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Minimização de DFAs

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Minimização de DFAs

1.Eliminação e estados inatingíveis

2. “Merge” de estados indistinguíveis

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Estados Inatingíveis - exemplo

a b

a

bestado inatingível

ab

Estados Inatingíveis -algoritmo

reachable_states := {q0}

new_states := {q0}

while (new_states ≠ the empty set) do

temp :=

for each q in new_states do

for each c in Σ do

temp := temp ∪ {p | p=δ(q,c)}

new_states := temp - reachable_states

reachable_states := reachable_states ∪ new_states

unreachable_states := Q - reachable_states

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Equivalência entre estados

• O conjunto de estados de um DFA pode ser particionado em classes de equivalência, de acordo com o seu “comportamento”

• Dois estados q1 e q2 pertencem à mesma classe de equivalência -- são equivalentes -- se, para qualquer palavra w, todos os caminhos com rótulo w a partir de q1 e a partir de q2 levam, em ambos os casos, a um estado final, ou, levam, em ambos os casos, a um estado não final.

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Classes de Equivalência – Hopcroft (1971)

A partição inicial tem 2 subconjuntos claramente distintos: estados de aceitação e estados de rejeição.

O algoritmo repetidamente escolhe um conjunto A da partição corrente e um símbolo c do alfabeto, e divide cada um dos conjuntos da partição em dois subconjuntos (possivelmente vazios): aqueles estados que levam a A, em uma transição sobre c, e aqueles que não levam a A.

Como já se determinou previamente que A tem comportamento distinto dos demais conjuntos da partição, subconjuntos que levam a A também têm comportamento diferente daqueles que não levam a A

O algoritmo termina quando não se pode mais dividir nenhum conjunto da partição.

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Estados Indistingíveis - exemplo

Começa com uma partição em 2 classes 05 e 12346. Refinamento 1: 12346 → 1234 e 6 devido a a

Refinamento 2: 05 → 0 e 5 devido a a

Refinamento 3: 1234 → 1 e 24 e 3 devido a b

2 e 4 são indistinguíveis

NotaçãoSeja Q o conjunto de estados de um DFA

e a um símbolo do alfabeto. Sejam B,C ⊆ Q conjuntos de estados.

(B · a) = {q’ | δ(q,a)=q’, q ∈B}

o pair (C,a) splits o conjunto B se (B · a)∩C ≠ e (B · a)∩(Q-C) ≠

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Classes de Equivalência – Hopcroft (1971)

P := {F,Fc} -- inicializa partição corrente P

for each a∈A do

add((min(F,Fc),a),W) -- inicializa conjunto Wwhile W ≠ do

(C,a) := some(W) -- escolhe um elemento de Wfor each B ∈ P split by (C,a) do

B′,B′′ := split(B,C,a)

substitua B por B′ e B′′ em P

for each b ∈ A do

if (B,b) ∈ W then

substitua (B, b) por (B′, b) e (B′′, b) em W

else

add((min(B′, B′′), b), W)9

Exemplo – de novo

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Inicializa partição P: 05|12346Conjunto W : (05, a), (05, b) Par escolhido (C,a): (05, a)Conjunto B: 12346Estados que levam a 05: 6Classe a separar: 12346 → 1234|6Pares a adicionar: (6, a) e (6, b)Classe a separar : 05 → 0|5Par a adicionar: (5, a) (ou (0, a))Par a substituir: (05,b) por (0,b) e (5,b)Nova partição P: 0|1234|5|6Novo conjunto W: (0, b), (6, a), (6, b), (5, a), (5, b)

Classes de Equivalência – Hopcroft (1971)

• Tempo de execução do algoritmo, no pior caso, é O(n s log n), onde n é o número de estados e s é o número de símbolos do alfabeto. Ou seja, é O(n log n) para DFAs sobre um alfabeto fixo.

• Não funciona para NFAs (só para DFAs)

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Minimização de DFAsAlguns outros algoritmos de minimização:

• Algoritmo de Moore (1956): também por refinamento de partições O(n2s)

• Algoritmo de Brzozowski (1963): aplica-se também para NFA M O(2n)• ‘’Inverter’’ M, para obter um NFA N para LR

• Eliminar os estados inatingíveis de N• Converter N para o DFA equivalente M’• Inverter M’, obtendo um novo NFA N’’ para L• Converter N’ para o DFA equivalente M’’• M’’ é o DFA mínimo para L

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