Royal Octavo - Harriman House · Title: Royal Octavo Created Date: 2/28/2013 8:43:51 AM
02 - Octavo 2013
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Estimados profesores:
Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores
profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los
cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los NuevosProgramas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de
problemas.
Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y
el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática,
con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.
Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán
ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos
algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance
esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en
electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y
las portadas son hechas a base de material reciclado.
2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido
elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación
Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática -
enfoque con base en la resolución de problemas-.3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita
el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en
III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición
en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.
4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.
5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago
correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo
Fénix.6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a
partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar
San José, 21 Enero 2013D.P.V. - 105
Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!
Grupo Fénix EDITORIAL
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D E T R
A N S I C I Ó N
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8 UN ENFOQUE CON BASE
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MATEMÁTICA
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512.8F543ns2 Grupo Fénix
Matemática 8; Un Enfoque con base en laResolución de Problemas-4. Ed.- San José, C.R.: Grupo Fénix., 2013. 172p.
ISBN: 9876-15-574-01. Matemáticas – Estudio y Enseñanza.2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc.
Copyright 2013
Grupo Fénix
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del Grupo Fénix.
Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 ó 8855-1678
Correo electrónico: [email protected]
Diseño y armado
Grupo Fénix
Diseño de portada
Grupo Fénix
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INTRODUCCIÓN
Primero, es conveniente hacer una breve aclaración sobre nuestro nombre y símbolo (Ave Fénix Tribal),
se tiene como referente histórico-ideológico el mito del Ave Fénix que alimentó varias doctrinas y concepciones
religiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fénix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba de
un ave fabulosa que se consumía por acción del fuego cada 500 años, para luego resurgir de sus cenizas. Es
decir, el GRUPO ÉNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, es
por esta razón que es nuestro emblema.
Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática, exponiendo de forma pragmática y didáctica todos los Conocimientos,
Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio en
Matemáticas (Transición 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemática aprobados por el
Consejo Superior de Educación el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodológico el enfoque
con base en la resolución de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.
Después de muchos años de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseñanza de la Matemática nos
propusimos elaborar una propuesta pragmática y didáctica basada en la resolución de problemas que propicie
el desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a los
docentes en servicio, es así que, agradecemos en las siguientes páginas las sugerencias, los aportes, los
comentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemática de todo el país, quienes de
una u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada año.
Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llámese
estos, Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aula
contenidos que no están en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles de
profundización de temas que no se consideran “importantes” para las habilidades generales previstas para el
educando en cada año de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichos
elementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las Indicaciones
Puntuales, nunca con el afán de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos que
tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemáticas del Ministerio de Educación de Costa
Rica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediación que el docente proponga.
Tercero, esta nueva edición 2013 contempla una situación problema al inicio de cada tema, permitiendo
al docente y al estudiante incursionar en la nueva temática partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando
aprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosófico que
consideramos eje transversal de la educación en general –los problemas son para resolverlos–
Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en las
aulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases sólidas en los principales contenidos
de esta disciplina, hemos mejorado esta versión 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios de
profundización para cada trabajo cotidiano propuesto.
El material está constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teoría, los ejemplos y los trabajos
cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo más elemental a lo más complejo, además toda la obra se
desarrolla en fichas didácticas para una mejor comprensión de los educandos.
Cuarto y último, en una investigación previa realizada por el Grupo Fénix con un grupo focal de
docentes de una Región Educativa, nos dicta que en la mayoría de los casos los estudiantes buscan primero las
respuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este último no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que en
muchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitales
antes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros libros
ofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrónico para que
las utilice según considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para el
docente de matemática, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombros
cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jóvenes estudiantes que participan en sus
lecciones.
“El estudio de la matemática debe ser el comienzo del conocimiento depurado” (Los autores, 2009)
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RECONOCIMIENTOS
Sr. Adolfo Méndez CorralesProfesor de MatemáticaC.T.P. Santa Elena
Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemáticaI.E.G.B. Andrés Bello
Sr. Benjamín RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo del Pacífico
Sra. Cindy Marín S.Profesora de MatemáticaVirtual Marco Tulio Salazar
Sra. Adriana MarínProfesora de MatemáticaI.E.G.B. América Central
Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de CabecerasTilarán
Sr. Bernal LunaProfesor de MatemáticaLiceo Salvador Umaña
Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemáticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jiménezde Bolio
Sr. Alberto Rodríguez JirónProfesor de MatemáticaParrita
Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemáticaLiceo Purral de Cabeceras
Sr. Bryan Aguilar lvarezProfesor de MatemáticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito
Sr. Cristhian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez
Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemáticaSindea 28 Millas
Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz
Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemáticaC.T.P. Mansión de Nicoya
Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Chomes
Sr. Alexander LópezProfesor de MatemáticaItskatzu Educación Integral
Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemáticaC.T.P. 27 de Abril
Sr. Carlos Edo Gómez GarcíaProfesor de MatemáticaSindea Jícara
Sr. Cristian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez
Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemáticaLiceo Unesco
Sra. Andrea AriasProfesora de MatemáticaC.T.P. de Heredia
Sr. Carlos Gónzalez A.Profesor de MatemáticaLiceo de Cervantes
Sr. Cristian Chávez Z.Profesor de MatemáticaLiceo Alejandro Aguilar Machado
Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemáticaC.T.P. General de PérezZeledón
Sra. Andrea Jiménez JiménezProfesora de MatemáticaLiceo Sta. Ana
Sr. Carlos MoraProfesor de MatemáticaColegio de los Ángeles
Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemáticaLiceo El Carmen de Nandayure
Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemáticaLiceo San Diego Tres Ríos
Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemáticaLiceo León Cortez Castro
Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemáticaGreen Valley
Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemáticasLiceo Experimental Bilingüe Los
Ángeles.
Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemáticaJohn F. Kennedy High School
Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemáticaDeportivo Santo Domingo
Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeGrecia, Alajuela
Sra. Cristina Sánchez LariosProfesora de MatemáticaRincón Grande de Pavas
Sr. Alfonso Rojas
Profesor de MatemáticaColegio Sta. Gertrudis
Sra. Andreina Vásquez Rojas
Profesora de MatemáticaC.T.P. Bolívar
Sra. Carmen Quesada V.
Profesora de MatemáticaLiceo Escazú
Sr. Daniel Céspedes
Profesor de MatemáticaLiceo Coronado
Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno San PedroPérez Zeledón
Sr. Andrés CubilloProfesor de MatemáticaSan Enrique de Osso
Sra. Carmen RodríguezProfesora de MatemáticaSan Paul College
Sr. Daniel LeónProfesor de MatemáticaC.T.P. Platanales
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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemáticaLiceo San José
Sr. Ariel GómezProfesor de MatemáticaColegio Talamanca
Sra. Carolina FloresProfesora de MatemáticaSaint Benedicto
Sr. Danny Gaitán RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Francisco Amigutti
Sr. lvaro Barbosa SalasProfesor de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote
Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemáticaEsc. Internacionales Cristianas
Sra. Cecilia Pérez SalasProfesora de MatemáticaLiceo Poasito
Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemáticaLiceo Sta. Gertrudis Norte
Sr. David Alfaro VíquezProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades
Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemáticaBilingüe Naciones Unidas
Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemáticaInst. Pedagógico Caminante
Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemáticaLiceo Sinaí Diurno
Sr. David SolanoProfesor de MatemáticaEnrique Malavassi Vargas
Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemáticaColegio Telesecundaria MaríaDrake
Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemáticaInstituto Centroamericano
Adventista
Sr. Harold CamposProfesor de MatemáticaCentro Educativo CatólicoSan José
Sra. Denia RodríguezProfesora de MatemáticaBilingüe del Caribe
Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemáticaLiceo las Delicias
Sra. Gabriela ZúñigaProfesora de MatemáticaLiceo Experimental Moravia
Héctor Castro CastilloProfesor de MatemáticaColegio Marco Tulio Salazar
Sra. Denia Salas NuñesProfesora de MatemáticaColegio Patriarca San José
Sr. Erick Gómez U.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ambientalista Isaías Ret.
Arias
Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Ambientalista
Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemáticaC.T.P Platanales
Sr. Diego Gómez ChavarríaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica
Sra. Erika Ureña FallasProfesora de MatemáticaC.T.P. Pérez Zeledón San Isidro
Sr. Gerardo RamírezProfesor de MatemáticaLiceo regional de Flores
Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemáticaColegio Los Delfines
Sra. Dilsia Navarro DuránProfesora de Matemática
I.E.G.B. Limón
Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de Matemática
C.T.P. Cartagena
Sr. Gerardo Rodríguez BarriosProfesor de Matemática
Liceo Turrúcares
Sra. Mariela SolanoProfesora de Matemática
Colegio Los Delfines
Sra. Doriana Quirós AriasProfesora de MatemáticaLiceo Coronado
Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemáticaColegio Nocturno Hernán LópezHernández
Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemáticaLiceo Samuel Sáenz Flores
Sr. Helbert Jiménez ChinchillaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica
Sr. Edgar CamposProfesor de MatemáticaLiceo Diurno de Ciudad Colón
Sra. Estrella León HernándezProfesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz
Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemáticaColegio Pacto del Jocote
Sr. Hubert MongeProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Monseñor Rubén Odio
Sr. Eduardo Robles Ureña
Profesor de MatemáticaSindea Upala
Sra. Ethilma Jiménez R.
Profesora de MatemáticaInstituto Guanacaste
Sra. Gloria Badilla
Profesora de MatemáticaLiceo Sabanilla
Sra. Ileana Cascante V.
Profesora de MatemáticaLiceo Nocturno Juan Santamaría
Sr. Eduardo RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Edgar Cervantes Villalta
Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemáticaI.P.E.C. de Barva de Heredia
Sra. Grettel Guitiérrez RuizProfesora de MatemáticaLiceo Utilio Ulate Blanco
Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemáticaC.T.P Talamanca Bribri Limón
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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemáticaLiceo Sto. Domingo
Sra. Evelin Urbina GuzmánProfesora de MatemáticaLiceo San Carlos
Sra. Grettel LeónProfesora de MatemáticaColegio Nacional Virtual
Sra. Isabel VásquezProfesora de MatemáticaColegio Francis J. Orlich
Sr. Eitel Vega RodríguezProfesor de MatemáticaRedentorista San Alfonso
Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaLiceo de Sta. Ana
Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemáticaColegio Vicente Laghner
Sr. Iván Parra VenegasProfesor de MatemáticaLiceo Platanillo Barú de Quepos
Sr. Eliécer MadrigalProfesor de Matemática
Abelardo Bonilla
Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaU.P. José Rafael Araya
Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemáticaLiceo de Cot Cartago
Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca
Sr. Jeffrey lvarez PérezProfesor de MatemáticaColegio Nuevo Mundo
Sr. Jose Luis MasísProfesor de MatemáticaLiceo José Fidel Tristán
Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemáticaEscuela República de Nicaragua
Sr. Luis ngel RíosProfesor de MatemáticaC.T.P Valle de la Estrella
Sr. Jeremy Chacón CéspedesProfesor de MatemáticaColegio Talamanca Cahuita
Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemáticaColegio Cindea Lomas de
Cocorí
Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemáticaColegio Puente de Piedra
Sr. Luis CastilloProfesor de MatemáticaLiceo de Santa Ana
Sra. Jéssica GómezProfesora de MatemáticaColegio San Vicente
Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemáticaLiceo de Orosi
Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemáticaLiceo Santo Domingo
Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemáticaCorporación EducativaSagrado Corazón de Jesús
Sra. Jéssica Villalobos RojasProfesora de MatemáticaTelesecundaria el Llano
Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemáticaLiceo Mauro Fernández
Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemáticaColegio Claretiano
Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemáticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia
Sr. Jesús GutiérrezProfesor de Matemática
Liceo de Nicoya
Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de Matemática
Colegio HumanísticoCostarricense
Sra. Ligia Jiménez GómezProfesora de Matemática
C.T.P Nicoya
Sr. Luis Martínez GonzálezProfesor de Matemática
Cindea Alberto Manuel Brenes
Sr. Jesús HidalgoProfesor de MatemáticaColegio Snta Josefina
Sr. Juan Pablo Rodríguez A.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ulloa
Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos
Sr. Luis Rodríguez JhonsonProfesor de MatemáticaC.T.P Nandayure Guanacaste
Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Pérez Zeledón
Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemáticaCentro Educativo Pasos deJuventud
Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemáticaLiceo de Tucurrique
Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemáticaC.T.P Carrillo
Sr. Jonathan Rodríguez
Profesor de MatemáticaLiceo Jorge Volio
Sra. Karen Vindas Monestel
Profesora de MatemáticaColegio Cristiano Reformado
Sra. Lisbeth Allen Dailey
Profesora de MatemáticaCindea de Heredia Limón
Sr. Luis Salazar Castro
Profesor de MatemáticaLiceo Alfaro Ruiz
Sr. Jonny Fernández S.Profesor de MatemáticaLiceo Dulce Nombre
Sra. Karina BrenesProfesora de MatemáticaColegio Agropecuario deSan Carlos
Sra. Lissette FallasProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemáticaColegio Santa Marta
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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Braulio Carrillo
Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemáticaLiceo de Colorado de Abangares
Sra. Lissette UlateProfesora de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote
Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. José ngel AmpieProfesor de MatemáticaCristian Génesis School
Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Experimental Bilingüe
Augusto Briseño
Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemáticaLiceo Francisca Carrasco
Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Miramar de Puntarenas
Sr. José ngel AmpieProfesor de MatemáticaLiceo Nuevo de Hatillo
Sra. Katherine SandíProfesora de MatemáticaLiceo de Mata de Plátano
Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemáticaLiceo de Coronado
Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemáticaLiceo Técnico de Purral
Sr. José Carlos CalvoProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Monseñor Rubén Odio
Sr. Kenneth lvarezProfesor de MatemáticaLiceo de Moravia
Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemáticaLiceo Hernán Zamora Elizondo
Sr. Manuel QuirósProfesor de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo
Sr. Manuel VillegasProfesor de Matemática
Liceo de San Roque
Sra. María RojasProfesora de Matemática
Liceo Braulio Carrillo
Sr. Marvin MuñozProfesor de Matemática
Liceo La Guácima
Sr. Norberto Oviedo UProfesor de Matemática
Liceo de Heredia
Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemáticaLiceo San Nicolás
Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemáticaLiceo de San Roque
Sra. Maureen Castro MesénProfesora de MatemáticaColegio Laboratorio San José
Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemáticaU.P. José María Zeledón
Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel
Sra. Mariela JiménezProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos
Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemáticaLiceo Rincón Grande de Pavas
Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaCentro Educativo Mi Patria
Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemáticaColegio Santa Inés
Sra Marilú BallesterosProfesora de MatemáticaColegio Valle del Sol
Sra. Maureen RojasProfesora de MatemáticaLiceo de Santa Ana
Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaColegio Rodrigo Hernández
Sr. Marco SolísProfesor de MatemáticaColegio Científico y Artístico delPacífico
Sr. Mario CartachoProfesor de MatemáticaColegio Adventista Paso Canoas
Sr. Mauricio Muñoz JiménezProfesor de MatemáticaLiceo Brasilia de Upala
Sr. Omar Quesada GonzálezProfesor de MatemáticaLiceo de Poás
Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemáticaC.T.P. 27 de abril
Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemáticaLiceo La Aurora
Sr. Mauricio Peñaranda FallasProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel
Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemáticaLiceo de Pavas
Sr. Marcos ChacónProfesor de MatemáticaLiceo Bolívar de Grecia
Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaInstituto de Alajuel
Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. Oscar Marín GonzálezProfesor de MatemáticaC.T.P. Carrisal de Alajuela
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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemáticaLiceo de Sabanilla
Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaLiceo del Carmen
Sr. Michael Chávez MadrigalProfesor de MatemáticaC.T.P Cartagena Guanacaste
Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Liberia
Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo
Sra. Marjorie Navarro NúñezProfesora de MatemáticaColegio de Turrialba
Sr. Miguel ngel SánchezProfesor de MatemáticaColegio La Aurora
Sr. Oscar Reyes PeñascoProfesor de MatemáticaI.P.E.C.
Sra. María AmeliaProfesora de MatemáticaI.P.F La Pradera
Sra. Marta MataProfesora de MatemáticaColegio María Auxiliadora
Sra. Mirta BritoProfesora de MatemáticaColegio Educativo Royal
Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Siquirres
Sra. María Hernández H.Profesora de MatemáticaLiceo del Este
Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemáticaLiceo San Marcos de Tarrazú
Sra. Mónica BlancoProfesora de MatemáticaColegio Ilpal
Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio San Judes
Sra. María Mayela González G.Profesora de Matemática
Liceo Rural Coope-Silencio
Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de Matemática
C.T.P. Tronadora
Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de Matemática
Liceo de San José
Sr. Pedro MoreraProfesor de Matemática
Liceo de Atenas
Sra. María OviedoProfesora de MatemáticaColegio Castella
Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Tilarán
Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble
Sr. Rafael Arce LópezProfesor de MatemáticaC.T.P. Puntarenas
Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble
Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sra. Tania CórdobaProfesora de MatemáticaColegio San Rafael
Sr. William GuillénProfesor de MatemáticaColegio Virtual
Sr. Raúl Badilla RamírezProfesor de MatemáticaLiceo San Miguel
Sr. Samuel Arevalo VásquezProfesor de MatemáticaC.T.P. Acosta
Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemáticaLiceo de Tarrazú
Sr. Willy TorresProfesor de MatemáticaLiceo Sinaí Pérez ZeledónDiurno
Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemáticaC.T.P. Acosta
Sra. Sandra Rodríguez HerreraProfesora de MatemáticaC.T.P. Sabanilla
Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemáticaLiceo San Rafael Arriba
Sra. Xenia Parker Profesora de MatemáticaLiceo Centro Educativo
Adventista de C.R.
Sr. Ricardo Chávez SánchezProfesor de MatemáticaC.T.P. Corralillo
Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemáticaC.T.P. Cartagena Guanacaste
Sr. Víctor RetanaProfesor de MatemáticaLiceo del Sur
Sra. Xinia AcuñaProfesora de MatemáticaLiceo Purral
Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Valle la Estrella
Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemáticaColegio Virtual Alajuela
Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemáticaLiceo San Francisco de Asís
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Sr. Ricardo ZúñigaProfesor de MatemáticaInstituto de Educación Integral
Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemáticaC.T.P. Tronadora TilaránGuanacaste
Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemáticaLiceo Luis Noble Segreda
Sra. Xinia RománProfesora de MatemáticaColegio Campestre
Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemáticaColegio Madre del Divino Pastor
Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemáticaColegio Técnico Regional
Santa Cruz
Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaC.T.P. Nicoya
Sra. Yajaira Rodríguez VillegasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de Manzanillo
Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemáticaLiceo Maurilio Alvarado
Sra. Shirley González A.Profesora de MatemáticaC.T.P. Quepos
Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaLiceo de Nicoya
Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemáticaLiceo de Heredia
Sr. Román Ruiz C.Profesor de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeSanta Cruz
Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemáticaSaint Gabriel High School
Sra. Viviana SolísProfesora de MatemáticaSaint Gregory School
Sra. Yanin Gutiérrez SolísProfesora de MatemáticaColegio María Inmaculada deSan Carlos
Sr. Ronald Ríos RodríguezProfesor de Matemática
C.T.P. Cardinal de Carrillo
Sra. Silvia PaniaguaProfesora de Matemática
Formación Integral Montecarlo
Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de Matemática
INA. Orotina
Sra. Yasmín Orozco SanchoProfesora de Matemática
C.T.P. La Mansión
Sra. Rosibell Castro RodríguezProfesora de MatemáticaC.T.P. Liceo de Coronado
Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemáticaColegio San Lorenzo
Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemáticaC.T.P. Ulloa
Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemáticaLiceo Manuel Benavides
Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemáticaLiceo Mauro Fernández
Sra. Susan JiménezProfesora de MatemáticaC.T.P. Mercedes Norte
Sr. Werner JuárezProfesor de MatemáticaLiceo Anastasio
Sra. Yelba GutiérrezProfesora de MatemáticaLiceo Teodoro Picado
Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemáticaC.T.P. Humberto Melloni
Sra. Susan MoralesProfesora de MatemáticaColegio Marista Alajuela
Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemáticaSamuel Sáenz Flores
Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Regional de Flores
Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemáticaLiceo San Diego
Sra. Yendri SotoProfesora de MatemáticaUnidad Pedagógica San Diego
Sra. Yessenia RodríguezProfesora de MatemáticaLiceo el Ambientalista El Roble
Sr. Yoahan Gómez GarroProfesor de MatemáticaC.T.P. Jícara
Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemáticaUnidad PedagógicaCalderón Guardia
Sra. Yorleni GómezProfesora de MatemáticaLiceo Sucre
Sra. Yuri Lobo HernándezProfesora de MatemáticaColegio La Aurora
Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemáticaColegio Adventista Limón
Sra. Zeidy ChávezProfesora de MatemáticaLiceo Castro Madriz
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ÍNDICE
UNIDAD I: N MEROS
1. Problema para introducir los Números Racionales 12
2. Conjunto de los Números Racionales 14
3. Recta numérica y opuesto de un número racional 15
4. Problema para operaciones, cálculos y estimaciones 16
5. Adición y sustracción de números racionales 17
6. Multiplicación y división de números racionales 19
7. Potenciación con números racionales 22
8. Raíz n-ésima de un número racional 279. Problema para introducir la combinación de operaciones 28
10. Combinación de operaciones 29
11. Problemas de profundización 34
UNIDAD II: GEOMETRÍA
12. Problema para introducir el concepto de triángulos congruentes 36
13. Criterios de congruencia de triángulos 38
14. Problema para introducir el concepto de triángulos semejantes 44
15. Criterios de semejanza de triángulos 46
16. Problema para introducir el Teorema de Thales 56
17. Teorema de Thales 57
18. Teorema Fundamental de la Proporcionalidad 65
19. Teorema de la paralela media de un triángulo y su recíproco 69
20. Problemas de profundización 72
21. Problema para introducir visualización espacial 75
22. Elementos de la pirámide recta y el prisma recto 76
UNIDAD III: RELACIONES Y LGEBRA
23. Problema para introducir el concepto de variable 80
24. Variable dependiente e independiente 81
25. Representación gráfica de pares ordenados 83
26. Problema para introducir el concepto de expresión algebraica 85
27. Expresiones algebraicas 86
28. Valor numérico de una expresión algebraica 87
29. Expresiones algebraicas que son monomios 91
30. Sumar y restar de monomios 94
31. Expresiones algebraicas (binomios, trinomios o polinomios) 97
32. Sumas y restas de polinomios 98
33. Multiplicaciones y divisiones de monomios 101
34. Multiplicaciones de polinomios con coeficientes enteros 103
35. Productos notables 107
36. Problema para introducir el concepto de ecuación 112
37. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 113
38. Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita 123
39. Problemas de profundización 131
UNIDAD IV: ESTAD STICA Y PROBABILIDAD
40. Problema para introducir el concepto de estadística 134
41. Concepto de estadística descriptiva e inferencial 135
42. Concepto de población, muestra, variable y datos estadísticos 13643. Distribuciones de frecuencia absoluta y frecuencia relativa con variables discretas 141
44. Representación gráfica de la información tabulada en una tabla de frecuencias 145
45. Interpretación de las distribuciones de frecuencia y los gráficos estadísticos 152
46. Media aritmética, moda y mediana para variables discretas 158
47. Problemas de profundización 163
48. Problema para introducir el concepto del azar 165
49. Problema para introducir el concepto de espacio muestral 166
50. Problema para introducir el concepto de eventos 167
51. Problema para introducir el concepto de probabilidad 168
52. Conceptos de probabilidad 169
-
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UN ID D I
NÚMEROS
Conocimientos Habilidades específicas
Números Racionales• Concepto de número racional
• Representaciones
• Relaciones de orden
Operaciones, cálculos yestimaciones• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
• Potencias• Raíces
• Combinación de operaciones
1. Identificar números racionales en diversos contextos.2. Realizar aproximaciones decimales de números racionales.
3. Identificar los números racionales representados con expansión
decimal exacta y con expansión decimal periódica.
4. Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un
mismo número racional.
5. Comparar y ordenar números racionales en notación decimal,
fraccionaria y mixta.
6. Representar números racionales en la recta numérica, en
cualquiera de sus representaciones.
7. Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos
contextos.
8. Aplicar la multiplicación y división de números racionales en
diversos contextos.
9. Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la
suma y multiplicación para simplificar cálculos con números
racionales.
10. Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones de números racionales en cualquiera de sus
representaciones.
11. Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente
entero.
12. Calcular raíces n-ésimas de un número racional.
13. Calcular resultados de operaciones con números racionales deexpresiones donde haya combinación de ellas con paréntesis o sin
ellos.
14. Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de
operaciones con racionales.
15. Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución
de cálculos, según el problema dado.
16. Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la
aplicación de operaciones con números racionales.
-
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12 N MEROS
GRUPO FÉNIX
PROBLEMA PARA INTRODUCIR LOS NÚMEROS RACIONALES
Pasos o fases Acción
Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problema
antes de empezar a resolverlo.
Paso 2. DiseñoConsiderar varias formas para resolver elproblema y seleccionar un método
específico.
Paso 3. ControlMonitorear el proceso y decidir cuándo
abandonar algún camino que no resulte
exitoso.
Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar la
respuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas
Problema 1Considere la siguiente tabla con los precios de los combustibles.
Imagen tomada de: http://www.recope.go.cr/info_clientes/precios_productos/
Si en la gasolinera pido que me vendan ₡10 000 en gasolina Plus 91, ¿cuántos litros me
dan?
-
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N MEROS 13
GRUPO FÉNIX
PROBLEMA PARA INTRODUCIR LOS NÚMEROS RACIONALES
Problema 2
Si camino 10 m en dirección Oeste y me devuelvo una cuarta parte de dicho recorrido,
¿cuánto me desplacé con respecto al lugar del que salí?
Problema 3
Juan contrajo una deuda de ₡17 500. Su padre, un hermano y un amigo deciden ayudarle a
pagarla por lo que se reparten la deuda equitativamente entre ellos tres. ¿Cuánto debe
pagar cada uno?
Problema 4
Considere la siguiente lista de ingredientes para una receta de cocina.
Imagen tomada de: http://www.arecetas.com
Ana manifiesta que no comprende la forma en que aparece la información pues no está
descrita en la forma tradicional. ¿De qué forma se puede ayudar a Ana para que comprenda
los datos de la receta?
-
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16/176
14 N MEROS
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
Definición Símbolo Notación por comprensión
Es un conjunto formado por
todos los números que se
pueden expresar en fracción.
, 0
atq a b y b
b
Notación decimal, notación fraccionaria y notación mixta de un número racional
Expansión decimal finitaExpansión decimal infinita
periódicaExpansión decimal infinita
periódica mixta
Son aquellas cuando se
puede contar la cantidad de
decimales.
Son aquellas cuando algún
decimal se repite
infinitamente.
Son aquellas que poseen
periodo y ante periodo.
Ejemplos Ejemplos Ejemplos
10,5
2
3
4
71,75 1
4
10, 3
3
2
3
82, 6 2
3
70,583
12
2
11
62957, 18 57
11
Trabajo cotidiano # 11. Convierta las siguientes fracciones a su notación mixta y a su notación decimal eidentifique si corresponden a una expansión decimal finita, infinita periódica o infinita
periódica mixta. (Sugerencia: utilice calculadora)
a)13
2
b)5
2
c)14
2
d) 1
3
e) 14
3
f) 36
3
g)3
4
h)5
4
i)19
4
j) 21
5
k) 2
5
l) 4
5
m) 5
6
n) 11
6
o) 54
6
p) 20
7
q) 7
8
r) 17
9
s) 21
10
t) 65
13
-
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17/176
N MEROS 15
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
Notación simbólica Representación en la recta numérica
1
2
y
1
2
3
2
y
3
2
OPUESTO DE UN NÚMERO RACIONAL
Definición Ejemplos Representación gráfica
Dos números racionales son
opuestos si poseen el mismo
valor absoluto y se encuentran
en sentidos direccionales
contrarios.
1
2
y
1
2
3
2
y
3
2
Trabajo cotidiano # 21. Determine el opuesto de cada uno de los siguientes números racionales y represente
ambos números en una recta numérica.
a)3
2
b)5
2
c)14
2
d) 10
3
e) 14
3
f) 36
3
g)1
4
h)5
4
i)19
4
j) 1
5
k) 2
5
l) 4
5
m) 1
6
n) 11
6
o) 54
6
p) 15
7
q) 5
8
r) 2
9
s) 9
10
t) 12
13
1
2
1
2
0 11
3
2
3
2 0 11 22
1
2
1
2 0 11
3
2
3
2 0 22 11
-
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18/176
16 N MEROS
PROBLEMA PARA OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES
Pasos o fases Acción
Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problema
antes de empezar a resolverlo.
Paso 2. DiseñoConsiderar varias formas para resolver elproblema y seleccionar un método
específico.
Paso 3. ControlMonitorear el proceso y decidir cuándo
abandonar algún camino que no resulte
exitoso.
Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar la
respuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas
Problema 1
Maureen compró 4 metros de plástico para forrar cuadernos. Ella necesitó 2
51 m para forrar
algunos, su hermana Elizabeth utilizó 0,9m y su hermano Rodolfo usó 3
4m.
a) ¿Cuánto plástico utilizaron para forrar los cuadernos?
b) ¿Cuánto plástico sobró?
Problema 2
Celeste estudió 2
3hora Matemática y
1
2hora lo dedicó a Ciencias, ¿cuánto tiempo, en
horas, estudió Celeste en total?
Problema 3
Gustavo Adolfo tiene 9kg de arena para jugar con sus amigos. ¿Cuántos paquetes de 1
3kg
pueden hacer con toda esa arena?
-
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N MEROS 17
LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
I Caso: Fracciones Homogéneas
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
11
4 7
3 3
4 7 11
3 3
3
4 7
3 3
4 7 31
3 3
11
4 7
3 3
4 7 11
3 3
Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6
11
4 73 3
4 7 11
3 3
3
4 73 3
4 7 31
3 3
11
4 73 3
4 7 11
3 3
Trabajo cotidiano # 3
1. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales con cálculo mental.
a) 7 9
2 2
b)3 4
3 3
c) 5 7
4 4
d) 9 6
5 5
e) 4 9
6 6
f) 7 9
2 2
g)3 4
3 3
h) 5 7
4 4
i) 19 6
5 5
j) 17 8
6 6
k) 11 9
2 2
l)13 4
3 3
m) 5 17
4 4
n) 19 6
5 5
o) 19 11
6 6
p) 30 15
7 7
q) 20 15
8 8
r) 92 30
9 9
s)60 30
10 10
t) 29 13
7 7
u) 20 15
8 8
v) 92 30
9 9
w)60 30
10 10
x) 30 15
7 7
y) 20 15
8 8
z) 92 30
9 9
aa)60 30
10 10
bb) 87 65
3 3
-
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20/176
18 N MEROS
LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
II Caso: Fracciones Heterogéneas
Procedimiento:
a) Se distinguen las fracciones heterogéneas porque poseen diferente denominador.
b) Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual se llama mínimo
común denominador de las fracciones (m.c.d).
c) Se realiza m.c.d. ÷ denominador numerador , en cada fracción.
d) Se efectúa la operación correspondiente (suma o resta) y conserva el m.c.d.
e) Se realiza la simplificación de la fracción resultante.
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
. . . 6
8 7
4 7
3 6
6 3 4 6 6 7
6
8 7 15 5
6 6 2
m c d
. . . 12
16 21
4 7
3 4
12 3 4 12 4 7
6
16 21 5
6 6
m c d
. . . 6
8 7
4 7
3 6
6 3 4 6 6 7
6
8 7 15 5
6 6 2
m c d
Trabajo cotidiano #41. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales.
a) 7 9
2 4
b)3 4
3 9
c) 4 6
5 15
d) 6 5
6 12
e) 7 5
4 16
f) 3 10
8 4
g)3 4
3 9
h) 5 7
2 4
i) 6 30
10 20
j) 92 30
9 18
k) 19 11
6 8
l) 19 6
5 15
m) 5 7
3 6
n)2 4
3 7
o) 30 15
7 8
p) 20 15
8 9
q) 92 30
9 18
r) 40 20
10 40
s) 19 6
5 15
t) 19 11
6 8
u) 30 15
7 8
v) 20 15
8 9
w) 92 30
9 18
x) 60 30
10 100
-
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N MEROS 19
LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Procedimiento:
a) Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
b) Se simplifica la fracción resultante.
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
28
18
4 7 28 14
3 6 18 9
28
18
4 7 28 14
3 6 18 9
28
18
4 7 28 14
3 6 18 9
Trabajo cotidiano # 5
1. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia:simplifique si es posible antes de multiplicar).
a) 7 9
2 4
b) 5 7
4 6
c) 9 6
5 15
d) 7 11
6 8
e) 3 15
7 8
f)
8 15
8 9
g) 9 30
9 18
h) 60 30
10 100
i)16 14
11 11
j) 11 32 5
k) 22 3
4 6
l) 9 6
5 15
m)
19 4
6 8
n) 30 15
7 8
o) 20 15
8 9
p) 92 30
9 18
q) 5 306 11
r) 12 14
11 23
s) 20 5
11 4
t)
34 3
11 6
u) 19 6
5 15
v) 19 11
6 8
w) 30 15
7 8
x) 20 158 9
y) 92 30
9 18
z) 60 30
10 100
aa)
162 134
11 110
bb) 170 125
12 115
-
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22/176
20 N MEROS
LA DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Procedimiento:
a) Se multiplica en cruz (numerador por denominador y denominador por numerador).
b) Se simplifica la fracción resultante.
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
24
21
4 7
3 6
4 6 24 8
3 7 21 7
24
21
4 7
3 6
4 6 24 8
3 7 21 7
24
21
4 7
3 6
4 6 24 8
3 7 21 7
Trabajo cotidiano # 6
1. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia:simplifique si es posible antes de dividir).
a) 7 9
2 4
b) 5 7
4 6
c) 9 6
5 5
d) 5 11
6 8
e) 2 10
7 17
f) 20 15
3 9
g) 2 30
9 18
h) 6 30
10 9
i) 12 13
5 10
j) 12 9
2 4
k) 12 7
4 3
l) 9 6
5 11
m) 19 11
6 5
n) 30 15
7 8
o) 20 15
8 9
p) 12 30
9 7
q) 40 20
10 30
r) 12 14
11 10
s) 11 9
12 12
t) 15 11
4 16
u) 19 6
5 15
v) 17 11
6 10
w) 30 15
7 18
x) 12 15
8 12
y) 92 30
19 18
z) 60 30
10 100
aa) 162 134
11 110
bb) 184 142
13 120
-
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23/176
N MEROS 21
Trabajo cotidiano # 7
1. Resolver los siguientes problemas que involucran operaciones con números racionales.
a) Maureen utilizó5
6 kg de mantequilla para hacer repostería y8
9 kg para hacer un
queque, ¿qué cantidad en kg de mantequilla, en total, utilizó Maureen?
b) Marielos compró9
5kg de queso. Si le regaló
2
1kg a su mamá, entonces, ¿cuántos
kilogramos de queso le quedaron a Marielos?
c) Gustavo estudió4
1hora Español y
4
3hora lo dedicó a Estudios Sociales,
¿cuánto tiempo, en horas, estudió Gustavo en total?
d) Un agricultor tiene un terreno sembrado de la siguiente manera: 8
25sembrado de
papas, 3
5de zanahoria y el resto no está cultivado. ¿Qué parte del terreno queda sin
cultivar?
e) Se tiene 4
1
L de refresco para distribuir en cantidades iguales en 4 vasos. ¿Qué
cantidad, en litros, de refresco tendrá cada vaso?
f) Se tiene5
6L de agua para distribuir en cantidades iguales en 5 vasos. ¿Qué cantidad,
en litros, de agua tendrá cada vaso?
g) ¿Cuántos paquetes de
2
1 kg se pueden hacer con 22 kg de frijoles?
h) ¿Cuántos paquetes de9
1 kg se pueden hacer con 81 kg de azúcar?
-
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24/176
22 N MEROS
POTENCIACIÓN
Es una expresión de la forma ...n
n veces
a a a a a a b
. Donde “ a ”es la base, “ n ” el
exponentey cuyo resultado de la operación “ b ”, es la potencia.
I CasoBase positiva
Exponente par Exponente impar
2
2
3 3 3 9
2 2 2 4veces
4
4
2 2 2 2 2 16
5 5 5 5 5 625veces
5
5
3 3 3 3 3 3 243
2 2 2 2 2 2 32veces
3
3
2 2 2 2 8
5 5 5 5 125veces
II CasoBase negativa
Exponente par Exponente impar 2
2
3 3 3 9
2 2 2 4veces
4
4
2 2 2 2 2 16
5 5 5 5 5 625veces
5
5
3 3 3 3 3 3 243
2 2 2 2 2 2 32veces
3
3
2 2 2 2 8
5 5 5 5 125veces
Trabajo cotidiano # 81. Calcular las siguientes potencias.
a)2
1
2
b)3
1
3
c)
22
5
d)3
2
5
e)
33
8
f)
33
7
g)
35
7
h)
3
58
i)
37
15
j)
37
10
k)2
11
17
l)
313
19
m)
2
27
n)3
3
5
o)3
5
9
p)4
1
3
q)
43
10
r)
3
3
11
s)
23
11
t)
35
13
u)
47
15
v)
37
16
w)
2
1117
x)
31
19
y)
48
10
-
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25/176
N MEROS 23
GRUPO FÉNIX
LEYES DE POTENCIAS
Multiplicación de potencias de igual basePara multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes
Caso general Ejemplo
n m n ma a a
b b b
a)
b)
8 5 8 5 34 4 4 4 64
7 7 7 7 343
División de potencias de igual basePara dividir potencias de igual base se conserva la base y se restan los exponentes
Caso general Ejemplo
n m n ma a a
b b b
a)
b)
Potencia de una potenciaEn una potencia cuya base es una potencia, se conserva la base y se multiplican losexponentes
Caso general Ejemplo
mn n m
a a
b b
a)
b)
2 3 2 3 52 2 2 2 32
3 3 3 3 243
7 3 7 3 42 2 2 2 16
3 3 3 3 81
2 1 2 34 4 4 4 64
7 7 7 7 343
32 2 3 6
4 4 4 4096
3 3 3 729
53 3 5 15
2 2 2
7 7 7
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
26/176
24 N MEROS
Trabajo cotidiano # 91. En cada una de las siguientes expresiones, aplique la propiedad de las potencias
que corresponda para simplificar la expresión dada.
a)2 3
2 2
3 3
b)
3 2
1 12 2
c)
53 3
2 2
d)
4 25 5
2 2
e)
2 22 2
3 3
f)
5 31 1
3 3
g)
4 23 3
2 2
h)
5 31 1
5 5
i)
15 12
3 32 2
j)
12 91 1
6 6
k)
11 93 3
5 5
l)
7 53 3
7 7
m)
13 105 5
2 2
n)
4 21 1
5 5
o)5 3
2 2
3 3
p)
8 55 5
2 2
q)
22 2
5 5
r)
2 21 1
3 3
s)
3 32 2
3 3
t)
32 2
7 7
u)
8 53 3
2 2
v)
10 7
7 72 2
w)
15 134 4
3 3
x)
14 113 3
2 2
y)
20 202 2
5 5
z)
2 31 1
7 7
aa)
22
1
3
bb)
221
4
cc)
32
1
2
dd)
32
1
6
ee)
22
2
3
ff)
22
3
4
gg)
22
1
4
hh)
23
2
5
ii)
33
2
3
jj)
22
1
2
kk)
234
3
-
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27/176
N MEROS 25
GRUPO FÉNIX
LEYES DE POTENCIAS
IV CasoPotencia de un producto
Ejemplos
Subcaso I( )
n n na b a b
Subcaso II( )
x y n n x n ya b a b
4 4 42 3 2 3
5 4 5 4
35 3 1 3 5 3 15
2 3 2 3 2 3
5 4 5 4 5 4
V CasoPotencia de un cociente
Ejemplos
Subcaso In n
n
a a
b b
Subcaso IIn
x n x
y n y
a a
b b
33
3
22
5 5
53 5 3 15
2 5 2 10
2 2 2
5 5 5
VI Caso
Casos particulares de potenciasSubcaso I Subcaso II Subcaso III
Todo número elevado a
la0 es igual a 10 1a
Todo número elevado a la1 esigual al mismo número
1a a
En toda potencia con exponentenegativo se invierte la fracción
n na b
b a
Ejemplos Ejemplos Ejemplos
021
7
03 4
2 31
9 5
1
2 2 27 7 7
13 4 3 4
2 3 2 3
9 5 9 5
1 1
2 7 77 2 2
13 4 3 4
2 3 9 3
9 5 2 5
-
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28/176
26 N MEROS
Trabajo cotidiano # 10
1. En cada una de las siguientes expresiones, aplique la propiedad de las potencias
(IV, V y VI Caso) que corresponda para simplificar la expresión dada.
a)
21 1
2 2
b)
22 1
3 5
c)
22 1
3 4
d)
21 2
5 3
e)
22 2
5 3
2 2
f)
22 3
1 1
2 3
g)
32 2
2 23 3
h)
22 2
2 1
3 4
i)
25
7
j)
23
5
k)
515
18
l)
31
3
m)
22
2
3
4
n)
23
4
2
3
o)
3
3
2
1
6
p)
22
6
3
2
q)
05
3
r)011
12
s)
02 3
5 7
21 24
t)
06 4
9 11
2 3
u)1
1
2
v)
15
3
w)
17
5
x)
111
12
y)
12 3
5 3
2 2
z)
13 4
3 1
2 3
aa)1
10
9
bb)2
5
8
cc)
32
5
dd)
41
4
ee)
12 3
3 2
4 5
ff)
22 3
1 5
2 3
gg)
22 2
2 8
5 3
-
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29/176
N MEROS 27
RAÍCES N -ÉSIMAS DE UN NÚMERO RACIONAL
La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y
del divisor.n
nn
a a
b b
Ejemplos
a) b) c) d)
Trabajo cotidiano # 11
1. Calcule la raíz de los siguientes números racionales.
a) 4
25
b) 49
144
c) 9
169
d) 36
64
e) 81
100
f) 3125
27
g) 3729
343
h) 3216
1000
i) 364
512
j) 31
1331
k) 41
16
l) 481
625
m) 410000
256
n) 41296
14641
o) 42401
50625
p) 51
32
q) 51
243
r) 51
3125
s) 51
100000
t) 5161051
371293
2
2
1
4
1
4
1
21
2
2
2
9
25
9
25
3
53
5
3
3
3
3 3
33
8
27
8
27
2
32
3
4
4
4
44
44
625
2041
625
2041
5
75
7
-
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30/176
28 N MEROS
GRUPO FÉNIX
PROBLEMA PARA INTRODUCIR LA COMBINACIÓN DE OPERACIONES
Pasos o fases Acción
Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problema
antes de empezar a resolverlo.
Paso 2. DiseñoConsiderar varias formas para resolver elproblema y seleccionar un método
específico.
Paso 3. Control
Monitorear el proceso y decidir cuándo
abandonar algún camino que no resulte
exitoso.
Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar la
respuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas
Problema 1Una sala de cine rotativo con capacidad para 400 espectadores está completo. Si terminada
la función se retiran 3/10 de los espectadores y entran a la sala 3/20 de la capacidad,
entonces ¿cuántas personas faltan para que la sala esté nuevamente completa?
Paso 1.
Paso 2.
Paso 3.
Paso 4.
-
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N MEROS 29
GRUPO FÉNIX
COMBINACIÓN DE OPERACIONES
I CasoSin signos de agrupación
El orden de prioridad de operaciones.
a) Se realizan las potencias.b) Se efectúan las multiplicaciones y divisiones (en el orden que aparezcan “de
izquierda derecha”).
c) Realizamos las sumas y las restas.
Sin embargo, en caso de que la operación contenga valores absolutos sin calcular, se debe
calcular dicho valor absoluto antes de efectuar cualquiera de las operaciones citadas
anteriormente.
Ejemplo 1 Ejemplo 2
3 2
1 9
8 16
1 3 1 9 2 9 7
2 4 8 16 16 16
2 2
94
49
2 3 4 9 16 81 65
3 2 9 4 36 36
Ejemplo 3 Ejemplo 4
2
2
25
16
21
24
. . . 48
5 7 94 6 16
5 7 3
4 6 4
25 7 3
16 6 4
25 21
16 24
75 42 117 39
48 48 16
m c d
2
3
2
4
25
2
45
9
5
. . . 45
216 2 2 5
125 3 5 18
6 2 2 5
5 3 5 18
6 2 4 5
5 3 25 18
6 2 2
5 3 45
9 2 81 2 79
5 45 45 45m c d
-
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32/176
30 N MEROS
Trabajo cotidiano # 121. Considerando los ejemplos desarrollados anteriormente, simplifique las
siguientes expresiones aritméticas, utilizando la prioridad de las operaciones.
a)
3 21 4
2 3
b)
1 43 2
2 3
c)
3 25 2
6 3
d)
4 12 3
5 7
e)
2 31 4
4 3
f)
4 25 7
3 4
g)
2 21 7
5 6
h)
3 35 7
3 4
i)
4 12 3
5 7
j)
3 4
7 46 3
k)
5 21 4
2 3
l)
23 5 49
4 6 64
m)
21 5 121
7 8 81
n)
2
31 2 27
3 5 343
o)
2
32 3 64
3 5 729
p)
2
32 5 125
3 3 64
q)
2
32 7 1
3 3 729
r)
2
4256 2 3 5
2041 3 2 4
s)
2
3512 4 5 5
125 5 6 4
t)
2
532 3 2 2
243 2 7 9
u)
2
481 5 2 3
256 4 7 7
v)
2
3216 5 1 1
343 3 4 4
-
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33/176
N MEROS 31
GRUPO FÉNIX
COMBINACIÓN DE OPERACIONES
II CasoCon signos de agrupación
El orden de prioridad de operaciones se mantiene como en el I Caso, pero se debeconsiderar antes el orden de prioridad de los signos de agrupación (paréntesis)
El orden de prioridad de paréntesis.a) Redondos ( )
b) Cuadrados [ ]
Ejemplo 1 Ejemplo 2
310 5 1
9 6 2
10 5 1
9 6 810 20 3
9 24
10 17 240 80
9 24 153 51
2
2
2
2 5 1
3 4 8
2 10 1
3 82 9
3 8
2 81 162 27
3 64 192 32
Ejemplo 3 Ejemplo 4
1 2
2
2
2
3 8 19 8
2 5 6 12
3 8 38 8
2 5 12
3 8 46
2 5 12
3 8 23
2 5 6
3 8 529
2 5 36
3 2357 7071 2357
2 180 360 120
3
3
2
9 6 729 810
2 5 10000 25
9 6 27 810
2 5 100 25
33 27 810
10 100 25
1089 27 810
100 100 25
1116 810
100 25
279 810 1089
25 25 25
-
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34/176
32 N MEROS
Trabajo cotidiano # 131. Simplifique las siguientes expresiones aritméticas, utilizando la prioridad de las
operaciones y de los signos de agrupación.
a)
28 5 3
2 2 2
b)
24 3 5
3 2 2
c)
210 4 7
5 2 2
d)
25 2 8
3 5 3
e)
37 9 11
2 2 3
f)
46 10 13
5 3 6
g)
3
35 12 512
3 5 27
h)
5
6 10 169
5 3 36
i)
1 22 9 15 5
3 3 3 3
j)
1 25 7 12 4
2 2 2 2
k)
27 7 5 4
2 3 2 3
l)
21 3 8 5
3 2 3 2
m)
210 4 1 7
3 3 81 2
n)
31 3 25 3
2 5 9 5
o)
3
32 9 343 8
5 3 1000 10
p)
3
36 4 1331 8
7 7 343 3
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
35/176
N MEROS 33
Ejercicios de profundización1. Simplifique las siguientes expresiones aritméticas, utilizando la prioridad de las
operaciones y de los signos de agrupación.
a)
22 2
2 3 16 7
3 3 9 3
b)
23 2
5 3 1 4
7 2 4 2
c)
322
7 7 2 8
7 3 3 3
d)
222
3
3 2 6 5 1
2 3 5 2 2
e)
23
8 2 1 2 7
7 5 3 5 3
f)
22
3 5 3 2 2
5 4 4 3 8
g)
3
25 5 1 8
9 8 9 7
h)
33
19 1 45 13
2 400 10 19
i)
3
27 88 7 878
5 10 10 10
j)
23
356 54 11 512
17 7 17 1000
k)
23
417 625 12 10
96 16 18 18
l)
52
19 13 115 1211 1
7 49 98 256
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
36/176
34 N MEROS
Problemas de profundización
1. En un club, la mitad son mujeres, de ellas la cuarta parte son rubias y de estas últimas
la mitad tiene los ojos verdes; si las rubias de ojos verdes son cuatro, ¿cuántos
integrantes tiene el club?
2. Si la mitad de un medio se divide por un medio, ¿qué valor se obtiene?
3. Si al triple de la tercera parte de un número se le resta 18, resulta 0. ¿Cuál es el
número?
4. Una persona se queda con ₵15 000 000 después de haber gastado 5/7 del dinero que
tenía. ¿Cuánto dinero tenía?
5. Un niño desea completar una colección de 900 estampillas. Parte con 240; le regalan
160 más y él regala la cuarta parte de las que tenía reunidas hasta ese momento.
Finalmente compra 300 estampillas. ¿Cuántas estampillas le faltan para completar la
colección?
6. El agua que hay en un estanque en estos momentos ocupa la mitad de su capacidad.
Si a este estanque le agregasen 120 litros más de agua, entonces ésta ocuparía 5/8 de
su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
7. Un comerciante vendió 48 botellas de vino. Si las botellas eran de tres cuartos de litro,
¿cuántos mililitros de vino vendió?
8. ¿Cuántas veces está contenida la quinta parte de 13/26 en un entero?
9. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad, ¿cuál número se obtiene?
10. Si a 15 le resto x obtengo n. Si la mitad de n es 42, entonces ¿cuál es el valor de x?
11. Un cilindro tiene ocupado con aceite las 2/3 partes de su capacidad. Si se sabe que
con 30 litros más, este tambor se llena, entonces ¿cuál es su capacidad?
12. ¿Cuál es el número decimal que representa a la quinta parte de la quinta parte de 20?
13. ¿Por cuánto hay que multiplicar 3/8 para obtener la cuarta parte de 3/2?
14. ¿Con cuántos litros de agua se llenarán totalmente seis botellas de tres cuartos de
litro?
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
37/176
UNID D II
GEOMETRÍA
Conocimientos Habilidades específicas
Triángulos
Semejanza
Congruencias
Teorema de Thales
Visualización espacial
Pirámide recta
Caras laterales
Base
Apotemas
Ápice (cúspide)
Altura
Sección plana
Prisma recto
1. Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.
2. Identificar figuras congruentes en diferentes contextos
3. Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado
y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de
triángulos.
4. Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo
lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia
de triángulos.
5. Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de
triángulos.
6. Utilizar software de geometría dinámica para visualizar
propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de
triángulos.
7. Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en
diversos contextos.
8. Identificar la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el
ápice o cúspide de una pirámide.
9. Identificar las caras laterales, las bases y la altura de un prisma
recto.
10. Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de
una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular.
11.Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de
un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
38/176
36 GEOMETRÍA
GRUPO FÉNIX
PROBLEMA PARA INTRODUCIR EL CONCEPTO DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES
Pasos o fases Acción
Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problemaantes de empezar a resolverlo.
Paso 2. Diseño
Considerar varias formas para resolver el
problema y seleccionar un métodoespecífico.
Paso 3. Control
Monitorear el proceso y decidir cuándoabandonar algún camino que no resulteexitoso.
Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar larespuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas
Problema 1
Considere la siguiente fotografía de un vitral de forma triangular.
Determine si el vitral está compuesto por triángulos congruentes (“iguales”), en casoafirmativo, identifique cuáles triángulos parecen ser congruentes entre sí, y justifique surespuesta argumentando por qué considera que son congruentes (“iguales”). Por último, siconsidera que dos triángulos del vitral son congruentes entre sí, ¿qué puede suponer sobrelas relaciones que se establecen primero entre los ángulos, y segundo entre los lados?
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
39/176
GEOMETRÍA 37
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO Y REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES
Dos triángulos son congruentes si los lados y los ángulos de un triángulo son
respectivamente congruentes a los lados y los ángulos de otro triángulo.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes´ ´ ´ ABC A B C
Vértices homólogos
´ A y A ´ B y B ´C y C
Congruencia de ángulos homólogos
´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C
´ ´ ´ ACB A C B
Congruencia de lados homólogos
´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C
Ejemplo 2
Triángulos congruentes ABC DEF Vértices homólogos
A y D B y E C y F
Congruencia de ángulos homólogos
BAC EDF ABC DEF
ACB DFE
Congruencia de lados homólogos
AB DE BC EF AC DF
A
B
C
D
E
F
A
´ A
B
C
´ B
´C
50º
50º
60º
60º
70º
70º
10cm
10cm
9cm
9cm
6cm
6cm
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
40/176
38 GEOMETRÍA
GRUPO FÉNIX
CRITERIOS DE CONGRUENCIA: L.L.L L.A.L A.L.A
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes sedenominan criterios de congruencia.
I Caso: Criterio de congruencia L.L.L. (lado, lado, lado)
Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro,entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes por L.L.L.´ ´ ´ ABC A B C
Vértices homólogos
´ A y A ´ B y B ´C y C
Congruencia de ángulos homólogos´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C
´ ´ ´ ACB A C B
Congruencia de lados homólogos
´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C
Ejemplo 2
Triángulos congruentes por L.L.L. ABC DEF
Vértices homólogos
A y D B y E C y F
Congruencia de ángulos homólogos
BAC EDF ABC DEF
ACB DFE
Congruencia de lados homólogos
AB DE BC EF AC DF
A
´ A
B
C
´ B
´C
10cm
10cm
9cm
9cm
6cm
6cm
A
B
C
D
E
F
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
41/176
GEOMETRÍA 39
GRUPO FÉNIX
CRITERIOS DE CONGRUENCIA: L.L.L L.A.L A.L.A
II Caso: Criterio de congruencia L.A.L. (lado, ángulo, lado)
Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulocomprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo 1Triángulos congruentes por L.A.L.
´ ´ ´ ABC A B C Vértices homólogos
´ A y A ´ B y B ´C y C
Congruencia de ángulos homólogos
´ ´ ´ BAC B A C
´ ´ ´ ABC A B C
´ ´ ´ ACB A C B
Congruencia de lados homólogos
´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C
Ejemplo 2
Triángulos congruentes por L.A.L. ABC DEF
Vértices homólogos
A y D B y E C y F
Congruencia de ángulos homólogos
BAC EDF ABC DEF
ACB DFE
Congruencia de lados homólogos
AB DE BC EF AC DF
A
´ A
B
C
´ B
´C
50º
50º
10cm
10cm
9cm
9cm
A
B
C
D
E
F
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
42/176
40 GEOMETRÍA
CRITERIOS DE CONGRUENCIA: L.L.L L.A.L A.L.A
III Caso: Criterio de congruencia A.L.A. (ángulo, lado, ángulo)
Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otrotriángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo 1
Triángulos congruentes por A.L.A.´ ´ ´ ABC A B C
Vértices homólogos
´ A y A ´ B y B ´C y C
Congruencia de ángulos homólogos
´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C
´ ´ ´ ACB A C B
Congruencia de lados homólogos
´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C
Ejemplo 2
Triángulos congruentes por A.L.A. ABC DEF
Vértices homólogos
A y D B y E C y F
Congruencia de ángulos homólogos
BAC EDF ABC DEF
ACB DFE
Congruencia de lados homólogos
AB DE BC EF AC DF
A
´ A
B
C
´ B
´C
50º
50º
70º
70º
9cm
9cm
A
B
C
D
E
F
-
8/19/2019 02 - Octavo 2013
43/176
GEOMETRÍA 41
Trabajo cotidiano # 11. Determine el criterio que justifica la relación de congruencia entre ABD y CBD en
cada una de las siguientes figuras.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
A
B
C D
10 10
6 6
A
B
C D6 6
A
B
C D
6 6
60º60º
30º30º
A
B
C D
A
B
C D
A
B
C D
A
B
C
D
A
B
C
D
3 3
3 3
A
B
C
D
3
3
48º
48º
A
B
C
D
A
B
C
D
9º9º
71º71º
A
B
C
D
A
B
C D
-
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42 GEOMETRÍA
2. Determine en cada una de las siguientes figuras si ABC es congruentes con DEF ,en caso de ser congruentes, justifique su respuesta con el criterio decongruencia que utilizó, además escriba dicha congruencia de forma simbólica(por ejemplo ABC FDE ).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E F
A B
C D
E
F
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E F
A
B
C D
E F
A
BC
D E
F
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E
F
-
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GEOMETRÍA 43
Trabajo extra clase # 1
1. De acuerdo con los datos de la figura, si , , AB DE AF CD BC FE entonces el
A es congruente con el
A) C
B) D
C) E
D) F
2. De acuerdo con los datos de la figura, si , AB DE AD CF , analice las siguientes
proposiciones.I BC DE
II m ABC m DEF De ellas, ¿cuáles con certeza son verdaderas?
A) Solo la IB) Solo la IIC) Ambas.
D) Ninguna.
3. Considere el triángulo ABC . De acuerdo con los datos de la figura, si AM
es bisectriz
del CAB , ¿cuál es la medida de AB
A) 5
B) 4C) 9
D) 41
4. En la figura, si ABC EDC , entonces se cumple con certeza que
A) m A m C B) m B m D
C) CE BC
D) DE CD
5. De acuerdo con los datos de la figura, si AD CE , entonces se cumple que A) ABC CBE
B) ABC DBE
C) ABD CBE
D) ABD ABC
6. De acuerdo con los datos de la figura, BDE CFG por el criterio
A) a l a
B) l a l C) a a a
D) a a l
A
BC
D
E F
A F C
F C D
α α
l A
B
C D
E
F
A
B C
D
M 4
5
A
B
C D
E
5
A
B C
D
E α α
G
F
5 5
A
B
C D E
α α
D A C E
-
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44 GEOMETRÍA
GRUPO FÉNIX
PROBLEMA PARA INTRODUCIR EL CONCEPTO DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Pasos o fases Acción
Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problemaantes de empezar a resolverlo.
Paso 2. Diseño
Considerar varias formas para resolver el
problema y seleccionar un métodoespecífico.
Paso 3. Control
Monitorear el proceso y decidir cuándoabandonar algún camino que no resulteexitoso.
Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar larespuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas
Problema 1
Un farol que mide 4 metros de altura proyecta a determinada hora del día una sombra de
3 metros. ¿Qué altura tiene el edificio cercano si a la misma hora proyecta una sombra de
15 metros?
Por último, ¿tendrá sentido el mismo problema con las siguientes condiciones?
Un farol que mide 10 metros de altura proyecta a determinada hora del día una sombra de
8 metros. ¿Qué altura tiene el edificio cercano si a la misma hora proyecta una sombra de
4 metros?
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GEOMETRÍA 45
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO Y REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si tiene ángulos homólogos congruentes y lados homólogos
proporcionales.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes´ ´ ´ ABC A B C
Vértices homólogos
´ A y A ´ B y B ´C y C
Congruencia de ángulos homólogos
´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C
´ ´ ´ ACB A C B
Proporcionalidad de lados homólogos
´ ́ ´ ́ ´ ́
10 9 6
5 4,5 3
2 2 2
AB BC AC
A B B C A C
´ ́ ´ ́ ´ ́
5 4,5 3
10 9 6
1 1 1
2 2 2
A B B C A C
AB BC AC
Ejemplo 2Triángulos semejantes
ABC DEF Vértices homólogos
A y D B y E C y F
Congruencia de ángulos homólogos
BAC EDF ABC DEF
ACB DFE
Proporcionalidad de lados homólogos
AB BC AC
DE EF DF
DE EF DF
AB BC AC
A
´ A
B
C
´ B
´C
50º
50º
60º
60º
70º
70º
10cm
5cm
9cm
4,5cm
6cm
3cm
A
B
C
D
E
F
-
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46 GEOMETRÍA
GRUPO FÉNIX
CRITERIOS DE SEMEJANZA: L.L.L L.A.L A.A.A
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes sedenominan criterios de semejanza.
I Caso: Criterio de semejanza L.L.L. (lado, lado, lado)
Si los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales, entonces, los triángulos sonsemejantes.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes por L.L.L.´ ´ ´ ABC A B C
Vértices homólogos
´ A y A ´ B y B ´C y C
Congruencia de ángulos homólogos
´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C ´ ´ ´ ACB A C B
Proporcionalidad de lados homólogos
´ ́ ´ ́ ´ ́
10 9 6
5 4,5 3
2 2 2
AB BC AC
A B B C A C
´ ́ ´ ́ ´ ́
5 4,5 3
10 9 6
1 1 1
2 2 2
A B B C A C
AB BC AC
Ejemplo 2
Triángulos semejantes por L.L.L. ABC DEF
Vértices homólogos
A y D B y E C y F
Congruencia de ángulos homólogos
BAC EDF ABC DEF
ACB DFE
Proporcionalidad de lados homólogos
AB BC AC
DE EF DF
DE EF DF
AB BC AC
A
´ A
B
C
´ B
´C
10cm
5cm
9cm
4,5cm
6cm
3cm
A
B
C
D
E
F
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GEOMETRÍA 47
GRUPO FÉNIX
CRITERIOS DE SEMEJANZA: L.L.L L.A.L A.A.A
II Caso: Criterio de semejanza L.A.L. (lado, ángulo, lado)
Si existe una correspondencia entre dos triángulos de tal manera que dos parejas de ladoshomólogos sean proporcionales y los ángulos comprendidos por esos lados soncongruentes, entonces, los triángulos son semejantes.
Ejemplo 1
Triángulos semejantes por L.A.L.