이산수학Discrete Mathematics

인천대학교 컴퓨터공학과

공학시인 이숙 이철호 교수

이산수학 기본 구조

혜산 백두진의 하늘하 늘

하늘이 내게로 온다

여릿여릿

머얼리서 온다

하늘은, 머얼리서 오는 하늘은

호수처럼 푸르다

호수처럼 푸른 하늘에

내가 안긴다 온몸이 안긴다

2

가슴으로, 가슴으로스미어드는 하늘향기로운 하늘의 호흡

따가운 볕,초가을 햇빛으로목을 씻고.

나는 하늘을 마신다.자꾸 목말라 마신다.

마시는 하늘에내가 익는다능금처럼 마음이 익는다.

지난 주에 …• 무거운 공 찾기???원래 문제)

크기가 같은 공이 9개가 있다.

8개는 무게가 같고, 9개 중 하나는 조금 더 무겁다.

천칭(Balance)를 2번 사용하여, 무거운 공 하나를 찾는 방법은 ?

1) 9개의 공을 3개씩 3 그룹으로 만들어, 1그룹과 2그룹에 대해 무게를 비교

2) 1)에서 1그룹과 2그룹의 무게가 같으면 => 3그룹에 무거운 공이 있음

1그룹이 무거우면 1그룹, 2그룹이 무거우면 2 그룹에 무거운 공이 있음

3) 2)에서 무거운 공이 있을 거라고 예측되는 그룹에 대하여

1 개를 남겨놓고 1:1로 비교

4) 3)에서 무거운 것이 있으면 그것,

3) 결과가 동일한 무게이면 남아 있는 나머지 하나가 무거운 공

31 그룹 2 그룹 3 그룹

오늘의 강의 목표

• 이산수학의 기본 구조• 집합

• 함수

• 수열

• 행렬

4

집합의 개요

• 원소 나열법

• 조건 제시법

• 벤 다이어그램

• 공집합, 부분집합, 진부분집합, 멱집합, 순서쌍

5

집합

• 집합의 정의• 수학적 성질을 가지는 객체들(objects)의 모임• 자세하고 정확하게 정의되어야 함• 어떤 객체가 그 집합에 속했는지 아닌지를 분명히 구분할 수

있어야 함• 집합(set)이란 순서를 고려하지 않고, 중복을 고려하지 않는 객체

(object)들의 모임• 집합의 표시 : 알파벳 대문자 A, B, C, , Z

집합의 원소 : 알파벳 소문자 a, b, c, ..., z

• a S : a가 집합 S의 원소임a S : a가 집합 S의 원소가 아님

6

수의 집합

• N = {0, 1, 2, 3, …} 자연수(natural)의 집합: 순서, 갯수

• Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 정수(integer)의 집합

• Z+ = {1, 2, 3, …} 양의 정수의 집합 : 정수론: -, + 전체 수(음의 정수, 양의 정수, 0)

• Q = {p/q | p∈Z, q∈Z, q≠0} 유리수(rational)의 집합> 두 정수의 비율로 나타나는 수 : 분수로 나타낼 수 있는 수(유한소수, 순환소수 포함)

> 무리수 : 분수로 나타낼 수 없는 소수 이하가 무한이 불규칙적으로 나타나는 수

• R : 실수(real)의 집합

• R + : 양의 실수의 집합

• C : 복소수(complex)의 집합

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집합의 표현• 원소 나열법(roster method)

• V = {a, e, i, o, u} |V| = 5

• O = {1, 3, 5, 7, 9} |O| = 5

• Day = (Sun, Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat}

• X = {1, 2, 3, …, 99}

• 조건 제시법(set builder notation)• O = {x | x는 10보다 작은 양의 홀수 정수}

• O = {x∈Z+ | x는 홀수, and x < 10}

• S = {x | p(x)}

• S ＝ {x | x는 자연수이고, 1≤x≤5}

• 카디날리티(cardinality)

• 집합 S 내에 서로 다른 원소의 개수

• |S|로 표기8

벤 다이어그램(Venn Diagram)• 집합을 그림으로 표현

• 전체 집합 U는 외부 사각형으로 표현

• 주어진 집합 : 사각형 안의 원으로 표현

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(a)A⊆B

(b) 집합 A와 집합 B에 공통된 원소가 있을 때

(c) 집합 A와 집합 B에 공통된 원소가 없을 때

전체집합, 공집합

◦ 전체 집합 (universal set) 모든 원소의 집합 U로 표기

◦ 공집합 (empty set) 어떤 원소도 갖지 않는 집합 또는 { }로 표기

10

부분집합, 진부분집합

부분 집합 (subset)두 집합 A, B에서 집합 A의모든 원소가 집합 B 의 원소이면 ,“집합 A는 집합 B에 포함된다”A B로 표기집합 A는 집합 B의 부분 집합이라함집합 A가 집합 B의 부분 집합이 아니면,A ⊈ B로 표기

진부분 집합 (proper subset)A B 이고 A B 인 경우A를 B의 진부분 집합, AB 로 표기A가 B의 진부분 집합이 아니면,A B 로 표기한다

11A B

부분 집합

진부분 집합

상등 집합A = B

동일 집합, 여집합

동일 집합 (equal sets)-(상등 집합)집합 A, B 가 같을 때 : 동일 집합A = BA B B A집 합 A와 B가 동일하지 않으면A B 로 표기 여집합 (complement) 집합 A의 여집합은 전체 집합 U에 속하나A에 속하지 않는 원소들의 집합AA = {x | xU, x A }

12

멱집합, 순서쌍

• 멱집합(power set)• 집합 S의 모든 부분 집합의 집합

• S 집합의 멱집합 : P(S)

• P({0,1,2})={∅,{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2}}

• 데카르트의 곱 또는 카티시안 곱(Cartesian product)

• 순서쌍(ordered pairs)집합 원소에 순서가 있는 집합에서

두 집합의 해당 위치가 일치할 때

• A = (a, b) B=(c, d) 두 집합에서 A=B이면

• a=c, b=d

13

}|),{( BbAabaBA

집합 연산

• 합집합

• 교집합, 서로소

• 차집합

• 여집합

• 집합의 항등

14

집합 연산합집합(union) : A∪B

• 집합 A, 집합 B에 속하는 모든 원소의 집합

• A B = { A B}

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A∪B

합집합(union) 

집합 연산교집합, 서로소

• 교집합(intersection) : A∩B• 두 집합 A, B에서 집합 A,

집합 B에 속하는 모든 원소

• 서로 소(disjoint) : A ∩ B = • 집합 A, B가 공통 원소가

하나도 없는 경우• A ∩ B = A, B는 서로 소

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A∩B

A ∩ B =

집합 연산차집합(difference) : A-B

두 집합 A, B에 대하여,

A-B는 집합 A에는 속하고,

집합 B에는 속하지 않는 원소들의 집합

17

A ‐ B

집합 연산대칭 차집합

대칭 차집합(symmetric difference):A B

집합 A, B에 대하여

A ∪ B의 원소 중에서

A ∩ B에 속하지 않는 모든 원소들의 집합

18

A B

집합 연산여집합, 동일 집합

여집합(complement)

집합 A의 여집합 : U-A = A

집합 A의 여집합은 전체 집합 U에 속하나

A에 속하지 않는 원소들의 집합A = {x | xU, x A }

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동일 집합 (equal sets) – (상등 집합)집합 A, B가 동일 한 집합 일 때, A = B로 표기A   B  B   A집합 A와 B가 동일하지 않으면A   B 로 표기

집합 연산 – page 150

20

멱등 법칙

지배 법칙

항등 법칙

보원 법칙

교환 법칙

결합 법칙

분배 법칙

드 모르간 법칙

흡수 법칙

보수 법칙

함수• 사상(mapping)

변환(transformation)

• 단사함수(injunction)

• 전사함수(surjection)

• 단전사함수

• 바닥함수

• 천정함수

• 계승함수

21

함수(function)

• 함수 f를 사상(mapping)이라고 하면

‘f는 X에서 Y로 사상한다’라고 표현

• f : X → Y를 함수라 할 때

f(x) = y라 표시하면,

y를 함수 f에 의한 x의 상(image) 또는 함수 값이라 함

• 함수 f의 정의역(domain) : Dom(f)라 표시함

• 함수 f의 치역(range) : Ran(f)라고 표시함

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함수 f는 X의 원소 각각에 대해서Y의 원소를 단 하나만 대응시킴

함수의 정의역, 공변역, 치역

f : X -> Y

• 정의역(domain) : Dom(f) = X

• 공변역(codomain) : Y

• 치역(range) : Ran(f)

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함수의 정의역, 공변역, 치역

두 함수 f와 g가 같은 정의역과 공변역을 가지는 경우

즉 정의역에 있는 모든 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)가 성립하면

함수 f와 g는 서로 같다(equal)라고 하고

f =g로 표기함

24

f =gf 함수

g 함수

단사 함수(injective function)정의역 A의 모든 원소들이 공변역 B의 서로 다른 원소와 대응

일대일 함수(one-to-one function)ai , aj ∈ A에 대하여 ai aj 이면

f(ai) f(aj)이 성립

단사 함수에서 함수의 치역은 공변역의 부분 집합

f : A → B에서 Ran (f) ⊆ B

25

1대 1 함수(one-to-one function)f : A B에서 Ran(f) B

|A| |B|

전사 함수(surjection function)• 공변역 B의 모든 원소가 정의역에 대응

• 공변역 자체가 바로 치역이 된다는 의미

• Ran(f) = B

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Ran(f) = B|A| |B|

전사 함수(onto function)

전단사 함수(bijection function)

집합 A의 모든 원소들이

집합 B의 모든 원소와 하나씩 대응

27

1 대 1 대응 함수(one-to-one correspondence)

|A| = |B|

단사, 전사, 전단사 함수

28

합성 함수(composition function)두 함수 f 와 g 의 합성함수 g f는

A의 모든 원소 a 에 대하여

29

함수 f, g 와 합성 함수 g f 에 대한 관계

30

합성 함수(composition function)

바닥 함수, 천정 함수

• 바닥 함수(floor function)

실수 x에 대하여, x 보다 작은 수 중 x에 가장

가까운 정수

(내림 함수)

• 천정 함수(ceiling function)

실수 x에 대하여, x 와 같거나 큰 수 중에서

X에 가장 가까운 정수

(올림 함수)

31

xy :floor

xy :ceiling

계승 함수(factorial function)F : N -> Z+

f(n) = n!

: 1부터 n까지 양의 정수의 곱

f(0) = 0! = 1

f(1) = 1! = 1

f(2) = 2! = 1 x 2 = 2

f(3) = 3! = 1 x 2 x 3 = 6

f(6) = 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

32

factorial

수열

• 등비수열, 등차수열

• 점화관계

• 피보나치 수열, 루카스 수열

• 수열의 합

33

수열(progression)

정수 집합의 부분 집합

순서 있는 리스트

• 등비 수열(geometric progression)

지수 함수 f(x) = arn의 이산적 형태

• 등차 수열(arithmetic progression)

선형 함수 f(x) = dx + a 의 이산적 형태34

문자열(string)

• 유한 수열

• 문자열 길이(length)

• 공 문자열(empty string)

35

점화 관계와 피보나치 수열

• 선행하는 항들로부터 다음 항을 구하기 위한 규칙

점화 관계 재규적 정의

• 피보나치 수열(Fibonacci sequence)f0, f1, f2 …, 은 n = 2, 3, 4, … 일 때,

초기 조건 : f0 = 0, f1 = 1

점화 관계 : fn = fn-1 + fn-2

f0 = 0, f1=1

f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1

f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2

f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3

f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5

f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8 36

점화 관계와 수열

• 초기 조건 : F0=0, F1=1

• 점화 관계 : Fn =F(n-1)+F(n-2)

n = 2, 3, 4, …

• 피보나치 수열 : (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

• 루카스 수열(Lucas sequence) : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29

37

레오나르도 피보나치로 토끼 수의 증가에 대해서 이야기

초기 조건 : L1=1, L2=3 점화 관계 : Ln = Ln‐1 + Ln‐2

수열의 합

표기법 :

수열의 항 :

수열의 분배법칙

38

njm j

n

mj

n

mj jj aaa or , ,

nmm aaa ...1

n

j jn

j jn

j jj ybxabyax111

)(

page 191 수열의 합 공식

수열의 합

page 191 예제 23

의 값은 ?

39

100

50

2

kk

page 191 표 2에서

행렬(matrix)

• 행렬 산술

• 전치행렬

• 0-1 행렬

40

행렬 : 수의 사각형 배열

m개의 행과 n개 열의 행렬m x n 행렬

선형방정식의 풀이에 이용

행렬

aij : 행렬의 ij항, ij 성분

aij는 위로부터 i번째 행, j번째 열의 항 값

41

제1행

제2열

행렬의 크기

42

행렬의 덧셈

43

A 행렬과 B 합은

각 항들을 각각 더한 결과의 행렬

행렬의 곱 연산

A=[aij]가 m x n 행렬, B=[bij]가 n x p 크기 행렬

A와 B 행렬의 곱

A[mn] x B[np] = C = [cij], m x p 행렬로 구성

** A 행렬의 열과 B 행렬의 행이 같은 수여야

C(i,j) = A(i)행 x B(j) 열

44행렬 곱의 크기

전치 행렬과 대칭 행렬

A의 전치 행렬은 A 행렬의 행과 열을 교환하여 만듬

A = [aij] 의 전치 행렬 B [bji]

45

1    2    34    5    6

1    42    53 6

의 전치 행렬은

1 1    01    0    10    1    1

대칭 행렬

대각 행렬, 단위 행렬, 영 행렬

46

영 행렬(zero matrix)

대각 행렬(diagonal matrix)

단위 행렬/항등 행렬(identity matrix)

행렬 연산 법칙

47

생각하는 시간

48

어떤 회사에 근무하는 60명의 직원에게 해외 여행 경험을 물었다.

유럽 여행을 가본 사람은 35명,

동남아 여행을 가본 사람은 28명이었다.

해외여행을 한 번도 가본 적이 없는 사람은 5명이었다.

동남아 여행은 가봤지만 유럽 여행을 가본 적이없는 사람은 몇 명일까?

힌트 : 벤 다이어그램을 활용

동남아여행경험자

유럽여행경험자

5명

전체 60명