fluide est au repos, il est vident que (E1) est en quilibre sous leffet des
actions mcaniques extrieures suivantes :
- Action de la pesanteur, modlisable par le torseur : { })( 1Epes
- Action des forces de pression Fdr
du fluide (E2) qui entoure (E1) modlisable par
le torseur :{ })( 12 EE
On peut donc crire lquation dquilibre de (E1) :{ } { }
{ }0)()(
121
=+ EEEpes
Nous savons quen G, centre de gravit du fluide (E1) le torseur des forces de
pesanteur se rduit un glisseur :{ }G
PEpes
=0
)( 1
Il est donc vident quau mme point G le torseur des forces de pression dFse
rduira lui aussi un glisseur :
{ }G
S
dF
EE
=
0
)( )(12
Lquation dquilibre de la portion de fluide (E1) scrit : 0)(
=+ PdFS
Fluide
Volume imaginaire (E1)Dlimit par le contour S
Volume (E2)extrieur au contour S
Fdr
Poids de (E1)
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Chapitre 2 : Statique des fluides
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(E1) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume
(E1). Si le volume (E1) est occup par un solide immerg ayant le mme contour S,
les forces de pousse sur ce contours (S) sont les mmes , ce qui revient dire
que la force de pousse ne dpend que du volume du fluide dplac et non pas dela nature du solide immerg (plomb, acier, etc).
Conclusion :
Tout corps solide immerg dans un fluide en quilibre est soumis de la part de
celui-ci des forces de pression dF dont les actions mcaniques sont
modlisables au centre de gravit du fluide dplac par un glisseur dont la
rsultante est directement oppose au poids du fluide dplac.
{ }G
PEE
=0
)( 12
Remarques:
- 1ercas : Si le solide immerg est homogne alors le centre de pousse G, point
dapplication de la pousse dArchimde sera confondu avec le centre de gravit
du solide. Lquilibre du solide est indiffrent.
- 2ime cas : Si le solide immerg est htrogne alors le centre de pousse G,
point dapplication de la pousse dArchimde nest pas confondu avec le centre
de gravit Gsdu solide. Lquilibre du solide est stable si G est au dessus de GS.
Lquilibre du solide est instable si G est au dessous de GS.
ARCHPr
Fluide
Solide immerg S
G
Poids du solide
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Chapitre 2 : Statique des fluides
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7 CONCLUSION
La statique des fluides est base principalement sur les rsultats suivants:
a)La diffrence de pression entre deux points est proportionnelle leur diffrence
de profondeur : )().( 121221 ZZgZZPP == :
Cest la relation fondamentale de lhydrostatique,
b)Toute variation de pression en un point engendre la mme variation de pression
en tout autre point daprs le thorme de Pascal.
c) Le torseur associ aux forces de pression dun fluide sur une paroi plane
verticale est : { }GZG
G
pousseeZI
XSP
=..
..
),(r
d)La position du centre de pousse. estSP
Iy
G
ZG
.
.),(
0
r
=
e)Tout corps plong dans un fluide subit une force verticale, oriente vers le hautcest la pousse dArchimdeet dont l'intensit est gale au poids du volume de
fluide dplac.
ARCHPr
Fluide
Solide immerg S
G
Poids du solide
GS
Position stable
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8 EXERCICES DAPLICATION
EExxeerrcciicceeNN11:: Extrait du devoir surveill du 30-10-2006
11 ENONCE
La figure ci-dessous reprsente un cric hydraulique form de deux pistons (1) et(2) de section circulaire.
Sous leffet dune action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force
de pression hPF /1r
sur lhuile. Lhuile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force
2/ phFr
On donne :
- les diamtres de chacun des pistons : D1= 10 mm; D2= 100 mm.
- lintensit de la force de pression en A : Fp1/h= 150 N.
Travail demand :
1)Dterminer la pression PAde lhuile au point A.
2)Quelle est la pression PB?
3)En dduire lintensit de la force de pression Fh/p2.
22 REPONSE
1) Pression PAde lhuile au point A: 21
/1
.
.4
D
FP hPA
= A.N aA PP
5
210.19
01,0.
150.4==
2) RFH entre A et B: ).( ABBA ZZPP = , or ZA= ZBdonc PascalPP AB510.19== .
3) Force de pression en B :4
..
2
22/
DPF BPh
= .N. NF Ph 56,14922
4
1,0..10.19
25
2/ ==
Commentaire: On constate que la force Fp1/h= 150 N est relativement faible par
rapport Fh/P2=14922,56 N. Avec ce systme nous avons atteint un rapport de
Z
ZA=ZB
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Chapitre 2 : Statique des fluides
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rduction de force de presque 100. Ce rapport correspond au rapport des
diamtres des cylindres. On utilise souvent le mme principe de rduction deffort
dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique).
EExxeerrcciicceeNN22:: EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU1133--1122--22000044
11 ENONCE
La figure ci-dessous reprsente un rservoir ouvert, quip de deux tubes
pizomtriques et rempli avec deux liquides non miscibles :
- de l'huile de masse volumique 1=850 kg/m3sur une hauteur h1=6 m,
- de l'eau de masse volumique 1=1000 kg/m3sur une hauteur h2=5 m.
On dsigne par:
- A un point de la surface libre de l'huile,
- B un point sur l'interface entre les deux liquides,
- C un point appartenant au fond du rservoir- D et E les points reprsentants les niveaux dans les tubes pizimtriques,
- (O,Zr
) est un axe vertical tel que ZC=O.
Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points:
1) B et A. En dduire la pression PB (en bar) au point B.
2) A et E. En dduire le niveau de l'huile ZEdans le tube pizomtrique.
Zr
eau
huile
A
B
C
E
Dh1
h2
Tubes pizomtriques
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 23
3) C et B. En dduire la pression PC(en bar) au point C.
4) C et D. En dduire le niveau de l'eau ZDdans le tube pizomtrique.
22 REPONSE
1)RFH entre B et A : )(1 BAAB ZZgPP = Or PA=Patmet ZA-ZB=h1
Donc 11 .hgPP atmB += A.N. barPaPB 5,11500316.81,9.850105 ==+=
2)RFH entre A et E : )(1 AEEA ZZgPP = Or PA=PE=Patm
Donc 21 hhZZ AE +== A.N. mZE 1156 =+=
3)RFH entre C et B : )(2 CBBC ZZgPP = Or ZB-ZC=h2
Donc 22 .hgPP BC += A.N. barPaPC 21990815.81,9.1000150031 ==+=
4)RFH entre C et D : )(2 CDDC ZZgPP = Or PD=Patmet ZC=0
Doncg
PPZ atmCD
.2
= A.N. mZD 1,10
81,9.1000
10199081 5=
=
EExxeerrcciicceeNN33:: EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU1133--1122--22000077
11 ENONCE
Soit un tube en U ferm une extrmit qui contient deux liquides non miscibles.
Entre les surfaces :
- (1) et (2) il sagit de lessence de masse volumique essence=700 kg/m3.
- (2) et (3), il sagit du mercure de masse volumique mercure=13600 kg/m3.
La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar.
Lacclration de la pesanteur est g=9,8 m/s2.
La branche ferme emprisonne un gaz une pression P3quon cherche calculer.
Z
Z1
Z3
Z2
(1)
(2)(3)
hh
Essence
Mercure
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 24
1)En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de lHydrostatique) pour
lessence, calculer la pression P2(en mbar) au niveau de la surface de sparation
(2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm.
2)De mme, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la
surface (3) sachant que h= (Z3-Z2)= 15 mm.
22 REPONSE
1) RFH pour lessence : ( )2112 .. ZZgPP essence =
hgPP essence ..12 += A.N. mbarpascalP 105010.05,1728,0.8,9.7001055
2 ==+=
2) RFH pour le mercure : ( )2332 .. ZZgPP mercure =
'..23 hgPP mercure= A.N. mbarpascalP 103010.03,115,0.8,9.1360010.105053
3 ===
EExxeerrcciicceeNN44:: EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU2211--0044--2200003311 ENONCE
Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimtres. On
verse dans lune des branches un mlange deau - alcool thylique qui forme une
colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lautre branche, on verse de leau
pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu ce que les deux surfaces du
mercure reviennent dans un mme plan horizontal. On mesure alors la hauteur de
la colonne deau h2=24 cm.
1)Appliquer la relation fondamentale de lhydrostatique pour les trois fluides.
Z
Eau
Mercure
Alcooles h1h2
(1)
(2) (3)
(4)
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 25
2)En dduire la masse volumique du mlange eau alcool thylique.
22 REPONSE
1)Relation fondamentale de lhydrostatique :
Alcool : 112 .. hgPP alcool=
Mercure : 032 =PP
Eau : 243 .. hgPP eau=
2)On sait que P1=P2=Patmet P2=P3 donc 21 .... hghg eaualcool =
Donc1
2.h
heaualcool = A.N.
3/800
30
24.1000 mkgalcool ==
EExxeerrcciicceeNN55::
11 ENONCEOn considre un tube en U contenant trois liquides:
- de leau ayant une masse volumique 1= 1000 kg/m3,
- du mercure ayant une masse volumique 2= 13600 kg/m3,
- de lessence ayant une masse volumique 3= 700 kg/m3.
On donne :
Z0 Z1= 0,2 m
Z3 Z2= 0,1 m
Z1+ Z2= 1,0 m
Z3
Z2
Z0
Z1
eau
mercure
essence
Zr
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 26
On demande de calculer Z0, Z1, Z2et Z3.
22 REPONSE
Daprs (RFH), chapitre 2, on peut crire:
P1 P0= 1.g.( Z0 Z1)
P2 P1= 2.g.( Z1 Z2)
P3 P2= 3.g.( Z2 Z3)
Puisque que P0= P3= Patm, en faisant la somme de ces trois quations on obtient :
1.( Z0 Z1) + 2.( Z1 Z2) + 3.( Z2 Z3) = 0
).().()( 232
310
2
112 ZZZZZZ =
A.N: (Z2 Z1) = 0,0096 m
or (Z1+ Z2) = 1,0 m donc Z2= 0,5048 m et Z1= 0,4952 m
(Z3 Z2) = 0,1 m donc Z3= 0,6048 m
(Z0 Z1) = 0,2 m donc Z0= 0,6952 m
EExxeerrcciicceeNN66::
11 ENONCE
La figure ci-dessus reprsente un barrage ayant les dimensions suivantes :longueur b=200 m, hauteur h=60 m
Le barrage est soumis aux actions de pression de leau.
Le poids volumique de leau est : 33 /10.81,9 mN= .
On demande de :
Yr
Zr
(S)
G
Go
yoh=60
b = 200 m
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 27
1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de leau.
2) Calculer la position y0du centre de pousse G0.
22 REPONSE
1) Calcul de R :
SPR G .= ,
On applique la RFH entre le point G et un point A la surface de leau on obtient :
AG Ph
P +=2.
En A, sommet du barrage, la pression de leau est suppos gale la pression
atmosphrique.La surface du barrage est : hbS .= , donc :
.
.).2.( hbh
PR atm += A.N..
10.73,460.200).2
60.981010( 95 NR =+=
2) Calcul de y0 :
R
Iy
ZGr
r
),(
0
.=
Le moment quadratique12
. 3
),(
hbI
ZG =r , donc
R
bh
y r12.
3
0
= A.N. my 46,710.73,4
12
60.200.9810
9
3
0 ==
Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs au dessous du
centre de surface. Dans le calcul de stabilit du barrage il est hors de question de
confondre ces deux points.
EExxeerrcciicceeNN77::
11 ENONCE
Un piston de vrin a un diamtre d=60 mm. Il rgne au centre de surface G du
piston une pression de 40 bar, soit environ PG=4 MPa.
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 28
Lhuile contenue dans le vrin a un poids volumique 33 /10.8,0.81,9 mN= .
On demande de :
1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de lhuile.
2) Calculer la position y0du centre de pousse G0.
22 REPONSE
1) Calcul de R :
SPR G .= avec4
. 2dS = , donc
4
..
2dPR G
= A.N. NR 310.3,11=
2) Calcul de y0 :
R
Iy
ZGr
r
),(
0
.= avec
64
.),(
4d
zGI
= , doncR
d
y r64
..
4
0
=
A.N. my 73
4
0 10.4,410.3,11
64
06,0..8,0.9810
==
Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs voisin du centre de
surface. Dans le calcul de pousse du vrin il est, donc, tout fait normal de les
confondre.
Yr
Zr
d = 60
Go
yo
G
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 29
EExxeerrcciicceeNN88:: EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU2211--0044--22000033
11 ENONCE
Un rservoir de forme paralllpipdique ayant les dimensions suivantes :
- hauteur h = 3m,
- longueur L1= 8 m,
- largeur L2= 6 m.
est compltement remplie dhuile de masse volumique 3/900 mkg= .
1)Calculer le module de la rsultante des forces de pression sur chaque surface
du rservoir (les quatre faces latrale et le fond).
2)Dterminer pour les surfaces latrales la position du point dapplication (centrede pousse).
22 REPONSE
1) SPR G .=
Sur les parois latrales :
1
2
11 ....2
1..
2. LhgLhh
R == A.N. NR 3178448.3.81,9.900.2
1 21 ==
2
2
22 ....2
1..
2. LhgLhh
R == A.N. NR 2383836.3.81,9.900.2
1 22 ==
Sur le fond du rservoir :
h
L1
L2
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 30
21213 ...... LLhgLLhR == A.N. NR 12713768.6.3.81,9.9003 ==
2)Les points dapplication sont mh
13
= du fond pour les faces latrales.
EExxeerrcciicceeNN99:: EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU0022--0066--2200008811 ENONCE
On considre un rcipient en forme de paralllpipde de largeur b=2 m, ouvert
lair libre et rempli jusqu une hauteur h=1,5 m avec du mercure de masse
volumique =13600 kg/m3.
On dsigne par:
- G le centre de gravit de la surface mouille S.
- ( )ZYXGrrr
,,, un R.O.D. o Xr
est orthogonal S et Yr
est vertical.
On donne lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.
1)En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer
la pression PG.
2)Dterminer lintensit de la rsultante Rr
des forces de pression agissant sur S.
3)Calculer le moment quadratique),( ZG
I r de la surface S.
h
G Xr
Yr
Zr
b
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 31
4)Calculer la position Y0du centre de pousse.
22 REPONSE
1)RFH entre G et M : ( )GMMG YYgPP = .. or YM=h/2 , YG=0 et PM=Patmdonc
2.. h
gPP atmG +=
A.N. barPG 210.22
5,1.81,9.1360010 55 ==+=
2)Intensit de la rsultante : bhPSPR GG .. ==r
A.N. NR 55 10.65,1.2.10.2 ==r
3)Moment quadratique : 12
3
),(
bh
I ZG =r
A.N.
43
),( 5625,012
5,1.2
mI ZG ==r
4)Position du centre de pousse :R
IY
ZG
o r
r
),(.
=
A.N. mYo 125,010.6
5625,0.81,9.136005
==
EExxeerrcciicceeNN1100::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU2233--0055--22000033
11 ENONCE
On considre un aquarium gant utilis dans les parcs dattraction reprsent par
la figure suivante :
X
H
O
a=2 m
Z
vitre
1 m
R
r
G0
ZR
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 32
Il est rempli deau une hauteur H= 6m, et quip dune partie vitre de forme
rectangulaire de dimensions (2m x 3m)qui permet de visualiser lintrieur.
Travail demand :
1)Reprsenter le champ de pression qui sexerce sur la partie vitre.
2)Dterminer le module de la rsultante Rr
des forces de pression.
3)Calculer la profondeur ZRdu centre de pousse.
4)Reprendre les questions 2. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la
partie vitre par une forme circulaire de diamtre d= 2m.
22 REPONSE
1)Le champ de pression agissant sur le vitrage a lallure suivante :
2)Si on nglige la pression atmosphrique, la rsultante des forces de pressions :
XSPR G ..= avec baS .= donc gZSgR ...=r
A.N. NR 2354404.6.81,9.1000 ==r
3)La profondeur ZRdu centre de pousse est donne par lexpression suivante :
G
G
YG
R ZSZ
IZ +=
.
),(r
ou 43
),(2
12
3.2mI
YG ==r A.N. mZR 0833,4=
4) Cas dune partie vitre de forme circulaire de diamtre d= 2 m :
22
141,34
.m
dS ==
, 4
4
),(785,0
64
.m
dI
YG ==
r
gZSgR ...=r
A.N. NR 123252=r
X
H
O
2 m
Z1 m
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 33
G
G
YG
R ZSZ
IZ +=
.
),(r
A.N. mZR 0625,4414,3.4
785,0=+=
EExxeerrcciicceeNN1111::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU3300--1100--22000066
11 ENONCE
Une vanne de vidange est constitue par un disque de diamtre d pivotant autour
dun axe horizontal (G,Zr
). Le centre G du disque est positionn une hauteur
h=15,3 m par rapport au niveau deau.
On donne :
- le diamtre de la vanne : d = 1 m,
- la pression atmosphrique Patm= 1 bar,- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2,
- la masse volumique de leau =1000 kg/m3.
Travail demand :
1)Dterminer le poids volumique de leau.
2)Dterminer la pression PGde leau au point G.
3)Calculer lintensit de la pousse Rr
sur le disque.
4)Calculer le moment quadratique ),( ZGI r du disque par rapport laxe (G,Zr
).
5)Calculer le moment GMr
des forces de pression agissant sur le disque.
6)Dterminer la position du centre de pousse y0.
22 REPONSE
1)Poids volumique g.=
XG
Y
eau
h
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 34
A.N. 3/981081,9.1000 mN==
2)Pression au point G hPP atmG .+= .
A.N. PascalPG55 10.5,23,15.981010 =+=
3)Intensit de la pousse4
..
2d
PR G
=s
A.N. NR 5,1963494
1..10.5,2
25 ==
s
4)Moment quadratique64
. 4
),(
dI
ZG
=r
A.N. 44
),(
049,064
1.mI
ZG
==
r
5)Moment des forces de pression ZIMZGG
rr
r ..),(
=
A.N. mNMG .6,480049,0.9810 ==r
6)Position centre de pousse :( )
R
Iy
ZG
c r
r
,.
=
A.N.my
c
310.44,25,196349
049,0.9810 ==
EExxeerrcciicceeNN1122::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU1133--1122--22000044
11 ENONCE
Une conduite AB de longueur L =646 mm est soude sur un rservoir cylindrique
de diamtre D = 3 m. Le rservoir est rempli jusqu'au point A avec du ptrole brut
de densit d = 0,95.
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 35
Le repre (G,Xr
,Yr
,Zr
) a t choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S
(fond de rservoir). (G,Xr
) est l'axe de rvolution du rservoir et (G,Yr
) est vertical.
On donne:
- la masse volumique de l'eau eau=1000 kg/m3,
- l'acclration de la pesanteur g=9,81 m.s-2,
- la pression PA=Patm=1bar.
Travail demand :
1)Quelle est la masse volumique du ptrole?
2)En dduire son poids volumique .
3)En appliquant la RFH entre G et A, dterminer la pression PGau point G.
4)Calculer le module de la rsultante Rr
des forces de pression du ptrole sur le
fond du rservoir.
5)Calculer le moment quadratique),( ZG
I r de la surface circulaire S par rapport
l'axe (G, Zr
).
6)Dterminer la position y0du centre de pousse G0.
22 REPONSE
Yr
Zr
Xr
Yr
G
G0
G
G0y0 R
r
L
D
A
BB
A
Surface S
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 36
1) Masse volumique du ptrole: eaud .= A.N.3/95081,9.95,0 mkg==
2) Poids volumique : g.= A.N. 3/5,931981,9.950 mN==
3) RFH entre G et A : )(. GAAG YYgPP = Or PA=Patmet YG=0
Donc )2
.(. D
LgPP atmG ++=
A.N. barPaPG 2,164,119999)5,1646,0.(81,9.950105 ==++=
4) Intensit de la rsultante :4
..
2DPR G
=
r
A.N. NR 47,8482274
3..64,119999
2
== r
5) Moment quadratique:64
. 4
),(
DI
ZG
=r A.N. 4
4
),(976,3
64
3.mI
ZG ==
r
6) Position du centre de pousse :R
Iy
ZGr
r
),(
0
.=
A.N. my 04368,047,848227
976,3.5,93190 ==
EExxeerrcciicceeNN1133::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU1133--1122--22000077
11 ENONCE
Suite au naufrage dun ptrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter lpave et
reprer dventuelles fuites. Lpave repose une profondeur h= 1981 m.
On donne :
- lacclration de la pesanteur g= 9,8 m/s2,
- la pression atmosphrique Patm= 1 bar,
- la masse volumique de leau de mer est = 1025 kg/m3,
Le sous marin est quip dun hublot vitr de diamtre d= 310 mm., de centre degravit G, et de normale ( ),( XG
r
est situ dans un plan vertical ),,( ZYGrr
. Laxe
),( ZGr
est vertical.
Travail demand :
1)Calculez la pression PGde leau cette profondeur au point G.
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 37
2)Quelle est lintensit ( Rr
) de la rsultante des actions de pression de leau sur
le hublot ?
3)Calculer le moment quadratique),( ZG
I r du hublot.
4)Quelle est lintensit ( GMr
) du moment des actions de pression de leau sur le
hublot ?
22 REPONSE
1) RFH entre le point G et un point M la surface : ( ) hgZZgPP GMMG .... ==
hgPP atmG ..+=
A.N. barpascalPG 20010.2001981.8,9.10251055 ==+=
2) Intensit de la rsultante :4
...
2d
PSPR GG
==r
A.N. NR 52
5 10.154
310,0..10.200 ==
r
3) Moment quadratique :64
. 4
),(
dI
YG
=r
A.N 444
),(10.533,4
64
310,0.mI
YG
==
r
4) Intensit du moment :),(
.YGG
IM rr
=
A.N NmMG 5,410.533,4.8,9.1025' ==
r
EExxeerrcciicceeNN1144::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU1111--1111--22000033
11 ENONCE
La figure ci-dessous reprsente une vanne de scurit de forme rectangulaire
destine un barrage. Elle permet dvacuer leau stocke dans le barrage surtout
lorsque le niveau du fluide devient lev.
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 38
Les dimensions de la vanne sont :b=4 m et h= 2 m. Sa partie suprieure affleure
la surface du plan deau.
Un repre (G,Xr
,Yr
,Zr
) est reprsent sur la figure tel que : G est le centre de
surface de la vanne.
On donne : la masse volumique de leau =1000 kg/m3 et lacclration de la
pesanteur g=9,81 m/s2,
Travail demand :
1)En ngligeant la pression atmosphrique, calculer la pression PG de leau au
centre de gravit.
2)Dterminer la rsultante Rr
des forces de pression.
yr
xr
G
h
A
(vanne)
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 39
3)Dterminer le moment GMr
des forces de pression.
4)Calculer lordonne y0du centre de pousse.
22 REPONSE
1)RFH entre G et A: ).(. GAAG yygPP = Or yG=0, yA=h/2, PA=Patm (nglige)
Donc2.. h
gPG =
A.N. PaPG 98191.81,9.1000 ==
2) xSPR Gr
r
..=
avec hbS .= donc xbhPR Gr
r
..=
A.N. NR 784802.4.9810 ==r
3) zIgM zGGr
r
r ... ),(= Avec12
3
),(
bhI zG =r
Donc zbh
gMGr
r
.12
..3
=
A.N. NMG 2616012
8.4.81,9.1000 ==
r
4)R
My
G
r
r
=0
A.N. my 33,078480
261600 ==
EExxeerrcciicceeNN1155::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU2299--1100--22000022
11 ENONCE
On considre un rservoir deau quip au niveau de sa base dune plaque
rectangulaire qui peut tourner dun angle ( 0 ) autour dun axe (A,Z ).
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 40
Dun cot, la plaque est soumise aux forces de pression de leau et de lautre cot,
elle est soumise la pression atmosphrique (Patm). Sous leffet des forces de
pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure dune
faon naturelle la fermeture tanche ( 0= ) ou louverture ( 0 ) du rservoir.
Lobjectif de cet exercice est de dterminer la valeur h0du niveau deau partir de
laquelle le rservoir souvre automatiquement.
On donne :
- le poids volumique de leau : 33 /10.81,9 mN=
- les dimensions de la plaque : a=0,75 m (selon laxe Z) , b=1,500 (selon laxe
Y )
- la distance entre le centre de surface G et laxe de rotation (A,Z ) est : d=50 mm
- la pression au point O est Po=PatmTravail demand :
1)En appliquant le principe fondamental de lhydrostatique, donner lexpression de
la pression de leau PGau centre de surface G en fonction de la hauteur h.
db
Y
O
Patm
Patm
X
Y
Z
A
G
a
Axe de rotation
Vue suivant X
de la plaque
eauh
-
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2)Dterminer les expressions de la rsultante R et du moment GM associs au
torseur des forces de pression hydrostatique dans le repre ZYXG ,,, .
3)En dduire lexpression du moment AM des forces de pression de leau, par
rapport laxe de rotation (A,Z).
4)Donner lexpression du moment AM' des forces de pression atmosphrique
agissant sur la plaque, par rapport laxe de rotation (A,Z ).
5)A partir de quelle valeur h0du niveau deau la plaque pivote ( 0 ) ?
22 REPONSE
1)Principe fondamental de lhydrostatique : ( )GG YYPP = 00 . or2
0
bhY = ;
0=GY et atmPP =0 Donc
+=2
. b
hPP atmG
2) XSPR G ..= avec baS .= donc Xbab
hPR atm ...2
.
+=
3) ZzGIMG .,.= avec12
. 3baI= donc Z
abMG .
12.
3
=
RAGMM GA += avec YdAG .= donc ZbabhPdbaM atmA ...2
..12..
3
+=
4) ZdbaPM atmA ....' =
5)La plaque pivote ( 0
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 42
On considre une sphre pleine en bois de rayon r=20 cm et une sphre creuse
en acier de rayon r=20 cm et dpaisseur e=8 mm.
On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide.
On donne :
- la masse volumique du bois : bois= 700 kg/m3
- la masse volumique de lacier : acier= 7800 kg/m3
- la masse volumique de leau : eau= 1000 kg/m3
1) Dterminer le poids dunechaquesphre.
2) Dterminer la pouss dArchimde qui sexercerait sur chacune de ces sphres
si elles taient totalement immerges dans leau.
3) Ces sphres pourraient-elles flotter la surface de leau ?
4) Si oui quelle est la fraction du volume immerg ?
22 REPONSE
1) Poids de chaque sphre: poids = .g.V )..3
4.(.
3rgpoids boisbois = A.N.
Npoidsbois 2300335,08,9700 == )]).(.3
4()..
3
4.[(. 33 errgpoids aciersacier =
A. N. Npoidsacier 29500386,08,97800 ==
2) Pousse dArchimde :La pouss dArchimde est gale au poids du volume dplac. Or lorsquelles sont
totalement immerges, ces deux sphres vont dplacer le mmevolume e volume
donc: )..3
4.(. 3rgP eauARCH = A.N. NPARCH 3280335,08,91000 ==
3)Ces deux sphres peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont infrieurs
la pouss dArchimde.
4) A lquilibre la pouss dArchimde est gale au poids :
5)
230 = 1000.9,8.Vbois immergVbois immerg= 0,0234 m3 soit F=70%.
295 = 1000.9,8.Vacier immerg Vacier immerg= 0,0301 m3 soit F=90%.
EExxeerrcciicceeNN1177::EEXXTTRRAAIITTDDEELLEEXXAAMMEENNDDUU1155--0011--22000077
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 43
11 ENONCE
Une sphre de rayon R=10 cm flotte moiti (fraction du volume immerg F1=50
%) la surface de leau de mer (masse volumique mer=1025 kg/m3).
1)Dterminer son poids P.
2)Quelle sera la fraction du volume immerg F2si cette sphre flottait la surface
de lhuile (masse volumique huile=800 kg/m3) ?
22 REPONSE
1)Equation dquilibre : gRFgVFPPoids mermerARCH ...3
4....
3
11 ===
A.N. NPoids 2181,9.1025.1,03
4
2
1 3 ==
2) PoidsgVFPPoids huileARCH == ...2
quivaut huile
merF
2
12 = AN. %64
800
1025
2
12 ==F
EExxeerrcciicceeNN1188::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU1133--1122--22000077
11 ENONCE
La glace -10C a une masse volumique glace= 995 kg/m3. Un iceberg sphrique
de 1000 tonnes flotte la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique
eau= 1025 kg/m3.
Travail demand :1)Dterminer la fraction F du volume immerge ?
2)Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ?
22 REPONSE
Eau de mer
glace
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs.Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 44
1)Equation dquilibre : Parch=Poids immergeautotalglace VgVg .... =
donc 100.100.eau
glace
total
immerg
V
VF
==
A.N. %97100.1025995 ==F
2)La fraction F ne dpend que du rapport des masses volumiques. Elle est
indpendante de la forme. Donc F=97% si la forme tait cubique.
EExxeerrcciicceeNN1199::EEXXTTRRAAIITTDDEELLEEXXAAMMEENNDDUU2200--0066--22000055
11 ENONCE
Un cube en acier de cot a=50 cm flotte sur du mercure.
On donne les masses volumiques :
- de lacier 1= 7800 kg/m3
- du mercure 2= 13600 kg/m3
1)Appliquer le thorme dArchimde,
2)Dterminer la hauteur h immerge.
22 REPONSE
1)Thorme dArchimde : la pousse dArchimde est gal au poids du volume
dplac: ghaPARCH ... 22 = .
2)Equation dquilibre : PoidsPARCH=
Donc gagha ..... 13
2
2 =
quivaut ah .
2
1
=
A.N. cmh 676,2850.13600
7800==
EExxeerrcciicceeNN2200::EEXXTTRRAAIITTDDUUDDEEVVOOIIRRSSUURRVVEEIILLLLEEDDUU2211--0044--22000033
11 ENONCE
h
a
-
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Chapitre 2 : Statique des fluides
On considre une plate-forme compose dune plaque plane et de trois poutres
cylindriques en bois qui flottent la surface de la mer.
On donne:
- les dimensions dune poutre: diamtre d=0,5 m et longueur L=4 m,
- la masse volumique du bois : 3/700 mkgbois= ,
- la masse volumique de leau de mer: 3/1027 mkgmer= ,
- la masse de la plaque Mc= 350 kg,
- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.
Travail demand:
1)Calculer le poids total P0de la plate-forme.
2)Ecrire lquation dquilibre de la plate-forme.
3)En dduire la fraction F(%) du volume immerg des poutres.
4)Dterminer la masse Mc maximale quon peut placer sur la plate-forme sans
limmerger.
22 REPONSE
1) Poids total de la plate-forme : ( ) ).4
...3(..3
2
0 Ld
MgMMP boispbp
+=+=
A.N. NP 49,1961381,9.4.4
5,0.
.700.3350
2
0 =
+=
2) Equation dquilibre : P0 = Pousse dArchimde
3) PARCH= poids du volume deau dplac
Eau de mer
Plaque
Bois d