05 Tema05 MS Elasticidad Lineal v5

Mecánica de Sólidos

Francisco Javier Montáns

5. Elasticidad lineal(la mayor parte, repaso)

“At the end of the year 1820 the fruit of all theingenuity expended on elastic problems might besummed up as – an inadequate theory of flexure, an erroneous theory of torsion, an unprovedtheory of the vibrations of bars and plates, and the definition of Young’s modulus” Augustus Edward Hough Love (1863-1940) en 1927

Augustin Louis Cauchy 1789‐1857


INDICE

1. El problema de contorno: ecuación de comportamiento2. Ecuación de comportamiento de la elasticidad lineal3. Ecuación de comportamiento de la termo‐elasticidad lineal4. Analogía de Duhamel‐Neumann5. El problema de contorno: métodos de resolución6. Planteamiento del problema de contorno por potenciales7. Principios de superposición y de unicidad de la solución elástico‐

lineal8. Elasticidad bidimensional: deformación y tensión plana9. Elasticidad bidimensional: ecuaciones unificadas10. Elasticidad bidimensional: ecuaciones en coordenadas polares11. Resolución del problema por potenciales12. Ecuaciones de comportamiento en elasticidad lineal anisótropa:

Módulos de elasticidad aparentes. Coeficientes de Lekhnitskii y de Chentov

Elasticidad lineal 2


EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA

• El problema de contorno





• El problema de contorno: planteamiento

Caso estático:



• Motivaciones 1D– El comportamiento real es general y difícil de interpretar al incluir multitud de

variables de carácter tensorial. Con frecuencia no existen ni siquiera suficientes ensayos experimentales que caractericen adecuadamente el material. Por ello:

• Se crean “modelos” basados en observaciones experimentales, generalmente unidimensionales, generalizándolos a 3D (generalizaciones no obvias) de forma que, al menos, se reproduzcan los ensayos existentes de manera satisfactoria (es decir, como mejor se pueda)

• Se desprecian aquellas variables que en un problema o material determinado no influyen (o se cree que no influyen) de manera relevante en el comportamiento observado (¡hace falta experiencia y entendimiento físico!)

Ecuación constitutiva general

Forma alternativa de ecuación constitutiva general




• Modelos de ecuación de comportamiento o constitutiva (“constitutive equation”)

Ecuación constitutiva general

Ecuación constitutiva de un fluido

Ecuación constitutiva de un sólido elástico

Ecuación constitutiva de un sólido termoelástico

Ecuación constitutiva de un sólido viscoelástico

Ecuación constitutiva de un sólido elastoplástico

Ecuación constitutiva de un sólido termo‐elastoplástico

Ecuación constitutiva de un sólido viscoplástico

Structural engineering is the art of modelling materials we do not wholly understand into shapes we cannot precisely analyse so as to withstand forces we cannot properly assess in such a way that the public at large has no reason to suspect the extent of our ignorance.A. R. Dykes in the 1946 Chairman’s Address to the Scottish Branch of the IStructE




• Ejemplos

(Hiper‐)Elasticidad Viscoelasticidad Plasticidad

Daño Viscoplasticidad

Elasticidad

Lineal



ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL

• Comportamiento en elasticidad lineal (repaso)– Ley de Hooke uniaxial

– Ley de Hooke tridimensional


S S

E= módulo de Young, = coef. Poisson



• Ejercicio:– Escribir la representación matricial de los tensores ,

donde

Comportamiento en elasticidad lineal isótropa (repaso)

Deberes: hacerlo en pseudovectorial

Solución (Voigt):




• Formas alternativas (descomposición en parte volumétrica y desviadora)

Tensor de flexibilidades elásticas isótropo




• Ecuaciones en notación de Voigt

36 ‐> 21 const.Hiperelasticidad (sólidos de Green)Tensor de constantes elásticas o de rigidez

Simetrías mayores y menores




• Ecuaciones en notación pseudovectorial




• Relación entre las constantes elásticas isótropo‐lineales más habituales



ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN TERMO‐ELASTICIDAD LINEAL

• Ecuaciones de termoelasticidad lineal– Descomposición aditiva de deformaciones

– Descomposición de tensiones (desarrollo en serie)

Isotropía elástica:

(Conocidas las tensiones)

(Conocidas las deformaciones)

Pueden interpretarse como tensiones iniciales debidas a la temperatura

Pueden interpretarse como deformaciones iniciales



ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN TERMO‐ELASTICIDAD LINEAL

– Identificación de constantes (ensayo uniaxial en eje x)

Por comparación



ANALOGÍA DE DUHAMEL‐NEUMANN

• Descomposición del problema termomecánico

– Tensiones “mecánicas”– Superposición térmica (ver diapositivas anteriores)– Ecuación de equilibrio

– Fuerzas de volumen equivalentes:

– Fuerzas de contorno equivalentes:

– Problema de contorno resultante: ver siguiente diapositiva


con

deberes

con


EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

• El problema de contorno elástico‐lineal isótropo

• El problema de contorno termoelástico‐lineal isótropo


Igual Sistema de EDPs



• Métodos de resolución

– Métodos analíticos: resuelven problemas fundamentales, importantes, de forma exacta, pero para geometrías y cargas sencillas. Normalmente problemas lineales. Poco habitual actualmente en la práctica ingenieril. Las soluciones más importantes están en los manuales. El más usado es el de funciones de Airy.

– Métodos numéricos: muy generales, se resuelve cualquier geometría y cargas, cualquier comportamiento (lineal o no‐lineal), aproximados pero con errores numéricos despreciables. El mas usado es el Método de los Elementos Finitos. Extensivamente usado en las ingenierías.


El adecuado depende de las condiciones de contorno



• Ejemplo por integración directa– Calcular las tensiones y deformaciones de un depósito esférico de pared gruesa y

comparar la solución con la obtenida por la teoría de Resistencia de Materiales (pared delgada)


Solución:

Resistencia de Materiales:

Teoría de la elasticidad:

• Fuerzas de volumen: se desprecian frente a las demás




• Ejemplo por integración directa (cont)

• Hipótesis sobre la forma de la solución (i.e. método semi‐inverso)

• Fuerzas de volumen: se desprecian frente a las demás• Condiciones de contorno: Sólo condiciones cont. de Neumann





• Ecuaciones de compatibilidad sobre deformaciones no nulas (en coordenadas cilíndricas por geometría del problema):

Deformaciones nula por geometría del problema





• Ecuaciones de comportamiento

• Ecuaciones de equilibrio (en coordenadas cilíndricas por geometría del problema). La única que no se cumple idénticamente es la radial:

• Ecuación de campo Sustituyendo las tensiones en la ecuación de equilibrio se obtiene la ecuación de campo (en este caso también recibe el nombre de ecuación de Navier)

E.D. ordinaria tipo Euler





• Resolución de la EDO

E.D. coef. ctes

Condiciones de contorno

Ecuación de comportamiento





• Imposición de las c.c. en la solución

Deberes: verificar que converge a la solución de R.M. cuando conDeberes: Calcular los valores extremos de la tensión circunferencial

(*)

(*)




• Solución de un problema usando la de otro similarOclusión en un medio infinito bajo presión

Efecto concentrador de tensiones de una oclusión:


PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES

• Ecuaciones de Navier: planteamiento del problema en desplazamientos


como

Forma alternativa:

Problema de contorno:

Equilibrio



• Ejercicio: Obtener las ecuaciones de Navier para el caso incompresible


Solución:

Para el caso incompresible la presión no viene determinada por la ecuación de comportamiento, sino directamente por equilibrio (ojo criterio de signos de la presión)

Forma alternativa (deberes)



• Ecuaciones de Beltrami‐Michell: planteamiento del problema en tensiones


Tomando el gradiente de la ecuación de Navier

Traspuesta

Sumándolas

Usando compatibilidad cinemática y

Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones

Ec. comportamiento



• Ecuaciones de Beltrami‐Michell (cont)


Usando

Extrayendo la traza

Ecuaciones de compatibilidad en tensiones (Ec. Michell)

Caso habitual:

Ecuaciones de Beltrami



• Ecuaciones de Beltrami‐Michell (cont)


Compatibilidad en tensiones

Equilibrio en tensiones

Fáciles de cumplir

Difíciles de cumplir

Problema de contorno en tensiones


SUPERPOSICIÓN Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ELÁSTICA LINEAL

• Principio de superposición


Linealidad:Deberes: demostrar que

lineallineallineal

Solución lineal



• Principio de superposición: demostración usando la ec. De Navier


+

=



• Principio de unicidad


Demostración: por superposición, tomando como estado de referencia todo nulo (cargas y desplazamientos)

+

Si u y u’ son distintas, el estado de referencia no es único

Estado de referencia, no necesariamente nulo. Se calcula todo relativo a dicho estado de referencia


ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL

• Elasticidad bidimensional: Una gran parte de problemas se pueden resolver, al menos de forma aproximada en el plano. En estos casos, si se resuelve el problema analíticamente, el número de ecuaciones a resolver se reduce considerablemente (así como su dificultad), y si se va a resolver numéricamente, el coste computacional se reduce en un orden de magnitud. Existen dos casos:

Deformación plana (y axisimétrico) y Tensión plana.


Se desacoplan los análisis en el plano XY y en la dirección Z, despreciándose él cambio en Z


ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA

• Deformación plana:

– Hipótesis, deformaciones

– Ecuaciones de comportamiento, tensiones

– Equilibrio




• Deformación plana (cont)– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés


(las tensiones en z no son nulas y se deben calcular)



• Deformación plana (cont)– Ecuaciones de Navier en el plano de interés: No cambian

– Ecuaciones de Beltrami (compatibilidad en tensiones) en el plano de interés


Ecuación de compatibilidad no nula

± ± (sumando y restando y agrupando términos)

(Deberes)



• Deformación plana (cont)– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés



ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA

• Tensión plana:– Hipótesis


Aprox.

En el contorno, por tanto



• Tensión plana (cont)– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés


sumando

sumando

sustituyendo

Comportamiento 3D:

(inmediato porque )



• Tensión plana (cont)– Ecuaciones de Navier en el plano de interés: deberes

– Ecuaciones de Beltrami (compatibilidad en tensiones) en el plano de interés


Ecuación de compatibilidad en el plano

Ecuaciones de compatibilidad fuera del plano, sólo se cumplen si

Normalmente no se cumplirán (salvo en distribuciones lineales de tensiones), pero se despreciará su incumplimiento (espesores pequeños), por lo que la tensión plana es una hipótesis aproximada (a diferencia de la def. plana)



• Tensión plana (cont)– Ecuaciones de Beltrami (cont)


En tensión plana (deberes):


ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: ECUACIONES UNIFICADAS

• Ecuaciones unificadas: La tensión y la deformación plana se pueden unificar en un único juego de ecuaciones en las que las constantes del material adoptan valores ficticios o equivalentes. Ello permite que, conocida la solución de un problema en tensión plana, se conozca el de uno de deformación plana equivalente y vice‐versa. La conversión es (deberes: verificarla con las ecuaciones anteriores)

– Parámetro elástico de equivalencia:



ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: ECUACIONES EN POLARES

• Ecuaciones en polares: Las ecuaciones pueden ser expresadas en coordenadas polares. La demostración se puede encontrar en cualquier libro de Elasticidad o realizar mediante la transformación de operadores diferenciales.

– Equilibrio

– Cinemáticas

– Compatibilidad

– Comportamiento

– Compatibilidad en tensiones (Beltrami)


Caso habitual:


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR POTENCIALES: EJEMPLOS

• Resolución del problema de contorno usando potenciales de tensiones: Funciones de Airy.

– Potencial de Airy

– Equilibrio

– Compatibilidad en tensiones (Beltrami)


¡Se cumple automáticamente!

Caso habitual =0

Compatibilidad en tensiones: Condición de biarmonicidad



• Ejemplos de funciones de Airy.– Problemas en cartesianas con condiciones de contorno polinómicas o asimilables

– Problemas en cartesianas con c. de c. armónicas y arbitrarias


No dan lugar a tensiones (se obvian)

Siempre cumplen

La ecuación proporciona relaciones que deben cumplir las constantes para que la solución sea compatible

Deberes



• Ejemplos de funciones de Airy (cont)– Problemas en coordenadas polares

• Caso 1 – Problemas con simetría radial:

• Caso 2 – Problemas axisimétricos:


Deberes: demostrar que cumplen equilibrio‐>



• Ejemplos de funciones de Airy (cont)• Caso 2 (cont)

• Caso 3:




• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso– Calcular el campo de tensiones, de deformaciones

y de desplazamientos. Comparar con la teoría deResistencia de Materiales


Solución:

Compatibilidad:

Cond. contorno:

Función de Airy:

(simetría)

(antisimetría)



• Ejercicio: Viga biapoyada bajo su propio peso (cont)


(simetría)

Condición de biarmonicidad (compatibilidad)

Tensiones

Cond.contorno





Cond.contorno (cont)

Momento de inercia geométrico

Tensiones





Deformaciones

Desplazamientos

=





Condiciones de contorno:

Linea neutra:

Deberes: Mediante la teoría de Reistencia de Materiales verificar que sale la parte correspondiente



• Ejercicio: Tensiones en una tubería de pared gruesa‐ por integración directa– Solución de Resistencia de Materiales

– Condiciones de contorno en polares

– Hipótesis sobre la forma de la solución:

– Compatibilidad:

– Comportamiento


(



• Ejercicio (cont)– Equilibrio:

– Desplazamientos:

– Tensiones:

– Condiciones de contorno impuestas sobre las tensiones:


(

Usando:

Cambio de variable (deberes)

(*)

(*)



• Ejercicio (cont)– Desplazamientos (solución):

– Deformaciones (solución):

– Tensiones (solución, deformación plana):


2

2

asíntota

Deberes: verificar que cuando → se obtiene la solución de R.M.

Desplazamientos deformaciones tensiones



• Ejercicio: Tensiones en una tubería de pared gruesa‐ por Airy– Solución de Airy para funciones

• Tensiones

• Deformaciones




• Ejercicio (cont)

• Desplazamientos:

• Condiciones de contorno:


con

Deberes: sustituir y verificar que se obtiene la misma solución que por integración directa

Tensiones deformaciones desplazamientos



• Ejercicio: Tensiones en una placa con un taladro circular


SS 2a

2b>>2a

Estado I ya resuelto Estado II a resolver



• Ejercicio (cont)– Función de Airy para el estado II

– Tensiones estado II

– Cond. de contorno


SS

2b>>2a



• Ejercicio (cont)– Solución tras superponer ambos estados


SS

2b>>2a

3S S

(-)S



• Ejercicios pizarra: – Laja rectangular con cargas en los bordes– Tubería de pared gruesa sometida a presión– Placa con agujero– Problema de Williams



EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA

• Ecuaciones generales en notación de Voigt

sym

sym

• Deberes: expresar las ecuaciones en notación pseudovectorial




• Cambio de sistema de representación

Nuevo sistema X’ Viejo sistema X

Matriz de cambio de base del X al X’(la representación matricial de la operación no es obvia)

• Deberes: Demostrar que el cambio de sistema de representación se puede expresar como

• Deberes: expresar la matriz de cambio de base en notación pseudovectorial, verificando que en este caso es la misma para tensiones y deformaciones



Anisotropía• Deberes: Demostrar que el cambio de sistema de representación se puede expresar como

En el caso de deformaciones el 2 está en la caja

donde

tal que

• Deberes: Demostrar que en el caso isótropo, el cambio de base no afecta a la representación matricial de la ecuación constitutiva (es invariante)





Anisotropía• Significado físico de los coeficientes

Comportamiento uniaxial

Comportamiento a cortante

Acoplamiento a tracción entre direcciones (efecto Poisson)

Acoplamiento entre extensión y cortante

Acoplamiento cortante‐cortante

Sym




Anisotropía

• Significado físico de los coeficientes




Tipos de anisotropía

• Materiales monoclínicos: tienen un plano de simetría en el comportamiento (p.e. Z)

13 constantes independientes

Deben ser cero para que exista esa simetría, ya que la deformación o tensión no sería simétrica




• Materiales ortótropos: tienen dos (es decir, tres) planos de simetría ortogonales en el comportamiento (p.e. X,Y,Z)

9 constantes independientes(materiales compuestos)

Deben ser cero para que exista esa simetría, ya que la deformación o tensión no sería simétrica




Interpretación de los coeficientes que producen deformaciones simétricas y no simétricas




Tipos de anisotropía

• Materiales transversalmente isótropos: tienen un plano de comportamiento isótropo (p.e. Z), caso particular de ortotropía

5 constantes independientes(materiales compuestos de una fibra)

Deben ser iguales para ser isótropo en el plano




• Materiales isótropos: tienen los tres planos de comportamiento isótropo

2 constantes independientes(hipótesis mas habitual)

Deberes: Hacer un cambio a 45º de un ensayo uniaxial y demostar que para obtener comportamiento isótropo el término a cortante debe ser




Ortotropía• Determinación de los coeficientes de flexibilidad en ortotropía

Dirección de la carga uniaxial

Por simetría:

Ensayos uniaxiales en direcciones 1 y 2:




Ortotropía• Determinación de los coeficientes de rigidez en ortotropía

Restricciones en las constantes:(energía elástica siempre positiva)

Usando las ecuac. anteriores




Ortotropía en tensión plana• Tensión plana (chapas de metal, materiales compuestos laminados, etc)




Ortotropía en tensión plana

• Cambio de sistema de representación: anisotropía aparente




• Cambio de sistema de representación: Constantes aparentes

Coeficientes de acoplamiento de Lekhnitskii(anisotropía aparente /ortotropía “general”)

Constantes aparentes

(más fáciles de medir: ensayo a tracción)




• Cambio de sistema de representación: Constantes aparentes


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