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Méthodes Numériques appliquées à la physique

Bibilographie:- Samir Al-Amer, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Saudi Arabia - François Mauger, Université de Caen, France- Michael T. Heath (http://www.cse.illinois.edu/heath/scicomp/notes/chap01.pdf)- Mark H. Holmes, Introduction to Numerical Methods in Differential Equations, © 2007, Springer Science+Business Media, LLC- http://www.obs.u-bordeaux1.fr/radio/JMHure/Docs/MNcoursV3.pdf- http://www.math.univ-paris13.fr/~japhet/Poly/chap1.pdf- Calcul Scientifique, Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et Octave, Alfio Quarteroni, Paola Gervasio and Fausto Saleri

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Une méthode numérique est l’algorithme, c’est-à-dire la suite finie et non-ambiguë d’instructions pour obtenir une solution numérique à un problème mathématique.

On utilise une méthode numérique lorsque il n’existe pas de solution analytique ou celle-ci existe mais est difficile à obtenir.

Une méthode numérique doit être: Pratique: la solution doit être calculée en un temps raisonnable.Précise: • La solution doit être une bonne approximation de la solution vraie.• Des informations concernant l’erreur commise doivent pouvoir être évaluées.

Introduction Méthode numérique, algorithme

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Introduction Erreur de troncature (et), de « schéma »

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Introduction Erreur d’arrondi (ea), de « représentation »

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L’erreur d’arrondi ea génère une perte d’information

Introduction Perte d’information

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Problème Physique

erreur de modèle

Modèle Mathématique

erreur de troncature

Problème Numérique

erreur d’arrondi

erreur de calcul = et + ea

Introduction Du problème physique à la solution numérique

Solution numérique

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Introduction Erreur absolue, relative, ordre de convergence

lorsque h 0

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Rq: En fait, l’erreur est inconnue, sinon on pourrait en déduire la solution exacte:

Par contre on peut estimer comment l’erreur varie en fonction de h.

Ordre 1

Ordre 2ec

h

Introduction ordre de convergence d’une méthode

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On appelle dérivée de y = f(x) la quantité égale à :

Formule de Taylor :

Introduction Taylor

Théorème de Taylor

Soient n un entier naturel, f(x) une fonction dérivable n+1 fois dans un voisinage de x=x0

et h un réel, alors il existe un réel compris entre x0 et x0+h tel que:

Rn est un infiniment petit en h

x x+x

f(x)

f(x+x)

Approximation au 1ier ordre:

f(x + x) = f(x) + x.f’(x)

0

f(x)

f(x) + x.f’(x)

f(x) + x.f’(x) + R1

R1

Introduction Taylor: interprétation géométrique

x

En x:

pen

te a

ppro

ximée

En x:

pent

e exa

cte

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f(x) est un infiniment petit d’ordre n si il existe un réel non nul tel que

Autrement dit, f(x) = .xn quand x devient petit.L’ordre n caractérise la vitesse avec laquelle la fonction f(x) tend vers zéro lorsque x devient petit.

On écrit f(x) = O(xn).

Exemples:

f(x)=exp(x) n’est pas un infiniment petit puisque exp(x) 1 quand x 0

)())cos(1()sin()(

)())cos(1).(sin()(

)(...)!4!2

1(1)cos(1)(

)(...!5!3

)sin()(

1

3

242

153

xOxxxf

xOxxxf

xOxx

xxf

xOxx

xxxf

nx

xf

x

)(

0

limIntroduction Infiniment petit

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En combinant le théorème de Taylor avec +x et -x , on peut obtenir une approximation de f’(x0) pour laquelle on trouve que l’erreur varie en (x)2 :

2(x)

Approximation de f’(x0)

Erreur

[x0 , x0 + h]

Introduction Approximations des dérivées equ. diff., equ. non lin., ...

fi

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Différences excentrées Taylor à l’ordre 1, différence finie à 2 pts

On pourra écrire:

Effets de bord: f ’(x6) ne peut pas être calculée avec la DFavant car x7 n’est pas défini

Introduction Différences finies

fi+1

h

DFavant

DFarrière

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Différences centrées Différence finie à 3 pts

On ne peut pas calculer f ’(x6), ni f ’(x1) avec la DFC

Introduction Différences finies

On pourra écrire:

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Introduction Différences finies

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

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Erreur générée en utilisant les DFCalculer la dérivée exacte de f(x)= (1+x)^0.5 en x=zéro .En utilisant un pas x = 0.1, calculer à la main les erreurs commises sur la dérivée en x=0, pour les DF avant (1), arrière (2) et centrée (3).

Ecrire des DFa) Retrouver la DFcen (3): f’(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) à partir des DFava (1) et DFarr (2)b) Retrouver la DFcen (6): f’’(n) = [f(n+1)-2f(n)+f(n-1)] / h2 en utilisant le théorème de Taylor jusqu’au deuxième ordre.c) Retrouver les DFava (4) et (5) en utilisant le théorème de Taylor jusqu’au premier ordre.

Erreur d’une DFC en fonction du pasMontrer que l’erreur de la Dfcen (3) est E(h)=(h2). Pour cela, développer au 2ième ordre f(x+h) et f(x-h) avec les restes. En déduire l’expression de la DFcen est : f(1)(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) et l’expression de l’erreur E(h) commise sur f(1)(x).

Introduction Exercice: DF

Questions de coursIntroduction

1/ Quelles sont les 2 principales erreurs générées lors de l’utilisation d’une méthode numérique. Expliquez l’origine de chacune d’elle.2/ Quand dit-on d’une méthode numérique qu’elle est convergente d’ordre p ?3/ Donner l’expression de la série de Taylor avec reste pour une fonction f(x).4/ Qu’est qu’un infiniment petit d’ordre n ?5/ Donner une approximation par différences finies à 3 points de la dérivée d’une fonction f(x).