01_02_NUMEROS

LOS NUMEROS

NUMEROS ENTEROS
Por muchos, muchos aos en tiempos pasados, hasta los ms famosos matemticos en Europa se negaron a aceptar la existencia de nmeros negativos. Los llamaban nmeros absurdos. La necesidad de los nmeros negativos pudo haber surgido por prdidas en el comercio y

NUMEROS ENTEROS
Por dividir la Tierra en pedacitos:

NUMEROS ENTEROS
Medir el ngulo de inclinacin de la Tierra que da origen a las estaciones:

NUMEROS ENTEROS
Por medir las temperaturas en desiertos, mares, montaas, .

NUMEROS ENTEROS
Se fij el nivel del mar para realizar medidas submarinas y sobre la tierra.

NUMEROS ENTEROS
Todo nmero natural tendr un simtrico en el conjunto de los nmeros enteros. (Z)
Z = { , , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los nmeros enteros se describe como:
Z = { , , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

Representacin grfica de los nmeros enteros:

NUMEROS ENTEROS
Qu existe entre el -3 y el -2?Qu existe entre el 3 y el 4?No existe nada

NUMEROS ENTEROS
Con los nmeros enteros se cumple:La igualdad =Se pueden ordenar:
El antecesor de un nmero es el menor ()

As -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0

NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de nmeros enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno solo.
Cantidades del mismo signo se suman manteniendo su signo.

NUMEROS ENTEROS
Al sumar juntamos varios valores en uno solo.
La suma de dos nmeros enteros es siempre un nmero entero.
-8, 8 y 2 pertenecen a los enteros

NUMEROS ENTEROS
Propiedades: CONMUTATIVA

Al sumar dos nmeros enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro

NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de nmeros enteros Propiedades: ASOCIATIVA
Para sumar tres o ms nmeros enteros podemos hacerlo agrupndolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.

NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de nmeros enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un nmero entero 0, que al ser sumado a cualquier otro nmero entero da como resultado ese mismo nmero.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/propieda.htm

NUMEROS ENTEROS
Multiplicacin (*) de nmeros enteros
Al multiplicar sumamos reiteradamente la primera (multiplicando) tantas veces como indica la segunda (multiplicador) dando un solo resultado (producto).

4 * 3 = 4 + 4+ 4

A la operacin multiplicar tambin se le llama producto.

La multiplicacin est asociada al concepto de rea geomtrica.

A

NUMEROS ENTEROS
Multiplicacin (*) de nmeros enteros
Al multiplicar dos nmeros de signo contrario el resultado es un nmero negativo.

(+)(-) = (-)

Al multiplicar dos nmeros del mismo signo el resultado es un nmero positivo.

(-)(-) = (+)

NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de nmeros enteros Propiedades:
La Multiplicacin de dos nmeros enteros es siempre un nmero entero.

4 * 7 = 28

28 pertenece a N

-9 * 5 = -45

-45 pertenece a N

NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de nmeros enteros Propiedades: CONMUTATIVA
Al multiplicar dos nmeros enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro

4 * 7 = 28

7 * 4 = 28

-2 * 5 = -10

5 * -2 = -10

-2 * -8 = 16

-8 * -2 = 16

NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de nmeros enteros Propiedades: ASOCIATIVA
Para multiplicar tres o ms nmeros enteros podemos hacerlo agrupndolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.

3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84

(3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84

6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270

(-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270

NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de nmeros enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un nmero entero 1, que al ser multiplicado a cualquier otro nmero natural da como resultado ese mismo nmero.

4 * 1 = 4

-25 * 1 = -25

NUMEROS ENTEROS
Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma
Se multiplica el multiplicando por cada uno de los sumandos y se simplifica.

-4 * (1 + 4) = -4 * 1 - 4 * 4 = -4 - 16 = - 20

(3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2 = 6 + 10 = 16

NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de nmeros enteros
Ejercicios:

NUMEROS ENTEROS
Exponenciacin
Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un nmero por s mismo

3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5
En la expresin de la potencia de un nmero consideramos dos partes:
La base es el nmero que se multiplica por s mismo (en este caso: 3 -3)

El exponente es el nmero que indica las veces que la base aparece como factor. (en este caso 5)

NUMEROS ENTEROS
Exponenciacin
(-3)(-3)(-3) = (-3)3

(-3)3 -33

NUMEROS ENTEROS
Exponenciacin Propiedades
Producto de potencias de la misma base.

Para multiplicar varias potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/producto.htm

NUMEROS ENTEROS
Cociente de potencias de la misma base.

Para dividir dos potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia.

La potencia del numerador debe ser mayor o igual a la potencia del denominador.

NUMEROS ENTEROS
Potencia de exponente 0.

Una potencia de exponente 0 vale 1.

NUMEROS ENTEROS
Potencia de exponente negativo.

Una potencia de exponente negativo equivale al inverso de esa potencia con exponente positivo.

No esta definida dentro del conjunto de los Naturales

NUMEROS ENTEROS
Potencia de una potencia.

Para elevar una potencia a otra potencia podemos transformarlo en una sola potencia simple.

NUMEROS ENTEROS
Potencia de un producto.

Un exponente afecta globalmente a un producto de varios factores

NUMEROS ENTEROS
Potencia de una divisin.

Si a, n, m son un nmeros naturales entonces:

(Si se dividen dos bases distintas a la misma potencia se puede factorizar la potencia)

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Exponenciacin Ejercicios
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/prueba.htm

NUMEROS ENTEROS
Exponenciacin Ejercicios
Efectuar:

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Resta (-) de nmeros enteros
La resta es la operacin contraria a la suma.

No est completamente definida dentro del conjunto de los nmeros naturales

Los trminos de la resta se llaman minuendo y substraendo, el resultado se llama diferencia.

Minuendo
- Sustraendo

Diferencia

NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la resta (-) de nmeros enteros.
La resta no tiene las propiedades de la suma.

La resta no es una operacin interna en el conjunto de los nmeros naturales

NUMEROS ENTEROS
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/restas.htm

INTERPRETACION GRAFICA DE LA RESTA

NUMEROS ENTEROS
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3arn.htm

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http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3rn3x3.htm

NUMEROS ENTEROS
Divisin (/ :) de nmeros enteros
La divisin es la operacin contraria a la multiplicacin.

No est completamente definida dentro del conjunto de los nmeros naturales

La divisin es la operacin que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un nmero de cosas.

NACE POR LA NECESIDAD DE REPARTIR

NUMEROS ENTEROS
Los trminos de la divisin se llaman dividendo (el nmero de cosas) y divisor (no nulo) (se reparten), el resultado se llama cociente (nmero que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o no un residuo (lo que sobra) cuando la divisin no es exacta.

Para que la divisin de nmeros naturales se pueda realizar debe cumplirse:

Dividendo > Divisor

NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la Divisin (/ :) de nmeros enteros.
La divisin no tiene las propiedades de la multiplicacin.

La divisin no es una operacin interna en el conjunto de los nmeros naturales

NUMEROS ENTEROS
Dividendo > Divisor

NUMEROS ENTEROS
Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4 personas. Cmo lo haras?

REPARTO

Divisin exacta

NUMEROS ENTEROS
Hay que repartir 17 lapiceros entre 3 personas. Cmo lo haras?

REPARTO

Divisin inexacta

NUMEROS ENTEROS
Divisin (/ :) de nmeros enterosRealizar la divisin e indicar si es exacta o inexacta.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/division.htm

NUMEROS ENTEROS
Radicacin ( ) de nmeros enterosLa radicacin es la operacin contraria a la exponenciacinLa radicacin no est completamente definida dentro de los nmeros naturales.La radicacin no es una operacin interna en el conjunto de los nmeros naturales

NUMEROS ENTEROS
Radicacin ( ) de nmeros enteros
3 es el ndice 8 es el radicando y 2 es el resultado de la radicacin.

NUMEROS ENTEROS
Propiedad distributiva.

NUMEROS ENTEROS
Tabla de potencias / radicacion.

NUMEROS ENTEROS

NUMEROS ENTEROS
De los nmeros Enteros a los nmeros RacionalesA pesar de que muchas actividades del Hpmbre quedaron cubiertas con los nmeros naturales, quedaron muchas actividades que necesitan un nuevo conjunto de nmeros: los nmeros RACIONALES

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http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index1.htm

BIBLIOGRAFIA
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index1.htmhttp://www.rena.edu.ve/
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