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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fs.Nat. (Esp)Vol. 104, N. 2, pp 427 444, 2010

XII Programa de Promocin de la Cultura Cientfica y Tecnolgica

UN PASEO POR EL INFINITOFERNANDO BOMBAL GORDN *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid. Facultad de Matemticas. UniversidadComplutense. 28040 Madrid.

1. INTRODUCCIN

Pocos conceptos han inquietado y fascinado tanto alos pensadores de todas las pocas como el del infinito.Jorge Luis Borges (1899-1986), uno de los escritoresque ms y mejor han tratado el tema desde el punto devista literario, en su obraAvatares de la tortuga [Bg, p.254], escribe:

Hay un concepto que es el corruptor y el desatinadorde los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio esla tica; hablo del Infinito.

La sensacin de pequeez y apabullamiento queprovoca la idea de infinito en relacin con nuestrasexperiencias personales lo expresa muy claramentePascal cuando dice:

Cuando considero la limitada extensin de mi vidacomparada con la eternidad [] o la pequea parte deespacio que puedo tocar o ver, sumergido en la inmen

sidad infinita de espacios que no conozco [] sientomiedo y asombro al verme aqu en lugar de all, ahoraen vez de entonces.([Pa ], P. 427).

Los griegos parece que fueron los primeros, comoen tantas ocasiones, en abordar rigurosamente el pro-

blema del infinito y, como veremos, los resultados nofueron muy satisfactorios que digamos. La palabra que

utilizaron para designar los distintos aspectos delinfinito fue (peiron), formada por el prefijonegativo y la raz (lmite), que literalmente sig-nifica ilimitado, pero tambin indefinido, totalmentedesordenado, infinitamente complejo, etc. En palabrasde Aristteles (384-322 a. d. C.), ser infinito esuna privacin, no una perfeccin (Fsica,III.7.208a)

Lo cierto es que hay muchos aspectos de la realidadque parecen apuntar hacia la existencia real de infi-

nitos: por ejemplo, el tiempo parece prolongarse haciaJorge Luis Borges

Pascal


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ginal, y a partir de entonces volveran a repetirse losmismos acontecimientos: habra otra guerra de Troya,otra Alejandra e incluso otro Platn. Por tanto, nohabra una infinidad de acontecimientos ya que encada recorrido del ciclo completo o gran ao, vol-

veran a repetirse los mismos. De hecho, ni siquierahace falta hablar de una infinidad de ciclos: el mismociclo puede repetirse una y otra vez.

La teora del los ciclos csmicos reaparece con fre-cuencia a lo largo de la historia: En la mitologa hind,en mundo es peridicamente destruido y creado a lolargo de ciclos csmicos muy largos; los antiguoschinos haban calculado un ciclo csmico de 23.639aos, producido por interaccin de los principios deying y el yang. La misma idea, aunque con ciclos ms

cortos, reaparece entre los mayas y los aztecas, etc.

La aceptacin por parte de la Iglesia Catlica deque el Universo fue creado por la divinidad en unmomento dado, implica el abandono de la teora deltiempo circular y la introduccin de un tiempo lineal.Al fin y al cabo, la doctrina cristiana se centra en lamuerte y resurreccin de Jess, y este debe ser unhecho absolutamente singular, ya que si se repitieseuna y otra vez en sucesivos ciclos csmicos, desapare-cera en significado mismo de la Redencin2.

Pero si hubo una Creacin en un momento espe-cfico del tiempo, qu haba antes?, qu haca Diosantes de crear el Cielo y la Tierra? Se dice que SanAgustn (354-430) dio la siguiente respuesta:Preparar el Infierno para quienes hacen semejantes

preguntas. Pero, realmente, la solucin dada por SanAgustn al problema fue, como era de esperar de unhombre excepcional, tremendamente original: antes dela Creacin, simplemente el tiempo no exista. El

tiempo y el Cosmos aparecieron conjuntamente. Laeternidad de Dios no es un tipo de tiempo; al contrario,Dios subsiste eternamente fuera del tiempo. Hay que

hacer notar la semejanza de este argumento con lasteoras cosmolgicas recientes del Big Bang, confir-madas tericamente por el teorema de Hawking-Penrose de 1970 sobre la existencia de una singula-ridad al comienzo del Universo.

Las profecas sobre el fin de los das sealan que eltiempo en la teologa cristiana resulta ser finito. Por elcontrario, se introduce un infinito actual claro: Dios oel Absoluto.

En cuanto al espacio, los astrnomos griegos (yAristteles con ellos) sostenan que el Universo estabaformado por una serie de esferas en movimiento, concentro en la Tierra, que contenan los distintos objetosque se observaban en el Cielo: la Luna, el Sol, loscinco Planetas y las Estrellas Fijas. Por tanto, nuestrouniverso es acotado y finito. Respecto a la preguntaobvia de qu hay ms all de la ltima esfera,Aristteles mantiene que lo que est limitado, no loest en referencia a algo que lo rodee (Fsica,III.8.208a).

El primer argumento clsico contra la finitud delespacio aparece explcitamente en De Rerum Natura,del poeta Lucrecio (94-50 a. de C.), y es el siguiente:

si el espacio fuera limitado, supongamos que alguienllega hasta el mismo borde y lanza un dardo; entonces,o bien el dardo atraviesa el borde (en cuyo caso no esrealmente el borde del espacio) o se para, en cuyo casose trata efectivamente de una frontera y hay algo msall del borde3. Este argumento es similar al atribuidoal pitagrico Arquitas de Tarento (430-360 a. de C.)

para probar que el Cosmos visible (limitado) exista enun vaco infinito: si alguien se encuentra al borde deluniverso y extiende un brazo hacia el exterior, lotender al vaco; si ahora se coloca un poco ms afuera

y lo vuelve a tender, y repite el proceso indefinida-mente, resultar que el exterior del universo serainfinito (incidentalmente, para Aristteles este argu-

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2 San Agustn seal que Cristo muri una vez por nuestros pecados; y, alzndose entre los muertos, no muri ms. Por otro lado, la repeticin incesante de los mismos acontecimientos apoyara la pretensin de los astrlogos de poder predecir el futuro mediante el estudio de la

posicin de los astros en el firmamento, lo que tambin le pareca impo a San Agustn. La idea del tiempo cclico fue sistemticamente combatida por la Iglesia y as, por ejemplo, cuando en 1277 el obispo de Pars Etienne Tempier recopil 219 creencias herticas; la teora deltiempo cclico ocupaba el nmero 6 de la lista.3 El punto dbil de la teora de Aristteles es que si el Cosmos es una esfera finita, tiene un borde, y el argumento de Lucrecio se puede aplicar. Ahora sabemos que se pueden concebir modelos cosmolgicos finitos y sin borde, como puede ser la superficie de una hiperesfera, lo que

hara ms defendible la idea de Aristteles.


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mento slo probara que caso de existirel vaco serapotencialmente infinito). La idea de un vaco infinitofue tambin mantenida por algunos telogos medie-vales, que sostenan que Dios deba disponer de unespacio infinito en donde estar omnipresente.

Durante la Edad Media, el modelo cosmolgicogriego (esencialmente formalizado por Ptolomeo) fueasumido sin discusin, salvo ligeras modificaciones

para adaptarlo a las nuevas observaciones realizadas.La revolucin astronmica llevada a cabo por N.Coprnico y J. Kepler4 en los siglos XVI y XVII,acab con este modelo y plante de nuevo la posibi-lidad de un espacio infinito. Tras el precedente deLucrecio, un ingls, Thomas Digges,public en 1576una obra de divulgacin sobre la teora de Coprnico y

describi un Universo donde las estrellas eran otrossoles, esparcidos por un espacio infinito. GiordanoBruno (1548-1600) defendi apasionadamente la ideade un Universo infinito, tanto en el espacio como en eltiempo; en l existiran infinitos mundos, muchos deellos habitados por otros seres humanos (Del infinitoUniverso y Mundos, 1584). Sus teoras planteaban tre-mendos problemas teolgicos y contradicciones conmuchas afirmaciones contenidas en la Biblia: laCreacin haba tenido lugar en un momento deter-minado del tiempo y el mundo no haba existido eter-

namente, como afirmaba Bruno. Slo hubo una Caday una Redencin. Cmo podan participar de estoshechos los habitantes de los otros mundos? Habasido Cristo crucificado en todos los mundos, o existanseres humanos sin pecado original? En 1591, Brunofue detenido por la Inquisicin y, tras nueve aos deinterrogatorios y torturas, fue quemado en la Plazaromana de Campo di Fiori en 1600.

La rpida difusin y amplia popularidad de lasteoras de Coprnico y Kepler, a pesar de la oposicinde la Iglesia, se debi en gran parte al trabajo del ini-ciador de la Revolucin Cientfica que iba a cambiarsustancialmente las ideas sobre la Naturaleza y elUniverso: Galileo Galilei (1564-1642). Su descubri-miento del telescopio en 1609 y sus observaciones y

teoras sobre la Naturaleza se difundieron rpidamentepor toda Europa. A ello contribuyeron sin duda suslibros, dirigidos a un pblico muy amplio y quetuvieron un enorme xito. Por ejemplo, su famoso

Dilogo sobre los dos mximos Sistema del Mundo (se

refiere al Ptolomeico y al Copernicano), publicado en1632, estaba escrito en italiano, en lugar de latn, queera la lengua cientfica por excelencia.

Si bien no contiene pruebas concluyentes delsistema copernicano (y alguna de las teoras que pro-

pugna son completamente errneas, como el captulodedicado a las mareas),El Dilogo contribuy decisi-vamente a demoler la cosmologa aristotlica y seallas pautas a seguir por la nueva Revolucin Cientficaen ciernes.

El xito de El Dilogo fue inmenso en todaEuropa y atrajo la atencin de la Inquisicin, que

prohibi su venta y llam a juicio a Galileo. En juniode 1633, reafirmando el dictamen de la Inquisicin de1616 sobre la teora copernicana, un tribunal de 7 car-denales declar absurda, falsa en Filosofa y herticala afirmacin de que el Sol ocupa el centro delUniverso y que la Tierra no est inmvil en el centrodel mundo. y oblig a Galileo, a rectractarse de suscreencias. Tras la abjuracin, fue condenado a una

especie de arresto domiciliario de por vida, muriendoen su hogar, cerca de Florencia, en 1642. A pesar de sureclusin y amargura, sigui trabajando incansable-mente, y en 1638 apareci suDiscorsi e dimostrazionimatematiche in torno a due nove scienze attenanti allamecanica i movimenty locali, en el que hace un estudiosistemtico y revolucionario sobre el movimiento delos proyectiles, formula la ley de composicin demovimientos, la del movimiento uniformemente ace-lerado y aborda el estudio del pndulo.

La comprobacin por parte de los astrnomos deque al aumentar la potencia de sus telescopios se des-cubran ms y ms estrellas, cada vez ms lejanas, hizoque fuera arraigando con fuerza la idea de un Universoinfinito. El mismo Galileo se inclinaba por esta opcin,

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4 Kepler no solamente formul las famosas 3 leyes del movimiento planetario (las dos primeras se incluyen enNova Astronomia, en 1609, yla tercera enHarmonices Mundi en 1619). Tambin escribi un texto sobre el clculo del volumen de las barricas de vino (y de paso el decerca de 90 slidos de revolucin), innumerables horscopos y hasta una novela de ciencia ficcin: Somnium (publicada en 1634), en la quedescribe un viaje a la Luna, que resulta estar habitada. La cara orientada siempre hacia la tierra (Subvolva) est ocupada por un pueblo ms

o menos civilizado, mientras que el hemisferio opuesto (Privolva) sustenta una civilizacin nmada.


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aunque nunca dio por zanjada la cuestin. La causa deestas dudas, que contrastan con la facilidad con la quemuchos de sus contemporneos aceptaron la idea de unUniverso infinito, probablemente se debe a las propie-dades paradjicas que l mismo haba descubierto del

infinito matemtico (vase la Seccin siguiente.)

Pragmtico como era, en una carta que escribi en1649 a Fortunio Liceti, un Profesor de la Universidadde Padua, manifest que no poda concebir un uni-verso finito y limitado ni un universo infinito e ili-mitado5. El hecho de que lo infinito no pudiera sercomprendido por el intelecto finito del hombre, leinduca a inclinarse por la segunda posibilidad: eramejor sentirse desconcertado ante lo incomprensibleque verse incapaz de comprender lo finito!

El hombre encargado de desarrollar el programa deGalileo, Isaac Newton (1642-1727), crea, como G.Bruno, que el espacio era infinito y estaba ocupado porun Dios omnipresente. Su primer argumento en apoyode esta idea se encuentra en una carta escrita al clrigoRichard Bentley en 1692: Si el universo fuera finito

dice Newton la gravedad determinara que toda lamateria se concentrara finalmente en un punto. Por elcontrario, en un universo infinito cualquier astro expe-

rimentara fuerzas gravitatorias en todas direcciones.

El argumento de Newton se basa en su concepcinde un espacio infinito y esttico. Hoy sabemos queesto no es as. Adems, el Universo visible tiene unaestructura granulosa, no homognea: las estrellas sedistribuyen en galaxias, muy distantes unas de otras.Los efectos gravitacionales del resto de las galaxiasson despreciables frente a los que originan las estrellasde la propia galaxia. Y sin embargo, las galaxias per-manecen estables a lo largo de muchos millones de

aos, ya que su rotacin impide el colapso que pre-deca Newton. Claro est que Newton no saba de laexistencia de otras galaxias distintas de nuestra propiaVa Lctea, y las observaciones de los astrnomoscontemporneos suyos parecan mostrar que lasestrellas se hallaban uniformemente distribuidas en elespacio, lo que serva de apoyo a su argumento.

Aunque nadie haba encontrado un argumento con-cluyente que probara que el universo es infinito, lamayora de los cientficos de la poca se inclinaban poresta idea. Sin embargo, el astrnomo real EdmondHalley (1656-1742) (que, por cierto, haba financiado

la primera edicin de losPrincipia de Newton), creyhaber encontrado un argumento en contra de la infi-nitud del Universo: Si lo fuera argumentabaHalleycontendra infinitas estrellas, y no habralugar en el cielo al que uno pudiera dirigir la miradasin que la lnea de visin se encontrara con unaestrella. Por tanto, el cielo en la noche debera apa-recer tan brillante como durante el da! En la actua-lidad este argumento se conoce como Paradoja deOlbers, por el astrnomo alemn H. Olbers, que laredescubri en 1826. El mismo Olbers crey haber

encontrado una explicacin: la luz de las estrellaslejanas podra ser absorbida por grandes masas demateria interestelar intermedias. Pero si esto sucediera,con el tiempo esta materia intermedia se calentara,hasta hacerse tan brillante como las mismas estrellas.Se puede argumentar que, incluso en un universoinfinito con infinitas estrellas, stas podran estar asi-mtricamente distribuidas y existir algunos sectores(infinitos) del cielo sin estrellas. Pero esta hiptesis

parece poco natural (y contradice las observacionesastronmicas.) La hiptesis del Big Bang, amplia-

mente aceptada en la actualidad, permite explicarfcilmente la paradoja: si se admite que el Universotuvo su origen en una gran explosin, hace unos15.000 millones de aos, aunque el espacio fuerainfinito y con infinitas estrellas slo podramos per-cibir las que estuvieran situadas a menos de 15.000millones de aos luz y, adems, la luz emitida por lasms lejanas habra sufrido un enorme desplazamientohacia el rojo (convirtindose de hecho en ondas deradio).

En el momento actual, an no tenemos una res-puesta definitiva a la pregunta de si el espacio es finitoo infinito. A lo largo del siglo XX han ido apareciendoimportantes datos empricos que parecan inclinar larespuesta en una direccin, para despus corregirla ensentido contrario. Si se acepta la Teora de la Rela-tividad, la respuesta depender de la curvatura del


5 Ms de un siglo despus, el filsofo I. Kant (1724 1804) present una serie de argumentos contra la existencia tanto de una espacio o tiempo finitos como la de un espacio o tiempo infinitos, a fin de sustentar su teora de que el tiempo y el espacio no son realidades objetivas, sino

que son creaciones de la mente humana.


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espacio: si sta es positiva, el Universo se cerrarsobre s mismo y ser finito; si la curvatura es negativao 0, el Universo ser infinito. Por otro lado, la idea deun Universo en el que tiempo y espacio deben serfinitos y sin frontera es defendida por muchos cosm-

logos modernos, con S. Hawking a la cabeza (Cfr.[Ha; pg. 182 y sgs.])

2.2.Lo infinitamente pequeo.

En la Seccin anterior hemos analizado algunosaspectos de la realidad que pueden interpretarse comoinfinitos. Nos preguntamos ahora por la existencia delo infinitamente pequeo en el mundo fsico. Es claroque el espacio matemtico eucldeo consta de infinitos

puntos matemticos. Pero cualquier fenmenoobservado o percibido se extiende necesariamente a lolargo de una cierta regin del espacio y/o el tiempo.Por lo tanto, cuando nos preguntamos por la existenciade lo infinitamente pequeo en la naturaleza, real-mente lo que queremos saber es si el espacio y eltiempo son infinitamente divisibles.

Para Aristteles la respuesta es afirmativa, y lopone claramente de manifiesto con su definicin decontinuo: Lo que puede dividirse en partes que soninfinitamente divisibles (Fsica, VI. 232b). Notemos,

sin embargo, que esto no contradice su rechazo demagnitudes infinitas reales, ya que si bien un cuerpomaterial o un intervalo de tiempo pueden dividirseindefinidamente, como nadie puede realizar esas infi-nitas divisiones, no puede decirse que el conjunto de

partculas del objeto o de instantes de tiempo seainfinito realmente, sino slo en sentidopotencial6. Porel contrario, para Hilbert, la divisibilidad infinita deun continuo es exclusivamente una operacin del pen-

samiento, una idea que la observacin de la natu-raleza y la experimentacin en la fsica y la qumicarefutan [Hi]

Como sabemos, la mayora de las teoras sobre lanaturaleza de la materia que se han desarrollado a lolargo de la historia, se inclinan hacia la existencia de

elementos o partculas bsicas e indivisibles que com-pondran, por agregacin, todo lo existente: primero,los cuatro elementos clsicos de la Antigedad griega(Aire, Tierra, Fuego y Agua), que al mezclarse endiversas proporciones, originaran todas las dems sus-tancias. Despus, los Alquimistas agregaron al sistemanuevas sustancias elementales, como ciertas sales,esencias, etc.. Los primeros qumicos encontraron unanueva unidad fundamental de cada sustancia: lamolcula. Posteriormente, se comprob que las mol-culas podan a su vez descomponerse en unidades mssimples, llamadas tomos, de los que se pens que


6 Ya Anaxgoras (500 428 a.d.C.) haba escrito: No existe lo ms pequeo entre lo pequeo ni lo ms grande entre lo grande, sino siem

pre algo todava ms pequeo y algo todava ms grande.

Figura 1


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En un conjunto infinito, si uno pudiera concebir tal cosa,nos veramos forzados a admitir que hay tantos cuadradoscomo nmeros.

En otro lugar, Galileo constata que si se considerandos circunferencias concntricas y se trazan radiosdesde el centro comn, haciendo corresponder a cada

punto A de la circunferencia pequea el nicopunto dela circunferencia grande el que el radio que pasa por Ala corta, se establece una correspondencia biunvoca

entre los puntos de la circunferencia grande y los de lacircunferencia pequea y por tanto, ambos conjuntos(infinitos) de puntos, tienen el mismo nmero de ele-mentos.

La conclusin que obtiene Galileo de estos hechoses que

Esta es una de las dificultades que surgen cuandointentamos, con nuestra mente finita, discutir el infinito,asignndole las mismas propiedades que damos a lo

finito y limitado. Creo que esto es un error, pues no sepuede decir de [dos] cantidades infinitas que una seamayor, menor o igual que otra

En una carta escrita en 1692, I. Newton (1642-1727) coincide con Galileo al decir que Los infinitos,cuando se consideran sin ninguna limitacin o restric-cin, no son ni iguales, ni distintos, ni guardan ningu-na proporcin uno respecto de otro.

G. Leibniz, (1646-1716), el co-descubridor delClculo, conocedor de los ejemplos de Galileo, dijo enuna ocasin que Nada es ms palpable que lo absur-do de la idea de un nmero infinito, aunque parececontradecirse cuando en otro lugar escribe Estoy tana favor de la realidad del infinito que, en lugar deadmitir que la Naturaleza lo abomina, como se dicevulgarmente, creo que la afecta por todas partes, paraexhibir mejor las perfecciones de su Autor.

En general, la actitud de los matemticos ante elproblema del infinito actual durante los 200 aossiguientes fue similar a la de Galileo: ignorarlo yseguir adelante, cuando no rechazar completamente suexistencia.

Mejor suerte tuvo la consideracin de elementosinfinitamente pequeos en matemticas. Primero, atravs de la consideracin de indivisibles geomtricos,esto es, la interpretacin de las reas planas como unainfinidad de lneas, o los volmenes como formados

por una infinidad de secciones planas, de modo querecombinndolos adecuadamente se pudiera calcularel rea o el volumen considerado. Por supuesto queestas consideraciones eran claramente inconsistentes y

daban origen a paradojas y contradicciones, pero enmanos de personas como J. Kepler (1571-1630) o B.Cavalieri (1598-1647) se convirtieron en mtodosefectivos de clculo de muchas reas y volmenes. Y,lo que es ms importante, su aritmetizacin, es decir,la interpretacin cuantitativa de esos indivisiblesmediante la asignacin de reglas de clculo efectivacon ellos, dio origen a la nocin de infinitsimo, basedel desarrollo espectacular del Clculo Diferencialporgenios como Newton o Leibniz, que constituy laherramienta esencial para la matematizacin de la

naturaleza y la gran Revolucin Cientfica comenzada


Galileo Galilei

Figura 5


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en el siglo XVII. De nuevo la nocin de infinitsimoera lgicamente inconsistente y fue ampliamente criti-cada, perofuncionaba y su xito fue espectacular. Noobstante, la acumulacin de paradojas y contradiccio-nes por el uso indiscriminado de los mtodos infinite-

simales fue aumentando la inseguridad de los matem-ticos en la utilizacin de los aborrecibles pequeosceros, como los llama el historiador C. Boyer, y con-dujo a la refundacin crtica del Clculo en trminosde la nocin de lmite. Pero un anlisis ms detalladode esta situacin alargara demasiado esta exposicin,

por lo que remitimos al lector interesado a [B1] o [Bo]y a las referencias que all se citan, para volver a cen-trarnos en la evolucin y desarrollo de los mtodos

para tratar el infinito actual en matemticas.

3.3.El Infinito Actual en Matemticas.

Como ya hemos dicho, la actitud predominante delos matemticos posteriores a Galileo respecto al pro-

blema del infinito fue un tanto hipcrita, pues la mayo-ra lo ignoraron, cuando no rechazaron enfticamentesu existencia, aunque utilizaron implcitamente sus

propiedades en muchos razonamientos.

As, por ejemplo, el gran C. F. Gauss (1777-1855)escribe en una carta a uno de sus corresponsales en1831: En lo que concierne a su demostracin []

protesto contra el uso que se hace de una cantidadinfinita como una entidad real; esto nunca se permiteen matemticas. El infinito es slo una manera dehablar

En el mismo sentido se manifest Cauchy quien,en su Cours dAnayse, describe el infinito como unacantidad variable, cuyo valor se incrementa sin lmite

y puede sobrepasar cualquier cantidad dada, esdecir, el viejo infinito potencial de Aristteles.Posturas similares eran las defendidas por la mayorade los matemticos contemporneos.

Ms radical se mostr L.Kronecker (1832-1891),para quien slo los objetos matemticos que podanconstruirse con un nmero finito de etapas a partir delos naturales, tenan sentido (es, pues, el primer repre-sentante de la corriente intuicionista o constructivistaen Matemticas). Al parecer, cuando Lindemann

prob la trascendencia de en 1882, Kronecker le

dijo: De qu sirve su bello trabajo sobre ? Porqu estudiar estos problemas, si los nmeros irracio-nales no existen?.

Las propiedades paradjicas de las magnitudes infi-

nitas, explicitadas por Galileo, pero conocidas conseguridad mucho antes, se basan esencialmente en lasdos afirmaciones siguientes:

I.- Dos colecciones son del mismo tamao si y slosi sus elementos se pueden emparejar entre s pormedio de una correspondencia biunvoca.

II.- Una coleccin tiene un tamao mayor que cual-quiera de sus partes propias.

La primera afirmacin parece indiscutible y es la

base del proceso mismo de contar. En cuanto a lasegunda, es tambin un principio firmemente estable-cido; de hecho, figura como uno de los axiomas deLos

Elementos de Euclides, concretamente como lanocin comn n 5, en la formaEl todo es mayor quela parte. Recordemos que estas nociones comunescorresponden a axiomas generales o verdades eviden-tes no especficas de la Geometra. Es difcil rechazarcualquiera de las dos afirmaciones, y de ah la dificul-tad de aceptar la existencia real de infinitos.

El matemtico y telogo checo B. Bolzano (1781-1848) fue el primero en aceptar explcitamente la exis-tencia de infinitos actuales y realizar los primerosintentos para su estudio y manejo. Tres aos despusde su muerte, en 1851, apareci su obra Paradoxiendes Unendlichen (Paradojas del infinito [Bol]), en la


B. Bolzano


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los bucles extraos en la teora de conjuntos y la lgicapor medio de una jerarquizacin exhaustiva del tipo deproposiciones que se puede utilizar en cada proceso.Desde luego, su aplicacin para el desarrollo de lasmatemticas usuales provocara enormes dificultades.

Y siempre quedara la pregunta fundamental: es con-sistente el sistema desarrollado en los Principia? (esdecir, a salvo de contradicciones).

El otro intento de resolver las antinomias fue tratarde restringir la nocin de conjunto y establecer cuida-dosamente sus reglas de uso, es decir, axiomatizar lateora. El primero en abordar seriamente el problemafue E. Zermelo, de quien ya hemos hablado. En 1908

public su sistema axiomtico (que inclua el Axiomade Eleccin), desarrollado y mejorado posteriormente

por A. Fraenkel (1891-1965), dado origen a lo que seconoce como Axiomtica de Zermelo-Fraenkelo ZF,que es la que se utiliza habitualmente. En la axiomti-ca ZF y en todas sus variantes, hay un axioma del infi-nito que asume explcitamente la existencia de un con-

junto infinito (tipo Dedekind). Este axioma es inde-pendiente del resto de los axiomas: pueden construirsemodelos del resto de los axiomas con infinitos elemen-tos, pero en los que ninguno de sus miembros es infi-nito. Mencionemos, sin embargo, que existen variantesde axiomticas de la teora de conjuntos sin axioma del

infinito, en las que la mayora de la teora elemental denmeros y combinatoria puede desarrollarse, pero,obviamente, no la mayor parte del resto de la matem-tica (es decir, la mayora de la matemtica actual). Estaes la razn por la que los llamados formalistas, comoHilbert o Robinson, que no creen en la existencia realde conjuntos infinitos, aceptan el axioma del infinitocomo una convencin til para obtener resultados.

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