1 Co to jest analiza portfelowa? 2 Historia analizy...
Transcript of 1 Co to jest analiza portfelowa? 2 Historia analizy...
Marcin StudniarskiWyk÷ady z analizy portfelowej, cz¾esc I
semestr letni 2011/12http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm
1 Co to jest analiza portfelowa?
Analiza portfelowa zajmuje si¾e optymalnym inwestowaniem w papiery wartos-ciowe, g÷ównie w akcje. Analiza portfelowa ÷¾aczy w sobie elementy nauki o �-nansach, ekonomii zarz ¾adzania i matematyki (teoria optymalizacji, teoriaprawdopodobienstwa, metody numeryczne).Optymalizacji dokonuje si¾e pod wzgl¾edem dwóch kryteriów: zysku (maksy-
malizacja) i ryzyka (minimalizacja)�jest to przyk÷ad optymalizacji wielokry-terialnej (wektorowej).Portfel papierów wartosciowych jest to zestaw papierów wartosciowych,
które posiada inwestor.
2 Historia analizy portfelowej
Twórc ¾a analizy portfelowej by÷ekonomista amerykanski Harry Markowitz. Rozwin ¾a÷on teori¾e alokacji srodków �nansowych w warunkach niepewnosci, która zajmujesi¾e optymalizowaniem inwestycji w zale·znosci od spodziewanego zysku i ryzyka.Pierwsz ¾a publikacj ¾a z tej dziedziny by÷a praca:
� H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1(1952), 77-91.
W 1963 r. William Sharpe opublikowa÷teori¾e modelu jednowskaznikowegob¾ed ¾ac ¾a uproszczeniem teorii Markowitza.W 1990 r. H. Markowitz, W. Sharpe i M. Miller otrzymali nagrod¾e Nobla,
g÷ównie za prace z analizy portfelowej.
3 Cele analizy portfelowej
� Okreslenie charakterystyk papierów wartosciowych (g÷ównie doty-cz ¾acych zysku i ryzyka).
� Okreslenie kryteriów wyznaczania optymalnego sk÷adu portfelapapierów wartosciowych (np. dobrze jest inwestowac w akcje ró·znych �rmi to takie, które nie s ¾a dodatnio skorelowane, tzn. nie obserwuje si ¾e zgod-nych wahan ich kursów).
� Ocena posiadanego przez inwestora portfela w celu ewentualnej zmi-any jego sk÷adu. (Z regu÷y inwestor nie pozbywa si ¾e posiadanego portfela,lecz zamierza dalej inwestowac. Jednak, poniewa·z zmieniaj ¾a si ¾e warunkirynkowe, portfel ten po pewnym czasie mo·ze ju·z nie byc optymalny).
1
4 De�nicje papieru wartosciowego
De�nicja 1. Papier wartosciowy (security) jest to dokument (instrument�nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji:
� nabycie prawa do wspó÷w÷asnosci �rmy,
� udzielenie kredytu rz ¾adowi, �rmie lub instytucji,
� uzyskanie prawa do otrzymania w przysz÷osci pewnej wartosci (najcz¾esciejw postaci innego papieru wartosciowego).
De�nicja 2. Papier wartosciowy to dokument lub zapis w systemie infor-matycznym na rachunku papierów wartosciowych, który ucielesnia prawamaj ¾atkowe w taki sposób, ·ze dane uprawnienia przys÷uguj ¾a osobie wskazanejjako uprawniona w tresci dokumentu (chocby jako okaziciel), a przed÷o·ze-nie go jest warunkiem koniecznym i wystarczaj ¾acym dla realizacji up-rawnienia. Ponadto, zniszczenie lub utrata dokumentu powoduje utrat¾euprawnien dopóki nie zostanie wydane postanowienie o umorzeniu doku-mentu.
5 Rodzaje papierów wartosciowych
5.1 Akcje
Akcja (stock, share) jest to dokument swiadcz ¾acy o udziale jego w÷asciciela wkapitale spó÷ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia:
� prawo do dywidend,
� prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy,
� prawo do udzia÷u w maj ¾atku spó÷ki w przypadku jej likwidacji.
Akcje dziel ¾a si¾e na zwyk÷e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo·zedotyczyc:
� g÷osu na zebraniach akcjonariuszy,
� pierwszenstwa w wyp÷acaniu dywidendy,
� pierwszenstwa w podziale maj ¾atku spó÷ki w przypadku jej likwidacji.
5.2 Obligacje
Obligacja (bond) jest to papier wartosciowy potwierdzaj ¾acy nabycie przezjego posiadacza prawa do otrzymania w okreslonym terminie sumy pieni¾edzyokreslonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek.Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery
wartosciowe danego emitenta w przysz÷osci i na z góry okreslonych warunkach.Podzia÷obligacji ze wzgl¾edu na okres do wykupu:
2
� krótkoterminowe (1-5 lat),
� srednioterminowe (5-12 lat),
� d÷ugoterminowe (powy·zej 12 lat).
Podzia÷obligacji ze wzgl¾edu na oprocentowanie:
� o sta÷ym oprocentowaniu,
� o zmiennym oprocentowaniu (mo·ze byc ustalane na pocz ¾atku lub na koncuokresu oprocentowania),
� zerokuponowe (bezodsetkowe) �brak odsetek jest rekompensowany sprzeda·z ¾aobligacji po cenie ni·zszej od wartosci nominalnej.
5.3 Prawa poboru i prawa do akcji
Prawo poboru nowych akcji (PPA) �ma zastosowanie w przypadku nowejemisji akcji przez spó÷k¾e; oznacza przys÷uguj ¾ace dotychczasowym akcjonarius-zom prawo pierwszenstwa do obj¾ecia nowych akcji, które mo·ze byc przedmiotemobrotu gie÷dowego.Prawo do akcji (PDA) � instrument �nansowy umo·zliwiaj ¾acy nabyw-
com akcji nowej emisji ich odsprzedanie, zanim zostan ¾a wprowadzone do obrotugie÷dowego.
5.4 Warranty subskrypcyjne
Warrant subskrypcyjny jest to dokument (certy�kat), cz¾esto do÷¾aczony doakcji lub obligacji, daj ¾acy posiadaczowi ograniczone lub nieustaj ¾ace prawo kupnapapierów wartosciowych lub innych aktywów po ustalonej cenie lub prawo dosubskrypcji przysz÷ych emisji obligacji tego samego emitenta.
5.5 Kwity depozytowe
Kwit depozytowy jest to papier wartosciowy wystawiony poza granicamikraju, dokumentuj ¾acy prawo w÷asnosci akcji spó÷ki zagranicznej.
5.6 Listy zastawne
Listy zastawne s ¾a to d÷u·zne papiery wartosciowe, których podstaw ¾a s ¾a wierzytel-nosci banków hipotecznych zabezpieczone hipotekami lub gwarancj ¾a okreslonychinstytucji (m.in. Skarb Panstwa i NBP). Emitent listów � bank hipoteczny,zobowi ¾azuje si¾e wobec ich posiadacza do spe÷nienia okreslonego swiadczeniapieni¾e·znego �wyp÷aty odsetek i wykupienia samego listu w sposób i w terminachokreslonych w warunkach emisji.
3
5.7 Certy�katy inwestycyjne
Certy�kat inwestycyjny jest to papier wartosciowy emitowany przez zamkni¾etyfundusz inwestycyjny. Jest on papierem wartosciowym na okaziciela, dlategomo·ze byc notowany na gie÷dzie.
5.8 Pochodne papiery wartosciowe (instrumenty pochodne)
Instrument pochodny (derivative) jest to kontrakt �nansowy, którego ro-zliczenie zale·zy od innego instrumentu zwanego bazowym (np. akcji, indeksu,obligacji, stopy procentowej). G÷ówne rodzaje instrumentów pochodnych to:
� opcje (kupna lub sprzeda·zy),
� kontrakty futures i forward.
UWAGA. W niniejszym wyk÷adzie nie b ¾edziemy zajmowac si¾e instrumen-tami pochodnymi. B¾edziemy rozwa·zac g÷ównie akcje i obligacje.
6 Stopa zysku z inwestycji
Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a okresla-j ¾ac ¾a efektywnosc inwestycji, w szczególnosci inwestycji w papiery wartosciowe.Okreslamy j ¾a wzorem
R :=Kk �Kp
Kp; (1)
gdzie:Kp > 0 �kapita÷pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu in-
westycji),Kk �kapita÷koncowy (posiadany na koncu inwestycji).Stop¾e zysku R podaje si¾e zwykle w procentach.Przekszta÷caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita÷koncowy:
Kk = Kp(1 +R): (2)
Stwierdzenie 1. Dany jest skonczony ci ¾ag inwestycji �nansowych w przedzi-a÷ach czasowych [ti�1; ti], i = 1; ::; n, gdzie t0 < t1 < ::: < tn. Za÷ó·zmy, ·ze kapi-ta÷koncowy dla poprzedniego okresu jest kapita÷em pocz ¾atkowym dla nast ¾epnegookresu. Je·zeli Ri jest stop ¾a zysku dla okresu [ti�1; ti], to stopa zysku dla okresu[t0; tn] wynosi
R =nYi=1
(1 +Ri)� 1: (3)
Dowód. Oznaczmy przezKi kapita÷posiadany w momencie ti, i = 0; 1; :::; n.Zgodnie z (2)
Ki = Ki�1(1 +Ri), i = 1; :::; n:
4
Zatem
K1 = K0(1 +R1);
K2 = K1(1 +R2) = K0(1 +R1)(1 +R2);
:::
Kn = K0
nYi=1
(1 +Ri): (4)
Poniewa·z Kn jest kapita÷em koncowym dla ca÷ego procesu inwestycji, wi¾ec musispe÷niac warunek (2), czyli
Kn = K0(1 +R): (5)
Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). �Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 za÷ó·zmy dodatkowo, ·ze 1 +Ri > 0. Liczb¾e
�R := n
vuut nYi=1
(1 +Ri)� 1 (6)
nazywamy sredni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n-okresowej o stopach zysku Ri, i = 1; :::; n.Sens liczby �R jest nast¾epuj ¾acy: jest ona taka, ·ze inwestycja n-okresowa o
równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych �R, daje stop¾ezysku R okreslon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy·zszejsytuacji, otrzymamy
R =nYi=1
(1 + �R)� 1 = (1 + �R)n � 1 =nYi=1
(1 +Ri)� 1:
Stwierdzenie 2. Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + Ri > 0zachodzi nierównosc
�R � 1
n
nXi=1
Ri; (7)
tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznejstóp zysku z poszczególnych okresów.Dowód. Stosujemy znan ¾a nierównosc pomi¾edzy sredni ¾a geometryczn ¾a i
arytmetyczn ¾a liczb dodatnich a1; :::; an:
n
vuut nYi=1
ai �1
n
nXi=1
ai
(równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ai s ¾a równe).
5
Niech ai := 1 +Ri, wówczas
�R = n
vuut nYi=1
(1 +Ri)� 1 �1
n
nXi=1
(1 +Ri)� 1
=1
n
n+
nXi=1
Ri
!� 1 = 1
n
nXi=1
Ri: �
7 Zasada obliczania procentu sk÷adanego
Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk÷adanego.Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta÷a stopaprocentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up÷ywie ka·zdego roku:
Kn = K0(1 +R)n; (8)
gdzie:R �stopa procentowa (b¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku dla ka·zdego roku),K0 �kapita÷pocz ¾atkowy,Kn �kapita÷po n latach (wartosc przysz÷a sumy K0 po n latach).W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita÷u m razy w ci ¾agu roku
(przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast¾epuj ¾acy wzór nawartosc przysz÷¾a sumy K0 po n latach:
Kn = K0
�1 +
R
m
�mn: (9)
Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale·znosci od cz¾estosci kapitalizacjiodsetek:kwartalna: Kn = K0
�1 + R
4
�4nmiesi¾eczna: Kn = K0
�1 + R
12
�12ndzienna: Kn = K0
�1 + R
365
�365nhipotetyczna ci ¾ag÷a : Kn = K0 lim
m!1
�1 +
R
m
�mn= K0 lim
m!1
"�1 +
1
m=R
�m=R#Rn
= K0 limx!1
��1 +
1
x
�x�Rn= K0e
Rn;
gdzie e � 2; 7183 �podstawa logarytmu naturalnego.Uwaga: wzrost cz¾estosci kapitalizacji odsetek ma niewielki wp÷yw na wzrost
wartosci przysz÷ej kapita÷u.
6
8 Zasada dyskonta
Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk÷adanego przedstawiona w odwrot-nej postaci. Przekszta÷caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy
K0 =Kn
(1 +R)n; (10)
gdzie K0 nazywamy wartosci ¾a bie·z ¾ac ¾a (lub obecn ¾a) sumy pieni¾edzy Kn
uzyskiwanej w przysz÷osci (inaczej: wartosci ¾a zdyskontowan ¾a na okresbie·z ¾acy). Stop¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a.Interpretacja: wartosc bie·z ¾aca K0 wskazuje, jak ¾a sum¾e nale·zy zainwest-
owac na n lat, przy za÷o·zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacjiodsetek, aby otrzymac sum¾e równ ¾a Kn.
9 Efektywna stopa procentowa
W celu wyrównania efektu sródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾aguroku) nale·zy powi¾ekszyc stop¾e procentow ¾a R wyst¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartoscizwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej Ref . Zatem efektywnastopa procentowa spe÷nia równanie
K0(1 +Ref )n = K0
�1 +
R
m
�mn:
St ¾ad wynika, ·ze
Ref =
�1 +
R
m
�m� 1: (11)
10 Bank idealny i przep÷ywy pieni¾e·zne
Bankiem idealnym nazywamy abstrakcyjny bank, w którym:(a) odsetki z tytu÷u posiadania lokaty s ¾a równe oprocentowaniu zaci ¾aganych
kredytów,(b) nie wyst¾epuj ¾a ·zadne dodatkowe op÷aty (np. prowizje, op÷aty manipula-
cyjne),(c) wysokosc stopy procentowej nie zale·zy od wielkosci kapita÷u.Bank idealny nazywamy sta÷ym, je·zeli stopa procentowa nie zale·zy od d÷u-
gosci okresu, na jaki jest zawarta transakcja (np. roczne oprocentowanie lokatydwuletniej jest takie samo, jak lokaty trzyletniej).Rozwa·zamy n okresów o równej d÷ugosci.Strumieniem przep÷ywów pieni ¾e·znych nazywamy wektor (x0; x1; :::; xn),
gdzie x0 jest wyp÷at ¾a otrzymywan ¾a w momencie pocz ¾atkowym, x1 �wyp÷at ¾aotrzymywan ¾a na koniec pierwszego okresu, itd., xn �wyp÷at ¾a otrzymywan ¾a nakoniec n-tego okresu. Wyp÷aty mog¾e byc liczbami ujemnymi �wtedy oznaczaj ¾azobowi ¾azania. Ka·zda wyp÷ata jest natychmiast wp÷acana na rachunek w sta÷ym
7
banku idealnym, a jesli jest ujemna, to zaci ¾agana jest po·zyczka w tym samymbanku o podanej wartosci.Zak÷adamy, ·ze r jest stop ¾a procentow ¾a dla ka·zdego pojedynczego okresu w
sta÷ym banku idealnym (zarówno wk÷adu, jak i po·zyczki).Po n okresach przep÷yw pocz ¾atkowy x0 przyjmuje wartosc x0(1 + r)n, x1
przyjmuje wartosc x1(1 + r)n�1, itd., a xn nie ulega zmianie.Wartosc przysz÷¾a (FV �future value) strumienia (x0; x1; :::; xn) okreslamy
wzoremFV := x0(1 + r)
n + x1(1 + r)n�1 + :::+ xn: (12)
Wartosc obecn ¾a lub bie·z ¾ac ¾a (PV �present value) strumienia (x0; x1; :::; xn)okreslamy wzorem
PV := x0 +x11 + r
+x2
(1 + r)2+ :::+
xn(1 + r)n
: (13)
Stwierdzenie 3. Zachodzi równosc
PV =FV
(1 + r)n: (14)
Dowód. Dziel ¾ac równanie (12) przez (1 + r)n, otrzymujemy
FV
(1 + r)n= x0 +
x11 + r
+x2
(1 + r)2+ :::+
xn(1 + r)n
:
St ¾ad i z (13) wynika (14). �
11 Wewn¾etrzna stopa zwrotu
Do lepszego zrozumienia poj¾ecia wewn¾etrznej stopy zwrotu pos÷u·zy przyk÷ad in-westycji �nansowej polegaj ¾acej na lokowaniu i wycofywaniu pieni¾edzy w sta÷ymbanku idealnym.W÷asnosc 1. Za÷ó·zmy, ·ze roczna stopa procentowa w sta÷ym banku idealnym
wynosi r. Na pocz ¾atku pierwszego roku (w momencie 0) wp÷acamy do tego bankukwot ¾e a0. Kwot ¾e t ¾e dzielimy na n (niekoniecznie równych) cz ¾esci a1; :::; an,które podejmujemy z banku pod koniec kolejnych lat (w momentach odpowiednio1; :::; n) wraz z odsetkami nale·znymi za odpowiedni ¾a cz ¾esc kapita÷u. Wówczaswartosc obecna tej inwestycji �nansowej obliczona dla stopy dyskontowej r jestrówna zeru.Dowód. Wmomencie 1 podejmujemy z banku kwot¾e a1(1+r), w momencie
2 �kwot¾e a2(1 + r)2, itd., w momencie n �kwot¾e an(1 + r)n. Zatem wartosci ¾aobecn ¾a ca÷ej inwestycji �nansowej jest wartosc obecna strumienia przep÷ywówpieni¾e·znych
(�a0; a1(1 + r); a2(1 + r)2; :::; an(1 + r)n), gdzie a0 =nXi=1
ai:
8
Obliczaj ¾ac wartosc obecn ¾a tego strumienia na podstawie wzoru (13), otrzymamy
PV = �a0 + a1 + a2 + :::+ an = 0: �
Wewn¾etrzna stop ¾a zwrotu (IRR � internal rate of return) strumieniaprzep÷ywów pieni¾e·znych (x0; x1; :::; xn) nazywamy tak ¾a stop¾e procentow ¾a r, dlaktórej zachodzi równosc
x0 +x11 + r
+x2
(1 + r)2+ :::+
xn(1 + r)n
= 0: (15)
Z powy·zszego wzoru widac, ·ze wewn¾etrzna stopa zwrotu mo·ze istniec tylkodla tych strumieni, które zawieraj ¾a przep÷ywy w obu kierunkach, tzn. cz¾escwspó÷rz¾ednych wektora (x0; x1; :::; xn) jest dodatnia, a cz¾esc ujemna. Jednak iw tym przypadku jej istnienie nie zawsze jest zagwarantowane.Aby wyznaczyc wewn¾etrzna stop¾e zwrotu (przy za÷o·zeniu, ·ze istnieje), nale·zy
wyznaczyc rzeczywiste rozwi ¾azanie c równania wielomianowego
x0 + x1c+ x2c2 + :::+ xnc
n = 0; (16)
a nast¾epnie przyj ¾ac r := 1=c� 1 (wówczas c = 1=(1 + r)).Twierdzenie 1. (podstawowe twierdzenie o wewn¾etrznej stopie zwrotu).
(a) Je·zeli strumien przep÷ywów pieni ¾e·znych (x0; x1; :::; xn) spe÷nia warunki
x0 < 0 i xi � 0 dla ka·zdego i = 1; 2; :::;m; (17)
przy czym przynajmniej jeden przep÷yw xi jest dodatni, to istnieje jednoznacznerozwi ¾azanie rzeczywiste równania (16).(b) Je·zeli ponadto
Pni=0 xi > 0 (tzn. ÷¾aczna wartosc nominalna wp÷ywów
jest wi ¾eksza od nak÷adów), to wewn ¾etrzna stopa zwrotu r = 1=c�1 jest dodatnia.
12 Renta p÷atna z do÷u
Rozwa·zamy sytuacj¾e, gdy pod koniec okresu (np. roku) p÷acona jest sta÷asuma pieni¾e·zna, przy czym po zap÷aceniu jej wartosc jest kapitalizowana. Tak ¾asta÷¾a p÷atnosc nazywamy rent ¾a p÷atn ¾a z do÷u (annuity-immediate). Wartoscprzysz÷a takiej renty po n okresach dana jest wzorem
Pn = PnXi=1
(1 +R)i�1; (18)
gdzieR > 0 jest stop ¾a procentow ¾a obowi ¾azuj ¾ac ¾a w pojedynczym okresie. Wartoscprzysz÷a Pn jest sum ¾a wartosci przysz÷ych kolejnych wp÷at zapisanych w odwrot-nej kolejnosci, np. ostatni sk÷adnik sumy: P (1+R)n�1 dotyczy pierwszej wp÷aty,która w pierwszym okresie nie daje odsetek.W celu uproszczenia wzoru (18), skorzystamy ze wzoru na sum¾e cz¾esciow ¾a
szeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 6= 1:nXi=1
aqi�1 =a(1� qn)1� q : (19)
9
Przekszta÷caj ¾ac (18) zgodnie z (19) przy a = 1 i q = 1 +R, otrzymujemy
Pn = P1� (1 +R)n1� (1 +R) =
P
R[(1 +R)n � 1]: (20)
Wartosc bie·z ¾aca renty p÷atnej z do÷u jest dana wzorem (wynikaj ¾acym z poprzed-niego)
P =PnR
(1 +R)n � 1 : (21)
13 Renta p÷atna z góry
Rozwa·zamy sytuacj¾e podobn ¾a do poprzedniej, z t ¾a ró·znic ¾a, ·ze sta÷a kwota p÷a-cona jest na pocz ¾atku ka·zdego okresu (i w tym momencie jest kapitalizowana).Tak ¾a sta÷¾a p÷atnosc nazywamy rent ¾a p÷atn ¾a z góry (annuity-due). Wzór nawartosc przysz÷¾a po n latach ma teraz postac
Pn = P
nXi=1
(1 +R)i: (22)
W celu jego uproszczenia korzystamy z (19) przy a = q = 1 +R:
Pn = P (1 +R)1� (1 +R)n1� (1 +R) =
P
R(1 +R)[(1 +R)n � 1]: (23)
Wartosc bie·z ¾aca renty p÷atnej z góry jest dana wzorem
P =PnR
(1 +R)[(1 +R)n � 1] : (24)
14 Okreslanie wartosci papierów wartosciowych
Za÷ó·zmy najpierw, ·ze inwestor zatrzyma papier wartosciowy przez rok.Oznaczmy:P �wartosc papieru wartosciowego w momencie zakupu, czyli kap-
ita÷(pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup.C � wp÷ywy gotówkowe z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego (za-
k÷adamy dla uproszczenia, ·ze uzyskiwane s ¾a dok÷adnie po up÷ywie roku),R �stopa zysku papieru wartosciowego.Ze wzoru (2) wynika, ·ze C = P (1 +R), czyli
P =C
1 +R: (25)
Interpretacja: wartosc papieru wartosciowego jest to zdyskontowany przy-chód z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾ajest stopa zysku.
10
Uogólnienie. Rozwa·zamy papier wartosciowy, z tytu÷u którego otrzymu-jemy wp÷ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (25), otrzymujemy
P =nXi=1
Ci(1 +R)i
; (26)
gdzie:P �wartosc papieru wartosciowego,Ci �dochód z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego, uzyskany w i-tym
okresie,R �stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w po-
jedynczym okresie.De�nicja. Wartosc papieru wartosciowego jest to suma zdyskon-
towanych na okres bie·z ¾acy wp÷ywów uzyskiwanych z tytu÷u posiadania tego pa-pieru wartosciowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku.Sposoby korzystania ze wzoru (26):1. Jesli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartos-
ciowych podobnego typu), to mo·zna porównac wartosc P z cen ¾a rynkow ¾a pa-pieru wartosciowego w celu podj¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op÷acalny,jesli cena nie przekracza P ).2. Mo·zna przyj ¾ac jako P cen¾e rynkow ¾a papieru wartosciowego i rozwi ¾azac
równanie (26) wzgl¾edemR w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowa-nia metod przybli·zonych. Znaj ¾ac R, mo·zna podj ¾ac decyzj¾e o zakupie (np.porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).
15 Okreslanie wartosci obligacji o sta÷ym opro-centowaniu
Rozwa·zmy obligacj¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartosci nominalnej M .Za÷ó·zmy, ·ze odsetki p÷acone po up÷ywie ka·zdego roku wynosz ¾a C. Zatem opro-centowanie obligacji wynosi C=M . Stosuj ¾ac (26), otrzymujemy wzór na wartoscobligacji:
P =
nXi=1
C
(1 +R)i+
M
(1 +R)n; (27)
gdziePni=1
C(1+R)i �zdyskontowany przychód z odsetek,
M(1+R)n �zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.W (27) wyst¾epuj ¾a dwie ró·zne stopy procentowe:
1. C=M �stopa procentowa okreslaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji(jest sta÷a i znana w momencie zakupu).
2. R �stopa dyskontowa b¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku obligacji (zwanatak·ze stop ¾a rentownosci).
11
Wartosc R jest zmienna w czasie, gdy·z zale·zy od ceny rynkowej. W praktyceP jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.
16 Okreslanie wartosci akcji zwyk÷ych
Zysk z tytu÷u posiadania akcji pochodzi z dwóch zróde÷:
1. z dywidendy p÷aconej w danym okresie,
2. z przyrostu kapita÷u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu cenyakcji).
Za÷ó·zmy najpierw, ·ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up÷ywie n lat. Wówczasz (26) otrzymujemy
P =nXi=1
Di(1 +R)i
+Pn
(1 +R)n; (28)
gdzieP �wartosc akcji w chwili obecnej,Pn �wartosc akcji po n latach,Di �dywidenda wyp÷acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak÷adamy, ·ze
jest wyp÷acana z koncem roku),R �stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a,Pn
i=1Di
(1+R)i �zdyskontowany przychód z dywidend,Pn
(1+R)n �zdyskontowany przychód ze sprzeda·zy akcji.Za÷ó·zmy teraz, ·ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada÷. Wówczas znika
ostatni sk÷adnik po prawej stronie (28), a zamiast skonczonej sumy rozwa·zamyjej wartosc graniczn ¾a (o ile istnieje):
P = limn!1
nXi=1
Di(1 +R)i
=1Xi=1
Di(1 +R)i
: (29)
Wzór (29) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend.Uwagi. 1) Zbie·znosc szeregu w (29) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje
taka sta÷a A > 0, ·ze Di � D1Ai�1, i = 2; 3; ::: oraz A1+R < 1. Wówczas
limn!1
nXi=1
Di(1 +R)i
� limn!1
D1
nXi=1
Ai�1
(1 +R)i= D1
1Xi=1
Ai�1
(1 +R)i;
gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie A1+R 2
(0; 1), a wi¾ec zbie·znym.2)We wzorze (29) wyd÷u·zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskonc-
zonosci (co jest oczywiscie jedynie przybli·zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje,·ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita÷u z powodu zmian cen akcji. Nie ma onznaczenia, gdy nieplanuje si¾e sprzeda·zy akcji. Jedynym zród÷em dochodu z akcjistaje si¾e dywidenda.
12
Praktyczne zastosowanie wzoru (29). Dla wykorzystania tego wzoruniezb¾edna jest znajomosc dywidend otrzymywanych w przysz÷osci z tytu÷u posi-adania akcji. Na podstawie badan empirycznych zosta÷y zaproponowane ró·znemodele kszta÷towania si¾e wartosci dywidend.
16.1 Model sta÷ej wartosci dywidendy
Zak÷ada si¾e, ·ze �rma nie rozwija si¾e, osi ¾aga sta÷¾a (w przybli·zeniu) wartoscdochodów, a zatem wyp÷aca sta÷¾a dywidend¾e. Dla wyprowadzenia wzoru nawartosc akcji w tym przypadku, skorzystamy ze wzoru na sum¾e nieskonczonegoszeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 2 (�1; 1):
1Xi=1
aqi�1 =a
1� q : (30)
Podstawiaj ¾ac sta÷¾a wartosc D zamiast Di do (29), a nast¾epnie stosuj ¾ac (30) dlaa = q = 1
1+R , otrzymamy
P = D1Xi=1
1
(1 +R)i= D
11+R
1� 11+R
= D1
1+RR1+R
=D
R: (31)
W tym modelu stopa zysku akcji R = DP jest sta÷a i równa stopie dywidendy.
16.2 Model sta÷ego wzrostu dywidendy (model Gordona�Shapiro)
Zak÷ada si¾e, ·ze �rma rozwija si¾e w sta÷ym tempie, a zatem wyst¾epuje sta÷eroczne tempo (stopa) wzrostu dywidendy, które oznaczamy g, przy czym 0 <g < R. Jesli wi¾ec przez D1 oznaczymy dywidend¾e p÷acon ¾a w pierwszym roku,to dywidenda p÷acona w i-tym roku wyra·za si¾e wzorem
Di = D1(1 + g)i�1:
Uwzgl¾edniaj ¾ac powy·zsze w (29), a nast¾epnie stosuj ¾ac (30) dla a = 11+R i q =
1+g1+R , otrzymamy
P = D1
1Xi=1
(1 + g)i�1
(1 +R)i= D1
11+R
1� 1+g1+R
= D1
11+RR�g1+R
=D1R� g : (32)
Jesli chcemy wyznaczyc stop¾e zysku akcji, to przekszta÷camy (32) do postaci
R =D1P+ g:
Zatem stopa zysku akcji jest sum ¾a bie·z ¾acej stopy dywidendy D1=P i tempawzrostu dywidendy g. W praktyce g wyznacza si¾e na podstawie danych zprzesz÷osci, korzystaj ¾ac ze wzoru
g = rtre;
13
gdzie:rt �wspó÷czynnik zatrzymania, tj. udzia÷zysku zatrzymanego (nie
wyp÷aconego w formie dywidendy, a wi¾ec przeznaczonego na rozwój) w ca÷oscizysku �rmy,re � stopa zwrotu z zatrzymanych dochodów (mo·zna j ¾a oszacowac jako
przeci¾etn ¾a stop¾e zwrotu z inwestycji dokonanych przez �rm¾e w przesz÷osci).
16.3 Model dwóch faz
Model ten wynika z obserwacji, ·ze wiele �rm w pocz ¾atkowym okresie istnieniarozwija si¾e szybko, a po osi ¾agni¾eciu �dojrza÷osci�rozwój jest wolniejszy. Zak÷adasi¾e, ·ze:
1. przez N lat dywidenda rosnie w tempie g1,
2. nast¾epnie dywidenda rosnie zawsze w tempie g2, gdzie g2 < g1.
16.4 Model trzech faz
W modelu tym wyst¾epuj ¾a nast¾epuj ¾ace fazy rozwoju �rmy:
1. wzrost dywidendy w sta÷ym tempie g1 przez N1 lat,
2. wzrost dywidendy w zmiennym (malej ¾acym) tempie g2 przez N2 lat,
3. wzrost dywidendy w sta÷ym tempie g3 przez N3 lat,
przy czym g3 < g2 < g1.
17 Wartosc obecna netto
Wartosci ¾a obecn ¾a netto (NPV � net present value) inwestycji �nansowejnazywamy wartosc obecn ¾a (PV ) strumienia wszystkich przep÷ywów pieni¾e·znychzwi ¾azanych z t ¾a inwestycj ¾a. Inaczej mówi ¾ac, jest to wartosc obecna wp÷ywówzwi ¾azanych z inwestycj ¾a pomniejszona o wartosc obecn ¾a wydatków zwi ¾azanychz inwestycj ¾a.W÷asnosc 2. Dla dowolnej inwestycji �nansowej A oraz stopy procentowej
r > 0, jesli IRR(A) istnieje, to zachodzi równosc
r = IRR(A), NPVr(A) = 0;
gdzie NPVr(A) oznacza wartosc obecn ¾a netto inwestycji A obliczon ¾a dla stopyprocentowej r.Przyk÷ad 1. Rozwa·zmy jednoroczn ¾a obligacj¾e zerokuponow ¾a o wartosci
nominalnej 200 z÷, któr ¾a inwestor kupuje za 100 z÷. Wówczas wartosc obecnanetto inwestycji �nansowej w t¾e obligacj¾e jest równa wartosci obecnej strumienia
14
przep÷ywów pieni¾e·znych (�100; 200). Jesli za÷o·zymy, ·ze obowi ¾azuj ¾aca stopaprocentowa wynosi 10%, to wartosc obecna netto tej inwestycji jest równa
NPV = �100 + 200=1; 1 � 81; 8: (33)
Wartosc ta ró·zni si¾e od wartosci obecnej obligacji obliczonej wed÷ug wzoru (27),która wynosi
PV = 200=1; 1 � 181; 8:
18 Ocena efektywnosci inwestycji
Celem oceny efektywnosci inwestycji jest umo·zliwienie inwestorowi wyboru na-jkorzystniejszej inwestycji sposród dost¾epnych na rynku mo·zliwosci.W praktyce najcz¾esciej u·zywa si¾e nast¾epuj ¾acych kryteriów:1. Kryterium wartosci obecnej netto.2. Kryterium wewn¾etrznej stopy zwrotu.3. Zmody�kowane kryterium wartosci obecnej netto, uwzgl¾edniaj ¾ace
powtarzalnosc inwestycji.Stosowanie tych kryteriów wyjasnimy na przyk÷adzie.Przyk÷ad 2. Rozwa·zmy obligacj¾e jednoroczn ¾a A opisan ¾a w Przyk÷adzie 1
oraz obligacj¾e dwuletni ¾a B, tak·ze zerokuponow ¾a, któr ¾a mo·zna kupic za t¾e sam ¾acen¾e 100 z÷. Wartosc nominalna obligacji B wynosi 300 z÷. Mamy zatem doporównania nast¾epuj ¾ace strumienie przep÷ywów pieni¾e·znych:
A: (�100; 200) oraz B: (�100; 0; 300):
Sprawdzimy, która inwestycja jest korzystniejsza przy rocznej stopie 10%, sto-suj ¾ac kryterium 1. Korzystaj ¾ac z (33) i przeprowadzaj ¾ac analogiczne obliczeniadla obligacji B, otrzymamy
NPV (A) � 82; NPV (B) = �100 + 300=(1; 12) � 148:
Zatem wed÷ug kryterium 1 korzystniejsza jest inwestycja B.Aby zastosowac kryterium 2, nale·zy rozwi ¾azac równania:
A: � 100 + 200c = 0 oraz B: � 100 + 300c2 = 0;
a nast¾epnie wyznaczyc odpowiednie stopy zwrotu r z równania r = 1=c � 1.Otrzymamy
A: c =1
2, r = 1, B: c =
p3
3, r =
p3� 1 � 0; 7:
Zatem wed÷ug kryterium 2 korzystniejsza jest inwestycja A.Stosuj ¾ac kryterium 3 nale·zy uwzgl¾ednic fakt, ·ze inwestor, po otrzymaniu na
koniec pierwszego roku kwoty 200 z÷. mo·ze te pieni ¾adze ponownie zainwestowacw obligacje typu A, w wyniku czego na koniec drugiego roku otrzyma 400 z÷.
15
W tym przypadku porównujemy nast¾epuj ¾ace strumienie o jednakowej d÷ugosciczasowej:
A: (�100; 0; 400) oraz B: (�100; 0; 300):
Tutaj widac od razu bez ·zadnych obliczen, ·ze korzystniejsza jest inwestycja A.
19 Przestrzen probabilistyczna
Niech b¾edzie dowolnym zbiorem zdarzen elementarnych. Prawdopodobienstwoprzypisujemy podzbiorom zbioru nale·z ¾acym do tzw. klasy zdarzen F , gdzieF � 2. Zak÷adamy, ·ze F jest �-cia÷em podzbiorów , tzn. spe÷nia nast¾epu-j ¾ace warunki:S1. F 6= ;.S2. Je·zeli A 2 F , to nA 2 F .S3. Je·zeli Ai 2 F dla i = 1; 2; :::, to
S1i=1Ai 2 F .
Z powy·zszych warunków wynika, ·ze do F nale·z ¾a zdarzenia: (zdarzeniepewne) i ; (zdarzenie niemo·zliwe).Najmniejsze �-cia÷o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w Rn nazywamy
�-cia÷em zbiorów borelowskich w Rn i oznaczamy B(Rn).Prawdopodobienstwem nazywamy dowoln ¾a funkcj¾e P : F ! R spe÷nia-
j ¾ac ¾a warunki:A1. P (A) � 0 dla ka·zdego A 2 F ,A2. P () = 1,A3. Je·zeli Ai 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz Ai \Aj = ; dla i 6= j, to
P
1[i=1
Ai
!=
1Xi=1
P (Ai):
Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk¾e (;F ; P ), gdzie jestdowolnym zbiorem, F jest �-cia÷em podzbiorów , a P jest prawdopodobienst-wem okreslonym na F .W÷asnosci prawdopodobienstwa. Je·zeli (;F ; P ) jest przestrzeni ¾a prob-
abilistyczn ¾a i zbiory A; B; A1; :::; An nale·z ¾a do F , to spe÷nione s ¾a poni·zszewarunki:W1. P (;) = 0.W2. Je·zeli Ai \Aj = ; dla i 6= j, to P (
Sni=1Ai) =
Pni=1 P (Ai).
W3. P (nA) = 1� P (A).W4. Je·zeli A � B, to P (BnA) = P (B)� P (A).W5. Je·zeli A � B, to P (A) � P (B).W6. P (A) � 1.W7. P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to z równosci
=[!2
f!g
16
oraz z warunków A2 i W2 wynika, ·ze
X!2
P (f!g) = P [!2
f!g!= P () = 1: (34)
Przyk÷ad 3. Eksperci wskazali na 5 mo·zliwych stanów gospodarki w ci ¾agunajbli·zszego roku oraz na prawdopodobienstwa ich wyst ¾apienia:
stan gospodarki skrót prawdopodobienstwo
du·zy rozwój DRO 0; 1niewielki rozwój NRO 0; 3stagnacja STA 0; 2
niewielka recesja NRE 0; 3du·za recesja DRE 0; 1
Jesli przez oznaczymy zbiór wszystkich stanów gospodarki, to okreslona powy·zsz ¾atabelk ¾a funkcja prawdopodobienstwa P , po rozszerzeniu do wszystkich podzbiorówzbioru , spe÷nia warunki (A1)�(A3). Dla dowolnego podzbioru , obliczamyprawdopodobienstwo odpowiedniego zdarzenia z w÷asnosci (W2). Na przyk÷ad,je·zeli A = fDRO;NROg, jest zdarzeniem, ·ze wyst ¾api rozwój, to
P (A) = P (fDROg) + P (fNROg) = 0; 1 + 0; 3 = 0; 4:
20 Zmienne losowe
Niech (;F ; P ) b¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wek-torem losowym) o wartosciach w Rn nazywamy odwzorowanie X : ! Rntakie, ·ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w Rn zbiór X�1(A) nale·zy doF .Mo·zna wykazac, ·ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla
ka·zdego uk÷adu liczb �1; :::; �n 2 R mamy
X�1((�1; �1]� :::� (�1; �n]) 2 F :
Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to ka·zda funkcjaX : ! Rn jest zmienn ¾a losow ¾a.Przyk÷ad 4. Ustalono, ·ze stopa zysku akcji A zale·zy od stanu gospodarki
w nast¾epuj ¾acy sposób:
stan gospodarki prawdop. wyst ¾apienia stopa zysku RA akcji A
DRO 0; 1 20%NRO 0; 3 10%STA 0; 2 2%NRE 0; 3 �5%DRE 0; 1 �5%
17
Wówczas funkcja RA : � ! 7! RA(!) jest zmienn ¾a losow ¾a. Zauwa·zmy, ·zemo·ze ona przyjmowac te same wartosci dla ró·znych zdarzen elementarnych, np.RA(NRE) = RA(DRE) = �5%.Rozk÷adem prawdopodobienstwa zmiennej losowejX : ! Rn nazy-
wamy funkcj¾e PX : B(Rn)! R dan ¾a wzorem
PX(B) := P (X�1(B)) dla B 2 B(Rn): (35)
Mówimy, ·ze zmienna losowa X ma rozk÷ad dyskretny, je·zeli istnieje taki zbiórprzeliczalny S � Rn, ·ze PX(S) = 1.Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to mo·zna przyj ¾ac
S := X() (zbiór skonczony) i wtedy
PX(S) = PX(X()) = P (X�1(X())) = P () = 1: (36)
Zatem ka·zda zmienna losowa okreslona na skonczonym zbiorze zdarzen elemen-tarnych ma rozk÷ad dyskretny. Za÷ó·zmy, ·ze S = fx1; :::; xng i oznaczmy przezpi prawdopodobienstwo zdarzenia, ·ze zmienna losowa X przyjmuje wartosc xi(i = 1; :::; n). Wówczas, przyjmuj ¾ac B = fxig w (35), otrzymujemy
PX(fxig) = P (X = xi) = pi; (37)
gdzie P (X = xi) jest skróconym zapisem wyra·zeniaP (f! 2 : X(!) = xig). Ponadto z (36) i (37) wynika, ·ze
nXi=1
pi =nXi=1
PX(fxig) = PX(S) = 1: (38)
20.1 Wartosc oczekiwana zmiennej losowej o rozk÷adziedyskretnym
Wartosci ¾a oczekiwan ¾a (lub sredni ¾a) zmiennej losowejX : ! R o rozk÷adziedyskretnym, przyjmuj ¾acej skonczenie wiele wartosci, nazywamy liczb¾e
EX :=Xi2I
xiP (X = xi); (39)
gdzie X() = fxigi2I , I �skonczony zbiór indeksów, aWartosci ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X1; :::; Xn) : ! Rn, gdzie
wszystkie zmienne losowe Xi przyjmuj ¾a skonczenie wiele wartosci, nazywamywektor
EX := (EX1; :::; EXn): (40)
20.2 Wartosc oczekiwana zmiennej losowej w przypadkuogólnym
W przypadku dowolnej zmiennej losowej X : ! R mówimy, ·ze ma onawartosc oczekiwan ¾a, je·zeli jest ca÷kowalna, tzn.Z
jXj dP <1:
18
Wówczas wartosci ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb¾e
EX :=
Z
XdP: (41)
De�nicja (41) jest uogólnieniem de�nicji (39). W ogólnym przypadku do zde�n-iowania wartosci oczekiwanej wektora losowego u·zywamy wzoru (40) przy za-÷o·zeniu, ·ze wszystkie wspó÷rz¾edne maj ¾a wartosc oczekiwan ¾a.Ze wzoru (40) i z podstawowych w÷asnosci ca÷ki wynika nast¾epuj ¾ace twierdze-
nie.Twierdzenie 2. Niech X i Y b ¾ed ¾a zmiennymi losowymi na o wartosciach
w R. Za÷ó·zmy, ·ze istniej ¾a wartosci oczekiwane EX i EY . Wówczas:(a) Jesli X � 0, to EX � 0.(b) jEXj � E jXj.(c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje wartosc oczekiwana aX + bY i
E(aX + bY ) = aEX + bEY . (42)
21 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji
21.1 Metoda 1 �na podstawie danych z przesz÷osci
W metodzie tej wykorzystuje si¾e dane z pewnej ilosci okresów poprzedzaj ¾acychokres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest okreslonawzorem
Ri =Pi � Pi�1 +Di
Pi�1; (43)
gdzie Pi, Pi�1 oznaczaj ¾a wartosci akcji odpowiednio w okresach i, i� 1, a Di �dywidend¾e wyp÷acan ¾a w okresie i.Wzór (43) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapi-
ta÷pocz ¾atkowy Kp przyjmujemy jako równy Pi�1, a kapita÷koncowy Kk �jakorówny Pi+Di. Jesli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prog-nozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d÷ugosci) mo·zemyu·zyc sredniej arytmetycznej
R =1
n
nXi=1
Ri (44)
albo sredniej geometrycznej okreslonej wzorem (6).
21.2 Metoda 2 �wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku
Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej �rmy oraz ca÷ejgospodarki, mo·zna próbowac ocenic mo·zliwe stopy zysku w ró·znych sytuac-jach oraz prawdopodobienstwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowaniaprzysz÷ej stopy zysku u·zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod¾e t¾e nazywamyprognozowaniem ekspertowym.
19
Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb¾e
ER :=nXi=1
piRi; (45)
gdzie Ri �stopa zysku wyst¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, pi �prawdopodobienstwowyst ¾apienia i-tej sytuacji, n �liczba mo·zliwych ró·znych scenariuszy rozwoju.
22 Wariancja i odchylenie standardowe zmien-nej losowej
Niech X : ! R b¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jesli E�(X � EX)2
�<1, to t¾e liczb ¾e
nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy
VarX = D2X := E�(X � EX)2
�: (46)
Wariancj¾e mo·zna inaczej zapisac nast¾epuj ¾aco:
VarX = E(X2)� (EX)2: (47)
Dowód (47). VarX := E [(X � EX)2] = E [X2 � 2XEX + (EX)2] = E(X2) �(EX)2. �Ze wzorów (46) i (39) wynika, ·ze jesli X przyjmuje skonczon ¾a ilosc wartosci
xi, i 2 I, toVarX =
Xi2I
P (X = xi)(xi � EX)2: (48)
W÷asnosci wariancji. Jesli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X2) <1, toistnieje VarX i spe÷nia warunki(a) VarX � 0.(b) Var(�X) = �2VarX (� 2 R).(c) Var(X + �) = Var(X) (� 2 R).(d) VarX = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta÷a z
prawdopodobienstwem 1.Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek
z wariancji:�X = DX =
pVarX: (49)
23 Ryzyko papieru wartosciowego
Ryzyko w analizie portfelowej oznacza niepewnosc wyst ¾apienia oczekiwanejsytuacji w procesie inwestowania. Okresla ono tak·ze skal¾e zró·znicowania (rozproszenia)prognozy lub danych historycznych.Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartosciowe s ¾a
wariancja i odchylenie standardowe papieru wartosciowego.
20
23.1 Prognozowanie ekspertowe
Wprzypadku prognozowania ekspertowegowariancj ¾e papieru wartosciowegode�niujemy nast¾epuj ¾aco:
V :=nXi=1
pi(Ri � ER)2; (50)
gdzie Ri �stopa zysku wyst¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, pi �prawdopodobienstwowyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER � oczekiwana stopa zysku z inwestycji, danawzorem (45).Im mniejsza wartosc V , tym mniejsze ryzyko osi ¾agni¾ecia oczekiwanej stopy
zysku. Najmniejsz ¾a mo·zliw ¾a do osi ¾agni¾ecia wartosci ¾a jest 0. Wyst¾epuje onawtedy, gdy wszystkie mo·zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si¾e jednakow ¾astop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta÷ym oprocentowaniu.Przyk÷ad 5. Eksperci ocenili zachowania akcji A i B na podstawie ich
notowan z przesz÷osci. Np. sprawdzono, ·ze w czasie silnej hossy na gie÷dziewartosc akcji A wzrasta÷a srednio o 40% w ci ¾agu miesi ¾aca, w czasie powolnegowzrostu � ros÷a o 20%, itd. Analizuj ¾ac sytuacj¾e na gie÷dzie, mo·zna okreslicprawdopodobienstwa wyst ¾apienia poszczególnych stanów (od silnej hossy dosilnej bessy).
sytuacja prawdop. prognozowana zmianana gie÷dzie wyst ¾apienia akcja A akcja B
silna hossa 0; 1 40% 12%powolny wzrost 0; 2 20% 6%stabilizacja 0; 4 �5% 1%
powolny spadek 0; 2 �15% �5%silna bessa 0; 1 �20% �8%oczekiwana stopa zysku 1% 1%
Oczekiwana stopa zysku dla akcji A i b jest taka sama. Patrz ¾ac na tabelk¾emo·zna jednak ocenic, ·ze inwestycja w akcj¾e A jest bardziej ryzykowna. Rzeczy-wiscie, jesli skorzystamy z wzoru (50) do obliczenia wariancji obu akcji, a nast¾ep-nie obliczymy ich odchylenia standardowe, to otrzymamy
�A � 18; 3%; �B � 5; 7%:
23.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartosci histo-rycznych stóp zysku
Zak÷ada si¾e, ·ze rozk÷ad przysz÷ych stóp zysku b¾edzie si¾e charakteryzowa÷takimsamym ryzykiem, jakie wyst¾epowa÷o w dotychczasowych notowaniach. Wari-ancj¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si¾e wed÷ug wzoru
V :=1
n
nXi=1
(Ri �R)2; (51)
21
gdzie n �liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, Ri �stopy zysku uzyskanew kolejnych okresach, R �srednia historyczna stopa zysku, dana wzorem (44).Poniewa·z nie s ¾a okreslone prawdopodobienstwa wyst ¾apienia poszczególnych stópzysku Ri, przyjmuje si¾e, ·ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = Rzgodnie z wzorem (45), a zatem (51) jest szczególnym przypadkiem (50), gdziepi = 1=n dla i = 1; :::;m.W przypadku ma÷ej liczby danych (n � 30) do prognozowania wariancji
stopy zysku stosuje si¾e wyra·zenie
V :=1
n� 1
nXi=1
(Ri �R)2: (52)
Sens u·zycia tego wzoru wynika z faktu, ·ze V jest tzw. estymatorem nieob-ci ¾a·zonym wariancji, co wyjasnimy dok÷adniej w dalszej cz¾esci wyk÷adu.W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy
pierwiastek z odpowiedniego wyra·zenia, tzn.pV lub
pV .
24 Niezale·znosc zmiennych losowych
Zmienne losowe X1; :::; Xn o wartosciach w R, okreslone na zbiorze , gdzie(;F ; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale·znymi, je·zelidla dowolnych zbiorów B1; :::; Bn 2 B(R) zachodzi równosc
P (X1 2 B1; :::; Xn 2 Bn) = P (X1 2 B1) � ::: � P (Xn 2 Bn): (53)
W powy·zszym wzorze wyra·zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra·zenia
Pf! 2 : X1(!) 2 B1 ^ ::: ^Xn(!) 2 Bng;
podobna uwaga dotyczy wyra·zen po prawej stronie.Twierdzenie 3. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn s ¾a niezale·zne i maj ¾a
wartosc oczekiwan ¾a, to istnieje wartosc oczekiwana iloczynuQni=1Xi i zachodzi
równosc
E
nYi=1
Xi
!=
nYi=1
EXi: (54)
Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Yprzyjmuj ¾acych skonczenie wiele wartosci. Za÷ó·zmy, ·ze X() = fxigi2I , Y () =fyjgj2J , gdzie I, J �skonczone zbiory indeksów. Poniewa·z zbiory jednoelemen-towe fxig i fyjg s ¾a borelowskie, wi¾ec z (53) otrzymujemy
P (X = xi; Y = yj) = P (X = xi)P (Y = yj) (i 2 I, j 2 J).
22
St ¾ad na podstawie (39)
E(XY ) =Xi2I
Xj2J
xiyjP (X = xi; Y = yj)
=Xi2I
Xj2J
xiyjP (X = xi)P (Y = yj)
=
Xi2I
xiP (X = xi)
!0@Xj2J
yjP (Y = yj)
1A = EX � EY . �
Twierdzenie 4. Przy za÷o·zeniach Twierdzenia 3 zachodzi równosc
Var
nXi=1
Xi
!=
nXi=1
VarXi: (55)
Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno zewzorów (47), (42), (54) i ponownie z (47), otrzymujemy
Var(X + Y ) = Eh(X + Y )
2i� [E (X + Y )]
2
= E�X2 + 2XY + Y 2
�� [EX + EY ]2
= E(X2) + 2E (XY ) + E(Y 2)� (EX)2 � 2EX � EY � (EY )2
= E(X2)� (EX)2 + E(Y 2)� (EY )2 = VarX +VarY . �
25 Kowariancja i wspó÷czynnik korelacji zmien-nych losowych
Kowariancj ¾a ca÷kowalnych zmiennych losowych X i Y , spe÷niaj ¾acych warunekE jXY j <1, nazywamy liczb¾e
Cov(X;Y ) := E [(X � EX) (Y � EY )] : (56)
Z powy·zszej de�nicji i z Twierdzenia 2(c) otrzymujemy
Cov(X;Y ) = E [XY � (EX)Y �X(EY ) + EX � EY ]= E(XY )� 2EX � EY + E(EX � EY )= E(XY )� EX � EY; (57)
gdzie ostatnia równosc wynika z faktu, ·ze wartosc oczekiwana zmiennej losowejo sta÷ej wartosci jest równa tej sta÷ej.Jesli Cov(X;Y ) = 0, to zmienne losoweX i Y nazywamy nieskorelowanymi;
w przeciwnym przypadku �skorelowanymi.Korzystaj ¾ac z nierównosci Schwarza dla ca÷ek, mo·zna wykazac nast¾epuj ¾ac ¾a
nierównosc:jCov(X;Y )j �
pVarX �VarY ; (58)
23
przy czym równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobienstwem 1zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale·znosci ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczbya, b 2 R, ·ze
P fY = aX + bg = 1: (59)
Wspó÷czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich od-chyleniach standardowych nazywamy liczb¾e
�(X;Y ) :=Cov(X;Y )
�X�Y=
Cov(X;Y )pVarX �VarY
: (60)
Z nierównosci (58) wynika, ·ze j�(X;Y )j � 1, a równosc zachodzi tylko w przy-padku liniowej zale·znosci mi¾edzy zmiennymi X i Y .Z Twierdzenia 3 i z równosci (57) wynika, ·ze jesli zmienne losowe X i Y s ¾a
niezale·zne i maj ¾a wartosc oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane.Za÷ó·zmy teraz, ·ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skonczenie wiele wartosci
i ·ze dany jest rozk÷ad prawdopodobienstwa pary zmiennych losowych(X;Y ), tzn. dane s ¾a skonczone ci ¾agi liczbowe x1; :::; xn i y1; :::; yn oraz ci ¾ag liczbdodatnich p1; :::; pn takie, ·ze
nXi=1
pi = 1 oraz P (X = xi; Y = yi) = pi, i = 1; :::; n: (61)
Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (39) na wartosc oczekiwan ¾a, mo·zemy zapisacwzór (56) w postaci
Cov(X;Y ) =nXi=1
pi (xi � EX) (yi � EY ) : (62)
26 Korelacja papierów wartosciowych
Rozwa·zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiedniostopy zysku RA i RB akcji A i B. Niech �A i �B oznaczaj ¾a odpowiednioodchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za÷o·zenieich dodatniosci jest na ogó÷spe÷nione.W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru
(62), otrzymujemy nast¾epuj ¾ac ¾a de�nicj¾e:Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji �nansowych) A i B nazywamy
liczb¾e
Cov(RA; RB) :=nXi=1
pi (RA;i � ERA) (RB;i � ERB) ; (63)
gdzie:RA;i �stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B),pi �prawdopodobienstwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji,n �ilosc mo·zliwych sytuacji.
24
Korzystaj ¾ac ze wzorów (50), (60) i (63), otrzymujemy de�nicj¾e wspó÷czyn-nika korelacji akcji A i B:
�A;B : =Cov(RA; RB)
�A�B
=
Pni=1 pi (RA;i � ERA) (RB;i � ERB)pPn
i=1 pi(RA;i � ERA)2pPn
i=1 pi(RB;i � ERB)2: (64)
Jesli korelacj¾e okresla si¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku(RA;i; RB;i), i = 1; :::; n, to wzory okreslaj ¾ace kowariancj¾e i wspó÷czynnik ko-relacji akcji A i B przyjmuj ¾a postac
Cov(RA; RB) :=1
n
nXi=1
�RA;i � ~RA
��RB;i � ~RB
�; (65)
gdzie ~RA, ~RB � srednie arytmetyczne odpowiednio wielkosci RA;i, RB;i (i =1; :::; n),
�A;B : =Cov(RA; RB)
�A�B
=
Pni=1
�RA;i � ~RA
��RB;i � ~RB
�qPn
i=1(RA;i � ~RA)2qPn
i=1(RB;i � ~RB)2: (66)
W przypadku ma÷ej liczby danych, wspó÷czynnik 1=n wyst¾epuj ¾acy w (65) i (nie-jawnie) w (66) mo·ze byc zast ¾apiony przez 1=(n�1), podobnie jak przy obliczaniuwariancji akcji.Mówimy, ·ze akcje (inwestycje �nansowe) A i B s ¾a(a) dodatnio skorelowane, jesli �A;B > 0,(b) ujemnie skorelowane, jesli �A;B < 0,(c) nieskorelowane, jesli �A;B = 0,(d) doskonale (dok÷adnie) dodatnio skorelowane, jesli �A;B = 1,(e) doskonale (dok÷adnie) ujemnie skorelowane, jesli �A;B = �1.Uwaga. Wspó÷czynnik korelacji jest miar ¾a zale·znosci liniowej (por. wzór
(59)), tj. miar ¾a skupiania si¾e punktów (RA;i; RB;i) (w uk÷adzie wspó÷rz¾ednychna p÷aszczyznie) wokó÷linii prostej.
27 Model wartosci kapita÷u w czasie
Rozwa·zamy kapita÷K, którego wartosc w momencie t oznaczamy przez K(t),przy czym czas jest wyra·zony w latach. Kapita÷K mo·zna zatem traktowacjako funkcj¾e K : R ! R. Zak÷adamy, ·ze znana jest wartosc K(t0) kapita÷uK w momencie t0, przy czym K(t0) > 0. W celu aktualizacji wartosci tegokapita÷u na dowolnie wybrany moment tA odleg÷y od t0 o ca÷kowit ¾a ilosc lat,mo·zemy zastosowac wzór (8) na obliczanie procentu sk÷adanego (jesli tA > t0)
25
albo zasad¾e dyskonta (10) (jesli tA < t0). Przy obecnych oznaczeniach daje toodpowiednio
K(tA) = K(t0)(1 +R)tA�t0 , dla tA � t0 > 0; (67)
K(tA) =K(t0)
(1 +R)t0�tA= K(t0)(1 +R)
tA�t0 , dla tA � t0 < 0: (68)
Wzory (67) i (68) mo·zna uogólnic w ten sposób, ·ze dla dowolnego momentuczasowego t, bez wzgl¾edu na to, czy jest on wczesniejszy czy pózniejszy ni·z t0,wartosc kapita÷u zaktualizowana na moment t wynosi
K(t) = K(t0)(1 +R)t�t0 , t 2 R: (69)
28 Estymatory nieobci ¾a·zone
Rozwa·zamy model doswiadczenia polegaj ¾acy na n-krotnej realizacji pewnegodoswiadczenia losowego, którego modelem jest zmienna losowa X (o wartosci-ach rzeczywistych). Modelem takiej n-krotnej realizacji tego doswiadczenia jestn-wymiarowy wektor losowy (X1; :::; Xn), gdzie X1; :::; Xn s ¾a niezale·znymi zmi-ennymi losowymi, z których ka·zda ma taki sam rozk÷ad prawdopodobienstwa jakX. Taki wektor losowy (X1; :::; Xn) nazywamy n-elementow ¾a prób ¾a losow ¾a(prost ¾a) zmiennej losowej X.Niech ! 2 b¾edzie zdarzeniem elementarnym, w wyniku którego obser-
wujemy x1 = X1(!); :::; xn = Xn(!). Wówczas wektor (x1; :::; xn) nazywamyrealizacj ¾a próby losowej (X1; :::; Xn) odpowiadaj ¾ac ¾a zdarzeniu elemen-tarnemu !.Statystyk ¾a nazywamy ka·zd ¾a funkcj¾e rzeczywist ¾a Un = '(X1; :::; Xn) wek-
tora losowego (X1; :::; Xn) stanowi ¾acego prób¾e wyjsciowej zmiennej losowej X.Statystyk ¾a nazywa si¾e tak·ze realizacj¾e un = '(x1; :::; xn) zmiennej losowej Un.Za÷ó·zmy teraz, ·ze rozk÷ad zmiennej losowej X zale·zy od parametru � 2 R.
Wówczas rozk÷ad danej statystyki Un na ogó÷tak·ze zale·zy od �, pomimo tego,·ze sama statystyka nie jest funkcj ¾a �. Obserwacje statystyki Un mo·zna zatemwykorzystac do wnioskowania o parametrze �.Zmienn ¾a losow ¾a (statystyk¾e) Un = '(X1; :::; Xn), której realizacj¾e przyjmu-
jemy jako ocen¾e parametru �, nazywamy estymatorem parametru �.Estymator Un = '(X1; :::; Xn) parametru � nazywamy nieobci ¾a·zonym,
je·zeli EUn = �; w przeciwnym przypadku estymator Un nazywamy obci ¾a·zonym.Statystyk¾e
�X :=1
n
nXi=1
Xi (70)
nazywamy sredni ¾a z próby, a statystyk¾e
S2 :=1
n
nXi=1
(Xi � �X)2 (71)
26
�wariancj ¾a z próby.Stwierdzenie 3. Srednia z próby jest estymatorem nieobci ¾a·zonym wartosci
oczekiwanej EX.Dowód. Korzystaj ¾ac z liniowosci wartosci oczekiwanej (wzór (42)) oraz z
faktu, ·ze zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a ten sam rozk÷ad (a wi¾ec i wartoscoczekiwan ¾a) co X, otrzymujemy
E �X =1
n
nXi=1
EXi =1
n� nEX = EX. � (72)
Stwierdzenie 4. Wariancja z próby jest estymatorem obci ¾a·zonym wariancjiVarX.Dowód. Z de�nicji
S2 =1
n
nXi=1
(Xi � �X)2 =1
n
nXi=1
(X2i � 2Xi �X + �X2)
=1
n
nXi=1
X2i � 2 �X
1
n
nXi=1
Xi +1
n
nXi=1
�X2
=1
n
nXi=1
X2i � 2 �X2 + �X2 =
1
n
nXi=1
X2i � �X2:
St ¾ad, poniewa·z Xi maj ¾a ten sam rozk÷ad co X, otrzymujemy
E(S2) = E 1
n
nXi=1
X2i
!� E( �X2) = E(X2)� E( �X2): (73)
Zgodnie z (47) i (72) mamy
E(X2) = VarX + (EX)2; (74)
E( �X2) = Var �X + (E �X)2 = Var �X + (EX)2: (75)
Ponadto na mocy (70), w÷asnosci (b) wariancji oraz Twierdzenia 3
Var �X = Var
1
n
nXi=1
Xi
!=1
n2� nVarX =
1
nVarX. (76)
Ze wzorów (73)�(76) dostajemy
E(S2) = VarX �Var �X =
�1� 1
n
�VarX =
n� 1n
VarX;
co oznacza, ·ze S2 jest estymatorem obci ¾a·zonym parametru VarX. �Wniosek. Statystyka
S2 :=n
n� 1S2 =
1
n� 1
nXi=1
(Xi � �X)2
jest estymatorem nieobci ¾a·zonym wariancji VarX.Powy·zszy wniosek uzasadnia stosowanie wzoru (52) do prognozowania wari-
ancji stopy zysku w przypadku ma÷ej liczby danych.
27
29 Wariancja sumy zmiennych losowych
Dotychczas podalismy wzór na wariancj¾e sumy zmiennych losowych jedynie wprzypadku zmiennych losowych niezale·znych (wzór (55)). Obecnie podamy wzórdla przypadku ogólnego.Twierdzenie 5. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a wariancj ¾e, to ist-
nieje te·z wariancja sumyPn
i=1Xi i zachodzi równosc
Var
nXi=1
Xi
!=
nXi=1
VarXi + 2X
1�i<j�nCov(Xi; Xj): (77)
Dowód. Korzystaj ¾ac kolejno z (47), (42), ponownie z (47) oraz z (57),otrzymujemy
Var
nXi=1
Xi
!= E
24 nXi=1
Xi
!235� nXi=1
EXi
!2
=nXi=1
�E(X2
i )� (EXi)2�+ 2
X1�i<j�n
[E(XiXj)� EXi � EXj ]
=nXi=1
VarXi + 2X
1�i<j�nCov(Xi; Xj). �
Wniosek. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a wariancj ¾e i s ¾a paraminieskorelowane, to zachodzi równosc (55).
30 Portfel dwóch akcji
Niech P oznacza portfel, w którym udzia÷y akcji A i B wynosz ¾a odpowiedniouA i uB . Udzia÷y te rozumiemy w sensie wartosciowym, a nie ilosciowym, coilustruje poni·zszy przyk÷ad.Przyk÷ad 6. Inwestor posiada portfel, w sk÷ad którego wchodzi 10 akcji
Exbudu (typ A) oraz 20 akcji Wedla (typ B). Aktualna cena jednej akcji Exbuduwynosi 45 z÷50 gr, a jednej akcji Wedla 16 z÷50 gr. Wobec tego udzia÷y tychakcji w portfelu wynosz ¾a:
uA =10 � 45; 5
10 � 45; 5 + 20 � 16; 5 t 0; 58; uB =20 � 16; 5
10 � 45; 5 + 20 � 16; 5 t 0; 42:
Ogólnie, udzia÷y akcji w portfelu s ¾a liczbami z przedzia÷u [0; 1], któresumuj ¾a si¾e do jednosci. Jest to równowa·zne warunkom:
uA � 0, uB � 0, uA + uB = 1: (78)
Oznaczmy oczekiwane stopy zysku akcji A i B odpowiednie przez RA i RB .Mog ¾a to byc równie·z srednie historyczne stopy zysku obliczone na podstawie
28
wczesniejszych notowan. Wówczas oczekiwana stopa zysku portfela P jestdana wzorem:
ERP = E(uARA + uBRB) = uAERA + uBERB : (79)
Zatem oczekiwana stopa zysku portfela jest sredni ¾a wa·zon ¾a oczekiwanych stópzysku obu akcji, przy czym wagami s ¾a udzia÷y tych akcji w portfelu.Korzystaj ¾ac z wzoru (77), mo·zemy wyznaczyc wariancj ¾e (stopy zysku)
portfela P :
VarRP = Var(uARA) + Var(uBRB) + 2Cov(uARA; uBRB)
= u2AVar(RA) + u2B Var(RB) + 2uAuB Cov(RA; RB); (80)
gdzie:Var(RA), Var(RB) �wariancje odpowiednio akcji A i B,Cov(RA; RB) �kowariancja akcji A i B.Przechodz ¾ac do ryzyka opisanego za pomoc ¾a odchylenia standardowego,
otrzymujemy z wzoru (80)
�P =pVarRP =
qu2A�
2A + u
2B�
2B + 2uAuB�A�B�A;B ; (81)
gdzie:�P �odchylenie standardowe (ryzyko) portfela P ,�A, �B �ryzyko odpowiednio akcji A i B,�A;B �wspó÷czynnik korelacji akcji A i B.Analizuj ¾ac wzory (79) i (81) widzimy, ·ze wartosci ERP i �P zale·z ¾a od udzi-
a÷ów poszczególnych akcji w portfelu oraz (w przypadku �P ) od korelacji mi¾edzyakcjami. Omówimy teraz ró·zne przypadki w zale·znosci od wartosci �A;B .
30.1 Przypadek �A;B = 1 (doskona÷a korelacja dodatnia)
Wzór (81) przyjmuje wówczas postac
�P =qu2A�
2A + u
2B�
2B + 2uAuB�A�B
=
q(uA�A + uB�B)
2= uA�A + uB�B : (82)
Geometrycznie oznacza to �na p÷aszczyznie, gdzie portfelowi P odpowiada para(�P ; ERP ) �·ze wszystkie portfele utworzone przez akcje A i B le·z ¾a na odcinku÷¾acz ¾acym punkty (�A; ERA) i (�B ; ERB). Jest to przypadek ma÷o interesu-j ¾acy dla inwestora, poniewa·z nie mo·zna uzyskac ryzyka portfela mniejszego ni·zminf�A; �Bg.
30.2 Przypadek �A;B = �1 (doskona÷a korelacja ujemna)Wzór (81) przyjmuje postac
�P =qu2A�
2A + u
2B�
2B � 2uAuB�A�B
=
q(uA�A � uB�B)2 = juA�A � uB�B j : (83)
29
Tutaj istnieje szansa na to, ·ze �P < minf�A; �Bg. W szczególnosci, mo·znauzyskac wartosc �P = 0, jesli
uA�A = uB�B : (84)
Uwzgl¾edniaj ¾ac równosc uA + uB = 1, czyli uA = 1� uB , otrzymujemy z (84)
(1� uB)�A = uB�B :
Przekszta÷cmy ten wzór w celu wyznaczenia uB :
�A � uB�A = uB�B , �A = uB(�A + �B):
St ¾aduB =
�A�A + �B
, uA =�B
�A + �B: (85)
Zatem udzia÷y akcji A i B w portfelu o zerowym ryzyku s ¾a dane wzorami(85). Oczekiwana stopa zysku takiego portfela wynosi
ERP = uAERA + uBERB =�BERA + �AERB
�A + �B: (86)
30.3 Przypadek �A;B = 0 (brak korelacji)
Wzór (81) przyjmuje postac
�P =qu2A�
2A + u
2B�
2B : (87)
Analiza wzoru (87) wykazuje, ·ze istnieje mo·zliwosc cz¾esciowej redukcji ryzykaportfela w stosunku do ryzyka akcji wchodz ¾acych w jego sk÷ad. Aby znalezcudzia÷y akcji tworz ¾ace portfel minimalnego ryzyka, nale·zy rozwi ¾azac równanie
d�PduA
=d
duA
qu2A�
2A + u
2B�
2B = 0: (88)
Mamy d�PduA
= 0 () uA�2A � �2B + uA�2B = 0 ()
uA =�2B
�2A + �2B
, st ¾ad uB =�2A
�2A + �2B
: (89)
Minimalne ryzyko tego portfela osi ¾agane przy udzia÷ach okreslonych wzorami(89) wynosi, zgodnie z (87),
�P =
s�4B�
2A + �
4A�
2B
(�2A + �2B)
2=
p�2A�
2B(�
2A + �
2B)
�2A + �2B
=�A�Bp�2A + �
2B
: (90)
Oczekiwana stopa zysku tego portfela wynosi
ERP =�2BERA + �2AERB
�2A + �2B
: (91)
30
31 Korelacja graniczna
Analizuj ¾ac wzór (81) okreslaj ¾acy ryzyko portfela dwóch akcji w ogólnym przy-padku, mo·zna postawic pytanie, dla jakich wartosci �A;B jest mo·zliwe obni·ze-nie ryzyka portfela poni·zej minf�A; �Bg. Okazuje si¾e, ·ze jest to mo·zliwe dlawartosci �A;B mniejszych od tzw. korelacji granicznej:
�gr := min
��A�B;�B�A
�: (92)
Stwierdzenie 5. Jesli �A;B < �gr, to istniej ¾a takie udzia÷y uA, uB, ·ze �P <minf�A; �Bg. Jesli �A;B � �gr, to minimaln ¾a wartosci ¾a �P jest minf�A; �Bg.W szczególnosci, jesli ryzyko obu akcji jest jednakowe (�A = �B), to dowolna
korelacja poza idealn ¾a dodatni ¾a (gdzie �A;B = 1) powoduje obni·zenie ryzykaportfela.
32 Zbiór portfeli dwóch akcji na p÷aszczyznie
Wszystkie portfele dwóch akcji A i B, przy dowolnej ich korelacji, mieszcz ¾asi¾e wewn ¾atrz trójk ¾ata, którego wierzcho÷kami s ¾a punkty A = (�A; ERA), B =(�B ; ERB) i portfel zerowego ryzyka P0 = (0; ERP0) (ten ostatni istnieje dla�A;B = �1).
33 Portfel wielu akcji �model Markowitza
Oznaczmy:m �liczba �rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m),nj �ilosc j-tych akcji znajduj ¾acych si¾e w portfelu.Zak÷adamy, ·ze nj (j = 1; :::;m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by÷
niepusty, trzeba za÷o·zyc, ·ze nj > 0 dla pewnego j. Liczby nj wyznaczaj ¾ask÷ad ilosciowy portfela. Nas interesuje sk÷ad procentowy (wartosciowy)portfela, tzn. jaki jest stosunek wartosci j-tych akcji w portfelu do ÷¾acznejwartosci wszystkich akcji znajduj ¾acych si¾e w tym portfelu.W celu wyznaczenia sk÷adu procentowego oznaczmy:pj �cena rynkowa j-tej akcji (pj > 0).Wówczas udzia÷procentowy (w sensie wartosci) j-tej akcji w portfelu okresla
liczbauj :=
njpjPmi=1 nipi
, j = 1; :::;m: (93)
Uwaga. ×atwo sprawdzic, ·ze
uj � 0; j = 1; :::;m;mXj=1
uj = 1 (94)
(tzw. równanie bud·zetowe).
31
Stwierdzenie 6. Wezmy dowolne liczby uj spe÷niaj ¾ace (94). Wówczasistniej ¾a takie liczby nieujemne n1; :::; nm, wyznaczone z dok÷adnosci ¾a do pro-porcjonalnosci, ·ze spe÷nione s ¾a równosci (93).Dowód. ×atwo sprawdzic, ·ze:(a) odwzorowanie (n1; :::; nm) 7�! (n1p1; :::; nmpm) przekszta÷ca zbiór
Rm+nf0g = f(n1; :::; nm) : ni � 0, i = 1; :::;mgnf(0; :::; 0)g
na siebie;
(b) odwzorowanie (y1; :::; ym) 7�!�
y1Pmi=1 yi
; :::; ymPmi=1 yi
�przekszta÷ca zbiór
Rm+nf0g na zbiórn(u1; :::; um) 2 Rm+ :
Pmj=1 uj = 1
o.
Z powy·zszych w÷asnosci (a), (b) wynika istnienie liczb n1; :::; nm spe÷niaj ¾a-cych równosci (93). Dowód jednoznacznosci: za÷ó·zmy, ·ze
uj =njpjPmi=1 nipi
=njpjPmi=1 nipi
, j = 1; :::;m:
Wówczas
nj = nj
�Pmi=1 nipiPmi=1 nipi
�= nj�;
gdzie � �wspó÷czynnik proporcjonalnosci, niezale·zny od j. �Uwaga. W teorii mo·zemy traktowac liczby uj spe÷niaj ¾ace za÷o·zenia Stwierdzenia
6 jako udzia÷y j-tych akcji w portfelu, o ile dopuscimy mo·zliwosc posiadaniaprzez inwestora dowolnych cz¾esci tych akcji (za÷o·zenie nieskonczonej podziel-nosci papierów wartosciowych).Zbiór
Pm :=
8<:u = (u1; :::; um) 2 Rm : ui � 0, i = 1; :::;m,mXj=1
uj = 1
9=; (95)
nazywamy zbiorem portfeli m-sk÷adnikowych. Wspó÷rz¾edna uj wektorau oznacza udzia÷j-tych papierów wartosciowych w portfelu u. Zbiór Pm jestsympleksem m-wymiarowym o wierzcho÷kach (0; ::; 0; 1i; 0; :::; 0), i = 1; :::;m,gdzie 1i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu.Dla dowolnego portfela u 2 Pm przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenia:Rj �stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartosciowe,R = (R1; :::; Rm) �wektor (losowy) stóp zysku,� = (�1; :::; �m) � wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie �i := E(Ri)
(i = 1; :::;m),Kp �kapita÷pocz ¾atkowy inwestora,Kp;j := ujKp �cz¾esc kapita÷u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery
wartosciowe,Kk �kapita÷koncowy inwestora,Kk;j �kapita÷koncowy w j-tych papierach wartosciowych.Ze wzoru (2) otrzymujemy Kk;j = Kp;j(1 +Rj), j = 1; :::;m.
32
Stop ¾e zysku portfela u de�niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾alosow ¾a o wartosciach rzeczywistych:
R(u) :=Kk �Kp
Kp: (96)
W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b¾edziemy oznaczac iloczyn skalarny w przestrzeniRm:
hx; yi :=mXi=1
xiyi dla x = (x1; :::; xm), y = (y1; :::; ym): (97)
Stwierdzenie 7. Zachodzi równosc
R(u) = hu;Ri : (98)
Dowód.
R(u) =Kk �Kp
Kp=
Pmj=1Kk;j �
Pmj=1Kp;jPm
j=1Kp;j
=
Pmj=1Kp;j(1 +Rj)�
Pmj=1Kp;jPm
j=1Kp;j=
Pmj=1Kp;jRjPmj=1Kp;j
=Kp
Pmj=1 ujRj
Kp
Pmj=1 uj
=mXj=1
ujRj = hu;Ri . �
Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem
ER(u) = E
0@ mXj=1
ujRj
1A =mXj=1
uj�j = hu; �i : (99)
34 Macierz kowariancji wektora losowego
Niech X : ! Rm b¾edzie wektorem losowym. Jesli istniej ¾a wariancje VarXj ,j = 1; :::;m, to macierz
C := [cij ]mi;j=1, gdzie cij = Cov(Xi; Xj); (100)
nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X1; :::; Xm). Ist-nienie kowariancji Cov(Xi; Xj) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj¾etego za-÷o·zenia i ze wzoru (58).Stwierdzenie 8. Macierz kowariancji ma nast ¾epuj ¾ace w÷asnosci:(a) jest symetryczna, tzn. cij = cji dla dowolnej pary (i; j),(b) jest nieujemnie okreslona, tzn.
uCuT =mX
i;j=1
uiujcij � 0 dla ka·zdego u 2 Rm: (101)
33
Dowód. (a) wynika ze wzoru (56).(b) Rozwa·zmy zmienn ¾a losow ¾a Y :=
Pmi=1 uiXi. Jesli EXi = �i (i =
1; :::;m), to EY =Pm
i=1 ui�i oraz
0 � VarY = E�(Y � EY )2
�= E
24 mXi=1
ui(Xi � �i)!235
= E
24 mXi;j=1
uiuj(Xi � �i)(Xj � �j)
35 = mXi;j=1
uiujE�(Xi � �i)(Xj � �j)
�=
mXi;j=1
uiuj Cov(Xi; Xj) = uCuT . � (102)
Stosuj ¾ac cz¾esc (b) powy·zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) okreslonejwzorem (98) (gdzie u 2 Rm+ ), otrzymujemyWniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 Pm jest dana wzorem
VarR(u) = uCuT ; (103)
gdzie C jest macierz ¾a kowariancji wektora stóp zysku R = (R1; :::; Rm).Ryzyko portfela u jest okreslone jako odchylenie standardowe
�(u) =pVarR(u): (104)
Mówimy, ·ze macierz C jest dodatnio okreslona, je·zeli
uCuT > 0 dla ka·zdego u 2 Rmnf0g: (105)
Uwaga. Cz¾esto w literaturze macierz nieujemnie okreslon ¾a nazywa si¾emacierz ¾a dodatnio okreslon ¾a. Wówczas macierz spe÷niaj ¾ac ¾a warunek (105) nazywasi¾e macierz ¾a scisle dodatnio okreslon ¾a.Stwierdzenie 9. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodat-
nio okreslona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a takie liczby u1; :::; um nie wszys-tkie równe zeru, ·ze zmienna losowa
Pmi=1 uiXi jest sta÷a z prawdopodobienstwem
jeden.Dowód. Zaprzeczenie warunku (105) oznacza, ·ze istnieje taki wektor u 6= 0,
·ze uCuT = 0. Na mocy (102) jest to równowa·zne warunkowi
E
24 mXi=1
uiXi �mXi=1
ui�i
!235 = 0: (106)
Wiadomo, ·ze wartosc oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeruwtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobienst-wem 1. Zatem warunek (106) oznacza, ·ze
Pmi=1 uiXi jest z prawdopodobienst-
wem 1 równa sta÷ejPm
i=1 ui�i. �
34
Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okreslona wtedy i tylkowtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych Xi zale·zy (z prawdopodobienstwemjeden) w sposób liniowy od pozosta÷ych zmiennych losowych.Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9 macierz C nie jest scisle dodatnio okreslona
, 9u 6= 0,Pm
i=1 uiXi = � z prawdopodobienstwem 1, gdzie � jest pewn ¾a sta÷¾a.Wybieraj ¾ac sposród liczb ui jedn ¾a ró·zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a us), otrzymamyrównowa·zny warunek (tak·ze z prawdopodobienstwem 1)
Xs =1
us
0@�Xi 6=s
uiXi + �
1A . �Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela
u 2 Pm sytuacja opisana w powy·zszym wniosku oznacza, ·ze jeden z papierówwartosciowych znajduj ¾acych si¾e w portfelu mo·zna usun ¾ac, zast¾epuj ¾ac go kom-binacj ¾a pozosta÷ych papierów wartosciowych.
35 Zbiór mo·zliwosci i jego w÷asnosci
Odwzorowaniem Markowitza nazywamy odwzorowanie M : Pm ! R+ � Rokreslone wzorem
M(u) := (�(u); ER(u)): (107)
Zbiorem mo·zliwosci nazywamy zbiór wartosci odwzorowania M :
M :=M(Pm) = f(�(u); ER(u)) : u 2 Pmg: (108)
Stwierdzenie 10. Zbiór mo·zliwosci M ma nast ¾epuj ¾ace w÷asnosci:(a) jest zwarty i spójny,(b) je·zeli (x1; y) 2M i (x2; y) 2M, to
f�(x1; y) + (1� �)(x2; y) : � 2 [0; 1]g � M:
Dowód. (a) Ze wzorów (99), (103) i (104) wynika ci ¾ag÷osc odwzorowaniaM . ZatemM jest zwarty i spójny jako obraz ci ¾ag÷y zbioru zwartego i spójnegoPm.(b) Niech (xi; y) =M(ui), i = 1; 2 (gdzie ui 2 Pm). Nale·zy wykazac, ·ze
�(x1; y) + (1� �)(x2; y) = (�x1 + (1� �)x2; y) 2M dla ka·zdego � 2 [0; 1]:(109)
Ustalmy �� 2 [0; 1]. Funkcja
' : [0; 1] 3 t 7�! �(tu1 + (1� t)u2)
jest ci ¾ag÷a i '(0) = �(u2) = x2, '(1) = �(u1) = x1, zatem na mocy w÷asnosciDarboux przyjmuje wszystkie wartosci posrednie mi¾edzy x1 i x2. W szczegól-nosci, istnieje takie �t 2 [0; 1], ·ze
�(�tu1 + (1� �t)u2) = '(�t) = ��x1 + (1� ��)x2: (110)
35
Zbiór Pm jest wypuk÷y, zatem �u := �tu1+(1��t)u2 2 Pm . Niech ui = (ui1; :::; uim),i = 1; 2, wtedy
�u = (�tu11 + (1� �t)u21; :::; �tu1m + (1� �t)u2m):
Obliczmy stop¾e zysku portfela �u, zgodnie ze wzorem (98):
R(�u) =
mXj=1
(�tu1j + (1� �t)u2j )Rj
= �tmXj=1
u1jRj + (1� �t)mXj=1
u2jRj :
St ¾ad, korzystaj ¾ac z liniowosci wartosci oczekiwanej i z (99), otrzymujemy
ER(�u) = �tmXj=1
u1j�j + (1� �t)mXj=1
u2j�j
= �tER(u1) + (1� �t)ER(u2) = �ty + (1� �t)y = y: (111)
Ze wzorów (111) i (110) wynika, ·ze
M(�u) = (�(�u); ER(�u)) = (�(�tu1 + (1� �t)u2); y)= (��x1 + (1� ��)x2; y);
co konczy dowód (109). �Stwierdzenie 11. Jesli wszystkie wartosci �i ( i = 1; :::;m) s ¾a równe,
to zbiorem mo·zliwosci jest odcinek domkni ¾ety równoleg÷y do osi � (który mo·zeredukowac si ¾e do punktu).Dowód. Niech �� = �i dla i = 1; :::;m. Wówczas dla ka·zdego u 2 Pm mamy
na podstawie wzoru (99)
ER(u) =mXj=1
uj�j = ��mXj=1
uj = ��;
zatem funkcja ER(�) jest sta÷a na Pm. Poniewa·z funkcja �(�) jest ci ¾ag÷a, wi¾eczbiór jej wartosci osi ¾aganych na Pm jest zwarty i spójny w R, czyli jest przedzi-a÷em domkni¾etym. W konsekwencji obraz M(Pm) jest odcinkiem domkni¾etymrównoleg÷ym do osi �, po÷o·zonym na �wysokosci� ��. �Uwaga. W dalszym ci ¾agu b¾edziemy zak÷adac, ·ze nie wszystkie �i s ¾a równe.
36 Funkcje wypuk÷e i ich w÷asnosci
Zbiór A � Rn nazywamy wypuk÷ym, je·zeli dla dowolnych x, y 2 A
[x; y] := f�x+ (1� �)y : � 2 [0; 1]g � A: (112)
36
Niech f : A ! R b¾edzie funkcj ¾a okreslon ¾a na zbiorze wypuk÷ym A � Rn.Funkcj¾e f nazywamy(a) wypuk÷¾a, je·zeli dla dowolnych x, y 2 A i � 2 [0; 1],
f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y); (113)
(b) scisle wypuk÷¾a, je·zeli dla dowolnych x, y 2 A, x 6= y i � 2 (0; 1),
f(�x+ (1� �)y) < �f(x) + (1� �)f(y): (114)
Stwierdzenie 12 (w÷asnosci funkcji wypuk÷ych).(a) Jesli f : A! R jest wypuk÷a, to zbiór
Amin := fw 2 A : 8u 2 A, f(w) � f(u)g
wszystkich punktów minimalnych funkcji f jest wypuk÷y.(b) Jesli f : A ! R jest scisle wypuk÷a, to istnieje co najwy·zej jeden punkt
minimalny funkcji f .(c) Jesli f : A! R jest wypuk÷a, to ka·zdy punkt minimum lokalnego funkcji
f jest punktem minimalnym f .(d) Niech I b ¾edzie przedzia÷em w R i niech f : I ! R b ¾edzie funkcj ¾a wypuk÷¾a,
która ma punkt minimalny. Wówczas zbiór J wszystkich punktów minimalnychf jest przedzia÷em (który mo·ze redukowac si ¾e do punktu). Niech J = [�; �].Wtedy f jest scisle malej ¾aca na I \ (�1; �] i scisle rosn ¾aca na I \ [�;+1).Dowód (a). Niech x, y 2 Amin i niech � b¾edzie wspóln ¾a wartosci ¾a osi ¾agan ¾a
przez f w punktach zbioru Amin. Dla dowolnego � 2 [0; 1] mamy na podstawie(113)
f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y) = ��+ (1� �)� = �;
zatem �x + (1 � �)y 2 Amin. Wykazalismy w ten sposób, ·ze zbiór Amin jestwypuk÷y.(b). Dowód niewprost: przypuscmy, ·ze f posiada dwa ró·zne punkty mini-
malne x i y. Wówczas dla dowolnego � 2 (0; 1) mamy na podstawie (114)
f(�x+ (1� �)y) < �f(x) + (1� �)f(y) = �;
gdzie � jest okreslone tak jak w punkcie (a). Poniewa·z �x+ (1� �)y 2 A, wi¾ecpowy·zsza nierównosc jest sprzeczna z de�nicj ¾a punktu minimalnego. �
37 Ró·zniczkowalne funkcje wypuk÷e
Twierdzenie 6. Niech f : A! R b ¾edzie funkcj ¾a okreslon ¾a na zbiorze otwartymA � Rn. Za÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe pierwszego rz ¾edu wka·zdym punkcie zbioru A. Wówczas(a) f jest wypuk÷a wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x) + hrf(x); y � xi � f(y), 8x, y 2 A; (115)
37
gdzie
rf(x) :=�@f
@x1(x); :::;
@f
@xn(x)
�:
(b) f jest scisle wypuk÷a wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x) + hrf(x); y � xi < f(y), 8x, y 2 A, x 6= y: (116)
Dowód (a). Za÷ó·zmy, ·ze f jest wypuk÷a na A. Niech x, y 2 A i � 2 (0; 1].Wówczas
f(x+ �(y � x)) = f(�y + (1� �)x) � �f(y) + (1� �)f(x);
sk ¾adf(x+ �(y � x))� f(x)
�� f(y)� f(x):
Przechodz ¾ac do granicy przy �! 0+, otrzymujemy
hrf(x); y � xi = lim�!0+
f(x+ �(y � x))� f(x)�
� f(y)� f(x);
co dowodzi (115).Za÷ó·zmy teraz, ·ze zachodzi (115). Wezmy dowolne u, v 2 A i � 2 (0; 1).
Wówczas punkt w := �u+ (1� �)v nale·zy do A i mamy
v =w � �u1� � = w � �
1� � (u� w);
sk ¾ad
v � w = � �
1� � (u� w): (117)
Stosuj ¾ac warunek (115) do par w, u oraz w, v i uwzgl¾edniaj ¾ac (117) w drugimprzypadku, otrzymamy
f(w) + hrf(w); u� wi � f(u);
f(w) +
���1� �
�hrf(w); u� wi � f(v):
Pomnó·zmy teraz pierwsz ¾a z powy·zszych nierównosci przez � a drug ¾a przez 1��i dodajmy wyniki stronami. Uwzgl¾edniaj ¾ac de�nicj¾e w, otrzymamy
f(�u+ (1� �)v) = f(w) � �f(u) + (1� �)f(v):
Wykazalismy w ten sposób, ·ze f jest wypuk÷a na zbiorze A. �
38
38 Dwukrotnie ró·zniczkowalne funkcje wypuk÷e
Niech f : A ! R b¾edzie funkcj ¾a okreslon ¾a na zbiorze otwartym A � Rn. Za-÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz¾edu w ka·zdym punkciezbioru A. Macierz ¾a Hessego lub hesjanem funkcji f w punkcie x 2 A nazy-wamy macierz
r2f(x) :=
2666664@2f@x21(x) @2f
@x1@x2(x) � � � @2f
@x1@xn(x)
@2f@x2@x1
(x) @2f@x21(x) � � � @2f
@x2@xn(x)
......
. . ....
@2f@xn@x1
(x) @2f@xn@x2
(x) � � � @2f@x2n
(x)
3777775 : (118)
Twierdzenie 7 (wzór Taylora). Za÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodnecz ¾astkowe drugiego rz ¾edu na A. Niech x, y 2 A b ¾ed ¾a takimi punktami, ·zespe÷niony jest warunek (112). Wówczas istnieje taki punkt z 2 [x; y], ·ze
f(y) = f(x) + hrf(x); y � xi+ 12(y � x)r2f(z)(y � x)T : (119)
Twierdzenie 8. Za÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiegorz ¾edu na zbiorze otwartym i wypuk÷ym A. Jesli macierz Hessego r2f jest(a) nieujemnie okreslona na A, to f jest wypuk÷a na A;(b) dodatnio okreslona na A, to f jest scisle wypuk÷a na A.Dowód. Wezmy dowolne x, y 2 A. Poniewa·z A jest wypuk÷y, wi¾ec [x; y] �
A i z Twierdzenia 7 wynika istnienie takiego z 2 [x; y], ·ze spe÷niona jest równosc(119). W przypadku (a) r2f(z) jest nieujemnie okreslona i z (119) wynikanierównosc
f(y) � f(x) + hrf(x); y � xi (120)
i z Twierdzenia 6(a) otrzymujemy wypuk÷osc funkcji f . W przypadku (b)nierównosc (120) jest ostra dla y 6= x, poniewa·z r2f(z) jest dodatnio okreslona.Wówczas z Twierdzenia 6(b) wynika scis÷a wypuk÷osc f . �
39 Dalsze w÷asnosci zbioru mo·zliwosci
Stwierdzenie 13. (a) Rzut zbioru M na os ER jest przedzia÷em domkni ¾etymo koncach yl = mini �i, yu = maxi �i (gdzie yl < yu).(b) Dla ka·zdego y 2 [yl; yu] zbiór fx : (x; y) 2Mg jest przedzia÷em domkni ¾e-
tym (który mo·ze redukowac si ¾e do punktu). Oznaczmy ten przedzia÷przez[fmin(y); fmax(y)]. Wówczas funkcja fmin(�) jest ci ¾ag÷a i wypuk÷a, a funkcjafmax(�) jest ci ¾ag÷a.Dowód (a). Rzutem zbioru M na os ER jest zbiór fER(u) : u 2 Pmg.
Zbiór ten zawiera si¾e w przedziale [yl; yu], poniewa·z dla ka·zdego u 2 Pm
yl = yl
nXj=1
uj � ER(u) =mXj=1
uj�j � yunXj=1
uj = yu:
39
Pozostaje do wykazania, ·ze yl i yu s ¾a wartosciami ER(u) dla pewnych u. Niechyl = �j1 , wtedy dla u
1 = (0; ::; 0; 1j1 ; 0; :::; 0) mamy ER(u1) = �j1 = yl, podob-nie dla yu. �
40 Portfel minimalnego ryzyka
Niech y0 2 [yl; yu]. Portfel u0 2 Pm, dla którego
�(u0) = minf�(u) : u 2 Pm, ER(u) = y0g; (121)
nazywamy portfelem minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zyskuy0. Ka·zdy portfel u0, dla którego istnieje y0 spe÷niaj ¾ace warunek (121), nazy-wamy portfelem relatywnie minimalnego ryzyka.Portfel u0 2 Pm nazywamy portfelem minimalnego ryzyka, je·zeli
�(u0) = minf�(u) : u 2 Pmg: (122)
Zast¾epuj ¾ac w (122) �min� przez �max�, otrzymujemy de�nicj¾e portfelamaksymalnego ryzyka.Stwierdzenie 14. Je·zeli macierz kowariancji C wektora stóp zysku jest
dodatnio okreslona, to(a) dla ka·zdego y0 2 [yl; yu] istnieje dok÷adnie jeden portfel minimalnego
ryzyka dla y0;(b) istnieje dok÷adnie jeden portfel minimalnego ryzyka.Dowód. (a) Funkcja u 7�! �2(u) = uCuT (por. wzór (103)) jest scisle
wypuk÷a na Rm na mocy Twierdzenia 8(b), poniewa·z jej macierz ¾a Hessego wdowolnym punkcie u jest macierz 2C. Zbiór
fu 2 Pm : ER(u) = y0g (123)
jest wypuk÷y, wi¾ec na tym zbiorze funkcja �2(�) posiada co najwy·zej jeden punktminimalny (Stwierdzenie 12(b)), a poniewa·z zbiór ten jest zwarty, wi¾ec takipunkt istnieje. Zatem tak·ze funkcja �(�) posiada dok÷adnie jeden punkt mini-malny na zbiorze (123).(b) Dowód jest analogiczny do (a) z tym, ·ze zamiast (123) rozwa·zamy ca÷y
zbiór Pm. �
41 Brzeg zbioru mo·zliwosci
Stwierdzenie 15. Brzeg bdM zbioru mo·zliwosci M jest równy
Bmin [Bmax [Bl [Bu,
gdzieBmin := f(fmin(y); y) : y 2 [yl; yu]g �brzeg minimalny,Bmax := f(fmax(y); y) : y 2 [yl; yu]g �brzeg maksymalny,
40
Bl := f(x; y) 2M : y = ylg �brzeg dolny,Bu := f(x; y) 2M : y = yug �brzeg górny.Portfel u0 2 Pm nazywamy portfelem minimalnej oczekiwanej stopy
zysku, je·zeliER(u0) = minfER(u) : u 2 Pmg: (124)
Zast¾epuj ¾ac w (124) �min�przez �max�, otrzymujemy de�nicj¾e portfela maksy-malnej oczekiwanej stopy zysku.Uwaga. Z ci ¾ag÷osci funkcji �(�) i ER(�) oraz ze zwartosci zbioru Pm wynika
istnienie portfeli minimalnego i maksymalnego ryzyka oraz minimalnej i maksy-malnej oczekiwanej stopy zysku.Stwierdzenie 16. (a) Obrazy portfeli relatywnie minimalnego [maksymal-
nego] ryzyka wyznaczone przez odwzorowanie Markowitza le·z ¾a na brzegu mini-malnym Bmin [maksymalnym Bmax] .(b) Obrazy portfeli minimalnej [maksymalnej] oczekiwanej stopy zysku wyz-
naczone przez odwzorowanie Markowitza tworz ¾a brzeg dolny Bl [brzeg górnyBu].(c) Je·zeli istnieje dok÷adnie jedno i 2 f1; :::;mg takie, ·ze �i = yl [ �i = yu],
to istnieje dok÷adnie jeden portfel minimalnej [maksymalnej] oczekiwanej stopyzysku.Dowód (c). Niech �i0 = yl, wtedy z za÷o·zenia �i0 < �i dla wszystkich
i 6= i0. Wówczas portfelem minimalnej oczekiwanej stopy zysku jest u0 =(0; ::; 0; 1i0 ; 0; :::; 0). Dla ·zadnego innego portfela nie jest osi ¾agni¾eta wartosc yl,bo jesli u jest dowolnym portfelem ró·znym od u0, to uj > 0 dla pewnego j 6= i0.St ¾ad i z nierównosci �i0 < �j wynika, ·ze uj�j > uj�i0 i w konsekwencji
ER(u) =mXi=1
ui�i >
mXi=1
ui�i0 = �i0 = yl;
gdzie nierównosc �>�pomi¾edzy sumami wynika st ¾ad, ·ze dla j-tych sk÷adników wobu sumach zachodzi nierównosc �>�, a dla pozosta÷ych sk÷adników �nierównosc���. �
42 Relacja Markowitza
Relacj ¾e Markowitza �M w zbiorze portfeli m-sk÷adnikowych Pm okreslamynast¾epuj ¾aco:
u �M v , (ER(u) � ER(v) ^ �(u) � �(v)): (125)
×atwo wykazac, ·ze �M spe÷nia warunki:(a) zwrotnosc: 8u 2 Pm : u �M u;(b) przechodniosc: 8u, v, w 2 Pm : (u �M v ^ v �M w)) u �M w.Uwaga. Relacja Markowitza nie jest antysymetryczna: je·zeli u �M v i
v �M u, to ER(u) = ER(v) i �(u) = �(v), ale niekoniecznie u = v, poniewa·zodwzorowanie Markowitza nie jest ró·znowartosciowe (przyk÷ad: przecinaj ¾ace si¾ekrzywe portfeli dwóch ró·znych par akcji).
41
Portfel u 2 Pm nazywamy efektywnym, je·zeli jest elementem maksymal-nym w sensie relacji �M , tzn. spe÷nia warunek
8v 2 Pm : u �M v ) v �M u: (126)
Stwierdzenie 17. Portfel u0 2 Pm jest efektywny wtedy i tylko wtedy, gdydla ka·zdego u 2 Pm
(ER(u0) � ER(u)^�(u0) � �(u))) (ER(u0) = ER(u)^�(u0) = �(u)): (127)
Inaczej: Portfel u0 jest efektywny , nie istnieje u 2 Pm takie, ·ze ER(u0) �ER(u), �(u0) � �(u) i co najmniej jedna z tych nierównosci jest ostra. Oznaczato, ·ze nie mo·zna zwi¾ekszyc oczekiwanej stopy zysku portfela bez jednoczesnegozwi¾ekszenia ryzyka oraz nie mo·zna zmniejszyc ryzyka bez jednoczesnego zm-niejszenia oczekiwanej stopy zysku.
43 Granica efektywna zbioru mo·zliwosci
ZbiórF := fM(u) : u jest portfelem efektywnym g (128)
nazywamy granic ¾a efektywn ¾a zbioru mo·zliwosci.Stwierdzenie 18. (a) Punkt (x0; y0) nale·zy do F wtedy i tylko wtedy, gdy
M\ f(x; y) : x � x0 ^ y � y0g = f(x0; y0)g: (129)
(b) Je·zeli y0 2 [yl; yu] jest takim punktem, ·ze (fmin(y0); y0) =M(u0), gdzieu0 jest portfelem minimalnego ryzyka, i ·zaden inny punkt (fmin(y); y), gdziey > y0, nie jest obrazem portfela minimalnego ryzyka, to granica efektywna Fjest dana wzorem
F = f(fmin(y); y) : y 2 [y0; yu]g: (130)
Dowód. (a) Koniecznosc: Za÷ó·zmy, ·ze (x0; y0) 2 F . Wyka·zemy, ·zespe÷niona jest równosc (129). Inkluzja ���jest oczywista. Niech teraz (x; y) 2M spe÷nia warunki
x � x0 ^ y � y0: (131)
Z za÷o·zenia i z warunku (128) wynika, ·ze istnieje taki portfel efektywny u0, dlaktórego
(x0; y0) =M(u0) = (�(u0); ER(u0)): (132)
Poniewa·z punkt (x; y) nale·zy doM, wi¾ec jest obrazem pewnego portfela u:
(x; y) =M(u) = (�(u); ER(u)): (133)
Z warunków (131)�(133) otrzymujemy
�(u) � �(u0) ^ ER(u) � ER(u0): (134)
42
St ¾ad na podstawie Stwierdzenia 17 mamy
�(u) = �(u0) ^ ER(u) = ER(u0); (135)
a wi¾ec (x; y) = (x0; y0).Dostatecznosc. Za÷ó·zmy, ·ze punkt (x0; y0) spe÷nia (129). Z warunku
tego wynika w szczególnosci, ·ze (x0; y0) nale·zy do M, a wi¾ec jest obrazempewnego portfela u0 (czyli zachodzi (132)). Wyka·zemy, ·ze portfel u0 jest efek-tywny, pos÷uguj ¾ac si¾e Stwierdzeniem 17. Wezmy dowolne u 2 Pm; udowodnimyprawdziwosc implikacji (127). Przypuscmy, ·ze poprzednik tej implikacji jestspe÷niony, tj. zachodzi (134). Wtedy punkt (x; y) := (�(u); ER(u)) spe÷nia(131), a wi¾ec na podstawie (129) mamy (x; y) = (x0; y0). Zatem prawdziwy jestnast¾epnik implikacji (127).(b) Wyka·zemy najpierw inkluzj¾e ���w (130). Niech (�x; �y) = M(�u) 2 F .
Nale·zy sprawdzic dwa warunki: (i) �x = fmin(�y), (ii) y0 � �y � yu.Dowód (i). Na mocy Stwierdzenia 13(a) �y 2 [yl; yu]. St ¾ad i ze Stwierdzenia
13(b) otrzymujemy
fx : (x; �y) 2Mg = [fmin(�y); fmax(�y)]:
W szczególnosci, �x nale·zy do powy·zszego przedzia÷u, zatem �x � fmin(�y). Przy-puscmy, ·ze �x > fmin(�y). Wówczas dowolny portfel u 2 M�1((fmin(�y); �y)) spe÷-nia warunki
�(u) = fmin(�y) < �x = �(�u) oraz ER(u) = �y = ER(�u);
co jest sprzeczne z efektywnosci ¾a portfela �u. Wykazalismy w ten sposób, ·ze�x = fmin(�y).Dowód (ii). Wystarczy wykazac nierównosc y0 � �y. Przypuscmy, ·ze y0 > �y.
Poniewa·z u0 jest portfelem minimalnego ryzyka, wi¾ec
�(u0) � �(�u) oraz ER(u0) = y0 > �y = ER(�u);
co jest sprzeczne z efektywnosci ¾a portfela �u.Wyka·zemy teraz inkluzj¾e ���w (130). Wezmy dowolne y 2 [y0; yu]. Nale·zy
wykazac, ·ze punkt (fmin(y); y) jest obrazem pewnego portfela efektywnego. ZeStwierdzenia 13(b) wynika istnienie takiego portfela u, ·ze
M(u) = (fmin(y); y): (136)
Wyka·zemy, ·ze u jest portfelem efektywnym. Wezmy dowolny inny portfel vtaki, ·ze
ER(u) � ER(v) ^ �(u) � �(v): (137)
Na mocy Stwierdzenia 13(b) funkcja fmin jest wypuk÷a, a na mocy Stwierdzenia12(d) fmin jest scisle rosn ¾aca na [y0; yu] (bo y0 jest najwi¾ekszym punktem min-imalnym tej funkcji). Przypuscmy, ·ze ER(u) < ER(v). Wówczas z monoton-icznosci fmin oraz z (136) wynika, ·ze
�(u) = fmin(y) = fmin(ER(u)) < fmin(ER(v)) � �(v);
43
co jest sprzeczne z drug ¾a nierównosci ¾a w (137). Zatem ER(u) = ER(v). Przy-puscmy teraz, ·ze �(u) > �(v). Wówczas
�(v) < �(u) = fmin(ER(u)) = fmin(ER(v)) � �(v);
co daje sprzecznosc. Zatem �(u) = �(v), co konczy dowód efektywnosci portfelau. �
44 Inny wzór na wariancj¾e portfela
Rozwa·zamy portfel m papierów wartosciowych. Niech �i :=pVarRi oznacza
odchylenie standardowe i-tego papieru (i = 1; :::;m). Dotychczas wspó÷czynnikkorelacji i-tego i j-tego papieru by÷okreslony tylko wtedy, gdy oba odchyleniastandardowe by÷y ró·zne od zera. Obecnie przyjmujemy
�ij :=
� cij�i�j
gdy �i 6= 0 6= �j ;0 w przeciwnym przypadku.
(138)
gdzie cij = Cov(Ri; Rj).Stwierdzenie 19. Dla dowolnego portfela u 2 Pm
VarR(u) =mXi=1
�2iu2i + 2
m�1Xi=1
mXj=i+1
�ij�i�juiuj : (139)
Dowód. Korzystaj ¾ac z wzorów (103), (101) oraz z symetrii macierzy kowari-ancji, otrzymujemy
VarR(u) =mX
i;j=1
uiujcij =mX
i;j=1
ciiu2i + 2
m�1Xi=1
mXj=i+1
uiujcij : (140)
Dla i 6= j mamy ma podstawie (138) cij = �ij�i�j , natomiast dla i = j mamy
cii = Cov(Ri; Ri) = Eh(Ri � �i)
2i= VarRi = �
2i :
Podstawiaj ¾ac te równosci do (140), otrzymujemy (139). �
45 Szczególne przypadki portfeli efektywnych
Portfel zachowawczy �charakteryzuje si¾e tym, ·ze przejscie do innego port-fela zachowawczego o wy·zszym poziomie zysku wi ¾a·ze si¾e z mniejszym wzrostemryzyka ni·z wzrost zysku. Portfele zachowawcze s ¾a preferowane przez ostro·znychinwestorów.Portfel agresywny �charakteryzuje si¾e tym, ·ze przejscie do innego portfela
agresywnego o wy·zszym poziomie zysku wi ¾a·ze si¾e z wi¾ekszym wzrostem ryzykani·z wzrost zysku.
44
Portfel krytyczny �oddziela krzyw ¾a portfeli zachowawczych od krzywejportfeli agresywnych. Powy·zej tego portfela przyrost zysku zwi ¾azany jest zszybszym przyrostem ryzyka. Matematycznie oznacza to, ·ze jesli M(u) =(�(u); ER(u)) jest obrazem portfela krytycznego, to f 0min(ER(u)) = 1.Portfel minimalnego ryzyka �jest to charakterystyczny portfel zachowaw-
czy o najmniejszym globalnym ryzyku. Ryzyka tego nie da si¾e bardziej zm-niejszyc bez zmiany zasad inwestowania. Portfele minimalnego ryzyka s ¾a wyko-rzystywane przez fundusze inwestycyjne o niskim ryzyku i fundusze emerytalne.Portfel optymalny �jest to portfel o najwi¾ekszym zysku wzgl¾ednym odnos-
zonym do ryzyka. Geometrycznie oznacza to, ·ze prosta przechodz ¾aca przezpocz ¾atek uk÷adu wspó÷rz¾ednych jest w punkcie b ¾ed ¾acym obrazem portfela op-tymalnego styczna do wykresu funkcji fmin.
45