08 Linearno programiranje

7/30/2019 08 Linearno programiranje

http://slidepdf.com/reader/full/08-linearno-programiranje 1/28

8.1 Maksimalizacija 5

8.1.1 Postavka matematičkog modela 5 8.1.2 Grafičko rješenje 6 8.1.3 Analitičko rješenje 7

8.2 Minimalizacija 9 8.2.1 Postavka matematičkog modela 10 8.2.2 Grafičko rješenje 10 8.2.3 Analitičko rješenje 10 8.2.4 Dualni model 12

8.3 Zadaci – LP 13 8.3.1 Maksimalizacija 13 8.3.2 Minimalizacija 15 8.3.3 Postoptimalna analiza 16

8.4 Transportna metoda 16 8.4.1 Postavljanje matematičkog modela 17 8.4.2 Zatvoreni transportni problem 17 8.4.3 Maksimalizacija 20 8.4.4 Otvoreni transportni problem 22 8.4.5 Zadaci – TP 22

8.5 Metoda raspodjele 23 8.5.1 Postavljanje matematičkog modela 24 8.5.2 Minimalizacija 24 8.5.3 Maksimalizacija 26 8.5.4 Zadaci – MR 28

Linearno programiranje (LP) je formalni postupak optimalizacije dijelova/sustava kod ko-

jih se funkcija cilja i ograničenja mogu izraziti linearnim kombinacijama varijabli.

Strojarski inženjeri će najčešće koristiti LP (u pravilu uz rač unalnu podršku) za:

• određivanje količina proizvoda (koje je moguće izraditi s raspoloživim resursima i

prodati po aktualnim cijenama) s kojima se postiže maksimalna dobit,

• određivanje dinamike proizvodnje ( pri izraženim sezonskim kolebanjima prodaje

proizvoda) s kojom se postiže maksimalna dobit,

• određivanje plana proizvodnje (koja se može ostvariti s raspoloživim resursima uz

aktualne troškove) s kojima se postižu minimalni troškovi,

• određivanje količine sirovine (određ enih svojstava) čijim se miješanjem formiraju

proizvodi (različ itih sastava i cijena) uz maksimalnu dobit,

• određivanje količina sirovina (različ itih sastava i cijena) čijim se miješanjem formi-ra proizvod (određ enih svojstava) uz minimalne troškove.



2 Kvantitativne metode

Nakon analize postupka, različite primjene LP-a će biti ilustrirane na primjerima.

Matematički model

Funkcija ce cilja (matematič ki opis postavljenog cilja) – izabrati vrijednosti n promjenlji-vih veličina x j ( j = 1, 2, .., n) tako da se dobije optimalno rješenje:

F c (F-8.1) n

T

j j j j 1

optopt

x x

=

= = •∑ D C X

gdje je: c j – j-ti koeficijent funkcije cilja ( jedinič ni trošak ili jedinič na cijena),

C = [c1 c2 cn], jednodimenzijski vektor koeficijenata funkcije cilja,

x j – j-ta promjenljiva veličina (količ ina),

X = [x1 x2 xn], jednodimenzijski vektor promjenljivih veličina,

n – broj promjenljivih veličina.

j

opt

x

znači: odrediti skup vrijednosti promjenljivih veličina kojim se postiže op-

timalna vrijednost (maksimalna ili minimalna) funkcije cilja F.

Ograničenja – m ograničenja oblika:

( )n

ij j j 1

=a x =

∑ D X ≤ = ≥ bi = B (F-8.2) A •

gdje je: aij – ij-ti koeficijent skupa ograničenja (višedimenzijski vektor, m n kom-

ponenti),

bi – i-ti slobodni član ograničenja ( jednodimenzijski vektor, m komponenti),

– mogući su znakovi ≥ ili = ili ≤.

Skraćeni je vektorski zapis:

A X ≥, =, ≤ B

Dodatna su ograničenja (nenegativnosti promjenljivih velič ina. te realne vrijednosti koefi-

cijenata i slobodnih č lanova):

x j ≥ 0 (F-8.3)

c j , aij , gi R (F-8.4)

gdje je: R – skup realnih brojeva.

( Dodatna ogranič enja se u pravilu ne pišu i podrazumijevaju se.)Formalnim se postupkom LP traži aktualni optimum (maksimum, opt = max, ili minimum,

opt = min) za zadanu linearnu funkciju cilja F-8.1, s n promjenljivih veličina, uz zadovolja-

vanje m linearnih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-8.2 (F-8.3 i F-8.4). Mogu-

će je: n > m , n = m i n < m. Postupak LP je moguće provesti na više različitih načina, a pos-

tuple je najjednostavnije pojasniti na primjerima.

PRIMJER P-8.1

Tvrtka može proizvoditi dva proizvoda (P 1 i P 2 ) u četiri pogona (I , II , III , IV ) koji su spe-

cijalizirani za proizvodnju – pogoni I i II za proizvode tipa P1 , pogoni III i IV za proizvode ti-

pa P2 . Za proizvodnju je potrebna radna snaga i dvije vrste sirovina (S1 i S2 ). Proizvodno-

ekonomski pokazatelji su dati u tabeli. Odrediti optimalni mjesečni plan proizvodnje.



08. Linearno programiranje 3

Proizvod P1 Proizvod P2

Pogon I Pogon II Pogon III Pogon IV

Mjesečni raspoloživi

resursi

Radna snaga, h/tP 4 2 4 6 480

Sirovina S1 , tS1/tP 4 6 10 16 640Sirovina S1 , tS2/tP 8 6 4 2 600

Jedinična dobit, kn/tP 800 600 800 1200

U tablici su sa tS1/tP i tS2/tP izražene mase sirovina potrebnih za proizvodnju 10 tona proi-

zvoda.

Funkcija cilja:

j

ma[800D(kn/tP1)Dx1D(tP1/mjs) + 600Dx2 + 800Dx3 + 1200Dx4] kn/mjs

xx

F =

F = j

max

x (800x1 + 600x2 + 800x3 + 1200x4)

Ograničenja: 4D(h/tP1)Dx1D(tP1/mjs) + 2Dx2 + 4Dx3 + 6Dx4 ≤ 480 h/mjs

4D(tS1/tP1)Dx1D(tP1/mjs) + 6Dx2 + 10Dx3 + 16Dx4 ≤ 640 tS1/mjs

8D(tS2/tP1)Dx1(tP1/mjs) + 6Dx2 + 4Dx3 + 2Dx4 ≤ 600 tS2/mjs

4x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 480

4x1 + 6x2 + 10x3 + 16x4 ≤ 640

8x1 + 6x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 600

Rješenje: x1 = 69 tP1/mjs x2 = 0 tP1/mjs x3 = 0 tP2/mjs x4 = 23 tP2/mjs

F = 82 800 kn/mjs

Opaska: ostaje raspoloživo 480 – 4D69 – 6D23 = 66 sati rada radnika. ( sirovine?)

PRIMJER P-8.2

U maloj termoelektrani, uz korištenje sustava

turbina/generator, proizvodi se električna struja.

Turbina se napaja s 3,2 kilograma po sekundi

pregrijane vodene pare, a moguće je prodavati:

(a) struju, po cijeni od 0,03 € po kilovat-satu,

(b) niskotlačnu paru za centralno grijanje x1, pocijeni 1,10 € po toni pare, te

(c) visokotlačnu tehnološku paru x2, po cijeni

1,65 € po toni pare.

Potrošači su zainteresirani za neograničene količine struje i ograničene količine pare:

4Dx1 + 3Dx2 ≤ 9,6 kg/s

Snaga generatora (u kW) ovisi o protocima pare kroz sekcije turbine (u kg/s):

P I = 48DmI P III = 56DmII P III = 80DmIII

Kako bi se spriječilo pregrijavanje niskotlačnog dijela turbine, kroz sekciju III mora protje-

cati bar 0,6 kg/s pare. Zbog sprječavanja prekomjernog neravnomjernog opterećenja vratila

turbine, za x1 = 0 kg/s dozvoljeno je x2 ≤ 1,8 kg/s, a pri povećanju oduzimanja pare x1 za

svaki kg/s smanjuje se oduzimanje pare x2 za 0,25 kg/s. Odrediti optimalnu proizvodnju.




Funkcija cilja:

F = j

maxx

(Dstruja + Dvisokotlačna_para + Dniskotlačna_para)

gdje je: D – dobit, €/h,

P E = 48DmI + 56DmII + 80DmIII kW

mI = 3,2 kg/s mII = (3,2 – x1) kg/s mII = (3,2 – x1 – x2) kg/s

prihod od struje: P E = 48D3,2 + 56D(3,2 – x1) + 80D(3,2 – x1 – x2) kW

P E = (48 + 56 + 80)D3,2 + (–56 – 80)Dx1 + (– 80)Dx2

prihod od struje: P EDkWD0,03D €D(kwDh) –1 = (588,8 – 136Dx1 – 80Dx2)D0,03 €/h

prihod od visokotlačne pare: x1DkgDs –1

D(3600DsDh –1

)D1,65D €D(1000Dkg) –1

= 5,94Dx1 €/h

prihod od niskotlačne pare: x2DkgDs –1D(3600DsDh –1)D1,10D €D(1000Dkg) –1 = 3,96Dx2 €/h

F = j

maxx

17,66 – 4,08Dx1 – 2,40Dx2 + 5,94Dx1 + 3,96Dx2 €/h

F = j

maxx

1,86Dx1 + 1,56Dx2 + 17,66 €/h

j

ma1,86Dx1 + 1,56Dx2 €/h F = F1 + 17,66 €/h

xx

F1 =

Ograničenja:Pregrijavanje turbine:

x1 + x2 + x3 = 3,2 kg/s x1 + x2 ≤ 3,2 – 0,6x1 + x2 ≤ 2,6

Neravnomjerno opterećenje:

x2 ≤ 1,8 – 0,25Dx1 /D4

x1 + 4x2 ≤ 7,2

Zainteresiranost potrošača:

4x1 + 3x2 ≤ 9,6

F1 = j

maxx

(1,86Dx1 + 1,56Dx2) €/h

x1 + x2 ≤ 2,6x1 + 4x2 ≤ 7,2

4x1 + 3x2 ≤ 9,6

Rješenje:x1 = 1,29 kg/s visokotlačne pare x2 = 1,48 kg/s niskotlačne pare (ostatak?)

F = F1 + 17,66 = 4,71 + 17,66 = 22,37 €/h

PRIMJER P-8.3

Na kontroli proizvoda rade dvije grupe kontrolora: I grupa s 6 kontrolora i II grupa s 10

kontrolora. Dnevno je za 8 h potrebno obaviti kontrolu bar 1800 komada. Kontrolori grupe I kontroliraju 25 kom/h, s 2 % grešaka i plaćom od 5 NJ/h, a kontrolori grupe II kontroliraju

15 kom/h, s 5 % grešaka i plaćom od 3 NJ/h. Svaki neispravan proizvod pušten na tržište proizvoda prati šteta od 2 NJ. Odrediti optimalnu kontrolu.




Funkcija cilja:

F = j

minx

plaća kntl I + šteta kntl I + plaća kntl II + šteta kntl II

FDNJ/dan = j

minx

{{8D[h/(kntIDdan)]D5D(NJ/h) +

8D[h/(kntIDdan)]D2D(NJ/kom)D25D(kom/h)D0,02]}Dx1DkntI + (8D3 + 8D2D15D0,05)Dx2}

F = j

minx

[(8D5 + 8D2D25D0,02)Dx1 + (8D3 + 8D2D15D0,05)Dx2]

F = j

minx

[48x1 + 36x2]

Ograničenja:

x1D

kntI ≤ 6D

kntIx2DkntII ≤ 10DkntII

[8D(h/kntI)D25D(Dkom/h)]Dx1(DkntI) + 8D15Dx2 ≥ 1800Dkom

Rješenje: x1 = 6 kontrolora I grupe x2 = 5 kontrolora II grupe F = 468 NJ/dan.

Opaska: pet kontrolora iz II grupe je ostalo neraspoređeno.

8.1 Maksimalizacija

8.1.1 Postavka matemati č kog modela

PRIMJER P-8.4

Na dva proizvoda (1, 2), pri čijoj se proizvodnji angažiraju tri stroja (A, B, C), mogu se os-

tvariti dobiti: 1. proizvod: 20 NJ/kom (novčanih jedinica/komadu) i 2. proizvod: 30 NJ/kom.

Proizvod 1 se obrađuje na stroju A 2 h (sata) i na stroju B 2 h, a proizvod 2 na stroju A 4 h,

stroju B 1 h i na stroju C 4 h. Strojevi su tjedno raspoloživi: A 16 h, B 10 h i C 12 h. Odrediti

optimalnu tjednu proizvodnju.

Matematski model:

Funkcija cilja:

F = (20Dx1 + 30Dx2) jx

max




Ograničenja:

stroj A 2Dx1 + 4Dx2 ≤ 16

stroj B 2D

x1 + x2 ≤

10stroj C 4Dx2 ≤ 12

8.1.2 Grafi č ko rješenje

Na osnovu matematskog modela, na grafiku x2 = f(x1) ucrtavaju se pravci ograničenja od-

ređeni raspoloživostima strojeva A, B i C. Moguća rješenja se nalaze unutar prostora definira-

nog zadanim ograničenjima (i dodatnim uvjetima F-8.3, F-8.4). U drugom koraku se po toč-

kama (T) presjeka pravaca ograničenja pomjera funkcija cilja (T0 ⇒ T1 ⇒ T2 ⇒ T3 ) do dobi-

vanja optimalnog rješenja – pravac F3 , odnosno točka T3 .

Slika S-8.1 Grafičko rješenje P-8.4

Rješenje: x1 = 4 kom x2 = 2 kom F = 140 NJ

U pravilu, optimalna rješenja leže u kutovima (toč ke T k ). Izuzeci su kada se poklope pravci

ograničenja i funkcije cilja – tada dva kuta i sve točke na pravcu između dva kuta daju jedna-

ko optimalno rješenje.




8.1.3 Analiti č ko rješenje

0. korak – postavljanje i prilagodba matematskog modela:

1. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja)

2. Prilagoditi matematski model uvođ enjem dopunskih promjenljivih y j (koje u og-

ranič enjima omogućavaju zamjenu znakova ≤ sa znakovima =, a u funkciji cilja

imaju zajednič ki koeficijent = 0) , te funkciju cilja izraziti u implicitnom obliku

2Dx1 + 4Dx2 + y1 = 16

2Dx1 + x2 + y2 = 10

4Dx2 + y3 = 12

F – 20Dx1 – 30Dx2 – 0D(y1 + y2 + y3) = 0

1. korak – formiranje 0-te tabele (rješenja) i usmjeravanje postupka:

3. Unijeti vrijednosti a ij , g i , c j , F u odgovarajuć a polja Tabele 0

x 1 = 0 x 2 = 0 y 1 y 2 y 3

2 4 1 0 0 16

2 1 0 1 0 10

0 4 0 0 1 12

–20 –30 0 0 0 F = 0

Tabela 0. Unos polaznih podataka (na temelju matematskog modela)

x1 = 0 * x2 = 0 * y1 y2 y3

2 4 1 0 0 16

2 1 0 1 0 10

0 4 0 0 1 12

–20 –30 0 0 0 F = 0

* Polazi se iz točke T0 (S-8.1).

4. Odabrati :

(a) kolonu j = K s najmanjom vrijednošću c j (što je manja vrijednost cK to će

biti veći doprinos cKDxK maksimalizaciji funkcije cilja F ⇒ u rješenje se uklju-

čuje xK)

(b) red i = R s najmanjim količnikom gi /aiK (što je manja vrijednost količnikagR/aRK to će biti veće ograničenje u rješenje uključenog xK)




Tabela 0. Izbor kolone j = K i reda i = R x 1 = 0 x 2 = 0 y 1 y 2 y 3

16/4 = 4 2 4 1 0 0 16

10/1 = 10 2 1 0 1 0 1012/4 = 3 0 4 0 0 1 12

–20 –30 0 0 0 F = 0

x1 = 0 x2 = 0 y1 y2 y3

16/4 = 4 2 4 1 0 0 16

10/1 = 10 2 1 0 1 0 10

12/4 = 3 0 4 0 0 1 12

–20 –30 0 0 0 F = 0

2. korak – formiranje s-te tabele, te provjera ispunjenja kriterija optimalnosti:

5. Polja odabranog reda (R) iz prethodne tabele (s – 1) podijeliti s a RK i upisati u is-

ti red aktualne tabele (s)

Tabela 0. Prijepis podataka iz prethodne tabele (s – 1)

x1 = 0 x2 = 0 y1 y2 y3

2 4 1 0 0 16

2 1 0 1 0 10

0 4 0 0 1 12

–20 –30 0 0 0 F = 0

Tabela 1. Preračunavanje/prijepis odabranog reda u aktualna tabela s

x1 = 0 x2 = 3 * y1 y2 y3

0/4=

04/4=

10/4=

00/4=

01/4=

0,2512/4=

3

* Iz trećeg reda ( R = 3), odnosno trećeg ograničenja (najvećeg za x j) slijedi:

4Dx2 = 12 ⇒ x2 = 3

U polju presjeka druge kolone ( j = 2) s trećim redom (i = 3) nalazi se brojčani

iznos 1, a izračunata vrijednost za x2 pri najvećem ograničenju upisana je u zad-

njem polju trećeg reda. Prema tome, u 2. koraku se prelazi iz točke T0 u točku T1

(S-8.1).

6. Vrijednosti ostalih polja (P ij ) izrač unati po formuli :

Pijs

= Pijs–1

– PiKs–1

DPRjs (F-8.5)

Tabela 1. Izračunavanje vrijednosti polja

x1 = 0 x2 = 3 y1 y2 y3

2–4D0=

2

4–4D1=

0

1–4D0=

1

0–4D0=

0

0–4D0,25=

–1

16–4D3=

4

2–1D0=

2

1–1D1=

0

0–1D0=

0

1–1D0=

1

0–1D0,25=

–0,25

10–1D3=

70/4=

04/4=

10/4=

00/4=

01/4=

0,2512/4=

3

–20–(–30) D0=

–20

–30–(–30) D1=

0

0–(–30) D0=

0

0–(–30) D0=

0

0–(–30) D0,25=

7,5

0–(–30) D3=

F = 90




Tabela 1. Prijepis podataka iz prethodne tabele

x1 = 0 x2 = 3 y1 y2 y3

2 0 1 0 –1 4

2 0 0 1 –0,25 70 1 0 0 0,25 3

–20 0 0 0 7,5 F = 90

7. Ako su svi koeficijenti c ij ≥ 0 dobiveno je optimalno rješenje

8. Ako nisu svi koeficijenti c ij ≥ 0:

(a) ponoviti postupak opisan pod toč kom 4

(b) ponoviti postupak opisan u 2. koraku (toč ke 5, 6, 7 i 8)

x1 = 0 x2 = 3 y1 y2 y3

4/2 = 2 2 0 1 0 –1 4

7/2 = 3,5 2 0 0 1 –0,25 7

3/0 = 0 1 0 0 0,25 3

–20 0 0 0 7,5 F = 90

x1 = 4 x2 = 2 y1 = 0 y2 = 0 y3

1 0 0,17 0,67 0 4

0 0 –1,33 1,33 1 4

0 1 0,33 –0,33 0 2

0 0 6,67 3,33 0 F = 140

U polju presjeka prve/druge kolone s prvim/trećim redom nalazi se brojčani iznos 1 (ostali

brojč ani iznosi u kolonama su = 0) ⇒ izračunate vrijednosti x1 = 4 kom x2 = 2 kom upisane

su u zadnjem polju prvog/trećeg reda. Prema tome, u ponovljenom 2. koraku se prelazi iz toč-ke T1 u točku T3 (S-8.1). Kako su sve vrijednosti cij ≥ 0 dobiveno rješenje je optimalno: F =

140 NJ.

8.2 Minimalizacija

PRIMJER P-8.5

Na dva tipa strojeva (I i II) treba proizvoditi tri vrste dijelova (A, B i C), u minimalnim ko-

ličinama: A 10 kom/h (komada na sat), B 74 kom/h, C 9 kom/h. Ispitivanjima su utvr đeni ka-

paciteti strojeva – dio A: I 5 kom/str Dh (komada po stroju i satu) i II 1 kom/str Dh, dio B: I 9

kom/str Dh i II 13 kom/str Dh, te dio C: I 1 kom/str Dh i II 3 kom/str Dh. Cijene rada strojeva su: I

6 NJ/str Dh, II 3 NJ/str Dh. Odrediti optimalnu proizvodnju.




8.2.1 Postavka matemati č kog modela

Funkcija cilja:

F = (6Dx1 + 3Dx2) jx

min

Ograničenja:

dio A 5Dx1 + x2 ≥ 10

dio B 9Dx1 + 13Dx2 ≥ 74

dio C x1 + 3Dx2 ≥ 9

8.2.2 Grafi č ko rješenje

Na osnovu matematskog modela, na grafiku x2 = f(x1) (S-8.2) ucrtavaju se pravci ograni-

čenja određeni uvjetima pokretanja strojeva A, B i C. Moguća rješenja se nalaze unutar pros-

tora definiranog zadanim ograničenjima i uvjetom (i dodatnim uvjetima F-8.3, F-8.4). U dru-

gom koraku se po točkama (T) presjeka pravaca ograničenja pomjera funkcija cilja (T0 ⇒ T1

⇒ T2 ⇒ T3 ) do dobivanja optimalnog rješenja – pravac F3 , odnosno točka T3 .

Slika S-8.2 Grafičko rješenje P-8.5

Rješenje: x1 = 1kom x2 = 5kom F = 21

8.2.3 Analiti č ko rješenje

0. korak – postavljanje i prilagodba matematskog modela:

1. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja – 8.4.1)

2. Prilagoditi matematski model uvođ enjem




a) dopunskih promjenljivih y j (koje u ogranič enjima omogućavaju zamjenu znaka

≥ sa znakom =, a u funkciji cilja imaju zajednič ki koeficijent = – 0)

b) umjetnih promjenljivih z j (koje u funkciji cilja imaju zajednič ki koeficijent M č i-

ji je brojč ani iznos >> od brojč anih iznosa ostalih koeficijenata)

5Dx1 + x2 – y1 + z1 = 10

9Dx1 + 13Dx2 – y2 + z2 = 74

x1 + 3Dx2 – y3 + z3 = 9

F = 6Dx1 + 3Dx2 – 0D(y1 + y2 + y3) + MD(z1 + z2 + z3)

c) iz ograni č enja odrediti vještač ke promjenljive z j i uvrstiti ih u funkciju cilja, te

funkciju cilja izraziti u implicitnom obliku

z1 = 10 – 5Dx1 – x2 + y1

z2 = 74 – 9Dx1 – 13Dx2 + y2

z3 = 9 – x1 – 3Dx2 + y3

F– (6 – 15DM)Dx1 – (3 – 17DM)Dx2 – MDy1 – MDy2 – MDy3 = 93DM

1. korak – formiranje 0-te tabele (rješenja) i usmjeravanje postupka:

3. Unijeti vrijednosti a ij , g i , c j , F u odgovarajuć a polja Tabele 0

4. Odabrati :

a) kolonu j = K s najvećom vrijednošću c j (što je veća vrijednost cK to će biti ve-

ći doprinos cKDxK minimalizaciji funkcije cilja F ⇒ u rješenje se uključuje xK).

b) red i = R s najmanjim koli č nikom g i /a iK ( što je manja vrijednost količ nika

g R /aRK to će biti veće ogranič enje u rješenje uključ enog x K ).

Tabela 0. Početak iz točke T0 (S-8.2)

x1 = 0 x2 = 0 y1 y2 y3 z1 z2 z3

10 5 1 –1 0 0 01 0 0 10

5,69 9 13 0 –1 0 0 1 0 74

3 1 3 0 0 –1 0 0 1 9

15DM–6 17DM–3 –M –M –M 0 0 0

93DM

2. korak – formiranje s-te tabele, te provjera ispunjenja kriterija optimalnosti:

5. Polja odabranog reda (R) iz prethodne tabele (s – 1) podijeliti s a RK i upisati u is-

ti red aktualne tabele (s)

6. Vrijednosti ostalih polja (P ij ) izrač unati po formuli :

Pijs

= Pijs–1

– PiKs–1

DPRjs (F-8.5)

7. Ako su svi koeficijenti c ij ≤ 0 dobiveno je optimalno rješenje.

8. Ako nisu svi koeficijenti c ij ≤ 0:

a) ponoviti postupak opisan pod toč kom 4

b) ponoviti postupak opisan u 2. koraku (toč ke 5, 6, 7 i 8)




Tabela 1. Prijelaz u točku T1 (S-8.2)

x1 = 0 x2 = 3 y1 y2 y3 z1 z2 z3

1,50 4,67 0 –1 0 0,33 1 0 –0,33 7

7,49 4,67 0 0 –1 4,33 0 1 –4,33 359 0,33 1 0 0 –0,33 0 0 0,33 3

9,33xM–5 0 –M –M 4,67xM–1 0 0 5,67xM–1 42xM+9

Tabela 3. Prijelaz u točku T3 (S-8.2)

x1 = 1 x2 = 5 y1 y2 y3 z1 z2 z3

1 0 –0,23 0,02 0 0,23 –0,02 0 1

0 0 0,25 –0,25 1 –0,25 0,25 –1 7

0 1 0,07 –0,09 0 –0,16 0,09 0 5

0 0 –0,91 –0,16 0 –M+0,91 –M+0,16 –M 21

Postupak je okončan – ispunjen je uvjet: cij ≤ 0. Slijedi: x1 = 1 kom, x2 = 5 kom, F = 21 NJ.

8.2.4 Dualni model

Kada je to pogodno, rješenje "primala":

F = jx

max n

1 j

j j xc D F = jx

min n

1 j

j j xc D

≤ gi n

1 j

jij xa D ≥ gi n

1 j

jij xa D

se dobiva rješavanjem "duala":

F =iu

min m

1i

ii ug D F =iu

max m

1i

ii ug D

≥ c j m

1i

i ji ua D ≤ c j m

1i

i ji ua D

PRIMJER P-8.6

Riešiti P-8.6 preko duala.

0. korak – postavljanje matematskog modela i formiranje duala:

9. Postaviti matematski model ( funkcija cilja i ogranič enja – 8.4.1)

Matematski model:

Funkcija cilja: F = (6Dx1 + 3Dx2) jx

min

dio A 5Dx1 + x2 ≥ 10

Ograničenja: dio B 9Dx1 + 13Dx2 ≥ 74

dio C x1 + 3Dx2 ≥ 9




10. Formirati dual smjenama:

c) u funkciji cilja: x j s u i , te c j s g i (iz ogranič enja)

d) u ograni č enjima: x j s u i , a ij s a ji , te g i s c j (iz funkcije cilja)

Dualni je model:

F = (10Du1 + 74Du2 + 9Du3)iu

max

5Du1 + 9Du2 + u3 ≤ 6

u1 + 13Du2 + 3Du3 ≤ 3

1. korak – rješavanje duala:

11. Za maksimalizaciju dualnog modela provesti postupak opisan pod 8.3.3

Prilagođeni dualni model:

5Du1 + 9Du2 + u3 + v1 = 6

u1 + 13Du2 + 3Du3 + v2 = 3

F – 10Du1 – 74Du2 – 9Du3 = 0

u1 u2 u3 v1 v2

0,667 5 9 1 1 0 6

0,231 1 13 3 0 1 3

–10 –74 –9 0 0 0

u1 u2 u3 v1 v2

0,910 4,307 0 –1,079 1 –0,693 3,921

3 0,077 1 0,231 0 0,077 0,231

–4,302 0 8,094 0 5,698 17,094

u1 u2 u3 v1 v2

1 0 –0,251 0,232 –0,161 0,910

0 1 0,250 –0,018 0,089 0,161

0 0 7,016 0,999 5,006 21,011

Postupak je okončan – ispunjen je uvjet: gi ≤ 0. Slijedi: v1 = 1 kom, v2 = 5 kom, F = 21 NJ.

12. Za minimalizaciju dualnog modela provesti postupak opisan pod 8.4.3

2. korak – rješavanje primala:

13. Zamjeniti vrijednosti v i s x i

Zamjenom se dobiva: x1 = 1 kom, x2 = 5 kom, F = 21 NJ.

8.3 Zadaci – LP

8.3.1 Maksimalizacija

Z-8.1 Na dva proizvoda (1, 2), pri čijoj se proizvodnji angažiraju tri stroja (A, B,C), mogu se ostvariti dobiti: 1. proizvod: 20 NJ/kom i 2. proizvod: 30




NJ/kom. Proizvod 1 se obrađuje na stroju A 2 h (sata) i na stroju B 2 h, a pro-

izvod 2 na stroju A 4 h, stroju B 1 h i na stroju C 4 h. Strojevi su tjedno

raspoloživi: A 16 h, B 10 h i C 12 h. Odrediti optimalnu tjednu proizvodnju.

Matematski model/ograničenja:

Fmax

(D NJ/tjd ) = 20(D NJ/kom)Dx1(Dkom/tjd ) + 30Dx2

2(Dh/kom)Dx1(Dkom/tjd ) + 4Dx2 ≤ 16(Dh/tjd )

2Dx1 + x2 ≤ 10

4Dx2 ≤ 12

Rješenje: x1 = 4 kom/tjd, x2 = 2 kom/tjd, F = 140 NJ/tjd.

Opaska: y3 = 4 kom/tjd – stroj 3 je pri optimalnoj proizvodnji raspoloživ još 4 h/tjd.

Z-8.2 Na tri stroja (1, 2, 3) se obrađ

uju dva proizvoda (A, B). Odrediti optimalnu proizvodnju.

1. stroj

t = 1 h/kom A,1

T = 4 h/danr,1 3. stroj

t = 3 h/kom A,3

T = 18 h/dan

t = 2 h/kom

r,3

B,3

2. strojT = 12 h/danr,2

t = 2 h/komB,2

A

B

A

B

A

B

T raspoloživost stroja

t vrijeme obrade proizvoda

c

r −

dobit

−

c = 3 NJ/kom A

c = 5 NJ/komB

−


Fmax

(D NJ/dan) = [3(D NJ/kom)Dx A(Dkom/dan) + 5DxB]

1(Dh/kom)Dx A(Dkom/dan) ≤ 4(Dh/dan)

2DxB ≤ 12

3Dx A + 2DxB ≤ 18

Rješenje: x A = 2 kom/dan, xB = 6 kom/dan, F = 36 NJ/dan.

Opaska: y3 = 2 h/dan – stroj 3 je pri optimalnoj proizvodnji raspoloživ još 3 /dan.

Z-8.3 Od sirovine A se proizvode dva proizvoda (C, D). Kapacitet opreme ograni-

čava proizvodnju na: 2Dx2 + 3Dx3 ≤ 60 kg/dan. Odrediti optimalnu proizvod-

nju.

proizvodni

sustav

A B + C⇒

AB

C

w maseni sadržaj

c cijena

−

−ispust

w = 60 %B

c = 80 NJ/kgB

w = 80 %C

c = 120 NJ/kgC

w = 40 % A

c = 40 NJ/kg A


F

max

(D

NJ/dan) = 80(D

NJ/kg )D

xB(D

kg/dan) + 120D

xC – 40D

x A 0,6(Dkg/kg))DxB(Dkg/dan) + 0,8DxC ≥ 0,4(Dkg/dan)




2(Dkg/dan)DxB(Dkg/dan) + 3DxC ≥ 60(Dkg/dan)

Rješenje: x A = 40 kg/dan, xB = 0 kg/dan, F = 800 NJ/dan.

Opaska: y2 = 20 kg/dan – pri optimalnoj proizvodnji nedostaje još 20 kg/dan proiz-voda C.

8.3.2 Minimalizacija

Z-8.4 Na dva tipa strojeva (I i II) treba proizvoditi tri vrste dijelova (A, B i C), u

minimalnim količinama: A 10 kom/h (komada na sat), B 74 kom/h, C 9

kom/h. Ispitivanjima su utvr đeni kapaciteti strojeva – dio A: I 5 kom/str Dh

(komada po stroju i satu) i II 1 kom/str Dh, dio B: I 9 kom/str Dh i II 13

kom/str Dh, te dio C: I 1 kom/str Dh i II 3 kom/str Dh. Cijene rada strojeva su: I 6

NJ/str Dh, II 3 NJ/str Dh. Odrediti optimalnu proizvodnju.


Fmin(D NJ/h) = 6(D NJ/(str Dh))Dx1(D str ) + 3Dx2

5(Dkom/(str Dh))Dx1( str ) + x2 ≥ 10(Dkom/h)

9Dx1 + 13Dx2 ≥ 74

x1 + 3Dx2 ≥ 9

Rješenje: x1 = 1 str, x2 = 5 str, F = 140 NJ/h.

Opaska: y3 = 7 kom/h – pri optimalnoj proizvodnji nedostaju za izradu još 7 kom/h proizvoda C.

Z-8.5 Na kontroli proizvoda rade dvije grupe kontrolora: 1 s 6 kontrolora i 2 s 10

kontrolora). Dnevno je za 8 h potrebno obaviti kontrolu bar 1800 komada.

Kontrolori grupe 1 kontroliraju 25 kom/h, s 2 % grešaka i plaćom od 5 NJ/h,

a kontrolori grupe 2 kontroliraju 15 kom/h, s 5 % grešaka i plaćom od 3 NJ/h.

Svaki neispravan proizvod pušten na tržište prati šteta od 2 NJ. Odrediti op-

timalnu kontrolu.

Matematski model/ograničenja (dnevno):

Fmin(D NJ ) =

[8(Dh/Knt1)D5D(D NJ/h) + 8(Dh/Knt1)D2D(D NJ/kom)D25D(Dkom/h)D0,02]Dx1(D Knt1) +

+ 8(Dh/Knt2)D3D(D NJ/h) + 8(Dh/Knt2)D2D(D NJ/kom)D15D(Dkom/h)D0,05]Dx2(D Knt1)

x1(D Knt1) ≤ 6

x2(D Knt1) ≤ 10

[8(Dh/Knt1)D25D(Dkom/h)]Dx1(D Knt1) + 8D15Dx2 ≥ 1800(Dkom)

Rješenje: x1 = 6 Knt1, x2 = 5 Knt2, F = 468 NJ.

Opaska: y2 = 5 Knt2 – pet kontrolora iz grupe 2 je ostalo neraspoređeno.




8.3.3 Postoptimalna analiza

Nakon određivanja optimalnog rješenja, po potrebi, može se obaviti postoptimalna analiza

– određivanje utjecaja (mogu

ćih) promjena koeficijenata ci (u funkciji cilja), aij i g j (u ograni-č enjima) na optimalno rješenje.

Utjecaj promjena ci na funkciju cilja se opisuje koeficijentima osjetljivosti:

xi*c

=ic

F * (F-8.6)

gdje je: * – oznaka za optimalno rješenje.

PRIMJER P-8.7

Odredi koeficijente osjetljivosti za P-8.2.

Matematski model:

Funkcija cilja: F = (6Dx1 + 3Dx2) jx

min

dio A 5Dx1 + x2 ≥ 10

Ograničenja: dio B 9Dx1 + 13Dx2 ≥ 74

dio C x1 + 3Dx2 ≥ 9

Optimalno rješenje: x1* = 1 kom, x2* = 5 kom, F* = 21 NJ.

F = c1D1 + c2D5

Koeficijenti osjetljivosti :

x1*c

=1c

F= 1 x2*

c =2c

F= 5

Zaključak: Promjene koeficijenta c2 imaju veći utjecaj na optimalno rješenje od promje-

na koeficijenta c1.

Uz korištenje dualnog modela na isti način se može odrediti i utjecaj promjena g j .

Pri određivanju utjecaja aij koristi se matrični račun, a postupak je obrađen u literaturi.

8.4 Transportna metoda

Transportna metoda (skraćeno: TM) je formalni postupak dobivanja optimalnih troškova

opskrbe skupa recipijenata (R ) iz skupa izvora (I) , uz uvjet linearne ovisnosti troškova tran-

sporta o transportiranoj količini.

Opskrba (S-8.3) se može optimalizirati primjenom simplex metode, ali su specifičnosti

(koeficijenti aij su jedinice ili nule) dovele do razvoja TM. Danas se TM najčešće koristi za

optimalizaciju opskrbe skupa prodavaonica iz skupa skladišta.




I1 I2

R1 R2

I3 I4

R3 R4 R5

c45

x45

Slika S-8.3 Shematski prikaz transportnog problema

Strojarski inženjeri će najčešće koristiti TM za optimalizaciju:

• razmještaja ( pogoni, strojevi, oprema, radnici, skladišta, prostorije),

• dinamike radova ( projektiranje, izgradnja, proizvodnja, održavanje, remont ).

8.4.1 Postavljanje matemati č kog modela

• Funkcija cilja – n promjenljivih veličina:

F = (F-8.7)ijx

opt m

1i

n

1 j

ijij xc D

gdje je: cij – jedinični trošak transporta od i-tog izvora do j-tog recipijenta,

xij – transportirana količina od i-tog izvora do j-tog recipijenta,

m – broj izvora,

n – broj recipijenata.• Skup ograničenja – m + n ograničenja oblika:

= ai (F-8.8)n

1 j

ijx

= b j (F-8.9)m

1i

ijx

gdje je: ai – ukupna raspoloživa količina u i-tom izvoru,

b j – ukupna potrebna količina j-tog recipijenta.

Dodatna su ograničenja (nenegativnosti promjenljivih veli

č ina. te realne vrijed-nosti koeficijenata i slobodnih č lanova):

xij ≥ 0 (F-8.10)

cij , ai , b j ∈ R (F-8.11)

gdje je: R – skup realnih brojeva.

Prema tome, s TM postupkom LP se traži optimum (maksimum ili minimum) za zadanu li-

nearnu funkciju cilja F-8.7, s m n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m + n linearnih

ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-8.8, F-8.9 (F-8.10 i F-8.11).

8.4.2 Zatvoreni transportni problemRaspoloživa količina izvora jednaka potrebnoj količini recipijenata:




= (F-8.12)m

1i

ian

1 j jb

TM obuhvaća dva koraka:

14. određ ivanje poč etnog rješenja

15. određ ivanje optimalnog rješenja

Minimalizacija

PRIMJER P-8.5

Proizvod je potrebno iz četiri skladišta (tabela s količinama i troškovima) transportirati u

tri prodavaonice. Optimalizirati transport.

Prodavaonice

P1 P2 P3

Raspoloživo na

skladištima, komS1 c11 = 10 c12 = 12 c13 = 0 a1 = 20

S2 c21 = 8 c22 = 4 c23 = 3 a2 = 30

S3 c31 = 6 c32 = 9 c33 = 4 a3 = 20 S k l a d i š -

t a S4 c41 = 7 c42 = 8 c43 = 5 a4 = 10

Σai = 80Potrebe prodavaonica, kom

b1 = 40 b2 = 10 b3 = 30Σbi = 80

1. korak – određivanje početnog rješenja – metoda sjeverozapadnog kuta:

Postupak počinje u gornjem (prednjem) lijevom kutu ("sjeverozapadnom") i odabirue se

količina koja potpuno prazni skladište i/ili popunjava prodavaonicu.

80 80 P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20) 1020

12 0

S2 (30) 8 20 4 103

S3 (20)6 9 4

20

S4 (10)7

8 5 10

F = c11◦x11 + c21◦x21 + c22◦x22 + c33◦x33 + c43◦x43 = 200+160+40+80+50 = 530 NJ

1. korak – određivanje početnog rješenja – metoda najmanjih troškova:

Kod ovog postupka se od početka "skače" po poljima s najmanjim mogućim troškom i

odabire količina koja potpuno prazni skladište i/ili popunjava prodavaonicu. Ako je ravnop-

ravno više mogućnosti prioritet ima:

polje s većom transportiranom količinom,

polje s najmanjim brojem reda,

polje s najmanjim brojem kolone.

80 80 P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20)10 12 0

20

S2 (30) 8 10 4 10 3 10

S3 (20) 6 209

4

S4 (10) 710

8 5

F = c13◦x13 + c23◦x23 + c22◦x22 + c31◦x31 + c41◦x41 + c21◦x21 = 0+30+40+120+70+80 = 340 NJ




2. korak – određivanje optimalnog rješenja – steping-stone metoda:

U 2. koraku se prethodno određeno početno rješenje P-8.5 optimalizira. Početna rješenje

dobiveno metodom najmanjih troškova je i optimalno rješenje ( što nije pravilo), te je steping-

stone metoda ilustrirana na početnom rješenju dobivenom metodom sjeverozapadnog kuta.

U prvom koraku se izračunavaju relativni troškovi za sva nezauzeta polja, dij (12, 13, 23,

31, 32, 41, 42). Relativni troškovi izražavaju promjene troškova transporta pri uključivanju

aktualnog nezauzetog polja – "skače" se po zauzetim poljima ("kamenju" ) do zatvaranja puta,

uz održavanje ravnoteže pražnjenja skladišta i punjenja prodavaonica (S-8.4).

Ako se put ne može zatvorit sa zauzetim poljima (broj zauzetih polja < m + n – 1), uvodi

se polje ("kamen" ) sa zanemarivo malom transportiranom količinom ε (S-8.4 – polje 31).

80 80 P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20) 10 2012

0

S2 (30) 8 20 4 103

S3 (20) 6 ε

9 4 20

S4 (10)7 8 5 10

11

21

12

22

11

31

13

33 31

23

33

11

21

12

22

11

31

13

33

21

31

23

33

41

31 33

43

22

42

21

43

31

3331

21 22

32

Slika S-8.4 Shematski prikaz preračunavanja transportnih troškova – steping-stone meto-

da

d12 = c12 – c22 + c21 – c11 = 12 – 4 + 8 – 10 = 6

d13 = c13 – c33 + c31 – c11 = 0 – 4 + 6 – 10 = – 8

d23 = c23 – c33 + c31 – c21 = 3 – 4 + 6 – 8 = – 3

c31 = ε

d32 = c32 – c31 + c21 – c22 = 9 – 4 + 3 – 4 = 4d41 = c41 – c31 + c33 – c43 = 7 – 6 + 4 – 5 = 0

d42 = c42 – c22 + c21 – c31 + c33 – c43 = 8 – 4 + 8 – 6 + 4 – 5 = 5

80 80 P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20) 1020

12 6 0 –8

S2 (30) 8 20 4 103

–3

S3 (20) 6 ε

9 4 420

S4 (10) 7 0 8 5 5 10

Negativan relativni trošak (d ij < 0) znači smanjenje cijene transporta, a pozitivan (d ij > 0)

povećanje. Prema tome, transport se prebacuje na polje s najnegativnijom vrijednošću relativ-nog troška (d 13).




80 80 P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20) 10 5 12 11 0 20

S2 (30) 820

410

3 –3

S3 (20) 6 209

74

0

S4 (10)7

08

2 510

F = c13◦x13 + c21◦x21 + c22◦x22 + c31◦x31 + c43◦x43 = 0+160+40+120+50 = 370 NJ

U odnosu na rješenje dobiveno metodom sjeverozapadnog kuta, troškovi transporta su

smanjeni za 160 NJ (530 – 370), ali negativna vrijednost u nezauzetom polju i = 2, j = 3 pret-

hodne tabele (d 23 = – 3) ukazuje da je moguće dalje smanjivanje troškova.

80 80 P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20)10

512

9 0 20

S2 (30) 810

410

310

S3 (20) 6 20 9 8 4 3

S4 (10) 7 108

55

3

F = c13◦x13 + c21◦x21 + c22◦x22 + c23◦x23 + c31◦x31 + c41◦x41 = 0+80+40+30+120+70 = 340 NJ

U odnosu na prethodno rješenje, troškovi transporta su smanjeni za 30 NJ (370 – 340). Ka-

ko su pozitivne sve vrijednost u nezauzetim poljima prethodne tabele (d ij > 0) slijedi zaklju-

čak da je dobiveno rješenje optimalno.

Putovi transporta se opisuju jednodimenzijskim vektorom:

X = (x13 , x21 , x22 , x23 , x31 , x41 ) = ( 20, 10, 10, 10, 20, 10)


PRIMJER P-8.6

Tvrtka proizvodi u četiri tvornice proizvod kojim opskrbljuje četiri prodajna centra. U ta-

beli su date količine i dobiti, koje ovise o lokacijama tvornica i prodajnih centara. Optimalizi-

rati opskrbu.

Prodajni centri

P1 P2 P3 P4

Proizvedeno u tvorni-

cama, kom

T1 c11 = 40 c12 = 50 c13 = 80 c14 = 30 a1 = 18

T2 c21 = 10 c22 = 60 c23 = 40 c24 = 50 a2 = 18

T3 c31 = 80 c32 = 90 c33 = 20 c34 = 70 a3 = 18 T v o r n i c e

T4 c41 = 40 c42 = 60 c43 = 50 c44 = 20 a4 = 18

Σai = 72Potrebe prodajnih

centara, komb1 = 8 b2 = 12 b3 = 20 b4 = 32

Σbi = 72

1. korak – određivanje početnog rješenja – metoda sjeverozapadnog kuta:

72 72 P1 (8) P2 (12) P2 (20) P3 (32)

T1 (18)40 8 50 10 80 30

T2 (18)10 60 2 40 16 50

T3 (18)80

90

20

470

14

T4 (18)40 60 50 20 18




F = c11◦x11 + c12◦x12 + c22◦x22 + c23◦x23 + c33◦x33 + c34◦x34 + c44◦x44 =

= 320 + 500 + 120 + 640 + 80 + 980 + 360 = 3.000 NJ

1. korak – određ

ivanje početnog rješenja – metoda najve

ćih dobiti:

Kod ovog postupka (maksimalizacija) se od početka "skače" po poljima s najvećim mogu-

ćim dobitima i odabire količina koja potpuno prazni tvornicu i/ili popunjava prodajni centar.

Ako je ravnopravno više mogućnosti prioritet ima:

polje s većom transportiranom količinom,

polje s najmanjim brojem reda,

polje s najmanjim brojem kolone.

72 72 P1 (8) P2 (12) P2 (20) P3 (32)

T1 (18)40 50 80

1830

T2 (18)

10

60

40 50

18T3 (18)

806

9012

20

70

T4 (18)40

260 50

220

14


= 1.440 + 900 + 480 + 1.080 + 80 + 100 + 280 = 4.360 NJ

Dobit je veća od dobiti u rješenju dobivenom metodom sjeverozapadnog kuta.

2. korak – određivanje optimalnog rješenja – steping-stone metoda:

Poboljšava se rješenje dobiveno metodom najveće dobiti, a najpozitivnije su vrijednosti za

nezauzeta polja d34 = d42 = 10.

d34 = c34 – c44 + c41 – c31 = 70 – 20 + 40 – 80 = 10

d42 = c42 – c41 + c31 – c32 = 60 – 40 + 80 – 90 = 10

Uvodi d34, jer je c34 > c42 (70 > 60).

72 72 P1 (8) P2 (12) P2 (20) P3 (32)

T1 (18)40 50 80 18

30

T2 (18)10

60

40

50 18

T3 (18)80 90

1220 70

6

T4 (18)40 8

60 50 2 20 8


= 1.440 + 900 + 1.080 + 420 + 320 + 100 + 160 = 4.420 NJ

d42 = c42 – c31 + c34 – c44 = 60 – 90 + 70 – 20 = 20

72 72 P1 (8) P2 (12) P2 (20) P3 (32)

T1 (18)40

50

80 1830

T2 (18)10

60

40

5018

T3 (18)80 90

420 70

14

T4 (18)40 8 60 8 50 2

20


= 1.440 + 900 + 360 + 980 + 320 + 480 + 100 = 4.580 NJ

d31 = c31 – c32 + c42 – c41 = 80 – 90 + 60 – 40 = 10




72 72 P1 (8) P2 (12) P2 (20) P3 (32)

T1 (18)40

50

80 1830

T2 (18)10

60

40

50 18

T3 (18) 80 4 90 20 70 14

T4 (18)40

460

1250

220


= 1.440 + 900 + 320 + 980 + 160 + 720 + 100 = 4.620 NJ

U odnosu na prethodno rješenje, troškovi transporta su smanjeni za 40 NJ (4620 – 4580).

Kako su negativne sve vrijednost u nezauzetim poljima prethodne tabele (d ij < 0) slijedi zak-

ljučak da je dobiveno rješenje optimalno.

Putovi transporta se opisuju jednodimenzijskim vektorom:

X = (x13 , x24 , x31 , x34 , x41 , x42 , x43 ) = (18, 18, 4, 14, 4, 12, 2)

8.4.4 Otvoreni transportni problem

Otvorenim se naziva transportni problem s različitom ponudom od potražnje.

e) ukoliko je ponuda veća od potražnje:

a > (F-8.13)m

1i

i

n

1 j jb

uvodi se fiktivni recipijent bn+1 s troškovima transporta ci(n+1) = 0 i:

b(n+1) = – j (F-8.14)m

1i

ian

1 j

b

f) ukoliko je ponuda manja od potražnje:

< (F-8.15)m

1iia

n

1 j jb

uvodi se fiktivni izvor an+1 s troškovima transporta c(n+1)j = 0 i:

a(n+1) = – ia (F-8.16)n

1 j

jbm

1i

Dalji postupci su isti kao prethodno opisani za zatvorene transportne probleme (minimali-

zacija – 8.8.3.1 i maksimalizacija – 8.8.3.2).

8.4.5 Zadaci – TP

Z-8.6 Proizvod je potrebno iz četiri skladišta transportirati u tri prodavaonice. U tab-

lici su date raspoložive količine na skladištima, potrebne količine u prodavao-

nicama i troškovi transporta. Optimalizirati transport.

ProdavaoniceSkladišta

P1 (40) P2 (10) P3 (30)

S1 (20) 10 12 0

S2 (30) 8 4 3

S3

(20) 6 9 4

S4 (10) 7 8 5




Rješenje:

= (x13 , x21 , x22 , x23 , x31 , x41 ) = ( 20, 10, 10, 10, 20, 10)

ajna

X

F = 340 NJ

Z-8.7 Tvrtka proizvodi u četiri tvornice proizvod kojim opskrbljuje četiri prod

centra. U tabeli su date količine koje mogu proizvesti tvornice (u zagradama)

i količine koje mogu prodati prodajni centri. Dobiti navedene u poljima tabele

ovise o lokacijama tvornica i prodajnih centara. Optimalizirati opskrbu.

Prodajni centriTvornice

P1 (8) P2 0) P4 (32) (12) P3 (2

T1 (18) 40 50 80 30

T2 (18) 10 60 40 50

T3 (18) 80 90 20 70

T4 (18) 40 60 50 20

Rješenje:

(x13 , x24 , x31 , x34 , x41 , x42 , x43 ) = (18, 18, 4, 14, 4, 12, 2)

Z-8.9 Četiri potrošačka centra op rnice. Optimalizirati transport.

X =

F = 4.620 NJ

skrbljuju tri tvo

Prodajni centriTvornice

P1 (70) P2 (40) P4 (60) P5 (50)P3 (30)

T1 (20) 4 2 5 7 6

T2 (110) 7 8 3 4 5

T3 (120) 2 1 4 3 2

Rješenje:X = (x12 , x23 , x24 , x25 , x31 , x32 , x35 ) = ( 20, 30, 60, 20, 70, 20, 30)

Z-8.9 U slučaju rata iz četiri baze treb oružje na pet položaja. U poljima

Baze

F = 690 NJ

a dopremiti

tabele su data vremena, u satima, potrebna za dopreme. Optimalizirati dopre-

mu.

PoložajiB1 (24) B2 (16) B 4 (20) B5 (8) 3 (10) B

P1 (28) 3 9 8 10 4

P2 (13) 6 10 3 2 3

P3 (19) 3 2 7 10 3P4 (18) 3 2 3 2 8

Rješenje: ( jedno od viš ogućih)

, x43 , x44 ) = (24, 4, 12, 1, 16, 3, 10, 8)

8.5 Metoda raspodjele

alni postupak dobivanja optimalne raspodjele m

ak

e m

X = (x11 , x15 , x24 , x25 , x32 , x35

F = 202 h

Metoda raspodjele (skraćeno: MR ) je form

tivnosti (A – S-8.5) ili resursa na n radnika (R ) ili lokacija. Uvjet je da se jedna aktiv-

nost/resurs može dodijeliti samo jednom radniku/lokaciji.




Postupak MR je specifičan i njegov će tijek biti pojašnjen na primjerima minimalizacije

(na primjer, troškova) i maksimalizacije (na primjer, dobiti).

A1 A A A2

R1 R2

3 4

R3 R4 R5

c45

Slika S-8.5 Shematski prikaz problema raspodjele

Strojarski inženjeri će najčešće koristiti MR za optimalizaciju raspodjele:

• uposlenika (radnika po strojevima, inženjera po projektima),

• poslova ( poslova po strojevima, projekata po odjelima).

8.5.1 Postavljanje matemati č kog modela

• Funkcija cilja – n promjenljivih veličina:

F = (F-8.17)ijx

opt m

1i

n

1 jijij xc D

gdje je: cij – jedinični trošak transporta od i-tog izvora do j-tog recipijenta,

xij – transportirana količina od i-tog izvora do j-tog recipijenta,m – broj izvora,

n – broj recipijenata.

• Skup ograničenja – m + n ograničenja oblika:

= 1 (F-8.18)m

1i

ijx

= 1 (F-8.19)n

1 jijx

Prema tome, s MP postupkom LP se traži optimum (maksimum ili minimum) za zadanu li-nearnu funkciju cilja F-8.17, s m n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m + n linear-

nih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-8.18, F-8.19.

8.5.2 Minimalizacija

PRIMJER P-8.7

Pet radnika treba obaviti pet poslova. Svaki radnik je osposobljen za obavljanje svih poslo-

va, ali pri tome radnici utroše različita vremena, navedena u poljima tabele (u satima), za

obavljanje istih/različitih poslova. U aktualnom vremenskom razdoblju jedan radnik može bitiangažiran samo na jednom od poslova. Odrediti optimalnu proizvodnju.




PosloviRadnici

P1 P2 P3 P4 P5

R1 3 21 12 6 10

R2 8 23 2 5 5R3 33 14 13 10 7

R4 14 21 19 11 11

R5 9 16 10 15 13

16. Oduzima se: (određuje se koji radnici najučinkovitije obavljaju poslove)

g) najmanje polje kolone od svih polja kolone

17. najmanje polje reda od svih polja reda koji ne sadrži nule dobivene prethod-

nim oduzimanjem (redovi označ eni u tabeli) –

18. Razvrstavaju se nule na:

h) nezavisne (nule označ ene u tabeli) – 1. jedina u redu i 2. jedna od nula kojih ima

više u redu19. zavisne (nule precrtane u tabeli) – 1. ostale nule u koloni s nezavisnom nulom

i 2. ostale nule u redu s nezavisnom nulom

20. Provjerava se da li je dobiveno rješenje optimalno (broj nezavisnih nula = broju

poslova)

PosloviRadnici

P1 P2 P3 P4 P5

R1 0 7 10 1 5

R2 5 9 0 0 0

R3 30 0 11 5 2

R4 5 1 11 0 0 R5 4 0 6 8 6

Dobiveno rješenje nije optimalno jer je broj nezavisnih nula < broja poslova.

21. Usmjeravanje postupka optimaliziracije:

i) označ iti redove bez nezavisnih nula

d) precrtati kolone u kojima prethodno označ eni redovi imaju zavisne nule

22. označ iti redove sa nezavisnim nulama u prethodno označ enim kolonama

23. precrtati kolone u kojima prethodno označ eni redovi imaju zavisne nule

24. ponavljati korake c) d) c) … dok je to moguć e (do pojave označ enih re-

dova bez zavisne nule ili precrtanih kolona bez nezavisne nule)

e) precrtati neoznač ene redove (toč ke 4.a) i/ili 4.c))

PosloviRadnici

P1 P2 b) P3 P4 P5

R1 0 7 10 1 5

R2 5 9 0 0 0

R3 c) 30 0 11 5 2

R4 5 1 11 0 0

R5 a) 4 0 6 8 6

25. Optimaliziracije:

j) odrediti najmanje neprecrtano polje (2 – polje 34)




26. dodati vrijednost najmanjeg polja vrijednostima svih dvostruko precrtanih

polja

f) oduzeti vrijednost ovog polja od vrijednosti svih neprecrtanih polja

27. Ponavljati postupak do dobivanja optimalnog rješenja:

PosloviRadnici

P1 P2

P3 P4 P5

R1 0 9 10 1 5

R2 5 11 0 0 0

R3

28 0 9 3 0

R4 5 3 11 0 0

R5

2 0 4 6 4

Dobiveno rješenje je optimalno jer je broj nezavisnih nula = broju poslova.

X = (x11 , x23 , x35 , x44 , x52 ) = (1, 1, 1, 1, 1)F = c11Dx11 + c23Dx23 + c35Dx35 + c44Dx44 + c52Dx52 =

3D1 + 2D1 + 7D1 + 11D1 + 16D1 = 39 h


PRIMJER P-8.8

Od raspoloživih pet radnika treba odabrati tim za rad na četiri dobavljena stroja. Broj ko-

mada koji su izradili radnici tijekom testiranja na dobavljenim strojevima je dat u tabeli. Oda-

brati optimalni tim.

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4

R1 5 6 5 1

R2 4 6 4 1

R3 8 6 7 6

R4 2 4 4 4

R5 6 10 9 4

0. Prilagodba tabele

k) uvođ enjem dopunske kolone/reda formirati kvadratnu matricu

1. u svakoj koloni se od svih polja oduzima vrijednost najveć eg polja u koloni

2. vrijednosti svih polja se množe s – 1

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4 S5

R1 3 4 4 5 0

R2 4 4 5 5 0

R3 0 4 2 0 0

R4 6 6 5 2 0

R5 2 0 0 2 0

3. Kako je: F max = C X = F min = – C X provodi se postupak minimalizacije (8.10.3

– P-8.8)




StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4 S5

R1 3 4 4 5 0

R2 4 4 5 5 0R3 0 4 2 0 0

R4 6 6 5 2 0

R5 2 0 0 2 0

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4 S5

R1 1 2 2 3 0

R2 2 2 3 3 0

R3 0 4 2 0 2

R4 4 4 3 0 0

R5 2 0 0 2 2

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4 S5

R1 0 1 1 2 0

R2 1 1 2 2 0

R3 0 4 2 0 3

R4 4 4 3 0 1

R5 2 0 0 2 3

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4 S5

R1 0 0 0 2 0

R2 1 0 1 2 0

R3 0 3 1 0 3

R4 4 3 2 0 1

R5 3 0 0 3 4

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4 S5

R1 0 0 0 2 0

R2 1 0 1 2 0

R3 0 3 1 0 3

R4 4 3 2 0 1

R5 3 0 0 3 4

Dobivena su dva moguća optimalna rješenja – broj zavisnih nula = broju poslo-

va. U prvom rješenju će tim biti formiran od radnika R2, R3, R4 i R5 (radnik

R1 otpada jer je raspoređ en na fiktivno radno mjesto), a u drugom od radnika

R1, R3, R4 i R5 (radnik R2 otpada jer je raspoređ en na fiktivno radno mjesto).

Optimalno rješenje o izboru radnika R1 ili R2 u tim mora biti donesena na te-

melju dodatnih kriterija. Međutim, iz rješenja se zapaža kako će o izboru radnika

R1 ili R2 ovisiti i raspored radnika R5 na stroj S3 ili S2.

Za prvo moguće optimalno rješenje je:

X = (x15 , x22 , x31 , x44 , x53 ) = (1, 1, 1, 1, 1, 0)F = c15Dx15 + c22Dx22 + c31Dx31 + c44Dx44 + c53Dx53 =




0D1 + 6D1 + 8D1 + 4D1 + 9D1 = 27 kom

a za drugo:

X = (x13 , x25 , x31 , x44 , x52 ) = (1, 1, 1, 1, 1, 0)F = c13Dx13 + c25Dx25 + c31Dx31 + c44Dx44 + c52Dx52 =

5D1 + 0D1 + 8D1 + 4D1 + 10D1 = 27 kom

8.5.4 Zadaci – MR

Z-8.10 Pet radnika treba obaviti pet poslova. Svaki radnik je osposobljen za obav-

ljanje svih poslova, ali pri tome radnici utroše različita vremena, navedena u

poljima tabele (u satima), za obavljanje istih/različitih poslova. U aktualnom

vremenskom razdoblju jedan radnik može biti angažiran samo na jednom od

poslova. Odrediti optimalnu proizvodnju.Poslovi

RadniciP1 P2 P3 P4 P5

R1 3 21 12 6 10

R2 8 23 2 5 5

R3 33 14 13 10 7

R4 14 21 19 11 11

R5 9 16 10 15 13

Rješenje:

X = (x11 , x23 , x35 , x44 , x52 ) = (1, 1, 1, 1, 1)

F = 39 h

Z-8.11 Od raspoloživih pet radnika treba odabrati tim za rad na četiri dobavljena

stroja. Broj komada koji su izradili radnici tijekom testiranja na dobavljenim

strojevima je dat u tabeli. Odabrati optimalni tim.

StrojeviRadnici

S1 S2 S3 S4

R1 5 6 5 1

R2 4 6 4 1

R3 8 6 7 6

R4 2 4 4 4

R5 6 10 9 4

Rješenje:

(a) X = (x15 , x22 , x31 , x44 , x53 ) = (1, 1, 1, 1, 1, 0) F = 27 kom

(b) X = (x13 , x25 , x31 , x44 , x52 ) = (1, 1, 1, 1, 1, 0) F = 27 kom

08 Linearno programiranje

Documents

Transcript of 08 Linearno programiranje