1-NUMEROS NATURALES

5/10/2018 1-NUMEROS NATURALES - slidepdf.com

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-_. --

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v _ " ' "

sm. ~.•

I I ' - - -

I



I. N U M ER O S N A T U R A L E S . O PE R A C IO NE S )

Escr i tura y representacion

CO PA RA EM PEZA R

C o m o se leen y escriben lo s num erus naturales

S e divide el num ero en grupos de tres cifras, e rnp ezand o p ar la derecha,

{

la cifra de la derecha se llam a unidad (U )

E n c ada grupo de tres cifras: la citra de l centro se llam a decena (0)

la cifra de 1 8 izquierda se llam a centena [C ]

C ada cifra tiene un valor diferente segun el lugar 0 posicion que ocupa,Ejemplo: E n el nurnero 5 35743 65, 1 '1cifra 5 tiene un v a lo r d is tin to en cada luna d e la s tre s p os ic io ne s q ue D cu pa .

~ u nid ad es

z, centenas de millar =500000 unidades

. :; decenas de mil16n =50 0 00 000 unidades

Este nurnero Sf lee: cincuenta y t re s m l llo n es quini e: nto s s etenta y cuatro m il trescientos sesenta y cinco,

1 C om pleta la tabla.

Millares ( f \ \ I l Unidadesom re umero r---

U M 1!

1m Dm U rn CM 'DM C D U

C ie nto tre s m i llo ne s d as cie nta s c ua tro m il 103204009 1 0 3 2 0 4 0 0 9nueve unidades,

Un ...... . . . .. . . . .. . . .cien to . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. tre s m il

.. . .. . . . .. . . . .. . . . ..veint iacho ..... . . .. . . . .. . . . .. . .1 2 3

63504

!

N 0 N'M illanes [m )

2 Escribe con cifras y can p alab ras e l n um ero que es una unidad mayor que 103204009.

3 E scribe con cifras yean palabras el num ero que ES seis unidades de m illar m ayor

que 103204009.

B E C U E R D A

4 Disminuye el numero 103204009 e n dos decenaslos millanes yen tres centenaslas unidades. Escribe con cifras y con palabras el num ero que resulta.

C uan dJ ) se n om b ra

u n n um e ro la

palasra unldades

n o s ue le , d ed rs _e .

2



E je rc ic io r es u e lto

D esco m p6n en fo rm a de sum a el nurnero 87838 y escribe a cuantas unidades equivalen cada una de

s us c if ras :

8 7 8 3 8 = 80000 + 7000 + 800 + 30 + 8

IIa unidades

3 decenas ;=; 30 unidades

8 centenas = 800 unidades

7 u nid ad es de millar = 7000 unidades

8 decenas de m illar = BOO OO unidades

5 D escom po n en fo rm a de sum a lo s siguientes nurneros:

a ) 544 = ..

b) 54454= ..

6 Escr ibe 105 nurneros a q u e c o rre sp o nd e n la s s ig u ien tes d esc o m p o s ic io nes:

a) 200000 + 10000 + 500 -I- 50 + 8 = .

b) 4000 + 300 -I- 20 + 1=" , ..

7 D escom pon en fo rm a de sum a el num ero 246891 y escribe a c u a n t a s u n id a de s e qu iv a le n cada U l n a de

s us c if ras :

246891=

llll8 C on las cifras 3, 9 Y 6, escribe to dos los num eros posib les de tres cifras sin que tengan ninguna repetida.

E n cada uno de lo s numerus que escribas ind ica el nom bre del lugar que oc:upa la cifra 3 y a cuantas

u n id a de s e q uiv a le .

9 C om pleta la siguiente tabla can lo s nurnero s anterio r y po sterio r a cada uno

de los que se dan:

Anter ior Nurrrero I Posterior I

I

1899

888000

233340

59999

R E C U E R D A

Posterior es el que

va detras y seobtiene

snrnando una unidad.Anterior es el qu e

va antes y se obtiene

restando Ulna unidad.

3



r

1

P AR A A VA NZ AR

C o m o se represen tan los m im eros sobre la recta

P ara representar los niim eros naturales sabre una recta:

1 ." Se traza una linea recta y se

tom a com o origen un puntoque represents a I cera.

2." A la derecha del cera, se elige

o tro p un to que representa al 1y Sf toms como unidad la

distancia de l 0 all.

3." Se lIeva esta un idad a la

derecha tantas veces comoindica el nurn ero q ue se quiere

representar.

o o 1

10 R epresenta en la siguiente recta num erics. adernas del cera, 105 num erus dell al 10.

11 R epresenta en la siguiente recta los numeros naturales dell a112.

o 5

1 2 R epresenta en Ia si gu iente recta estos n u rneros natu ra les: 2 , 7 r 3, 9 , 11 .

o 4

13 D ibuja una recta nurnerica, senalando e n ella adernas del cera los nueve prim eros nurneros pares.

4 D ibuja una recta num erics y sefiala en leila adernas del cera todos los nurneros im pares que h a y entre

el 6 y el 16.

15 D ibuja en una recta num erica los nurneros naturales com prendidos entre:

a) 2 y 13

b) 7 Y 15

4



C o m o se ordenan los nurneros naturales

• S i los nurneros tl en en d is tin ta

cantidad de cif ras, es m ay or

el nurnero que tien e m as cifras,

• S i los nurneros t ienen la misma

cantldad de cifras, se cornparan

la s c if ra s s ltuad as m a s a la

izquierda.

Ejemp/o : 323999 -- 6 cifras

259876 - 6 clfras

E I n urn ero m a yo re s 32399B

ya que 3 es mayo r qu e 2:

Ejemplo : 54378 5 cifras

9876 __...,... 4 cifras999 ____....,.3 clfras

154378> 9876> '9991 323999 > 259876

16 C am para y ordena de m ayor a m enor los siguientes num eros:

24652 432876 32754 2314

17 C am pa ra y ordena de m enor a m ayor los siquientes num erus:

2614 2164 6421 4612 4162

• Si la cifra situada m as a la

iz qu ie rd a co in cid e, se co m para

la siguiente. S e repite el proceso

hasta que tie ne n u na c ifra

diferente.

£ jemp lo : 254378 ... 6 cifras259876 ____.. 6 , cifras

EI nurnero mayor es 259876 y a

que 9 es m ayo r que 4:

259876> 254378 I

543123

R E C U E R D A

36 ;;. 2

m ayo r que

22 < 36

menor que

1246,

16 O rdena de m ayor a m enor las siguientes distancias. E scribe en cada caso el luqar que ocupa la cifra de

m ayo r o rd en:

a) D esde la T ierra 1 3 1 S ol 150000000 kllometros.

b) U na vuelta a la Tierra 40000 kilometres.

c) D esde la T ierra a la L una 384000 kilometros,

d) lDesdeel S ol a Saturno 1400000000 kilometres.

19 L as siq uie nte s p ob la cio ne s e sta n e n o rd en a lfa be tico y con su nurnero de habitantes sequn el censo

de 2001. O rdenalas de menor a m ayo r nurnero de habita ntes,

r -"Obla

Habita

cion Albarracin j Alp Cazerla Cudillero Ja randi lla Hascafrfa R iaza Salient

n t e s 105011219 8114 6094 2970 1550 1898 1080

I ._

20 C on las cifras 0, 3, 5, 7, 8 Y 9 Y sin re pe tir ninguna escribe:

a) EI mayor nurnero de cuatro clfras: . d E I mayor numero de tres cifras:

b) E l r ne no r n ur ne ro de cuatro clfras: . d) E I menor nurnero de tres cifras:

5



Operaciones

CO P A R A E M P E Z A R

C om o se su m an y s e res ta n numeros naturales

P a ra s um a r n ur ne ro s n atu ra le s:

1 .0 S e colocan lo s sum a nd os un o deba]o del otro ,

hacienda coincidir en la rnisrna co lum n a las cifras

que o cu pan la m ism a p osicio n.

2.° S e sum an po r co lum nas.

D M U M : C o U

:~lsumandOS

--------~--------A~--

'8 6 W3 9 I J . . 8--Suma 0 total

81934 + 645 + 3 819 =[863981

8

+

Para restar nurneros naturales:

1. 0 S e co lo ca elsustraendo debajo del rn inuendo,

h acien da co in cid ir en la m ism a co lum na la s cifras

q ue o cu pa n la m i sm a p o sic io n .

2. ° S e resta al m inuendo el sustraendo,

O M r U M C D UI

~ IO IL l

'8 0 5 4 -- Minuendo

- I 3 2-1 5 --Sustraendo

8 0 7 2 9 -- D iferencia

81054 - 325 =[807291

a resta

2 1 C olo ca y e fe ctu a la s s ig u ie nte s o p era cio n es :

a ) 22 + 98877 + 179 = b) 94647 - 9354 =

2 2 A un partido d e futbo l han aslstido 18 946 adulto s y 2 8 4 7 nifios, lC u an to s e sp ecta do re s e n to ta l h ub o

e n e l e sta dio ?

2 3 U na biblio teca tiene e ste m es 4405 libro s infantile s y 2 391 6 libro s para adulto s. S i e l m es que viene

traen 69 libro s m as, lcuanto s libro s tiene esta sem ana? lY la sem ana que viene?

24 D e lo s 2 35 4 k ilo m e tre s q ue d eb en re co rre r lo s c ic lis ta s e n u na c om p eticio n, h an re co rrid o 9 8 7 ki lometres.

lC u an to s k ilo m etre s le s fa lta n p ara a ca ba r 1 a cornpet lc ion?

6



PA RA A VA NZA R

C o m o se multiplican numerus naturales

La rnu ltip tlc ac io n e s una sum a de n u me ros igualles.

E j e m p / o : 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 23 + 23 = = 2 3 x 6 =~

P a ra m u ltip lic ar n um e ro s n atu ra le s:

1 ." S e c olo ca n lo s facta res, h ac ie nd a c oin cid ir en Ia m isrna

colum na las ciftas q ue o cu pa n la m i s m a posicion.

2.° Se m ultiplica cada cifra del segundo factor par todas las

cifras d el p rirne ro co lccand o e l resultado en la columna

c o r re sp o n d ~e n te o

rS e sum an 105 p ro d uc to s o b te nid o s.

c 0 I

x ~~~Factores1 4 :]2 rts

1 0 7 1

2 3 B - - Producto

25 C oloca y e fe ctu a l as. siq uie nte s rnultiplicaclones:

a) 534 x 72 = c) 6315 x 782 =

b) 3 004 x 79 = d) 4708 x 903 = =

Cuales son las propiedades de la multiplicacion

• P ro pie dad conmutat iva: E I o rden en la co locaclo n de ,105 tactores no cambia e l p ro d u cto .

Ejemplo: -327 x 34 = 34 x 327

• P rop iedad asociat iva: E I producto obtenido al m u ltip lic ar tre s n urn ero s n o varia, aunq ue se aq rupen lo s factores

de distinta manera.

Ejemplo: (5 x 4) x 8 = 2 0 x 8 = 16'0 5 x (4 x B)= 5 x 32 =160

26 C om pleta [a s ig ua ld ad es a plica nd o la pro pie da d co nm u ta tiv a:

a] 15 x 34 = b) 67 x 493 =

0.7 S itua los parentesis que faltan en las siquientes expresiones y efectualas p ara co m pro bar la p ro pie dad

asoc la tiv a de la rnultiplicac io n:

a) 4x5x6= b) 14x15x16=

7



b) 359 817 ~

R E C U E R D A

C omo umeros na tura les

" m nnero en el

e sea m ayor que 1 " 1

enzando par la

2 .0 S e busca un nurnero que

multiplicado porel divisor d eese nurnerc a 1 " 1m as p r o x i m o ,

s in p as ars e.

3.05e sfiade la cantidad que so ra

con la que no 51" ha u ti li za da ne,

dividendo y se rep ite e I proceso,

L a d iv is i6 h s e te rm in a c ua nd e cl

r es to e s m e n o r q u e '1 "1d iv is o r.

Dividendo Divisor

( 1 .

4 - :[ID 1 1 I f R ~ )

438

8

~

4

438 1 ~

~ 1 L461

1 1 .... Cociente

~ R esto

Sobran 58 decenas, que son 58 0

unidades.

P a ra c o m p ro b a r q ue u na d iv is i6 n 5 1 " h a e fe ctu ad o c o rr ec ta m e nte 5 1 " apllca la prueba de la divisi6n:

Dividendo = divisor x cociente + resto

{ex acta si tiene resto cera

U na division es

entera si tiene resto distinto de cera

Ejemp lo : 14381 =5 x 46 + 1 1 1 (enteral

2 8 E fectua las sig uientes d iv isio nes y co m prueb a q ue 105 resultado s estan bien car) la prueba de la division.

Ind ica en cada case si so n div isio nes exactas a enteras,

a ) 3 5 5 2 lL c ) 3 1 8 33 lE _

E I resto de una

d iv is io n d e be s et '

s ie r np r e m e n o r

q ue e l d iv is o r.

d) 1111 031 ~

2 9 C o rn ple ta la s iq uie nte ta bla :

D ividendo D iviso r ~ Cocrente Resto Exacts 0 enters

208 13

9 32 119 45 0

398 26

8



E n q ue orden se h acen las operaciones combinadas

C ua ndo dos operaciones tienen i9 ua I preferencia, se realiza prim ero la qu e Sf encuentra m as a la izquierda,

P ara re so lve r va ria s o pe rac io nes c om bin ad as

se debe seguir este orden:

1.° Parentesis

2.° Multiplicaciones y divisiones

3." Sumas y restas

3 0 R ealiza las sig uientes o peracio nes:

a) 14 + 3 x 4 - 8 : 2 =

b) (7 + 5) : (4 - 2] x 2 =

c) 8 : 2 x 4 - (9 + 1) =

12 : [6 + 2 - 4] - 2 + 3 X 2 =

Y12:l 8-4) -2+3X2=

I • •

4

I

'l z :

'.

-2+3x2=

y-2+ 0=03

d) 24 x (13 + 7 - 8) : 2 =

e) 32 : (8 x 4) x 18 : 3 =

f ) (49: 7 + 3) x (3 x 5 - 4 : 2) =

(31 R esuelve par separado cada uno de lo s m iem bros de las siguientes igualdades:

a) 5 x (7 + 8) =5 x 7 + 5 x 8 b) 9 x (12 + 8) = 9 x 12 + 9 x 8

32 C om pleta las siguientes igualdades con ei num ero que falta:

a) (5 + O J x 3 = 27

b) (0-5] : 3 = 7

c ) (8 + 4) : (6 - I P = 6

33 C om pieta las siguientes ig uald ades co n el signo q ue fa lta :

a) (22 - 6) I \8 =

b) (4+12)

02x 4 =32

c) 5+5+508=50

9



( II. P O T E N 01A S Y M icE S )

Potencias

P A R A E M P E Z A R

Q e son el cuadrado y elcubo de un numero na tu ra l

E ruadrado de u n num ero es el resultado dernultlp llcar un num ero p o r 5i m ls m o ..

~emplo: 4 x 4 = 41. S e lee "cuatro elevado al cuadrado" 0 "cuatro ele vad o a d es"

E I cube de un nurnero es el resultado de rnultip licar un num ero par 5 1 rn is m o tre s v ece s,

Ejemp/o: 2 x 2 x 2 = 2" S e lee "dos ele va do < 'IIcuba" 0 "dos elevado O J tres"

34 Express en forma de potencia los siguientes productos:

a l 2 X 2 = "" , ..

b ) 21 }( 21 x 21 = ..

c.l 26 x 26 = .

d} 36;x 36 x 36 = ..

35 E xpresa en forma de pro ducto las siguientes po tencies:

a) 9~= " .

b) 15' = ,.., ; ..

361 C alcula el resultado de estas o peracio nes:

a) C i nco elevado al c ua d r ad o = ..

b) J Z = ., .

c] 72= .

d) 13' = " .

c) 171 "" ..

d) Seis elevado al cuadrado =

37 . Piensa Y escribe el terrnm o que falta en cada una de las siguientes potencies:

a ) 0' = 25

b ) 3D =27

38 C om pleta la siqulente tabla.

c : ) 6D= 36

d ) 0'=1

4 25 R E C U E R D A

C uadrado ~I------+-----l---+---f------I-------I-- - f------I

I:_ubo

Doble

N u m e w 2 3

triple

5

N o cOl l fundas

cuadrado 5"1= 25

con doble

2·x 5= 10,ni

cubo 23 ' "= B con

tri'ph: '2 x 3 =6.

10 20

10



Q u e es u na p otenc ia y c o m o Sf escr ibe

U na potenc ia es una form a abreviada de escribir un producto

d e fa cto re s ig ua le s.

EjempJo: 5 x 5 x 5 x 5 = SJ

S e lee "cinco elevado a la cuarta"

Base' :

N um ero - 54que se repite Exponente:

N um ero de veces

qu e Sf repite la base

39 E xpress en form a de potencia lo s siguientes pro ductos:

a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 5

b) 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6=

c) 1 5 x 1 5 X 1 5 = .

d l 23 x 23 x 23 = .

e) 1 0 x 10 = ..

f ) 4x4x4x4= .

40 E xpresa en form a de producto las siguientes potencias:

a) S :l = .

b) 35 = ..

c) 44= ..

d) 1 1 7 = ..

e ) 122 = .

f) 96 = _ , ,..

41 E xpresa en fo rm a de producto V calcula el resultado de las siguientes potencias:

a ) 75

= " .

b ) 5 6 = .

c) 44= .

: £ 1 . 2 E sc rib e d e fo rm a n um e ric s la s s ig uie nte s e xp re sio ne s:

a; S eis elev ado al cuadrado = .

b) S ie te e le va do a l c ub a = " , ..

c - ) T rece elev ado a la sex ta = .

d) 182

= - .

e) ' 1 2 3 = .

f) 26 = , .

d) O cho elevado a la o cta va =

e) Diecinueve elevado a la novena = ..

n D os elevad o a la d eclrna = " ..

43 Escribe y calcula el resultado de la s s ig uie nte s p ote ncia s:

a) B ase 8 y expcnente 6,: , .

b l B ase 4 y expo nente 3 : ..

c) Base 1 y expon ent e 7 : ," ' .

d] B ase 1 0 y exponente 5: .

1 1



P AR A A VA NZ A R

Como s e c a lc u la n potenclas de base 10 y para qu e se utilizan

U na potencia de base 10. t iene com o resultado la unidad seguida de tantos ceres com o indica el exponente.

fiemplos: 1o.J = 1 000 100 0 0('1 = 1O ~

C g~ a s po te n ei as de 10 se pueden expresar ca ntid ad es rn uv g ra nd es d e form a m as sencil la

qemp!o; L a distancia de la T ierra 8 1 50.1son ciento cincuenta m illones de kilornetro s, es decir:

150000000 km = 15x 107 km

a} 1 05=.." .

M E scribe el resultado de las sig:uientes potencias:

b) 1 0 6 = .

c ) ,O E = , " .

e l J 102 = ' " ,.

4 S E scribe en fo rm a d e po tencia lo s sig uientes nurnero s:

a) 1 000 = .

b } 10 Q OO 000 = .

c . ) 1 000 000 000 ::::; .

d] 10 000 = " " "

46 E xpresa las siquientes cantidades de fo rm a num erics V posterio rm ente sim plifiea su expresicn utilizando

po teneias de 10:

a) La poblaclon d e E spana es de cuarenta rnillo nes de h abitantcs. 40000000 =4 X 10 7

b) E n la lo terla de aver h ubo un p rem ia de un m illen doscientos m il euros .

c) U n afio luz es aproxim adarnente nueve billones de kilom etres .

d) E I un iverso contiene unas cien m il nii Iiones de 9'alax ias, , , , .

e) E n el m undo hay m il doscientos m illones de personas sin acceso al agua po table ..

f) E I S ol lleva luciendo unos cinco m il m illones de anos ..

9 ) E n la cabeza de una persona hay a proxim adam ente trescientos m il pelos .

hJ U na tonelada son m il m illones de gram os .

i) E n laactualidad se conocen m as de un m illen de especies anim ales .

12



C om o s e m ultip lic an potencias d .e igu a l ba se

P ara m ultip licar p ote ncias d e igua l base se deja la m ism a base y se s um an los exponentes.

£jempJo: 5' x 52 X 5,1= (5 x 5 x 5) X (5 x 5) x [5 x 5 x 5 x 5) =53 I: 4=59

L a b as e d el re su lta do [5 ) e s la m ism a q u e la d e la s p ote nc ia s.

E I e xp o ne nte d el r es ulta do ( 9 ) es la su m a d e lo s e xp on en te s d e lia s p o te nc ia s.

7 Desarrolla cada una de las potencias y express el resultado en form a de una sola potencia:

a) 82 x 83 X 81 =(8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8=82-;-3+1 = 86

R E C U E R D A

•b ) 123 x 12 x 12 = .

c ) 5' X 55 = = . .6 1 ex;ponente 1

n o s e e sc rih e:

8' = 8.

d) 106 X 103 X 10= .

~I E scribe lo s terrnino s q ue faltan p ara q ue se curnp lan las sig uie ntes ig uald ad es:

a) 82

X D X 84.= 81 1 e ) 77 X D = 7~

b) 42 x 4

3X D = 4

s f ) 14X143x D = 1 4 B

c) 103X lOx D = 10

5g) 22 X 22 X 22 X 22 X D = 210

d) D x 1003=1007 h ) 25 x 25 x I I x 25 = 25"

~ 9 E xp resa el resultado directam ente en fo rm a de una so la p otentia:

a) 5 2 x 5 4 - = . e) 274 x 27 ° X 272 = "

d) 1a x 102 X 103= " .

f) 332X 332x 33' = .) 323

x 32 x 323= ..

c) 15 6 x 153= .. g ) 10010 X 100 = .

h) 24 x 24 X 2 2 X 2 = .

: S O Ind ic a si ca da una d e estas ig uald ad es es ve rd ad era 0 falsa:

a J 62· x 41 =104 .

b) 43 X 43 X 43 = 94 ..

c) 101 X 10 x 10 = 103 .

d) 100 x 1003 =10 0003 " ..

e) 77 X 77 = 7' .

f) 14x143x143=141 ..

g ) 22 X 22 X 2' X 22 = 28 .

h) 3 x ], x 3 x 3 x 3 = 53 .

13



C o m o se dividen p otenc ias de igu aJ b ase

P ara div idir potencies de igual base se deja la m ism a base y se re sta n lo s ex po ne ntes .

E jem p lo : ;: = 78 :r 73-'5 = 7"

L a base del resultado (7) es la m ism a que la de las po tencias.

E I exponente del resultado [3) es la diferencia de los exponentes de l as po tenci as .

51 Express el resultado en form a de una so ia po tencia:

, 20 "bJ. 20 5 = .

y R

c l -= .7

52 E xpresa el resuttado en fo rm a de una sola potencia:

a) 54: 5,2= , ..

b] 25.}: 25 = ..

c) 1 99

: 1 9B =,. .

d ) - ~ ~ - : - .

--- .11I11 •••••••• u n I_ .

d) 9~: 93 = " .

e) 1007: 1004 = .

f) 32 < 1: 323 = , " .

53 Halla el resultado de lo s siquientes cocientes de potencies:

12 7a l 12~ ' ~ .

HECU~RDA

d) 100"_~006

~. . • - . . • . . • . • . .••• . • . . • . • . . . • .. • . . • . . . .

Cualquier numero

elev ad o a a da

co m e resultado 1 .

10m

-b) '-0

5- ••••••.••..•.••.•..••.•..•..•...•.••.••. e)

2 \ 0y- .

312f) -3-

8= " ..

54 C alcula e l terrn ino que fa Ita en cada u no d e lo s siq uie nte s co cie nte s d e p ote rrc ia s:

b ) ~=2"

~

c J 0= 11 0 "

612d) -- = 1

I~55 lnd lcs si cada una de estas ig ua ld ade s e s verdadera 0 falsa:

2 2 _a) 22 - 1 ,.. ' , "" .

105b) "0

5= 10 .

207

c : ) -j = 207.

20

2"d) 2 + = 2 .

14



C om o se halla la potencia de una potencia

P ara elevar una po tencla a o tra po tencia se deja la rnisrna base y se multiplican lo s e x po n en te s.

Ejemp/o: (1 01)'= 102- • =10"

la base del resultado (10) es la m ism a.

E I exponente del resultado (6) es el pro ducto de lo s e:xponentes.

56 E -xpresa e l resu It-ado en fo rm a de una so Ia po tencia:

a) ( S 3 Y = .

b ) (3'f = .

)

2 -

c ) ( 5 5 = .

d) (1 1 3 ) 3 = .

e ) (4 2)" = .

57 C alcu!a el resultado de las siguientes expresio nes:

a) ( 3 3)' = .

b) (25r = .

c) ( 5 " 1 ) 2 = .

d) (62 ) 3 = .

f) (234 ) 6 = .

g ) ( 4 " Y = .

h ) (t-t = .

i) (1002Y = .

j] ( 1 7 2r = ..

e ) ( 2 2 ) 2 = .

) ( 0 ) 2f 3- = .

g) ( 4 2f " = .

h ) ( 3 2 ) 3 . = .

8 C om pieta el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades:

a] (liS~)D=189

b) (70t=724

c ) (2 5 5)0 =5 2S

d) (5 4)0 = 5\2

e ) (1 1 0)1 = 11 15

f) (4rJr = 48

g) (102)U = 1010

h) (34)0 = 316

i) (2D)~= 24

j ) (sOt =518

k ) (1001)[] =100'4

I) (nOr = 1221

59 Indica si eada una de las siquientes igualdades es verdadera 0 falsa:

a) (133)3 =913 ..

b) (44f - = 164 _ .

c) (2 53)' = 25 '-6 .

d] (15"r =1516.

e ) (93)3 =99 .

15



Raices

CO P A R A E M P E Z A R

O uees la ra iz cuadrada exacta de u n mime ro y que es u n c ua d ra do p erfe cto

L a rafz cu ad ra da e xac ta de un nurnero es otro num ero que a! eleva rio a! cuadrado es ig ual al n urne ro d ad o.

Ejemplo ; 2 es 1 8 r aiz c ua d ra da exacta de 9 ya que 3~ = 9

se escr ipe

R s : ~ 3 1 Se le e " ra iz c ua dr ad a de nueve"

lo s n urn ero s que tie ne n r aiz c ua dr ad a exacta s e l la rnan cuadrados perfectos.

Ejemplo ;9 es un cuadrado perfecto y a que tiene una r a l z c ua dra da e xa cts que es 3.

60 Escribe qu e nurnero multipl icado par sf m ism o da c o m o resultado:

a) 36: 6 d ) 121 .. .~~.............

b ) 4: •••• un............ e ) 196: •••,••••••••••• r••

c ) 64: ••• L.~."...... ,n' f J 225: . . . . . r .~. . . . . . . . . .

R E C U E R D A

1 6 1 E scribe lo s num erus que faltan para que la s s ig uie nte s ig ua ld ad es s ea n ciertas:

a) f D = 5

E ll numera que

esta derrtre

de l S I m bo lo de

fa r a i : z :V s e l l a m aradicando.

d ) y '49 =0

e) JCJ= 13) V W o = 0

c] J ) ~ = 1 2 f ) ~ = D

62 S eiia la lo s trcs cuadrado s perfecto s de num erus co m prend ido s entre 10 y 2 0 que hay entre lo s slquientesnumerus:

144 200 500 262

343 256 361

63 Relaclona me dia nte f le chas cada cuadrado p erfe cto c on su raiz cuadrada exacta:

C u a d r ad o s p er fe cto s

25

36

R a kes cu adrad as

1

2

35

6

7

9

49

4

9

8 1

16



P A R A A VA N Z A R

C o m o Sf ca lcu la la ralz cuadrada exacta de u n numero

Para calcular la raiz cuadrada exacts de un num ero se puede proceder par tanteo .

E j e m p J o . " Pa ra cs lcu la r V 1 3 6 9 s e b us ca U ri numero que rnultiplicado por si rnisrno se aproxim e a 1369.

Se prueba: 30 x30 = 900; 40 x 40 = 1600.

C o m o 90 0 es m enor que 1369 Y 1.600es m ayor, e l num ero huscado ests entre 3 0 y 4 0 . .

Se prueba: 35 x 35 =1 225

C om o 1 2 25 tarnbien es m enor que 1 369 Sf sigue probando can nurneros entre 35 y 40.

S e prueba: 36 x 36 =129 6; 37 x 37 = 1369

P ar tanto, [ \ 7 ' 3 6 9 : : : : :71 porque 37 x 37 =37 2=1369

,64 C alcula par tanteo las raices cuadradas de lo s siq uie nte s n um ero s. D eja in dica da s la s o pe racio ne s

q ue h ay as re aliz ad o en cada caso h asta o bte ner e l re su lta do :

a) V 4 0 0 d) v m

b) V 4 s 4 e ) yI1849

c l V625

65 H elaclona m ediante ftcchas cada nurnero con su raiz cuadrada exacts:

Numero R alz cuadrada exacta

202·5 45

1296 19

361 28

529 17

784 23

289 36

66 lC uantos crom os hay que co lncar en cada fila y en cada co lum na para format un cuadrado de

144 cromos?

17



Q u e es la ra iz c u a d ra da en tera d e u n numero

S i un n urne ro n o tie ne ralz cuadrada exacta, pu e de ca lcu la rse S U raiz cuadrad a entera, qu e es el m ayo r nurnero que

elevado a l c ua d ra d o es m en o r qu e dicho nurnero.

Ejemplo: L a F a iz cuad rada entera de 15 es 3 po rq ue 3 2 < 15 < 4 2

seescrlae

V 1 5 = 3

Se llama resto a la d ife re ncia e ntre el radicando y el cuadrado de la raiz entera, d e fo rm a que se cumple que:

Radicando = = ( R aiz c ua dra da entera)' + Res to

£jempJo: Resto = 15 - 32=15 - 9 =6

S e cum ple que: 15 =3 2 + 6

67 , E scribe lo s nurneros q ue fa lta n:

al J I I = 5, resto =3

b) yno = 11, resto =0c l y ' 1 7 O =0, resto = 1

d) V74 =0,resto =10

e) J l 1 = 14, resto = 4

f} V 8 . 2 =0,esto =0

68 C alcula las siquientes raices cuadradas enteras y halla en cada cas a el resto:

a) V 3 8 . =6

Resto = 38 - 62= 2

b) \ 1 2 1

c ) V 6 2

d) V 9 0

e) V 4 0

f) V 2 9

Nurnero

69 R elaciana m ediante flechas cada nurnero con su ralz cuadrada entera y su resto:

Restoaiz cuad rad a entera

290

1300

366

487

36 4

19

17 3

2 2 5

18



Cuando u n numero es div is ib le p or 2 0 p or 3

• U n numero es d iv is ible p or 2 cuando la ultima cifra es Q 0 par.

Ejemplos: 22,24, 10, 66, 50 ... son divisibles por2 v a q ue to do s terrninan en 00 c ifra p ar.

U n nurnero es divisible po r 3 cuandola surna de sus cifras es multiplo dl" 1.

fjemplos: 27 es divisible po r 3 v a que 2 + 7 =g V 9 es m ultip le de 3

53 no es dlvislblepor 3 y a que 5 + 3 =8 Y 8 no es m u Itip 10 de 3

6 B usca entre estos nurneros los que son divisibles por 2 :

73 42 54 71 80 15

'l. B usca entre estos nurneros los que son divisibles par 3:

21 45 14 73 20 87

fl B A verigua los po sibles valores nurnerico s de la le tra a en cada casa para que el num ero sea divisible par 2:

a) 08

> b) 17 0

•

a := 0, 2, 4, 6, 8

c] 09

d ) 70

: 7 9 A verigua los posibles valares nurnericos de la tetra a en cada caso para que el num ero sea divisible par 3:

a) 380

b ) 1710

c ) 770

d ) 90

e ) 709

f) 1010

g) 077

h j 1001

80 Haz cuatro grupos con los siguientes num erus: 108 , 7, 10, 115, 6,231,8 ,27, 101 r 12, 9 V 2 4

a) L os que so 1 0 SOndiv is ib les par 2 son: .

b) L os que 5010 son divisibles per 3 son: ..

c) L os que son div isibles ala vez por? y par 3 son: ..

d) L os que no son m ultip les ni de 2 ni de 3 son: .

21



P AR A A VA NZ A R

Cuando u n nurnero es d iv is ib le p or 5, p or 10, p a r 100 a p a r 11

• U n nurnero es divisible par 5 cuando su ultim a citra es 0 a 5.

Ejemplos: 2~., 100, T O , 65 , 50 ...

• U n nurnero es divisible par 10 cuando su ultim a clfra es uEjemp/os: 20, 50, 700, 1000 ....

• U n nurnero .es divisible par lO Ocuanda sus dos ultirnas cifras son O{I.

Ejemplos: 200, 500, 700, 1000 ...

• unnurnero es divisible par 11 cuando la diferencia entre la sum a de las cifras que ocupan lug ar p ar y la sum a de

las cifras que ocupan lugar im par es a 0 m ultip le de 11.

Ejemplos: 1 + 2 =31'"11 826 es d ivisible p ar 11 ya que 14 ~ 3 = 11

L,..J

8 + 6 =14

2 + 5 = 7r'-l

2 353 no es divisible po r 11 ya que1 - 6 = 1L,..J

3+3=6

J 8 1 B usca entre estos nurneros lo s que son d iv isibles por S ,por 100 po r 100:

752 420 541 7100 805 1500

D iv is ib le s p ar 5: .

D iv is ib le s p ar 10: .

Divisibles po r lOG : " .

I I Busca entre estos numerus los que son div isibles par 1 1:

35 2 420 514 627 1045 151

83 A verigua el valo r de la cifra que fa Ita en cada case para que 'el nurnero sea divisible par 11:

_

a) 6

b ) 2 7 d) 13 : 1 - 1 3

134 E scribe lo s num erus q ue curnp len la s co nd icio nessig uientes:

a) E I m ayo r num ero de tre s c ifra s que se p ued e d iv id ir e ntre 5: .

b) E I menornurnero de cuatro cifras que se puede dividi! entre 10: : ..

c) E I m ayo r n um e ro d~ do s cifras que sc puede dividir entre 11: .

d) E I may or n urnero d e c ua tro cifras que se puede d iv id ir e ntre 10Q: .

22



C o m o se descompone u n numero en fa c tores p rim os . =.'

Todo nurnero p ue de ex pre sa rs e c om o p ro du cto de factores pr imos. P ara ello , se divide el num ero entre el rnenor numero

pr imo que sea posible. L os cocientes o btenidos se siguen dividierudo igualm ente entre el rnenor nurnero prim e que sea

posible, h asta o bte ne r la un id ad ,

E n la practice se exp resa asi:jemplo: 90 lz.,10 45 l L _

o 1515LL

o 0·5 ~

o

90 2

45 3

15 3

5 5

190 =2 x 3 x 3 x 5 = = 2 :< 32 x 5 1

B 5 D esco mp6n en facto res prim os lo s siguientes num eros:

a ) 48 d] 36

4.8 =."" " .

b) 80

80 = .." .

c) 70

70 = , ' .

e) 81

f ) T 44

36 =

81 = .

144 = , ,"

86 lA que nurnero correspo nde cada un a d e e sta s d es co m p o sic io n es ?

a) 2 x 3 'X 5 = ..

b) 21 X 3' = " .

c) 2 X 5 ' x 7 = ".".".".'" "."." " .

87 . R e la cio na ca da r u rn ero c on s u d es co rn oo sic io n:

d) 21 = ." ,,,.,, .

e) 2' x 32X 52 = " " "." " .

f) 3x 5 x 7 X' 11 = ." " "." .

100 5~ 100 62 5 64 243

625 20 '

64 2 ': x 5 2

243 3s

23



Mult iplos y d iv is ores c om u n esados numeros

P A R A E M P E Z A R

Cuantos multiples com unes tienen dos numeros

lo s mult iples de un numero no se araban nunca. P a r ta nto , ta rn po co se acaban lo s m ultip les co munes ad os num ero s,

£jemp/o:

MUl t ip iOS.de 6: '6 , 12 , 18 ,2 4 ,30, J6 , 42 , 48 , ~4,... }. . .. . M ultlp lo s co rnunes de 6 y de 9: 18 , 36, 54, ...

Multiples de 9: 9, 18,27, JG, 45, &4,63,72, ...

8 Calcula 105 diez p rim ero s rnultlp lo s q ue se piden en lo s sig uientes casas:

M u ltip lo s d e 2: ..

Multiples de 3: ..

(Que m u ltip le s h ay , e ntre ellos, cornunes a 2 y 37 .

(8 9 Calcula lo s diez prim ero s m ultiples que s e p id en en lo s sig uientes cases:

M ultip lo s de 6: '.' .

Multiplos de 8: ..

lQue m u ltip lo sh ay, e ntre ellos, com unes a 6 y 8 7 .

o H alla el m e n o r de lo s m ultip les co m unes de 10 y 15.

Multiples de '10 : ..

M u ltip lo s d e 15: .

M u ltip lo s c om u ne s de 10 y de 15: ..

E I m enor de los mult iples co munes d e lO y 15 es: ..

91 Dados 105 n urneros 282, 150, 152, 63, 203, 82 Y 29:

a] L os multi plos de 2 son: .

b) L os multiples de 3 son: , ..

c) L os m ultip les co m unes de 2 y de 3 son: ..

d] L os nurneros que no son m ultip les ni de 2 ni de 3 so n: .

24



Cuantos divisores comunes tienen dos numeros

T odo s lo s nurneros tlenen co mo m inim a dos diviso res: e l mismo y la unidad. P or tanto , dos n urn ero s s ie m pre te nd ra n

como divisor cornun al m enos el 1 .

Ejemplo:

D iv is ore s d e 1 2 : 1 ,2 , 3, 4, 6 Y 12 }

.D i vi so re s c o m u ne s de 12 y de 16: 1,2 Y 4

D iv is ore s d e 16: 'l, 2, 4, 8 Y 16

9 2 C alc ula:

a) T odos los d iviso res d e 8: ..

b) T od os lo s d iv iso res de 18 : ..

c ) T od os lo s divisores co m unes de 8 y de 18 : ..

93 Calcula:

a) T oco s L os divisores de 20:

b) T odos los divlsores de 30 : ,,, .

c) Todos lo s diviso res co munes de 2 0 y de 30: .

, H alla el m ayo r de lo s d iv isores co m unes de 10 y 15.

T od os lo s d iviso res d e 10: ' ..

T odos los, divisores de 15: ..

Todos lo s d iv is o re s c om u ne s de 10 y de 15: , .

E I m ayo r de lo s div iso res comunes de 10 y 15 es: .

9 5 S enala en e sta lista de nurneros: 8 , 5, 2 , 3, 4, 12 Y 6

a) L os que so n d iviso res d e 12 : .

b) L os que son d iviso res d e 32 : ..

c ) L os d iv is or es c o m un es de12 y de 32: ,,, ..

d l Los nurnero s q ue no so n d iv iso re s de 12 ni de 32: .

96 S efia Ia en esta Iista de n u m eros: 2 , 5, 3, 6, 8 ., 1 5, 10 Y 4

a) L os que son divisores de 30: .

b) Los que 50n d iv iso res d e 45: ,., .

c ) Los d iv is o re s c o m u ne s de 30 y de 45: .

d) Los n um ero s q ue no son divisores de 30 ni de 45: .

25



PA RA A VA NZA R

Q u e es y como secalcula el m ax im o cornun divisor de dos numeros

• E I m ayor de los diviso res ccrnunesrecibe el nornbre de m a x i m o cornun divisor (m.c.d.).

Ejemp/o: L os d iviso res co rnunes de 1 2 y de 16 son: 1, 2 Y 4 .

E I m ayo r de estes diviso reses 4, es declr, [... - . c - . - d . - ( 1 - 2 - , 1-6-)= - 4 . .. ..

• P ara calcular el m a x i m o comun divisor de do s nurneros:

1 .° S e d es co rn po ne n 105 n urn ero s e n s us fa cto re s pr imos.

2." E I m .c.d, es el pro ducto de lo s fac to res p rim o s eomunes

elev ad os a l menor exponente.

36 Y 60

36 2 60 2

18 2 30 2

9 3 15 3

3 3 5 5

1

36 =' x 360 = l' x ] x 5

I m.c.d.(36, 60J = 2' x 3 = 4 x 3 = 12 !

Z Busca todos los divisores cam unes de 12 y 24. Z eual de elias es e l m a yo r?

98 E ncuentta el m axim o corruin diviso r de 42 y 48.

42 2

21 3

7 7

1

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

g Calcula e] max imo cornun d iv is or d e:

a ) 40 y50

40 50

40 = .

m.e.q.(40, 50) = .

b] 9 Y 1 6

9

50 = .

16

9 = .

m .c .d .Is, 1 6) = .

16 = .

42 = .

48 = .

m.c.d.(42,48) = .

c ) 21 y 35

21

21 = .

rn.c.d.lz}, 35 ) = .

d) 25 y 35

25

25 = .

m.c.d.(25, 35 ) = .

2 6

35

35 = .

35

35 = .



Ejercicio resuelto~na sala de exposiciones rnide 40 metros de largo y 15 metros de ancho. Se quiere farrar can planchas

cuadradas que tenqan el m ayo r tam afio po sible. iC uanto debe m edir e l lado de cada plancha para que

n o s ea n ec es ario p artir n in gu na ?

C om o no se tiene que partir ninguna plancha, la m edida de su lad a debe ser un num ero diviso r de 40 y 15 .

A dem as, com o las planchas deben tener el m ayor tam afio posible, de los divisores com unesde 40 y 15 se elige

el m ayor de todos elias. P or tanto, se calcula el m axim o cornun divisor de 40 y 15 :

0 0 C alcula elrnax im o co rnun div iso r de:

a) 45 Y 90

b ) B O y 120

40 2

2 0 2

10 2

5 5

15 3

5 5

c) 150 Y 18 0

d) 75 Y 12 5

40 =23

X 5 }

m.c.d.{40. 15} = 5

lS=3x.5

I E I lad o d e {'a.d a p l a n c h a d eb e m e dir 5 metros.

\ - - I I 1 I I \ -

1 01 U n alm acen m id e 20 m etro s de largo y 15 m etro s de ancho . S e quiere alicatar can baldo sas cuadradas

que tengan el m ayo r tam afio po sib le, lcuanto debe rnedir e l lado de cada baldo sa para que no sea

necesario partir ninguna?

02 D ispo nem os de do s ci ntas q ue m iden 90 metros y 120 m e tro s. Q ue re m os d iv id irla s e n p arte s ig ua le s d el

m ayo r tam afio po sible , de m anera que no so bre nada de cinta, iC ual debe ser la lo ngitud de cada parte?

27



Q u e es y com o s e ca lc u la el m in im a comun multiple ge dos numeros

• E I m eno r de los multiples eo m unes recibe el nom bre de minimo co m un m ultip le (m .c.m .),

Ejemplo: M ultip los co m unes de 6 y de 9 : 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , ...

E I m eno r de esto s m ultip les es 18 , es decir, ~ r"m -.-e .-m -J-6 -,- ) - = - ' 8 " 1

• P ara ealeular e l minimo c om u n m u ltip le de d o s n um e r o s: 36 y 60

1. ° S e descom po nen lo s nurneros en sus fa ctores p rim os .

2. ° E I m . c .r n, es el pro ducto de 10 5 fa cto re s p rim o s c o m u n e s

y no c om unes elev ados a l m ayor ex ponente.

36 2 60 2

18 2 30 2

9 3 15 3

3 3 5 5

1

36 = 2 x ~ 60 = 22 X :3 x 5

I m .c.m .(36 , 6 0) = = 2 ' X 3 2X 5 = 4 x 9 x 5 = 18 0 I

1 0 3 B usca los 3 m enores m ultiples com unes de 20 y 30. lC uc'l1 de elias es el m enor?

o Calcula e l m inim a cornun m ultip lo , m ediante la desco nposicion en factares prim os, de las siguientes

p are ja s d e nu rne ro s:

a ) 9 y 12

04 C alcula el m .c.m . de 18 y 26.

18 26

9 1 2

9 = .

rn.c.m.Is, 12) = = .

12 = ..

b) 2 7 y40

27 40

27 = .

m.e.m.(27 ,40 ) = ..

40 = ..

18 = .

26 = .

m .c.rn .I ja, 2 6) = .

c) l5y25

15 2 5

15 = ..

m .e .m . (1 5, 2 5) =

25 = ..

d] 32 Y 48

32 48

32 = ..

m .c.m .(32 , 48 ) =

48 = ..

28



I

\.

o C alcula el m inim a com un m ultiple, m ediante la desco rr po siclon e n factare s p rim o s, d e la s s ig uien tes

parejas de nurnero s: ,"

a ) 150 Y 180

d) 75 Y 150

c) 135 Y 270

b) 100 Y 120

E jercid o re su eltoU n tren de la linea A pasa par una determ inada estacio n cada 8 m inutes, y un tren de la linea 8 , cada

12 m inutes. S i acaban de pasar am bos a la vez par esa estacio n, lcuando vnlveran a co incidir

la s ig uie nte v ez ?

E I tren de la linea A pasa por la estaci6n cada m ultip le de 8 y el de la linea B cada m ultiple de 12. luego coinciden

en la estacicn en los m ultiples de am bo s. D ado que se busca la prim era vez que vuelvan a coincid ir, de 105

m ultip les cornunes se elige el m eno r de todos ellos. P ar tanto, se calcula el m inim a co rnun m ultip le de S y 12:

B 2

4 2

2 2

12 2

6 2

3 3

8=2] }m.c.m.ls, 12) = 23

X 3 =24

12=22x3

L o s tr eh es v o lv er an a co incid ir dentro de 2 4 m in-utO S J

o E n la plants baja de un edificio hay cada 6 m etro s una puerta yen la prim era planta cada 4 m etro s una

ventana. lC uanto s m etro s hay de distancia entre dos lugares 1 0 m as cerca no s p os ibles d ond e c oin cid en

a la m ism a altura una puerta y U n a v en ta n a?

0 8 E I c ontenido d e un d ep osito 10 podem os repartir de fo rm a exacta en garrafas de 25 litros 0 e n ga rr afas

de 30 litros. lC ual es la capacidad m inim a que puede tener d icho deposito?

29



E je rc ic io r es u e lt o

E n un m ercado tienen 60 k ilo gram os de m anzanas y 80 k ilogram os de naranjas, S e quieren envasar por

separado en cajas que pesen 1 0 m ism o y que co ntengan el m ayo r nurnero posible de kilogram os, pero

sin que sobre ninguno. c:C uantos k ilogram os de fruta contendra cada caja?

C om o no debe so bra r n ing u n k ilo g ra m o, la ca ntidad qu e contiene cadaca ja tiene que ser un n um ero d iviso r de

60 y 8 0. A dernas, co mo las cajas d eben p esar 1 0 m ism o , la cantidad de cad a caja sera un div iso r co mun de 60 y 8 0 ;

vco rno las cajas deben co ntener e l m ayo r nurnero po sible de k ilo gram os, d e lo s div iso res co rnunes d e 60 Y 8 0se elige e l m ayor de t a d o s ello s. P ar tanto , se ealeula el m axim o co rnun div iso r de 60 y 8 0;

60 2 8 0 2

30 2 40 2

}5 3 2 0 2 60 = 22 X 3 x 5m . e .d .( 60 , 8 0 ) = 22 X 5 = 4x 5 = 2 0

5 5 10 2 8 0 = 2" x 5

5 5

1

. I C ada caja co ntendra 20 kilog ram os de ~

.~-

109 U n grupo de excursionistas realiz6 su viaje en varies autobuses de 50 plazas cada uno y n o s ob ra ba

ninguna plaza. A la vuelta, todos los autobuses que utilizaron fueron de 45 plazas y tam poco so braba

ninguna. lC uantas personas fueron de excursion si no necesitaron en am bo s casos m as de 10 autobuses?

110 E n una viv ien da ha n deci dido ca m bi a r las ba Id osas de una del as hab ita ciones. L a h a bitaci 6 n m ide

300 centim etres de largo y 250 centim etres de ancho. S i las baldosas son cuadradas y de la m ayor

dim ensi6n posible, c:cuanto debe rnedir el lado de cada baldo sa si no quieren partir ninguna?

111 T enem os una caja can 100 choco latinas y otra can 75 caram elos. S i querernos em paquetarlos en balsas

con igual contenido en cada uno de elias y hacer el m enor nurnero de paquetes posible, icuantas

balsas n e cesita m o s?

30



o

0)

o

o

oo

o

B

o0)

'0 re: lln millen ciento

.~ .titres mil trescientas

,ci tiocho u nidsdes: 1123328

Iombre: Sesenta y tres mil

quin ientas cuatro unidades: 63504

U m CM DM U M C D U

1 1 2 3 3 2 8

s 3 5 0 4

103204010

Ciento tres millones

d osc ie nta s c ua tr o mil diez,

103210009

Ciento tres millones

doscientas diez mil nueve.

83203709

Ochenta y tres millones doscientas

t res mil seteci e ntos nu eve.

a) 500 + 40 + 4

b ) 50000 + 4000 + 400 + 50 + 4

a) 210558 b ) 4321

200000 + 40000 + 6000 + 800 ++ 90 + 1

(2]200000 (8]800

(4] 40000 (9] 90

(6) 6000 (1) 1

369 (centenas, 300 unidades]

396 (centenas, 300 unidadesl

639 (decenas, 30 un idades]

936 (decenas, 30 unidades)

693 (unidades, 3 . u n i d a d e s l963 (unidades, 3 unldades)

Anterior Nurnero Poster~1

1898 1899 1900

887999 888000 888001

23333.9 233340 233341

59998 I 59999 60000-- .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 23456 7 8 9 101112

0 2 3 4 7 9 11

0)e

o 2 4 6 8 ill U ~ W M

o 7 9 11 13 15

®(0

e

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213

b )

7 8 9 10 11 12 13 14 rs

543123> 432876> 32754 >

> 24652 > .2314

1246 <2164 < 2614 <

< 4162 < 4612 < 6421

d ) > a ) > c ) >b)

a ) Centena de mill6n

b ) D ec en a de millar

c ) Centena de millar

d ) Unidad de millar de mil16n

1.' Albarracin, 2: Sa I lent, 3.' Alp,

4.' Rascafria, 5.' Riaza, 6.' Jarandilla,7.' Cudillero, B.' Cazorla.

o a}9875

b ) 3057

oee0)

0)

0)

0)

o

c l 9B7

d) 305

a ) 99078 b) B5293

21 793espectadores.

Estasemana hay 28321 libras.

La semana que viene

habra 2B390 l ibros,

Lesfaltan 1 367 kilometres.

a) 3B448

b) 237316

c) 4938330

d) 4251324

a] 34 X 15 b) 493 X 67

a) [4 X 5) x 6 = 4 x (5 x 6) = 120

b) (14 X 15) x 16 ==14X(15X16)=3360

a) 3552 = 9 X 394 + 6 Entera

b) 359817 = 53 X 6789 Exacta

c) 31833 = 67 x 475 + 58 Entera

d) 111031 = 123 x 902 + 85 Entera

31

eo

oo0)

o

oee

, . .E x a c t a ' ,Dividendo Gociente Resto (. -o e nte ra

208 16 0 E x a c t a

289 32 1 E n t e r a

855 45 0 E x a c t a

39 8 15 8 Entera I--

a) 22 b J i

d) 144 e) 6

a ) 5 x 15 = 35 + 40

75 = 75

b) 9 x 20 = 108 + 72180 = 180

c ) 6

f) no

a} 4 b) 26 c]4

a) : b) : C )X

a) 2 2 b) 21') c ) 26' d) 36'

a) 9 X 9 c) 7 x 7

b)15X15X15 d) 13 x 13 x 13

a ) 25 b) 9 c) 289 d ) .3 6

a ) 5 b ) 3 c)2 d) 1

'-r- :--,--- -1 2 3 4 5 10 20 25

1 4 9 16 25 100 400 6.25-

1 8 27 64 125 1000 8000 15625~1 2 4 6 8 10 20 40 50

1 3r--

6 9 12 15 30 60 75

a) 25

b] 6 "

a) 5 X 5 x 5

b) ]X 3 X 3 x 3X 3

e)4x4x4X4

d) 11xu x 11 x 11 x 11 x 11 x 11

e)12X12

f)9x9X9X9X9x9

o a) 16807

b) 15625

oo

c}256

d) 324

e) 1728

f) 64

a) 8' = 262144

b ) 43 = 64

c) 1 7 = 1

d) 105 = 100000



oee

eee®(0

e

a ) 1 00 00 0

b ) 1 00 00 00

c ) 1 00 00 00 00

d) 100

a) 101 b) 1 0 ' c) 109 d l 104

al 4x 107; b) 12 x 10 5

; t)9 X 1 O '2 ~

d) 1 0"; e) 12 x lOs ; f ) 5 x 10 9;

g ) 3 x 10 5; h l 10~ ; i) 1 0 6

•

a ) 8 6 b) 12 5 c) 5'0 d) 10'0

a) 8 5 b] 43 c) 10 d) 1004

e ) 7 f ) 144 g) 2 2 h l 2 52

a) 5° b) 32 7 c) 15 9 d l lO G

e ) 2 7 9 f) 33" g ) 100\1 h ) t'

Verdaderas: f, g.

a ) 11 3

d) 10 3

a ) 52

b) 2 52

b 12 0

e) 2"

c) 19

d) 9 3

c) 7'

f) 132

e) 1003

f) 32'8

c ) 9'

d l 1

e a) 11'3

b) 2 c) 10 6 d) 6 '2

55 V erd ad eras: a, d .

Q) 8 6 bl 32{) c ) 5' 0 d) 119 e ) 44

\::J f) 2 3 ~ O g) 4~ h] 2 2 4 i] 100 4 j) 1714

o a) 72 9 d) 46 656 g) 65 536

b) 102 4 e)16 h l72 9

c) 62 5 f) 8 1

® a} 3 d) 3 g) 5 J ) 3

b) 6 e) 5 h) 4 k] 2

c) 5 f) 4 i) 2 I) 3

® V erdaderas: c, d , e.

F alsas: a, b.

e a) 6

b1 2

(0 a)25

b) 10

®@

e

®®e

c) 8

d) 11

c ) 144

d)7

e) 169

fj9

e) 14

f) 15

144, 2 56 , 361 .

36 Y 6 , 1 Y 1,49 Y 7

4 Y 2 , 9 Y 3, 8 1 Y 9

a ) 2 .0

b) 22

c) 2 5

d) 2 7

e) 43

f) 51

2 0 2 5 y 45 ; 1 296 Y 36;361 y 19 ;

52 9 Y 2 3; 78 4 y 2 8 ; 2 8 9 y 17

1 2 c ro m os .

a) 2 8 b) 9 c] 13 d) 8 e) 2 00 f) 9 , 1

ee

o®e0)

e

eo

ee

eo®e6)

oe

o

a).6 , resto 2 ; b) 4 , resto 5 ;

c } 7, resto 13 ; d ) 9, resto 9 ;

e) 6 , resto ; f) 5, resto 4

2 90 , 17 Y 1 1 300, 36 Y 4

366,19 Y 5 48 7 ,2 2 Y 3

a ) 17, R = 7d) 64 , R = 12 5

b ] 3D , R = 2 5 el 20 , R = 2 5

c l 48 , R = 96 f J 31, R = 38

M e so bran 3 soldados,

a ) 18,10,6,8 ,12 ,24

b ) 1 8 , 1 5 ,6 ,2 1 ,2 7 ,1 2 ,9 ,2 4

a ) 1, 2 , 3 , 4 , 6 " 12 b) 1 , 3, 9 , 2 7

V erdaderas: a, b, c. F a Isa: d.

~ % r m a s i j . Pnm"a '? ' ",D iv isoresi ~:!f: It· • '1

d ~ 1P J ~ u. .s ;o c o m p ~e st o

2 2 , 1 ,2 ... 2 2 X 1 C o m puesto

2 X 11

15 ,1 ,3,5 15 X 1 C ornpuesto

3 x 5

2 3 , 1 2 3 X 1 P rim o

42 , 54 , 8 0 .

21,45,87.

a) Cualquier valo r c ) Ninqun valo r

b) 0, 2 ,4 , 6 , 8 d ) 0 , 2 ,4 , 6 , 8

a ) 1 ,4 ,7

b] 0 , 3 , 6 ,9

c ) 1,4,7

d) 0 , 3 , 6 ,9

a) 10 ,8

b) 2 31 , 2 7 , 9

e ) 2, 5, 8

f ) 1,4,7

g ) 1 ,4 ,7

h ) 1 ,4 ,7

c ) 108 , 6 , 12 , 2 4

d17, 101 , 115

P o r5 : 42 0 , 7100 , 8 05 , 1500

P or 10 : 42 0 , 7100 , 1500

P o r 100 : 7100 , 1 5 00

3 52 , 6 2 7,1 04 5.

a) 7 b) 5 c) 1 d) 5

aJ 9 95 b) lobo c) 99 d) 9900

a) 2" x 3

d) 2' X 32

a) 30

dj128

b) 2 4 X 5 c) 2 X 5 x 7

e) 34 f) 2" x 3

b) 108

e) 900

c) 350

f ) 1155

100 = 2 2 X 51

64 = 2 G

62 5 = 54

2 43 = 3"

2 , 4 , 6, 8 , 10 , 12 , 14 , 14 , 18 , 2 0 .

3,6,9,12 ,15,18 ,21,24,27,30.

M ultip lo s co m unes: 6 12 18 .

32

al 2 8 2 , 150 , 152 , 8 2

b ) 2 8 2 , 150 , 63

c) 2 8 2 , 150

d) 2 03, 2 9e a)l,2,4,8

b ) 1,2,3,6,9,18

c ) 1 y 2

®®e D iv iso res co m unes de 12 y de 2 4:

1,2,3,4,6 Y 12 . E I m a y o r es 12 .

e 6.

e

6, 12 , 18 , 2 4 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 ; 60 .

8 , 16 , 2 4 , 32 , 40 , 48 , 56, 64 , 72 . 8 0 .

M ultip lo s co m unes: 2 4 , 48 .

10 ,2 0 ,30 ,40 ,50,60 , ...

15 , 30 , 45 , 60 , ...

M ultip lo s co m unes: 30 , 60 ,90 , ...

E I m eno r es 30 ,

a ) 1 ,2 , 4 ,5 , 10 ,2 0

b) 1,2 ,3,5,6,10,15,30

c)1,2 ,Syl0

D iv iso res de 10 : 1 , 2 , 5 , 10 .

D iv iso res de 15: 1 , 3 , 5 , 15 .

D iv iso res co munes: 1 y 5.

E I m ayo r es 5 .

a ) 2, 3 , 4 , 12 , 6

c) 2, 4

b ) 8 ,2 ,4

d) 5

a) 2 , 5, 3 , 6 ,1 5,1 0 b ) 5,3,15

c ) 5, 3 , 15 d) 8 , 4

a ) 10 d15) 1 c)7

a) 45 bl 40 c) 30 d) 2 5

E I lado debe m ed ir 5 m etro s.

L a lo ng itud de cada parte

debe ser de 30 m etro s.

e60.

S34.

E D a) 3 6 b) 108 0 c) 7 5 d) 96

e a) 9 00 b) 600 c) 2 70 d) 150

e H ay co m o m inirno 12 m etro s.

e L a capacidad m in im a es 150 litro s,

eF uero n 4 50 p erso nas.

e D ebe m edir 5 0 centim etro s.

e N ecesitam os 7 bo lsas.



BAslCOS

U N OD O S

CUR 5 0

Conocimientos baslcos de Aritmetica

I. Numeros naturales

II. Fracciones

III. Numeros decimales

Conocimientos basicos de Geometria

I. Figuras geometricas

II . Medida

SEGUNDO CUR S 0

naturales. Operaciones

y raices

dad 1

23

Fracciones y decimales

I. N u m s r o s fraccionarios

II. Nurneros decimales

Nfuneros enteros.Proporcionalidad.

I. Los numeros enteros

II. Proporcionalidad

Algebra, gr8.ftcas

yestadistica

I. Ecuaciones

II. Graficas

III. Estadistica

4

5

6

5eometria del plano

I. Elementos geometricos del plano

II. Poligonos

III. Circunferencias y clrculos

Medida

I. Sistema rnetrico decimal

II . Perimetros y areas

III. Volumen 6

Numeros enteros. Divisibilidad

I. Nurneros enteros. Operaciones

II . Potencias y ralces

III. Divisibilidad

Numeros fraccionarios y decimales

I. Nurneros fraccionarios

I I. N u m e ro s decimales

Algebra

I. Expresiones algebraicas

II . Ecuaciones de primer grado

III. Ecuaciones de segundo grado

IV. Sistemas de ecuaciones

Proporcionalidad, funcionesy estadistica

I. Proporcionalidad nurnerica

II . Funciones

III. Estadistica

Geometria y medida en el plano

I. Medida de anqulos

II . Medida del tiempo

III. Teorema de PitaqorasIV . Semejanza. Teorema de Tales

Geometria y medida en el espacio

I. E,lementos geometricos y cuerpos del espacio

II. Areas

III. Volumenes

1-NUMEROS NATURALES

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