01. Blocking and Confounding in the 2_k Factorial Design

BLOCKING AND CONFOUNDING IN THE 2k FACTORIAL DESIGN

Oleh :

Muhammad Ghazali (1311.201.006)

Adiba (1311.201.022)

Feni Ira Puspita (1311.201.027)

Dosen Pengajar :

Dr. Sutikno

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2011

M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita

BLOCKING AND CONFOUNDING IN THE 2k FACTORIAL DESIGN

M.Ghazali1 Adiba2 Feni Ira Puspita3 1,2,3 Mahasiswa Pasca Sarjana Statistika ITS Surabaya

2011

ABSTRAK

Rancangan percobaan faktorial 2k dapat dilakukan secara lengkap apabila keadaannya

homogen. Jika kondisi tidak memungkinkan untuk melakukan semua kemungkinan perlakuan

misalnya adanya keterbatasan biaya, bahan, dan alat maka dibutukan metode yang lebih baik pada

rancangan awal faktorial. Percobaan yang menggunakan satu kali pengulangan dengan kondisi yang

memungkinkan dapat digunakan metode pengelompokan (blocking). Apabila keadaan tidak

memungkinkan untuk dilakukan satu pengulangan secara lengkap dalam satu blok maka dapat

dilakukan metode pembauran (confounding). Terdapat tiga metode penyusunan pembauran

(confounding) yaitu dengan Plus Minus (Plus Minus Methods), Kombinasi Linear (Linear Combination)

dan the group-theoretic of principal block .

Kata-kata kunci : rancangan faktorial 2k, metode pengelompokan (blocking), metode plus minus,

kombinasi linear, the group-theoretic of principal block

1. Pengelompokan Rancangan Faktorial dengan Pengulangan

Peneliti seringkali dihadapkan pada keadaan yang tidak memungkinkan untuk

melakukan percobaan rancangan faktorial 2k pada kondisi yang homogen.

Ketidakhomogenan ini dapat terjadi karena adanya keterbatasan biaya, bahan, alat sehingga

tidak memungkinkan semua perlakuan dilakukan pada satu alokasi saja (batch). Jika

terdapat k percobaan dengan n kali pengulangan, karena batch yang digunakan tidak cukup

untuk menjalankan semua kemungkinan percobaan, maka dibutuhkan lebih dari satu batch.

Ketidakhomogenan yang mungkin terjadi adalah material percobaan antar batch atau batch-

nya sendiri beda kualitasnya. Sehingga batch dianggap sebagai kelompok/blok dalam

rancangan faktorial 2k. Teknik rancangan yang digunakan dalam situasi ini adalah blocking.

Percobaan faktorial 2k dengan pengulangan ‘n’ kali dan kondisi lingkungan tidak

homogen, maka dijadikan sebagai kelompok/blok dan setiap pengulangan dijalankan pada

setiap blok/kelompok tersebut. Tabel 1 merupakan contoh rancangan faktorial 22 yang

dilakukan pengulangan sebanyak tiga kali.

Tabel 1. Percobaan Rancangan Faktorial 22 dalam Tiga Blok

Total B1= 113 B2 = 106 B3 = 111

(1) = 28 a = 36 b = 18 ab = 31

(1) = 25 a = 32 b = 19 ab = 30

(1) = 27 a = 32 b = 23 ab = 29


Tabel 2. Analysis of Variance Rancangan Faktorial vs Rancangan Blok Faktorial

Rancangan Faktorial Blocking 2k dalam Rancangan Faktorial

Source of

Variation

Sum of Squares

df Mean

Square F0 P-value

Source of

Variation

Sum of Squares

df Mean

Square F0 P-value

A 208.33 1 208.33 53.15 0.0001 Blocks 6.5 2 3.25

B 75 1 75 19.13 0.0024 A 208.33 1 208.33 50.32 0.0004

AB 8.33 1 8.33 2.13 0.1826 B 75 1 75 18.12 0.0053

Error 31.34 8 3.92 AB 8.33 1 8.33 2.01 0.206

Total 323 11 Error 4.14 6 4.14

Total 323 11

Tabel 2 menunjukkan bahwa akibat yang hasilkan dari pengelompokan/blok terhadap

rancangan 22 faktorial sangat signifikan. SSE semakin kecil karena pengurangan hasil dari

pengelompokkan/blok. Nilai F0 untuk blok tidak dihitung, karena sudah dipastikan

signifikasinya menyebabkan variabilitas data. Derajat bebas dari tiga blok rancangan 22

faktorial pada Tabel 2 adalah dua. Berdasarkan Tabel 2, perhitungan blok menghasilkan nilai

efek dari blok yang relatif kecil.

SSBlok = 𝐵𝑖

2

4−

𝑦…2

12

31

= (113)2+ (106)2+ (111)2

4−

(330)2

12

= 6.50

2. CONFOUNDING

Pada rancangan kelompok/blok faktorial 2k jika blok tidak cukup menampung semua

kemungkinan pengulangan dalam satu kelompok/blok, maka diperlukan metode rancangan

percobaan khusus. Tujuannya untuk menyusun percobaan faktorial secara lengkap dengan

ukuran blok lebih kecil daripada ukuran kombinasi perlakuan dalam satu kali pengulangan,

metode ini biasa disebut pembauran (confounding). Metode pembauran menyebabkan

informasi tentang efek pasti perlakuan (biasanya yang memiliki interaksi paling besar) tidak

dibedakan dari kelompok/blok. Terdapat tiga metode menyusun confounding yaitu metode

plus minus (Plus Minus Methods), kombinasi linear (Linear Combination) dan the group-

theoretic of Principal Block.

2.1 CONFOUNDING DALAM DUA PENGELOMPOKAN/BLOK

2.1.1 Tabel Plus Minus

Jika pada percobaan rancangan 22 faktorial akan dibagi menjadi 2 blok, maka 4

perlakuan yang mungkin terjadi akan dibagi menjadi 2 blok dengan masing-masing berisi 2


perlakuan, dan confounding-nya adalah interaksi AB. Efek faktorial yang memiliki tanda

sama akan bergabung ke dalam blok yang sama.

Seluruh perlakuan bisa menjadi confounding, namun biasanya yang menjadi

confounding adalah yang memiliki order interaksi terbesar, karena tidak mungkin seorang

peneliti melakukan percobaan dengan confounding yang berbeda-beda untuk mendapatkan

hasil terbaik. Misalnya pada rancangan faktorial 22, yang dijadikan confounding-nya adalah

perlakuan AB dan pada rancangan faktorial 23, confounding-nya adalah ABC. Namun tidak

dapat dipungkiri apabila yang dijadikan confounding yaitu efek yang lain. Misalnya untuk

rancangan faktorial 22 menggunakan confound A dan B, sedangkan pada rancangan

faktorial 23 menggunakan confound A,B, C. AB, AC, BC.

Rancangan faktorial 22 pada Tabel 3 ditunjukkan bahwa pengelompokan dilihat dari

tanda plus minus perlakuan dibawah sel faktorial efek yang menjadi confounding AB.

Perlakuan yang memiliki tanda yang sama plus (+) dimasukkan pada kelompok/blok yang

sama blok I ((1), ab) sedangkan perlakuan yang memiliki tanda yang lain minus (-)

dimasukkan dalam kelompok/blok II (a, b).

Gambar 1. Rancangan Faktorial 22 dalam Dua Blok

Tabel 3. Tabel Plus Minus Gambar 1 Rancangan Faktorial 22 dalam Dua Blok

Treatment Combination

Factorial Effect

I A B AB

(1) + - - +

a + + - -

b + - + -

ab + + + +

Sedangkan pada rancangan faktorial 23 perlakuan yang memiliki tanda yang sama

pada sel di bawah efek faktorial yang menjadi confounding ABC dimasukkan pada

kelompok/blok yang sama. Perlakuan yang memiliki tanda yang sama minus (-) dimasukkan

pada kelompok/blok yang sama blok I ((1), ab, ac, bc) sedangkan perlakuan yang memiliki

tanda plus (+) dimasukkan dalam kelompok/blok II (a, b, c, abc).

Gambar 2. Rancangan Faktorial 23 dalam 2 Blok

BLOK 1

(1)

ab

BLOK 2

a

b

BLOK 1 (1) ab ac bc

BLOK 2 a b c

abc


Tabel 4 Tabel Plus Minus Rancangan Faktorial 23 dalam Dua Blok

Treatment combination

Factorial effect

I A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + - blok 1

a + + - - - - + + blok 2

b + - + - - + - + blok 2

ab + + + + - - - - blok 1

c + - - + + - - + blok 2

ac + + - - + + - - blok 1

bc + - + - + - + - blok 1

abc + + + + + + + + blok 2

2.1.2 Kombinasi Linear / Defining contrast

Metode lain yang dapat digunakan dalam membentuk blok pada rancangan percobaain

ini adalah metode kombinasi linear (defining contrast). Misalnya, pada rancangan faktorial 23

dimana xi adalah level dari faktor ke-i pada kombinasi perlakuan. αi adalah eksponen dari

faktor ke-i dalam efek yang dibaurkan.

L = α1x1 + α2x2 + . . . + αkxk

Jika x1 merujuk pada A, x2 merujuk pada B dan x3 merujuk pada C dan α1 = α2 = α3 =

1. Sehingga kombinasi linear/defining contrastnya sebagai berikut.

L = x1 + x2 +x3

Untuk perlakuan (1) (000) : L = 1(0) + 1(0) + 1(0) = 0

Untuk perlakuan a (100) : L = 1(1) + 1(0) + 1(0) = 1

Untuk perlakuan b (010) : L = 1(0) + 1(1) + 1(0) = 1, dan seterusnya.

Perlakuan (1) dan a akan berada pada blok berbeda karena memiliki nilai berbeda.

Setiap perlakuan yang memiliki nilai L (mod 2) yang sama akan ditempatkan pada blok yang

sama. Hasil blok yang didapatkan adalah :

BLOK I : (1), ab, ac, bc

BLOK II : a, b, c, abc

2.1.3 The Group-Theoretic Of Principal Block

Metode ketiga adalah the group-theoretic of Principal Block. Metode pembentukan

blok ini didasarkan pada blok yang memuat perlakuan (1). Kemudian perlakuan dalam blok

tersebut membentuk sebuah group yang berkenaan dengan perkalian mod 2. Sebagai

contoh desain principal block dari rancangan faktorial 23 dengan ABC confounded, maka :

ab.ac = a2bc = bc BLOK I + (1)

ab.bc = ab2c = ac hasilnya digunakan untuk

ac.bc = abc2 = ab mendapatkan blok II


b. (1) = b

b. ab = a BLOK II

b. ac = abc

b. bc = c

2.2 CONFOUNDING 2k FAKTORIAL DALAM EMPAT PENGELOMPOKAN

Dalam penelitian yang melibatkan jumlah faktor besar , k ≥ 4 dan ukuran blok kecil,

maka rancangan faktorial 2k dapat dibentuk menjadi confounding dalam 4 blok dengan 2k-2

observasi dalam setiap bloknya. Misalkan kita memiliki rancangan faktorial 25 dan setiap blok

hanya mampu menampung 8 perlakuan, maka 4 blok disusun. Metode penyusunan blok

dengan metode plus minus tidak dapat berlaku. Yang memungkinkan hanya metode

kombinasi linear/defining contras dan the group-theoretic of principal block.

2.3.1 Metode Kombinasi Linear

Sebagai contoh ambil dua effect confounded dengan block, misalkan ADE dan BCE.

Maka akan terbentuk defining contrastnya sebagai berikut :

L1 = x1 + x4 + x5

L2 = x2 + x3 + x5

Kita akan memiliki 4 kombinasi yang nantinya menjadi penentuan blok antara L1 dan

L2, yakni (0,0)/blok 1, (1,0)/blok 2, (0,1)/blok 3 dan (1,1)/blok 4.

(1): (L1,L2) = (0,0) -----> blok 1

a : (L1,L2) = (1,0) -----> blok 2

b : (L1,L2) = (0,1) -----> blok 3

c : (L1,L2) = (0,1) -----> blok 3

...

abcde : (L1,L2) = (1,1) -----> blok 4

Dibutuhkan satu efek lagi yang confounded dalam blok, karena jika blok yang ingin

dibentuk sebanyak empat, maka akan didapatkan tiga derajat bebas. Sedangkan

confounding yang dimiliki ADE dan BCE masing-masing hanya memiliki satu derajat bebas,

satu lagi efek dengan satu derajat bebas harus dibaurkan. Untuk mendapatkan confounded

tambahan dapat dilakukan dengan cara Generelized Interaction antara dua confounded

yang sudah ada, yaitu ADE dan BCE dengan melakukan perkalian diantara keduanya, maka

efek ABCD juga confounded dalam kelompok/blok. Sehingga sekarang dimiliki 3 confounded

with Block, yakni ADE, BCE dan ABCD.

(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD


Gambar 3 Rancangan Faktorial 25 dalam Empat Blok ADE, BCE, ABCD Confounded

2.3.2 Metode The Group Theoretic Principal Block

Metode The Group Theoretic Principal Block juga dapat digunakan pada contoh

rancangan faktorial 25. Berdasarkan Gambar 3, principal block (1) masuk pada

kelompok/blok I dan produk kombinasi dua perlakuan menghasilkan perlakuan yang lain.

ad . bc = abcd

abe . bde = ab2de2 = ad ; dan seterusnya

Blok yang lain dicari dengan mengalikan anggota principal block dengan salah satu

perlakuan bukan anggota principal block.

b . (1)= b ;

b . abc = ac ;

b . bde=de ; dan seterusnya

2.3 CONFOUNDING 2k FAKTORIAL DALAM 2p KELOMPOK/BLOK

Pada bab sebelumnya, semua kemungkinan observasi perlakuan rancangan faktorial

2k confounded dalam 2-4 kelompok/blok. Saat ini dapat diperluas dengan menggunakan 2p

kelompok/blok (p<k), sehingga setiap kelompok/blok berisi 2k-p observasi.

Langkah yang dapat dilakukan dengan memilih sebanyak p confounded effect yang

independen. Indepenen disini artinya tidak ada efek terpilih merupakan hasil interaksi

generalis dari lainnya. Kelompok/blok dapat dibangkitkan dengan menggunakan p defining

contrasts L1, L2, …, Lp asosiasi dengan efek tersebut.

Jika penelitian dengan rancangan (2k)= 26 dan confounding dalam (2p)= 23

kelompok/blok, maka masing-masing blok terdiri diri (2k-p) = 23 perlakuan. Dengan p = 3

independen confounding dipilih untuk mengeneralisir efek tambahan, yang dirumuskan

dengan 2p - p-1 = 4. Sebagai tambahan untuk mendapatkan jumlah efek yang sama dengan

jumlah derajat bebas blok (df blok = 8-1=7). Ketiga efek tersebut adalah : ABEF, ABCD dan

ACE. Ketiganya dapat digunakan untuk mengeneralisir efek lainnya sejumlah 2p - p-1 =4.

Sehingga total ada 7 confounding dengan blok, jumlahnya sesuai dengan derajat bebas dari

blok (8-1=7).

(ABEF)(ABCD) = CDEF (ABEF)(ACE) = BCF (ABCD)(ACE) = BED (ABEF)(ABCD)(ACE) = ADF

Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4

(1) ad bc

abcd abe ace cde bde

a be d

abde abc ce

bcd acde

b abce abd ae c

bcde acd de

e abcde

ade bd bce ac ab cd


2.5 PARTIAL CONFOUNDING

Subbab sebelumnya digunakan untuk rancangan faktorial 23 dengan 2 blok dimana

ABC dijadikan confounded dengan replikasi n =4. Informasi pada interaksi ABC tidak dapat

diperoleh kembali/diabaikan karena menjadi blok pada setiap pengulangannya (completely

confounded). Berdasarkan pembahasan Confounding 2k faktorial dalam 2p kelompok/blok

dimana effect confounding lebih dari satu, maka dapat dilakukan perbedaan confounded

pada setiap pengulangan, sehingga informasi confounded tidak diabaikan. Contoh

confounding 23 faktorial dalam 2 kelompok/blok dan pengulangan n=4 kali, pada setiap

pengulangan confounded dengan sebuah confounded berbeda-beda/partially confounded.

Gambar 4. Confounding Berbeda dalam Rancangan 23

Gambar 4 menunjukkan bahwa rancangan 23 dengan pengulangan n = 4 kali dengan

confounded berbeda-beda pada setiap pengulangannya. Hal ini menyebabkan elemen-

elemen perlakuan pada setiap kelompok menjadi berbeda. Pada pengulangan I, ABC

menjadi confounded; pengulangan II, AB sebagai confounded; pada pengulangan III, BC

sebagai confounded; pada pengulangan IV, AC sebagai confounded.

Perhitungan sum square interaksi adalah hanya data pengulangan yang tidak

confounded yang digunakan. Misalkan interaksi ABC hanya dihitung pada pengulangan II,

III dan IV, karena pada pengulangan I sebagai confounded. Demikian juga AB hanya

diperhitungkan pada pengulangan I, III dan IV, karena pada pengulangan II sebagai

confounded dan seterusnya.

3. Kelebihan dan Kelemahan Confounding

Berikut ini adalah kelebihan dari metode confounding :

• Dapat mengurangi kesalahan eksperimental cukup dengan stratifikasi bahan

percobaan dalam homogen subset atau subkelompok.

• Variasi yang dibuang dari blok tak lengkap dengan replikasi menghasilkan Mean

Square Error yang lebih kecil jika dibandingkan Randomized Completely Block

Design .

Kekurangan dari metode confounding adalah sebagai berikut :

• Peningkatan ketepatan diperoleh pada biaya pengorbanan informasi (parsial atau

lengkap) pada interaksi relatif tidak penting tertentu.

• Kontras confounded direplikasi lebih sedikit daripada kontras lainnya, maka informasi

yang seharusnya dapat tersampaikan akan hilang karena jumlah replikasinya

dikurangi.

• Perhitungan aljabar biasanya lebih sulit dan analisis statistik yang kompleks,

terutama ketika beberapa unit (pengamatan) yang hilang.

• Sejumlah masalah muncul jika perlakuan berinteraksi dengan blok.

Replikasi 1 Conf. ABC Replikasi 2 Conf. AB Replikasi 3 Conf. BC Replikasi 4 Conf. AC

(1) ab ac bc

a b c

abc

(1) c

ab abc

a b ac bc

(1) b bc

abc

b c

ab ac

(1) b ac

abc

a c

ab bc


Tabel 5 Susunan Kelompok/Blok untuk Rancangan Faktorial 25

Number of Factor,

k

Number of Block,

2p

Block Size 2k-p

Effect Chosen to Generate the Block

Interaction Confounded With Block

3 2 4 ABC ABC 4 2 AB, AC AB, AC, BC 4 2 8 ABCD ABCD 4 4 ABC, ACD ABC, ACD, BD 8 2 AB, BC, CD AB, BC, CD, AC, BD, AD, ABCD 5 2 16 ABCDE ABCDE 4 8 ABC, CDE ABC, CDE, ABDE 8 4 ABE, BCE, CDE ABE, BCE, CDE, AC, ABCD, BD, ADE 16 2 AB, AC, CD, DE Semua interaksi 2 dan 4 faktor (15 efek)

6 2 32 ABCDEF ABCDEF 4 16 ABCF, CDEF ABCF, CDEF, ABDE 8 8 ABEF, ABCD, ACE ABEF, ABCD, ACE, BCF, BDE, CDEF, ADF 16 4 ABF, ACF, BDF, DEF ABF, ACF, BDF, DEF, BC, ABCD, ABDE, AD, ACDE, CE, BDF,

BCDEF, ABCEF, AEF, BE 32 2 AB, BC, CD, DE, EF Semua interaksi 2, 4 dan 6 faktor (31 efek)

7 2 64 ABCDEFG ABCDEFG 4 32 ABCFG, CDEFG ABCFG, CDEFG, ABDE 8 16 ABC, DEF, AFG ABC, DEF, AFG, ABCDEF, BCFG, ADEG, BCDEG 16 8 ABCD, EFG, CDE, ADG ABCD, EFG, CDE, ADG, ABCDEFG, ABE, BCG, CDFG, ADEF,

ACEG, ABFG, BCEF, BDEG, ACF, BDF 32 4 ABG, BCG, CDG, DEG,

EFG ABG, BCG, CDG, DEG, EFG, AC, BD, CE, DF, AE, BE, ABCD, ABDE, ABEF, BCDE, BCEF, CDEF, ABCDEFG, ADG, ACDEG, ACEFG, ABDFG, ABCEG, BEG, BDEFG, CFG, ADEF, ACDF, ABCF, AFG

64 2 AB, BC, CD, DE, EF, FG Semua interaksi 2, 4, 6 faktor (63 efek)


CONTOH :

Diketahui : Penelitian dengan rancangan faktorial 23 untuk mengetahui dampak tinggi isian

minuman bersoda. Tiga faktor persentase karbonasi (A), tekanan (B) dan kecepatan lini (C)

digunakan untuk mengetahui tinggi isian tersebut. Apabila setiap batch hanya mampu untuk

mengukur empat tes perlakuan, sehingga setiap pengulangan rancangan 23 harus dijalankan

dalam dua kelompok/blok. Jika dilakukan percobaan dengan dua pengulangan, dengan ABC

sebagai confounded pada pengulangan I dan AB sebagai confounded ada pengulangan II. Data

yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

Tabel 6 Tabel Plus Minus dan Data hasil Contoh

Factorial effect

A B AB C AC BC ABC Replikasi I

Replikasi II

(1) - - + - + + - -3 -1

a + - - - - + + 0 1

b - + - - + - + -1 0

ab + + + - - - - 2 3

c - - + + - - + -1 0

ac + - - + + - - 2 1

bc - + - + - + - 1 1

abc + + + + + + + 6 5

Source of Variance Sum

Square DF

Mean Square

Fo P-Value

Replicates 1.00 1 1.00

Block Within replicates 2.50 2 1.25

A 36.00 1 36.00 48.00 0.0001

B 20.25 1 20.25 27.00 0.0035

C 12.25 1 12.25 16.33 0.0099

AB (rep I only) 0.50 1 0.50 0.67 0.4503

AC 0.25 1 0.25 0.33 0.5905

BC 1.00 1 1.00 1.33 0.3009

ABC (rep II only) 0.50 1 0.50 0.67 0.4503

Error 3.75 5 0.75

Total 78.00 15

(1)= -3 ab = 2 ac =2 bc = 1

a = 0 b = -1 c = -1 abc = 6

(1)= -1 c = 0 ab = 3 abc = 5

a = 1 b = 0 ac =1 bc = 1

Replikasi 1 Conf. ABC Replikasi 2 Conf. AB


Perhitungan Sum Square

SS Replikasi = [rep. 1]2 /2k + [rep. 2]2 /2k – (total)2 /n.2k

= [(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc]2/2k + [(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc]2/2k -

y...2/N

= (-3+2+2+1+0+-1+-1+6) 2 /8 +(-1+0+3+5+1+0+1+1) 2 /8 – (16) 2 /16

= [6]2 /8 + [10]2 /8 – [16]2 /16

=17-16

=1

SS blok = ABC [rep 1] + AB [rep 2]

= [(a+b+c+abc)- ((1)+ab+ac+bc)]2/2k + [((1)+ab+c+abc) – (a+b+ac+bc)]2/2k

= [-(-3)+0+(-1)- 2 +(-1) -2-1+6] 2 /8+ [+(-1) - 1- 0+3+0-1-1+5] 2 /8

= [2]2 /8 +[4]2 /8

= 2.5

SSA = A [rep.1] + A [rep.2]

= [(a+ab+ac+abc) – ((1) + b+c+bc)]2/n.2k + [(a+ab+ac+abc) – ((1) +

b+c+bc)]2/n.2k

= [24]2 /16

= 36

SSB = B [rep.1] + B [rep.2]

= [(b+ab+bc+abc) – ((1)+a+c+ac)]2/n.22 + [(b+ab+bc+abc) –

((1)+a+c+ac)]2/n.22

= [18]2 /16

= 20.25

SSC = C [rep.1] + C [rep.2]

= [(c+ac+bc+abc) – ((1)+a+b+ab)]2/n.2k + [(c+ac+bc+abc) –

((1)+a+b+ab)]2/n.2k


= [14]2 /16

= 12.25

SS AB = AB [dalam rep.1, dalam rep.2 confounded]

= [((1)+ab+c+abc – (a+b+ac+bc)]2/2k

= [2]2 /8

= 0.5

SS AC = AC [rep.1] + AC [rep.2]

= [((1)+b+ac+abc) – (a+c+ab+bc)]2/n.2k + [((1)+b+ac+abc) –

(a+c+ab+bc)]2/n.2k

= [2]2 /16]

= 0.25

SS BC = BC [rep.1] + BC [rep.2]

= [((1)+a+bc+abc) – (b+c+ab+ac)]2/n.2k + [((1)+a+bc+abc) –

(b+c+ab+ac)]2/n.2k

= [4]2 /16

= 1

SS ABC = ABC [rep.2, dalam rep. 1 confounded)

= [(a+b+c+abc) – ((1)+ab+ac+bc)]2/2k

= 22 /8 = 0.5

SST = 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙2𝑛

𝑙=1𝑐𝑘=1

𝑏𝑗=1

𝑎𝑖=1 −

𝑦…2

𝑛 .2𝑘

= 94- (162/16)

= 78


Perhitungan Minitab

Misalnya terdapat percobaan faktorial 22, dengan 4 poin desain ((1), a, b, ab) dan dilakukan

pada masing-masing poin desain dalam 3 blok.

Hasil penelitian diperoleh sebagai berikut .

Perhitungan dalam Minitab:

Step 1: Specify a 22 design

Step 2: Select 3 replicates in 3 blocks


The Design Setup in Minitab

Hasil dari struktur desain dari Minitab

Berikut hasil respons dari perhitungan Minitab


The normal probability plot

The Least Square Means


Residual Plot

Interaction Plot, Main Effect Plots, Surface Plot, dan Contour Plot


Contoh: Jika k > 2

Consider a 23 experiment in 2 blocks. We want to confound the ABC interaction effect with

blocks in this example.The easiest way to do this is to write out the design matrix with the +1’s

and -1’s, as shown below.

Next, sort the ABC column by the -1’s and the +1’s as follows. Then, all the -1’s constitute block

1 and the +1’s constitute block 2.

Bagaimana menghitung confounding secara umum ?

pada rancangan faktorial 23 dimana xi adalah level dari faktor ke-i pada kombinasi perlakuan. αi

adalah eksponen dari faktor ke-i dalam efek yang dibaurkan.

L = α1x1 + α2x2 + . . . + αkxk

Jika x1 merujuk pada A, x2 merujuk pada B dan x3 merujuk pada C dan α1 = α2 = α3 = 1.

Sehingga kombinasi linear/defining contrastnya sebagai berikut.

L = x1 + x2 +x3


Contoh: Lebih dari dua blok

Contoh ambil dua effect confounded dengan block, misalkan ADE dan BCE. Maka akan

terbentuk defining contrastnya sebagai berikut :

L1 = x1 + x4 + x5

L2 = x2 + x3 + x5

Kita akan memiliki 4 kombinasi yang nantinya menjadi penentuan blok antara L1 dan L2, yakni

(0,0)/blok 1, (1,0)/blok 2, (0,1)/blok 3 dan (1,1)/blok 4.

L1 L2 Pair Block

0 0 (0,0) 1

1 0 (1,0) 2

0 1 (0,1) 3

1 1 (1,1) 4


Untuk mengetahui anggota dalam blok dapat menggunakan “filter” dalam perhitungan excel.

Hasil struktur blocking

Generalized Interactions

Dibutuhkan satu efek lagi yang confounded dalam blok, karena jika blok yang ingin dibentuk

sebanyak empat, maka akan didapatkan tiga derajat bebas. Sedangkan confounding yang

dimiliki ADE dan BCE masing-masing hanya memiliki satu derajat bebas, satu lagi efek dengan

satu derajat bebas harus dibaurkan. Untuk mendapatkan confounded tambahan dapat

dilakukan dengan cara Generelized Interaction antara dua confounded yang sudah ada, yaitu

ADE dan BCE dengan melakukan perkalian diantara keduanya, maka efek ABCD juga

confounded dalam kelompok/blok. Sehingga sekarang dimiliki 3 confounded with Block, yakni

ADE, BCE dan ABCD.

(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD


Desain Minitab:


Spesifikasi pembangkit untuk blocking


Analisis dengan SAS

Output SAS :


DAFTAR PUSTAKA

Montgomery, C.D. 1997. Design and Analysis of Experiments. New York : John Wiley & Sons, Inc.

Suwanda. 2011. Desain Eksperimen untuk Penelitian Ilmiah. Bandung : Alfabeta.

Jaggi, S. et all. Confounding in Factorial Experiments and Fractional Factorials. New Delhi: Library

Avenue Indian Agricultural Statistics Research Institute.

01. Blocking and Confounding in the 2_k Factorial Design

Documents

Transcript of 01. Blocking and Confounding in the 2_k Factorial Design